geometria descritiva, eber nunes

8/18/2019 Geometria Descritiva, Eber Nunes

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g e o m e t r

i a d e s c r i t i v a

e b e r n u n e s f e

r r e i r a

2 0 1 6 . 1

M A T E R I A L

P R O V I S Ó R I O

A C O R R E Ç Ã O N Ã O F

O I F I N A L I Z A D A

geometria descritivaeber nunes ferreira



3.2 SINAIS

3.1 COORDENADAS

1. INTRODUÇÃO

ÍNDICE

2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO

3. GEOMETRIA DESCRITIVA

3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA

3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)

4. ESTUDO DA RETA

4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

4.1 DETERMINAÇÃO DE RETAS

4.3 CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS

4.3 PARTICULARIDADES

4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA

4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA

4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL

4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL

4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL

4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS

4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA

4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL

4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

5. ESTUDO DOS PLANOS

5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS

5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS

5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS

5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS


5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA

5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE

5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL

04

04

09

10

11

12

13

16

16

16

16

23

25

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26

26

27

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29

29

32

33

35

49

48

45

43

42

38

37

35

2




5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL

5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL

5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO

5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)

5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MD E MI

6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS

6.3 POLIEDROS IRREGULARES

6.2 POLIEDROS REGULARES

6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

7. SEÇÃO PLANA

7.1 EXEMPLOS

8.1 REBATIMENTO

8.2 MUDANÇA DE PLANO

8.3 ROTAÇÃO

8. MÉTODOS DESCRITIVOS

6.5 EXERCÍCIOS

6.6 DUAIS

8.1.1 EXEMPLOS

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL

8.2.2 MUDANÇA DE PLANO HORIZONTAL8.2.3 EXEMPLOS

9. PLANIFICAÇÃO

9.1 EXEMPLOS

10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS

11. BIBLIOGRAFIA

10.1 EXEMPLOS

5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER

5.6.9 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS

51

53

55

5758

60

63

64

66

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120123

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149

3




1. INTRODUÇÃO

Vive-se em um mundo tridimensional, onde os objetos são descritos esquematicamente,fazendo-se referência à altura ,largura e profundidade. Durante muitos séculos, desde quando ohomem pré-histórico esboçava suas caças nas paredes das cavernas procurou-se a forma de comorepresentar objetos de um universo tridimensional em superfícies bidimensionais Este questionamento se dá, inicialmente, ao nível da representação dos objetos já existentes,mas em se tratando de elementos que ainda estão na mente do seu criador, o fato se agrava, e aindamais quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nesse caso, torna-se imprescindíveluma maneira de transmitir a idéia do projetista ao seu realizador. Com o advento da Revolução Industrial, esta necessidade tornou-se ainda mais imperativa,pois o sistema produtivo até então, utilizava-se de mão-de-obra artesanal, onde a "comunicaçãotécnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade. A partir do momento em que objetos passam a ser produzidos em quantidade considerável,fez-se necessário o uso da de uma representação projetiva baseada não mais no "olhar humano" quesabidamente vê e interpreta os objetos deformando suas medidas, ângulos e formas, mas, umarepresentação que contemplasse as reais medidas do objeto, para que sua confecção fosse precisa econfiável. Em sua genialidade, Gaspar Monge, com uma idéia "escandalosamente simples",revoluciona a representação de objetos tridimensionais, imprimindo-lhe um caráter técnico e deprecisão. Gaspard Monge nasceu a 10 de maio de 1746, na cidade de Beaune e faleceu em Paris, a 28de julho de 1818. Com 16 anos já revelava a diversidade de suas aptidões técnicas e intelectuais,mostrando sua habilidade como desenhista e inventor. Era possuidor de "dedos capazes de traduzircom fidelidade geométrica seus pensamentos".

Ao olharmos ao nosso redor, podemos perceber que estamos envolvidos por diferentessistemas projetivos. Uma sessão de cinema,ou a simples sombra de um objeto que varia em funçãoda direção dos raios luminosos, são suficientes para fazermos uma analogia com os diferentessistemas projetivos. As diversas sombras ou imagens formadas se devem, entre outros fatores, a relação dedistância com a superfície onde a sombra é projetada, à direção dos raios, e ao tipo de fonte luminosa,quer seja solar ou artificial.

2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO

Consideremos um ponto qualquer no espaço, posicionado no finito ou no infinito, como sendo

o olho de um observador. Se fosse possível interceptarmos com um plano,os raios visuais quechegam ao olho observador, teríamos uma imagem correspondente ao objeto observado. Estaimagem recebe o nome técnico de projeção.

Em função da grandeza do Sol,quando comparada a Terra, e de suadistância para com a mesma, podemosconsiderar seus raios paralelos entre si. Já ailuminação artificial é considerada puntiformee sua emissão de raios luminosos se dá deforma radial. Tudo isto, determina diferentesresultados.

4




Também, ao colocarmos uma tela móvel diante dos raios luminosos de um projetor, obteremosdistintas projeções (imagens) de acordo com a posição e o tipo de superfície da tela.

Analisando os exemplos anteriores, podemos fazer uma analogia com os elementos de umsistema de projeção. Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos básicos. São eles:Centro de Projeção, Linha Projetante, Objeto, Projeção e Plano de Projeção.

Do centro de projeção (O) parte uma linhaprojetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina aprojeção P, do ponto (P).

(O)

( )P

P

(r)

Ângulo de Incidência

da linha Projetante

FINITO / INFINITO

Assim podemos estabelecer a seguinte relação:

Centro de ProjeçãoLinha ProjetantePonto ObjetivoProjeção do Ponto (P)Plano de Projeção

Fonte de Luz / Olho do observador Raio Luminoso / Raio VisualObjetoSombra / ImagemTela / Anteparo

(O)( r )(P) P()

5




O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem as linhas projetantes, podendolocalizar-se no Finito ou Infinito, denominando-se centro Próprio ou Impróprio, respectivamente.

Quando consideramos o centro de

projeção PRÓPRIO, as linhas projetantes partemdivergentes em direção ao plano de projeçãocorrespondendo assim aos raios de uma lâmpadaincandescente. Desta forma, temos o SistemaCônico de Projeção.

(O)

(A)

A

A

(A)

A

(A)

Quando consideramos o centro deprojeção IMPRÓPRIO, as linhas projetantespartem paralelas em direção ao plano de projeção,correspondendo assim aos raios do sol.

Observe que no sistema Cilíndrico o ângulo de incidência de todas as linhas projetantes são iguaispara uma mesma direção, e o centro de projeção não é percebido por se encontrar no infinito.

Estudaremos agora cada um dos sistemas, percebendo suas características eparticularidades. Inicialmente, consideraremos o objeto (bidimensional) em uma posição fixa noespaço equidistante (paralelo) ao plano de projeção.

No Sistema Cônico a projeção não registra as reais dimensõesdo objeto, ou seja, ele NÃO É representado em sua verdadeiragrandeza (VG). Observe que no exemplo da figura ao lado ocorre umaampliação do objeto projetado. Neste sistema, o centro de projeçãopode ocupar várias posições, o que interferirá no resultado da projeção.

(A) A

(A) A

No Sistema Cilíndrico Oblíquo o objeto é representado emVERDADEIRA GRANDEZA, mas devido aos diferentes valores que oângulo de incidência pode assumir (em função da direção das linhasprojetantes) teremos várias opções para a localização da projeçãosobre o plano.

Já no Sistema Cilíndrico Ortogonal, o objeto está expresso emsua VG mas, ao contrário dos sistemas anteriores, existe uma única

projeção que o representa, pois a direção também é única.

(A)

A

6




Na figura ao lado,o sistema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndricoporque as linhas projetantes são paralelas entre si, e oblíquo porque o ângulo de

incidência das linhas projetantes com o plano não é reto.

(A)

(B)

A B

(B)

(A)

AB

(C)

C

(B)

(A)

A B

(C)

C

(B)

(A)

A B

(C)

C

No sistema cônico, quando o objeto (bidimensional) não está paralelo ao plano, a projeçãodeixa de estar semelhante ao objeto no espaço. Já no sistema cilíndrico a projeção deixa de estarcongruente ao objeto.

VGVG

VG

Conhecendo melhor o Sistema Cilíndrico Ortogonal (PROJEÇÃO ORTOÉDRICA)

A classificação oblíquo e ortogonal dentro do sistema cilíndrico não está em função doângulo que a linha projetante forma com o objeto , e sim com o plano de projeção. Esta observação se faz necessária, pois até agora temos considerado o objeto paralelo ao

plano, onde os ângulos que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção sãoiguais, no entanto serão diferentes quando não houver tal paralelismo.

Observe que nos desenhos anteriores o objeto não é projetado em suas dimensões reais, pois

no Sistema Cilíndrico o paralelismo é a condição exigida para a obtenção da projeção emverdadeira grandeza. Veja a síntese do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o sistema que fundamenta aGeometria Descritiva.

Na figura ao lado, o sistema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em ambasfiguras o sistema é cilíndrico, classificação esta que está em função do paralelismoentre as projetantes.Quanto à classificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência daprojetante com o plano de projeção. Neste caso, sendo o referido ângulo, reto, esterecebe a classificação de ortogonal.

(A)

(B)

A B

a - A l inha projetante sempre seráperpendicular ao plano de projeção.

b - O objeto somente será representado emsua VG quando estiver paralelo ao plano deprojeção.

(A) (B)

A BVG90º

7




d - O que altera as dimensões da projeção em relação ao objeto é o ângulo do mesmo em relação aoplano de projeção.

c - A distância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimensão da projeção, pois as linhasprojetantes são paralelas, possuindo, portanto, um mesmo ângulo de incidência.

(A)(B)

A B

(A)(B)

A B B

(A)(B)

A

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A B

(A)

(B)

A B

Veja o exemplo do círculo inscrito em um quadrado, posicionado de maneira paralela, oblíquae perpendicular ao plano de projeção. As projeções comportam-se de formas diferentes.

PERSPECTIVA

VISTA ORTOÉDRICA

8




A geometria descritiva (GD)promove o estudo dos objetos através de suas projeçõesortoédricas sobre planos perpendiculares entre si. Inicialmente utiliza-se de um plano horizontal eoutro vertical. A partir destes dois elementos, Gaspar Monge cria um sistema projetivo que permiteregistrar a tridimensionalidade dos objetos. A interseção dos planos horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha deTerra que os divide em semi-planos e estes, por sua vez, delimitam o espaço em quatro regiõesdenominadas de "diedros". A linha de terra recebe duas barrinhas paralelas em suas extremidades posicionadas sobre oPH. Assim, a correta interpretação da linha de terra permite identificar as posições do PH e PV. Coube ao geômetra italiano Gino Lória o recurso de introduzir, no sistema mongeano deprojeção, o terceiro plano perpendicular aos dois primeiros, plano este que recebe o nome de plano deperfil, PP. Embora o estudo da Geometria Descritiva contemple os quatro diedros, este material didáticodará um enfoque quase que exclusivo ao primeiro diedro. Isto facilitará a transição entre o desenhotécnico e o desenho arquitetônico.

Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de projeção.Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das projeções sobreos planos. Vale salientar que a Geometria Descritiva faz uso do Sistema Cilíndrico Ortogonal deProjeção, fato este que determina uma única projeção em cada plano de projeção. Antes de apresentarmos as coordenadas vamos estabelecer uma convenção paradistinguirmos as diferentes projeções de um mesmo objeto em cada plano.

A projeção do ponto (P) noPH é denominada projeçãohorizontal P.

A projeção do ponto (P) noPV é denominada projeçãovertical P'.

A projeção do ponto (P) noPP é denominada projeçãode perfil P''.

A notação do ponto será feita com letras maiúsculas ou números do alfabeto arábico, quedeverão estar entre parênteses. A expressão "Ponto" deve ser empregada somente para o objeto.

3. GEOMETRIA DESCRITIVA

PV PP

PH

PVPV

PHPH

1º

2º

3º

4ºDIEDRO

DIEDRO

DIEDRO

DIEDRO

(P)

P

P'P"

(P)

P

(P)

P'

(P)

P"

9




IMPORTANTE: quando representarmos um objeto no diedro, estaremos utilizando somenteos planos, Horizontal e Vertical de projeção, consequentemente o objeto será representado atravésde duas projeções; mas quando a representação for feita no triedro, estaremos inserindo o plano dePerfil que também é conhecido por Terceiro Plano.

A linha imaginária, que contém as projeções P e P', édenominada LINHA DE CHAMADA.

Para que possamos situar um objeto no espaço, precisamos conhecer as distâncias de seuspontos para com os planos de projeção. Assim, cada ponto é definido por um trio ordenado compostopor ab, af e ct, denominados abcissa, afastamento e cota, respectivamente, onde:

3.1 COORDENADAS

Abcissa ( ): é a distância do ponto ao PP.abAfastamento ( ): é a distância do ponto ao PVaf Cota ( ): é a distância do ponto ao plano PHct

Está implícito que a "distância" é a menor possível,ou seja,medida sobre um alinhamento perpendicular ao plano.

No Plano Cartesiano o afastamento e cota seriamanálogos às coordenadas x ey respectivamente.

IDENTIFIQUEMOS ALGUMAS IGUALDADES

PV

PH

PP

(P)

P

P'P"

PP

PV

PH

ab

0

af

ct

A distância do ponto (P) ao PP é igual àdistância da Linha de Chamada àorigem (intersecção dos três planos).

Ambas traduzem a abcissa.

A distância do ponto (P) ao PV é igual àdistância da projeção horizontal P à LT.

Ambas traduzem o afastamento.

A distância do ponto (P) ao PH é igual àdistância da projeção vertical P' à LT.

Ambas traduzem a cota.

Logo, podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial,relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as projeções à Linha deTerra.

l i n h a d e c h a m

a d a

l i n h a d e c h a m a d a

(P)

P

P'P"

PP

PV

PH

0

10




CONCEITO ESPACIAL

Abcissa (ab): é a distância do ponto ao PP.Afastamento (af): é a distância do ponto ao PV.Cota (ct): é a distância do ponto ao PH.

CONCEITO PROJETIVO

Abcissa: é a distância da Linha de Chamada à origem.Afastamento: é a distância da projeção horizontal à LT.Cota: é a distância da projeção vertical à linha de terra.

Então, os pontos (diferentes de projeções) situados:

à direita da origem possuem........................................................ abcissas positivas;á esquerda da origem possuem.................................................. abcissas negativas;acima do plano horizontal possuem ...................................................cotas positivas;abaixo do plano horizontal possuem .................................................cotas negativas;anteriores ao plano vertical possuem .................................afastamentos positivos eposteriores ao plano vertical possuem ...............................afastamentos negativos.

Visto que estaremos priorizando o Primeiro Diedro, estaremos excluindo os sinais negativospara afastamento e cota.

PV

PH

PP

Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à linhasretas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os mesmos valores (positivoe negativo), tanto para cota, quanto para o afastamento. Já a abcissa terá como referencial a origem

marcada sobre a linha de terra.

3.2 SINAIS

É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da GeometriaDescritiva registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que desenhemos usando o"conceito projetivo", mas que visualizemos o "conceito espacial", ou seja, se tivermos um objeto noespaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos com o seu desenho seremos capazesde concebê-lo.

11




Até agora, temos utilizado a perspectiva, que não é baseada no sistema cilíndrico ortogonal,para apresentação e compreensão da geometria descritiva. A partir deste momento, começaremos acaminhar no sentido de nos valer dela própria, para a análise de figuras e objetos no espaço.

Tomemos um ponto com coordenadasgenéricas: (A) ( Ab ; Af ; Ct ). Entre o centro de projeção e o objeto,posicionaremos um observador que enxergue com"olhos do sistema cilíndrico ortogonal".

Atente para o fato de que o observador 1percebe as coordenadas abcissa e afastamento, e oobservador 2 percebe abcissa e cota. Novamente,uma das coordenadas não é percebida de acordocom a posição do observador.

Obs.: A origem sobre a linha de terraregistra a posição a ser ocupadaoportunamente pelo Plano de Perfil .

Consideremos que, após o registro dasprojeções, o objeto seja retirado; com isto, oobservador nas posições 1 e 2, estaria recebendo as

seguintes imagens.

LINHA DE TERRA

LINHA DE TERRA

POSIÇÃO 1 POSIÇÃO 2

Mas se unirmos as duas figuras pela Linha deTerra , teremos em um único desenho ascoordenadas Ab, Af e Ct, onde a linha de chamadaposiciona-se perpendicular à LT.

3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA

PH

PV

12




Outra maneira de obtermos o mesmo resultado seria submeter o Plano Horizontal a um girode 90º no sentido horário.

ÚNICOOBSERVADOR

Esta operação denomina-se REBATIMENTO. Desta forma, o observador faz "leitura" de

todas as coordenadas em uma única posição. Esta forma de representação denomina-se ÉPURA. Observe que o resultado é exatamente o mesmo quando da junção das imagens vistasseparadamente pelo observador nas posições 1 e 2 na página anterior.

ÉPURA - Chama-se épura a representação e o estudo dos problemas descritivos das figurase corpos do espaço, dados por suas projeções nos dois planos ortogonais, depois da coincidênciadesses dois planos após o rebatimento. Este rebatimento poderia acontecer também com o giro doplano vertical sobre o horizontal no sentido anti-horário, e teríamos o mesmo resultado final; mas porquestões didáticas adotaremos o giro horário do plano horizontal. Desta maneira, as projeções horizontais positivas, na representação em épura, após orebatimento, passam a ser registradas abaixo da LT, respeitando, assim, o rebatimento. Como o plano vertical permanece fixo no espaço, as projeções verticais com cotas positivas

continuam a ser registradas acima da LT. De igual maneira, as abcissas não sofrem alterações em face ao rebatimento, permanecendopositivas à direita da origem e negativas à esquerda. Devido ao fato dos planos horizontal e vertical receberem sobre si as três coordenadasnecessárias ao estudo dos sólidos durante anos procurou-se desenvolver todos os estudos espaciaisapenas com duas vistas ortogonais. No entanto, o uso sistemático do Plano de Perfil tornou a GDmais fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil está presente?

A

A' A"

af

a f

ctct

A

A'

A"

af

af

ct

ct

E i x o

A"

A

A'

af

af

ct ct

ab

N e s t e e x e m p l o , o splanos foram rebatidos após oregistro das três projeções, ouseja, a terceira projeção jáexiste. Mas como seria obter aterceira projeção à partir daspro j eções rep resen tadasapenas no diedro? Observe quea projeção sobre o Plano de

Perfil é composta apenas pelascoordenadas afastamento e dacota.

Para que tenhamos um único observador com capacidade de leitura em épura dos três planossimultaneamente, faz-se necessário um segundo rebatimento, agora do Plano de Perfil que sofrerá

um giro de 90º para a direita conforme a figura a seguir.

3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)

13




A'A'A' A"

AAA

1º PASSOLevar as informações relativas aoafastamento e cota até o eixo.

2º PASSO Alçar a distância correspondente aoafastamento até a LT.

3º PASSOCruzar as informações e obter aVista de Perfil (3ª projeção).

A operação alçamento deve ser feita de maneira a manter inalterada a medida da informação

que está sendo transportada. Para isto é necessário o uso do compasso ou do esquadro de 45º,apoiado na régua paralela.

A posição primitiva do plano PP é na abcissa "zero", por isto o eixo encontra-se junto à origem.No entanto um objeto pode possuir pontos que podem ficar à direita, à esquerda ou mesmo sobre oPP.

OU

A"

Centrar o compasso

A'

A

A' A"

A

A' A"

A

A" A'

A

OU

A" A" A' A'

A A

45º

14




Podemos concluir que em relação ao eixo, os resultados são iguais. No entanto, podemos nosdeparar com situações em que utilizar o eixo sobre a origem pode dificultar a interpretação dasprojeções, o que não é desejável.

V'

V

V"

A

B

C

D

D" A" C" B"C'D'B' A'

V'

V

V"

A

B

C

D

D" A" C" B"

C'D'B' A'

O exemplo acima mostra o congestionamento causado pela sobreposição das projeções,embora ambos os desenhos estejam tecnicamente corretos. Visto que o objetivo deste materialdidático é facilitar o ensino da GD, estaremos, sempre que for conveniente, permitindo odeslocamento do eixo para uma abcissa diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfilauxiliar. Observe que em todos os casos a terceira projeção está na mesma altura da projeção vertical.Tome isto como regra. Veja o exemplo a seguir.

VISTA SUPERIOR

VISTA FRONTAL VISTA LATERAL

VISTA LATERAL DIREITA(SE CONSIDERARMOS O OBJETO)

VISTA LATERAL ESQUERDA

(SE CONSIDERARMOS O OBSERVADOR)

15




a - dois pontos distintos; b - um ponto e uma direção; c - dois planos secantes

( )r

( )r (A) (B)

(A)

4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

(A)

A

(B)

B

VG

( ) A A ( )B B

VG

(A)

A

(B)

B

(A)

A

(B)

B

a- Equidistantes:

1- paralela 2- pertencente

b- Concorrentes:

1- oblíqua 2- perpendicular

4.3 CLASSIFICAÇÕES DAS RETAS

Dois pontos distintos no espaço podem definir sete tipos genéricos de retas. Primeiramente estaremos reunindo-as em três grupos.

Grupo 1 - Grupo das retas que estão perpendiculares a um dos planos de projeção econsequentemente paralelas aos outros dois. Assim possuem uma projeção pontual e duasprojeções em verdadeira grandeza. São denominadas retas PROJETANTES.

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

(s)

s's"

s

VG

VG

PH

PPPVs'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG

RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL

Uma reta pode ser determinada por:

4.1 DETERMINAÇÃO DAS RETAS

Chama-se projeção de uma reta sobre um plano ao lugar geométrico das projeções de todosos seus pontos sobre esse plano.

4. ESTUDO DA RETA

16




(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

VG(s)

s'

s'

s"

s

PPPV

PH

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG

RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL

Grupo 2 - Grupo das retas que estão paralelas a somente um dos planos de projeção,consequentemente oblíqua aos outros dois. Assim possuem apenas uma projeção em verdadeiragrandeza.

Grupo 3 - Grupo das retas oblíquas aos três planos de projeção. Suas projeções não possuemverdadeira grandeza.

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

RETA QUALQUER

Agora estudaremos, uma a uma, as retas. Você deverá utilizar a maquete do triedro paraanalisar a reta que será apresentada por sua perspectiva e épura.

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- perpendicular ao PH;- paralela ao PV; e- paralela ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos iguais; e- cotas diferentes.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é pontual; e a- vertical é perpendicular à LT.

Possui VG no PV e PP.

a - RETA VERTICAL

17




s' s"

s

PH

PPPV

VG

VG

s'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG

(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPV

VG

VG s' s"

s

PH

PPPV

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

s'

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- perpendicular ao PV; e

- paralela ao PP.OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos diferentes; e- cotas iguais.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é perpendicular à LT;e a- vertical é pontual.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- paralela ao PV; e- perpendicular ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos iguais; e- cotas iguais.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é paralela à LT;- vertical é paralela à LT; e a- projeção de perfil é pontual noPP.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- oblíqua ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos diferentes; e- cotas iguais.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é oblíqua à LT; e a

- vertical é paralela à LT.

b - RETA DE TOPO

c - RETA FRONTO-HORIZONTAL

d - RETA HORIZONTAL ou de NÍVEL

18




VG

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s's"

s

PH

PPPV

VG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VGs'

s"

s

PH

PPPV

VG

s'

s

PH

PPPV

(s)

s

s's"

PPPV

PH

VG

s"

VG

Esta é a única reta que possui verdadeira grandeza somente na vista de perfil (terceiraprojeção), daí alguns autores enfatizarem o assunto "vista de perfil", quase que exclusivamente paraa reta de perfil. A reta de perfil pode espacialmente tocar ou não a Linha de Terra, isto se reflete em épuraatravés de suas projeções. Observe as terceiras projeções destas retas de perfil, e compare-as. A

última delas possui afastamento nulo no mesmo ponto em que a cota também é nula, portanto éuma reta de perfil perpendicular à LT. A outra é ortogonal à LT.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- paralela ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos iguais; e- cotas diferentes.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é paralela à LT; e a- vertical é oblíqua à LT.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- oblíqua ao PV;- paralela ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos diferentes; e- cotas diferentes.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é perpendicular à LT;e a - vertical é perpendicular à LT.

Possui VG no PP.

e - RETA FRONTAL ou de FRENTE

f - RETA DE PERFIL

RETA DE PERFIL

ORTOGONAL À LT.

RETA DE PERFILPERPENDICULAR À LT.

19




PPPV

PH

(s)s'

s"

s

s'

s"

s

PH

PPPV

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s' s"

s

PH

PPPV

g - RETA QUALQUER

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- oblíqua ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos diferentes;- cotas diferentes.

E M É P U R A ( T r i e d r o ) aprojeção:- horizontal é oblíqua à LT; e- vertical é oblíqua à LT.

NÃO POSSUI PROJEÇÃO EMVERDADEIRA GRANDEZA

RETA QUALQUERREVERSA À LT.

RETA QUALQUERCONCORRENTE À LT.

Da mesma forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT sendoclassificada de concorrente ou reversa à LT respectivamente. Faça com elas a mesma comparação

que foi feita entre as retas de perfil.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência B)

Dica: para memorizar o nome das retas utilizeum cubo "aramado" com as faces paralelas aosplanos de projeção.

- As serão as retas do 1º Grupo.arestas do cubo- As serão as retas do 2º Grupo.diagonais das faces- As serão as retas do 3º Grupo.diagonais do cubo

(fh)(v)

(t) (h)

(f)(p) (q)

RETAS DO 1º GRUPO RETAS DO 2º GRUPO RETAS DO 3º GRUPO

20




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLO:

Os pontos (V) e (A) determinam uma reta

Os pontos (C) e (D) determinam uma reta

Os pontos (C) e (A) determinam uma reta

Os pontos (B) e (C) determinam uma reta

qualquer (3º Grupo)I

II

III

IV

abs = af s = cts =

Evidencie com caneta ou lápis coloridocada dupla de pontos nas épuras reduzidas A resposta correta é desejável, porém oraciocínio espacial é o principal objetivo. Por issouse as maquetes.

s s s

abs =

abs =

abs =

af s =

af s =

af s =

cts =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

s

s

s

I II III

IV V VI

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e C)

Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)

Analise pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e dogrupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

Os pontos (C) e (V) determinam uma reta

Os pontos (V) e (G), eixo da pirâmide, determinam uma reta

V

VIIDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.

abs =

abs =

af s =

af s =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

21




EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

I

II

III

IV

V

VIIDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

I II III

IV V VI

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e dogrupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.

Evidencie com caneta ou lápis coloridocada dupla de pontos nas épuras reduzidas A resposta correta é desejável, porém oraciocínio espacial é o principal objetivo. Por issouse as maquetes.

Os pontos (4) e (B) determinam uma reta

Os pontos (A) e (3) determinam uma reta

Os pontos (B) e (2) determinam uma reta

Os pontos (1) e (3) determinam uma reta

Os pontos (4) e (1) determinam uma reta

Os pontos (G) e (4) determinam uma reta

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e C)

abs =

abs =

abs =

abs =

abs =

af s =

af s =

af s =

af s =

af s =

cts =

cts =

cts =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)

abs = af s = cts =s s s

22




4.3 PARTICULARIDADES

O estudo das retas envolve algumas particularidades que destacaremos a seguir.

Toda a reta paralela a um plano de projeção poderá pertencer a ele, bastando que acoordenada correspondente seja nula. Isto implica que, espacialmente, a reta se torne pertencente aoplano e coincidente com a própria projeção.

(A)

A

(B)

B

VG

paralela

( ) A A ( )B B

VG

pertencente

Para evidenciarmos esta condição particular da reta vamos acrescentar por "sobrenome”, talcaracterística.

Assim sendo, as retas do segundo grupo, horizontal, frontal e de perfil podem pertencer asomente um plano de projeção.

RETA HORIZONTAL do PH RETA FRONTAL do PV RETA DE PERFIL do PP

(s) s

PPPV

PH

VG

s' s"

VG

(s) s'

PPPV

PH

s"

s

(s)s"

PPPV

PH

VG

s'

s

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

VG(s)

s'

s'

s"

s

PPPV

PH

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG


(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

A úni ca reta que não podepertencer a nenhum dos planosde projeção é a reta qualquer,pois a mesma se encontraoblíqua aos três planos deprojeção.

23




RETA VERTICAL do PV

VG

VG

(s)s'

s"

s

PPPV

PH

RETA VERTICAL do PP

RETA VERTICAL do PV e do PP

VG

VG

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

VG (s) s's"

s

PPPV

PH

RETA de TOPO do PH

s

PPPV

PH

(s) VG

s"

VG

s'

RETA de TOPO do PP

RETA de TOPO do PH e PP

s'

PPPV

PH

(s) s"

VG

s

VG

RETA FRONTO-HORIZONTAL do PH

RETA FRONTO-HORIZONTAL do PV

RETA FRONTO-HORIZONTALdo PH e do PV (Linha de Terra)

(s)

s

VG

PH

PPPV s"

s'

VG

(s)s

VG

PH

PPPV

s"

s'

(s)sVG

PH

PPPV

s"s'

VG

PPPV

PH

s'

(s) s"

VG

s

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

(s)

s's"

s

VG

VG

PH

PPPVs'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG


As retas do primeiro grupo, vertical, de topo e fronto-horizontal podem pertencer a até doisplanos de projeção.

24




Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções pertencem às projeções de mesmonome da reta, ou seja:

- a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta - a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta - a terceira projeção do ponto sobre a terceira projeção da reta

4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s'

s

PH

PPPV

P’

P’P”

PP

(P)s"

P”

(s)

(P)

P' P'

P"

P"

PP

s' s'

s"s"

s

s

PPPV

PH

VG VG

RETA DE PERFIL VISTA DE PERFIL

Qualquer que seja a reta e um ponto pertencente a ela, estas três condições deverão sersatisfeitas; mas, excetuando-se a reta de perfil, as demais retas podem ser analisadas apenas nodiedro (PH e PV), ou seja, um ponto pertencerá a reta se as projeções do ponto pertencerem as

respectivas projeções horizontal e vertical da reta.

Portanto, a reta de perfil deverá necessariamente ser analisada nas três projeções, o queimplica na obtenção da terceira projeção.

25




São pontos onde a reta atravessa planos notáveis. Estaremos enfocando a interseção dasretas com os planos horizontal e vertical de projeção. Estes pontos onde a reta "fura" o plano sãodenominados de traços de reta. (Na GD traço = interseção)

4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA

O traço de uma reta sobre um plano é sempre um ponto único. Em relação aos planoshorizontal e vertical no ambiente do primeiro diedro a reta pode concorrer com eles em três posiçõesgenéricas: no PH, no PV e sobre a Linha de Terra. Então o que temos a fazer é a identificação da existência destes pontos na reta.

Uma reta somente possui traço sobre um plano quando forconcorrente a ele; estando equidistante (paralela ou pertencente)não possuirá o traço. Considerando o ambiente Diédrico e a posiçãoda reta, ela poderá ter de um a dois traços. A exceção fica para a reta frontohorizontal, que é a única retanão concorrente ao PH e PV.

PV

PH

(V)

(H)

TRAÇOS DA RETA NOS PLANOS HORIZONTAL E VERTICAL DE PROJEÇÃO

PONTO NO PV

B

B’PONTO NO PH

A

A’

PONTO NA LT

C C’

4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL

VG(s)

s'

s"

s

"H

H'

H(H)

PPPV

PH

H’

H

A'

A B

B'

s’

s

O traço horizontal (H) semprepertencerá ao plano horizontal pois,sempre terá cota nula. Portanto, em épura prolonga-se a projeção vertical até a LT (onde acota se torna nula) e determina-se al inha de chamada do ponto (H) procurado. A projeção H pertencerá aprojeção s e a projeção H' pertencerá aprojeção s'.

4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL

V"

(s)

s' s"

sV

V'(V)

PPPV

PH

A'V’

V

A

B

B's’

s

O traço vertical (V) semprepertencerá ao plano vertical pois,sempre terá afastamento nulo.Portanto, em épura prolonga-se aprojeção horizontal até a LT (onde oafastamento se torna nulo) edetermina-se a linha de chamada doponto (V) procurado. A projeção V pertencerá a projeção

s e a projeção V' pertencerá aprojeção s'.

26




VG

A

A'

B'

H’

r'

r B H

H’

V’

H

V

r'

r

VG

A

V

B

r

A' B' V’r'

EM RESUMO TEMOS:

Para determinarmos um traço prolonga-se inicialmente a projeção de nome contrário até que amesma concorra com a LT, onde será determinada a linha de chamada correspondente ao traçoprocurado. Atenção: esta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de seuspontos na vista de perfil. Vejamos outros exemplos em épura.

Se a reta é concorrente à LT, mas possui dois traços(retas de perfil e qualquer), eles estarão coincidentes naprópria LT, ou seja, o ponto de afastamento nulo, também é oponto de cota nula. Atente para o fato de que dois pontoscoincidentes não definem uma reta.

H'H(H)VV'(V)

PPPV

PH

(s)

s's"

H" V"

s

Observe nos exemplos anteriores que duas projeções encontram-se obrigatoriamente sobrea LT. São elas:

V - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afastamento nulo);

H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula).

Ou seja, V H' na LT. Tome isto como regra.

A obtenção dos traços horizontal e vertical na reta de perfil é realizada através da utilização daterceira projeção (vista lateral), pois neste tipo de reta a simples análise no diedro não é suficientepara a identificação da pertinência do ponto à reta. Desta maneira, temos que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará as projeçõesH" e V" e retornar com as informações para a abcissa correspondente determinando assim asprojeções dos traços horizontal e vertical respectivamente.

4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL

27




(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPV

VGVG

(s)

s' s"

H"H'

s H( )H

PPPV

PH

s'

s

PPPV

PH

(s)

s"

V"

V

V'( )V


V"

(s)

s' s"

sV

V'(V)

PPPV

PH

VG(s)

s's"

s

"H

H'

H(H)

PPPV

PH

(s)

s' s"

s

H"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH


H'

(s)s' s"

s

H"

V"

V

H(H)

V'(V)

PPPV

PH

H'H(H)VV'(V)

PPPV

PH

(s)s'

s"

H" V"

s

(s)

s

s's"

PPPV

PH

H" V"

H'H(H)VV'(V)

RETA QUALQUER RETA QUALQUER RETA DE PERFIL

ORTOGONAL À LT

PERPENDICULAR À LTCONCORRENTE À LTREVERSA À LT

4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS

28




(a) (b)

COINCIDENTES

CONCORRENTES

PARALELAS

PERPENDICULARES

(a)

(b)

(a)(b)

(a)(b)

REVERSAS

(a)

(b)

(c)

(r)

ORTOGONAIS

(a)

(b)

(r)

(c)

a - Quando coplanares podem ser:

4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

RETAS QUE ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO

Quando concorrentes, e formarem um ângulo reto,

são denominadas de retas perpendiculares.

Tanto as retas paralelas, quanto as

concorrentes, podem pertencer a planosd is t in tos , mas a inda ass im sãoconsideradas coplanares, pois sempreexistirá um plano que as contenham

b - Quando não coplanares podem ser:

RETAS QUE NÃO ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO

Todas as retas de um plano que nãoconcorrem com uma reta perpendicular a elesão denominadas ortogonais em relação àreferida reta.

Todas as retas de um plano que nãoconcorrem com uma reta oblíqua a ele sãodenominadas reversas, ou ainda revessasem relação à referida reta.

Duas retas podem:- não possuir ponto comum (paralelas e reversas);

- possuir um único ponto comum (concorrentes ou incidentes);- possuir mais de um ponto comum (coincidentes).

Com exceção das retas de perfil, poderemos, através da análise das projeções no diedro (PHe PV), conhecer qual é a posição relativa entre ambas, isto porque a reta de perfil necessita de seranalisada no triedro.

a- Retas Concorrentes: duas retas coplanares que possuem um único ponto comum sãodenominadas concorrentes ou incidentes.

Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.

4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA

29




b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOMESÃO PARALELAS ENTRE SI.

DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOMESE CONFUNDEM E AS OUTRAS DUASSÃO PARALELAS.

DUAS PROJEÇÕES PONTUAIS DEMESMO NOME SÃO DISTINTAS.

SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’

a’

b

a

b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,DAS DUAS RETAS, NÃO CONCORREM EM

UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.

UMA PROJEÇÃO PONTUAL NÃOPERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO

NOME DA OUTRA RETA.

SEGUNDO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM

UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.

DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,SE CONFUNDEM, E AS OUTRAS DUAS

SÃO CONCORRENTES.

UMA PROJEÇÃO PONTUAL PERTENCE A PROJEÇÃO DE MESMO NOME DA

OUTRA RETA.

SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’a’

ba

b- Retas Paralelas: duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são

denominadas, retas paralelas. Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.

c- Retas Reversas: duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e nãoforem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois casosabaixo.

Duas retas concorrentes podem ser perpendiculares. Veja o teorema de Monge na páginaseguinte

Duas retas reversas podemser ortogonais.

30




ORTOGONAIS

(s)

r s

(r)

PERPENDICULARES

(s)

(r)

r

sVG

PERPENDICULARES

(s)

(r)

r sVG

b’b’

a’a’

A’

A

B’

B

R’

R

S’

Sbb

aa

d- Retas Coincidentes: duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nomese confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes. Atenção: podemos ter segmentos nãocoincidentes sobre retas coincidentes.

e- Perpendicularismo

Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo umadelas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destasduas retas sobre o plano são perpendiculares entre si.

... e ortogonais se forem reversas.

Mas quando uma for paralela e a outra perpendicularao plano, basta a projeção pontual pertencer à outraprojeção e serão perpendiculares entre si no espaço ...

... contudo, se a projeção pontual estiver fora,serão ortogonais.

Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares

de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado,somente serão identificadas, com o uso de métodos descritivos,mas por hora poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas.

PERPENDICULARES

(s)

(r)

r

sVG

Em épura, isto significa que, se uma projeção de umareta forma um ângulo reto com a projeção em VG deuma outra, as retas serão perpendiculares seconcorrentes...

31




PARALELAS COICIDENTES CONCORRENTES PERPENDICULARES

PP PP

PP

PPPV PV PV PV

PH PH PH PH

(a)

(a) (a)

(b)(b)

(b)(a)

a" a"a"

a"

b" b"

b"b"(b)

a" b"

PARALELAS

PPPV

PH

(a)

(b)

a" b"PV

PARALELAS

PPPV

PH

(a)

(b) a"

b"

ORTOGONAIS

PPPV

PH

(b)(a)

PP

a"

b"

REVERSAS

PV

PH

(b)

(b)

(a)

4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL

No estudo das posições relativas entre duas retas de perfil, iremos recorrer ao uso da terceiraprojeção, também conhecida por vista lateral. Podemos encontrá-las em duas situações genéricas:quando possuírem a mesma abcissa e quando as abcissas forem distintas.

a - Duas Retas de Perfil em uma mesma abcissa.POSSUINDO A MESMA ABCISSA JAMAIS SERÃO REVERSAS OU ORTOGONAIS.

b - Duas Retas de Perfil em abcissas diferentes

POSSUINDO ABCISSAS DIFERENTES, JAMAIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULARES.

projeções de perfilparalelas

projeções de perfilcoincidentes

projeções de perfilconcorrentes

projeções de perfilperpendiculares

projeções de perfilparalelas

projeções de perfilcoincidentes

projeções de perfilconcorrentes

projeções de perfilperpendiculares

32




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da posiçãorelativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser:paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retasperpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversasrespectivamente.

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLOS:

I II III

IV V VI

concorrentes

paralelas

(1º caso)

(2º caso)

I

II

III

IV

V


As retas dadas pelos pontos (V)(A) e (V)(B) são

As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(D) são

As retas dadas pelos pontos (A)(C) e (B)(D) são

As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(V) são

As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (V)(B) são

As retas dadas pelos pontos (V)(G) e (C)(B) são

Evidencie com caneta ou lápis coloridocada dupla de retas (segmentos) nas épurasreduzidas.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência B)

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.

33




A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da posiçãorelativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser:paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retasperpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversasrespectivamente.

Evidencie com caneta ou lápis coloridocada dupla de retas (segmentos) nas épurasreduzidas.

I

II

III

IV

V


As retas dadas pelos pontos (A)(4) e (D)(1) são

As retas dadas pelos pontos (4)(B) e (A)(C) são

As retas dadas pelos pontos (G)(1) e (D)(4) são

As retas dadas pelos pontos (D)(2) e (4)(B) são

As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (2)(3) são

As retas dadas pelos pontos (C)(3) e (B)(2) são

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência B)

I II III

IV V VI

34




(A)

(B)(C)

PH

PVPP

TRÊS PONTOS DISTINTOSNÃO COLINEARES

(A)

PH

PVPP

UMA RETA E UM PONTOEXTERIOR A ELA

PH

PVPP

DUAS RETASCONCORRENTES

PH

PVPP

DUAS RETASPARALELAS

PH

PVPP

UMA RETA EUMA DIREÇÃO

5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS

Na geometria elementar temos planos definidos por:

5. ESTUDO DOS PLANOS

Assim como as retas, os planos podem ocupar várias posições em relação aos planos deprojeção, recebendo por isso nomes diferentes.

A GD representa os planos, além dos modos fornecidos pela geometria elementar, pelos seustraços. Traço de plano é a reta resultante da interseção deste em outro plano.

35




TRAÇO HORIZONTAL TRAÇO VERTICAL TRAÇO DE PERFIL

Q'

Qo

Q

O traço de um plano sobre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, sendodenominada de TRAÇO HORIZONTAL. O traço de um plano sobre o plano vertical de projeção é uma reta de afastamento nulo, sendodenominada de TRAÇO VERTICAL. Denominaremos de TRAÇO DE PERFIL ou TERCEIRO TRAÇO, a interseção do planocom o plano de perfil. Este traço será uma reta de abcissa constante.

Estaremos adotando as iniciais dos nomes genéricos dados aos planos na língua portuguesa.Utilizando por exemplo o plano (Q) temos:

As posições dos traços de um plano em relação à LT são variáveis, isto é, podem os traços

ocupar posições diferentes, conforme a situação do plano, mas quando um plano for oblíquo à LT,determinará sobre ela um único ponto de concorrência. Deste ponto nascem os traços horizontal evertical.

O valor da abcissa deste ponto, permitedeterminar os traços dos planos à partir doconhecimento da angulação destes com a LT. Este ponto recebe a notação em épura de Qopara um plano (Q), To para um plano (T) e assim pordiante. Lembre-se que ele possui afastamento e cota

nulos, mas, sua abcissa pode assumir diferentesvalores.

36




PARALELOS COINCIDENTES

b) - quando oblíquos:

CONCORRENTES PERPENDICULARES

Na GD quando um plano está perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado deplano projetante. Esta particularidade, se bem entendida, facilitará em muito o estudo dos planos. Antes de classificarmos os planos segundo suas posições no triedro, detalharemos melhor ascaracterísticas dos planos projetantes. Denominaremos o traço (interseção) resultante do perpendicularismo entre dois planos de

traço projetante. (Um dos dois é plano de projeção).

Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre oplano de projeção, têm suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização dasprojeções dos elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio,mas, toda infinita superfície plana.

Quando um plano não é projetante, seu traço traduz tão somente sua interseçãocom o plano de projeção, portanto todos os demais elementos do plano projetam-se foradele.

Então podemos concluir que:

O traço projetante recebe sobre si todas as projeções de mesmonome, dos elementos pertencentes ao plano. Tome isto como regra.

Isto significa que: - o traço horizontal, quando projetante, recebe as projeções horizontais dos elementospertencentes ao plano; - o traço vertical, quando projetante, recebe as projeções verticais dos elementospertencentes ao plano; e

- o traço de perfil, quando projetante, recebe as projeções de perfil dos elementospertencentes ao plano.

Um plano em relação a outro plano poderá estar oblíquo ou equidistante.

a) - quando equidistantes:

5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS

37




PORÇÃO ÚTILDO PLANO NO

1º DIEDRO

PH

PV PP

PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL

PH

PV PP

PH

PV PP

PLANO FRONTAL

PHPH

PPPV

PLANO QUALQUER

PLANO DE TOPO

PH

PV PP

PLANO PARALELO À LT

PH

PV PP

PLANO VERTICAL

PH

PV PP

PLANO QUE PASSA PELA LT

PV PP

PH

5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS

Os planos são ilimitados, o que permite que os mesmosalcancem mais de um diedro. Contudo, priorizaremos o estudodos planos às suas porções úteis no primeiro diedro, ou seja,todos os pontos que possuam afastamentos e cotas iguais ousuperiores a zero.

Analisados em relação aos três planos de projeção, os planos podem ser classificados emtrês grupos.

Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, econsequentemente, oblíquos aos outros dois.

Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, econsequentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.

Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção,consequentemente, jamais será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.

O entendimento do conceito de plano projetante éestendido as figuras planas no espaço. Sempre que uma figuraplana estiver perpendicular a um plano sua projeção sobre ele,será um segmento de linha reta.

38




a - PLANO HORIZONTAL ou DE NÍVEL (PLANO PROJETANTE NO PV E NO PP)

b - PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PP)

c - PLANO DE PERFIL (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PV)

PH

PV PP

(P)

P

P'

Po

P'

P

Po

PH

PV PP

(F)

F

F"

F

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- paralelo ao PV; e- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- perpendicular ao PV; e

- paralelo ao PP.

PH

PV PP

(L)

L' L''L'

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- paralelo ao PH;- perpendicular ao PV; e- perpendicular ao PP.

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A(DIEDRO)

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A(DIEDRO):possui apenas o traço horizontal paralelo à LT

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- os t raços ho r i zon ta l e ve r t i ca l sãoperpendiculares à LT.

L''

F''

39




PV PP

(T)To

T' T"

T

PH

PV PP(Z)

Z

Z"Z'

Zo

PH

PV PP

(K)

K

K'

K''

K"

K'

K

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- oblíquo ao PV; e- oblíquo ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e

- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- oblíquo ao PH;- perpendicular ao PV; e- oblíquo ao PP.

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A(DIEDRO):- traço vertical oblíquo à LT; e

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A(DIEDRO)- traço horizontal oblíquo à LT; e- traço vertical perpendicular à LT.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- traços horizontal e vertical paralelos à LT.

d - PLANO DE TOPO (PLANO PROJETANTE NO PV)

e - PLANO VERTICAL (PLANO PROJETANTE NO PH)

f - PLANO PARALELO A LT (PLANO PROJETANTE NO PP)

Z'

Zo

Z''

T

To

T'T''

40




PV PP

PH

X X'

X" (A)

A'

A

(X)

X"

X X'

A’ A”

A

PHPV

PPPV

(Q)

Q"Q'

QQo

Q'

Q

Qo

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e- oblíquo ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:

- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e- perpendicular ao PP.

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A

(DIEDRO)- traços horizontal e vertical coincidentes na LT.

C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A(DIEDRO)

h - PLANO QUALQUER (ÚNICO PLANO NÃO PROJETANTE)

g - PLANO QUE PASSA PELA LT (PLANO PROJETANTE NO PP)

Este plano não consegue ser definido por seus traços no diedro, pois para os mesmos traçospode o plano assumir diferentes angulações com o PV e o PH, necessitando portanto, de um pontoque o fixe no espaço. No exemplo abaixo o ponto (A) é o ponto auxiliar.

Q''

41




PH

PV PP

( )t

(v)(p)

PH

PV PP

(t)

(f)

(q)

PH

PV PP

(fh)

(h)

(t)

PH

PV PP

(fh)

(v)

( )f

PH

PV PP(fh)

(p)

(q)

PH

PV PP(v)

(q)

(h)

PHPV

PPPV

(q)

(f)(p)

(h)

PV PP

PH

(fh)

q)(

p)(

Antes de analisarmos em épura, a pertinência das retas aos planos, apresentaremos os tiposde retas genéricas que cada plano pode conter. Atente para o fato de que o plano qualquer é o únicoplano que contém quatro tipos diferentes de retas, enquanto os demais, apenas três. Lembre-se queos traços dos planos (que são retas), já revelam tipos de retas pertencentes ao plano.

5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS

PLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL

PLANO VERTICAL PLANO PARALELO À LTPLANO DE TOPO

PLANO QUALQUERPLANO QUE PASSA PELA LT

h- horizontal f - frontal v - vertical t - de topo fh - fronto-horizontal p - de perfil q - qualquer

Abreviações dos nomes das retas:

42




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome do planodefinido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares noespaço determinam um Plano.


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLOS:

I II III

IV V VI

I

II

III

IV

V


Evidencie com caneta ou lápis coloridocada triângulo formado pelas retas (segmentos)

nas épuras reduzidas.

Os pontos (V),(C) e (B) determinam um plano

Os pontos (A),(B) e (C) determinam um plano

Os pontos (A),(G) e (V) determinam um plano

Os pontos (V),(A) e (D) determinam um plano

Os pontos (V),(D) e (B) determinam um plano

Os pontos (A),(B) e (V) determinam um plano

de TOPO

VERTICAL

PARALELO a LT

FIGURA - FIGURA - LINHA



A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Figuras Planas doGrupo 1



PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - FIGURA

VG

QUADRO SÍNTESE

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e D)

Exemplos:

43




Analise o hexaedro (cubo) representado no triedro e preencha os espaços com o nome doplano definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares noespaço determinam um Plano.

I

II

III

IV

V


Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Os pontos (A),(2) e (4) determinam um plano

Os pontos (4),(B) e (2) determinam um plano

Os pontos (A),(D) e (2) determinam um plano

Os pontos (1),(3) e (C) determinam um plano

Os pontos (D),(1) e (3) determinam um plano

Os pontos (D),(1) e (G) determinam um plano

I II III

IV V VI

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Evidencie com caneta ou lápis coloridocada triângulo formado pelas retas (segmentos)

nas épuras reduzidas.




PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - FIGURA

VG

QUADRO SÍNTESE

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e D)

44




x’

x

s’ s’

s s

r’ r’

r r

A' A'

A A

1’

1

2’

2

PH

PV

(s)(r)

(x)

s’ s’

x’

x

s s

r’ r’

r r

A' A'

A A

1’

1PH

PV

(s)

(r)(x)

5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA

De maneira prática uma reta pertence a um plano quando possui dois pontos distintos sobreele. Apresentaremos cinco condições para uma reta pertencer a um plano para analise em épura.

As condições a e b não requerem a utilização dos traços do plano.

a - Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano

b - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do mesmo plano estácontida no plano.

45




PV

PH

Qo

Q(H)

)(V

(s)

Q’

H'

A'

s'

s

A

B'Q'

Q

Qo

B

V'

H

V

PV

PH

Qo

Q

( )A

(V) (H)

(s)

Q'

PV

PH

Qo

Q(H)

(s)

Q'

Q'

Q

Qo

s'

A’

B'

B

H'

As

H

As condições c e d utilizam-se dos traços do planoc - Toda reta que tem seus traços (V) e (H) distintos, sobre os traços de mesmo nome do plano,está contida no plano.

Quando uma reta (qualquer ou perfil) possuir osdois traços, e estes forem coincidentes (isto só acontecena LT), embora sejam nominalmente dois pontos seconstituem geometricamente em um único ponto, o quenão é suficiente para determinar a pertinência da retasobre o plano. Neste caso, faz-se necessário a utilização de um

ponto auxiliar sobre o plano.

d - Toda reta que se apóia em um dos traços do plano e é paralela ao outro, está contida no plano.

46




PLANO PARALELO À LT

PROJETANTE NO PP

K"

K’

K

A'

H’ H”

V”

s'

s

AH

B'

V’

B

V

s”

A”

B"

K"K'

KH'

(s)s' s"

s

H"

V"

V

H( )H

V'( )V

PPPV

PH

(K)

B

a'

a

A'

A

B'

T'

T

To

B

r

A

r' A' B'

T'

T

To

PLANO DE TOPO

PH

PV PP

(a)

a

T

To

a'T'

e - CASOS IMEDIATOS (PLANOS PROJETANTES) - Toda reta (neste caso válido paraqualquer ente geométrico possível de pertencer a um plano) que possui sua projeção sobre o traçoprojetante de mesmo nome, pertence ao plano. (Ver páginas 34)

O único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ele está fora desta análise.

Os demais planos poderão ser analisados no diedro, exceto os planos paralelos à LT e osplanos que passam pela LT, que deverão ser analisados no triedro (uso da terceira projeção).

É importante salientar que nesta condição de análise, não se necessita dos traços da reta,mas quando determinados obedecerão às condições respectivas expostas anteriormente.

A seguir apresentaremos através da perspectiva e da épura as retas pertencentes acada plano, observe que os traços das retas pertencem aos traços de mesmo nome do plano.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência E)

PROJETANTE NO PV

47




PPPV

PH

L'

(L)L"

(s)

s"

s

"V

V

s '

V '

( V )

L'L"

(s)

s's"

s

PPPV

PH

(L)

PLANO HORIZONTALreta de topo

PLANO HORIZONTALreta fronto-horizontal

PLANO HORIZONTAL / reta de topo

L'

B

A

s

V

L"s" A" B"s' A' B' V' V" VG

VG

5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL

A's'

s A

B'L' L"

B VG

VG

PLANO HOR IZONTAL / reta fronto-horizontal

s" A" B"

48




L"L'(s)

s' s"

s

V

V'(V) PPPV

PH

(L)

PLANO HORIZONTALreta horizontal

(s)

s

s's"

PPPV

PHF

F"

(F)

PLANO FRONTALreta fronto-horizontal

A's'

s A

B'

F"

FB

VG

VG

PLANO FR ONTAL / reta fronto-horizontal

s” A" B"

5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE

A's'

s

s" A"

A

B'L' L"B"

B

VG

V' V"

V

PLANO HORIZONTAL / reta horizontal

RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL (Continuação)

49




PPPV

PH

(s)

F

F"

(F)

s'

s

s"

H(H)

s'

s"

PPPV

PH

F

F"

s

H(H)

H'

(F) (s)

PLANO FRONTALreta vertical

PLANOFRONTALreta frontal

PLANO FRONTAL / reta vertical

F

F''

B' B"

A' A"

s' s"

H"

s A B H

VG VG

H'

PLANO FRONTAL / reta frontal

A'

s'

s A

B'

F"

RB

VG

H'

H

s"

A"

B"

H"

RETAS DO PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (Continuação)

50




(s)

s

s' s" PPPV

PH

V"

Po

P'

P

V

V'(V)

(P)

PLANO DE PERFILreta vertical

PLANO DE PERFILreta de topo

P'

P

Po

VG VG

s A B H

H'

A' A”

s"

B' B”

H"

PLANO DE PERFIL / reta vertical

s’

5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL

PLANO DE PERFIL / reta de topo

B

A

s

V

s" A" B"s' A' B' V' V" VG

VG

P'

Po

P

H(H)

(s)

s

PPPV

PH

H"

P'

P

(P)

s"s'

PoH'

51




(s)

s

s' s"

PPPV

PH

H" V"

Po

P'

P

H'H(H)

VV'(V)

(P)

P"

(s)

s' s"

s

Po

P'

P

H"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH

(P)

PLANO DE PERFILreta de perfil perpendicular

a linha de terra

PLANO DE PERFILreta de perfil ortogonal

a linha de terra

P'

P

Po

A'

s'

s

A

PLANO DE PERFIL / reta de perfil perp. a LT

s"

A"

V" H"V V' H H'

VG

A'H"

V"

s'

s

A

H

B'

V'

B

PLANO DE PERFIL / reta de perfil ort. a LT

A"V H'

s"

B"

VG

Po

P'

P

RETAS DO PLANO DE PERFIL(Continuação)

52




Z

Z'

Z"

Zo

(Z)(s)s' s"

H"H'

s H(H)

PPPV

PH

Z

Z' V"

Z"

(Z)

(s)

s' s"

s

ZoV

V'(V)

PPPV

PH

PLANO VERTICALreta vertical

PLANO VERTICALreta horizontal

A' s'

s

s" A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

V' V"

V

PLANO VERTICAL / reta horizontal

VG

VG VG

s A B H

H'

A' A"

s"

B' B"

Z'

Z

Zo

Z"

H"

PLANO VERTICAL / reta vertical

s'

5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL

53




H'

(s)s'

s"

sZo

Z'

Z"

(Z)

Z

H"

V"

V

H(H)

V'(V)

PPPV

PH

Z

Z'

Z"

(Z)(s)s'

s"

s

Zo

H "

V ' '

PPPV

PH

H'H(H)

VV'(V)

PLANO VERTICALreta qualquer reversa

a linha de terra

PLANO VERTICALreta qualquer concorrente

a linha de terra

A'

s

s’ s" A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

PLANO VERTICAL / reta qualquer conc. a LT

V V’ H H’

V” H”

H'

A'

s

s"

A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO VERTICAL / reta qualquer reversa a LT

s'

RETAS DO PLANO VERTICAL (Continuação)

54




T ''

T

To

T'

(s)

s'

s"

s

H"H'

H(H)

PPPV

PH

(T)

T

To

T'

T ''

(s)

s'

s "

s

V "

V

(T)

PLANO DE TOPOreta de topo

PLANO DE TOPOreta frontal

VG

VG

T

To

T"

s" A" B"

B

PLANO DE TOPO / reta de topo

A

s

T'

V"

V

s' A' B' V'

5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO

VG

T

To

T"

s"

A"

B"

B

H"

PLANO DE TOPO / reta frontal

A sH

T'

s'

A'

B'

H'

55




T

To

T 'T ''H "

V "

(s)s' s"

s

PPPV

PHH'H(H)VV'(V)

(T)

PLANO DE TOPOreta qualquer reversa

a linha de terra

PLANO DE TOPOreta qualquer concorrente

a linha de terra

H'

A'

s'

s

s"

A"

A

B'T'

T

To

T"

B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO DE TOPO / reta qualquer reversa a LT

A'

s'

s

s"

A"

A

B'

T'

T

To

T"

B"

B

PLANO D E TOPO / reta qualquer conc. A LT

V V’ H H’ V” H”

T ''

T

To

'TV"

V (s)

s' s"

s H"H'

H(H)

V'

PPPV

PH

(T)

(V)

RETAS DO PLANO DE TOPO (Continuação)

56




K"

K'

(K)

K

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

K"K'

KH'

(s)s' s"

s

H"

V"

V

H(H)

V'(V)

PPPV

PH

(K)

PLANO PARALELO À LTreta fronto-horizontal

PLANO PARALELO À LTreta qualquer reversa

a linha de terra

5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

PV

PH

PP

A'H’ H”

V”

s'

s

AH

B'

V’

K"K'

K

B

V

PLANO PARALELO A LT / reta qualquer reversa a LT

s”

A”

B"

PV

PH

PP

A' s'

s A

B'

K"

K’

K

BVG

VG

PLANO PARALELO A LT / reta fronto-horizontal

s” A" B"

57




K'

K"

K

(s)

s' s"

s

H"

V"

H(H)

H'V'

V '

( V )

PPPV

PH

(K)

PLANO PARALELO À LTreta de perfil ortogonal

a linha de terra

X"

X X ' (s)

s's"

s

(X)

PPPV

PH

PLANO QUE PASSA PELA L.T.reta fronto-horizontal

A' s'

s A

B'

X"

BVG

VG

PLANO QUE PASSA PELA LT / reta fronto-horizontalponto auxiliar (M)

M’ M"

M

s" A" B"

X X'

5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

PV

PH

PP

A'

H''

V''

s'

s

A

H

B'

V'

K"K'

K

B

PLANO PARALELO A LT / reta de perfil ort. a LT

s''

A''

B"

V H'

VG

RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (Continuação)

Faz-se necessário o uso de

uma reta e um ponto auxiliar

(M)

M'

M

M"

58




X"

X X '

(X)

(s)

s's"

s

H" V"

PPPV

PH

H'H(H)VV'(V)

X"

X X '

H "

V "

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

H'H(H)

VV'(V)

(X)

PLANO QUE PASSA PELA LTreta de perfil

perpendicular a linha de terra

PLANO QUE PASSA PELA LTreta qualquer concorrente

a linha de terra

s'

X"M'

M

X X'

A'

s

s"

A"

A

PLANO PARALELO A LT / reta qualquer conc. A LT

V V' H H'

V" H"

M"

A'

s'

s

A

X"

PLANO QUE PASSA PELA LT / reta de perfil perp. a ltponto auxiliar (M)

s"

A"

M’ M"

M

V" H"

V V’ H H’VG

X X'



RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (Continuação)



59




Q'

Q

H'

(s)

s'

s"

sQoH"

H(H)

PPPV

PH

(Q)

PLANO QUALQUERreta frontal

PLANO QUALQUERreta horizontal

A's'

s

s" A"

A

B'

Q'

Q

Qo

Q"

B"

BVG

V' V"

V

PLANO QUALQUER / reta horizontal

Q'

Q

Qo

Q"

s' s"

A" A’

B'

VG

B"

B

H"H'

PLANO QUALQUER / reta frontal

As

H

5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER

Q'

Q

PPPV

PH

(s)

s' s"

sQo

Q"V"

V

V'

(Q)

(V)

No plano Qualquer todas as retas horizontais são paralelas ao traço horizontal do plano.

No plano Qualquer todas as retas frontais são paralelas ao traço vertical do plano.

60




Qo

Q'

Q"

Q

(Q)

(s)

s' s"

s H"

V"

H(H)

H'

V

V'(V)

PPPV

PH

Qo

Q'Q"

Q

(Q)

(s)

s' s"

sH"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH

PLANO QUALQUERreta de perfil ortogonal

a linha de terra

PLANO QUALQUERreta qualquer reversa

a linha de terra

A'

s'

s

s"

A"

VG

A

B'

Q'

Q

Qo

Q"

B"

B

H

V' V"

H"V H'

PLANO QUAL QUER / reta de perfil ort. à LT

H'

A'

s'

s

s"

A"

A

B'Q'

Q

Qo

Q"B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO QUAL QUER / reta qualquer reversa a LT

RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)

No plano Qualquer todas as retas de perfil são paralelas ao traço de perfil do plano.

61




H'H(H) VV'(V)

PPPV

PH

s'

s"

Qo

Q'

Q"

Q

H" V"

s (Q)

(s)

PLANO QUALQUERreta qualquer concorrente

a linha de terra

Quando uma reta qualquer possuir os dois traços coincidentes (isto só acontece na LT),embora nominalmente sejam dois pontos, geometricamente se constituem em um único ponto, o quenão é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Assim, faz-se necessária autilização de um ponto auxiliar sobre o plano (P) que por sua vez necessita de uma reta auxiliar(preferencialmente as retas horizontal e frontal do plano).

Faz-se necessário o uso deuma reta e um ponto auxiliar

P'

s'

a' a"

a

s

s"

P"

P

Q'

Q

Q"

Va

V'a V"a

PLANO QUALQ UER / reta qualquer conc. a LT(reta horizontal auxiliar)

Qo V" H"

V V' H H'

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência E)

RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)

62




5.7 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências A e E)

Lembre-se dos conceitos de Planos Projetantes

63




5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)

São as retas de um plano que formam o maior ângulo possível com os planos Horizontal e/ouVertical de projeção respectivamente, ou seja, formam o mesmo ângulo que o plano, ao qualpertencem, forma com o PV e ou com o PH. Sendo a reta (i) o traço (interseção) entre os planos genéricos (A) e (B), que formam entre sium ângulo , podemos fazer as seguintes considerações. (Tomemos = 45º, por exemplo)

(s)

(i)

(A)

(B)

(t)

(u)

(t)

(u)

(s)

O plano (A) pode conter infinitas retas sobre si. Estas retas poderão formar com o plano (B)diferentes ângulos que podem variar de 0º a 45º (neste caso o valor de =45º).

A reta (s), perpendicular ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo de 45º. A reta (t), oblíqua ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo superior a 0º einferior a 45º. A reta (u), paralela ao traço entre os planos, forma um ângulo igual a 0º com o plano (B),estando, portanto equidistante em relação ao referido plano.

Observando a reta (s), podemos concluir que toda reta pertencente ao plano (A) que formarum ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo possível com o plano (B), que é o valor de alfa.

Se esta análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o Plano Horizontal deprojeção (PH), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço

horizontal também formará o maior ângulo possível com o PH. Estas retas são denominadas deRetas de Máximo Declive.

(s)

PH

T R AÇ O H O R I Z O N T AL

RETA DE MÁXIMO DECLIVE RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO

(s)

PV

T R A Ç O

V E R T I C A L

Em relação aos planos que possuem traços sobre o Plano Vertical de projeção (PV), podemosafirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço vertical também formará omaior ângulo possível com o PV. Estas retas são denominadas de Retas de Máxima Inclinação

64




Todo este raciocínio exemplificado através de planos não projetantes é extensivo aos planosprojetantes em relação ao PH e PV (Os planos projetantes são aqueles perpendiculares aos planosde projeção). O fato de o plano ser ou não ser projetante interfere apenas na representação em épura. Observe que nos planos NÃO PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço do plano gerasobre o PH ou PV, uma projeção também perpendicular ao traço. Já nos planos PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular ao PHou PV, gerando assim, uma projeção pontual sobre o traço correspondente.

Vejamos estas retas de MD e MI no plano Qualquer.

Em épura a reta de máximo declive de planos não projetantes no PH, é caracterizada porpossuir sua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal.

Na página seguinte, apresentamos um quadro síntese com todos os Planos e suas

respectivas retas de máximo declive e/ou máxima inclinação.

H'

A'

s

A

Q'

Q

Qo

B

V

H(H)

V’(V)

s'

B'

9 0 º

H'

A'

s

A

Q'

Q

B

V

H(H)

V’(V)

s'

B'

Qo

9 0 º

(s) (s)

(A)

(A)

(s)(s)

(A)

(A)

PH

PV



T R A Ç O

V E R T I

C A L

T R A Ç O

V E R T I

C A L

PV

PH

65




Se soltarmos uma moeda sobre um plano, o percurso da mesma será correspondente ao deuma reta de MD. A reta de MD também determina o ângulo que o Plano (X) forma com o PH.

O ângulo que a reta (r) formacom o plano PH é menor do

que o ângulo que (X) formacom o PH.

PH

(X)

(s)

PH

(X)

(r)

s

Q'

Q

Qo

s'

9 0 º

s

s'

9 0 º

A'

B'

C'

A B

C

O ângulo que a reta (s) formacom o plano PH é igual ao

ângulo que (X) forma com o PH.

O ângulo que uma reta de MD forma com o PH é o mesmo formado pelo plano (X) com o PH.Se esta reta for uma qualquer será necessário o uso de um método descritivo para o obtenção de suaVG. As retas de MD e MI podem ser determinadas sem a necessidade de recorrer aos traços doPlano. Veja os desenhos abaixo. Uma reta de MD de um plano qualquer definido por seus traços e

outro definido por uma figura triangular. Veja as observações no quadro da página anterior.

O triângulo (ABC) é uma porção de plano Qualquer. O lado (AC) é uma reta horizontal,portanto, é paralela ao traço do horizontal do Plano. Se apoiarmos uma reta sobre o triângulo deforma que a projeção horizontal s seja perpendicular a projeção horizontal AC, podemos afirmar que(1B) é uma reta de MD da figura.

1'

1

1'

12

2'

s'

s

s'

s

AB

A

C

C' A'

B' B'

A' C'

B

C

A figura acima é um telhado de quatro águas. Osegmento (12) é a reta de MD. Por ser uma retafrontal a projeção vertical expressa a VG doângulo com o PH.

1 2

1'

2'

em VG

não é a VG do ângulo

A figura acima é o mesmo telhado de quatro águasem uma posição que o triângulo (ABC) é um planoQualquer. O segmento (12) é a reta de MD. Por seruma reta qualquer a projeção vertical não expressa a VG do ângulo com o PH.

67




6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

S ó l i d o s

G e o m é t r i c o s

P o l i e d r o s

Regulares

Tetraedro (4 Faces)

Hexaedro (6 Faces)Octaedro (8 Faces)Dudecaedro (12 Faces)Icosaedro (20 Faces)

Prisma

Regular

Regular

Reto

Reto

Reto

Reta

Oblíquo

Oblíquo

Oblíquo

OblíquaPirâmide

Irregulares

Cone

Cilindro

Esfera

S ó

l i d o s d e

R e

v o l u ç ã o

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

68




Um feixe de três semi-retas não coplanares partem de um ponto (P) no espaço. Cada duplasucessiva de semi-retas determina o que denominamos "Ângulo Sólido", onde temos = ângulo daface e = ângulo diedro.

( )P

( )r

( )s

( )t

11

1 = Ângulo entre (Pr) e (Ps)2

3

= Ângulo entre (Ps) e (Pt)

= Ângulo entre (Pt) e (Pr)

1 = Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pr)

2

3

= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Ps)

= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pt)

Os ângulos sólidos são formas abertasilimitadas. Se o feixe for composto por quatrodireções o ângulo sólido é denominado ânguloquadraedro. Se forem cinco, ângulo pentaedroe assim sucessivamente.

No exemplo abaixo o ângulo sólido édenominado ângulo triedro, pois é

formado por três direções.

(P)

( )y

( )w

( )z

( )x

( )v

A interseção do ângulo sólido com um plano determinará polígonos côncavos ou convexos

classificando assim os ângulos sólidos.

Ângulos das faces iguais entre si determinam ângulos diedros iguais e consequentemente oângulo sólido é regular e é convexo. O ângulo sólido possui uma direção denominada eixo que formaângulos iguais com cada semi-reta do feixe. Quando o eixo é interceptado por um planoperpendicular a ele, determinará um polígono regular.

6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS

69




QUADRADO

A

0 , 7 0

7 1 A

A / 2

A L T U

R A

D A F A

C E

A L T U R A

D A

F A C E

A L T U R A

D A F A

C E

A / 2

0 , 8 6 6 0

A

0 , 5

7 7 3 A

0 , 8

6 6 0 A

A

0 , 8

1 6 7 A

A L T U R A

D A F A C E

Ângulo Central Ângulo DiedroRaio CircunsferaRaio InsferaRaio MeiasferaVolume Área do Envoltório

109º 28'70º 32'0,6124 A0,2041 A0,3536 A

30,1179 A21,7321 A

6.2.1 TETRAEDRO

6.2 POLIEDROS REGULARES

Poliedro é todo sólido limitado por polígonos planos. Pitágoras e Platão desenvolveramcálculos sobre os poliedros regulares, e em seguida, Euclides prova que os poliedrosregulares são apenas cinco, e estuda a inscrição deles em uma esfera.

Poliedro composto de quatro faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO

PLANIFICAÇÃO

h hh

(A)

(B)

(C)

(V)

(A)

(B)

(C)

(V)

h

h

DODECAEDRO (12) ICOSAEDRO (20)OCTAEDRO (8)HEXAEDRO (6)TETRAEDRO (4)

70




Poliedro composto de seis faces iguais ao QUADRADO.

PLANIFICAÇÃO

Ângulo Central Ângulo DiedroRaio CircunsferaRaio Insfera

Raio MeiasferaVolume Área do Envoltório

70º 32'90º 00'0,8660 A0,5 A

0,7071 A3 A26A

6.2.2 HEXAEDRO

PLANIFICAÇÃO

Poliedro composto de oito faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO. Pode sercompreendido como sendo duas pirâmides de base quadrada unidas pela base.

6.2.3 OCTAEDRO

1,4142 A

A

A

QUADRADO

CIRCUNSFERA

MEIASFERA

INSFERA

HEXÁGONOREGULAR

A = Aresta

INSFERAMEIASFERA CIRCUNSFERA


90º109º 28'0,7071 A0,4082 A0,5 A

3 0,4714 A23,4641 A

A

A

D i a g o n a l d o

Q

u a d r a d o

D

i a g o n

a l d o

Q u a d

r a d o

CIRCUNSFERA

MEIASFERA

INSFERA

A = Aresta

Cubo apoiado peladiagonal do sólido

71




DIAGONAL FACE2,6185 A

A = Aresta

0 , 5

2 5 7 A

0 , 8

5 0 7 A

0 , 8

5 0 7 A

1,6180 A

A

0 , 8

5 0 7 A

0 , 6

8 8 2 A

A p ó t e m a

R a i o

C i r c u n s .

0

, 5 8 7 8 A

0 , 9

5 1 1 A

A

1, 3 7 6 6 A

DECÁGONOREGULAR

1, 3 7 6 6 A


41º 49'116º 34'1,4013 A1,1135 A1,3092 A

37,6631 A220,6457 A

PLANIFICAÇÃO

6.2.4 DODECAEDRO

72




0,3091 A

A

0, 6 8 8 2 A

0, 8 5 0 7 A

0,3091 A

A / 2 A / 2

1,6182 A

DECÁGONOREGULAR

0 , 5

2 5

7 A

0 , 8

5 0 9 A

0 , 5

2 5 7 A


63º 26'138º 11'0,9511 A0,7558 A0,8090 A

32,1817 A28,6603 A

6.2.5 ICOSAEDRO

Retângulo Áureo

Triedro deRetângulos Áureos

A = Aresta

As ligações dos vérticesgeram o Icosaedro

Curiosidade

PLANIFICAÇÃO

73




PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO PRISMA REGULAR

ALÉM DE RETO POSSUI BASEPOLIGONAL REGULAR

ARESTAS LATERAISPERPENDICULARES À BASE

ARESTAS LATERAISOBLÍQUAS À BASE

ORTOEDRO - É o paralelepípedoque possui suas faces iguais aquadrados e retângulos. Os ângulosdiedros são sempre retos.

ROMBOEDRO - É o paralelepípedoque possui as suas faces iguais aolosango.

T R O N C O D E P R I S M A -Quando um prisma é seccionadopor um plano não paralelo a base

PIRÂMIDE - Poliedro irregular tendo por base um polígono e arestas laterais convergentesà um vértice que é o ápce do sólido, formando faces triangulares..

PIRÂMIDE RETA PIRÂMIDE OBLÍQUA PIRÂMIDE REGULAR

ALÉM DE RETA POS SUIBASE POLIGONAL REGULAR

O EIXO ÉPERPENDICULAR À BASE

O EIXO ÉOBLÍQUO À BASE

TRONCO DE PIRÂMIDE -Quando uma pirâmide é secionadas de talforma a perder o vértice (ápice) podendopossuir bases paralelas ou não conforme oplano secante

Eixo - linha que une o centro da base ao ápce da pirâmide

h e i x oeixo=h

PARALELEPÍPEDO - É o prisma que tem paralelogramos como base. Assim sendo, todas as suas

faces são paralelogramos, possuindo portanto, 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Por possuir faces paralelasduas a duas, qualquer face pode ser tomada como base.

PRISMA - Poliedro irregular formado por duas bases poligonais, paralelas e iguais epor faces laterais que são paralelogramos.

6.3 POLIEDROS IRREGULARES

74




6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

São sólidos gerados através da rotação de uma figura plana qualquer em torno de um eixo imaginário.

Cilindro - Sólido de revolução gerado através da rotação de um retângulo em torno de um eixo coincidente comum de seus lados.

CILINDRO RETO

GERATRIZESPERPENDICULARES

À BASE

CILINDRO OBLÍQUO

GERATRIZESOBLÍQUAS

À BASE

PLANIFICAÇÃO

O cilindro é formado por duas bases circulares paralelas e uma superfície cilíndrica. Sua planificação éportanto dois círculos (bases) e um retângulo onde um dos lados é a altura do sólido (geratriz) e o outro lado é aretificação da base (circunferência retificada = 3 diâmetro + 1/7 do diâmetro)

D

D

Sólidos de revolução Regulares

3D+1/7D ou 2r

h

D D 1/7D

D = DIÂMETRO

geratriz

diretriz

geratriz

diretriz

75




Cone - Sólido de revolução gerado através da rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixocoincidente com um de seus catetos.

geratriz

diretriz

Planificação

O cone é formado por uma base circular e uma superfície cônica. Sua planificação é portanto um círculo(base) e um triângulo mistilíneo onde dois dos lados são a lateral do sólido (geratriz) e o outro lado é um arco decircunferência que possui como comprimento o perímetro da base e como raio a geratriz.

CONE RETO

O EIXO ÉPERPENDICULAR

À BASE

Esfera - Sólido de revolução gerado através da rotação de uma semi-circunferência em torno de um eixocoincidente com o diâmetro.

geratriz

diretriz

CONE OBLÍQUO

O EIXO ÉOBLÍQUO À BASE

ARAIO DA BASE

r RAIO = GERATRIZ

g

B = .

=.

=.

76




(V) ( ? ; ? ; 6)

(A) (-7 ; 4 ; 1)

(B) (-5 ; ? ; 1)

(C) (-1 ; ? ; 1)

(D) (-3 ; 1 ; 1)

Represente no DIEDRO as projeções da PIRÂMIDE RETA DE BASE RETANGULARconhecendo-se as coordenadas de seus vértices.

6.4 EXERCÍCIOS

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

0

Anotações:

77




Nomeie os pontos projetados em Épura de acordo com a perspectiva.

(A)

(B)

(V)

(C)(D)

(E)

(F)

(A)(B)

(V)

(C)

(D)

(E)

(F)


PERSPECTIVA ARAMADA

PERSPECTIVA ARAMADAUtilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

78




(A)

(B)

(V)

(C)(D)(E)

(F)


PERSPECTIVA ARAMADA

30º

30º

Folha A4

Utilize folhas A4 para representar no triedro os vários sólidos cujas maquetes foram montadas.

79




45º

45º

30º

30º


80




30º

30º

45º

45º15º

60º

60º


81




Os poliedros duais são também chamados recíprocos.

Chama-se dual de um poliedro ao poliedro que se obtém unindo por os centros das facesconsecutivas do primeiro através de retas, ou seja, ao poliedro formado por dois poliedros, um dentrodo outro, de modo que os vértices do sólido interior coincidam com o centro das faces do sólido

exterior.

Dual do octaedro:Em cada vértice do octaedro concorrem quatro faces. Unindo oscentros dessas faces obtemos um quadrado. Procedendo da mesmaforma para as faces que convergem em cada um dos vértices,obtemos seis quadrados que são as faces do cubo dual do octaedro,ou seja, o cubo é o poliedro dual do octaedro

Dual do cubo: Consideremos um cubo. Em cada um dos seus vérticesconcorrem três faces cujos centros são equidistantes entre si. Unindoesses três centros obtemos então um triângulo equilátero. Como ocubo tem oito vértices, é possível formar, da mesma maneira, oitotriângulos equiláteros que constituem um octaedro regular. Por estemotivo, diz-se que o octaedro é o poliedro dual do cubo.

6.6 DUAIS

Dual do tetraedro:O tetraedro é o poliedro dual do tetraedro.

Dual do icosaedro: E o icosaedro é o poliedro dual do dodecaedro.

Dual do dodecaedro: Em cada vértice do icosaedro concorrem cinco triângulos.Unindo os centros desses triângulos, obtém-se um pentágono regulare, repetindo o processo para cada um dos doze vértices do icosaedro,obtêm-se doze pentágonos que são as faces de um dodecaedroregular, ou seja, o dodecaedro é o poliedro dual do icosaedro.

82




Seção Plana é a interseção de um plano com um sólido. Para se obter a seção plana de umpoliedro teremos que identificar em épura onde o plano intercepta as arestas (ou geratrizes). Oambiente triédrico facilita este raciocínio em virtude de sete dos oito planos serem projetantes. Assim,esta identificação fica facilitada. O único plano não projetante é o Plano Qualquer que é obliquo aos três planos de projeção.

Ele exige um conhecimento mais específico para a realização desta tarefa, ou podemos nos valer dosmétodos descritivos para posicioná-lo de forma que ele se torne projetante. Aí não teremosdificuldade. Exemplificaremos após o assunto Métodos Descritivos. Os planos duplamente projetantes no triedro (planos do primeiro grupo: Horizontal, Frontal ePerfil) geram seções planas em Verdadeira Grandeza, pois estão paralelos a um dos planos deprojeção. Isto não acontece nos demais planos.

Para se obter a Verdadeira Grandeza da seção plana de um sólido pode ser necessário o usode um dos métodos descritivos ou das combinações destes. Este assunto será visto posteriormenteainda neste material didático.

7. SEÇÃO PLANA

Vale lembrar que a Geometria Descritiva aquiapresentada tem o objetivo de fazer a transição do DesenhoTécnico para o Desenho Arquitetônico. O desenho mecânicocertamente exigiria um aprofundamento maior. Por isso, vamos utilizar o conceito de planoprojetante.

O processo consiste em determinar os pontos dasarestas que pertencem ao traço onde o plano é perpendicularao plano de projeção.

Denominaremos o traço de um plano perpendicular a outro, detraço projetante, sendo portanto, o resultado do perpendicularismo deum plano em relação a um plano de projeção.

Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre o plano deprojeção, tem suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização das projeções doselementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio, mas também atoda infinita superfície plana.

O TRAÇO PROJETANTE RECEBE SOBRE SI TODAS AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME, DOS ELEMENTOSPERTENCENTES AO PLANO.

A B

CD

V

A' B'C'D'

V'

VG

H'

1 2

34

1’ 4’ 2’ 3’

83




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

VG

H’ H”

1 2

34

1’ 4’ 2’ 3’ 4” 3” 1” 2”

PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA

PLANO HORIZONTAL PLANO PROJETANTE NO PV E PP.

A seção é composta por retas: de topo e fronto-horizontal

84




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

F

F”

VG

1 2 3 4

1’

2’ 3’

4’

2” 3”

1” 4”


PLANO FRONTAL PLANO PROJETANTE NO PH E PP.

A seção é composta por retas: frontal e fronto-horizontal

85




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

P

P’

VG

2”3”

1”4”

2’ 3’

1

2

3

4

1’ 4’

Po


PLANO DE PERFIL PLANO PROJETANTE NO PH E PV.

A seção é composta por retas: de topo e de perfil.

86




A B

CD

V

A'

B'C' C" A" B"

D'

V'

D"

V"

T’

12

34

T

To

4’1’

2’3’ 2”3”

4” 1”

A seção é composta por retas: de topo e qualquer.


PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)

87




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"V’

Vo

V

1’

2’

3’

1

2

3

2”

3”

1”

A seção é composta por retas: horizontal e qualquer.


PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)

88




A B

CD

V

A' B'C' C"D'

V'

D"

V"

A" B"

1’ 2’

3’4’ 3" 4"

1" 2"

1 2

34

W'

W

w"

A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.


PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)

89




A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.


PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R(1)R

(4)R

R R

R R

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

3" 4"

1" 2"

4' 3'

2'1'

4 3

21

VG

W'W

w"

C E N T R AR O C O M P AS S O

90




A'

D'

B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

X'

X

1

3

4

2"

4'

1'

2'

3'

2

4"

3" 1"

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

X'

X

1 2

3 4

2' 3'

4'1' 4"

3"2"

1"

Hexaedro / Plano de Topo

Exemplo: Hexaedro / Plano Vertical

7.1 EXEMPLOS

91




A B

CD

1 2

4 3

B' C'

1' 4' 2' 3'

C" D"

A" B"

1"4" 2"3"

W'

W

A' D'

W"

1 2

34

1' 2'

3'4'

1" 2"

3" 4"

W

A

B

C

D

E

F

A' E'B' D' C"F" D"F' C' A" B"E"

V' V"

V

1'

2'

3'

4'

5'

1 2 3 4 5

3"

5"1"

2" 4"

W"

Exemplo:Hexaedro / Plano Paralelo a LT.

Exemplo: Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Frontal

92




A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

C" F"E" D"F' C' A" B"

V"

X'

X

1

2

3

6

5

5"

1"

2"

4"

3"

4

7

1' 7'

2' 6'

5' 3'

4'

6"

7"

A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

C" F"E" D"F' C' A" B"

V"X'

X

1'

2'

3'

4'

1

2

3

4

1"

2"

4"

3"

Exemplo: Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Vertical

Exemplo:Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano de Topo

93




W"

A'

A

A"

W

W'

Cone Reto / Plano Paralelo a LT

W

A'

A

A"

1'

2'

3'

4'

5'

1 2 3 4 5

5"1"

2" 4"

3"

W"

Exemplo: Cone Reto / Plano Frontal

Exemplo:

94




A

B

C

D

E

F

V

A '

E '

B '

D '

C "

F "

E "

D "

F '

C '

A "

B "

X

P L A N O F

R O N T A L

1

2

3

4

2 '

4 '

3 '

1 '

1 "

4 " 2 "

3 "

X "

V '

V "

A

B

C

D

E

F

V

A '

E '

B '

D '

V '

C "

F "

E "

D "

F '

C '

A "

B "

V "

X '

P L A N O H

O

R I Z O N T A L

1

2

3

4

5

6

2 '

4 '

3 '

1 '

5 '

6 '

1 "

2 "

3 "

6 "

4 "

5 "

X "

Exemplos:

96




A

B

C D

E

F

A '

E '

B '

D '

C "

F "

D "

F '

C '

A "

B "

E "

V '

V "

V

X '

X

P L A N O D E

T O P O

2 '

4 '

3 '

1 '

6 '

1 2

3

4 5

6

5 '

1 "

2 "

3 "

6

"

4 "

5 "

Exemplos:

A

B

C

D

V V ' A

'

B '

C '

D '

A "

B "

C "

D "

V "

X '

P L A N O H

O R I Z O N T A L

1

2

3

4

2

'

4 '

3 '

1 '

1 "

2 "

3 "

4 "

X '

97




A

B

C

A '

B '

C '

V '

V "

C "

A "

B "

V

X '

P L A N O H

O R I Z O N T A L

1

2

3

1 '

3 '

2 '

1 "

2 "

3 "

Exemplos:

A

B

C

A '

B '

C '

V '

V

V "

C "

A "

B "

X

P L A N O F R

O N T A L

1

2

3

2 '

3 '

1 '

1 "

2 "

3 "

X "

98




A

B C

D

V

A '

B '

C '

C "

A "

B "

D '

V '

D "

V "

X

P L A N O F

R O

N T A L

X "

1

2

3

4

2 '

4 '

3 '

1 '

1 "

2 "

3 "

4 "

A

B

C

D

V

A '

B '

C '

C "

A "

B "

D '

D "

V "

V '

X '

P L A N O V

E R T I C A L

X o

X

2 '

4 '

3 '

1 '

1 "

2 "

3 "

4 "

1

2

3

4

Exemplos:

99




P L A N O P

A R A L E L O A

L

I N H A

D E

T E R R A

A

B C

D

X

Y

C '

B '

D '

A '

X '

Y '

X " Y

"

D "

C "

A "

B " X

"

X X '

1

2

3

4

5

6

1 '

2 '

4 '

3 '

5 '

6 '

1 "

4 "

5 "

6 "

3 "

2 "

1 "

B

C

D

X

Y

A

C '

B '

D '

A '

X '

Y '

X " Y

"

D "

C "

A "

B "

X "

P L A N

O Q

U E

P A S S A

P E L A

L I N H A

D E

T E R R

A

X

X '

1 "

6 "

3 "

1 '

2 '

4 '

3 '

5 ' 6

'

2 "

5 "

4 "

1

2 3

4

5

6

Exemplos:

100




A

B

C

D

X

Y

C '

B '

D '

A '

X ' Y

'

X "

Y "

C "

D "

A "

B "

P L A N O F

R O N

T A L

X

X "

2 '

1 '

3 '

4 '

5 '

6 '

1

2

3

4

5

6

1 "

2 "

3 "

6 "

5 "

4 "

A

B

C

D

X

Y

C '

B '

D '

A '

X ' Y

'

X "

Y "

C "

D "

A "

B "

X '

X X o

P L A N O D

E

P E R F I L

1 "

2 "

3 "

4 "

2 '

4 '

3 '

1 '

1 2 3

4

Exemplos:

101




O ' 1 O

' 2

O " 1

O " 2

O 1

O 2

X '

P L A N O H

O R I Z O N T A L

X "

1

2 3

4 1 '

4 '

2 ' 3 '

4 "

3 "

1 "

2 "

O ' 2

O ' 1

O 1

O 2

O " 2

O " 1

X

X '

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2

1 1

9

1 0

2 '

4 '

3 '

1 '

5 '

6 '

7 ' 8

'

1 2 '

1 0 '

1 1 '

9 '

1 "

2 "

3 "

6 "

4 "

5 "

7 "

8 "

9 "

1 0 "

1 1 "

1 2 "

P L A N

O D

E

T O P O

Exemplos:

102




P L A N O P

A R A L E L O A

L I N H A

D E

T E R R A

O " 1

O " 2

O ' 2 O

2

O ' 1

O 1

X "

1

2

3

4

3 "

4 "

2 '

4 '

3 '

1 '

1 "

2 "

V '

V

V "

O "

X

X '

P L A N O V

E R T

I C A L

1 '

6 '

2 '

3 '

4 ' 5

'

7 '

1 "

2 "

3 "

6 "

4 " 5

"

7 "

2

3 4

5

6

1

7

Exemplos:

103




V '

V

O

O '

V "

O "

X

X '

P L A N O D

E

T O P O

1

2

3

4

5

6 7 8

9

1 0

1 1

1 2

1 '

2 '

1 2 '

3 ' 1 1 '

4 ' 1 0 ' 5

' 9 ' 6

' 8 '

7 '

1 "

2 " 3

"

6 "

4 "

5 "

7 "

8 "

9 "

1 0 "

1 1 "

1 2 "

O '

V '

V "

O "

V

O

X

X

'

P L A N O D

E

T O P O

2 '

4 '

3 '

1 '

5 '

6 '

7 '

1

2

3

4

5

6

7

a '

b '

c '

d '

e ' e

d

a c

b

e "

d "

c "

b "

a "

5 "

7 "

1 "

2 "

3 "

4 "

6 "

104




8. MÉTODOS DESCRITIVOS

Vários problemas da Geometria Descritiva são solucionados com maior facilidade ao usarmosos métodos descritivos. Eles valem-se de uma alteração do sistema (planos ortoédricos) ao redor doobjeto ou da alteração da posição do objeto em relação aos planos de projeção. O objetivo principal éa obtenção da projeção em Verdadeira Grandeza através do paralelismo entre o objeto e o plano deprojeção.

São três os métodos descritivos: Rebatimento, Rotação e Mudança de Plano.

Rotação - consiste em girarmos um objeto em torno deum eixo (preferencialmente perpendicular a um dosplanos de projeção) buscando uma nova posição do

mesmo.

Mudança de Plano - consiste em mudarmos os PlanosHorizontal e/ou Vertical de projeção para obtermos novasprojeções. (É muito utilizado no desenho arquitetônico)

Rebatimento - consiste girar o plano que contém umafigura (ou outro ente geométrico) para que ele coincida oufique paralelo com um dos planos de projeção. Este girose dá ao redor de uma reta do plano que recebe o nome decharneira. (As retas projetantes são as mais utilizadas).Os traços do plano podem ser utilizados como charneira.Neste caso após o rebatimento o plano que contém afigura coincidirá com o plano de projeção.

e i x o

PV

PH

PH

PV

R E B A T I M E N T O

S O B R

E P V

R E B A T I M

E N T O

S O B R E

P H

VG

VG

PV

MUDANÇA DE PV

PH

PV1

105




REBATIMENTO SOBRE PH REBATIMENTO SOBRE PV

PH

PV

VG

C h a r n e i r a

Os planos, Horizontal, Frontal e Perfil não necessitam do Rebatimento quando o objetivo é aVerdadeira Grandeza das figuras a eles pertencentes. Todo e qualquer objeto pertencente ao planoestará projetado em VG nos respectivos planos de projeção com os quais eles são paralelos. No desenho abaixo temos duas charneiras distintas para obtenção das VGs.

O Rebatimento promovea igualdade das cotas.

O Rebatimento promovea igualdade dos afastamentos.

PH

PV

VG

C h a r n e

i r a

8.1 REBATIMENTO

Rebatimento - consiste girar o plano que contém uma figura (ou outro ente geométrico) paraque ele coincida ou fique paralelo com um dos planos de projeção. Este giro se dá ao redor de umareta do plano que recebe o nome de charneira. Nos exemplos abaixo foram utilizados: o traçohorizontal para o Rebatimento sobre o PH, traço vertical para o Rebatimento sobre o PV e o traço deperfil para o Rebatimento sobre o PP.

REBATIMENTO SOBRE PP

O Rebatimento promovea igualdade das abcissas.

PV

PH

VG

C h a r n e i r a

A B

C

A' B'C'D'

V'

T'

T

To

4'1'4'1'2'3'R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

C E N T R A R O

C O M P A S S O

VG DA FACE LATERAL

D

V

1 2

34 3

2

V'

V

V G D E V 3

V G D E

V 2

2'3'

2'3'

C E N T R A R O

C O M P A S S O

C h a r n e i r a

106




A B

CD

V

A'B'C'

C" A" B"D'

V'

D"

V"

T'

1 2

34

T

To

4'1'

2'3'

4'1'2'3'R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

2''3''

4'' 1''

C E N

T R A R O

C O M P A S S O

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: DE TOPO E QUALQUER.


PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)

VG

REBATIMENTO DA SEÇÃOSOBRE O PH.

CONSERVAM-SE OS ASFASTAMENTOS.

8.1.1 EXEMPLOS

107




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"

D'

V'

D"

V"V’

Vo

V

1’

2’

3’

1

2

3

2”

3”

1”

VG

(3)R

(2)R

(1)R

1R2R3R

C E N T R A R O

C O M P A S S O

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: HORIZONTAL E QUALQUER.


PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)

VG

REBATIMENTO DA SEÇÃOSOBRE O PV.

CONSERVAM-SE AS COTAS

108




A B

CD

V

A' B'C' C"D'

V'

D"

V"

A" B"

1’ 2’

3’4’ 3" 4"

1" 2"

1 2

34

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R(1)R

(4)R

W'

W

w"

R R

R R

C E N T R A R O

C O M P A S S O

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.


PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)


CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.

VG

VG

109




A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

3" 4"

1" 2"

4’ 3’

2’1’

4 3

21

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R

(1)R

(4)R

R R

R R

W'W

C E N T R AR O C O M P AS S O

w"

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.

ATENÇÃO:O REBATIMENTO PRODUZ UMA SOBREPOSIÇÃO DE PROJEÇÕES VERTICAIS

COM A FIGURA REBATIDA.


PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)


CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.

110




X'

X A

B

C

D

E

F

H

G

A'D' B'C'

E'H' F'G'

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(5)R

Ch

X'R

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA

Seção Plana isolada do sólido(ESCALA REDUZIDA)

X'

X

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(5)R

Ch

X'R

111




VG(1)R

(2)R

(3)R

(4)R(5)R

X'

X A

B

C

D

E

F

H

G

A'

D' B'C'

E'H' F'G'

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

Ch

XR

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / TRAÇO VERTICAL = CHARNEIRA


VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R(5)R

X'

X

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

Ch

XR

112




X'

X

A'

B'

C'

D'

A BCD

E FGH

C"

D"

A"

B"

E"

H"F"

G"

E'

H' F'

G'

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R

(3)R

Ch



X'

X

E"

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R

(3)R

Ch

113




REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA

X'

X

A'

B'

C'

D'

A BCD

E FGH

C"

D"

A"

B"

E"

H"F"

G"

E'

H' F'

G'

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R(3)R

Ch

X'

X

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R(3)R

Ch

Seção Plana isoladado sólido

(ESCALA REDUZIDA)

114




A B

CD

E F

H G

A' D' B' C'

E' H' F' G'X'

X

1' 2'

3'4'

1

2 3

4

VG

(1)R(2)R

(3)R (4)R

Ch


Seção Plana isolada do sólido

(ESCALA REDUZIDA)

X'

X

1' 2'

3'4'

1

2 3

4

VG

(1)R(2)R

(3)R (4)R

Ch

115




A

B

C

D

E

F

H

G

C'D' A' B'

G'H' E' F'X'

X

1' 2'

3'4'

1

2

3

4

X'R

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

Ch

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH - TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA


X'

X

1' 2'

3'4'

1

2

3

4

X'R

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

Ch

116




VG

(1)R (2)R

(3)R(4)R

RE B AT I M E N T O S O B R E O P V

A B

CD

V

C'D' A' B'

V'

C" D"B" A"

V"

X"

1' 2'

3'4'

1 2

34

1" 2"

4"3"

X'XCh

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / LINHA DE TERRA = CHARNEIRA


VG

(1)R (2)R

(3)R(4)R

RE B AT I M E N T O S O B R E O P

V

X"

1' 2'

3'4'

1 2

34

1" 2"

4"3"

X'XCh

117




8.2 MUDANÇA DE PLANO

Na Mudança de Plano, o objeto permanece fixo. O sistema é que se modifica ao redor doobjeto. Podemos alterar o PV ou PH mantendo-os perpendiculares entre si. A alteração pode sersucessiva, mas não simultânea. A Linha de Terra é a interseção do PH e PV, por isto, este processodeterminará uma nova linha de terra.

MPHPH1

PV

PH

PV

PH

PV1

MPV

LINHA DE TERRA ORIGINAL LINHA DE TERRA NA 1ª MUDANÇA LINHA DE TERRA NA 2ª MUDANÇA(Um par de barrinhas a mais) (Dois pares de barrinhas a mais)

Utilizaremos as abreviações:

MPV para Mudança de Plano VerticalMPH para Mudança de Plano Horizontal

O desenho arquitetônico utiliza o conceito da Mudança de PlanoVertical para construção das vistas e cortes. Logicamente que a disposição naprancha vale-se de maior liberdade.

118




Em épura a mudança de plano vertical deve seguir os seguintes procedimentos:

- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra

- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção horizontal

- transporte as cotas correspondentes

A

A'

A'1

ct

ct

MPV

(s)

s'

s

PV

PH

MUDANÇA DE PV

PV1

s'1 V.G.

PV

PH

MUDANÇA DE PV

PV1

A'1(A)

A'

A

ct ct

PV

PH

PV1

MPV

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL

119




A

A'

A1

af

af

MPH

MPH

PH1

PV

PH

MUDANÇA DE PH

(A)

A' A1

PH1

PV

PH A

af

af

Em épura a mudança de plano horizontal deve seguir os seguintes procedimentos:

- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra

- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção vertical

- transporte os afastamentos correspondentes

MUDANÇA DE PH

(s)s'

s

s1

PH1

PV

PH

VG

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO HORIZONTAL

120




MPV

MPVMPH

MPH

t h f v

q

p

fh fh

ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO ÀS RETAS

t - reta de topo

h - reta horizontalq - reta qualquer p - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontalMPV - Mudança de Plano VerticalMPH - Mudança de Plano Horizontal

MPV

MPVMPH

MPHH T V F

Q

P P

// à LTP/p/ LT

ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO AOS PLANOS

H - PLANO HORIZONTAL

MPV - Mudança de Plano VerticalMPH - Mudança de Plano Horizontal

T - PLANO DE TOPOQ - PLANO QUALQUERV - PLANO VERTICALF - PLANO FRONTALP - PLANO DE PERFIL // à LT - PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

P / p / LT - PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

121




A'

A

B'

B

C'

C

A1C1

B1

A'2

MPV

MPH

C'2

B'2

VG

B3

A3

C3

1ª Mudança

2ª Mudança

3ª Mudança

MPH

MPH

(AB) qualquer

(AB) horizontal

(AB) de topo

(AB) de topo

A'

A

B'

B

C'

C

A2

C2

B2

A'1

MPV

C'1

B'1

VG

B'3

A'3

C'3

1ª Mudança

2ª Mudança

3ª MudançaMPV

(AB) qualquer

(AB) frontal

(AB) vertical

(AB) vertical

MPV

MPVMPH

MPH

t h f v

q

p

fh fh

t - reta de topoh - reta horizontalq - reta qualquer p - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontalMPV - Mudança de Plano Vertical

MPH - Mudança de Plano Horizontal

Nos exemplos abaixo temos a obtenção da Verdadeira Grandeza da figura plana através datransformação das retas. O objetivo é transformar uma reta qualquer em reta projetante, topo ouvertical, o que determina um plano Horizontal ou Frontal respectivamente. O organograma de mudança de plano aplicado aos planos da página anterior também éválido aos mesmos exemplos.

FIGURA DEFINE UMPLANO QUALQUER


FIGURA DEFINE UMPLANO DE TOPO

FIGURA DEFINE UMPLANO HORIZONTAL



FIGURA DEFINE UMPLANO VERTICAL

FIGURA DEFINE UMPLANO FRONTAL

122




A BCD

E

F

C'

B'

D'

A'

E' F'

M P V

B C

E'1C'1

D'1

F'1 A'1

B'1

A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

F' C'

M P H

C

B

A

D

E

F

V1

1

1

1

1

1

1

8.2.3 EXEMPLOS

Exemplos de Mudança de Plano aplicada aos sólidos.

123




D

E F

7 4

5 6

G

1 '

V '

A '

8

7

6

5

4

3

8 '

7 '

2 '

6 ' 3 '

5 '

4 '

H '

G '

B '

F '

C '

E '

D '

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

V

8 H

1 2 A B

2 1 '

2 2 '

2 3 '

2 4 '

2 5 ' 2

6 '

2 7 '

2 8 '

3 C

A 1

H 1

G 1

B 1

C 1

D 1

E 1

F 1

V 1

2 A ' 2

B

2 C '

2 D '

2 E '

2 F '

2 G '

2 H '

2

V '

M P H

M P V

EXEMPLO

O uso dos objetos no Primeiro Diedro determinam asprojeções horizontais sempre do mesmo lado inferior da linhade terra, ou seja do lado das barrinhas.

124




X'

X A

B

C

D

E

F

H

G

A'

D' B'C'

E'H' F'G' G" H" F" E"

A"B"C" D"

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

1"

2"

3"

4"

5"

VG11

21

31

41

51

MPH

EXEMPLO

Mudança de Plano utilizada para determinação da VG da Seção Plana.

125




Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano

O plano Qualquer poderia ter sido transformado em Plano Vertical, no entanto, a VG da seção plana seria a mesma.

Seção plana em VG através de Mudança de Plano

A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2

’

3’ 4’

5’

6’

MPV

1’

M P H

1

2 3

4

5

6

V G

Q'

Q

Q'1

P'

Q0 P

P'1

O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer aqualquer parte do Plano (Q). No entanto, émais fácil utilizar um ponto pertencente aoTraço Vertical Q' visto que o plano Qualquernão projetante e exige retas auxiliares paradeterminar um ponto sobre sua superfície.

126




A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2’

3’ 4’

5’

6’

V G

( 1 ) R

( 2 ) R

( 3 ) R

( 4 ) R

( 5 ) R

( 6 ) R

EXEMPLO

Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano. A VG da seção foi obtida através do Rebatimento.

EXEMPLO

Q'

Q

Q'1

P'

P

P'1

Q0

VG da aberturaangular de

(Q) com o PH

127




A inclinação do telhado na vista frontal (projeção vertical) expressa um ângulo que não estáem Verdadeira Grandeza. A MUDANÇA DE PLANO permite determinar o ângulogeometricamente correto.

EXEMPLOS

Â n g u l

o e m

V G

Ângulo Irreal(Aparenta ser maior)

Exercício Proposto(ESCALA REDUZIDA)

128




45º60º

r

r's'

s

A E

B F

C G

D H

Considere a altura do edifício com 7,5m na escala 1/100

Faça Mudança de Plano Vertical mantendo o edifício afastado1m do novo PV.

45º

60º

r

r'

s'

s

A E

B F

C G

D H

D' A' C' B'

H' E' G' F'

4' 1'

3' 2'

2

3

4

1

1'4'

2'3'

P'

P

P'1

M E D I D A S T R A N S P O R T A D A S

D A N O V A P R O J E Ç Ã O V

E R T I C A L

A melhor posição da cobertura do edifício dado pelo paralelepípedo abaixo é a seçãopromovida pelo plano que contém as retas (r) e (s). Assim, a cobertura teria a melhor posiçãopossível para uso de placas de aquecimento solar na busca de maior eficiência energética.Complete a épura e determine a nova cobertura.

EXEMPLO

Exercício Proposto(ESCALA REDUZIDA)

Q'

Q0

Q

Q01

Q'1

V'

VH'

H

129




8.3 ROTAÇÃO

Rotação - consiste em girarmos um objeto emtorno de um eixo, preferenc ia lmente

perpendicular a um dos planos de projeção,buscando uma nova posição do mesmo.

e i x o

PV

PH

São três os elementos necessários para a execução da Rotação:

a- Eixo de Rotação, preferencialmente reta de topo, vertical ou fronto-horizontal. Outras retasexigirão uso do método descritivo Mudança de Plano para torná-las projetantes.

b- Raio de Rotação, segmento de reta perpendicular ao eixo (para eixos projetantes, o raio serásempre uma reta paralela a no mínimo um dos planos de projeção)

a- Amplitude da rotação, abertura angular do deslocamento da projeção rotacionada

eixo vertical

e i x o

PV

PH

eixo de topo

PV

PH

e i x o

eixo fronto-horizontal

130




t - reta de topoh - reta horizontalq - reta qualquer (NÃO POSSUI V.G.)

p - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontalEIXO DE RETA VERTICALEIXO DE RETA DE TOPO

RETA QUALQUER EM RETA FRONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO CONCORRENTE AEXTREMIDADE DO SEGMENTO EIXO CONCORRENTE AOPROLONGAMENTO DO SEGMENTO

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1

V . G .

A'1

A1

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1

V . G .

A'1

A1

ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO APLICADO ÀS RETAS

EIXOVERTICAL

EIXODE

TOPOt h f v

q

p

fh fh

EIXODE

TOPO

AFASTAMENTOSIGUAIS

COTASIGUAIS

ABCISSASIGUAIS

EIXOVERTICAL

131




EIXO E O SEGMENTOSÃO RETAS REVERSAS

A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

V . G .

A'1

A1

P

P1

L I N H A

A U X

I L I A R

LINHA AUXILIAR

PA = P1 A1

USO DE LINHA AUXILIAR(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)

E DO PONTO AUXILIAR 1

O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETAQUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA

E O EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO DE RETA VERTICAL EIXO DE RETA DE TOPO

t h f v

q

p

fh fhORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO

APLIC ADO ÀS RE TAS

132




RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO CONCORRENTE AEXTREMIDADE DO SEGMENTO

EIXO CONCORRENTE AOPROLONGAMENTO DO SEGMENTO

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1




A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

P

P1

L I N H A

A U X

I L I A R

L I N H A A U X I L I A R

PA = P1 A1




t h f v

q

p


APLIC ADO ÀS RETAS

133




A'

A

B'

B

B'1

B1

V G

A'1

A1


e'

e

A'e'

e

A

B'

B

B'1

B1

V G



A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

V G

A'1

A1

P'

P'1


LINHA AUXILIAR

P'A' = P'1 A'1





RETA QUALQUER EM RETA HORIZONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO


t h f v

q

p



134




RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO

A'e'

e

A

B'

B

B'1

B1


A'

A

B'

B

A'1

e'

e

B'1

B1


A1

A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

P'

P'1



P'A' = P'1 A'1

EIXO E O SEGMENTO

SÃO RETAS REVERSASUSO DE LINHA AUXILIAR

(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)E DO PONTO AUXILIAR 1




t h f v

q

p



135




A'

A

B'

B

e'1B'1

B1

V G

A'1

A1

V

. G .

B2

A2

A'2 B'2

C'

C

C'1

C1

V.G.

A'3 B'3

C'1

C'3

e1

e2

e3

e'3

e'2

2ª R O T A

Ç Ã O

B3

A3

C2 C3

V

. G .

ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER

A'

A

B'

B

e'1

e1

B'1

B1

V G .

A'1

A1

e2 B2 A2V.G.

V . G .

B2

A2

A'2B'2 A'2 B'2 V.G.

q u a l q u e r or i z h o n t a l

e'2

ROTAÇÃO DE FIGURA PLANA

EXEMPLOS


t h f v

q

p


APLICADO ÀS RETAS

136




A'

A

B'

B

e'1B'1

B1

V G

A1 B2 A2

VG

V G

B2 A2

A'2B'2

A'2

B'2

V.G.

q u a

l q u e r

A'1

l a t

n o z i r o h - o t n o r f f r o n t a l

e'2

e2

e1


t h f v

q

p


APLICADO ÀS RETAS

ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER

137




A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

F' C'

A' E'

B' D'

V'

F'

C'

e

e'

F

C

B A

D E

V

EXEMPLO

Rotação usando eixo de topo

138




9. PLANIFICAÇÃO

A planificação é o procedimento de "desmontar o sólido com todas as superfícies emVerdadeira Grandeza. Por isto, ele só é possível com o uso dos Métodos Descritivos.

A B

C

A' B'C'D'

V'

T’

T

To

4’1’

4’1’2’3’R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

C

E N T R A R O

C O M

P A S S O

VG DA FACE LATERAL

D

V

1 2

34 3

2

V'

V

4

1

V

V G D E V 3

V G D E

V 2V G D E V 3

V G D E

V 4

2’3’

2’3’4’1’V

C E N T R A R O

C O M P A S S

O

C E N T R A

R O

C O M P A S S

O

4

1

3

2

2

1

3

4

V

V

V

V G

D E

V 2

V G D E V 3

V G D E

V 4

V G D E V 1 V G

D E V 2

A B

D C

V G D

E V 3

V G D E

V 1

V G D

E V

4

V3 = V2

V1 = V4

PERSPECTIVA

21A

2

3

B

1

V

D4

3

4

V

V

V

PERSPECTIVA

21A

2

3

B

3

4

4

C

D

1

V

V

VVG

140




21A

2

3

B

1

V

D4

3

4

V

V

V

21A

2

3

B

3

4

4

C

D

1

V

V

VVG

VG

1

4

3

2

2

1

3

4

A B

D C

V3 = V2

V1 = V4

9.1 EXEMPLOS

A B

C

DE

F

V

A'E' B'D'

V'

F' C'

X'

1

2

3

6

5

4

1'

2'6'

5'3'

4' X'

3'2'

2

5

UTILIZE EIXO DE TOPOSOBRE O PONTO (V)PARA ROTAÇÕES DAS

ARESTAS LATERAIS

X

(5)R

(6)R

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

V G d e

V 2 = V 6

V G d e V 5 = V 3

Dada as projeções da PIRÂMIDE REGULAR DE BASE HEXAGONAL e a seção produzida peloplano de Topo, pede-se: planificar o tronco de pirâmide (a parte que contém a base).

(V1) e (V4) estão sobre retas frontais.

141




EXEMPLOS

1

1

6

6

2

2

5

3

3

5

4

4

A

E

F

B

C D

3

4

5 6

É importante "pendurar" a VG da seçãopara a planificação ficar completa.

142




Complete a planificação do Tronco de Cilindro. O retângulo abaixo corresponde planificação dasuperfície lateral do cilindro.

0... 12

O'

O'1

O1 O2

O"2

X

X'

1

2

3

4

5

6

7

812

11 9

10

Complete no TRIEDRO a representação da Seção Plana e determine a Verdadeira Grandeza daseção através do método descritivo REBATIMENTO (sobre o PH) ou MUDANÇA DE PLANO.

EXEMPLO DE EXERCÍCIO PROPOSTO

143




P L A N O D E

T O P O

O ' 2

O ' 1

O 1

O 2

O " 2

O " 1

X

X '

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2

1 1

9

1 0

2

'

4 '

3 '

1 '

5 '

6 '

7 ' 8

'

1 2 '

1 0 '

1 1 '

9 '

V G D

A

S E Ç Ã O P

L A N A

( 1 1 ) R

( 1 0 ) R

( 1 2 ) R

( 1 ) R

( 2 ) R

( 3 ) R

( 4 ) R

( 9 ) R

( 5 ) R

( 8 ) R

( 6 ) R

( 7 ) R

1 "

2 "

3 "

6 "

4 "

5 "

7 "

8 "

9 "

1 0 "

1 1 "

1 2 "

R E B A T I M E N T O

M E D I D A S T R A N S P O R T A D A S P A R A O C I L I N D R O P L A N I F I C A D O

EXEMPLO

144




EXEMPLO

PLANO DE TOPO

O'

2

O'1

O1 O2

O"2

O"1

X

X'

1

2

34

5

6

7

812

11 9

10

2'

4'

3'

1'

5'

6'

7'

8'

12'

10'

11'

9'

1" 2"

3"

6"

4"

5"

7"

8"

9"

10"

11"

12"

MPH

M E D I D A S T

R A N S P O R T A D A S

P A R A O C

I L I N

D R O P

L A N I F I C A D O

VGDA SEÇÃO

(11)R

(10)R(12)R

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(9)R

(8)R

(6)R

(7)R

(5)R

145




12

34

5

67

8

1211

910

1

BASEINFERIOR

VG DA SEÇÃO

12

3

4

5

67

8

1211

9

10

1

BASE

SUPERIOR

VG DA SEÇÃO

EXEMPLO

146




10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS

147




10.1 EXEMPLOS

Seção plana em VG através de Mudança de Plano

A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2

’

3’ 4’

5’

6’

MPV

1’

M P H

1

2 3

4

5

6

V G

Q'

Q

Q'1

P'

Q0 P

P'1

O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer aqualquer parte do Plano (Q). No entanto, émais fácil utilizar um ponto pertencente aoTraço Vertical Q' visto que o plano Qualquernão projetante e exige retas auxiliares paradeterminar um ponto sobre sua superfície.

148




11. BIBLIOGRAFIA

ARNHEIM, Rudolf. Arte e percepção visual: uma psicologia da visão criadora. São Paulo: PioneiraThomson Learning, 2005. 503p.

JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 1

JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 2

SÁ, José Ricardo Cunha da Costa e. Edros. São José dos Campos: Ed. PINI, 1982, 124p.

ULBRICHT, S. M. Geometria e Desenho - História, Pesquisa e Evolução, 1a ed. Florianópolis, S. M.Ulbricht, 1998.

WONG, Wucios. Princípios de Forma e Desenho. Tradução Alvamar Helena Lamparelli. São Paulo:Martins Fontes, 1998.

149




HEXAEDRO / CUBO

PARALELEPÍPEDO

PRISMAREGULARDEBASETRI ANGULAR

PIRÂMIDEREGULARDEBASEHEXAGONAL

OCTAEDRO

PRISMAREGULARDEBASEHEXAGONAL

PRISMAREGULARDEBASEP ENTAGONAL

TETRAEDRO

CILIINDRO RETO CONERETO

1 2

1 1

1 0 9 8

7

6

5

4

3

2

1

MODELOS REDUZIDOS PARA VISUALIZAÇÃO

Sequência C 3 Páginas03 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 08 a 10

Sequência A 4 Páginas04 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 02 a 05

MAQUETES

s' s"

PPPV

VG

d o b r a r

dobrar

V G

s

P H

d o b r a r

s' s"

PPPV

VG

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P H

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P H

s' s"

PPPV

( A ) ( A )

( A )

( B ) ( B )

( B )

( 1 ) ( 2 )

( 1 ) ( 2

)

( C ) ( C ) ( D )

( D )

(3)

(3)

(4)

(4)

(1)(2)

( 4 ) ( 3

)

(C) (D)

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

A"

1"

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

D"B"C"

4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

( V )

(A) (B)

( D )

( C )

( C )

C O L A R

C O L A R

C O L A R

C O L A R

( A ) ( B

)

( D )

(V)

( V )

( V )

RECORTE E MONTE

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Sequência B 2 Páginas02 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 06 a 07

MINIATURAS DAS IMAGENS REFERENTE AO ARQUIVO DASMAQUETES CITADAS NESTA APOSTILA

geometria descritiva, eber nunes

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