grundlagen der wärmeübertragung 7 wärmestrahlung der wärmeübertragung 7 wärmestrahlung 1 7.1...

Grundlagen der Wärmeübertragung

7 Wärmestrahlung 1

7.1 Grundlagen und Definitionen

Erfolgt durch elektromagnetische Wellen

In Abhängigkeit von der absoluten Temperatur

Alle Materialien ( fest / flüssig / gas ) geben Wärmestrahlung ab

Erfolgt auch im Vakuum

Nicht an Materie gebunden

Wärmestrahlung für Wellenlängen: 𝟎, 𝟏 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟏𝟎𝟎 𝝁𝒎

Sichtbares Licht: 𝟎, 𝟑𝟓 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟎, 𝟕𝟓 𝝁𝒎 (kurzwellig)

Wärmestrahlung (IR): 𝟎, 𝟕𝟓 𝝁𝒎 < 𝝀 < 𝟐𝟎𝟎 𝝁𝒎 (langwellig)


7 Wärmestrahlung 2

Neue Begriffe:

Intensität: 𝒊 [𝑾

𝒎𝟐]

- monochromatisch: 𝒊𝝀 [𝑾

𝒎𝟐𝝁𝒎] auf Wellenlänge bezogen

Es gilt: 𝒊 = 𝟎∞𝒊𝝀 𝒅𝝀

Reflexion:

- spiegelnd

- diffus (technisch relevant), wird hier behandelt

𝝋𝟏 𝝋𝟐𝝋𝟏 = 𝝋𝟐


7 Wärmestrahlung 3

Emission:

Definition eines Energiestroms 𝑬, der von einem Flächenelement 𝒅𝑨 in Richtung

𝜷 ausgeht

𝒅𝝎𝜷

𝒓

𝒅𝑶

𝒅𝑨

𝒅 𝑬 = 𝒊𝝀 𝒅𝑨 𝒅𝝎 𝒅𝝀

𝒅 𝑬 = 𝒊𝝀𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒅𝑨 𝒅𝝎 𝒅𝝀𝒅𝑨

𝜷

𝜷

𝒅𝝎: Raumwinkelelement

𝒊𝝀𝒏: Komponente von 𝒊𝝀 senkrecht

zur Flächennormalen

𝒊𝝀 = 𝒊𝝀𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜷

( 7.1 )


7 Wärmestrahlung 4

𝒅𝝎

𝒓

𝒅𝑶

𝒅𝝎 =𝒅𝑶

𝒓𝟐

𝝎 =𝑯𝒂𝒍𝒃𝒌𝒖𝒈𝒆𝒍𝒐𝒃𝒆𝒓𝒇𝒍ä𝒄𝒉𝒆

𝒓𝟐=𝟐𝝅𝒓𝟐

𝒓𝟐= 𝟐𝝅

𝒅𝑶𝒓 𝒅𝜷

𝒅𝝎 =𝒅𝑶

𝒓𝟐=(𝒓𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝝍) (𝒓 𝒅𝜷)

𝒓𝟐= 𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝝍 𝒅𝜷

𝜷 𝒅𝜷

𝒓𝐬𝐢𝐧𝜷 𝒅𝑶

𝒅𝝍

𝜷 = 𝟎

𝒅𝑨

𝒓

( 7.2 )𝜷: Polarwinkel

𝝍: Azimutwinkel


7 Wärmestrahlung 5

Was passiert mit Strahlung, die auf einen Körper trifft?

𝑬 = 𝒊𝝀𝒏 𝒅𝝀 𝒅𝑨 𝟎

𝟐𝝅

𝒅𝝍 𝟎

𝝅/𝟐

𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒅𝜷 = 𝝅 𝒊𝝀𝒏 𝒅𝝀 𝒅𝑨

Aus ( 7.1 ) und ( 7.2 ) folgt für den Energiestrom, der von einem

Flächenelement in den Halbraum gestrahlt wird:

transparenter Körper (z.B. Glas)

𝑬 = 𝑬𝑨 + 𝑬𝑹 + 𝑬𝑻

𝑬Reflexion 𝑬𝑹

Absorption 𝑬𝑨Transmission 𝑬𝑻

nicht-transparenter Körper (z.B. Metall)

𝑬 = 𝑬𝑨 + 𝑬𝑹, 𝑬𝑻 = 𝟎

𝑬Reflexion 𝑬𝑹

Absorption 𝑬𝑨


7 Wärmestrahlung 6

𝟏 = 𝑬𝑨 𝑬+

𝑬𝑹 𝑬+

𝑬𝑻 𝑬= 𝛼∗ + 𝜌∗ + 𝜏∗

Normiert auf den auftreffenden Strahlungsenergiestrom 𝑬 erhält man

folgende Gleichung 𝛼∗ Absorptionsgrad

𝜌∗ Reflexionsgrad

𝜏∗ Transmissionsgrad

Spezialfälle:

Schwarzer Körper: 𝛼∗ = 1, 𝜌∗ = 0, 𝜏∗ = 0: absorbiert alles

weißer Körper: 𝛼∗ = 0, 𝜌∗ = 1, 𝜏∗ = 0: reflektiert alles

Für die meisten technischen Oberflächen gilt:

𝜶∗ + 𝝆∗ = 𝟏, 𝝉∗ = 𝟎

diathermer Körper: 𝛼∗ = 0, 𝜌∗ = 0, 𝜏∗ = 1: lässt alles durch (z.B. Luft in dünnen

Schichten)

Berußte Oberfläche


7 Wärmestrahlung 7

7.2 Kirchhoff ‘ sches Gesetz:

1

2

Umhüllung strahlt als schwarzer Strahler mit Energiestromdichte 𝒆𝒔(𝑻𝑼) = 𝑬𝒔(𝑻𝑼)

𝑨𝑼

Körper 1 bzw. 2 strahlt mit Energiestromdichte 𝒆𝟏 bzw. 𝒆𝟐

Körper 1 und 2 beeinflussen das Strahlungsfeld nicht, da 𝑨𝟏 ≪ 𝑨𝑼, 𝑨𝟐 ≪ 𝑨𝑼

Körper 1 hat Oberfläche 𝑨𝟏 ≪ 𝐀𝐔

Körper 2 hat Oberfläche 𝑨𝟐 ≪ 𝐀𝐔

Unendlich große, adiabate Umhüllung 𝐀𝐔, 𝑻𝑼


7 Wärmestrahlung 8

Im thermischen Gleichgewicht (𝑻𝑼= 𝑻𝟏 = 𝑻𝟐) gilt:

absorbierter Energiestrom 𝑬𝒂 = emittierter Energiestrom 𝑬𝒆

𝜶𝟏∗ =

𝒆𝟏 𝑻𝑼 𝒆𝒔 𝑻𝑼

= 𝛆𝟏∗ (𝑻𝑼)

𝜶𝟏∗ 𝒆𝒔 𝑻𝑼 𝑨𝟏 = 𝒆𝟏(𝑻𝑼)𝑨𝟏

bzw:

Emissionsgrad: 𝛆∗

Absorptionsgrad: 𝜶∗

Ebenso für

𝜶𝟐∗ =

𝒆𝟐 𝑻𝑼 𝒆𝒔 𝑻𝑼

= 𝛆𝟐∗ (𝑻𝑼)

𝛆∗ = 𝜶∗

Gesetz von Kirchhoff

𝑬𝒂𝟏

𝑬𝒆𝟏

𝑬𝒂𝟐

𝑬𝒆𝟐


7 Wärmestrahlung 9

7.3 Strahlung des „schwarzen“ Körpers

Schwarzer Körper bezieht sich nicht auf Farbe, sondern 𝜶∗ = 𝟏

= perfekter Strahler und Absorber.

Die Energie, die von einem schwarzen Strahler abgegeben wird, hängt

nur von seiner absoluten Temperatur ab.

z.B. Heizkörperlack bei 300 K , 𝜶∗ ≈ 𝟏 egal ob Heizkörper

schwarz oder weiß lackiert ist.

Ein schwarzer Strahler strahlt diffus, d.h. gleichmäßig in alle Richtungen


7 Wärmestrahlung 10

Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers

ist eine Funktion von 𝝀 und 𝑻

Wien‘ sches

Verschiebungsgesetz

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20

Wellenlänge 𝝀 [𝝁𝒎]

Sp

ektr

ale

sp

ezif

isch

e A

usstr

ah

lun

g

𝑬 𝑨𝝀[

𝑾

𝒎𝟐𝝁𝒎]

6𝟎𝟎 𝑲

7𝟎𝟎 𝑲

5𝟎𝟎 𝑲

4𝟎𝟎 𝑲

T

2896max

KT

imumEnergiemaxbei

m

max



Für jede Temperatur gibt es eine Wellenlänge, bei der die spezifische

Ausstrahlung 𝑬

𝑨 𝝀maximal ist.

Das Maximum verschiebt sich zu höheren Wellenlängen 𝝀, wenn

die Temperatur abnimmt.

Bei Temperaturen unter 850 K wird die meiste Wärme im nicht sicht-

baren Bereich abgestrahlt.

Betrachtet man 𝑬

𝑨 𝝀: sehr steiler Anstieg,

nur langsamer Abfall nach dem Maximum

Die Wellenlänge, bei der Energiemaximum auftritt, kann nach dem

Wien‘ schen Verschiebungsgesetz berechnet werden.

T

2896max

KT

imumEnergiemaxbeim max



Für die gesamte Energie, die von einem schwarzen Körper

abgestrahlt wird, gilt das Gesetz von Boltzmann:

Temperatur an der Oberfläche der Sonne T 6000 K.

größter Teil der abgestrahlten Energie bei 0,5 m

Stefan-Boltzmann-Konstante des schwarzen Körpers

𝑪𝒔 ∶ Strahlungskonstante des schwarzen Strahlers

𝑪𝒔 = 𝟓, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟖𝑾

𝒎𝟐𝑲𝟒

Beim Kachelofen 𝑻 ≈ 𝟑𝟐𝟎 𝑲, 𝝀𝒎𝒂𝒙 = 𝟗 𝝁𝒎 (IR)

𝒆𝒔 = 𝝀=𝟎

∞ 𝑬

𝑨 𝝀𝐝𝝀 =

𝑬

𝑨= 𝑪𝑺 𝑻

𝟒



Ein „grauer“ Strahler hat über den gesamten Wellenlängenbereich

einen konstanten Anteil der spektralen spezifischen Ausstrahlung 𝑬

𝑨 𝝀

des schwarzen Strahlers.

𝜺∗ = 𝒆

𝒆𝑺

Im allgemeinen Fall gilt für den Emissionsgrad 𝜺∗ = 𝒇 𝑻 , Praxis: häufig 𝜺∗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

𝑬

𝑨 𝝀

grau 𝜺∗ = 𝟎, 𝟔

schwarz 𝜺∗ = 𝟏, 𝟎

𝝀

𝑻 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕



Typische Werte VDI – Wärmeatlas

Werte von werden gemessen.𝛆∗

𝛆∗ = 𝟎, 𝟗

Für die meisten praktischen Oberflächen (nicht-metallisch, unpoliert)

Für hochpolierte Oberflächen ( Gold, Kupfer )

𝛆∗ = 𝟎, 𝟎𝟑



Selektive Strahler: Beispiel Absorberflächen eines Solarkollektors

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4

ideal

Solarkollektor (gemessen am ITW)

Siliziumoxid auf Aluminium

Sp

ektr

ale

r A

bso

rpti

on

sg

rad

[−]

𝝀 [𝝁𝒎]

Kurzwellige Solar

-strahlung wird

absorbiert

Geringe

Emission im

langwelligen

Bereich



Weitere Beispiele für selektive Strahler

Schnee:

Zustrahlung Sonne: weißer Strahler (kurzwellig)

Abstrahlung nachts: schwarzer Körper (langwellig)

Heizkörperlack:

kurzwellig weiß (sichtbarer Bereich)

Langwellig schwarz (IR-Bereich)

Solarkollektor (Absorber)

𝜶𝑺𝒐𝒍𝒂𝒓∗ ≈ 𝟎, 𝟗𝟓 (kurzwellig), 𝜺𝑰𝑹

∗ ≈ 𝟎, 𝟎𝟓 (langwellig)



7.4 Wärmeübertragung durch Strahlung:

Wenn die Umgebung schwarz ist, dann wird die gesamte Energie absorbiert.

Bei selektive Oberflächen (z.B. Solarkollektoren) ist 𝜺 von der Temperatur

und von der Wellenlänge abhängig

Ein Körper mit einem Emissionsverhältnis 𝜺∗ und der Temperatur 𝑻𝟏 strahlt

𝒒𝟏 = 𝒆𝟏 = 𝜺∗𝑪𝒔𝑻𝟏𝟒 ab

Wenn die Umgebung außerdem die Temperatur 𝑻𝟐 besitzt, dann beträgt die

übertragene Nettowärmestromdichte

𝒒 = 𝑸

𝑨= 𝜺∗ 𝐂𝐬 (𝐓𝟏

𝟒 − 𝐓𝟐𝟒)



Wenn die Strahlungsenergie in Abhängigkeit vom Abstrahlwinkel

gemessen wird, stellt man fest:

stärkste Strahlung üblicherweise in der Flächennormalen

cosmax ee

Flächen-

normalen

maxee



Beispiel:

Der Heizkörper einer Zentralheizung hat eine Oberflächentemperatur von

70 °C. Die gewünschte Raumtemperatur beträgt 20 °C. Bestimmen Sie die

durch Strahlung und Konvektion übertragenen Wärmeströme.

Stoffwerte der Luft: = 1,2 kg/m3, = 1,8·10-5 kg/(m·s)

= 0,026 W/(m·K) Pr = 0,71

Die Heizkörperoberfläche kann als schwarzer Strahler betrachtet werden.

244* /367 mWTTCq RHsstr

RHFKkon TTq

3 Pr118,0 LFK GrNu

𝜺∗ = 𝟏

Definition: 𝜶𝑺𝒕𝒓 = 𝒒𝑺𝒕𝒓

𝚫𝐓=

𝒒𝑺𝒕𝒓

𝐓𝐇−𝐓𝐑=

𝟑𝟔𝟕𝑾/𝒎𝟐

𝟕𝟎−𝟐𝟎 𝑲= 𝟕, 𝟑𝟒

𝑾

𝒎𝟐𝑲



KmW

TTg RHFK

231

31

2

2

/34,5Pr118,0

2/267 mWqkon

2263450)34,734,5()(

m

WK

Km

WTqqq StrFKstrkonges

Anmerkung:

58% des gesamten Wärmestroms werden durch Strahlung übertragen.

Dies bestätigt nochmals die Bedeutung der Wärmestrahlung im

Bereich der freien Konvektion.



7.5 Sichtfaktoren (Einstrahlzahlen, Formfaktor der Strahlung)

21 ˆ;ˆ AFlächeeempfangendjAFlächedeabstrahleni

Die Sichtfaktoren geben an, welcher Teil der von A

bzw. B abgegebenen Strahlung auf B bzw. A auftrifft.

Geometrie – Faktoren für einfache Anordnungen analytisch berechenbar.

Ansonsten durch numerische Berechnungen (ray tracing)

𝝋𝒊𝒋



7.5.1 Summenregel und Reziprokregel

Aus der Definition von 𝝋 folgt:

Für 2 große parallele Platten, die sich

gegenüber stehen gilt unter Vernach-

lässigung von Randeffekten, dass die

gesamte von A abgegebene Strahlung

auf B fällt. 1L

2L

s

A

B

𝝋𝟏𝟏 + 𝝋𝟏𝟐 + 𝝋𝟏𝟑… = 𝟏

𝝋𝟏𝟐 = 𝝋𝟐𝟏 = 𝟏

Summenregel

𝝋𝟏𝟐 𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐 Reziprokregel



Für konvexe Flächen

Für konkave Flächen

Für ebene Platte 𝝋𝟏𝟏 = 𝟎

𝝋𝟏𝟏 = 𝟎

𝝋𝟏𝟏 ≠ 𝟎



Zwei Geometrie-Fälle von Bedeutung:

1) zwei lange konzentrische Zylinder

2) zwei konzentrische Kugelflächen

Innere Oberfläche konvex, d.h.

Ein Teil der von abgegebenen Strahlung trifft auf , der Rest auf .2A 1A 2A

1

2

𝝋𝟏𝟏 = 𝟎 𝝋𝟏𝟐 = 𝟏

Reziprokregel

Summenregel

𝝋𝟐𝟏 =𝑨𝟏𝑨𝟐

𝝋𝟐𝟐 = 𝟏 −𝑨𝟏𝑨𝟐

𝝋𝟐𝟏 + 𝝋𝟐𝟐 = 𝟏

𝝋𝟏𝟐 𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐



7.5.2 Strahlung zwischen zwei parallelen Platten

Zwei mögliche Rechenwege

a) Multiple Reflection Method

b) Net Radiation Method ( Netto = Net )

a) Multiple Reflection Method:

1A

2A

2T

1T

Wärmestrahlung von A1:4

1

*

1TCS

Davon wird von absorbiert (Kirchoff‘sches Gesetz):2A

*

2

4

1

*

1 TCS

Rest wird reflektiert:

*

2

4

1

* 11

TCS

𝜶∗ = 𝜺∗

Annahme: Kirchhoff‘sches Gesetz gilt



Rest wird reflektiert

**

2

4

1

*

1111 TCS

Von A2 absorbiert

*

2

**

2

4

1

*

1111 TCS

Fortsetzung führt zum gesamten Wärmestrom, der von

Fläche A1 abgestrahlt und von Fläche A2 absorbiert wird

....111112*

2

2**

2

*4

1

*

2

*

121 111 TCAQ S

Von der reflektierten Strahlung absorbiert :

**

2

4

1

*

111 TCS

1A



*

2

*

4

1

*

2

*

21111

1

1

1

TCAQ S

*

2

*

4

2

*

2

*

12111

1

1

1

TCAQ S

Für den Netto – Wärmestrom gilt:

4

2

4

1*

2

*

*

2

*

1221111

1

1 TTAC

QQQS

4

2

4

1

*

2

*

4

2

4

1*

2

**

2

*

*

2

*

12

111

1

11

1 TTAC

TTAC

Q SS

xxxxda

1

11 32 10 xfür

AAAund 21

42

81067,5Km

WCS

Parallele Flächen

A1=A2=A



b) Net Radiation Method:

𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟐 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏

𝑸𝒛𝒖,𝟏

𝑸𝒛𝒖,𝟐

𝑸𝒂𝒃,𝟏

𝑸𝒂𝒃,𝟐

21

Gleichung (7.1) kann umgeschrieben werden:

Energiebilanz (Systemgrenze um beide Platten) liefert

𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏 = 𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟐

Energiebilanz an Platte 1 liefert

𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 − 𝑸𝑨𝒃𝒔𝒐𝒓𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏,𝟏 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏

Für 𝑸𝒛𝒖 gilt: Strahlung von 𝑨𝟏 trifft vollständig auf 𝑨𝟐 und

umgekehrt: 𝝋𝟏𝟐 = 𝝋𝟐𝟏 = 𝟏

𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝝋𝟏𝟏 𝑸𝒂𝒃,𝟏 + 𝝋𝟐𝟏

𝑸𝒂𝒃,𝟐 = 𝑸𝒂𝒃,𝟐

𝑸𝒛𝒖,𝟐 = 𝝋𝟐𝟐 𝑸𝒂𝒃,𝟐 + 𝝋𝟏𝟐

𝑸𝒂𝒃,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏

(7.1)

(7.2)

(7.3)

𝑸𝒛𝒖,𝟏

𝑸𝑵𝒆𝒕𝒕𝒐,𝟏

𝑸𝑨𝒃𝒔𝒐𝒓𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏,𝟏

1 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏

𝑸𝒂𝒃,𝟏

𝑸𝒂𝒃: von einer Fläche abgegebene Strahlung

( 𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏)

𝑸𝒛𝒖: einer Fläche zugestrahlte Strahlung

(nicht gleich: absorbierte Strahlung)

𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏,𝟏 + 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏

∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒛𝒖,𝟏 (7.4)



Für 𝑸𝒂𝒃: von einer Fläche abgegebene Strahlung gilt:

𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 = 𝜺∗𝑨 𝑪𝒔 𝑻𝟒 + 𝑸𝒛𝒖 (𝟏 − 𝜺∗)

angewendet auf die beiden Flächen: 𝑸𝒂𝒃,𝟏 = 𝜺𝟏

∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏𝟒 + 𝑸𝒛𝒖,𝟏(𝟏 − 𝜺𝟏

∗ )

𝑸𝒂𝒃,𝟐 = 𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐

𝟒 + 𝑸𝒛𝒖,𝟐(𝟏 − 𝜺𝟐∗ )

Die Gleichungen (7.2), (7.3), (7.5) und (7.6) stellen 4 Gleichungen für die 4

Unbekannten 𝑸𝒛𝒖,𝟏, 𝑸𝒛𝒖,𝟐, 𝑸𝒂𝒃,𝟏 und 𝑸𝒂𝒃,𝟏 dar. Daraus ergibt sich:

𝑸𝒂𝒃,𝟏 =𝜺𝟏∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏

𝟒 + 𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐

𝟒(𝟏 − 𝜺𝟏∗ )

𝟏 − (𝟏 − 𝜺𝟏∗ )(𝟏 − 𝜺𝟐

∗ )

𝑸𝒂𝒃,𝟐 =𝜺𝟐∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟐

𝟒 + 𝜺𝟏∗𝑨𝑪𝒔𝑻𝟏

𝟒(𝟏 − 𝜺𝟐∗ )

𝟏 − (𝟏 − 𝜺𝟏∗ )(𝟏 − 𝜺𝟐

∗ )

Aus den Gleichungen (7.2) und (7.4) kann damit der Nettowärmestrom

berechnet werden:

(7.5)

(7.6)

𝑸𝟏𝟐 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒛𝒖,𝟏 = 𝑸𝒂𝒃,𝟏 − 𝑸𝒂𝒃,𝟐



4

2

4

1*

2

*

1

*

2

*

1

*

2

*

112 TT

CAQ s

4

2

4

1

*

2

*

1

12

111

TTAC

Q S

42

81067,5Km

WCS

Parallele Flächen

A1=A2=A

4

2

4

1

*

2

*

1

12100100

111

TTACQ S

42

67,5Km

WCS



7.5.3 Strahlungsaustausch zwischen zwei beliebig orientierten Flächen

111,212,1, ababzu QQQ

222,121,2, ababzu QQQ

wie zuvor:

111,212,

*

11,1, 1 ababEmissionab QQQQ

222,121,

*

22,2, 1 ababEmissionab QQQQ

Net Radiation Method: für allgemeinen Strahlungsaustausch (alle 𝝋𝒊𝒋 ≠ 𝟎) gilt:

1

2

𝑸𝒂𝒃 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝑹𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 = 𝑸𝑬𝒎𝒊𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + 𝑸𝒛𝒖 (𝟏 − 𝜺∗)

angewendet auf beide Flächen:

(7.7)

(7.8)



1221

*

2

*

111

*

122

*

2

21

*

22,22

*

21,

1,111111

111

EmissionEmission

ab

QQQ

1221

*

2

*

111

*

122

*

2

12

*

21,11

*

12,

2,111111

111

EmissionEmission

ab

QQQ

)( 1,1,2,2,12 abeinabein QQQQQ

1221

*

2

*

111

*

122

*

2

1211

*

1212,2221

*

2121,

12111111

1111

EmissionEmission QQQ

4

1

*

111, TCAQ sEmission

4

2

*

222, TCAQ sEmission

12111

21221

Aus (7.7) und (7.8) folgt:

Mit (7.4) kann der Nettowärmestrom berechnet werden

Summenregel



1221

*

2

*

111

*

122

*

2

4

2212

4

1121

*

2

*

112

111111

TATACQ s

4

2

4

1

2

1*

2

*

1

*

2

*

2

*

11

12

1

TT

A

A

CAQ

s

4

2

4

1

2

1

*

2

*

1

112

111

TT

A

A

ACQ S

A1 umschlossene Flächen

A2 umschließende Fläche

𝝋𝟏𝟏 = 𝟎,𝝋𝟏𝟐 = 𝟏,𝝋𝟐𝟏 =𝑨𝟏

𝑨𝟐, 𝝋𝟐𝟐 = 𝟏 −

𝑨𝟏

𝑨𝟐

Bsp: für zwei konzentrische Kugel bzw. unendliche Zylinder gilt:

1

2

(7.9)

Vereinfachung für 𝑨𝟐 ≫ 𝑨𝟏:

𝑸𝟏𝟐 = 𝜺𝟏∗ 𝑨𝟏 𝑪𝒔 (𝑻𝟏

𝟒 − 𝑻𝟐𝟒)



Aus Gleichung (7.9) folgt für beliebige Flächenanordnung zwischen 2 diffus

strahlenden Flächen 𝑨𝟏 und 𝑨𝟐 (nicht konkav, d.h. 𝝋𝟏𝟏 = 𝝋𝟐𝟐 = 𝟎):

𝑸𝟏𝟐 =𝜺𝟏∗ 𝜺𝟐

∗ 𝑪𝒔 (𝑨𝟏 𝝋𝟏𝟐𝑻𝟏𝟒 − 𝑨𝟐 𝝋𝟐𝟏𝑻𝟐

𝟒)

𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝟏 − 𝜺𝟐

∗ 𝝋𝟏𝟐 𝝋𝟐𝟏

2 1

212

21

1

12

coscos1

A AdAdA

sA

mit Reziprokregel:

𝝋𝟏𝟐𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐

𝒅𝑨𝟏

𝒅𝑨𝟐

𝒏𝟏

𝒏𝟐

𝒔

𝜷𝟐

𝜷𝟏

𝑸𝟏𝟐 =𝜺𝟏∗ 𝜺𝟐

∗ 𝑪𝒔 𝑨𝟏 𝝋𝟏𝟐

𝟏 − 𝟏 − 𝜺𝟏∗ 𝟏 − 𝜺𝟐

∗ 𝝋𝟏𝟐 𝝋𝟐𝟏(𝑻𝟏

𝟒 − 𝑻𝟐𝟒)

Definition des Sichtfaktors

Umfangreiche Tabellen für 𝝋𝟏𝟐 verfügbar (einige im Umdruck)



Hinweis: Die Reziprokregel folgt direkt aus der Definition von 𝝋𝟏𝟐 bzw. 𝝋𝟐𝟏

2 12 1

212

21112212

21

1

12

coscos1coscos1

A AA AdAdA

sAdAdA

sA

2 12 1

212

21221212

21

2

21

coscos1coscos1

A AA AdAdA

sAdAdA

sA

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält man die bereits

bekannte Reziprokregel

𝝋𝟏𝟐𝑨𝟏 = 𝝋𝟐𝟏𝑨𝟐



7.6 Solarstrahlung

7.6.1 Grundlagen:

Sonderfall der Wärmestrahlung für hohe Temperaturen

(z.B auch Flammen)

Durchmesser Sonne 1,39 · 109 m

Abstand Erde – Sonne 1,5 · 1011 m

Sonnenstrahlung wird in Atmosphäre

absorbiert und reflektiert (H2O, O2, O3,

CO2, Staub)

Erde

Atmosphäre

Sonne hohe Temperatur geringe Wellenlänge

Oberfläche des bestrahlten Körpers ist i.a. wesentlich kälter.

emittierte Wärmestrahlung hat wesentlich größere Wellenlänge

Kirchhoff ´sches Gesetz gilt nicht allgemein, d.h. 𝜶∗(T1) 𝜺∗(T2).



Strahlung von der Sonne breitet sich kugelförmig aus und trifft zum Teil auf

die projezierte Erdfläche (Kreis):

𝑬𝑬 = 𝒒𝑺𝒄 𝑨𝑬= 𝑬𝒔 ∙𝑨𝑬𝑨𝒐

𝒒𝑺𝒄 = 𝐒𝐨𝐥𝐚𝐫𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 (Sonnenenergie pro Zeit und Fläche, die auf

Erdatmosphäre auftrifft)

orbitr

SonneErde

Annahmen:

– Erde bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 𝒓𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕– Sonne ist schwarzer Strahler mit 𝑻 = 𝟓𝟖𝟎𝟎 𝑲

Von der Sonne ausgesendete Strahlung: 4TACAeE sssss

𝑨𝑬 = 𝝅 𝒓𝑬𝟐

𝑨𝒔 = 𝟒 𝝅 𝒓𝒔𝟐

𝑨𝒐 = 𝟒 𝝅 𝒓𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕𝟐



s

orbit

sSc e

r

rq

2

2135358001067,5105,1

10635,0 48

2

11

9

m

WScq

Rückstrahlung von Erdoberfläche: 97,0*

Strahlung von Gasen in der Atmosphäre („Himmel“) auf die Erde:

4

skyssky TCetvereinfach

hängt von klimatischen Bedingungen ab:skyT

230 K (klarer, kalter Nachthimmel)

285 K (bewölkt, warm)



In der Wüste beträgt die nächtliche Lufttemperatur = 20 °C, und die

effektive Temperatur des Himmels sky = - 40 °C.

Beispiel:

Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient zwischen dem flachen

Gewässer einer Oase und der Umgebungsluft beträgt 5 W/m2K.

Besteht die Gefahr, dass das Wasser gefriert?

𝑸𝒔𝒕𝒓 𝑸𝒌𝒐𝒏𝒗

𝝑𝒘

𝝑∞, 𝝑𝒔𝒌𝒚



4*4*

skysWswkonv TACTACTTA

dt

dEQQ akku

abzu 0

1,16324 WsWkonv TCT

C5,K268T WW

gesucht ist stationärer Zustand

Annahme: keine Wärmeleitung im Boden

1** (für Wasser, da Tsky ≈ Tw )

Aufgrund der niedrigen Temperatur des Himmels wird das Wasser

gefrieren.

geg: 𝑻∞ = 𝟐𝟗𝟑 𝑲, 𝑻𝒔𝒌𝒚 = 𝟐𝟑𝟑 𝑲



7.6.2 Solarkollektoren

Flachkollektoren Vakuumröhren-Kollektoren



Energieströme an einem Flachkollektor



Im stationären Zustand:

abzu

verlustkonvverluststrnutzskysolar qqqqq ,,

Auf die Kollektorfläche bezogen:

solarsolarsolar eqmit *

4*

skysskysky TCq

4*

, Oberflächesverluststr TCq

Oberflächekonvverlustkonvq ,

lungSolarstrahfürntskoeffizieAbsorptionsolar ̂*

absorbsky

daKirchhoffnachsky **

(kurzwellig)

(langwellig)



Wirkungsgrad:solar

Nutz

e

q

Ein guter Kollektor hat eine stark selektive Absorber-Oberfläche, d.h.

1*

*

solar

Technisch möglich sind Werte bis zu 0,95 / 0,05 = 19.



Beispiel

Ein unverglaster Solarkollektor besteht aus einer flachen, quadratischen Platte

mit einer Seitenlänge von 0,7 m. Die Plattenoberfläche hat einen Absorptions-

grad von 0,9 und einen Emissionsgrad von 0,2. Bei ruhender Umgebungsluft mit

einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von 25 °C können die konvektiven

Wärmeverluste näherungsweise nach der Gleichung

25,05,0 LL GrNu

berechnet werden, mit = 1,85·10-5 kg/(m·s) und = 0,026 W/(m·K).

An einer bestimmten Tageszeit beträgt die Solarstrahlung 500 W/m2 und die

effektive Himmelstemperatur -3 °C. Berechnen Sie die Oberflächentemperatur

des Kollektors, wenn der Wirkungsgrad des Kollektors 50% beträgt.



nutzverlkonvverlstrskysolar QQQQQ ,,

25,0

2

3 )(5,0

koll

Lkonv

Lg

LLNu

25,0

25,0

2

3

395,0

)(5,0

koll

koll

koll

koll

T

TT

T

TTLg

L

4*4**

kollsskysskysolarsolar TACTACeA solarkollkonv eATTA )(



2,0** skykollsky TTda

44

42

8

22701067,52,05009,0 kollT

Km

W

m

W )(395,0

25,0

TT

T

TTkoll

koll

koll

25005,0

m

W

CKTo

koll 35,595,332

Annahme: Kirchhoff‘sches Gesetz im

langwelligen Bereich gültig

grundlagen der wärmeübertragung 7 wärmestrahlung der wärmeübertragung 7 wärmestrahlung 1 7.1...

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