geometrÍa analitica
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Encontramos puntos, distancia entre puntos, pendiente y ángulo de inclinación en el plano cartesianoTRANSCRIPT
U.E. Manuel Ascencio Padilla Prof. Javier Delmo Hacosta Moralez
TEMA No 1
GEOMETRIA ANALITICA
La Geometrıa Analıtica es la parte de la matematica que estudia todo elemento geometrico.
En Geometrıa Analıtica estudian las figuras geometricas mediante ecuaciones algebraicas. Las figurasse dibujan en us sistema de coordenadas cartesianas, llamada Sistema Cartesiano, y se asocian conecuaciones algebraicas.
Coordenas Cartesianas.- Son pares de la forma (x, y) que representa un punto en el plano.
Ejemplo:
Ubicar los siguientes puntos en un plano cartesiano A(5,3), B(-4,5), C(-5,-3), D(7,-4), E(0,3), F(0,0)
Distancia entre dos puntos.- La distancia entre dos puntos del plano es el segmento comprendidoentre ellos.La Distancia entre dos puntos P1(x1, y1)P2(x2, y2) se determina mediante la formula:
d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
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Ejemplo 1Hallar la distancia entre los Puntos P1(−2, 3);P2(5, 1)
Sea : d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Reemplazamos : d =√(5− (−2))2 + (1− 3)2
Resolvemos : d =√(5 + 2)2 + (1− 3)2
d =√(7)2 + (−2)2
d =√49 + 4
d =√53
=⇒ d = 7,28u
Realizamos la grafica correspondiente:
NOTA: Para verificar solo se debe comparar la distancia encontrada con la distancia de los ejes delplano (esta comparacion sera aproximada)
Ejemplo 2Hallar la distancia entre los Puntos P1(6,−1);P2(−4,−3)
Sea : d =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Reemplazamos : d =√
(−4− 6)2 + (−3− (−1))2
Resolvemos : d =√
(−4− 6)2 + (−3 + 1)2
d =√
(−10)2 + (−2)2
d =√100 + 4
d =√14
=⇒ d = 10,2u
Realizamos la grafica correspondiente:
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Ejemplo 3Hallar la distancia entre los Puntos P1(4, 1);P2(3,−2) R: d = 3,16 u
Ejemplo 4Hallar la distancia entre los Puntos P1(0, 3);P2(−4, 1) R:d = 4,47 u
Ejemplo 5Hallar la distancia entre los Puntos P1(5, 2);P2(−3, 4) R:d = 8,25 u
Ejemplo 6Demostrar que los puntos A(4, 6);B(−6, 1);C(−1,−4) son vertices de un triangulo isosceles
Primero realizamos la grafica correspondiente:
Vemos graficamente que las distancias dAB y dAC son iguales, ası que para demostrar que son isoscelesdebemos calcular las distancias y el resultado deben ser iguales:
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Sea la distancia AB: dAB = A(4, 6);B(−6, 1)
Sea : d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Reemplazamos : dAB =√(−6− 4)2 + (1− 6)2
Resolvemos : dAB =√(−10)2 + (−5)2
dAB =√100 + 25
dAB =√125
dAB = 11,18 u
Sea la distancia AC: dAC = A(4, 6);C(−1,−4)
Sea : d =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Reemplazamos : dAC =√
(−1− 4)2 + (−4− 6)2
Resolvemos : dAC =√
(−5)2 + (−10)2
dAC =√25 + 100
dAC =√125
dAC = 11.18 u
=⇒ dAB = dAC
De esta manera demostramos que el triangulo es isoceles porque tiene dos lados iguales.
Inclinacion y pendiente de una recta.- La inclinacion de un recta es el menor de los angulo quedicha recta forma con el semieje x positivo. Si la recta es paralela al eje de las absisas su inclinaciones de 0o y su pendiente vale 0, si es paralela al eje de ordenadas su inclinacion es 90o y su pendientees infinita.Pendiente.- La pendiente de una recta es la tangente del angulo de inclinacion. Para calcular lainclinacion de una recta se tomara en cuenta su pendiente.
La pendiente de una recta esta dada por:
m = y2−y1
x2−x1
Angulo de inclinacion.- Como consecuencia de que la tanα = m, el angulo de inclinacion de larecta se calcula mediante la expresion:
α = tan−1(m)
Ejemplo 1Calcular la pendiente (m) y el angulo de inclinacion (α) de la recta que pasa por los puntos:A(−8,−4);B(5, 9)
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Calculemos la pendiente:
Sea : m =y2 − y1x2 − x1
Reemplazamos : m =9− (−4)
5− (−8)
Resolvemos : m =9 + 4
5 + 8
m =13
13
=⇒ m=1
Calculemos el angulo de inclinacion:
Sea : α = tan−1(m)
Reemplazamos : α = tan−1(1)
Resolvemos : α = 45
=⇒ α = 45o
Ejemplo 2
Calcular la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos: A(3, 4);B(12, 9)
R: m = 59 , α = 29,05o
Ejemplo 3
Calcular la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos: A(9,−3);B(1, 3)
R: m = −34 , α = −36,8o
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Ejemplo 4
Calcular la pendiente y la distancia de la recta que pasa por los puntos: A(5, 7);B(0, 2)
R: m = 1 , d = 7,1u
Ejemplo 5
Calcular la distancia, la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos:A(−1, 3);B(7,−5)
Calculemos la distancia:
Sea : d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Reemplazamos : d =√(7− (−1))2 + (−5− 3)2
Resolvemos : d =√(7 + 1)2 + (−8)2
d =√(8)2 + (8)2
d =√64 + 64
d =√128
=⇒ d = 11,31u
Calculemos la pendiente:
Sea : m =y2 − y1x2 − x1
Reemplazamos : m =−5− 3
7− (−1)
Resolvemos : m =−8
7 + 1
m =−8
8
=⇒ m=-1
Calculemos el angulo de inclinacion:
Sea : α = tan−1(m)
Reemplazamos : α = tan−1(−1)
Resolvemos : α = −45
=⇒ α = −45o
Se observa que resulta un angulo negativo, entonces su angulo esta medido hacia abajo:La grafica correspondiente es:
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EJERCICIOS
1. Hallar la distancia, la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos:A(5, 7), B(10,−2)R: d = 10,3u; α = 119,1o; m = −9
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2. Hallar la distancia, la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta que pasa por los puntos:P1(0, 2), P2(10,−2)R: d = 10,78u; α = 140,9o; m = − 2
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3. Demostrar que los puntos A(4, 2), B(1, 5), C(−2, 2), D(1,−1) son los vertices de un cuadradoperfecto inclinado a 135o
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