gliederung 1. hintergrundwissen 2. die kubische spline-interpolation 3. grafische darstellung an...
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Die spline-Interpolation
Gliederung
1. Hintergrundwissen
2. Die kubische spline-Interpolation
3. Grafische Darstellung an Scilab
4. Praktische Relevanz
1. Hintergrundwissen
Warum neues Verfahren?Problem der Interpolation:
starke Oszillation an Rändern bei
Polynomen hohen Gradeserkannt durch Carl David Tolmé Runge
(1856-1927) Runge – Funktion:
deshalb: spline-InterpolationWas ist ein spline?Begriff aus Schiffbau: elastische Holzlatten (engl: spline) so gebogen, dass gewisse Anzahl Knotenpunkte bedeckt wurden
Mathematisch: Kurve, die durch bestimmte Anzahl an Punkten verläuft und diese glatt verbindet
Kurve besteht aus Polynomen bei n Stützstellen: n-1 Polynome stückweise Polynom-Interpolationaber: welcher Grad?einfachste Interpolation: stückweise
linear Grad 1
• Problem?
daher wären Polynome vom Grad 2 die einfachste Lösung , aber:
Interpolationsfunktion nicht eindeutig bestimmt nicht genügend Parameter vorhanden, um praktisch relevante Bedingungen vorschreiben zu könnendeshalb: kubische Polynome
2. Die kubische spline-Interpolation
am häufigsten angewendete Interpolationsmöglichkeit
Vorteile:
a) 4 freie Parameter garantieren neben stetigen Differenzierbarkeit auch noch eine stetige 2. Ableitung
b) Ableitungen an den Stützstellen gehen nicht in Berechnung mit ein müssen nicht bekannt sein
c) geringes Schwingverhalten
Definition:
Es seien eine auf dem Intervall [a,b] definierte Funktion f(x) sowie eine Menge von Stützstellen a=x0<x1<…<xn=b gegeben. Eine kubische Spline-Interpolationsfunktion S(x) für f(x) ist über folgende Bedingungen definiert:
a) jjj+1, ein kubisches Polynom. Es werde mit jb) Sjj , c) j+1j+1jj+1
d) j+1j+1jj+1
e) j+1j+1jj+1
f) Eine der folgenden Randbedingungen ist erfüllt:
0n natürlicher spline
00nn eingespannter spline
Ansatz:
jjjjjjjj³
gesucht sind freie Parameter aj, bj, cj, dj
aj ergeben sich sofort aus üblichen Interpolationsbedingungen:
restlichen Parameter ergeben sich aus den
Bedingungen der Definition
es ergeben sich für die anderen Parameter:-
-
- ,
- hj ≙ Schrittweite zwischen xj und xj-1
zur Berechnung der cj bei natürlichen splines muss das Gleichungssystem berechnet werden, mit:
Analoges gilt für eingespannten Rand
Warum dieser Ansatz?
folgender Ansatz auch möglich?
jjjj
Beispielaufgaben:Beispiel 1: Man bestimme den natürlichen kubischen spline, der die folgende Tabelle interpoliert:
x 0 1 2 3
y 1 1 0 10
Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):
i. an = f(an)
ii. c0 = cn = 0
restliche cj:
Beispiel 2:
Berechnen Sie den natürlichen kubischen spline, der
an den Stellen
interpoliert!
Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):
i. an = f(an)
ii. c0 = cn = 0
restliche cj:
3. Grafische Darstellung an Scilab
4. Praktische Relevanz
Automobilindustrie3D-Grafiken in ComputeranwendungenHolzbearbeitung (Designermöbel,
Kunstwerke)Darstellung von Messwerten 3-dimensionale Geländekarten auch im 2-dimensionalen möglich: