Elektrodinamika, optika.

A modern zika elemei.

Vitz Gbor

Miskolci Egyetem, Fizikai Tanszk

2005. februr 24.

zvitez@gold.uni-miskolc.hu

Tartalomjegyzk

1. Elektrosztatika 2

1.1. Az elektrosztatikus mez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Megosztsvektor, az elektromos mez forrsossga. . . . . . . . . . . . . . 10

2. Elektrodinamika 21

2.1. Stacionrius ramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. A tltsmegmarads trvnye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Egyenram munkja, teljestmnye . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Az elektromossg s a mgnessg kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. A gerjesztsi trvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. A mozgsi indukci s vidke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1. Mozgsi indukci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Idben vltoz terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1. A nyugalmi indukci jelensge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2. ltalnostott Kirchho hurok trvny . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Maxwell egyenletek. 42

3.1. Az EM mez energia mrlege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Elektromgneses hullmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Alkalmazsokhoz kapcsold rszek. 55

4.1. ram s feszltsgmrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2. Mrs Wheatstone hdban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Mrsek kompenztorral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Karakterisztika mrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1

5. Optika 65

5.1. Geometriai optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. A modern zika alapjai 72

6.1. A hullmfggvny, megtallsi valsznsg. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2. A foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3. Spektrumok tpusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3.1. A hmrskleti sugrzs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4. A LASER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7. A magzika elemei 88

7.1. A magerk tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2. Ktsi energia, s a tmeghiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.3. A rdioaktivits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4. Rdioaktv bomlstpusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8. VIZSGATEMATIKA 98

8.1. 1 k apr krds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Elektrodinamika, optika

1. Elektrosztatika

Az elektromos jelensgek alapvet forrsrl, az elektromos tltsekrl gyakorlatilag semmi

rdemlegeset nem tudunk mondani. Azt azonban tudjuk, hogy valamilyen mdon m-

dostjk krnyezetket, s ez a mdostott krnyezet hatst fejt ki a behelyezett testekre.

Ezek a hatsok, -elektrosztatikus alapjelensgek- kt alapcsoport valamelyikbe sorol-

hatk: erhatsok alkotjk az egyik csoportot. A jelensgkr nvadsa is a meggyelt

erhats alpjn trtnt, mr az korban tapasztaltk, hogy a megdrzslt borostyn -

grgl elektron- kisebb testeket maghoz vonzott.

A msik csoportba azon jelensgek tartoznak, amelyekben az elektromos mez az ere-

detileg elektromosan semleges testeket elektromos tulajdonsgokkal ruhzza fl. E kt

jelensgcsoporttal kapcsolatban kvantitatv (szmszerstett) jellemzsre kt vektorteret

-mezt- vezetnk be. Az elektrosztatika, mint az ltalnosabb elektrodinamika bevezet

rsze, leginkbb e kt, zikai tulajdosgokkal felruhzott mez alaptulajdonsgait igyekszik

tisztzni.

Klnfle drzslses kisrletek (ebonitrd, vegrd drzslve selyemmel, szrmvel,

stb) alapjn hamar rjvnk, hogy ktfle elektromos mennyisg ltezik, ezen mennyisgek

sszeadhatk, s a ktfle tlts kpes kioltani is egymst. Ezen sszegzsi tulajdonsgok mi-

att pozitv s negatv tltsekrl beszlhetnk. Pusztn vletelennek, s esetlegesnek lehet

minsteni azt, hogy ma melyik tltstpust nevezzk pozitvnak, s melyiket negatvnak.

2

1. bra. Rajzocska a Coulomb trvnyhez, valamint a trerssg bevezetshez

Az elektromos trerssg s a potencil.

Amint azt a pontmechanikban tettk, gy itt is a lehet legegyszerbb tltseloszlsokon,

pontszer s ll tltseken prbljuk bevezetni az elektromossg legalapvetbb fogalmait.

Kt pontszer, illetve gmbszimmetrikus tltseloszls q1 s q2 tlts kztti erhatst

-tapasztalati tnyek alapjn fellltott- Coulumb trvnye rja le.

~F1,2 = kq1q2r21,2

~ro1,2

Az erhats fordtottan arnyos a kt tlts kztti tvolsg ngyzetvel, s a kt pon-

tot sszekt egyenessel prhuzamos. Azonos eljel tltsek tasztjk, klnbz eljelek

pedig vonzzk egymst. Maga a Coulomb trvny sokban hasonlt a slyos tmegek kztt

fllp tmegvonzs trvnyre. Ltjuk azonban a legalapvetbb klnbsget, nevezetesen

-nem lvn negatv tmeg- kt tmeg mindig vonzza egymst, a tltsek azonban klcsns

eljeleiktl fggen vonzhatjk, s taszthatjk is egymst. Klnsen tanulsgos azonban

a kt er intenzitsnak sszehasonltsa a legegyszerbb atomban, a hidrogn atomban.

Tudjuk, hogy a hidrogn atommagja egyetlen pozitv tlts proton, s krltte kering

egyetlen elektron. ( ? kering ?.. ezt a kpet csak itt, s csak most, s csak t per-

cig hasznljuk ). E kt test kztt mind a tmegvonzs, mind pedig az elektrosztatikus

vonzer fellp. Az elemi szmts azt mutatja, hogy ha egysgnyinek tekintjk az elektro-

mos vonzert, akkor az egyidejleg hat tmegvonzsi er gy nz ki, hogy 0.0000....s kb.

a tizedespontot kvet negyvenedik nulla utn kapnnk az els nulltl klnbz jegyet.

Ez azt jelenti, hogy a tmegvonzs kpes ugyan galaxisokat 'sszetartani', de az atomi,

magzikai struktrk kialaktsban semmi szerepe nincs.

Az eddig bevezetett mechanikai alapmennyisgeken tl itt megjelent egy nemmechanikai

mennyisg, a tlts, illik teht az egysgt valamilyen mdon rgzteni. A tltsegysget,

a k arnyossgi tnyez megadsval rgzthetjk. Kzismert, hogy az egysg kivlasztsa

3

az emberisg szabad akaratn mlik, s ezt sokan komolyan is vettk, gy aztn az elek-

tromgnessg terletn ngy-t egysgrendszer is hasznlatban volt. Ezek egyike pl. a

k -t dimenztlannak s egysgnyinek vlasztotta. Az azonos tltsek kztt fllp er

ekkor gy rhat: F = q2/r2, amibl q = rF . Elvileg teht lehetsgnk van a tlts-egysget csupa mechanikban hasznlatos egysggel denilni, amennyiben az er s a

tvolsg egysgeit berjuk. Az elektromossg mindennapi hasznlata, illetve a hasznlat

mdja miatt alapmennyisgknt manapsg a tltsramls egysgt jellemz Amper (A)

jelenik meg. Itt a tltsegysg Amper*secundum vagyis az As formban addik, ennek

neve a Coulomb, jele pedig a C. A nemzetkzi egysgrendszerbeli (un. SI ) tltsegysg,

a k = 9 109N m2/(As)2 vlasztsa esetn addik, vagyis kt darab egymstl egy mtertvolsgba elhelyezett 1 Coulombnyi pontszer tlts, 9 109N ervel vonzza / tasztjaegymst. A k = 1/(4 pi o) formjban o a vkuum abszolut dielektromos llandjt je-lenti. o = 8.8541 1012As/V m.Tapasztalati tny az is, hogy a pontszer tltsek kztt fllp er, a kt tlts kztti

trrszt kitlt anyag minsgtl is fgg, pldul ugyanazon tltsek, ugyanazon geometria

mellett pl. olajban kisebb ervel hatnak egymsra, mint levegben. A kzeg ezen tulaj-

donsgt a dimezitlan r relatv dielektromos permeabilits jellemzi. Ezek hasznlatvala Coulomb trvny alakja a kvetkez:

~F1,2 =q1q2

4pior r21,2~ro1,2

A ksbbiekben tbbszr alkalmazzuk az or egyszerstett rsmdot.Ha ltalnosabb tltseloszlsok elektromos mezinek A, B pontjaiba behelyeznk

egyszer egy q1 pontszer tltst, ksbb egy q2 tltst, akkor az egyes erk sszeha-

sonltsa arra a felismersre vezet, hogy az erhats egy, a tlttt testre jellemz skalr

s egy, a tr pontjaira jellemz vektormennyisg szorzataknt llthat el:

~F = q ~E. Ittq a pontszer tlts tltsmennyisgt,

~E az elektrosztatikus mez trerssgt jellemzi.~E = ~F/q trs szerint az elektrosztatikus trer az egysgnyi pozitv, pontszer tltsre

kifejtett ert jelenti, s

~E a tr pontjaira jellemz mennyisg. Sztatikus esetben teht ~E(~r)csak a helynek a fggvnye, ltalnosabb esetben az id is megjelenik benne, mint fggetlen

vltoz.

Az elektromos mezt ler

~E trer egysge N/As, ehelyett azonban elektromossg-tanban a vele egyenl Volt/mter , vagy rvidebben a V/m egysget hasznljuk.

Az elektromos trerssg rtelmezse alapjn egy origba elhelyezett pontszer q tlts

elektromos trerssgt a kvetkez fggvnnyel adhatjuk meg:

~E(~r) =q

4pior

~ror2

Itt ro a vizsglt trbeli ponthoz mutat helyvektor egysgvektora: ~r = r ~ro.A tovbbiakban egy trbeli P pontba elhelyezett prbatltsre egy Q1 tlts, illetve

egy Q2 tlts ltal kifejtett erket vizsgljuk. Ha a Q1 tlts F1 ert fejt ki Q2 tvol-

ltben s a msik Q2 tlts pedig F2 -t Q1 tvolltben, akkor nagy krds az, hogy ezek

4

egyidej hatsa megegyezik-e a kln-kln kifejtett erhatsok vektori sszegvel. Pon-

tosabban: a Q1 ltal P -re kifejtett erhatst Q2 jelenlte nem mdostja-e. Ha a csaldi

letre gondolunk, akkor tudjuk, hogy vannak olyan esetek, amikor annak a bizonyos 'har-

madik' -nak a megjelense az elz kett kapcsolt, a kapcsolat intenzitst jelentsen

mdosthatja. Ilyen jelleg erk pl. a magerk, azonban az elektromos klcsnhatsok

nem mdosulnak az jabban megjelen tltsek hatsra.

Ha teht a tr valamely pontjban egy Q1 tltsl szrmaz trerssg E1 , egy Q2

tltstl szrmaz trerssg pedig E2 , akkor ezek egyttes hatsa E=E1+E2 vektori

sszeggel adthat meg. Ez az elektromos mezk szabad szuperpozicijt jelenti.

Ha van valamilyen tltssrsggel lert tltseloszlsunk, akkor az egyes kicsiny trfo-

gatelemekbe zrt tltsmennyisgek -a trfogatelemek mrethez kpest nagy tvolsgbl-

ponttltsknt kezelhetk. Ezen pontszer tltsek elektromos mezjnek szuperpozicij-

val teht meglehetsen bonyolult tltseloszlsok elektromos tert is meghatrozhatjuk.

1.1. Az elektrosztatikus mez

Tapasztalatunk szerint az elektrosztatikus mez konzervatv mez. Ez egybknt

az elektrosztatika egyik alaptrvnye. Ennek kisrleti tmasza az a meggyels, hogy

az elektrosztatikus mez ltal tetszleges zrt grbe mentn vgzett munka nulla. Ennek

a tnynek aztn szmos kvetkezmnye van. Mivel mechanikai tanulmnyainkban mr

tallkoztunk a konzervatv mezkkel, s konzervatv tulajdosg klnbz megfogalmaz-

saival, itt csupn tfutjuk ket.

L~E d~s = 0 Az elektromos mez trerssgnek tetszleges, zrt grbre vett grbe-menti integrlja nulla. Ugyanezt most elmondannk zikul is: az elektrosztatikus

mez tetszleges zrt grbe mentn vgzett munkja nulla.

L.. =

bL1a

.. + aL2b

.. = bL1a

.. bL2a

.. = 0 bL1a

.. = bL2a

.. Az integranduss az integrcis vltoz minden integrlban azonos, az egyszerbb rsmd ked-

vrt ezeket most nem rjuk ki. Az L zrt grbt a s b -egybknt tetszleges

- pontoknl kt, L1 s L2 grbre bontjuk. az L2 grbe irnytsnak meg-

fordtsa az integrl eljelnek megvltozshoz vezet. Az ebbl kvetkez llts

5

pedig gy hangzik: az elektrosztatikus tr ltal vgzett munkt a kezd s a vgpont

egyrtelmen meghatrozza, nem fgg teht attl, hogy milyen grbeszakasz mentn

-milyen ton- megynk a munkavgzs sorn a kezdpontbl a vgpontba. Ez azt is

jelenti, hogy konzervatv mez esetn jogunk van gy megvlasztani az integrcis

utat, hogy a szmts a lehet legknyelmesebben elvgezhet legyen.

bL1a

.. = bL2a

.. = (Ub Ua) Az a tny, hogy a munkavgzst a kezd s a vgpontegyrtelmen meghatrozza, arra utal, hogy e munkavgzst a kezd, s vgpontokhoz

-ltalban a tr pontjaihoz- hozzrendelt mennyisgek klnbsgvel adhatjuk meg.

L~E dr =

A(L)rot( ~E) d

A = 0 rot( ~E) = 0 Stokes integrl-trafo alpjn azrt grbementi integrl felleti integrll alakthat s viszont. Ez ahhoz vezet, hogy

tetszleges felletdarabra a rotci felleti integrlja nullt ad, amibl kvetkezik a

konzervatv tulajdonsg egy ujabb megfogalmazsi formja. Ennek a rot( ~E) = 0formnak igen nagy a gyakorlati haszna, ugyanis, ha a mez vektorfggvnyknt

adott, akkor a rot mveletvel eldnthet, hogy az adott mez konzervatv-e, vagy

sem.

A fenti tulajdonsgok mind automatikusan teljeslnek, ha az elektromos mezt ~E =gradU alakban, azaz egy U(~r) skalrfggvny negatv gradienseknt lltjuk el. AzU fggvnyt potencilfggvnynek nevezzk. Ebbl szrmazik az elektrosztatikus

mezbe helyezett q ponttlts helyzetbl add munkavgzkpessge, a Wpot po-tencilis energia. Wpot = q U . Ezen kapcsolat az U potencil, s aWpot potencilis

energia kztt pontos megfelelje az

~F = q ~E kapcsolatnak. Vagyis az elektromosmezt az U potencilfggvny illetve az E elektromos trer jellemzi, a behelyezett

aktulis q tlts potencilis energijtWpot =qU illetve a r hat ert az

~F = q ~Eadja meg.

Ha megtalltuk az elektromos mez (egy) U potencilfggvnyt, akkor minden olyan

fggvny, amely az U -tl egy additv K llandban klnbzik ugyanazt a zika teret

lltja el:

U (~r) = U(~r) +K ~E = gradU gradUA konstans brmilyen vltoz szerinti derivltja ugyanis elhallozik (nulla lesz).

A tetszleges konstans hozzadsa a potencilis energival trtn szmolsokat sem be-

folysolja, ugyanis szmtsainkban mindig potencilis energia klnbsgek jelennek meg,

gy a hozzadott lland kiesik. A potencilfggvny teht csak egy additv llandtl

eltekintve van egyrtelmen meghatrozva, gy tetszs szerint vlaszthatjuk meg a poten-

cilis energia zrushelyt is.

Ha egy f(~r) fggvny ~r fggetlen vltozja ~r + d~r -re vltozik, akkor ltalban a fg-gvnyrtk is megvltozik. Ezen f(~r + d~r) f(~r) nvekmny (sorfejtsbl csonktott)lineris rszt az f fggvny teljes dierenciljnak nevezzk, s df -el jelljk.

6

f(~r + d~r) f(~r) = [f(~r) + f/x dx+ f/y dy + f/z dz + + ] f(~r)

Csupn a lineris nvekmnyt megtartva kapjuk a kvetkezket:

df = f/x dx+ f/y dy + f/z dz = grad(f) d~rMivel az

~E elektromos trer a tltsegysgre hat ert adja meg, a d~r elmozduls sornvgzett elemi munka az ( ~E = gradU) d~r alapjn szmthat. Figyelembe vve azelbbieket a dU = gradU d~r alakot kapjuk, gy a tltsegysgen elkvetett munkavgzselemi, illetve integrlis formja :

dU = ~Ed~r U(~r) =

~Ed~r (1)

A fenti integrl egy npies alkalmazsi formjt kapjuk meg homogn elektromos mezben

-pl. skkondenztor d tvolsgban lev lemezei kztt-, ugyanis ekkor az integrl E*d alak-

ban szmthat. A kondenztorlemezek U potencilklnbsge, s a trerssg kapcsolata

teht U=E*d.

A fent (1) hatrozatlan integrl integrcis llandjt gy vlasztjuk meg ahogy az

neknk megfelel. Vannak azonban bizonyos hagyomnyok, pl. a ponttlts potencilja,

amelyet a Coulomb trvny alapjn az elbbi integrlssal kapunk, rendszerint a kvetkez

alakban jelenik meg:

U =1

4pi

q

r

azaz a ponttlts potencilja vgtelen tvoli pontban vlik nullv.

A sztatikus elektromos mez konzervatv voltbl kvetkezik az ssz-energia llandsga

ezen trben Wkinetikus +Wpotencialis =lland.Az elemi munka :

~Fd~r = q ~Ed~r = d(qU)

W1,2 =

21

~Fd~r = (qU2 qU1) = (Wp(2)Wp(1))

Amunkattel azt mondta neknk, hogy az ered er munkja a mozgsi energia nvekedst

adja.

(Wk(2)Wk(1)) = (Wp(2)Wp(1))Amely trendezssel ahhoz a kijelentshez vezet, hogy a potencilis s a mozgsi energik

sszege a mozgs (brmely) kt klnbz idpontjban ugyanaz az rtk.( elektrosztatikus

erk hatsa alatt).

(Wk(2) +Wp(2)) = (Wk(1) +Wp(1))

7

A fentiek egy elemi alkalmazsaknt azt hatrozzuk meg, hogy milyen sebessgre tesz

szert az m tmeg, -q tls, kezdetben nyugalomban lev pontszer rszecske U poten-

cilklnbsg befutsa sorn. A fentiek aktulis tirata a kvetkez:

0 = 1/2mv2 qU v =2qU

mA fenti fejezet az elektrosztatikus mez konzervatv voltt jrta krbe. Az elektrosztatik-

nak ez a trvnye mg egyenletesen mozg tltsek, de idben lland mezk - egyenramok

- esetn mg fnnll, de idben vltoz mezk, esetn mr nem igaz.

Ha a q tlts U potencilklnbsget -feszltsget- fut be, akkor a tlttt rszecskn

az elektromos erk qU munkt vgeznek. Ha mindig ugyanarra a tltsre gondolunk,

akkor a munkavgzst, illetve a munakvgzs sorn nyert energit az U potencilklnb-

sggel is egyrtelmen jellemezhetjk. Ezen alapul az atomzikban, magzikban, stb.

szleskren alkalmazott energiaegysg, az un. elektronvolt , vagy rviden eV. 1 eV

energira tesz szert a qe = 1.6 1019As () elemi tltssel rendelkez rszecske, ha 1 Voltpotencilklnbsget fut be. Ha az eV egysgben adott energiartket az elemi tltssel

megszorozzuk, akkor megkapjuk ugyanazon energia Joule egysgekben kifejezett rtkt.

()Tudomsul kell vennnk, hogy az elektromos tlts atomos, szemcss ter-

mszet, azaz van legkisebb, tovbb nem oszthat mennyisge. Ezt a tltsmen-

nyisget nevezzk elemi tltsnek, s az anyag egyes elemi alkotrszei a proton, s

az elektron - ellenttes eljellel - ekkora tltssel rendelkeznek. Az elektrodinamika

semmit nem tud s nem is mond errl a tlts szemcszettsgrl, egyszeren minden

zavar nlkl egytt tud lni vele.

Elektromos diplus

Egy nagyon alapvet msik tlts eloszlstipus az un. diplus (azaz ktplus). Ennek

tulajdonsgait vizsgljuk az albbiakban.

Kt ellenttes eljel, azonos nagysg tlts egy specilis tltseloszlst alkot, ezt

nevezzk diplusnak. Ha az l vektor a diplus negatv tltstl a pozitv fel mutat, akkor

8

a diplus diplmomentumt a kvetkezkppen deniljuk: ~m = q~l. Pontszer diplusebbl gy lesz, hogy fltesszk, a kt tlts kztti tvolsg nullhoz kzelt, mikzben azm

diplmomentum egy vges rtkhez tart. Teht nem a q tlts s nem az l tvolsg jellemz

a diplusra, hanem a q l szorzat. Diplus tulajdonsgat az t alkot monoplusok, azaz

egyplusok (vagyis ponttltsek) tulajdonsgaibl ptjk fl. Ponttlts E elektromos

mezjt, U potenciltert, s a r kifejtett F ert a kvetkez sszefggsek adjk:

~E(~r) =q

4pior

~ror2, U =

1

4pi

q

r, ~F = q ~E

Az els kifejezsben szerepl E elektromos mez az origba elhelyezett ponttlts elek-

tromos mezjt rja le. Az utolsban egy E elektromos trejej mezben elhelyezett pont-

tltsre kifejtett ert kapjuk. ( Vagyis a kt E nem ugyanaz).

A pontszer elektromos diplus bevezetse kt jabb teendt sugall. Ezek egyike azt

tisztzn, hogy ezen specilis tltseloszls milyen elektromos mezt illetve potencilteret

hoz ltre. Ezzel rszleteiben ugyan nem foglalkozunk, de azt mindenkppen tudnunk

kell, hogy amg a pontszer elektromos tlts trerssge a ponttltstl mrt tvolsg

nvekedtvel 1/r2 szerint tart nullhoz, az elektromos diplus keltette trerssg 1/r3 sz-erint cskken. Mivel ez az er sokkal rohamosabban tart nullhoz a tvolsg nvekedtvel,

gy ez a rvid hattvolsg erk kz tartozik.

Az t, amelyen vgighaladva meghatrozhatnnk egy diplus potenciltert, nagyon

egyszer, hiszen a kt (+ s - ) ponttlts potenciljt kell sszegeznnk, valahogy gy:

U = U+ + U =q

4pi(

1~r ~l 1|~r|)Tudnunk kell, hogy itt a diplus negatv ponttltst helyeztk az origba, s az r

helyvektor az origbl abba a trbeli pontba mutat, ahol a potencil rtkt keressk.

rdekessgek csupn a geometriai rszben vannak, ezrt csupn azt alaktjuk tovbb:

1~r ~l 1|~r| =|~r|

~r ~l~r ~l |~r| =|~r|

~r ~lr2

Mivel az l nullhoz tart, a nevezben a nagy r mellett az l elhagyhat. A szmllban

ez azrt nem tehet meg, mert a nagy r, r-l tkek kis klnbsgben egyedl az l marad

valamilyen formban talpon. Azt mr ebbl az elemi vizsglatbl is ltjuk, hogy amg

a ponttlts potencilja 1/r szerint tart nullhoz a nvekv r tvolsg fggvnyben, a

diplus potencilja ezt 1/r2 szerint teszi. Mint ahogy sttben minden tehn fekete, gynagy tvolsgbl minden tltseloszls ponttltsknt kezelhet. Ha pontosabban akar-

juk lerni nagy tvolsgbl a tltseloszls elektromos tert, vagy ha az ssztlts nulla,

akkor tltseloszls diplus tert is gyelembe kell vennnk (azaz szuperponlni a pont-

tlts terre). Meg kell jegyeznnk, hogy a sor folytathat magasabb multiplusok ternek

9

gyelembevtelvel, pontosan olyan mdon, ahogy pl. egy Taylor srfejtsnl az egyre ma-

gasabb hatvny tagok gyelembe vtele egyre pontosabb kzeltst eredmnyez.

A msik dolog, amit valamivel rszletesebben megnznk az az, hogy milyen hatst

fejt ki az elektromos mez a behelyezett diplusra. Kt hatssal kell szmolnunk: az

elektromos mez forgatnyomatkot fejt ki a diplusra, igyekszik t beforgatni a trer

irnyba. Inhomogn elektromos trrssg esetn a mez ert fejt ki a diplusra.

A forgatnyomatk kiszmtsa az egyes (mono) -plusokra kifejtett erhats ismeretben

trtnik. Mr itt megjegyezzk, hogy az elektromos diplusra kifejtett erhats, s for-

gatnyomatk kifejezsek - a bennk szerepl mennyisgek neveitl eltekintve - egy az egy-

ben tvihetk mgneses diplusokra is. Ami egyedl nem mkdik ebben az trsban az

a levezetsek alapelve, mivel mgneses tltsek -monoplusok- nem lteznek. A diplusra

kifejtett forgatnyomtkot az egyes tlsekre kifejtett forgatnyomatkok sszegeknt kapjuk.

Az iskolban gy tanultuk, hogy az r pontban hat F er, origra val nyomatkt az r x F

vektorszorzat adja. Ezek alapjn az elektromos mez diplusra kifejtett forgatnyomatka

a kvetkez :

~M = ~M + ~M+ = [~r (q ~E)] + [(~r +~l) (q ~E)] = [~l (q ~E)] = [~m ~E]Fxe = Fx + Fx+ = qEx(~r) + qEx(~r +~l)Az r + l helyen jelentkez Ex trert az r krli sorfejts lineris tagja alapjn kapjuk.

Ex(~r)+Ex(~r+~l) Ex(~r)+Ex(~r)+(Ex/x) lx+(Ex/y) ly+(Ex/z) lz+ . . .

{lx (/x) + ly (/y + lz (/z)}Ex = (~l)Exa q -val trtn szorzs utn -gyelembe vve a diplus dencijt-kapjuk

Fxe = (~m)Ex illetve ~F = (~m) ~EHomogn elektromos trben ez az er eltnik, ti. a Nabla opertor ugyanis helyko-ordintk szerinti valamiyen derivlst jelent. Homogn elektromos mezben ezen derivl-

tak nullk, itt csak forgatnyomatkot fejt ki a mez a diplusra.

1.2. Megosztsvektor, az elektromos mez forrsossga.

Az elektromos mezben az erhatsokat az E elektromos trerssg vektortervel rtuk le.

Mint emltettk, elektrosztatikus mezkben az erhatson kvl egy msik jelensgkr is

meggyelhet, nevezetesen az, hogy az elektromos mez az eredetileg elektromosan sem-

leges testeket elektromos tulajdonsgokkal ruhzza fl. Ha vezett helyeznk elektromos

mezbe, nagybani - makroszkpikus - tltssztvlaszts jn ltre. A jelensget inuenci-

nak, illetve megosztsnak nevezzk. Azokat az anyagokat nevezzk elektromos vezetknek,

amelyekben tltsszlltsra, mozgsra kpes tltshordozk vannak. Ilyenek lehetnek dis-

szocilt molekulk ionjai oldatokban (pl szott vz), szabad elektronok -un. delokalizlt,

atomtrzshz nem kttt elektronok - pl. fmekben, ionizlt atomok, molekulk gzokban,

10

stb. Szigetelkben, vkuumban nem tallunk tltsszlltsra alkalmas rszecskket, br a

legtbb szigetel alkalmasan nagy elektromos trervel vezetv tehet. Azt a trerssget,

amelynl a szigetel eleveszti szigetel tulajdonsgt, ttsi szilrdsgnak nevezzk. Ezen

trernl s e fltt egy szikraszer kisls jtszdik le, amely szilrd kzegben maradand

roncsolst okoz. Ennek a jelensgnek levegbeli vltozata a villmls, illetve szeldebb

vltozata a fnykpezgpek villanfnye.

Ha szigetelket tesznk elektromos mezbe, bennk nagybani tltssztvlaszts nem

jhet ltre. Molekulris mreteken bell azonban -mivel az ellenttes eljel elektronfel-

hre, s az atommagra ellenttes irny ert fejt ki a mez, a tltsek tmegkzppontjai

sztvlnak, a molekulbl diplus lett. Ezen diplusnak a diplmomentuma az alkalma-

zott elektromos mez trerssgvel arnyos, s irnya rtelemszeren az alkalmazott mez

irnyval egyezik. Ha a molekula mr eredetileg is elektromos diplussal rendelkezett, akkor

a diplusra a kls mez forgatnyomatkot fejt ki, vagyis a kls mez sajt irnyba

igyekszik forgatni a diplust.

Azt a szt, hogy polarizci kt rtelemben is hasznljuk. A polarizci jelensge

azt jelenti, hogy kls elektromos mez hatsra a szigetelben trfogati diplussrsg

jelenik meg. Magt a trfogati diplussrsget is polarizcinak nevezzk. Ennek formai

dencija a kvetkez:

~P =lim

V 0 ~p

V(2)

Itt jra azt hangslyozzuk, hogy ( 2 ) egy formai denici, amelyet nem szabad szsz-

erint rtelmeznnk. A V trfogatelemmel csak olyan kis trfogat rtkig mehetnk le,amely trfogatelemben mg olyan sok molekula van hogy a trfogatelem kis megvltoz-

tatsa hatsra a bennfoglalt mennyisg is csak kicsit ( s nem szemcszetten ) vltozik

meg.

Ha egy j vezett pl. egy fmdarabot sztatikus elektromos mezbe helyeznk, akkor

abban tltsvndorls indul meg, s a sztatikus llapot csak ksbb alakul ki. A kls

eredet elektromos mez a fm belsejbe is behatol, s a mozgsra kpes tltshordozkra

azok eljeltl fggen az elektromos mez irnyval megegyez ( + tltsekre F+ ), illetve

azzal ellenttes ( - tltsekre F- ) ervel hat. Ezen erk hatsra a tltsek, -eljelknek,

s az alkalmazott kls elektromos mez irnytsnak megfelel - felletrszeken kigyl-

nek. (lsd az 2 szm rajzot). A tltsek a fmfelletet nem tudjk elhagyni, mivel a

kilpshez szksges un. kilpsi munkt az elektromos tr ltalban nem fedezi. (Igen

nagy trerssgek esetn fllp ugyan az un. tremisszi jelensge, -elektronkilps pusztn

az alkalmazott nagy elektromos tr kvetkeztben- de most nem ezt a jelensget vizsgljuk)

Most mr -szrmazsukat tekintve- kt elektromos meznk van. Az eredeti elektromos

meznk, s a felleten kigylt tltsek ltal keltett msodlagos elektromos mez. Ezen

sztvlasztott tltsek a fm belsejben az eredeti mez irnyval ellenttes irny elek-

tromos teret keltenek. A sztatikus llapot fel tart folyamat kzbens fzisaiban a fm

belsejre a kt elektromos mez szuperpozicijaknt (egymsra rakdsaknt, vagy egysz-

erbben sszeaddsaknt) az eredeti trerssgtl kisebb trerssg lesz jellemz. Ezen

11

2. bra. Az elektromos mezbe helyezett vezetben makroszkopikus tltssztvlaszts

jtszdik le.

tltssztvlsi folyamat addig tart, amg a vezet belsejben az ered elektromos mez

trerssge nullv nem vlik. Ebben az llapotban ismt sztatika van.

Ha a vezet belseje reges, a vgllapot ugyanez, bell nulla elektromos teret ka-

punk. Ezt a jelensget takarja az az llts, hogy az elektrosztatikus tr vezet felletekkel

rnykolhat. (Faraday kalitka) Mivel a sztatikus elektromos trerssg a potencil negatv

gradienseknt llthat el, a nulla trerssg trrsz egyttal lland potencil tr-

rsznek felel meg, vagyis a vezet belseje, s fellete is, sztatikban, ekvipotencilis tar-

tomny, illetve ekvipotencilis fellet. Szmtanrn tanultuk, hogy egy f skalrfggvny

gradiense a leggyorsabb fggvnynvekeds irnyba mutat, s egyttal merleges az f=l-

land felletre. Ugyanez most itt gy hangzik: a sztatikus elektromos mez vektora mindig

merleges a vezet felletre.

Ha a testet, amelynek felletn a tltsek kigyltek kettvgjuk, vagy sztvlasztjuk

(kt rszbl sszeillesztett testknt tettk be az elektromos mezbe), akkor kt olyan testet

kapunk amelyeken ellenttes eljel, de egyenl nagysg elektromos tlts mrhet.

Az elektromos meznek ezt a tltssztvlaszt, tltsmegoszt kpessgt egy vek-

tortrrel jellemezzk, amelyet rendszerint

~D(~r, t)-vel jellnk, s elektromos eltolsvek-tor, elektromos indukcivektor, illetve elektromos megosztsvektor nevekkel illetnk. Ha

szigetelnyllel elltott, korong alak kt vezetlapot (kt olyan palacsinast szer sz-

erkentyt ) szzeszortva az elektromos trbe tesszk, ott sztvlasztjuk, akkor az elektro-

mos trbl kivve megmrhetjk a korongok tltseit. Egyenl nagysg, de ellenttes el-

jel tltseket kapunk. Azt tapasztaljuk, hogy az elektromos mez ugyanazon pontjba, de

klnbz felleti irnytssal betve e szerkezetet, klnbz nagysg tltseket kapunk.

Kivlasztva a korongoknak azon helyzett (felleti normlis irnytst), amelynl a max-

12

imlis sztvlasztott tltsmennyisget kapjuk, a helyi megosztsvektor rtkt ezen max-

imlis tltsmennyisg alapjn szmtott felleti tltssrsg szmrtkvel deniljuk.

Ez teht a Qmax/A, ahol A a korong terlete. Pontbeli rtk ebbl akkor lesz, ha a

korong felsznvel kicsi rtkekhez tarunk:

max =dQmaxdA

[As

m2] | ~D| = maxgy D egysge is As/m2. A D vektor irnytst, a maximlis tltshez vezet koronghe-lyzetben, a pozitv tlts korong kifel (nem a negatv tlts korong fel) mutat felleti

normlisa adja meg.

Az elektrosztatika msik alaptrvnye az elektromos megosztsvektor tulajdons-

gait tisztzza. Tapasztalataink szerint e vektortr brmilyen zrt felletre vett zrtfelleti

integrlja (zrtfelleti uxusa), a zrt fellet ltal hatrolt trfogatban lev ssztltssel

egyenl. A sztatika els alaptrvnye kapcsn emltettk, hogy idben vltoz mezkre

a konzervatv tulajdonsg mr nem ll fnn. E msodikknt emltett trvny azonban

tetszlegesen vltoz terekre is fnll, gy az elektrodinamika egyik alaptrvnyt jelenti,

amely a sztatikban megismert formjban tovbb l az elektromgnessg, az elektrodi-

namika aximarendszerben amelyeket Maxwell egyenleteknek neveznk.A

~Dd ~A =j

Qj

A zrt felleten belli tltsek klnfle tltseloszls tpusokbl szrmazhatnak:

Ponttltsek lehetnek a trfogatban qiTrfogati tltssrsg:

=dq

dv[As

m3] QV =

V

(~r) dV

Felleti tltssrsg:

=dq

dA[As

m2] QA1 =

A1

(~r) dA

Vonalmenti tltssrsg:

=dq

dl[As

m] Ql =

l

(l) dl

A trvny loklis formjhoz csupn (~r) trfogati tltssrsget tesznk fl.A

~Dd ~A =

V (A)

(~r) dV

A baloldali zrfelleti integrlt Gauss ttelvel trfogati integrll alakthat. Ennek tren-

dezett formja a kvetkez:

13

V

(div ~D (~r)) dV = 0

Az integrl tetszleges trfogatra akkor ad nulla rtket, ha fennll:

div ~D =

Ez az elektrosztatika (s egyttal az elektrodinamika) msodik alaptrvnynek dieren-

cilis megfogalmazsa. Azt mondja ki, hogy az elektromos mezk forrsosak, forrsok

az elektromos tltsek. Kiss lazn, de ide kapcsoldik az elektromos mezk ervonalas

szemlltetsnek az a szablya, hogy az ervonalak a pozitv tltsekbl indulnak ki, s a

negatv tltseken zrdnak.A

~Dd ~A =j

Qj div ~D =

Habr az integrlis s a dierencilis vltozatok ugyanazon zikai tulajdonsgot fogalmaz-

zk meg, ezek mgsem egyenrtkek. Az integrlis forma ltalnosabbnak tekinthet

mivel brmilyen tltseloszls tpusbl szrmaz tltst -minden formai nehzsg nlkl-

gyelembe tud venni. A dierencilis vltozat mr nmi izgalmas matematikai perverzitst

ignyel ahhoz, hogy pl. a ponttltseket mint tltssrsgeket adjuk meg.

Polarizci

A szigetelket dielektrikumoknak is nevezzk. Ezen anyagokat alkot molekulk, atomok

elektomos dipljellegbl kvetkez zikai tulajdonsgokkal foglalkozunk.

Egyes kmiai anyagok molekuliban a pozitv s negatv tltsek tmegkzppontja

eleve nem esik egybe, gy lland diplmomentummal rendelkeznek. Az ilyen tipus

molekulk legismertebb kpviselje a vizmolekula. Kls elektromos mez forgatny-

omatka igyekszik 'beforgatni' ezeket a diplokat az elektromos mez irnyba. Statisztikus

mechanikai ismereteink azt mondjk, hogy az ekvipartici szerint a szabadsgi fokokra jut

tlagos energia kT/2 . Az energin val osztozkods szempontjbl teht egyenjog part-

nerek a halad mozgs (transzlci) s a forgs (rotci) szabadsgi fokai. Ez a hmrsk-

lettel arnyos forgs az oka annak, hogy a permanens dipllal rendelkez anyagokban

mg ha be is lltottuk volna a diplusokat 'egy irnyba', a 'hmozgs' forgshoz kapc-

sold rsze e rendezettsget rvid idn bell elmosn, s az sszevissza mutat dipl-

momentumok (vektori) sszege vgl zrus ered diplmomentumot eredmnyaz. Az is

vilgosan ltszik, hogy a beforgats kifejezs csupn res szhasznlat, taln helyesebb ha

azt gondoljuk, hogy a molekulk forgsuk sorn idtlagban tbbet tltenek az elektromos

mez irnyban, mint azzal ellenttes irnyban, gy az alkalmazott elektromos mez ered

trfogati diplmomentumot hoz ltre.

Ha a molekula tlteseloszlsa szimmetrikus, azaz a tlts slypontok egybeesnek (apolros

molekula), akkor a molekula nem rendelkezik sajt elektromos diplussal. Az alkalmazott

14

elektromos mez ellenttesen hat a pozitv s negatv tltsekre, vagyis az eredetileg egy-

bees tltskzppontokat szthzza, gy diplus keletkezik. Ez azonban -a szrmazsa a

biztostk r-, eleve a trrel megegyez irny.

A kialakul trfogati ~p diplsrsg azaz trfogategysg diplmomentuma (kzeltleg)

arnyos az alkalmazott elektromos mez intenzitsval. ~p = o ~E . A (kappa) dielek-tromos szuszceptibilits ( csodaszp sz) a szbanforg anyag polarizlhatsgt jellemzi.

Nagyobb rtke azt jelenti, hogy ugyanazon E trer nagyobb trfogati diplmomentumot

hoz ltre. A fentiekbl azt is lthatjuk, hogy a permanens dipllal rendelkez anyagok

polarizlhatsga hmrskletfgg -magasabb hmrskleten kisebb a szuszceptibilits,

azaz kevsb polarizlhatk-, msrszt, ha mr 'beforgattuk' a molekulk zmt, akkor a

rkvetkez trer nvels mr nem tud jabb molekulkat beforgatni, gy az anyag kisebb

polarizlhatsgot mutat nagy trernl. Ez a telts jelensge. Ez utbbi jelensgek -a

polarizlhatsg hmrskletfggse, s a telts jelensge- az apolros anyagok polarizl-

hatsgban nem jelentkezik.

A trer s a megosztsvektor kapcsolata

Folyt. Kv.

Vkuumban

~D = o ~EAnyagi kzegben

~D = ro ~EEbbl a vkuum jrulka

~Dv = o ~EAz anyagi kzeg jrulka

~D ~Dv = (r 1) o ~E ez pedig nem ms mint a trfogatidiplsrsg, a szbanforg kzeg polarizcija. A szigetel anyagok relatv dielekromos

llandjnak rtke teht az illet kzeg polarizlhatsgval fgg ssze.

Laplace-Poisson egyenlete

Az elektrosztatika kt alaptrvnynek sszersa egy alapveten fontos egyenlethez

vezet.

A sztatikus elektromos mez konzervatv voltt szmos, -matematikai alakjt tekintve

klnbz - formban fogalmazhatjuk meg. Ezek egyikt hasznljuk most

~E = gradUA msodik alaptrvny dierencilis alakja

~D = ro ~EEzek sszersa kvetkezik:

div ~D = div (rogradU) = Tartomnyonknt homogn, izotrop dielektrikum esetn az = ro-at kiemelve, valamintmindkt oldalt osztva kapjuk az elektrosztatika Laplace-Poisson ( LP ) egyenlett:

U =

Ezen Laplace opertor trsnak formai gazdagsgt mutatja a kvetkez nhny alak

div gradU = (U) = 2U = U . Descartes koordintarendszerben ez a kvetkeztjelenti:

2U

x2+2U

y2+2U

z2= (~r)

15

Ez egy parcilis dierencilegyenlet a meghatrozand U(~r) potencileloszls szmra. Is-mert (~r) tltseloszls esetn teht az LP egyenlet teszi lehetv a meghatrozst Azegyrtelm megoldshoz a vizsglt tartomny peremeire elrsokat kell tennnk.

Hatrfelttelek

Az elektrosztatika kt alaptrvnyhez jutottunk el. Az egyik a statikus elektromos

mez konzervatv tulajdonsgt mondja ki. Ezt integrlis, s dierencilis formban fogal-

mazhatjuk meg: L~Ed~s = 0 rot ~E = ~0

Ennek kvetkezmnyeknt az elektromos mezt egy skalr potencil gradienseknt l-

lthatjuk el:

~E = gradU A msik trvny az elektromos mez forrsossgt fogalmazzameg:

~Dd ~A =

Qi div ~D =

A kt trvny sszersa vezet az elektrosztatika Laplace-Poisson egyenlethez.:

U =

Ennek megoldsa a vizsglt tartomny peremei mentn elrsokat, un. peremfeltteleket

ignyel. Ezen peremfeltteleket kvnjuk ellltani. Nmileg ltalnostva: tisztznunk

kell, hogy bizonyos zikai mennyisgek milyen szablyokat ktelesek kvetni kt klnbz

tulajdonsg kzeg hatrfellete mentn. E szablyok -ha gy tetszik peremfelttelek- az

elektrosztatika alaptrvnyeibl vezethetk le.

Elsknt a konzervatv tulajdonsgot kifejez integrlis formult alkalmazzuk, amely

szerint tetszleges zrt L grbre

L~Ed~s = 0. Az bra bal oldaln lev rajzocska jellseitalkalmazzuk. Itt egy 1-es s egy 2-es kzeget elvlaszt hatrfelletben egy ds velemet

helyeznk el. Az velem a fellet P pontjbl, a fellet Q pontjba mutat. Ezen P s Q

pontokat P s Q pontokknt kiemeljk a 2-es kzegbe, illetve P' s Q' pontokknt az 1-es

kzegbe. Zrt L grbt kapunk amelynek krljrsa a P'PQQ'P' sorrendnek felel meg.

Erre a zrt grbre kvetjk el az integrlt. Az integrl tartomny szerinti additivitsa

szerint az egyes grbedarabokra elkvetett integrlok sszegeknt kapjuk a zrt grbementi

integrlt. rtelemszeren e grbedarabok a kvetkezk: P'P, PQ, QQ', s vgl Q'P'.

Most a kvetkez hatrtmenetet kvetjk el:

Visszavisszk P-t a felletben lev P-be Q-t Q-ba gy, hogy a PQ velem is a fellet

ds velemhez kzelt azonban mindvgig a 2-es kzegben maradva. Ugyanezt elkvetjk az

1-es kzegbeli P', Q' pontokkal. A zrt grbementi integrlbl ezen tmenet sorn nullv

vlnak a P'P s a QQ' szakaszokra elkvett integrlok, mivel az integrcis tartomnyuk

zerushoz tart. (az integrandust vgig korltosnak tekintjk) Ami marad az PQ illetve a

Q'P' velemekre elkvetett integrlok. Ezen velemek besimulnak a felletbeli velembe, igy

az integrlt az eredeti PQ velem helyett, a PQ velemre vgezzk el, megrizve azonban

16

az integrandus 2-es kzegbeli, hatrfelletkzeli rtkt. Amikor Q'P' velemrl ttrnk

a PQ velemre, akkor az ellenttes grbeirnyts miatt eljelvltst kell alkalmaznunk. A

kvetkezk maradtak teht neknk:~E2d~s

~E1d~s = 0

Egy integrl mg kltztethetjk mindkettt. Az E elektromos mez vektort felrhatjuk

a ds irnyba es tangencilis, s arra merleges (normlis) sszetev sszegeknt:

~E =~Et + ~En Merlegessg miatt az ~End~s skalris szorzat nullt ad. Mivel az Et tangencilissszetev s a ds velem prhuzamosak a skalris szorzs kifejtse egyszeren a vektorjelek

elhagyst jelenti:

~Etd~s = Etds . Ez marad teht: QP

(Et2 Et1)ds = 0

Mivel az integrl tetszleges felletbeli Q s P pontok kztt zrust ad, ebbl az inte-

grandus zrus rtkre kvetkeztethetnk, amibl :

Et1 = Et2

Kt kzeg hatrfellete mentn az elektromos mez tangencilis sszetevje folytonosan

megy t, vagyis a fellet +0 helyen ugyanannyi, mint a fellet -0 helyen.

Kvessnk el rptben egy egygy zikai alkalmazst : vezetk (pl. fmek) belsejben

az elektromos trer nulla (sztatikban), gy a tangencilis sszetev is. Ha ez a fellet

bels oldaln nulla, akkor kteles a fellet kls oldaln is nullnak lenni. Ha teht kvl

elektromos mez van, akkor ez csak merleges lehet. A sztatikus elektromos mez merleges

a vezet felletre.

Folyt. Kv. L~Ed~s = 0 Az 1-es s a 2-es kzeget elvlaszt hatrfelletben fekszik a PQvdarab. Ennek Q s P vgpontjait kiemeljk a 2 -es kzegbe is s az 1 -esbe is. Az gy

kapott hurokra alkalmazzuk a A

~Dd ~A =j

Qj

Dn2 Dn1 =

Kapacits, kondenztorok

Ha egy vezet testre mr flvittnk valamennyi (mondjuk +) Q tltsmennyisget, akkor a

rkvetkez+q tltsadag felvitelnl mr le kell kzdennk az eredetileg fnnlev tltsek

kifejtette elektrosztatikus taszt ert, azaz valamennyi munkt kell vgeznnk a taszt

erk ellenben. A sztatikus elektromos mezk konzervatv tulajdonsga kvetkeztben e

munkavgzs a kiindul, nknyesen zruspotencil pontnak vlasztott, hely s a tlttt

17

3. bra. Hatrfelttelek az elektromos mezre kt kzeg hatrfellete mentn.

vezet felsznre (s teljes trfogatra) jellemz U potencil klnbsgvel, azaz az U

feszltsggel a kvetkezkppen fejezhet ki: W= q U.

Knnyen belthat, hogy ha tbb Q tltst vittnk fl a vezet testre, akkor a nagyobb

taszter kvetkeztben tbb munkt kell vgeznnk ugyanazon q tlts flvitelekor. E

munkavgzs a q*U fomban szmthat. Szmunkra itt az a kvetkeztets rdekes, hogy

ha mr flvittnk egy vezet testre valamennyi Q tltst, akkor azon a testen valamilyen, a

flvitt tltssel arnyosU potencil alakul ki. Mr a Coulomb trvnynl is szleltk, hogy

ugyanazon tltseloszls (a tltsek s a geometria rgztett) elemei kztt fllp erhats

valahanyad rszre lecskken pl. olajban, a levegben mrt erhatshoz viszonytva. A

cskkens mrtkt az olaj relatv dielektromos llandja adja meg. Ez persze azt jelenti

18

a munkavgzs lecskkense folytn, hogy ugyanazon tltsmennyisg s geometria esetn

a tlttt test potencilja is kisebb lesz, ha a 0 potencil hely s a tlttt test kztti

trrszt egy r > 1 dielektromos llandj kzeggel tltjk ki.A flvitt Q tlts, s a kialakul U potencilklnbsg (feszltsg) arnyossga a

kvetkezkppen fejezhet ki U=Q/C . Ennek trendezett formja a Q=CU valamivel

szemlletesebb zikai rtelmezst enged meg. Kiolvashat ugyanis, hogy az U poten-

cilklnbsg mellet a trolt Q tlts annl nagyobb, minl nagyobb a C rtke, azaz

C az elrendezs tltstrol kpessgt, tltstrol kapacitst jellemzi. A C kapacits

egysgnyi, ha 1Volt feszltsg mellet 1 As-nyi ttst kpes trolni az eszkznk. Ezt az

egysget Faraday utn 1Farad vagy 1F=1 As/V

Kondenztoroknak nevezzk azokat az eszkzket, amelyeket kimondottan kapacitsuk

miatt hasznlunk ramkreinkben. Ezek rendszerint kt, egymstl elszigetelt, egyms-

sal, szembenll fmfelletbl llanak. Ezeket a fmfelleteket fegyverzeteknek nevez-

zk. Ha a fegyverzetek kztt potencilklnbsg van, akkor a fegyverzetek egyms fel

lev felletein felleti tltseloszls formjban tltsek jelennek meg. Ezek a tltsek

a fegyverzetekhez vezet kivezetseken (drtokon) keresztl ramlanak, teht amikor a

kondeztorokat feltltjk, akkor ram folyik a kondenztorhoz vezet drtokban, de a

kondeztor fegyverzetek kztt nem lpnek t tltsek. A kondenztor ssztltse rend-

szerint nulla, vagyis az egyik fegyverzeten ugyanannyi negatv tlts van amennyi pozitv

a msikon. Ezrt amikor azt halljuk, hogy a kondenztor tltse ennyi, meg annyi, akkor

tudnunk kell, hogy ez az egyik fegyverzet tltst jelenti. A kondenztorok jellemzje a

kapacitsa, s a megengedett max feszltsg. (s mg sok ms pl tvezets... vesztesg... )

A legegyszerbb geometrij kondenztor kt prhuzamos fmlemezbl ll. A szem-

ben ll felletek nagysga A, a lemzek tvolsga d . a kzttk lev trrszt r relatvdielektromos llandj kzeg tlti ki.

C = or A/dHa a kondenztoron Q' tlts van, akkor a feszltsge U=Q'/C, az jabb dQ' tlts

flvitelhez szksges munka dW= qU=Q'/C dQ'. Ennek integrlja adja meg azt a

munkt, amelyet egy kezdetben tltetlen kondenztor feltltse sorn vgeznnk kell.

W =1

C

Qo

QdQ =Q2

2C

A kondenztor tltsnek Q=CU alakjnak alkalmazsa tbb egyenrtk kifejezshez

vezet:

W =1

2QU =

1

2CU2

Ez a munkavgzs sorn betpllt energia a kondenztorban troldik, s alkalmas

krlmnyek kztt vissza tudjuk nyerni. Kondenztorok ezen tlts s energiatrol

kpessgeit szmos technikai eszkz hasznostja.

Az energit nem a fegyverzeteken kigylt tltsek, hanem az elektrdk kztti elek-

tromos mez trolja. Ezen mez energisrsgt megkaphatjuk, ha a teljes trolt energit

osztjuk a trolsi trfogattal, amely ebben az esetben V=A d .

Az elektromos mez we energiasrsge teht:

19

we = W/Ad =1

2CU2/Ad =

1

2or

A

d(Ed)2/Ad =

1

2orE

2

Itt kihasznltuk, hogy a fegyverzetek kztti homogn elektromos mezben az elektro-

mos mez trerssge, s a feszltsg kztt egy egyszer kapcsolat ll fnn:

U =

~Ed~s = Ed

Az a tny, hogy az elektromos mez kiptshez munkt kell vgezni, s ez a vgzett

munka az elektromos mez energijban troldik, nem kizrlag az elektromos mez

sajtja. Mgneses mez, gravitcis mez is ugyanezen tulajdonsgokat mutatja.

20

2. Elektrodinamika

2.1. Stacionrius ramok

Ha az elektromos trbe helyezett testben szabadon mozg tltshordozk vannak, akkor a

testbe behatol elektromos mez a test szabadon mozg tltseit addig mozgatja, amg az

elektromos mez a test belsejben nullv nem vlik. Kmiai (pl. zseblmpaelem), zikai

(pl. dinam, genertor) eszkzkkel el tudjuk rni, hogy az elektromos mez tartsan

fnnmaradjon. Ehhez a tltseket mintegy szvattyznunk kell, azaz a megoszts jelen-

sge sorn megjelen tltseket folyamatosan el kell tvoltanunk. Az ehhez szksges

munkavgzst valamilyen kls, un. beoltott elektromotoros er vgzi.

Ha a vezet kzegben lland elektromos teret tudunk fnntartani, akkor a kzegben

ennek hatsra egy llandsult tltsvndorls alakul ki. Ezt a tltsvndorlst nevez-

zk elektromos ramnak. Az elektromos tltsvndorls, az elektromos ram erssgnek,

intenzitsnak szmszer jellemzsre az ramerssget hasznljuk. A vizsglt fellet tel-

jes keresztmetszetn idegysg alatt traml tltsmennyisget nevezzk ramerssgnek:

I = dQ/dt. Egysgnyi az ramerssg akkor, ha msodpercenknt 1 As , vagyis 1 Coulombfolyik t a kiszemelt keresztmetszeten. Ez az ramerssg egysg azAmper, vagy rvidebben

1 A. Az ramerssg a teljes keresztmetszeten thalad tltsmennyisget jellemzi, semmit

nem mond azonban arrl, hogy a vizsglt fellet egyes rszein a tltstranszport menny-

iben ersebb, vagy gyengbb. A tltsramls loklis (helyi) jellemzsre alkalmazzuk az

elektromos ramsrsg vektort, amely az ramls irnyra merleges egysgnyi felleten,

idegysg alatt traml tltsmennyisget adja meg. Egysge az A/m2. Az ramsrsgvektor irnyt annak a rgztett nagysg dA felletelemnek az irnytsa adja, amelyre a

~jd ~A ramerssg az adott helyen a legnagyobb rtket adja. Az elbbi dencik alapjna kzttk lev kapcsolat az albbi mdon fogalmazhat meg:

I =

A

~jd ~A (3)

Az ramsrsgvektor a hely s az id fggvnye lehet. Ha az ramerssg idben

lland, akkor ezt az ramot stacionrius, vagy ms szval egyenramnak nevezzk.

Az elektromos ramhoz ms jelensgek is trsulnak. ramtjrta vezet flmelegszik,

esetleg lthatan flizzik. Elektrolitokon thalad ram kmiai talakulsokat vlt ki.

Elektromos ram mgneses mezt gerjeszt , illetve ramtjrta vezetre a kls mgne-

ses mez erhatst gyakorol. Ezen hatsokat mindennapi letnkben alkalmazzuk, segt-

sgkkel rammal kapcsolatos mrseket vgezhetnk.

2.2. A tltsmegmarads trvnye

Tapasztalatink azt mutatjk, hogy az elektromos tlts megmarad extenzv mennyisg. Ez

azt jelenti, hogy brmilyen zikai folyamat sorn a folyamatban rsztvev anyag ssztltse

nem vltozhat. Tudunk ugyan a nulla ssztlts anyagbl (pl. semleges atomokbl)

21

valamennyi pl. pozitv tltst csinlni (ionizcval, a megoszts jelensgvel, klnfle

drzsi-brzsi-vel), de ez szksgkppen ugyanannyi negatv tlts gyrtsval jr egytt.

Az extenzv mennyisgekre megtanult mrlegegyenlet integrlis formja a megmarad

mennyisgekre gy fogalmazhat meg:

d

dt

V

dV = A

~jd ~A

Az ramsrsg is s a tltssrsg is a hely s az id fggvnye, azaz = (~r, t).Ez az integrlis forma azt mondja, hogy egy V trfogatba foglalt ssztlts mennyisge

idegysg alatt annyival vltozik meg, amennyi tlts egysgnyi id alatt a trfogatot

hatrol zrt felleten (ki/) beramlik. Integrl-talaktssal jutunk ugyanezen zikai

llts dierencilis megfogalmazshoz:

t+ div(~j) = 0

E fenti kt egyenlet mindegyike a tltsmegmaradst fejezi ki.

Ezen egyenletek egyenramok esetre specilis formt ltenek, mivel az idderivltak

idben llandsult tltseloszlsokra nullt szolgltatnak.A~jd ~A = 0 div(~j) = 0 (4)

A fentiekkel formailag azonos tpus egyenletek a zika brmely terletn azonos kvetkez-

mnyekhez vezetnek. Ezek a kvetkezk:

Kirchho csomponti trvnye: Ennek szveges vltozata azt mondja, hogy egy csompontba

befut ramok (be / ki szerint eljelezett) eljeles sszege nulla. A formulirovka:

nk=1

Ik = 0

Ez attl van, hogy (4) integrlis formjban az integrlsi zrt fellet egy csompon-

tot (ahol tbb drt sszefut) vesz krbe. Azt jelenti ez, hogy az integrlsi felletet a

csompontba befut vezet drtok metszik, ramok csak ezen metszsi felletdarabokon

folynak. A k -adik drt s a zrt fellet metszsi fellett Ak jelli, s n darab befut

drtnak megfelelen n db. ilyen fellet van.

0 =

A

~jd ~A =n

k=1

Ak

~j d ~Ak =n

k=1

Ik

A msik kvetkezmny a j ramsrsgvektorra r el ktelez viselkedsformt kt

klnbz kzeget elvlaszt hatrfellet mentn. Az ramsrsg elvlaszt hatrfelletre

merleges (rviden norml) komponense folytonosan megy t, vagyis:

jn1 = jn2

22

Az elektromos vezets, Ohm trvnye.

Azok az anyagok vezetik az elektromos ramot, amelyekben mozgsra kpes tlttt rszec-

skk -szabad tltshordozk- vannak. Ilyenek pl. az oldatok (disszocilt molekulk ionjai

a tltshordozk), magas hmrsklet ionizlt gzok, fmes, ionos anyagok olvadkai, de

legfkpp a fmek. Fmekben delokalizlt elektronok (is) vannak, amelyek nem ktd-

nek a fm egyetlen ionjhoz sem. A pozitv ionok a rcspontokhoz ktttek. A gzatomok

hmozgshoz hasonlan az elektronok rendezetlen mozgst vgeznek, mely mozgs kit-

lagolva nulla ramhoz vezet. Az tlagosan nulla ram azonban csak statisztikusan nulla,

ezen rtk krnyezetben uktuci - ingadozs - tapasztalhat. Az un. Fermi energia

kzelbe es energij elektronok kls elektromos mez hatsra knnyen megvltoz-

tatjk mozgsllapotukat, az elektronok mozgsban megjelenik egy, a kitlagols utn is

megmarad Vd un. sodrdsi, ms nven drift sebessg. Ez a drift sebessg az alkalmazottelektromos mez intenzitsval - az elektromos trerssggel - arnyos. Ez a kvetkezk-

bl lthat be. Fmek esetben, az atomtrzshz nem kttt (delokalizlt) elektronok

pozitv ionokkal kiblelt kzegben mozognak. E pozitv ionok a rcspontokhoz ktttek,

s ezen pozici krnyezetben rezgmozgst vgeznek. A rezgs amplitudk -gondoljunk

az ekvipartici ttelre- a hmrsklet nvekedtvel szintn megnvekednek, gy nvekv

mrtkben akadlyozzk az elektronok mozgst. Ennek hatsa egy, a driftsebessggel -

teht az alapkzeghez viszonytott tlagos sebessggel- arnyos fkezerben nyilvnul meg

(ez egybknt a porzus kzegekben raml, szivrg viszkzus folyadkok viselkedshez

hasonlt). A tartsan fnntartott elektromos mez hatst is gyelembe vve az mozgsra

kpes tlttt rszekre hat kitlagolt ered er a kvetkez:

F = q E k VdIdben llandsult ramls esetn az er nullv vlik (gyorsuls nincs), azaz F=0 . Ebbl

kapjuk a driftsebessg s az alkalmazott elektromos trerssg kapcsolatt:Vd = (q/k)E.A zrjelbe tett mennyisget mozgkonysgnak nevezzk, s az elektrokmiban fontos sz-

erepet jtszik. Jelentse kiolvashat, egysgnyi elektromos trarssg hatsra bekvetkez

drift sebessget adja meg. A fenti sszefggsnkben a k arnyossgi tnyez teht fmeknl

a hmrsklet nvekedtvel nvekedni fog. Meg kell jegyeznnk, hogy elektrolitokban a

folyadk viszkozitsa veszi t a fkezer szerept. A folyadkok viszkozitsa (bels sr-

ldsa) a hmrsklet nvekedtvel cskken azaz a k fmeknl tapasztaltakkal ellenttesen

viselkedik.

Jellje n a mozgsra kpes tltshordozk koncentrcijt (darab)/m3 egysgben. Ezta mennyisget egybknt szmsrsgnek is nevezik. Legyen A a Vd driftsebessgre

merleges fellet. A kezdetben az A felleten lev elektronok t idtartam alatt a felle-tre merleges irnyba Vdt tvolggal elmozdultak, vagyis ezen A felleten t idtartamalatt tramlott az alapterlet * magassg, azaz AVdt trfogatba foglalt sszes mozgsrakpes tltshordoz, a tltsvel egytt. Az tramlott ssztlts teht a kvetkez kife-

jezssel adhat meg:

Q = AVdt n q = n q2/k E At

23

Figyelembe vve az ramerssg I = Q/t dencijt, valamint az ramsrsgI/A mezei vltozatt azt kapjuk, hogy az ramsrsg, az elektromos mez trerssgvel

arnyos.

j = n q Vd = (n q2/k)E

Knnyen megmutathat, hogy a drift sebessg, a j ramsrsg-vektor az elektromos mez

irnyba mutat azaz :

~j = ~E

Ez az Ohm trvny dierencilis formja, s azt mondja, hogy alkalmas felttelek mellet

a konduktv (azaz a vezetsi) ramsrsg egyenesen arnyos az elektromos trerssggel.

A arnyossgi tnyezt vezetkpessgnek nevezzk. Gyakran hasznlatos ennek re-ciproka a fajlagos ellenlls, ezt a grg r betvel szoks jellni:

= 1/ = k/(n q2) (5)

Tudjuk, hogy a fmes vezetk ellenllsa hmrskletfgg, a hmrsklet nvekedsvel

n. Egy extrmnek hat, de valjban mindennapos plda: az izzlmpk wolfram szl-

nak ellenllsa szobahmrskleten az zemi, (mkds kzbeni) hmrskleten mrt el-

lenllsnak kzel tizedrsze. Flvezetk (pl. szilicium, germnium), elektrolitok ellenl-

lsa a hmrsklet nvekedtvel cskken. Nem tl nagy hmrsklet tartomnyban a fajlgos

ellenlls lineris hmrskletfggst mutat.

(t) = o(1 + (t to))Az [1/C'] az un. hmrskleti egytthat az egy C' hmrskletnvekeds hatsrabekvetkez relatv ellenlls vltozst adja meg.

Az ellenllsok hmrskletfggst hasznostjk az un. ellenllshmrk. Klns

elnyk az, hogy az eredetileg nem elektromos mennyisg (hmrsklet) mrst elektro-

mos mennyisg mrsre vezeti vissza, gy szmtgpes mrsi adatgyjtshez knnyen

bepthetk.

Egyes esetekben kvnatos az ellenllsok hmrskletfggsnek kikszblse. Specilis

tvzeteket fejlesztettek ki ebbl a clbl. Egy ilyen tvzet pl. a konstantn (Cu, Ni, Mn

tvzet) melynek hm. egyytthatja 0.00001 1/C'. sszehasonltsul a rz, illetve azaluminium egytthati 0.0039 illetve 0.0049 1/C'.

A hmrskletfggs alapeektusai (5)-bl kiolvashatk: k, a driftsebessggel arnyos

fkezer egytthatja szilrd vezetknl a hmrsklet nvekedtvel nvekszik, elektroli-

toknl cskken. Fmeknl ez a faktor teht a hmrsklet nvekedtvel nvekv ellenl-

lshoz vezet. Nhny vezet kzegnl a vezetsben rsztvev tltshordozk szmsrsge

hmrskletfgg. Fmes, j vezetk esetben mr eleve olyan nagy ez a koncentrci,

hogy a hmrsklet nvekedse kapcsn bekvetkez nvekmny, mr nem jelent ellenl-

ls cskkenst. Ms a helyzet flvezetk ( alkalmanknt elektrolitok ) esetben. Ezek az

eleve kis tltshordoz koncentrcijuk miatt gyengbb un. fl -vezetk, gy a hmrsklet

24

nvekedtvel bekvetkez tltshordoz szm nvekmny jelents ellenllscskkenshez

vezet.

A vezetsi mechanizmusnak ezen elemi magyarzata az un. egy komponens vezetst

tette fl, azaz egyfle tltshordoz jelenltt. Ionizlt gzokban (plazmkban), ionos

kristlyok olvadkaiban, oldatokban ltalban pozitv, negatv ionok, alkalmanknt kln-

bz ionizcis llapotban ( Z ) alkotjk a mozgsra kpes tltshordozkat. Ilyen esetek-

ben az egyes ssztevk ramsrsgnek vektori sszege adja az ered ramsrsget.

j+ = n+ Z+ q+e V+d = (n

+ Z2+q2e/k+)E

A vezetsi ram mellett mg fllphet a konvektv ram is, feltve, hogy a kzeg nem

nulla trfogati tltssrsggel is rendelkezik.

Az Ohm trvny ltalnosabb formja egy beoltott

~E elektromotoros trert is tartal-maz, amely alkalmanknt ms, (nem zikai, pl kmiai) eredet. Ez kpes valamely kls

energiaforrs rovsra munkt vgezni a tltseken, s azokat magasabb potencil pontra

emelni az alacsonyabb potencil pontrl.

~jv = ( ~E + ~E)

Rendszerint valjban nem is ismerjk e beoltott elektromotoros trert, csak ennek

integrljt:

U =

21

~E d~s

Amikor a boltban pl. 1.5 Voltos ceruzaelemet vesznk, akkor csupn az elem kivezetsei

(1 s 2 a fenti integrl hatraiban ) kztti U potencilklnbsg (feszltsg) az amit

ismernk.

Az Ohm trvny loklis (dierencilis) vltozata, amely szerint az ramsrsg egye-

nesen arnyos a helyi trerssggel:

~j = ~E, eredetileg meggyelsek alapjn fellltotttapasztalati trvny volt. Drtra ( amely teljes l hosszban lland keresztmetszet, ho-

mogn vezet) a drt ds veleme, az E trer, s a j ramsrsg prhuzamosak. Az

A keresztemetszet merleges a ds velemre, s a j a teljes A keresztmetszeten alland,

ekkor I=jA, U=lE , s R = (1/) l/A. Ezek felhasznlsa vezeti t a dierencilisOhm trvnyt a kzismert hztartsi vltozatra, azaz az ismert I=U/R sszefggsre.

Az R mennyisget a drt (elektromos) ellenllsnak nevezzk. Az elnevezs eredete az

sszefggs alapjn elgg nyilvnval, ugyanis rgztett U potencilklnbsg esetn minl

nagyobb az R rtke, az tfoly I ram annl kisebb.

Az Ohm trvny rvnyessgi kre meglehetsen szkkr. Leginkbb csak fmekre,

s csak kis hmrsklet tartomnyban ll fnn egyenes arnyossg az ram s a feszltsg

kztt. Teljesen ms jelleg kapcsolat van az emltett mennyisgek kztt pl. flvezet

tmeneteknl (dida), gzkislseknl, stb.

.

25

A teljes ramsrsg a konvektv, a konduktiv ramokat is tartalmazhatja. Egyes

esetekben a mozgsi indukci trerssge is szerepet jtszhat. Genertorokban, ionizlt,

vezetkpes gzok, (plazmk), olvadkok elektrodinamikjban.

~j = [~v ~B] + ~v +~jv

2.2.1. Egyenram munkja, teljestmnye

Sztatikban azt tapasztaltuk, hogy ha elektrosztatikus mezbenQ tltstU potencilklnb-

sgen (feszltsgen) visznk t, akkor az elektromos mez munkja aW=Q U formban

szmthat. Egyenram esetn az tvitt tlts s az ramerssg kapcsolata alapjn ez

gy mdosul: W=U I t . Ezen sszefggs egysgeit alkalmazva kapunk egy viszony-

lag knyelmes tjrt a mechanikai s az elektromos egysgek kztt 1 Joule = 1 Volt

Amper sec. vagy rvidebben 1 J = 1 VA s .

A munkavgzs sebessgt a teljestmny jellemzi. Egyenramok esetben (s csak

ekkor) a teljestmnyt a prias s kzkedvelt formulval szmthatjuk a vgzett munkbl:

P = W / t = U I. Ezek alpjn egysgt a kvetkezk adjk: J/s = W =VA. Idben vl-

toz ramok esetben is a P(t)=U(t) I(t) pillanatnyi feszltsg s ramrtkek szorzata

adja meg a teljestmny pillanatnyi rtkt. Itt azonban az idpillanatrl, idpillanatra

vltoz teljestmny helyett valamilyen tlagos rtket szoks hasznlni.

Ez a teljestmny gyakran mechanikai munka, kmiai talakuls vagy ppen h for-

mjban jelentkezhet. Ha az U I teljestmny egy A alapterlet, d magassg ellenl-

lst stget, akkor e teljestmny trfogategysgre jut rszt az (UI)/(Ad) mvelettel

kapjuk meg. Ha minden szp s ly, azaz az A keresztmetszeten egyenletes az ram elos-

zlsa, az elektromos mez a hengerszer ellenlls magassgvonalval prhuzamos, s a

teljes magassgban lland, akkor a j=I/A s az U=Ed sszfgsek a kvetkezket adjk

(UI)/(Ad)=Ej

Ezt az Ej [Watt/m3] tejestmnysrsget Joule hnek hvjuk, ksbb, az elektromg-neses mez energiamrlegben fontos szerepet jtszik.

2.3. Az elektromossg s a mgnessg kapcsolata

Az emberisg rgi tapasztalata, hogy egyes vastartalm svnyok vonzzk, tasztjk egymst,

st elsknt taln a knaiak arra is rjttek, hogy a felfggesztett -nevezzk nevn- mg-

neses diplusok mindig ugyanabba az irnyba llnak be. volt az irnyt.

Tapasztalatunk az, hogy ezek a permanens (lland) mgnesek krnyezetkben egy

vektortrrel jellemezhet zika mezt, un. mgneses mezt hoznak ltre. Ebbe a mezbe

behelyezett diplusra a mez forgatnyomatkot fejt ki. Tapasztalatunk szerint ez az

M forgatnyomatk a behelyezett mgnest m mgneses diplusval, s a tr pontjait

jellemz H mgneses trerssggel a kvetkez kapcsolatban ll:

~M = ~m ~H

26

A fenti sszefggs elvileg alkalmas a mgneses mez kimrsre. Adott, lland m dipol-

momentum mgnes segtsgvel a vektorszorzat tulajdonsgai alapjn meghatrozhatjuk

a mez irnyt, irnytst, nagysgt. Ha a tr ugyanabba a pontjba klnbz irnyt-

sokkal helyezzk be ugyanazt a diplust, akkora a diplus irnytstl fggen klnbz

forgatnyomatkokat kapunk. A mez irnyt a (stabil) nulla forgatnyomatk dipolmo-

mentum irnyts jelli ki. Erre merleges diplirnyts mellett mrhetjk a legnagyobb

forgatnyomatkot. Mmax =m H . Ktszer - hromszor nagyobb Mmax forgatny-

omatk ktszer-hromszor bagyobb mgneses trerssgnek felel meg. Ha valamely megl-

lapods alapjn rgztjk a mgneses mez egysgt, akkor a fentiek a mgneses mez

kimrsre alkalmas eszkzt nyjtanak.

Ha egy elektromos diplust kettosztunk akkor egy pozitv s egy negatv tltst ka-

punk. Mgneses diplusokkal ez nem tehet meg, ugyanis nincsenek mgneses tltsek

(mgneses monoplusok) csak diplusok. Mindamellett nmely rajzos demonstrciban,

st egyes szmtsokban gy tesznk mintha lteznnek. Az elektromos tlts pozitv,

negatv elnevezse helyett itt szaki s Dli plus elnevezs honosodott meg.

Mivel mgneses tltsek nem lteznek, szmos olyan jelensg, amely az elektromos

tltsek kapcsn jelentkezett, a mgneses jelensgek krbl hinyzik. gy az elektromos

ram s csatolt rszeinek megfelel jelensgkr teljesen hinyzik a mgnessg terletn.

Az elektromos s mgneses jelensgek egyetlen jelensgkrt alkotnak, vagyis nem beszl-

hetnk kln elektromossgrl, s kln mgnessgrl. Sztatikus esetben -de csak ekkor-

gyelehtnk meg kln elektromos s kln mgneses jelensgeket. Mivel a tovbbiakban

gyakran kell hasznlnuk az ' elektromgneses ' szt, ennek rvidtsl az EM formt

fogjuk hasznlni.

2.3.1. A gerjesztsi trvny

A (4) brn a ds velem induklta felleti normlis eljelezi a krllelt felelleten thalad

ramokat

Tapasztalataink szerint az elektromos ram mgneses mezt hoz ltre -ezt szp szval

gy fejeztk ki, hogy gerjeszt. Ennek alapjn teht a gerjesztsi trvny az elektromos

ram s az ltala ltrehozott mgneses mez kapcsolatt fogalmazza meg. Kt vltozata

van, az eredeti Ampere fle amely csak egyenramokra j, s a Maxwell ltal mdostott

ltalnosan rvnyes forma. Az Ampere fle gerjesztsi trvny integrlis formja azt

mondja ki, hogy a mgneses trerssg tetszleges zrt L grbementi integrlja egyenl

a grbe ltal krllelt felleten tfoly ramok eljeles sszegvel: Az ramok eljelezse

a zrt grbe krljrsi irnya ltal generlt felleti normlis irnytsa alpjn trtnik .

A gerjesztsi trvny Ampere - fle alakja

rot ~H = ~j

L

~Hd~s =k

Ik

Az integrlis forma jobboldalt kicsit rszleteznnk kell, itt ugyanis az L grbe ltal

krllelt A jel felleten tfoly teljes ram szerepel. Ez az sszefgg fellet azon-

ban gyakran sztesik olyan kisebb tartomnyokra, amelyekben ram folyik, s olyan tar-

27

4. bra. A gerjesztsi trvny integrlis formjhoz: az L grbe s az ltala krllelt A

fellet. A ds velem ltal kijellt krljrsi irny a dA felletelem irnytst generlja

tomnyokra, amelyeken nem folyik ram. Ilyen pl. az az eset, amikor tbb drtot (ramhordz

vezetket) tartalmaz az A fellet. A fellet tbbi rszn ram nem folyik.A

~jd ~A =k

Ak

~jkd ~A =k

Ik

Akr az integrlis, akr a dierencilis formbl kiindulva arra jhetnk r, hogy a fenti

formulk idben vltoz mennyisgek esetn mr helytelen eredmnyekre vezetnek.

Szmtanrn azt tanultuk, hogy brmely vektortr rotcijnak divergencija nulla.

Ehhez hasonl llts ugyan minden konkrt a vektorra belthat (~a.[~a ~F ]) = 0, hiszen avektorszorzat eredmnye a tnyezvektorokra merleges. gy az a tnyezvektorok egyikvel

elkvetett skalrszorzata mindenkppen kihal, a kt vektorfajzat ortogonalitsa miatt. A

Nabla vektorral ugyanezeket az inzultusokat kell elkvetnnk, azonban a fenti okfejts erre

a mveleti utastsra mr nem hzhat ly egyszeren r. Nmi matematikai testgyakorls

utn azonban belthatjuk, hogy

div(rot( ~H)) (.[ ~H]) = 0Nos teht alkalmazzuk ezt a gerjesztsi trvnyre:

div(rot( ~H)) = /0/ = div(~j) vagyis div(~j) = 0

Ampere - Maxwell gerjesztsi trvny

rot ~H = ~j + ~D

t

L

~Hd~s =j

Ij +d

dt

A

~D d ~A

28

A tltsszlltst ler

~j ramsrsghez hozz kell adnunk egy, az elektromos mez idbelivltozsbl add tagot. Ezt a tagot is A/m2 egysgekben mrjk, s az egyenletblkiolvashat, hogy a mgneses mez kiptsben a

~j ramsrsggel megegyez szerepetjtszik. Ezrt ezt a ~D/t tagot is ramsrsgnek nevezzk, a pontos neve eltolsi ram-srsg vektor. Ez teht nem r le tltsszlltst, csupn a mgneses tr ltrehozsban

viselkedik ramsrsgknt.

Most azt vizsgljuk, hogy a zikai felttelektl fggen, mikor, melyik ramsrsg

jtszik dominns szerepet a mgneses mez ltrehozsban.

Idben perdikus,

~E = ~Eo(~r)eitalak fggvnnyel lert elektromos mez esett nz-

zk. E vlasztst a fggvnyforma szleskr elfordulsa valamint idderivltjnak kn-

ny kezelhetsge indokolja. Az Ohm trvny, valamint a D s az E kapcsolatt kifejez

formula alkalmazsval a gerjesztsi trvny jobboldala gy rhat:

~j + ~D

t= ( + i) ~E

Ha teht , akkor j kzeltssel a mgneses tr kiptsben csak a ~j = ~E vezetsiram jtszik szerepet. Vagyis elektromosan jl vezet kzegben, viszonylag kis frekvencia

esetn az eltolsi ram szerepe elhanyagolhat. Ekkor az 'egyenram' gerjesztsi trvny

alkalmazhat.

Az egyenltlensg megfordtsa, vagyis a felttel a kvetkez zikai krlmnyeketjelenti: szigetelkben, vagy vkuumban vagyunk, vagy pedig a kzeg ugyan nem szigetel,

de az alkalmazott elektromos mez igen szaporn vltozik. Ekkor vlik a jelensg meghatroz

tnyezjv az eltolsi ram. Az elektromgneses hullmok ltezshez is ezen tag megje-

lense vezet.

A ( + i) tag diszperzit is jelent, azaz vezet kzegben az elektromgneses mezk'viselkedse' frekvencijuktl is fgg. E pillanatnyilag homlyos kijelentst az optikai

rsznl valamivel jobban megvilgtjuk.

Itt, s most szeretnnk flkelteni az olvas egszsges gyanakvst, annak kapcsn,

hogy az elektromos s a mgneses jelensgek, mezk terletn valamilyen zavaros tisztt-

lansg van. Kpzeljnk el egy idben lland tltseloszlst, pl. pontszer tltsek sort.

Ezek sztatikus elektromos mezt hoznak ltre. Ha most egyenletes sebessggel elhaladunk

e tltsek mellett, akkor ezek, a hozznk rgztett vonatkoztatsi rendszerben elektromos

ramot kpviselnek, amely mgneses mezt hoz ltre. Teht attl fggen, hogy n a

meggyel llok, vagy a tltsekhez viszonytva esetleg mozgsban vagyok, tiszta elek-

trosztatikus, illetve elektromos s mgneses mezket szlelek. gy tnik teht, hogy az

elektromos s a mgneses mezk nem is annyira klnbz dolgok, azaz valamilyen kzs

eredetk van.

2.4. A mozgsi indukci s vidke.

Az elbbiekben trgyalt gerjesztsi trvny arrl adott szmot, hogy az elektromos ram,

illetve az idben vltoz elektromos mez hogyan hozza ltre a mgneses mezt. Most a

29

viszonossg alapjn azzal foglalkozunk, hogy a mgneses mez milyen hatst gyakorol az

elektromos ramra, illetve az elektromos mezre milyen hatssal van a (az idben vltoz)

mgneses mez. Ebbe a krbe szmos, ltszlag nem tl kzeli jelensg tartozik.

- Mr korn felismert tapasztalati tnyt fejez ki az un. Ampere er, amely a mgneses

mezben lev ramtjrta drtra kifejtett ert adja meg.

- Mozgsi indukci sorn a mgneses mezben mozg testekben elektromos mez jelenik

meg. Ennek egy szoksos megfogalmazsi formja: mgneses mezben mozg vezetben

feszltsg indukldik.

A jelensgkr lershoz egy j mgneses vektorteret (mezt) hasznlunk, az un. mg-

neses indukciteret. Ez a B amelyet V s/m2 egysgekben mrnk. Nem tl egszsgesugyan, de e vektortr pontosabb dencijt ksbb, a megfelel jelensg kapcsn adnnk

meg.

Az Ampere er, s a mozgsi indukci trgyalshoz a kzs gykrbl, a Lorentz erbl

indulunk ki. Ez nem felel meg a jelensg felfedezsek idbeli sorrendjnek, de jelentsen

leegyszersti a megrtst.

Mgneses mezben mozg tltsre kifejtett ert az un. Lorentz ert a kvetkez kifejezs

adja meg:

~F = q [~V ~B]A Lorentz er teljestmnye 0, teht nem vltoztatja meg a mozg tlts mozgsi en-

ergijt, ellenben a mozgs irnyt igen.

P =dWkdt

= ~F ~V = q ([~V ~B] ~V ) = 0Ugyanis V skalris szorzata a V -re merleges [V x B] -vel nullt ad.

A tltsegysgre hat erknt rtelmeztk az elektromos mez trerssgt,

~E = ~F/q = [~V ~B]A B mgneses indukcij mezben V sebessggel mozg testek a fenti sszefggs szerint

szmthat E elektromos mezt szlelnek. Vagyis, ha tdobunk a mgneses mezn egy

szigetel darabkt, akkor benne ugyangy fllp pl. a polarizci jelensge, mint brmi-

lyen ortodox elektrosztatikus trben. Vegyk azonban szre, hogy a Lorentz er kapcsn

bevezetett trerssg ilyetn rtelmezse jelents lazts az elektrosztatika megelehetsen

feszes trer dencijn, hiszen itt az er a test sebessgtl fgg, s csak a tr azon

pontjhoz rendelhet ezen trer amelyen ppen a tlttt pontszer test ppen thalad.

Most azt vizsgljuk meg, milyen tipus mozgst vgeznek a mgneses mezben mozg

tlttt rszecskk a Lorentz er hatsa alatt. Legyen a homogn, idben lland mgneses

indukcitr a kvetkez:

~B = {0, 0, Bo} E mezbe lp be egy q tlts,m tmeg pontsz-er rszecske a kvetkez kezdsebessggel: ~vo = {0, Voy, Voz} Newton msodik trvnytalkalmazva, valamint a Lorentz ert kifejtve a kvetkez mozgsegyenlethez jutunk:

mVx = qBoVymVy = qBoVxmVz = 0

30

Azonnal kiolvashatunk nhny sajtsgot. A sebessg mgneses tr irny sszetevje

semmilyen szerepet nem jtszik az erben, ugyanakkor a Lorentz er nem befolysolja a

sebessg mgneses tr irny sszetevjt.

A rszecske z tengely menti mozgsa levlaszthat, s egyszeren megoldhat. Rnzsre

lthat, a z tengely mentn egyenletes mozgs ttrnik, az eredeti sebessg z koordintja

nem vltozik:

dVzdt

= 0 Vz = konst Vz = Voz z = Voz t+ zo

Bevezetjk, egyelre rvidtsknt az = qBo/m un. ciklotronfrekvencit . A sebessgko-ordintkra a kvetkez csatolt dierencilegyenlet rendszert kapjuk:

Vx = VyVy = VxA W = Vx + i Vy komplex sebessg bevezetsvel a fenti kt egyenletet kvetkez egyetlendierencilegyenletbe gymszlhetjk be : W = iW . Ez az elbbi egyenletekblkvetkezik sszeadva a kt egyenletet, miutn beszoroztuk az imaginrius egysggel az

utolst. Ennek megoldsa meglehetsen egyszer: W = Woeit

AWo komplex amplitudt ms alakban megadva a kvetkez formt kapjuk:

W = Aeieit = Aei(t+)

A fenti sszefggsben A s a kt integrcis lland. Flhasznlva a sin s cosfggvnyek megfelel prossgi tulajdonsgait a trigonometrikus forma a kvetkezkhz

vezet:

W = A cos(t+ ) i A sin(t+ )Azonostva a komplex sebessg dencijban a vals, s kpzetes rszeket a sebessgko-

ordintkra a kvetkezket kapjuk:

Vx = A cos(t+ ) Vy = A sin(t+ )Ezek idintegrlja adja az x s y koodintk idfggst:

x = A/ sin(t+ ) +K1 y = A/ cos(t+ ) +K2

trendezs, ngyzetreemels utn kapjuk akvetkezket:

V 2x + V2y = A

2 (xK1)2 + (y K2)2 = (A/)2Kiolvasva ez utbbi egyenlsgeket ltjuk, hogy a mozgs vetlete, a mgneses indukcira

merleges skra, egyenletes krmozgs, s mivel a rszecske mgneses mez irny sebessge

lland, e kt mozgs egyttesen egy lland menetemelkeds csavarvonalat eredmnyez a

rszecske plyjul. Az = qBo/m -knt denilt un. ciklotronfrekvencia valjban teht

31

szgsebessg. Az ellenttes tlts rszecskk ellenttes irnyba vgzik a krmozgst. A

krmozgst vgz tlttt rszecskk, mint minden gyorsul tlts, elektromgneses sug-

rzst bocstanak ki. Mivel a krmozgs frekvencija (fordulatszma) a mgneses mez

intenzitstl, s a rszecskk adataitl fgg, ezen un. ciklotron sugrzs detektlsval

tvoli csillagok, neutroncsillagok, stb mgneses mezjrl szerezhetnk informcit.

Ismerjk a Fldnk mgneses mezjt. E mgneses mez nyjt vdelmet a Napszl,

valamint a kozmikus eredet sugrzs nagyenergij tlttt rszecski ellen. A mgneses

mez a mgneses ervonalak mentn vezeti el a tlttt rszecskket a mgneses plusok fel.

A sarki fny jelensge is innen szrmazik. Mivel a sarkok krnykn besrsd ervonalak,

mint egy mgneses palack feneke a rszecskk egy rszt visszafordtja, ezek az szaki s

dli plusok kztt ingznak az ervonalak mentn lert csavarvonal plykon. Nagyrszt

ezen ingz rszecskk alkotjk az un. van-Allen sugrzsi vezeteket. A Napunk durvn

11 venknt - teht 22-ves peridus idvel - flcserli mgneses sarkait. A pluscsere a

mgnese tr idszakos, majdnem teljes eltnsvel jr. Ez a jelensg a Fld esetben is -jl

dokumentlt formban- tbbszr is lezajlott. Ezen idszakokban az lvilg a kozmikus

sugrzs fokozott expozicijnak van kitve.

A Fldnk mgneses mezje azonban nemcsak az llnyeket vdi, de azzal, hogy a nap-

szl nagysebessg tlttt rszecskit (azaz magt a napszelet) tvoltartja az atmoszfrtl,

a lgkrnket is megvdi a napszl okozta erzitl. E mgneses vderny hinya esetn

a napszl rvid id alatt lefjn lgkrnket a Fldrl.

Amperer

Ha egy ramtjrta vezett mgneses mezbe tesznk, akkor azt tapasztaljuk, hogy

a mgneses mez ert fejt ki a vezetre. Ezt az ert Ampere ernek nevezik, s minden-

napjainkban szles krben alkalmazzuk. Analg mutats mszereink, villanymotorok stb.

mkdse alapul e jelensgen. A Lorentz er ismeretben egyszer magyarzatot tallunk

az Ampere er eredetre.

AzA keresztmetszet, ds hosszsg vezet darabra kifejtett ert, a benne mozg egyes

tlttt rszecskkre kifejtett erk sszegeknt kapjuk. Ha mozgsra kpes tltshordozk

koncentrcija (szmsrsge) N , akkor a drtdarabka A*ds trfogatban n=N*A*ds

darab a tltshordozk szma. Ha az egy tltshordozra kifejtett ert megszorozzuk e

szmmal, akkor a ds hosszsg drtdarabra kifejtett ered ert kapjuk.

~Fds = n~F1 = N Ads q[~Vd ~B]Ennek trfogategysgre jut rsze (azA*ds trfogattal osztunk) a Lorentz er srsge:

~f = ~j ~B amely igen fontos szerepet jtszik mgneses mezben raml vezet kzegekhidrodinamikjnak mozgsegyenletben. (M agneto-H idro-D inamika). Itt persze mr

ismert tnyknt kezeltk az ramsrsg

~j = q N ~Vd driftsebessggel kifejezett formjt.Mivel a tltsek nem lpnek ki a drt faln, az ramsrsg vektor, s a ds velem

irnytsa megegyezik, mindegy, hogy az irnyt kifejez ~e egysgvektort melyikhez kapc-

32

soljuk ds~Vd = ds (Vd~e) = Vd(ds~e) = Vdd~s .

~Fds = qNVdA [d~s ~B] = I [d~s ~B] (6)Amint az flismerhet, alkalmaztuk az ram, s ramsrsg kztt fnnll elemi kapc-

solatot: I=jA. Az amperer (6)-es formuljnak ltezik egy egyszerstett s kzismertebb

vltozata. Ha az l hosszsg egyenes drt merleges a homogn mgneses indukci von-

alaira, akkor az erre kifejtett er F=B I l mezei formulval adhat meg. Ezek a formulk

s a hozzjuk kapcsold jelensgek elvi lehetsget nyjtanak a B mgneses indukci

mrsre, st denilsra is.

Nhny rdekes jelensg kvetkezik az eddigiekbl. Kt, prhuzamos, hossz, egyenes

vezetben I1 , s I2 ram folyik. Legyen a drtok tvolsga r. Az 1-es drt rama

mgneses mezt 'gerjeszt' a 2-es drt helyn is. Az ehhez tartoz mgneses indukcitrben

csordogl az I2 ram, azaz az 1-es drt rama bizonyos mgneses kzvettkn keresztl

ert fejt ki a 2-es drt ramra. Ha most tmegynk mutogats bcsiba, s alkalmazzuk

a jobbkz, dughz, ballb, jobbcsavar s egyb szablyokat, akkor arra a flismersre

jutunk, hogy az egyirny ramok vonzzk, az ellenttes irny ramok tasztjk egymst.

Ez persze nem csupn drtilag elklnlt ramok kztt lp fl, hanem egyetlen vezet

keresztmetszetn kiszemelt ramfonalak kztt is.

A 2-es drt l-hosszsg szakaszra kifejtett er a kvetkezk szerint szmthat:

H =I1

2 pi1

rB = oH F2 = BI2l = o

I1I22 pi

l

r

2.4.1. Mozgsi indukci

A Lorentz er

~F/q = ~E = [~V ~B] trendezsvel egy elektromos mez trerssghez ha-sonl mennyisghez jutunk, amennyiben egysgnyi pozitv tltsre hat ert kapjuk. Ltjuk

azonban, hogy az eredeti denci nhny motvuma jelentsen srlni ltszik, hiszen ez a

formula nem a tr pontjaihoz hozzrendelt mennyisgrl, hanem egy sebessgfgg errl

ad szmot. A mozg vonatkoztatsi rendszerben elhelyezked trgyak azonban errl sem-

mit sem tudnak, egyszeren egy az, elbbi sszfggssel megadott elektromos mezt szlel-

nek, annak sszes kvetkezmnyvel egytt. Mindenki teszi a dolgt -as usual- a szigetelk

polarizldnak, a vezetkben tltssztvls jn ltre. E jelensget mozgsi indukcinak

nevezzk. Nem csak az elektromos trert, de a feszltsg fogalmt is tlopjuk ide, amen-

nyiben egy L grbe vgpontjai kztt szlelhet potencilklnbsget (U feszltsget) a

kvetkezkppen szmtjuk:

U =

L

~Ed~s =

l

[~V ~B]d~s

Ennek kzismert npi vltozata az U = B l V , amely egy l hossz B -re merlegesen

V sebessggel halad grbben induklt feszltsget adja meg. Amit itt szemrmesen gr-

bnek neveznk, az rendszerint egy vezet drtdarab, ebben az induklt elektromos mez,

33

illetve feszltsg hatsra elektromos ram folyhat. Az eddigiekbl egybknt nylvnval,

hogy a jelensg sorn feszltsg (s nem ram) indukldik.

A jelensg egy igen fontos alkalmazsa a vltakozram genertor. Ennek elemi mod-

elljrl leolvashatunk nhny alapvet sszefggst. Egy l*d mret drtkeretet forgatunk

Bo homogn mgneses indukcitrben szgsebessggel.

U = 2V Bo l sin()

A mozgsi indukci jelensge, azt mondta, hogy mgneses mezben mozg rendszerben

elektromos mezt szlelnk, a gerjesztsi trvnybl is kiolvashat egy fordtott irny

kapcsolat. Mozdulatlan tltsek elektrosztatikus mezt keltenek. Ha azonban mi ebben

a mezben elhaladunk a tltsek mellett, akkor ezek a tltsek e mozg vonatkoztatsi

rendszerben elektromos ramot kpviselnek. A gerjesztsi trvny szerint ekkor mgneses

mez jelenik meg. Ez azt jelenti, hogy elektrosztatikus mezben mozogva viszont mgneses

mezt is szlelnk, vagyis igazbl nem beszlhetnk kln mgneses s kln elektromos

mezkrl. A specilis relativits elmlete fogja egy csokorba e mezket.

2.5. Idben vltoz terek

2.5.1. A nyugalmi indukci jelensge

Tbbmenet tekercset ksztnk valamilyen vezet anyag drtbl s a tekercs kt kivezetsre

egy feszltsgmrt kapcsolunk. Ha egy permanens mgnesrudat kzeltnk, tvoltunk a

tekercshez, akkor a mreszkznk feszltsget jelez. Ugyanezt tapasztaljuk akkor is, ha

ezen tekercs kzelbe helyezett msik tekercs ramt vltoztatjuk.

34

Fontos az a felismers, hogy feszltsg indukcit csak a (tekercs szmra) idben vltoz

mgneses mez esetn tapasztalunk. Mivel az a tekercs, amelyben az induklt feszltsg

megjelenik, az ll s a mgneses mez vltozik idben, a jelensget nyugalmi indukcinak

nevezzk. E jelensggel kapcsolatos tapasztalatokat a kvetkez sszefggsek fogjk ssze:

A B mgneses inukci A felletre vett uxusa alatt a kvetkez felleti integrltrtjk: =

A~B d ~A

A vezet hurok vgpontjai kztt induklt (kr-)feszltsg: Ui =L~Ed~s a uxus idsz-erinti derivltjval egyenl: Ui = d/dtLentz trvnye nem ms, mint a fenti sszefggsben szerepl negatv eljelhez fztt

ideolgiai krts. Eszerint az induklt feszltsg polaritsa olyan, hogy az t (mrmint az

induklt feszltsget) ltrehoz vltozst ( ez a uxusvltozs ) cskkenteni igyekszik. (lsd

mg az nindukcinl ) A nyugalmi indukci jelensgre vonatkoz trvny dierencilis s

integrlis formi a kvetkezk:

rot ~E = ~B

t

L

~Ed~s = ddt

A

~Bd ~A

Ezek az egyenletek, az elektromgneses mezk aximit csokorba foglal Maxwell egyen-

letek egy darabkja.

A klcsns- s n- indukci

Ha egy tekercs ( mgneses ), uxusa brmi okbl megvltozik, akkor a tekercsben

feszltsg indukldik. Ha kt tekercs egyikben I1 ram folyik, s ezen ram mgneses

mezje a msik tekercsben mgneses uxust hoz ltre, akkor az I1 ram idbeli vltozsa

a msik tekercsben - a mgneses mez uxusnak vltoztatsn keresztl- feszltsget

indukl. Ezt a jelensget a klcsns indukci jelensgnek nevezzk. Azt, hogy az 1-

es tekercs rama milyen uxust hoz ltre a 2-es jel tekercsben, az M21 un. klcsns

indukcis egytthat adja meg. Ez persze az induklt feszltsget is meghatrozza, a uxus

idderivltjn kereszl.

2 =M21I1 U2 = M21 dI1dt

35

A fent elmondottak alapjn akr egyoldal indukcinak nevezhetnnk a jelensget, klc-

sns indukci azrt lesz belle, mert a kt tekercs szerepe flcserlhet. St itt megje-

lenik egy, a zika tbb terletn is szerepet jtsz elv az un. reciprocits elve. ( vis-

zonossg, klcsnssg, flcserlhetsg elve ). Ez itt azt jelenti, hogy az 1-es tekercs

rama ugyanolyan uxust hoz ltre a 2-es tekercsben, mint amilyen uxust hoz ltre az

1-es tekercsben, a 2-es tekercsben foly ugyanakkora ram. Ezt tmnyebben is megfogal-

mazhatjuk: M12=M21.

Az nindukci jelensge. Egy tekercsben tfoly ram mgneses tere mgenses mezt,

s ennek nyomn mgneses indukciuxust is ltest ugyanazon tekercsben amelyben az

ram folyik. Ez a uxus, ha a tekercs nem tartalmaz ferromgneses vasmagot, egyenesen

arnyos a tekercs ramval: = L I. Ha a tekercsen tfoly ram idben vltozik, akkoraz ennek nyomn bekvetkez uxusvltozs feszltsget indukl ugyanazon tekercsben

amelyben az ram folyik.

Ui = ddt

= LdIdt

A jelensget az nindukci jelensgnek nevezzk, s az sszefggsben szerepl, a tekercsre

jellemz L mennyisget pedig nindukcis egytthatnak. Az L mennyisg egysge a

fenti sszefggs trendezsbl kiolvashat. Egysgnyi az nindukcis egytthat, ha a

tekercsben az 1 msodperc alatt 1 Amperrel vltoz ram 1 Volt feszltsget indukl. Ezt

az egysget Henry -nek nevezzk: 1 H=1 Vs/A.

Az sszefggsben szerepl negatv eljel kln, nll trvnyknt is ismert. Ezt Lentz

trvnynek nevezik, amely szerint az induklt feszltsg irnya olyan, hogy akadlyozni

igyekszik az t (ti. az induklt feszltsget) ltrehoz vltozst.

Hossz egyenes tekercs nindukcis egytthatja egyszeren kiszmolhat. Lttuk, egy

N menetszm, l hosszsg, egyenes tekercsben a mgneses mez intenzitsa H= N I / l

formulval adhat meg. Ezt, a tekercs tengelyvel prhuzamos mgneses mezt a tekercs

kereszmetszetn s teljes hosszban homognnak tesszk fl. A mgneses uxus eredetileg

felleti integrllal denilt szmtsmdja =A~B d ~A most igazn npies formt lt.

= N BA. Teszi pedig mindezt azrt, mert a tekercs egy menete ltal krllelt A felletfelleti normlisa prhuzamos a mgneses indukcivektorral, -azaz a skal.szor. ban szerepl

cos rtke mindentt 1- ugyanakkor a mgneses mez homogenitsa miatt a B indukci

a teljes felleten ugyanaz az rtk. A teljes tekercs uxusa pedig, egy tekercs uxusnak

N -szerese (feltve, hogy minden menet ugyanazon krljrsi irnynak megfelelen van

tekerve azaz minden menet felleti normlisa ugyanabba az irnyba mutat ).

= N BA = N H A = N (N I/l)A = (N2A

l) I

amibl kiolvashat a tekercs nindukcis egytthatja:

L = N2A

l

36

2.5.2. ltalnostott Kirchho hurok trvny

Kirchho huroktrvnyt alkalmazzuk, R ellenllst, L nindukcis egytthatj tekercset,

s egy C kapacits kondenztort tartalmaz soros ramkrre.

Nem tl gyorsan vltoz -un. kvzistacionrius - ramokra

ni=1

Ui =k

IkRk U(t) QC LdI

dt= IR

Mivel a tltttt kondenztor mint alkalmi, -Q/C pillanatnyi feszltsg feszltsgforrs,

az L nindukcij tekercs pedig induklt feszltsge rvn, mint -LdI/dt feszltsg fes-

zltsgforrs szerepelnek.

LdI

dt+ IR +

Q

C= U(t) (7)

Figyelembe vve az ram I=dQ/dt dencijt a kvetkez diegyenletet kapjuk:

Q+R

LQ+

1

LCQ =

1

LU(t) (8)

Tranziens jelensgek

Az elbbi (8) egyenletben, legnagyobb rmnkre ismerssel tallkoztunk. Formja

megegyezik a gerjesztett, csillaptott rezgmozgs dierencilegyenletvel, gy az ott sz-

erzett ismeretek - a zikai mennyisgek neveitl eltekintve - thozhatk.

x+ 2x+ 2ox = f(t)

LI +RI +1

CI = U

Szmtanrn tanultuk, hogy a fenti inhomogn egyenletnek Ialt ltalnos megoldsta kvetkez alakban (is) megadhatjuk: Ialt = Ih.alt + Iih.part. A homogn egyenlet Ih.alt

37

ltalnos megoldsa egy et szorzt is tartalmaz. E tranziens nullhoz tartva elbb, vagyutbb kihal. Mint ltalnos megolds, ez tartalmazza a kezdeti feltteleket, a rendszer

teht a tranziensek elhallozsval a kezdeti feltteleit is elfelejti. Ezek lezajlsa utn az

idben llandsult, stacionrius megolds az inhomogn egyenlet partikulris megoldsa

az Iih.part. Amikor pucr vltakozram krkrl beszlnk, akkor mindig a tranziensekkihalsa utni stacionrius megoldsra gondolunk, anlkl, hogy a tranziensek elhunytval

kapcsolatos heveny lelkiletetnket jralnnk.

Vltakoz ramok

Mivel egyedli tllknt az Iih.part maradt a porondon, a bokjra kttt megklnbztetszalagocska mr feleslegess is vlt, azaz a tovbbiakban lesz az I(t) ramerssg. Tudjuk,

hogy ha az inhomogenitst jelent fggvny krfrekvencij peridikus fggvny, akkora partikulris megoldst is krfrekvencij peridikus fggvny alakjban kereshetjk.A feszltsget Uoe

i(t+)alakban adjuk meg, az ramot Ioe

italaknak tekintjk. Az

ramot teht fzislland nlklinek tekintjk. Ezt egybknt jogunkban ll megtenni,

mivel csupn azt jelenti, hogy az adott jelensg lershoz idmrsnk mikor indul, azaz

a stopperrnk indtgombjt mikor nyomjuk le.

A vltakozramok komplex rsmdjt hasznljuk, azzal a megllapodssal, hogy

zikalag rtelmezhet, s mrhet mennyisgeket a komplex mennyisgek vals rszei je-

lentenek. Ez a komplex rsmd, a ltszat ellenre, jelentsen egyszersti a formulinkat.

Hogy a tovbbiakban knnyedn ttrhessnk az egyik formrl a msikra, nhny kzkzen

forg vltozatot megemltnk.

U(t) = Uoei(t+) = Uo(cos(t+ ) + i sin(t+ )) = Uoe

iei t = Uoeit

A sszefggseinkben a kalapkk komplex mennyisgeket jellnek.

I(t) = Ioeit dI/dt = i Ioe

it d2I/dt2 = 2IoeitA feszltsg s az ram megfelel derivltjait az inhomogn egyenletbe helyettestve

kapjuk a kvetkezt:

L2Ioeit + i R Ioeit + IoCeit = i Uoe

iei t

Osztva mindkt oldalt i-val, majd a nevezbl i/i szorzssal eltntetve az imaginriusegysget kapjuk az albbi formkat:

i L Ioeit +RIoe

it i Io C

eit = Uoeiei t (9)

Termszetesen az trendezsek mindegyike egy ici-picit mst mond:

i L I(t) +R I(t) i C

I(t) = U(t) [i (L 1 C

) +R ] I(t) = U(t)

38

Az els formula baloldaln azonosthatjuk az egyes ramkri elemeken jelentkez fes-

zltsgeket, s jobboldalon ezek sszegt.

UR = R I UL = i L I UC = i C

I (10)

E formulk egyttal az Ohm trvny komplex alakjt is reprezentljk. Ezek min-

degyike U = Z I alak, ahol Z jelli hagyomnyosan a komplex impedancit -akarommondani a komplex vltakozram ellenllst.

ZR = R ZL = i L ZC = i C

Flismerjk tovbb az ered komplex ellenllst is, amely a sorbakapcsolt elemek

komplex impedanciinak sszege. Ennek az abszolutrtkt is megadjuk:

Ze = R + i (L 1 C

) Zo =

R2 + (L 1

C)2

Ha a (9) egyenletben az ei t-vel egyszerstnk, akkor azt ltjuk, hogy az eddig el-mondottak - pl az Ohm trvny 10 alakjai - nem csak a pillanatnyi rtkekre, hanem az

amplitudkra is vltozatlan formban rvnyesek.

A kvetkezkben Ohm trvnynek alkalmazst tisztzzuk komplex vltakozram

ellenllsokra. Mint minden komplex mennyisg, gy a komplex ellenllsok is megadhatk

a kvetkez alakban: Z = Zoei. Ha az ramot vlasztjuk fzislland nlklinek, ( azaz

Ioeitalak ) akkor az "U= R I" Ohm trvny a kvetkezkhz vezet:

U = Zoei Ioe

it = ZoIo ei(t+) = Uoe

i(t+)

Kt dolgot ltunk, egyrszt a feszltsgamplitudt is Ohm trvnnyel kaptuk Uo = ZoIo,rdekesebb azonban az, hogy az elektromos feszltsg fzisa rtkvel nagyobb az ramfzisnl. Az ram s a feszltsg teht nincs ( azonos ) fzisban, s e fzisklnbsg a

komplex vltakozram ellenlls fzisszgtl szrmazik.

A fentieket alkalmazzuk pl. egy L nindukcis egytthatj tekercsre. Elszr azonban

az imaginrius egysg trst adjuk meg:

eipi/2 = cospi

2+ i sin

pi

2= i

ZL = iL = L eipi/2 U = Z I = L Io e

i(t+pi/2)

A feszltsgamplitud teht Uo = L Io. Kiolvashatjuk tovbb azt is, hogy az ninduk-cis tekercsen a feszltsg fzisa 90oal vagyis pi/2-vel siet az ram fzishoz kpest. Haa msik mennyisget vlasztjuk referenciul akkor ugyanezt a zikai tnyt gy is megfo-

galmazhatjuk, hogy az ram ksik a feszltsghez kpest pi/2-vel egy nindukcis tekercsen.

Eektv rtk

39

A mrnki praxisban igen gyakori, hogy egy idben ( trben ) vltoz dolgot, vele

valamilyen szempontbl egyenrtk, idben ( trben ) lland mennyisggel jellemeznek.

Egy ilyen llatfajta az un. eektv rtk fogalma is. A T peridusidej, idben vltoz

ram ( feszltsg ) eektv rtke alatt annak az egyenramnak az ramerssgt rtjk,

amely ugyanazon ohmikus ellenllson, ugyanannyi id alatt ugyanannyi munkt vgez

mint a vltakozram.

Egyenram teljestmnyt, de idben vltoz ram / feszltsg pillanatnyi teljest-

mnyt is a P = U I = I2R kifejezs adja meg. Az Ie egyenram, s a vltramT id alatt vgzett munkja egyenl:

I2effRT =

To

I2(t)Rdt

Ennek trendezett formja adja az idben vltoz ram eektv rtkt:

Ieff =

1

T

To

I2(t) dt

Az integrls hatrait lazbban is megadhatjuk. A nullval kezdd intevallum helyett

brmilyen t s t+T kz es intervallum rhat. Ha a kisrletes meghatrozsra gondolunk,

akkor integrlsi tartomnyknt alkalmazhatjuk a T peridusid egszszm tbbszrst,

vagy egyszeren minden megkts nlkl olyan nagy idtartamot, hogy a tredkperidus

jrulka a teljes integrlhoz kpest elhanyagolhatan piciny legyen.

Feszltsg eektv rtkt hasonl sszefggs adja meg mivel a teljestmnyt

P = U I = I2 R = U2/Ralakban is megadhatjuk.

Hlzati