gsp สำหรับมัธยม geometer's sketchpad

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

2 เอกสารประกอบการอบรม Thai GSP สสวท. ระดบมธยมศกษา (พนฐาน)

คาชแจง การจดการเรยนการสอนคณตศาสตรในชนเรยนปจจบนใหสอดคลองกบแนวทาง ปฏรปการศกษาของประเทศทประสงคใหครคณตศาสตรทวประเทศใชเทคโนโลยสารสนเทศ ชวยในการจดการเรยนการสอนในชนเรยนนนเปนปญหาใหญของครคณตศาสตรทมความรความสามารถสงในการสอนคณตศาสตร เชยวชาญในเนอหา แตยงไมมแนวคดวาจะตองดาเนนการอยางไรกบเทคโนโลยหรอกบคอมพวเตอร ดวยธรรมชาตของวชาทแตกตางไปจากวชาอน ๆ โดยเฉพาะอยางยงวชาคณตศาสตรเปนวชาทเนอหามความเปนนามธรรมสง ตวอยางแนวทางการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรทใหความรครถงบทบาทของตน บทบาทของนกเรยนในชนเรยน นอกชนเรยนในการใชเทคโนโลย จงมความจาเปนสงในชวงเรมตนของการเปลยนแปลงวธการดงกลาว สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดตระหนกถงปญหาดงกลาวของครคณตศาสตรจงไดจดซอลขสทธโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และแปลโปรแกรมดงกลาวเปนภาษาไทยเพอใหครและนกเรยนสามารถใชโปรแกรมนในการเรยนร และการสอนไดงายและสะดวกขน นอกจากนยงไดเปดการอบรมเชงปฏบตการใหครคณตศาสตรสามารถใหโปรแกรมดงกลาวในการสงเสรมการเรยนรของนกเรยนไดคลองแคลวในเวลาอนรวดเรว เพอใหเหนตวอยางในการจดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตรในหองเรยนใหสอดคลองกบการปฏรปการเรยนร บทบาทของครและนกเรยนในชนเรยน เพอใหนกเรยนบรรลมาตรฐานการเรยนรดานทกษะ / กระบวนการทางคณตศาสตร เอกสารเลมนเปนเอกสารประกอบการจดอบรมเชงปฏบตการ การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เพอพฒนาคณภาพการเรยนรคณตศาสตร ทสสวท. จดทาขนเพอเปนแนวทางในการเผยแพรความรดานการใชเทคโนโลย ชวยในการเรยนการสอนคณตศาสตรอยางมประสทธภาพ

สถาบนขอถอโอกาสนขอบคณ นายดนย ยงคง นางเพญพรรณ ยงคง นางชมยพร ตงตน นายสมนก บญพาไสว นางกรองทอง ตรอาภรณ นางแจมจนทร ศรอรณรศม นายถนม ทพยผอง นายอลงกต ใหมดวง ทใชความพยายามอยางยงในการจดทาเอกสารเลมนขนเพอประโยชนแกเพอนครเพอเปนตวอยาง และแนวทางลดในการศกษาวธใช โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ชวยในการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร

หวงวาเอกสารเลมนจะเปนประโยชนใหครไดนาประสบการณทไดไปเปนแนวทางจดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตรในรายวชาอน ๆ ตอไป

( นางพรพรรณ ไวทยางกร ) ผชวยผอานวยการ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com



หนา

1. คาชแจง 2 2. การใช GSP ในการสอนเรองการสรางพนฐานทางเรขาคณต 5 3. การสรางรปเรขาคณตอยางงายโดยใชเมนสราง 11 - สรางมมทมขนาด 90° , 45° , 60° 11 - สรางรปสามเหลยมดานเทาทมความยาวของดานเทากบสวนของเสนตรงทกาหนดให 16 - สรางรปสเหลยมจตรส 17 - สรางรปสเหลยมขนมเปยกปน 18 4. การสรางตารางแสดงความสมพนธระหวางความกวาง ความยาว พนท เสนรอบรป 19 ของรปสเหลยมมมฉาก 5. การสรางสวนโคงของวงกลม มมทจดศนยกลาง และมมทเสนรอบวง 20 6. การเคลอนไหวจดและเสน 22 7. การแปลงทางเรขาคณต 23 - การสะทอน 23 - การหมน 23 - การเลอนขนาน 24 - เทสเซลเลชน 31 - การยอ/ขยาย 32 8. การสรางรปเรขาคณตทมขนาดคงท 35 9. การสรางตวเลอน (Slider) 36 10. การเคลอนทรปเรขาคณต 38 11. การสรางเครองมอกาหนดเอง 39 - รปสามเหลยมดานเทาและรปสเหลยมจตรสทมขนาดคงท 41 12. การนาเครองมอกาหนดเองไปใช 42 - การสรางสอแสดงจานวนตรรกยะและอตรรกยะ 43 - การสรางสอแสดงความสมพนธของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก 44 ในทฤษฎบทพทาโกรส 13. แผนภมรปวงกลม 48

สารบญ





หนา 14. การสรางสอการสอนเรอง ขนาดของรปสเหลยมมมฉากกบพนททมากทสด 46 15. การสรางสอแสดงภาพการเปดกระดาษ 51 16. การสรางสอแสดงภาพกลองทรงสเหลยมมมฉาก 52 17. การสอนเรอง กราฟของสมการเสนตรง 54 18. การเขยนกราฟของฟงกชนไซน 58 19. กราฟของฟงกชนอดศย 60 20. การสรางสอการสอนเรองฟงกชน 61 21. การสรางสอการสอนเรองเวกเตอร 63 22. การสรางสอเรองลมตของฟงกชน 68 23. การสรางสอสาหรบการศกษาเรองลมตของฟงกชน 70 24. การสรางเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกาหนดให 72 25. การสรางกราฟของอนพนธของฟงกชน 74 26. การสรางกราฟของอสมการ 76 27. การสรางสอการสอนเรองเมทรกซ 80 28. ภาคผนวก 82 - ผจดทา - เอกสารอางอง





การใช GSP ในการสอนเรองการสรางพนฐานทางเรขาคณต

การสรางรปเรขาคณตทเปนพนฐานของการศกษาเรขาคณตนน สามารถทาไดดวยวงเวยน และสนตรง การใช GSP ในการชวยสอนการสรางพนฐานน ครสามารถตรวจสอบรองรอยการสรางของนกเรยนไดจากคาสง แสดงสงทซอนไวทงหมด ในเมนแสดงผล การสรางรปเรขาคณตตองอาศยความรเรองการสรางพนฐาน 6 แบบ คอ 1. การสรางสวนของเสนตรงทยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให 2. การแบงครงสวนของเสนตรงทกาหนดให 3. การสรางมมใหมขนาดเทากบขนาดของมมทกาหนดให 4. การแบงครงมมทกาหนดให 5. การสรางเสนตงฉากจากจดภายนอกมายงเสนตรงทกาหนดให 6. การสรางเสนตงฉากทจดจดหนงบนเสนตรงทกาหนดให

การสรางสวนของเสนตรงทยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให ให AB เปนสวนของเสนตรงทกาหนดให 1. กาหนดจดอสระใดๆ 1 จด บรเวณทวาง สมมตชอ จด C 2. เลอกจด C และสวนของเสนตรง AB ..>ทเมนสราง เลอกคาสง วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม จะไดวงกลมทม C เปนจดศนยกลาง มรศมยาวเทากบสวนของเสนตรง AB 3. เลอกเสนวงกลม C ..>ทเมนสราง เลอกสรางจดบนเสนรอบวง สมมตชอจด D จากนนลากสวนของเสนตรงเชอมระหวางจดศนยกลางกบจดอสระD จะได สวนของเสนตรง CD มความยาวเทากบสวนของเสนตรง AB ตามตองการ 4. ซอนสวนทไมตองการโดยเลอกออบเจกตนนๆ แลว เลอกทเมนแสดงผล —> ซอนออบเจกต

สวนของเสนตรงทกาหนดA B

C D





การแบงครงสวนของเสนตรงทกาหนดให ทาไดโดยการหาจดกงกลางของสวนของเสนตรงทกาหนด ให AB เปนสวนของเสนตรงทกาหนดให วธหาจดกงกลาง 1. สรางสวนของเสนตรง XY ใหยาวพอสมควร (เพอกาหนดเปนความยาวรศมของวงกลม) 2. สรางวงกลมโดย ..>เลอกจด A และจด B เปนจดศนยกลางของวงกลม เลอกสวนของเสนตรง XY เปนรศม เลอกเมนสราง และเลอกคาสง วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม จะไดวงกลม A และวงกลม B ตดกน 3. ทเมนสราง ..>สรางจดตดของวงกลมทง 2 วง คอทจด C และจด D 4. สรางสวนของเสนตรง CD และสรางจดตด สวนของเสนตรง CD กบสวนของเสนตรง AB ตงชอเปนจด O 5. จะได O เปนจดแบงครงสวนของเสนตรง AB ทกาหนด

O

C

D

x y

A B

x y





การสรางมมใหมขนาดเทากบขนาดของมมทกาหนดให กาหนดมม ABC ดงรป สรางมม XYZ ใหมขนาดเทากบขนาดของมม ABC ทาไดดงน 1. สรางรงส YZ เพอสรางมมและสวนของเสนตรง PQ เพอกาหนดเปนรศมวงกลม 2. คลกทจด B และสวนของเสนตรง PQ สรางวงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม จากเมนสราง หาจดตดของวงกลมกบรงส AB และรงส BC ตงชอจด M และจด N ตามลาดบ 3. ใช Y เปนจดศนยกลาง รศม PQ สรางวงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม ตดรงส YZ ทจด J 4. ใชจด J เปนจดศนยกลางและสวนของเสนตรง MN เปนรศมวงกลม เขยนวงกลมตดเสนรอบวงของ วงกลม Y ทจด X ลากรงส YX จะไดมม XYZ ซง m(XYZ) = m(ABC)

B

C

A

N

MB

C

A

P Q

X

JN

MB

C

A

Y Z

P Q





การแบงครงมมทกาหนดให ให มม ABC เปนมมทกาหนดให 1. สรางสวนของเสนตรง PQ เพอใชเปนรศมของวงกลม 2. เลอกจด B เปนจดศนยกลาง และเลอกสวนของเสนตรง PQ เปนรศม …>ทเมนสราง เลอกวงกลมทสรางจากจดศนยกลางและ รศม จะไดวงกลมทม B เปนจดศนยกลาง 3. เลอกเสนรอบวงของวงกลม B และรงส BA (รงส BC) …>ทเมนสราง สรางจดตดของวงกลมกบรงส ตงชอเปนจด E (และ D ตามลาดบ) 4. เลอกจด E และจด D เปนจดศนยกลาง เลอกรศมเทากบสวนของเสนตรง PQ …>ทเมนสราง สรางวงกลม จะไดวงกลม 2 วงตดกน 5. …>ทเมนสราง สรางจดตดของวงกลม E และวงกลม D ใหชอจด B และ F จากนนสรางรงส BF 6. …>ทเมนแสดงผล ซอนขนตอนการสราง

P Q

B

C

A

FD

E

P Q

B

C

A

B

C

A





การสรางเสนตงฉากจากจดภายนอกมายงเสนตรงทกาหนดให 1. กาหนดเสนตรง AB และ สรางจดอสระอก 1 จดสมมตชอจด C อยหางจากเสนตรง AB พอสมควร 2. สรางสวนของเสนตรง PQ เพอกาหนดเปนรศม 3. เลอกจด C เปนจดศนยกลาง เลอกสวนของเสนตรง PQ เปนรศม …>ทเมนสราง สรางวงกลมจากจดศนยกลางและรศม จะไดวงกลม C ตดเสนตรง AB ..>ทเมนสราง สรางจดตด สมมตชอจด X และ Y 4. เลอก X และ Y เปนจดศนยกลาง เลอกสวนของเสนตรง PQ เปนรศม …>ทเมนสราง สรางวงกลม 2 วง ..>สรางจดตด สมมตชอจด C และจด S 5. ลากสวนของเสนตรง CS ตดสวนของเสนตรง AB สมมตชอจด D จะไดสวนของเสนตรง CD ตงฉากกบ เสนตรง AB ทจด D ตามตองการ 6. ซอนขนตอนการสราง

D YXA B

C

P Q

DA B

C

A B

C

P Q





การสรางเสนตงฉากทจดจดหนงบนสวนของเสนตรงทกาหนดให กาหนดสวนของเสนตรง PQ และสวนของเสนตรง XY เพอเปนรศมของวงกลม 1. เสนตรง AB เปนสวนของเสนตรงทกาหนด C เปนจดๆหนงบนเสนตรงทกาหนดให 2. เลอกจด C เลอกสวนของเสนตรง XY …>ทเมนสราง เลอกวงกลมสรางจากจดศนยกลางและรศม ไดวงกลม 1 วง 3. เลอกเสนรอบวงและสวนของเสนตรง AB …>ทเมนสราง เลอกสรางจดตด ตงชอเปนจด D และ E 4. เลอกจด D เปนจดศนยกลางของวงกลม และเลอกรศมยาวเทากบ PQ เขยนวงกลม ทเมนสราง เลอกจด E เปนจดศนยกลางของวงกลม และเลอกรศมยาวเทากบ PQ เขยนวงกลม ทเมนสราง 5. เลอกเสนรอบวงของวงกลม D และ E ..>ทเมนสราง เลอกจดตดของวงกลมทงสองวง ตงชอเปนจด M และ N ลากสวนของเสนตรง MN เชอมจดตดนนผานจด O 6. จะได สวนของเสนตรง MO ตงฉากกบสวนของเสนตรง AB ตามตองการ

EDO

M

N

P Q

A B

yx





การสรางรปเรขาคณตอยางงายโดยใชเมนสราง

การสรางมมทมขนาด 90° 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB สรางเสนตงฉากจากเมนสราง คาสงสรางเสนตงฉาก 3. สรางจดอสระบนเสนตงฉากทสราง ตงชอจด C 4. สรางสวนของเสนตรงเชอมจด A และ C 5. ซอนสวนทไมตองการแสดง

การสรางมมทมขนาด 45° 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. สรางเสนตงฉากทจด A โดยเลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB เลอกเมนสราง คาสงเสนตงฉาก 3. สรางจดอสระบนเสนตงฉากทไดตงชอ จด C 4. เลอกทจด B, A และ C ตามลาดบ เลอกเมนสราง คาสงเสนแบงครงมม

A B

C

A B

C

A B

C





การสรางมมทมขนาด 60° 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. สรางวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด A โดยเลอกทจด A และจด B เลอกเมนสราง คาสงสราง

วงกลมจากจดศนยกลางและจดอน 3. สรางวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด B โดยเลอกทจด B และจด A เลอกเมนสราง คาสงสราง

วงกลมจากจดศนยกลางและจดอน 4. หาจดตดของวงกลมทงสองวง ตงชอจดตดเปนจด C 5. เลอกทจด A และ C สรางรงส จะไดมม BAC ทมขนาดเทากบ 60° การระบายส การระบายสบรเวณภายในรปตางๆ ทเกดจากการสรางสามารถทาไดดงน 1. สรางรปสเหลยมใดๆ ขนมา 1 รป ตงชอเปนสเหลยม ABCD 2. เลอกทจด A, B, C และ D (โดยเรยงไปตามแนวเสน) เลอกทเมนสราง คาสงภายในรปสเหลยม จะ

ไดสบรเวณภายในรป

C

A B

C

A B

AB

CD





การสรางรปสามเหลยมมมฉาก 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB ใชคาสงสรางเสนตงฉาก จากเมนสราง 3. สรางจดอสระบนเสนตงฉากทได ตงชอเปนจด C 4. เชอมสวนของเสนตรง AC และ สวนของเสนตรง BC

การสรางรปสเหลยมมมฉาก 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB ใชคาสงสรางเสนตงฉาก จากเมนสราง 3. ทจด B สรางเสนตงฉาก เชนเดยวกนกบขอ 2 4. เลอกทจด A และ B สรางวงกลมทสรางจากจดศนยกลางและจดอน และทจด B สรางวงกลมทจดน

ในวธการเดยวกน 5. หาจดตดของเสนตงฉากและวงกลมทงสอง ตงชอ จด C และ D 6. เชอม AC, CD, และ DB ดวยสวนของเสนตรง 7. ซอนสวนทไมตองการแสดง

A B

C

A B

C

D C

A B

D C

A B





การวดขนาดของมม การวดขนาดของมมตางๆ สามารถทาไดดงตวอยางตอไปน 1. สรางรปสามเหลยมใดๆ ขนมาหนงรป ชอสามเหลยม ABC 2. ตองการวดมม B เลอกทจด A , B และ C ตามลาดบ เลอกทเมนวด คาสงมม

ตองการวดมม A เลอกทจด B , A และ C ตามลาดบ เลอกทเมนวด คาสงมม ตองการวดมม C เลอกทจด A , C และ B ตามลาดบ เลอกทเมนวด คาสงมม

3. จะไดขนาดของมมทตองการวดดงภาพ การวดความยาวของดาน การวดความยาวของดานของรปเรขาคณตตางๆ สามารถทาไดโดยใชเมนวด ดงตวอยางตอไปน 1. สรางรปสเหลยมใดๆ ขนมา 1 รป ตงชอเปน สเหลยม ABCD 2. วดความยาวดาน AB เลอกทดาน AB ทเมนวด คาสงความยาว วดเชนเดยวกนนกบดาน BC, AD

และ CD จะไดคาทไดจากการวดดงภาพตวอยาง

m∠ACB = 77.96°m∠ABC = 51.20°m∠BAC = 50.84°C

A B

m DC = 3.47 ซม.m CB = 3.61 ซม.m AB = 4.15 ซม.m AD = 2.70 ซม.

A B

DC





การวดพนท การวดพนทโดยการใชคาสงจากเมนวดนน สามารถหาไดเมอรปทตองการหาพนทนนตองมการระบายสบรเวณภายในรปนน ดงตวอยางตอไปน 1. สรางรปสามเหลยมใดๆ 1 รป ชอสามเหลยม ABC 2. ระบายสบรเวณภายในรปโดยเลอกทจด A, B และ C เลอกเมนสราง คาสงภายในรปสามเหลยม 3. เลอกเฉพาะพนททระบายสภายในรป เลอกทเมนวด คาสงพนท ดงภาพ

พนท ACB = 6.26 ซม.2

A B

C





การสรางรปสามเหลยมดานเทาทมความยาวของดานเทากบสวนของเสนตรงทกาหนดให มขนตอนการสรางดงน 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. เลอกทจด A เลอกทเสน AB เลอกทเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม 3. จากนนเลอกทจด B และเลอกทเสน AB ไปทเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจดศนยกลาง และรศม 4. จะไดวงกลม 2 วง ซงมจดศนยกลางอยทจด A และจด B 5. หาจดตดของวงกลม 2 วง โดยเลอกวงกลมทง 2 วง จากนนเลอกทเมนสราง—-> จดตด ตงชอจดตดเปนจด C 6. ลากสวนของเสนตรงเชอมไปยงจดตด จะไดดงภาพ 7. เลอกทวงกลมและจดเพอทาการซอน โดยเลอกทเมนแสดงผล—-> ซอนวงกลม ขอแนะนา : ทกๆ ครง ของการเลอกเครองมอตอไป ควรตรวจสอบวายงมการเลอกออบเจกตใดๆ คางอยหรอไม กอนเลอกเครองมอทกครง โดยเลอกไปทเครองมอลกศร หรอกดปม ESC ทคยบอรด

C

A B





การสรางรปสเหลยมจตรส มขนตอนการสรางวธหนงดงน 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. สรางเสนตงฉากทจด A และ B โดยการเลอกจด A และ จด B และสวนของเสนตรง AB เลอกทเมน สราง—-> เสนตงฉาก 3. เลอกจด A เลอกสวนของเสนตรง AB เลอกทเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและ รศม จากนนเลอกจด B และเลอกทสวนของเสนตรง AB ทเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจด ศนยกลางและรศม จะไดวงกลม 2 วง ซงมจดศนยกลางอยทจด A และจด B 4. หาจดตดของวงกลมกบเสนตงฉากทสรางขน โดยการเลอกทเสนตงฉากและเสนรอบวง เลอกเมน สราง—-> จดตด 5. เชอมแตละจดดวยสวนของเสนตรง จากนนทาการซอนออบเจกตทไมตองการแสดงใหเหนโดยเลอกท เมนแสดงผล —> ซอนออบเจกต





การสรางรปสเหลยมขนมเปยกปน

มขนตอนการสรางวธหนงดงน 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. เลอกจด A เลอกทสวนของเสนตรง AB เลอกทเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและ รศม 3. เลอกทเสนรอบวง เลอกทเมนสราง —> จดบนวงกลม จะไดจดใดๆ ทสามารถวงบนเสนรอบวงได ตงชอเปนจด C เพอกาหนดใหสวนของเสนตรง AC เปนดานๆ หนงของรปสเหลยม 4. สรางสวนของเสนตรงเชอมจด A และจด C 5. สรางเสนขนานผานจด C และใหขนานกบสวนของเสนตรง AB โดย เลอกจด C และสวนของเสนตรง AB เลอกทเมนสราง —> เสนขนาน จะไดเสนตรงทขนานกบสวนของเสนตรง AB 6. สรางเสนขนานกบสวนของเสนตรง AC ผานจด B โดยเลอกจด B และสวนของเสนตรง AC เลอกทเมน สราง—-> เสนขนาน หาจดตดของเสนขนานทเกดขน ตงชอเปนจด D 7. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงหมด จากนนทาการซอนออบเจกตทไมตองการแสดง จะไดรปสเหลยม ขนมเปยกปนทมความยาวของดานทยาวเทากบสวนของเสนตรงทกาหนด

ขอแนะนา : ทกๆ ครง ของการเลอกเครองมอตอไป ควรตรวจสอบวายงมการเลอกออบเจกตใดๆ คางอยหรอไม กอนเลอกเครองมอทกครง โดยเลอกไปทเครองมอลกศร หรอกดปม ESC ทคยบอรด





การสรางตารางแสดงความสมพนธระหวางความกวาง ความยาว พนท เสนรอบรป ของรปสเหลยมมมฉาก

GSP มสมบตทเออใหครใชสรางตารางเพอชวยในการสอนในเนอหาตางๆ ได ดงตวอยางตอไปน 1. สรางรปสเหลยมมมฉาก ABCD ดงภาพ 2. ระบายสบรเวณภายในรปสเหลยมมมฉาก 3. วดความยาวของแตละดาน จากเมนวด 4. วดพนทโดยเลอกทพนทบรเวณภายในรปสเหลยมมมฉาก จากเมนวด 5. วดความยาวรอบรปโดยเลอกทพนทบรเวณภายใน เลอกเมนวด คาสงความยาวรอบรป จะไดดงภาพ 6. การสรางตารางแสดงความสมพนธระหวางความกวาง ความยาว พนท เสนรอบรปนน เพอใหหวตารางมความหมาย เราอาจเปลยนชอระหวางหวตารางไดดงน - เปลยนปายชอของความยาวดาน AB เปน ความยาว โดยเลอก m AB ทวดไดแลวคลกขวา ทสมบต ตงชอวาความยาว - ดาเนนการเชนเดยวกนกบความกวาง - เลอกคาทวดไวตามลาดบดงน เลอก ความกวาง ,ความยาว , พนท และเสนรอบรป เลอกเมนกราฟ คาสงสรางตาราง จะปรากฏดงภาพ

B

D C

A

m DC = 4.07 ซม.m BC = 2.30 ซม.m AB = 4.07 ซม.m DA = 2.30 ซม.

พนท ABCD = 9.38 ซม.2เสนรอบรป ABCD = 12.75 ซม.

B

D C

A





การสราง สวนโคงของวงกลม มมทจดศนยกลางและ มมทเสนรอบวง มขนตอนการสรางดงน 1. เลอกเครองมอสรางวงกลม สรางวงกลมทมขนาดพอสมควร ซงจะประกอบดวยจดศนยกลางวงกลม และจดบนเสนรอบวง (จดบนเสนรอบวงมไวเพอกาหนดขนาดของวงกลม) 2. ทาการซอนจดทอยบนเสนรอบวงโดยเลอกจดนน เลอกเมนแสดงผล —> ซอนจด ตงชอจดศนยกลาง เปนจด A 3. สรางจดใดๆ บนวงกลม 2 จด โดยเลอกทเสนวงกลม เลอกเมนสราง —> จดบนวงกลม ตงชอเปน จด B และจด C 4. สรางสวนโคงนอย BC โดยการเลอกทจด A จด B และ C ตามลาดบ (เลอกจดทอยบนเสนรอบวงใน ลกษณะทวนเขมนาฬกา) 5. เลอกทเมน สราง—-> สวนโคงบนวงกลม จะไดสวนโคงนอย BC 6. ลากสวนของเสนตรงเชอมจด A , B และจด A , C จะไดเปนรปมมทจดศนยกลาง 7. สรางจดบนเสนรอบวงอก 1 จด ตงชอเปนจด D ลากสวนของเสนตรงเชอมจด B,D และ C,D จะได ดงภาพ





8. การสรางสวนทแสดงมม D ทาไดดงน - กาหนดสวนของเสนตรงความยาวพอสมควรเพอเปนรศม - สรางวงกลมโดยมจดศนยกลางทจด D โดย และสวนของเสนตรงทสรางขนเปนรศม เลอกทเมนสราง—-> วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม - หาจดตดของเสนรอบวงกบแขนของมม ตงชอเปนจด E และ F - สรางสวนโคงของวงกลม EF โดยเลอกทจด D, E และ F (ลกษณะทวนเขมนาฬกา) - เลอกทเมนสราง- -> สวนโคงบนวงกลม จะไดสวนโคง EF ซอนวงกลม - ระบายสเซกเตอรโดยการเลอกทสวนโคง EF เลอกทเมนสราง —> ภายในสวนโคง —> อารกเซกเตอร 9. คลกออบเจกตทตองการซอนทงหมด จะไดดงภาพ





การเคลอนไหวของจดและเสน

การใชคาสงการเคลอนไหว สามารถสรางโดยใชปมแสดงการทางาน เลอกการเคลอนไหว จากเมนแกไข มวธการดงน ตวอยาง ตองการกาหนดใหรศมของวงกลมเคลอนไหว 1. สรางวงกลมดวยเครองมอวาดวงกลม 2. ซอนจดทอยบนเสนวงกลม 3. เลอกทเสนวงกลม สรางจดบนวงกลมจากเมน สราง ตงชอ จด A 4. สรางสวนของเสนตรงเชอมจด A และจดศนยกลางของวงกลม

การสรางปมควบคมการเคลอนไหว ทาไดดงน 5. เลอกทจด A ไปทเมนแกไข คาสงปมแสดงการทางาน เลอกการเคลอนไหวจะปรากฏหนาตางดง

ภาพ

6. จะไดปมแสดงการเคลอนไหว เมอคลกทปมนจด A กจะเคลอนไหวรอบเสนวงกลมในทศทางตามกาหนด

การเคลอนไหว จด

A





การแปลงทางเรขาคณต

3. สารวจโดยการลากรปตนแบบ สวนตางๆของรป หรอทเสนสะทอน

2. สรางรปเรขาคณตใดๆ คลกเลอกรปนนแลว ----> การแปลง ---> สะทอน

- ----> การแปลง ---> ระบเวกเตอรหรอ ดบเบลคลกทเสนนน

1. ในการสะทอนตองม เสนสะทอนซงเปนเสนแทนกระจกสรางสนในแนวตรงเปนเสนสะทอน กาหนดใหเสนนเปนเสนสะทอน โดยคลกเลอกเสนน

การสะทอน (Reflection )

A

B

C

D

6. พจารณาการเปลยนแปลงทเกดเมอปรบขนาดของมมทกาหนดเลอกรปตนแบบ ---> การแปลง --->หมน- ---> การแปลง ---> ระบมม

5. กาหนดการหมนแบบอนทาไดโดย สรางมมอสระขนมา 1 มม เลอกจดบนมมนน 3 จดตามลาดบ

4. สารวจโดยการเคลอนรป เคลอนจด หรอเคลอนตรงกลาง - เลอกรปนน ---> การแปลง ---> หมน เตมขนาดของมมในกลอง เชน 90°

3. สรางรปใดๆ กาหนดการหมนรปนนแบบกาหนดมมแนนอน ทาดงน - หรอ ดบเบลคลกทจดนน- เลอกจดนน ------> การแปลง ----> ระบจดศนยกลาง

2. กาหนดใหจดนเปนจดศนยกลางของการหมน โดย- สรางจดใดๆ เตรยมไว 1 จด

1. จะทาการหมนไดตองมจดศนยกลางของการหมน กอนการหมน

m∠KLM = 111°

OA

B

C

D

K

L M

(Rotation)

- ----> การแปลง ---> ระบเสนสะทอนหรอ ดบเบลคลกทเสนนน





การแปลงทางเรขาคณต

4. สารวจโดยการลากรปตนแบบ สวนตางๆของรป หรอจดทแสดงเวกเตอร

--->การแปลง ---> ระบเวกเตอร คลกเลอกรป---> การแปลง ---> เลอนขนาน

3. กาหนดการเลอนแบบอน ทาไดดงน สรางจด 2 จดใดๆ เพอกาหนดเปนเวกเตอร จากจดแรกไปยงจดทสอง คลกเลอก2จดนตามลาดบ แลว

2. สารวจโดยการลากรปตนแบบ หรอ สวนตางๆของรป

1. สรางและเลอกรปเรขาคณตทตองการจะเลอนแบบตายตว ----> การแปลง ----> เลอนขนาน แลวเลอกแบบของการเลอน แบบเชงขว หรอแบบสเหลยมมมฉาก

การเลอนขนาน

AD

C

B

K

L

(Translation)





กจกรรม 1 การสะทอน กบแกน x 1. เลอกใชแกน x เปนเสนสะทอน ใหหารปสามเหลยม A′B′C′ ซงเปนภาพสะทอน จากรปสามเหลยม ABC 2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชอมตอจดทสมนยกน สวนของเสนตรงดงกลาวสมพนธ กบ เสนสะทอนอยางไร 3 . เมอ (x′, y′) เปนพกดของจดทเกดจากการสะทอนจด (x, y)

6

4

2

-2

5 10

AB

C

รปท พกดของรปตนแบบ

พกดของภาพทเกดจากการสะทอน ดวยแกน x

จด x y จด x′ y′

1

A A′ B B′ C C′

2


3






4. จากขอมลทไดในตาราง ขอ 3 ใหเตมจานวนเพอแสดงความสมพนธทางพชคณตของพกดใหมกบพกดเดม x′ = …x หรอ * x′ = …… x + ……y

y′ = …y หรอ * y′ = ….. x + …..y

5.* ถาเขยนพกดของจด (x,y) ในรปของเมทรกซ มต 2 x 1 จะได พกดของจดทเกด จากการสะทอนนน จะไดจากการคณ เมทรกซ ใดกบเมทรกซ

yx

yx





กจกรรม 2 การสะทอน กบแกน Y 1. เลอกใชแกน Y เปนเสนสะทอน ใหหารปสามเหลยม A′B′C′ ซงเปนภาพสะทอน จากรปสามเหลยม ABC

2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชอมตอจดทสมนยกน สวนของเสนตรงดงกลาวสมพนธกบเสนสะทอน อยางไร 3 . เมอ (x′, y′) เปนพกดของจดทเกดจากการสะทอนจด (x, y)

6

4

2

-2

5 10

AB

C




1


2


3






4. จากขอมลทไดในตาราง ขอ 3 ใหเตมจานวนเพอแสดงความสมพนธทางพชคณตของพกดใหมกบพกดเดม x′ = …x หรอ * x′ = …… x + ……y

y′ = …y หรอ * y′ = ….. x + …..y 5.* ถาเขยนพกดของจด (x,y) ในรปของเมทรกซ มต 2 x 1 จะได พกดของจดทเกด จากการสะทอนนน จะไดจากการคณ เมทรกซ ใดกบ เมทรกซ

yx

yx





กจกรรม 3 การสะทอน ดวยเสนตรง y = x 1. เลอกใชเสนตรง y = x เปนเสนสะทอน ใหหารปสามเหลยม A′B′C′ ซงเปนภาพสะทอน จากรปสามเหลยม ABC 2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชอมตอจดทสมนยกน สวนของเสนตรงดงกลาวสมพนธ กบเสนสะทอนอยางไร 3 . เมอ (x′, y′) เปนพกดของจดทเกดจากการสะทอนจด (x, y)

6

4

2

-2

5 10

AB

C




1


2


3






4. จากขอมลทไดในตาราง ขอ 3 ใหเตมจานวนเพอแสดงความสมพนธทางพชคณตของพกดใหมกบพกดเดม

x′ = …x หรอ * x′ = …… x + ……y y′ = …y หรอ * y′ = ….. x + …..y 5.* ถาเขยนพกดของจด (x,y) ในรปของเมทรกซ มต 2 x 1 จะได พกดของจดทเกด จากการสะทอนนน จะไดจากการคณ เมทรกซ ใดกบเมทรกซ

yx

yx





เทสเซลเลชน 1. ใชเครองมอเสน สรางดาน AB และ BC ของรปสเหลยมดานขนาน ABCD 2. ระบ BC เปนเวกเตอรในเมนการแปลง 3. เลอนขนานจด A ดวย เวกเตอร BC 4. ในเมนการแปลงใชเครองมอเสนเขยนดานทเหลอของรปสเหลยมดานขนาน 5. ใชเครองมอเสนสรางเสน เชอมอนๆ ระหวางจด Aและจด D 6. ระบ AB เปนเวกเตอร เลอกทกจดทเชอมระหวางจด A และจด D

แลวสงเลอนขนาน

7. เชอมตอจดทกจดจาก B ไป C แลวซอนดาน AD และดาน BC

8. ใชการเลอนขนานทาเทสเซลเลชนรปทไดตามชอบโดยกาหนดเวกเตอรทจะใหเลอนไป

D

A B

C D C

BA

D C

BA

D C

BA

D C

BA





การยอ / ขยาย ในเรองการแปลงทางเรขาคณตมเรองหนงทครสามารถนาไปประยกตใชในการสรางสอการสอนเพอเราความสนใจในการเรยนคณตศาสตร คอ การยอขยาย ใน GSP มคาสงนอยในเมนการแปลง

การยอขยายสามารถทาได 3 ลกษณะ คอ 1. ยอ / ขยาย ใน 1 มต เชน ยอ / ขยายสวนของเสนตรง 2. ยอ / ขยาย ใน 2 มต เชน ยอ / ขยายพนท 3. ยอ / ขยาย ใน 3 มต เชน ยอ / ขยายรปทมปรมาตร

ในทนเราจะศกษาเฉพาะการยอ / ขยายรปใน 1 มตและ 2 มต

แบบท 1 ยอขยายใน 1 มต การยอ / ขยายจะตองมองคประกอบตอไปน

1. รปเรขาคณตหรอวตถทตองการยอ / ขยาย 2. จดศนยกลาง (หรอจดเรมตน) 3. อตราสวนของการยอ / ขยาย 4. ทศทางของการยอขยาย ตวอยางการสรางตอไปน 1. กาหนดจด A ใด ๆ แลวระบเปนจดศนยกลาง 2. สรางสวนของเสนตรง CD แลวเลอก สวนของเสนตรง CD (สวนของเสนตรงทตองการยอ / ขยาย) 3. ทเมนการแปลงเลอกคาสงยอ ขยาย จะไดกลองโตตอบ ทดลองเตมจานวนลงในอตราสวนทตวเศษและ

ตวสวน ทงจานวนเตมบวกและจานวนเตมลบ พจารณาเสนจาง ๆ ทเกดวาสมพนธกบจานวนทระบลงในกลองโตตอบอยางไร

4. ลองขยบจดศนยกลาง หรอสวนของเสนตรงตนแบบ (CD ) พจารณาทศทางของภาพทเกดจากการยอขยาย

5. ลากสวนของเสนตรงเชอมจดปลายของรปตนแบบและภาพทเกด พจารณารปสามเหลยมทเกดขน เชน

C D

C′ D′

A

C′ D′

C D

A





จะเหนวา สามเหลยม ACD และ AD'C' เปนสามเหลยมคลายไมวาจะโยกจดไปยงทศทางใด แบบท 2 การยอ / ขยาย ใน 2 มต องคประกอบของการยอ / ขยายใน 2 มตทานองเดยวกนกบ 1 มต ตวอยางการสรางเชน

1. สรางรปหลายเหลยมใด ๆ 1 รป 2. สรางจด A ใด ๆ ระบใหเปนจดศนยกลาง 3. ทเมนการแปลง เลอกคาสงยอ / ขยาย กาหนดอตราสวนตามใจชอบ เชน 4. เคลอนจดศนยกลางพจารณาภาพทเคลอนไหว 5. สรางสวนของเสนตรงเชอมตอระหวางจดสมนยของรปตนแบบและภาพทเกดจากการยอ /

ขยาย จะเหนวา เมอเทยบกบจดศนยกลางจะไดรปสามเหลยมคลายเสมอ

การยอ / ขยายทมการเปลยนขนาดอยางตอเนองจะตองใชอตราสวนทมการเปลยนคาอยาง ตอเนองเปนอตราสวนทระบ

อตราสวนของการยอ / ขยายม 2 แบบคอ 1. อตราสวนคงท เปนอตราสวนทจะตองกาหนดตวเลขแนนอน 2. อตราสวนทระบ เปนอตราสวนทเราสามารถเปลยนแปลงได

การเคลอนจดใน GSP จดสามารถสงใหเคลอนได 2 แบบ ดงน – การเคลอนทจด เปนการสงใหจดเคลอนทจากจดตนทางไปยงจดปลายทาง ดงนน การสง

ใหจดเคลอนทจะตองคลกจดตนทางและจดปลายทางตามลาดบ

– การเคลอนไหวจด เปนการสงใหจดเปลยนตาแหนงโดยไมตองมจดหมายปลายทาง การสงใหจดเคลอนไหวทาได 2 แบบคอ

1. การสงเคลอนไหวจดทวาง ณ ตาแหนงใด ๆ บนระนาบ จดประเภทนจะเคลอนไหว แบบสมมทศทางไมแนนอน

2. การสงเคลอนไหวจดใหไปในทศทางทตองการ จะตองมการสรางเสนทางการเคลอน ของจดกอนแลวนาจดไปวางบนเสนทางทสรางซงอาจเปนสวนของเสนตรง สวนโคง

จากนนจงใชคาสงการเคลอนไหวจดแลวกาหนดทศทางและความเรวของการเคลอนไหว





ตวอยางการสรางสอการยอ / ขยายอยางตอเนองโดยใชอตราสวนทระบ 1. กาหนดจด 1 จด 2. เลอนขนานจดนนไปในแนวนอน 1 เซนตเมตร 3. เลอกจดท 1 และ 2 ตามลาดบ สรางรงส

กาหนดจดใด ๆ บนรงส

5. เลอกจดท 1 , 2 และ 3 ตามลาดบ ทเมนวด เลอกคาสงอตราสวน จะไดอตราสวน จะสงเกตเหนวา ระยะระหวางจดท 1 และ 2 จะเปนตวสวนของอตราสวน ระยะระหวางจดท 1 และ 3 จะเปนตวเศษของอตราสวน

6. เมอไดอตราสวน นาอตราสวนนนมาใชยอ / ขยายโดยวาดรปใด ๆ โดยดาเนนการตอไปน – กาหนดจดศนยกลาง แลวระบเปนจดศนยกลางทเมนการแปลง – เลอกคาอตราสวน แลวไปทเมนการแปลง เลอกคาสงระบตวประกอบพารามเตอร เพอกาหนดเปนอตราสวนในการยอ / ขยาย – เลอกรปทเราตองการยอ / ขยาย ทเมนการแปลง เลอกคาสงยอ / ขยาย

7. ทดลองปรบ / เคลอนจดท 3 บนรงส ทดลองปรบเคลอนจดศนยกลางของการยอขยาย

8. เพอใหการแสดงผลนาพอใจ เราอาจซอนรปตนแบบทเมนแสดงผล โดยเลอกคาสงซอน

A A'

A A' B

ABAA'

= 5.1





การสรางรปเรขาคณตทมขนาดคงท การสรางรปเรขาคณตโดยใชคาสงการแปลงจะทาใหไดจด ซงผกพนกบจดเดม รปทเกดขนจงมขนาดและรปรางคงท การสรางรปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 ซม. สามารถสรางไดหลายวธตวอยางเชน 1. สรางจดอสระ 1 จด เลอนขนานจดนแบบเชงขว 0 องศา ขนาด 2 ซม. หรอ แบบสเหลยมมมฉาก ใน

แนวนอน 2 ซม. ในแนวตง 0 ซม.

2. เลอกทจดทง 2 จด เลอนขนานทงสองจดนแบบเชงขว 90 องศา ขนาด 2 ซม. 3. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงสทได 4. ระบายสบรเวณภายใน การสรางรปสเหลยมขนมเปยกปนทมความยาวดานละ 1 ซม. สามารถสรางไดหลายวธ ตวอยางเชน 1. สรางจดอสระขนมา 1 จด เลอนขนานจดนไปแบบเชงขว 0 องศา 1 ซม. 2. เลอกทจดทงสอง เลอนขนานแบบเชงขวตามมมองศาทตองการ เชน 60องศา ระยะ 1 ซม. 3. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงส และระบายสบรเวณภายในรปสเหลยมทได 4. ไดรปสเหลยมดานขนานทมความยาวดานละ 1 ซม.





การสรางตวเลอน (Slider) ในทางคณตศาสตร เราเรยกสญลกษณทกาหนดใหแทนคาของจานวนทเปลยนแปลงได วาตวแปร ใน GSP เราสามารถกาหนดคาของตวแปรไดในพารามเตอร ซงเปนคาสงในเมนกราฟ นอกจากนยงสามารถใชเครองมออกชนดหนงแทนคาของความยาวทเปลยนแปลงไดอก เรยกวา ตวเลอน ตอไปนเปนตวอยางการสรางตวเลอน 2 วธ ทใหผลแตกตางกนขนอยกบจดประสงคของการนาไปใชตอ การสรางตวเลอน 1. เปด แฟมใหมจากคาสงแฟม 2. กาหนดจด A ทตาแหนงใดๆ 3. ตองการใหจด A เลอนขนานไปทางขวามอ 1 ซม.

เลอก จดA ..> คาสง การแปลง เลอก เลอนขนาน จะไดกลองโตตอบดงรป สาหรบเวกเตอรของการเลอนขนานใหเปน เชงขว โดยใหระยะคงทเปน 1 ซม. มมคงท เปน 0 องศา แลวให เลอนขนาน

4. สรางเสนตรงผานจด A และ A' 5. สรางจดใดๆบนเสนตรง AA' หนงจด เชนจดB 6. เลอกจดตามลาดบตอไปน A , A' และB จากเมน วด เลอก อตราสวน จะไดอตราสวน ดงรป

7. สราง สวนของเสนตรง เชอมจด AB 8. ซอนสงทไมใช คอเสนตรง AA’ และจด A' 9. ทดลองลากจดB และสงเกตการเปลยนแปลงทอตราสวน การเปลยนปายชอ อตราสวน

คลกขวาทปายอตราสวน จะไดกลองโตตอบ เลอกสมบต พมพชอทตองการ เชน a แลว ตกลง จะไดปายใหมทตองการ

ABAA' = 3.110

A'A B

a = 3.110A B





ตวเลอน AB ทได เราสามารถนาไปใชในการกาหนดขนาดของรปเรขาคณตทเราสรางขน และควบคมการปรบขนาดของรปจากภายนอก นอกจากนเราสามารถเกบตวเลอนทเราสรางเอาไวในโอกาสตอไปได การเกบตวเลอน (Slider) ไวใน เครองมอกาหนดเอง

1) เลอกจด A และ 2) เลอกเครองมอกาหนดเอง สรางเครองมอใหม 3) พมพชอทตองการในกลองโตตอบ ดงรป

คลกตกลง

การสรางตวเลอน (Slider) แบบกาหนดขอบเขตได ในทางคณตศาสตรบางครง เราตองการเปลยนแปลงคาเฉพาะในขอบเขตทจากดเพอใหนกเรยนเกดความ คดรวบยอด วธสรางตวเลอนแบบกาหนดขอบเขตมดงน 1. กาหนดจดใด ๆ 1 จด เชน จด A 2. เลอนขนานจด A ในแนวนอนไปตามตองการเชน 3 เซนตเมตร ไดจด A' 3. ลากสวนของเสนตรงเชอม 2 จดนน 4. หาจดกงกลางสวนของเสนตรงนน (จดC) 5. ทเมนการแปลง ระบให จด C เปนจดศนยกลาง 6. คลกเลอกจดปลาย A' ..>เมนการแปลง คาสง ยอขยาย ไดกลองโตตอบ กาหนด อตราสวน 1 : 10 จะไดจดใหม 1 จด 7. สรางจดอสระใหม 1 จด บนสวนของเสนตรง 8. สรางอตราสวนระหวางระยะระหวางจดโดยคลกเลอกตามลาดบดงน -จดกงกลาง -จดเกดจากการยอขยาย -จดอสระ เมนวด คาสงอตราสวน 9. ไดอตราสวน คลกคาของอตราสวน เปลยนปายชอเปน a 10. ทสวนของเสนตรงซอนจดตรงทกจดยกเวนจดอสระ ตงชอจดนนวา จด a 11. จะไดตวเลอนแบบมขอบเขต ตงแต –10 ถง 10

AB





การเคลอนทรปเรขาคณต เราสามารถสรางปมควบคมการเคลอนทของรปเรขาคณตได โดยอาศยสมบตของ GSPท เมอมจด 2 จด เชน จด A และจด B เมอเลอกจด A และจด B ตามลาดบ ทเมนแกไข เลอกคาสงปมแสดงการทางาน ระบขอมลในกลองโตตอบ แลวจะไดปมควบคม เมอกดปมนจด A จะเคลอนไปหาจด B เสมอ ไมวาจด B จะเคลอนไปอยในจดใด การเคลอนทของรปสเหลยมจตรส มขนตอนการสรางดงน 1. สรางรปสเหลยมจตรสทมความยาวของดานคงทแนนอน เชน 2 ซม. 2. เลอกเครองมอ จด สรางจดใดๆ บนบรเวณแบบราง 1 จด ตงชอเปนจด F 3. กาหนดใหรปสเหลยมจตรสเคลอนทไปยงจด F ทาไดดงน - คลกทจด A และคลกทจด F ตามลาดบ ( ระบสงทจะใหเคลอนไปยงเปาหมาย) - เลอกทเมน แกไข —-> ปมแสดงการทางาน —-> การเคลอนท... กาหนดความเรว ชา ปานกลาง ตามตองการ กดปมตกลง 5. จะปรากฏปมแสดงการเคลอนท A —F เมอกดทปมน รปสเหลยมจตรสกจะเคลอนทไปยงจด F





การสรางเครองมอกาหนดเอง นอกจากคาสงทางเรขาคณตทใชบอยๆ ท GSP กาหนดไวใหในเมนและคาสงยอยแลว เรายงสามารถสรางรปเรขาคณตทมสมบตตามตองการ ทเราใชบอยครงเกบไวใชสวนตวไดอก เชน เครองมอกาหนดเองรปสเหลยมจตรส ขนตอนการสรางรปสเหลยมจตรส 1. สรางสวนของเสนตรง AB 2. คลกทจด A และสวนของเสนตรง AB เลอกเมนสราง —> วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม 3. ทจด B ใหสรางลกษณะเดยวกน จากนนหาจดตดของวงกลมกบเสนตรงทตดวงกลมทง 2 จด ตงชอ เปนจด C และ D 4. ลากสวนของเสนตรงเชอมจดทงส ใหไดรปสเหลยมจตรส ABCD 5. ซอนวงกลมและเสนตรงทไมตองการแสดงทงหมด ขนตอนการสรางเครองมอกาหนดเองรปสเหลยมจตรส 1. เลอกทจด A ,สวนของเสนตรง AB, จด B , สวนของเสนตรง BC, จด C, สวนของเสนตรง CD, จด D และสวนของเสนตรง DA ตามลาดบ 2. เลอกทปมเครองมอกาหนดเอง —> สรางเครองมอใหม ตงชอในกลองโตตอบ การเรยกใชเครองมอทเรากาหนดเองไวแลว - เลอกทปมเครองมอกาหนดเองคางไว แลวเลอกไปยงชอเครองมอทเราตงไว เชน จตรส นามาวางทแบบ รางทหนาจอ เลอกครงท 1 จะเกดเปนรปสเหลยมจตรสขนมาทปลายเมาส คลกวางตาแหนงอกจดหนง ทตองการ กจะไดรปสเหลยมจตรส





เครองมอกาหนดเองรปสามเหลยมมมฉากทมความสงตามกาหนด ในการสรางทางเรขาคณตบางครง เราตองการใชรปสามเหลยมมมฉากทเรากาหนดความสงของดานประกอบมมฉากใหยดหยนตามตองการได มวธการหนงในการสรางดงน กาหนด XY เปนสวนของเสนตรงทจะกาหนดเปนความสงและสรางรปสามเหลยมมมฉากดงน 1. สรางสวนของเสนตรง AB และเลอกทจด B เปนจดศนยกลางของวงกลมรศม XY เขยนวงกลม 2. สรางเสนตงฉากทจด B 3. สรางจดใดๆ บนเสนตงฉากทได จากนนเชอมจดทงสามดวยสวนของเสนตรง 4. ซอนสวนทไมตองการแสดง จะไดรปสามเหลยมมมฉาก และเสนแสดงความสง การเกบเปนเครองมอกาหนดเอง รปสามเหลยมมมฉากทสามารถกาหนดความสงตามตองการ 1. เลอกตามลาดบดงน จด A, AB, จด B, สวนของเสนตรง XY, BC, จด C, AC ตามลาดบ 2. เลอกทปมเครองมอกาหนดเอง ตงชอเชน สามเหลยมมมฉากกาหนดสง หรออนๆ การเรยกเครองมอมาใชทาตามลาดบดงน 1. เลอกทปมเครองมอกาหนดเอง เลอกชอของเครองมอทตองการ 2. เลอกทแบบรางทวางอยจดท 1 และจดท 2 เพอลากสวนของเสนตรงทเปนฐานของสามเหลยม ใช

เมาสชทสวนเสนตรงทตองการใหเปนความยาวของสวนสงของรปสามเหลยมมมฉากทตองการ จะปรากฏรปสามเหลยมมมฉากใหโดยอตโนมต

3. เมอไดความสงตามทตองการแลว กคลกทเสนทชนน จะไดรปสามเหลยมมมฉากมสวนสงตามทตองการ

x y

A B





เครองมอกาหนดเองรปสามเหลยมดานเทาและรปสเหลยมจตรส ในการสรางทางเรขาคณต บางครงเราอาจตองการใชรปทมขนาดเทาๆ กนหลายๆ รป เรามวธกาหนดรปทมขนาดแนนอน เกบไวเรยกใชบอยเทาทตองการดงน การเกบเครองมอรปสามเหลยมดานเทาทมความยาวดานตามตองการ (ในทนยาวดานละ 1 ซม.) 1. สรางจดอสระขนมา 1 จด ตงชอ จด A 2. เลอนขนานจด A ไป 1 ซม. เชนอาจเลอกการเลอนขนานแบบเชงขว 60 องศา จะไดจด A' และ เลอนขนานจากจด A ไป 1 ซม. โดยเลอกการขนานแบบ เชงขว ศนยองศาจะไดดงภาพ สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงสาม จะไดรปสามเหลยม ดานเทาทมความยาวดานละ 1 ซม. 3. ซอนปายชอของจดเหลอเฉพาะรปสามเหลยม เลอกคลมรป

ทงหมด เลอกปมเครองมอกาหนดเอง คาสงสรางเครองมอใหม ตงชอเปน สามเหลยมดานเทา การสรางเครองมอรปสเหลยมจตรสทมความยาวตามตองการ (ในทนยาวดานละ 1 ซม.) 1. สรางจดอสระขนมา 1 จด เลอนขนานจดนไป 1 ซม. โดยอาจเลอนขนานแบบสเหลยมมมฉาก

กาหนดแนวตงเปน 0 ซม. แนวนอน 1 ซม. ดงภาพ 2. เลอกทจดทงสอง เลอนขนานแบบสเหลยมมมฉากกาหนดแนวนอนเปน 0 ซม.

แนวตง 1 ซม. 3. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงส

วธเกบรปเรขาคณตทมขนาดคงท ไวในปมเครองมอสรางเอง

เลอกคลมรปทสรางทงหมด เกบเปนเครองมอ โดยสรางเครองมอใหมแลวกาหนดชอ

A'A'

A





การนาเครองมอกาหนดเองไปใช เมอเราเกบรปสามเหลยมมมฉากทสามารถกาหนดความสงตามตองการและรปสเหลยมจตรส ท

กาหนดขนาดของดานไดตามตองการไวในเครองมอกาหนดเองแลว เราสามารถเลอกปมนนมาใชสรางรปเรขาคณตทแสดงความสมพนธของพนทบนดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากได หรออาจนามาสรางรปเทสเซเลชนแบบตางๆ เชน





การสรางสอแสดงจานวนตรรกยะและอตรรกยะ

การสรางรปแสดงจานวนตรรกยะและอตรรกยะ สามารถสรางโดยใชเครองมอกาหนดเองดงน 1. สรางเครองมอกาหนดเองรปสามเหลยมมมฉากทมความสงตามทตองการ - สรางสวนของเสนตรง xy ยาวพอสมควร - สรางสวนของเสนตรง AB จากนนสรางเสนตงฉากทจด B - สรางวงกลมใหทจด B โดยคลกทจด B และเลอกสวนของเสนตรง xy เปนรศม - หาจดตดของวงกลมกบเสนตงฉากทจด B ตงชอเปนจด C - ลากสวนของเสนตรงเชอมจด A กบ C และ B กบ C จะไดรปสามเหลยมมมฉาก - ทาการซอนสวนทชวยในการสรางทงหมดใหมองคประกอบแสดงใหเหนเฉพาะรปสามเหลยมมมฉาก และเสน xy 2. เกบเปนเครองมอกาหนดเอง (ควรทาการซอนปายชอของแตละจด) - คลกตามลาดบดงน คลกทจด A , สวนของเสนตรง AB , จด B, สวนของเสนตรงท xy, สวน ของเสนตรง BC, จด C และสวนของเสนตรง AC ตามลาดบ - เลอกทปมเครองมอกาหนดเอง ตงชอเครองมอใหมเปน สามเหลยมมมฉากสง 1 หนวย 3. สรางรปกนหอยโดยเลอกเครองมอกาหนดเองและเลอกสามเหลยมมมฉาก ลากฐานของสามเหลยม มมฉากรปแรก โดยคลกทจดแรกและลากไปยงจดทสองทหางกนพอควร ( a หนวย ) แลวใชเมาสชท เสนฐานดงกลาวตอเสนฐานนนจะเปลยนเปนสฟาและจะปรากฏเปนรปสามเหลยมมมฉากทมความสง เทากบฐานทเมาสช 4. สรางรปสามเหลยมมมฉากรปทสองบนดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมหนาจวรปแรกตอโดย คลกทจดแรกและจดทสองตามความยาวของดานตรงขามมมฉาก จากนนคลกทฐานของสามเหลยม รปแรก จะไดรปสามเหลยมมมฉากขนมาโดยอตโนมต โดยทมความยาวฐานยาวเทากบดานตรงขาม มมฉากของรปสามเหลยมรปแรก 5. จากนนคลกตอๆ กนไปโดยเรมฐานจากดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากทตอๆ กนมาและ ความสงเทากบฐานของสามเหลยมรปแรก จะไดดงภาพ 6. ถาใหความยาวฐานของสามเหลยมมมฉากรปแรกยาว 1 หนวย จะไดความยาวของดานตรงขามมมฉากของสามเหลยมรปแรก ยาว หนวย 2





การสรางสอการสอนเพอแสดงความสมพนธของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ในทฤษฎบทพทาโกรส

ในทฤษฎบทพทาโกรสไดกลาวถงความสมพนธของความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากดงน “กาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของกาลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก” นน เพอชวยใหนกเรยนเหนภาพของความสมพนธชดเจนขน เราอาจใชการสรางรปเรขาคณตชวยแสดงไดหลายๆ วธ ตวอยางการสราง เชน 1. สรางรปสามเหลยมมมฉากโดยสรางสวนของเสนตรง AB 2. คลกทจด Aและสวนของเสนตรง AB สรางเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง AB ผานจด A 3. กาหนดจด B บนเสนตงฉาก ใหจด B เลอนไปมาได 4. ซอนเสนตงฉาก ลากสวนของเสนตรงเชอมจด





2. สรางรปสเหลยมจตรสบนดานของรปสามเหลยม - ไปทเครองมอกาหนดเอง เลอกเครองมอสเหลยมจตรสทสรางไว - คลกทจด B กดปมซายคางไว แลวลากมาตามเขมนาฬกาใหปลายมาพบกนทจด A จะไดรป สเหลยมจตรสบนดาน สวนของเสนตรง AB ทาเชนนจนครบทกดาน - กดแปน Esc เพอออกจากคาสงการสรางสเหลยมจตรส

- คลกทกจดของมมรปสเหลยมจตรสไปเมน วด คาสง ภายใน ใสส และวดพนทของรปสเหลยม จตรสทงสามรป

- ใชเมนการวด เลอกคาสงคานวณ จะเกดกลองคานวณ ใหคลกคาของพนทรปสเหลยมจตรสบนดาน a และคลกเครองหมายบวกในกลอง จากนนจงคลกคาของพนทรปสเหลยมจตรสบนดาน b คลก ตกลง จะไดคาผลรวมของพนทรปสเหลยมจตรสบนดาน aและดาน b





การแสดงสรางรปสเหลยมดานขนานบนดาน a - ใหคลกทพนทสเหลยมจตรส ไปเมนสราง ซอนบรเวณภายในรปสเหลยมจตรส ทาทกรป - สรางเสนขนานกบดาน a ใหผานดานของสเหลยมจตรสทอยตรงขามกบดาน a - กาหนดจดบนเสนขนานนใหชอจด D ให D สามารถลากไปมาได ลากสวนของเสนตรง BD ลากเสนขนานกบ BD ผานจด C สรางจดตด ใสชอจด E ซอนเสนขนาน ลากสวนของเสนตรง CE สรางภายในรป BCED ใสส

สรางรปสเหลยมดานขนานบนดาน b สรางเสนขนานกบดาน b ใหผานดานของสเหลยมจตรสทอยตรงขามกบดาน bกาหนดจดบนเสนขนานนใหชอจด F ให F สามารถลากไปมาได ลากสวนของเสนตรง AF ลากเสนขนานกบ AF ผานจด C ตดเสนขนานทจด G ลาก AF และ GC สรางสวนภายในของรป ACFG ใสส

ACGF เปนรปสเหลยมดานขนานทมพนทเทากบพนทสเหลยมจตรสบนดาน bใชหรอไม เพราะ เหตใด ลองลากจด D และ F เพอตรวจสอบดวา - รปสเหลยมดานขนานบนดาน a มพนทเทากบพนทสเหลยมจตรสบนดาน a จรง - รปสเหลยมดานขนานบนดาน b มพนทเทากบพนทสเหลยมจตรสบนดาน b จรง - การตรวจสอบ ลองใชเมนวดเรยก เครองคานวณ เพอหาพนทรปสเหลยมดานขนานบนดาน aและพนทสเหลยมดานขนานบนดาน b

การสรางรปหกเหลยมบนดาน c

ใสชอจดรปของสเหลยมจตรสบนดาน cวา ABIH - สรางเสนตงฉากกบดาน AB ผานจด C หาจดตดของเสนตงฉากนกบดาน AB ใสชอ K ลงจด L บนเสนตงฉากให L วงไปมาได ลาก IL และ HL สรางเสนขนานกบ IL ผานจด B และสรางเสนขนานกบ HL ผานจด A เสนขนานทงสองตดกนทจด M เลอกจด A, H, L, I, B และ Lซงเปนรปหกเหลยม สรางพนทภายในของรปหกเหลยม





การแสดง 1)ลากจด L ใหจด M ลงมาถงจด C รปหกเหลยม AHLIBM จะเลอนมาบนรปสามเหลยมมมฉาก

ลากจด D และลากจด F มาพบกนท J รปสเหลยมดานขนานทงสองรปจะเปนรปหกเหลยม คลกทรปหกเหลยม AHLIBM ไปเมนแกไข คดลอก และวาง คลกรปทคดลอกไวมาวางทบบนรปหกเหลยมทอยตดกนเพอดความสมพนธ

bca

L

K

Fj

Do

I

H

C A

B

E

G

M





แผนภมรปวงกลม การนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลม ใชวธแบงเนอทของรปวงกลมเปนสวนยอยตามปรมาณทตองการเปรยบเทยบ มขนตอนในการสรางดงตวอยางตอไปน ตวอยาง ชายคนหนงไดรบเงนเดอนๆ ละ 12,000 บาท มรายจายในรอบเดอนมนาคม 2548 ดงตาราง ตอไปน 1. สรางพารามเตอรจากเมนกราฟ โดยตงชอและกาหนดคาดงขอมลในตาราง จะไดคาพารามเตอร 4 คา 2. หาผลรวมของคาพารามเตอร โดยใชเครองคานวณจากเมนวด เมอหาผลรวมแลวเปลยนปายชอเปน

คาวา รวม 3. คานวณหาคาเปนเปอรเซนโดยคดจากคาพารามเตอรแตละคาหารดวยผลรวมคณดวย 100 4. ใชเครองคานวณจากเมนวด หาขนาดมมทจดศนยกลางวงกลมโดยคดจากคาทไดจากเปอรเซนตของ

การคานวณแตละคา คณดวย 3.6 (เมอคณดวย 3.6 ใหระบหนวยเปนองศา จะไดคาทไดมหนวยเปนองศา ดงภาพตวอยาง)

5. สรางรปวงกลมขนมา 1 รป ขนาดพอสมควร ทาการซอนจดทอยบนเสนรอบวงกลม และสรางจดใดๆ

ขนมาทวงกลมหนงจด (จดนจะสามารถวงอยบนเสนของวงกลมได) 6. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดนกบจดศนยกลาง

รายจาย จานวนเงน (บาท)

คาอาหาร คาเสอผา ฝากธนาคาร เบดเตลด

3,600 1,200 2,400 4,800

รวม 12,000

คาอาหารรวม( )⋅100( )⋅3.6° = 108.00°





7. คลกทจดศนยกลางของวงกลม เลอกระบจดศนยกลางจากเมนการแปลง 8. คลกทมมแรกทวดได แลวเลอกระบมมจากเมนการแปลง (เพอจะหมนตามมมทระบ) 9. คลกทสวนของเสนตรงและจดบนเสนวงกลม เลอกเมนการแปลง —> หมน ซงจะปรากฏหนาตาง

เปนการหมนตามคามมทระบ 10. ทาเชนเดยวกนจนครบตามจานวนทงหมด ทาการระบายสแตละสวน (การระบายสแตละสวนตอง

สรางสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยมมทจดศนยกลางวงกลมนนๆ กอน แลวจงเลอกระบายสภายในเซกเตอร)

11. จะไดดงภาพตวอยาง





การสรางสอการสอนเรอง ขนาดของรปสเหลยมมมฉากกบพนททมากทสด

รปสเหลยมมมฉากทมผลรวมของดานกวางและดานยาวเปน 10 เซนตเมตร จะมรปแตกตางกนไดมากมาย แตรปทมพนทมากทสดนนเปนรปสเหลยมทมขนาดอยางไร เราสามารถสรางสอการสอนเพอสารวจขนาดของรปสเหลยมมมฉากดงกลาวไดดงน 1. สรางจดๆหนง เชน จด A จากจด A ให เลอนขนาน จดA ในแนวนอนไป 10 ซม. ซงเปนผลรวมของความยาวของดานกวางและดานยาว

ใหชอจดใหมทไดวาจด X ลากสวนของเสนตรง AX 2. สรางจด B ใดๆบนสวนของเสนตรง AX 3. สรางวงกลมทม จด B เปนจดศนยกลางรศมยาวตามสวนของเสนตรง BX 4. สรางเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง AB ตดวงกลม B ท

จด C สรางสเหลยมมมฉาก ABCD 8. สรางพนทภายในรปสเหลยม ABCD 9. วดความยาวของสวนของเสนตรง AB และ BC และพนทของรปสเหลยมมมฉาก ABCD 10. สรางตารางจากเมน กราฟ เพอพจารณาความสมพนธ ของความกวางความยาว และพนทของรปสเหลยมมม

ฉาก ABCD โดยเลอกตามลาดบตอไปน ความยาวของสวนของเสนตรง AB ความยาวของสวนของเสนตรง BC และพนทของรปสเหลยมมมฉาก ABCD จากเมนกราฟ เลอกคาสงสรางตาราง

จะไดตาราง ดงภาพ ทแสดงใหเหนคาของความยาวของ สวนของเสนตรง AB , สวนของเสนตรง BC และพนทเมอเพมขอมลหลายๆ จานวนจากเมนกราฟ ใชขอมลเหลานสรางขอความคาดการณ เรองความสมพนธได





การสรางภาพแสดงการเปดแผนกระดาษ การสรางภาพแสดงการเปดแผนกระดาษมขนตอนการสรางดงน 1. เลอกเครองมอวาดเสนสรางสวนของเสนตรง AB สรางเปนรปสเหลยมดานขนานดงภาพ

2. เลอกทจด A สรางเสนตงฉาก 3. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB สรางวงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม 4. หาจดตดของวงกลมและเสนตงฉาก ตงชอจด C 5. สรางสวนโคง BC โดยเลอกทจด A B และ C ในทศทวนเขมนาฬกา เลอกทเมนสราง คาสงสวนโคง

บนวงกลม ซอนวงกลมเพอใหเหนเฉพาะสวนโคงทสราง 6. สรางจดบนสวนโคงของวงกลม ตงชอจด F

7. ระบเวกเตอรทจด B และ D เลอนขนานจด F จะไดจด F' 8. สรางสวนของเสนตรงเชอมจด F,F' และจด E กบ F' 9. ระบายสและ ซอนสงทไมตองการแสดงทงหมด จะไดผลดงภาพ

E

A B

D

C E

A B

DF

F'

C E

A B

DF





การสรางสอแสดงภาพกลองทรงสเหลยมมมฉาก การสรางสอแสดงภาพกลองทรงสเหลยมมมฉาก มขนตอนในการสรางดงน 1. สรางตวเลอน (Slider) มา 2 เสน โดยเสนหนงกาหนดเปนความยาวของดานสเหลยมจตรส อกหนง

เสนกาหนดเปนความยาวทจะตองตดออกในแตละมมของสเหลยมจตรส 2. สรางรปสเหลยมจตรสโดยใหมความยาวเทากบตวเลอน (Slider) ทกาหนดความยาวของดาน

สเหลยมจตรส (ใชเครองมอวงเวยนชวยในการสราง) ตงชอเปน ABCD 3. คลกทจดมมของสเหลยมจตรส และ Slider เสนทสน (เสนทกาหนดความยาวในการตดมมออก)

สรางวงกลมทมรศมเทากบเสนน จะไดวงกลมทง 4 มม หาจดตดแตละเสน ดงภาพ 4. สรางสวนของเสนตรงเชอมจดทงสทเกดขนและหาจดตด เลอกเสนเปนแบบเสนประ ดงภาพ





5. ทาการซอนวงกลมทงสมม จะไดรปกระดาษทแสดงการตดมมทงส 6. สรางกลองแบบ 3 มตโดยมวธการสรางดงน - สรางฐานของรปสเหลยมจตรส ในบรเวณทวางของแบบราง (Sketch) โดยใหมความยาวเทากบ สวนของเสนตรง AB (ความยาวของฐานกลอง) ตงชอจดเปน M และ N - สรางวงกลมทมรศมเทากบตวเลอน (Slider) ทเปนสวนตดของสเหลยม ทจด M สรางเสนตงฉากทจดน หา จดตดของวงกลมกบเสนตงฉาก ตงชอเปนจด O - ทจด N สรางเสนตงฉากกบดานความยาวฐาน จากนนคลกทจด O กบเสนฐาน สรางเสนขนาน หา จดตดตงชอจดเปนจด P - คลกทจด MNO สรางเสนแบงครงมม จากนนสรางขนานกบเสนแบงครงมมโดยใหผานจด O และ ผานจด P - คลกทจด N และสวนของเสนตรง AB สรางวงกลมทมความรศมทกาหนด หาจดตดของเสนตรงกบ วงกลม ตงชอเปนจด S - ทจด S สรางเสนขนานกบเสนตรงทลากผานจด P จากนนหาจดตด เชนเดยวกนสรางเสนขนานจด อน จากนนเชอมจดทงหมด ซอนสวนทไมตองการแสดง จะไดดงภาพ ในกรณทตองการสรางภาพกลองกระดาษนใหคลได ใหดาเนนการสรางแตละชนทดานทงส ตามวธการเดยวกนกบทสรางในหวขอเปดแผนกระดาษ





การสอนเรอง กราฟของสมการเสนตรง ใน GSP มเมนกราฟทชวยใหการสอนเรองกราฟทาไดงายขน ดงตวอยางตอไปน กราฟเสนตรงทผานจดทกาหนดให 1. สรางระบบพกด โดยไปทเมนกราฟ แลวเลอกคาสงกาหนดระบบพกด 2. เลอกคาสงลงจดจากเมนกราฟ ใหนกเรยนทดลองลงจดของคอนดบ 3. เลอกจด 2 จด เชน A และ D แลวไปทเมนสราง เลอกคาสงเสนตรง

4. อธบายความหมายของความชนของกราฟเสนตรง โดยใหนกเรยนเลอกจด A และแกน X แลวไปทเมนสราง เลอกคาสงเสนขนาน จากนนเลอกจด D และแกน y ไปทเมนสราง เลอกคาสงเสนขนาน





5. จากเสนขนานกบแกน X ผานจด A และเสนขนานกบแกน y ผานจด D สรางจดตด E 6. ใหนกเรยนหาความชนของกราฟเสนตรง โดยการคานวณจากเมนวด - เลอกจด A ไปทเมนวด เลอกวดพกดทหนง(x) จะไดคา XA - เลอกจด A ไปทเมนวด เลอกวดพกดทสอง (y) จะไดคา yA ในทานองเดยวกน วดพกดทหนง (x) และวดพกดทสอง (y) ของจด D

E AระยะจากD E ระยะจาก เสนตรงความชนของ →

→=

A E ระยะจากE D ระยะจาก เสนตรงความชนของ หรอ →

→=





- ไปทเมนวด เลอกคาสงคานวณ ปอนคา (yD - yA)/(XD - XA) ลงในเครองคานวณ จะไดคาความชนของกราฟเสนตรงทผานจดทกาหนดให ครสามารถใหนกเรยนตรวจสอบคาตอบไดโดยใหนกเรยนเลอกกราฟเสนตรงแลวไปทเมนวด เลอกคาสงความชน GSP จะแสดงความชนของกราฟเสนตรงให 7. การหาสมการของกราฟเสนตรง - เลอกกราฟเสนตรง ไปทเมนสราง เลอกคาสงจดบนเสนตรง ตงชอจดทไดเปนจด P จด P นสามารถเลอนไป มาไดบนกราฟเสนตรง - เลอกจด P แลวไปทเมนวด เลอกคาสง วดพกดทหนง (x) จะไดคา XP เลอกจด P แลวไปทเมนวดเลอกคาสง วดพกดทสอง(y) จะไดคา yP

เมอลากจด P จะสงเกตเหนคา XP และ yP เปลยนเปลง

P P

P





- เลอก XP และ yP แลวไปทเมนกราฟเพอสรางตาราง เพมจานวนแถวในตารางเพอใหไดขอมลมากพอสาหรบใหนกเรยนเพอใชในการหาความสมพนธระหวางพกด x และ y ของจดบนกราฟเสนตรงและสรปเปนสมการ การเพมจานวนแถวในตารางมขนตอนดงน 1. เลอกตารางแลวไปทเมนกราฟ เลอกคาสงเพมตารางครงละ 1 แถว จากนนเพมแถวของตาราง โดยการเลอน จด P ไปยงตาแหนงทตองการแลวคลกเมาสเพอรบคา XP และ yP ของตาแหนงใหม 2. เลอกตารางแลวกดแปน + หรอ Shift และ + เพอเพมแถวของตารางอก 1 แถว 3. เลอกจด P แลวลากไปยงตาแหนงใหม คลกเมาสเพอรบคา XP และ yP คาใหม 4. ทาซาขอ 2, 3 เมอตองการเพมจานวนแถว 5. ถาตองการลบจานวนแถวใหกดแปน - หรอ shift และ - เมอไดขอมลมากพอ กใหนกเรยนสรปวา x และ y มความสมพนธกนอยางไร และสรปออกมาเปนสมการของกราฟเสนตรงตามขอมลทสงเกตได - เลอกกราฟของเสนตรงแลวไปทเมนวด เลอกคาสงสมการ จะไดสมการของกราฟเสนตรง แลวเปรยบเทยบกบสมการทนกเรยนไดจากการสงเกตขอมล

P P





การเขยนกราฟของฟงกชนไซน เมอกาหนดโดเมนเปน ( 0, 2¶) โดยอาศยวงกลม 1 หนวย 1. สรางวงกลมทมขนาดแนนอน

กาหนดจดใดๆ 1 จด สมมตชอ จด A สรางจดอก 1 จดทหางจากจดแรก 2 ซม. โดยการเลอนขนานไปทางซายมอ ทจด A สรางวงกลมมรศมเทากบจดทเกดจากการเลอนขนาน

2. ตองการสรางจดกาเนดทผกพนธกบวงกลมหนงทสรางขน สรางจดทเกดจากการเลอนขนานจด A ในแนวแกน X หาง (2+1 = 3) ซม.เพอใหเปนจดกาเนดของกราฟ สมมตชอ

วา จด O คลกเลอก จด O ทเมนกราฟเลอกคาสงกาหนดจดกาเนด จะไดจดกาเนดทจด O เนองจากตองการใหวงกลมทเราสรางมรศม 1 หนวยเราสามารถปรบความกวางของแกนไดดงน

- เลอนจดบงคบ หนงหนวย เพอปรบระยะ 1 หนวย ของตารางใหเทากนกบรศมของวงกลม 1 หนวย แลวซอนจดบงคบหนงหนวย

3. ทจด O ตองการสรางสวนของเสนตรงบนแกน X ทมความยาวเทากบเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวย วดความยาวของเสนรอบของวงกลม A (ควรใชทศนยมอยางนอย 3 ตาแหนง) คลกเลอกความยาวทวดได ทเมนการแปลง เลอกคาสงระบระยะทาง คลกเลอก จด O ทเมนการแปลง เลอกคาสงเลอนขนาน สงเลอนขนานโดยระยะทางทระบ จะได จด O’ ในตาแหนงทตองการ สรางสวนของเสนตรง

4. กาหนดจดกงอสระ บนวงกลมหนงหนวย 1 จด และจดกงอสระบน 1 จด

'OO

'OO

2

1

-1

-2 2 4 6

เสนรอบวง AA' = 12.566 ซม.

O'OA

P





5. สรางจดตดทจะใชแสดงกราฟฟงกชนไซน – เลอกจดอสระบน และเสนตรง ไปท เมนสราง เลอกคาสงเสนตงฉาก จะไดเสนตงฉากกบ ผานจดอสระ – เลอกจดอสระบนเสนรอบวงของวงกลม A และเสน ไปทเมนสรางเลอกคาสง เสนขนาน จะไดเสนขนานกบ ผานจดอสระบนเสนรอบวงของวงกลม – เลอกเสนตรงทขนานกบ และผานจดอสระบนเสนรอบวงของวงกลม A กบเสนตรงท ตงฉากกบ และผานจดอสระบน แลวไปท เมนสราง เลอกคาสงสรางจดตดให ชอจด Q 6. สรางปมคาสงเคลอนไหว เลอกจดอสระบนเสนรอบวงของวงกลม A (P) และจดอสระทอยบน (P1) ท เมนแกไข เลอกปมแสดงการทางาน แลวไปเลอก การเคลอนไหว จะได หนาตางโตตอบ พจารณาการเคลอนทของจดบนสวนของเสนตรง เลอกไปขางหนา ( * ทงจดอสระบนเสนรอบวงกลม A และจดอสระบน ตองใชความเรวการเคลอนไหวเทากน) 7. สรางปมจดเรมตน คลกเลอกตามลาดบดงน

- เลอกจดอสระบนเสนรอบวงของวงกลม A (จดP) และ เลอกจดทใชเปนจดสรางเสนรอบวงขอวงกลม (จด A’) ตามลาดบ - เลอกจดอสระบน จด(P1) และจดกาเนด O (ดรป)

ไปทเมนแกไข เลอกปมแสดงการทางาน เลอกการเคลอนท เมอหนาตางโตตอบปรากฏใหเลอกอตราเรวชวขณะเปลยนชอ ปาย เปน ไปทจดเรมตน แลวตอบตกลง ไดสอทแสดงกราฟตามตองการ หากการเคลอนทของเสนกราฟผดทศทางตองไปแกทสมบตของการเคลอนไหว อกครงตามความเหมาะสม

'OO 'OO

'OO

'OO

'OO

'OO

'OO 'OO

'OO

'OO

'OO





กราฟของฟงกชนอดศย

ฟงกชนอดศย ( Trancendental Function) เปนฟงกชนทมใชฟงกชนพชคณต ฟงกชนอดศยทรจกและคนเคยกนดไดแกฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอการทม ในโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad มสมบตใหสามารถเขยนกราฟของฟงกชนใดๆ ตามทกาหนด ใหนกเรยนทดลอง ปรบเปลยนคาคงตว พจารณารปกราฟ ตลอดจนตรวจสอบคาตางๆได โดยใชคาสงงายๆ เชน การสรางกราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 1. ทเมนกราฟ ..> พารามเตอรใหม แลวกาหนดพารามเตอร 4 ตว เชน a b c d โดยใหคาเปนเทาไรกได 2. กาหนดฟงกชนจากเมนกราฟ ตวอยางเชน

1. ax จะได f(x) = ax 2. bx จะได g(x) = bx 3. cx จะได h(x) = cx

โดยเลอกจากคาพารามเตอร a b c และ d ทกาหนดไวกอนแลวใสในฟงกชน 3. วาดกราฟของฟงกชนใหม f(x) = ax ใหนกเรยนพจารณากราฟของ f(x) = ax เมอพารามเตอรเปนบวกและลบ โดยใชเครองหมาย + และ - บนคยบอรด ควบคมการเปลยนคาพารามเตอร 4. เขยนกราฟ g(x) = bx ปรบคา b = 3 h(x) = cx ปรบคา c = 5 ใหพจารณากราฟ ณ จด (0, 1) 5. สราง inverse ของฟงกชน f(x) = ax เมอ a = 2 เลอกเมนกราฟ คาสงฟงกชนใหม เลอกสมการ x = f(y) จะเหน y เกดในกลองโตตอบแทน x เขยนสมการ f(y) = ay พจารณากราฟเมอเปลยนคา a ไปตาง ๆ นอกจากนฟงกชนเอกโพเนนเชยลแลว ยงสามารถเขยนของฟงกชนตรโกณมตในรปแบบตางๆ เชน bsin ax , bcos ax , btan ax และอนๆ เมอ a และ b เปนพารามเตอร ซงจากการพจารณากราฟดงกลาว จะชวยเพมความเขาใจของนกเรยนเกยวกบแอมพลจดและคาบของฟงกชน





การสรางสอการสอนเรองฟงกชน

การใช GSP สรางสอการสอนเพอใหนกเรยนสรางขอความคาดการณเกยวกบเรองความสมพนธระหวาง x และ f(x) นนสามารถทาไดหลายวธ ตวอยางเชน 1. ทเมนกราฟเลอก – กาหนดระบบพกด – สแนพจด – ซอนกรด 2. คดลอกแกน X และวาง เลอนแกน X ทคดลอกมาวางใหจดกาเนดอยบนแกน Y และ หางจากแกน X เดมพอสมควร 3. กาหนดชอแกนบน เปนแกนของ X กาหนดชอแกนลาง เปนแกน f(x) แลวซอนแกน Y และ ซอนจดยอ-ขยายแกน กาหนดจดเคลอนทอสระบนแกน X 4. เลอกจดอสระบนแกน x (จากขอ 3) แลววดพกดทหนง (x) 5. กาหนดฟงกชนโดยเลอกเมนกราฟ .. > ฟงกชนใหม กาหนด f(x)= x2 คานวณคา f(x) จากเมนวด โดยใชพกดทหนง (x) ของจดอสระบนแกน x ทวดไดในขอ 4 แทนตวแปร x ในฟงกชน 6. วดพกดทางแกน y ของจด 0 บนแกน f(x) 7. ใชคาทไดจากขอ 5 และ 6 ลงจดแบบ (x,y) จากเมนกราฟ โดยเลอกคา f(x) เปนพกดทหนง (x) และคาพกด ทางแกน y ของจด 0 บนแกน f(x) เปนพกดทสอง (y) 8. ลากสวนของเสนตรงเชอมตอระหวางจดอสระบนแกน x และจดทลงใหมในขอ 7 แลวตกแตงตามตองการ จะไดสอการสอนทใหนกเรยนไดสงเกตแบบรปของความสมพนธของสมาชกบนแกน x และ แกน f(x) แลวสรางเปนขอความคาดการณและตรวจสอบดวยการลากจดทกาหนดใหไปมา จากตวอยางขางตนเงอนไขของความสมพนธคอ f(x)=x2

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

f(x) = 6.84x = 2.62

f(x)0

0x

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10





ถาตองการสรางสอการสอนใหคาทปรากฏเปนจานวนเตม มขนตอนดงน 1. ทเมนกราฟเลอก – กาหนดระบบพกด – สแนพจด – ซอนกรด 2. คดลอกแกน X และวาง เลอนแกน X ทคดลอกมาวางใหจดกาเนดอยบนแกน Y และ หางจากแกน X เดมพอสมควร 3. กาหนดชอแกนบน เปนแกนของ X กาหนดชอแกนลาง เปนแกน f(x) แลวซอนแกน Y และ ซอนจดยอ-ขยายแกน กาหนดจดเคลอนทอสระบนแกน X 4. เลอกจดอสระบนแกน X (จากขอ3) แลววดพกดทหนง( X) 5. ทาใหพกด X ทไดจากขอ 4. เปนจานวนเตม โดย เลอกเมนวด..>เลอกคาสง คานวณ ไดกลองโตตอบ ..>เลอกฟงกชน round เตมคา X ทวดไดในวงเลบ 6. ซอนพกดทวดไดจากขอ 4 ( คา X เปนจานวนจรง) เหลอคา X ทเปนจานวนเตมเปลยนชอเปน X 7. วดพกดทสอง( y) ของจดกาเนดบนแกน X 8. เลอกคาทไดจากการวดลงจดแบบ (X,Y) บนแกน X จากเมนกราฟ โดยใชคาxx จากขอ 6. และ y0 จากขอ 7 กาหนดฟงกชน f(x) โดยเลอกเมนกราฟ ฟงกชนใหม กาหนด f(x) = 2(x – 1) จากเมนวด ..>คาสงคานวณ คานวณคา f(x) โดยใชคา x เปนจานวนเตม(ขอ 5.) 9. วดพกดแกน Y ของจดกาเนด บนแกน f(x) 10. ลงจดแบบ ( X,Y) บนแกน f(x) โดยใชคา f(x) จากขอ 7 เปนพกดทหนงและพกดทสองจากขอ 8 เปน (f(x), y0) 11. ลากเสนเชอมตอระหวางจดบนแกนทง 2 ทไดจากการลงจด 12. สรางปมเลอน ตกแตงตามความตองการ





การสรางสอการสอนเรองเวกเตอร เวกเตอร บทนยาม ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยว เรยกวา ปรมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เรยกวา ปรมาณเวกเตอร (vector quantity) หรอเรยกสน ๆ วา เวกเตอร จากบทนยามจะพบวา ปรมาณเวกเตอรประกอบดวยสองสวนทสาคญคอ ทศทาง และ ขนาด ในเชงเรขาคณต แทนทศทางดวยหวลกศรและแทนขนาดดวยความยาวของสวนของเสนตรง ขนตอนการสรางเวกเตอร 1. สรางตวเลอน (Slider) 1 เสน สาหรบการควบคมขนาดของเวกเตอร 2. สรางจดอสระ 1 จด (จด A) เปนจดเรมตนของเวกเตอร 3. เลอกจด A และตวเลอน (สวนของเสนตรง PQ) แลวสรางวงกลม 4. สรางจดบนสวนของวงกลม 1 จด (จด B) เปนจดปลายของเวกเตอร สามารถเคลอนทไดบนเสน รอบวงของวงกลม 5. สรางสวนของเสนตรง AB เปนขนาดของเวกเตอร AB 6. ทจด B สรางหวลกศร แสดงทศทางของเวกเตอร – เลอกจด B แลวเลอนขนาน จด B ไป 0.7 เซนตเมตร ในทศศนยองศา 7. เลอกจด B (เปนจดศนยกลาง) และเลอกจดทไดจากการเลอนขนานจด B แลวสรางวงกลม 8. สรางจดตดระหวางสวนของเสนตรง AB และเสนรอบวงของวงกลมไดจด C

P Q

A

B จดปลายของเวกเตอร

จดเรมตนของเวกเตอร

C B'A

B





9. เลอกจด C เลอนขนานจด C เปนระยะ 0.2 เซนตเมตร มมศนยองศา 10. เลอกจด C และจดทเกดจากการเลอนขนานจด C สรางวงกลม 11. สรางจดตดระหวางวงกลมเดมกบวงกลมใหม และจดตดระหวางวงกลมใหม กบสวนของเสนตรงAB ไดจด D, E และ F ดงแสดงในรป 12. เลอกจด D E F และ B ตามลาดบ สรางภายในรปสเหลยม 13. ซอนจดและเสนรอบวงทไมตองการแสดง จะไดเวกเตอรตามตองการ

EDFC

B'

A

B

A

BP Q

v

u

u + v

การบวกเวกเตอร

นยาม ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ เลอน v ใหจดเรมตนของ v อยทจดสนสดของ u ผลบวกของ u และ v เขยนแทนดวย " u + v " คอเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจดเรมตนของ u และจดสนสดอยทจดสนสดของ v





ขนตอนการสรางสอการสอนเรองการบวกเวกเตอร 1. สรางเวกเตอร 2 เวกเตอร คอ เวกเตอร AB และ CD โดยม a,b เปนตวเลอนเพอกาหนดขนาดเวกเตอร 2. สรางจดอสระ 2 จด คอ จด M และ N สาหรบเปนตาแหนงทอยของ เวกเตอร AB และเวกเตอร CD 3. สรางปมเคลอนทสาหรบเคลอนเวกเตอร AB และ CD กลบทอยโดยเลอกจด A, M, C และ N ตามลาดบ แลวไปทเมนแกไข เลอกคาสงปมแสดงการทางาน เคลอนท ทหนาตางโตตอบ เลอก ความเรวในการเคลอนทเปนชวขณะ (ทดสอบการทางานของปม) ตงชอปายเปนกลบ 4. สรางปมเคลอนท C -> B โดยเลอกจด C และ B ตามลาดบ (ในกรณทเวกเตอร AB และ CD อยท ตาแหนง M และ N ตองใชเมาสลากเวกเตอรทงสองออกจากตาแหนง M และ N กอน) แลวไปทเมน แกไข เลอกคาสงปมแสดงการทางาน เคลอนท ทหนาตางโตตอบ เลอกความเรวในการเคลอนท เปนเรวหรอปานกลาง (ทดสอบการทางานของปม)

A

B

C

D

a b

กลบ

C -> A

A

B C

DM N

a b





5. สรางเวกเตอรลพธ โดยกาหนดจดอสระ 2 จด แลวสรางเวกเตอรเปนเวกเตอร EF 6. สรางปมการเคลอนท F → D เลอกความเรวในการเคลอนทแบบปานกลางหรอเรว 7. สรางปมการเคลอนท E → A และ F → A เลอกความเรวในการเคลอนทแบบชวขณะ เลอกปม ทงสองแลวไปทเมนแกไข คาสงแสดงปมแสดงการทางานเลอกการนาเสนอทหนาตางโตตอบเลอก ทางานพรอมกน แลวตงชอปายเปนกลบจด A 8. สรางปมการนาเสนอ 2 ปม ดงน ปมท 1 กลบไปเรมตน มขนตอนดงน – เลอกปมกลบ (ในขอ 3) และปมกลบจด A (ในขอ 7) แลวไปทเมนแกไข เลอก คาสงปมแสดงการทางานการนาเสนอ – ทหนาตางโตตอบเลอก การทางานพรอมกน แลวตงชอปาย กลบไปเรมตน ปมท 2 เวกเตอร AB + CD มขนตอนดงน – เลอกปมเคลอนท C → B (ในขอ 4) และปม F → D ในขอ 8 แลวไปทเมนแกไข เลอกคาสงปมแสดงการทางาน การนาเสนอ ทหนาตางโตตอบเลอกการทางานตาม ลาดบ แลวตงชอปายวาเวกเตอร AB + CD

กลบ

C -> A

A

B C

DM N

E F

a b





การลบเวกเตอร การสรางนเสธของ 1. สรางเวกเตอร 1 เวกเตอร เปนเวกเตอร CD 2. ทจด C สรางเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง CD 3. เลอกเสนตงฉากเปนเสนสะทอน 4. สะทอนเวกเตอร CD ไดนเสธของเวกเตอร CD การสรางสอการสอนเรองลบเวกเตอร เชน เวกเตอร AB ลบดวยเวกเตอร CD ทาเหมอนกบการบวกเวกเตอร นนคอ เวกเตอร AB บวกดวยนเสธของเวกเตอร CD แตตองเพมปมการซอน/แสดงเวกเตอร AB กบนเสธของเวกเตอร AB เพอใชในการสรางปมการนาเสนอ

CD

C

D

บทนยาม นเสธของ u (negative of u ) คอเวกเตอร ทมขนาดเทากบขนาดของ u แตมทศทางตรงกบทศของ u แทนดวย - u บทนยาม ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ u ดวย v หมายถง ผลบวกของ u และนเสธของ v เขยนแทนดวย u - v นนคอ u - v = u + (-v)

D'

u





การสรางสอเรองลมตของฟงกชน

ในการศกษาเรองลมตของฟงกชน เราสามารถสรางสองายๆ เพอทาใหนกเรยนเหนภาพ ของคา x ทเขาใกล a และคาลมตของฟงกชน ไดชดเจนขนโดยมขนตอนดงตอไปน 1. จากเมนกราฟ กาหนดฟงกชน และวาดกราฟของฟงกชนน 2. ใชคาสงจดเพอสรางจดอสระ 1 จดบนแกน x ใหชอวา “a” จากเมนวดหาพกดทหนง (x) ของ a จะให xa 3. จากเมนวด คาสงคานวณ หาคา f(x) แลวเลอก xa และ f(xa) ตามลาดบ จากเมนกราฟ เลอกคาสงลงจดแบบ (x,y) 4. จากเมนกราฟใชคาสงพารามเตอรใหม สรางพารามเตอร t=0 5. เลอก t=0 และ f( xa) ตามลาดบ แลวไปทเมนกราฟ ใชคาสงลงจดแบบ (x,y) จะไดจด (0,f(xa )) บนแกน y 6. จากเมนสราง ใชคาสงสวนของเสนตรง สรางเสนตรงเชอมจดทลงไว จะไดภาพดงน เมอเลอน a ไปบนแกน x จะไดคา f(a) บนแกน y 7. เลอกจด a และจากเมนการแปลง เลอกคาสงเลอนขนานแบบเชงขว ระยะคงท 3 ซม. และมมคงท 0 องศา จะไดจด ทางขวาของ a หางจาก a 3 หนวย และจากเมนสรางเลอกคาสงสวนของเสนตรง เพอสรางสวนของเสนตรงเชอม 2 จดน 8. ใชคาสงจดสรางจดอสระ 1 จด บนสวนของเสนตรงในขอ 7 ใหชอวา x1 จดนจะเคลอนทบนสวนของเสนตรงท สรางขนเทานนและจากเมนวด หาพกดทหนงของ x1 จะไดคา Xx1 9. จากเมนวด ใชคาสงคานวณ เลอกฟงกชน f และเลอก Xx1 จะไดคา f( Xx1) 10. เลอก Xx1 และ f( Xx1) ไปทเมนกราฟ ใชคาสงลงจดแบบ (x,y) 11. เลอก t=0 และ f( Xx1) ไปทเมนกราฟ ใชคาสงลงจดแบบ (x,y) 12. จากเมนสรางใชคาสง สวนของเสนตรง สรางเสนตรงเชอมจดทลงไว จะไดภาพดงน

116)2()(

2++= xxf

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15

f(a) = 11.02

a=10.66

f x( ) = x+2( )2

16+1





เมอเลอนจด x1 เขาใกล a ภาพดงกลาวจะแสดงคาของ f( x1 ) เมอ x เขาใกล a จะเหนวา f( x1) เขาใกล f(a) 13. ในทานองเดยวกน เราสามารถสรางจด x2 ทางซายของจด a อยบนสวนของเสนตรง ระยะหางจากจด a 3 ซม. ได เชนเดยวกน (ทานองเดยวกบขอ 7 ถง 12) 14. หลงจากสรางภาพแสดงคาของ f(x1) และ f(x2) เสรจแลว ใหเลอกจด x1 และ a ตามลาดบ จากเมนแกไข ใช คาสง ปมแสดงการทางาน และเลอกคาสงการเคลอนท จะไดปายการเคลอนท x1- >a 15. เลอกจด x2 และ a ตามลาดบ จากเมนแกไข ใชคาสง ปมแสดงการทางาน และเลอกคาสงการเคลอนท จะได ปายการเคลอนท x2 - >a 16. กดปมในขอ 14 และขอ 15 จะไดภาพการเคลอนทของ x เขาใกล a ทงทางซายและทางขวาของ a ซงจะเหนภาพ ของ f(x1) และ f(x2) ตางกเขาไปหาคา f(a) ไดเชนเดยวกน 17. ในกรณทฟงกชน ทกาหนดให ไมเปนฟงกชนตอเนองท x=a สามารถสรางสอแสดงลมตของฟงกชน เมอ x เขาใกล a ทางซายและทางขวาไดในหลกการเดยวกน

20

15

10

5

-5

-10

-30 -20 -10 10 20

f xx1( ) = 14.64

xx1 = 12.77

f(a) = 8.61

f xa( ) = 8.61

xa = 9.03

t = 0.00

f x( ) = x+2( )2

16+1

a x1

20

15

10

5

-5

-10

-30 -20 -10 10 20

f xx1( ) = 14.64xx1 = 12.77

f(a) = 8.61

f xa( ) = 8.61

f xx2( ) = 5.80xx2 = 6.77

xa = 9.03t = 0.00

f x( ) = x+2( )2

16+1

ax2 x1





การสรางสอสาหรบการศกษาเรองลมตของฟงกชน

การศกษาเรองลมตเปนสงสาคญมากสาหรบวชาแคลคลสเราจะพจารณาฟงกชน f ซงเปนฟงกชนคาจรง และศกษานยามของลมตโดยละเอยดดงน เราจะนยามวา f มลมตเปนจานวนจรง L เมอ x เขาใกล a (ซงแทนดวยสญลกษณ )

กตอเมอ สาหรบทกจานวนจรง >0 ทกาหนดให

จะมจานวนจรง > 0 ททาให |f(x) - L| < สาหรบทก x ซง 0 <|x – a | <

เพอใหนกเรยนไดเขาใจถงจานวนจรง และ ทมบทบาทมากสาหรบนยามของลมต เราทาสองาย ๆ ดงน จากบทนยาม

เมอเรากลาววา |f(x) - L|< (ทก > 0) เราจะไดวา - < f(x) – L < หรอ L - < f(x) < L + หรอพดงาย ๆ วา f(x) มคาใกล L

เราสามารถสรางสอใหเหนภาพไดวาถาเราสามารถบบชวง (L- , L+ ) ใหเลกมากเทาใดกได โดยใช เปนตวกาหนด และเมอ f(x) ตกในชวง (L - , L + ) แสดงวา f(x) กบ L มคาหางกนไมเกน โดยทาดงน

1) กาหนด L บนแกน y เลอนขนาน L ไป 1 หนวยในแนวแกน Y ซงตงฉากกบแกน x(ใชคาสงเลอนขนาน 1 หนวย 90 องศา)

2) ลากเสนตรงผาน จด 2 จดนน 3) สรางตวเลอน ( slider) ความยาวพอสมควร 4) ใช L เปนจดศนยกลางเขยนวงกลมรศม หาจดตดเสนตรงกบวงกลม ตงชอวา L + และ L -

ตามลาดบ

εδ δε

ε δ

εε

εε

ε

ε εε ε

ε ε

ε

Lxfax

=→

)(lim

ε

εε

ε





5) สรางเสนเชอมจด L - และ L + จะม L เปนจดกงกลางชวง 6) ลองเลอนความยาว slider จะเหนชวง (L - , L + ) เปลยนไปดวย

ตอไปเราจะสรางสอเพอสรางความเขาใจเกยวกบคา delta( ) เมอเราตองการแสดงใหเหนภาพท x " a– เราทาสอดงน

1) ใชเครองมอจด กาหนดจด a บนแกน x เลอนขนาน a ไปในแนวนอนทางซายมอ 1 หนวย ลากเสนตรงผานจด a และจดทเกดใหม

2) กาหนดคา โดยวธสราง slider ความยาวพอสมควร 3) ใช a เปนศนยกลางรศม สรางวงกลม หาจดตดของวงกลม กบเสนตรงทผานจด a ได จด 2 จด 4) เลอกจดทางซายของ a ใหชอจดนนวา a – 5) ซอนเสนตรงทผานจด a แลวสรางสวนของเสนตรงเชอมจด a – กบจด a 6) สรางจด 1 จดบนสวนของเสนตรงนนใหชอวา x x สามารถเคลอนทไปมาไดบนสวนของเสนตรง 7) สรางหวลกศรตามใจชอบใหมทศทางพงเขาหาจด a 8) ทาปมเคลอนท x โดยใหเคลอนทเรมจากจด a – ไปยงจด a

ในทานองเดยวกน ถาเราตองการแสดงใหเหนภาพท x ¦ a+ เรากสามารถสรางไดโดยกระทาเชนเดยวกน ตงแตขอ 1) ถง 4) โดยในขอท 4) ใหเลอกจดตดทางดานขวามอ ของ a และใหชอจดนนวา a + a x a + หลงจากนนเมอรวมภาพ x ¦ a- และ x " a+ กจะไดภาพของ x " a (หมายถงเขาใกล a ทงสองทางซายและขวา) ดงภาพ a- x นนคอ x สามารถ เคลอนไหวไดบนชวง (a – , a + ) และเมอเรากลาววา 0 < |x – a|< จะหมายความวา a - < x < a + และ x ≠ a

δ

δ

δδδ

ε εε ε

δδ

ε

δδ

δ δ

δ

δ

δ δ

δ

a a+





การสรางเสนสมผสเสนโคง ณ จด ทกาหนดให การสรางเสนสมผสเสนโคง ณ จด P ทกาหนดใหมขนตอนดงตอไปน 1. กาหนดพารามเตอรใหม a , b , c , d จากเมนกราฟใชคาสงฟงกชนใหม สรางฟงกชน ƒ(x) = ax3 + bx2 + cx + d 2. จากเมนกราฟ วาดกราฟฟงกชน ƒ(x) 3. กาหนดจด P บนกราฟของฟงกชน ƒ และจากเมนวด หาพกดทหนง(x) ของจด P และหาพกดทสอง (y) ของจด P จะไดคา xp และ yp 4. เลอกฟงกชน ƒ(x) และจากเมนกราฟใชคาสงอนพนธจะได

ƒ'(x) = 3ax2 + 2bx + c 5. จากเมนวดเลอกคาสงคานวณ แลวเลอก ƒ'(x) และ xp ตามลาดบจะได

ƒ'(xp) = m 6. เราตองการสรางเสนสมผส L ทมความชน m และผานจด (xp, yp) ซงมสมการ y = m(x – xp) + yp เมอ m = ƒ'(xp) เราจะสรางฟงกชนเสนตรง L นไดโดย จากเมนกราฟ ใชคาสงฟงกชนใหมโดยใชชอ g(x)

g(x) = m(x – xp) + yp

7. จากเมนกราฟ ใชคาสง วาดกราฟฟงกชนใหม จะไดกราฟของเสนตรง ซงผานจด P และ สมผสกราฟของ ƒ ทจด P 8. เลอนจด P ไปบนสวนโคงของฟงกชน ƒ จะพบวา เสนสมผสเปลยนแปลงไปตามจด P 9. กาหนดจด Q บนกราฟของ ƒ(x) แลวสรางเสนตรงผานจด P และ จด Q จากเมนสราง ใชเครองมอลกศร เคลอนท Q ใหเขาใกล P แลวสงเกตเสนตรงทผานจด P และจด Q จะพบวาเมอ Q เคลอนท เขาใกล P เสนตรง PQ จะเคลอนเขาใกลเสนสมผส L ดงนน ความชนของเสนตรง PQ จะเขาใกลความชนของเสน สมผส L

ความชนของเสนตรง PQ =

ถาเราให h = XQ - XP เมอ Q ¦ P จะได XQ ¦ XP และทาให h ¦ 0 ดงนน เมอ Q ¦ P แสดงวา h ¦ 0 นนคอ เมอเราพจารณา ความชนของเสนตรง PQ เมอ Q ¦ P จะเหนวา ความชนของเสนตรง PQ มคาเขาใกลความชนของเสนสมผสเสนโคงท P ซงทาใหเราพอจะสงเกตเหนไดวา

เปนคาความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด P

( ) ( )pQ

pQ

xxxfxf

−−

( ) ( )pQ

pQ

xx xxxfxf

pQ −−

→lim หรอ h

xfhxf pp

h

)

0

()(lim ++→





14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10 15

P: (-0.47, 1.31)g x( ) = f' x P( )⋅ x -x P( )+y P

f' x P( ) = 0.31

yP = 1.3x P = -0.5

f' x( ) = 3 ⋅a⋅x 2+2 ⋅b⋅x +c

f x( ) = a⋅x 3+b ⋅x 2+c ⋅x+d

d = 1.70c = 1.40b = 1.30a = 0.20

P Q





การสรางกราฟของอนพนธของฟงกชน

การเขยนกราฟของอนพนธของฟงกชน f ในทนจะเขยนโดยอาศยความชนของเสนสมผสของเสนโคง ณ จดตาง ๆ บนกราฟของฟงกชน f มขนตอนดงตอไปน

1. กาหนด พารามเตอร a, b, c และ d จากเมนกราฟ วาดกราฟฟงกชนใหม ƒ(x) = ax3 + bx2 + cx + d 2. กาหนดจด A บนกราฟของฟงกชน ƒ ใชเมนวดหาพกดทหนง(XA) 3. สรางกราฟของเสนสมผสเสนโคง ƒ ทจด A (ดวธสรางจากหวขอการสรางเสนสมผสเสนโคง) 4. เลอกกราฟเสนสมผสจากเมนวดใชคาสงความชนหาคาความชนของเสนสมผสทจด A เปลยนปาย ความชนของ

เสนสมผสท A เปน m 5. เลอก XA และ m ตามลาดบ ใชเมนกราฟลงจดแบบ(x, y) ใหชอจดดงกลาววา B 6. สรางปมแสดงการทางาน ของการเคลอนไหวของจด A โดยคลกเลอกจด A จากเมนแกไขใชคาสงปมแสดงการ

ทางาน เลอกการเคลอนไหว 7. เลอก B และจากเมน แสดงผลใชคาสงสรางรอยจด(เราจะใหมรอยการเคลอนทของ B) 8. กดปมการเคลอนไหวของจด A สงให A เคลอนไหวจะทาใหทงจด A และ B เคลอนไหว สงเกตรอยจด ทเกดขน

รอยดงกลาวจะเปนกราฟของอนพนธของฟงกชน ƒ นน 14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

A: (-2.69, 3.44)

g x( ) = m ⋅ x -x A( )+y A

m = -1.25

y A = 3.4

x A = -2.7

f x( ) = a⋅x 3+b ⋅x 2+c ⋅x +d

d = 1 .70c = 1 .40b = 1 .30a = 0 .20

B

A





9. เราจะสรางตารางแสดงพกดทหนงของจด A และคาความชนของเสนสมผสของเสนโคงแลวนามาลงจดแบบ (x,y) เพอใหเหนความสมพนธระหวางจด A และจด B และเสนสมผสเสนโคง ณ จด A รวมทงความชนของเสนสมผส เสนโคง ณ จด A ดงน - เลอก XA และ m ซงเปนความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด A ตามลาดบและจาก เมนกราฟใชคาสงตาราง 10. ดบเบลคลกทตารางเพอเพมขอมลในตาราง ใชเมนลกศร เพอเคลอนท จด A ไปเลกนอย ขอมลในตารางจะ เปลยนไป เพมขอมลในตารางทแตกตางกนประมาณ 20 ขอมล 11. เลอกตารางและจากเมนกราฟ เลอกคาสง ลงขอมลในตารางจะไดจดตาง ๆ จากตารางบนหนาจอ 12. จากเมนแสดงผลเลอกคาสงลบรอย(เพอลบรอยของจด B ทเกดขนกอนหนาน) 13. เลอกจด A และ B และจากเมนสรางใชคาสงสรางสวนของเสนตรง(เลอกใชเสนประ) เราจะไดเสนเชอมจด A และจด B 14. ลองเคลอนจด A ไปบนกราฟของฟงกชน ƒ แลวสงเกตความสมพนธระหวางจด A และจด B และเสนสมผสเสนโคง ณ จด A รวมทงความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด A ขณะนนดวย





การสรางกราฟของอสมการ

กาหนดการเชงเสน (Linear programming) สามารถใชชวยในการตดสนใจเกยวกบปญหาทรพยากรทมอยอยางจากด เพอใหไดประโยชนสงสดแกผตดสนใจ วธการนใชประยกตในหลายดาน เชน ตองการใหไดกาไรสงสดภายใตตนทนจากด ตองการเสยเงนในการซออาหารนอยทสด แตใหไดรบสารอาหารมากทสด เปนตน การแกปญหาจงสามารถแสดงทาไดโดยใชสมการและระบบอสมการเชงเสนหาคาตอบทตองการ ซงใชเทคนคการหาสมการจดประสงคและอสมการขอจากด แลวนามาเขยนกราฟของอสมการแตละอสมการ คาตอบจะอยทบรเวณทซากนของกราฟ ตอไปนเปนตวอยางเกยวกบปญหาทใชกาหนดการเชงเสนพรอมทงวธหาคาตอบจากกราฟ ตวอยาง อตสาหกรรมครวเรอนแหงหนงผลตนมเยนและไอศกรมทกวน สมมตวานมเยนแตละลตรตองใชนม 0.4 ลตรและครม 0.2 ลตร สวนไอศกรมแตละลตรตองใชนม 0.2 ลตร และใชครม 0.4 ลตร จากสวนผสมดงกลาวปรากฏวาขายนมเยนไดกาไรลตรละ 8 บาท สวนไอศกรมไดกาไรลตรละ 10 บาท ถาในแตละวนอตสาหกรรมนมนม 10 ลตร และครม 14 ลตร เขาควรจะผลตนมเยนและไอศกรมอยางละเทาใด จงจะไดผลกาไรมากทสดตอวน วธทา ให x เปนจานวนลตรของนมเยนทผลต y เปนจานวนลตรของไอศกรมทผลต z เปนผลกาไรทงหมด สมการจดประสงคคอ z = 8x + 10y 0.4x + 0.2y ≤ 10 0.2x + 0.4y ≤ 14 x ≥ 0 y ≥ 0 เขยนกราฟของอสมการขอจากด แตละอสมการดงน การเขยนกราฟของอสมการ x ≥ 0 1. จากเมนกราฟกาหนดระบบพกด และซอนกรด 2. สรางรงสเพอแสดงคา x ทมากกวาหรอเทากบ 0 โดยเลอกทจดกาเนด และจดหนงหนวย ตามลาดบ สรางรงส 3. สรางจดบนรงส แลวเลอกทจดนนและเสนรงสเพอ สรางเสนตงฉาก 4. จากเมนแสดงผล เลอกสรางรอยเสนตงฉาก 5. เมอเลอนเสนตงฉาก จะไดอาณาบรเวณทแรเงา ซงแสดงใหเหนกราฟ ของ x ≥ 0

x ≥ 0





การเขยนกราฟของอสมการ y ≥ 0 1. สรางรงสเพอแสดงคา X2 ทมากกวาหรอเทากบ 0 โดยเลอกจดมาวางบนแกน y ตงชอจดเปน B เลอกทจด กาเนดและจด B ตามลาดบ สรางรงส จากนนซอนจด B 2. เลอกทเสนรงส สรางจดบนรงส แลวเลอกทจดนนและเสนรงสเพอ สรางเสนตงฉาก 3. จากเมนแสดงผล เลอกสรางรอยเสนตงฉาก เมอเลอนเสนตงฉาก จะไดอาณาบรเวณทแรเงาทแสดงใหเหนกราฟของ y ≥ 0 การเขยนกราฟของอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10 1. จากอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10 จะได y ≤ 2. จากเมนกราฟ เลอกคาสงฟงกชนใหม พมพ f(x) = แลววาดกราฟฟงกชนน 3. สรางจด M และ N บนกราฟของฟงกชน เลอกทเสนกราฟของฟงกชนเพอซอนเสนกราฟ จากนนเลอกทจด M และ N เพอสรางเสนตรงแทนเสนกราฟของฟงกชน 4. เลอกทจด M และเสนตรงทแทนเสนกราฟของฟงกชน สรางเสนตงฉาก 5. สรางจดบนเสนตงฉาก โดยเลอกวางจดใหอยเหนอเสนกราฟ ตงชอจดเปนจด P ซอนเสนตงฉาก จากนน เลอกทจด M และจด P ตามลาดบ สรางรงส ซอนจด P 6. สรางจดบนรงส ตงชอจด O เลอกทจด O และเสนตรงทอยบนกราฟ สรางเสนขนาน จะไดเสนขนานกบ เสนกราฟ ซอนเสนรงส 6. เลอกสรางรอยบนเสนขนานน เมอเลอนขนานนจะไดอาณาบรเวณทแรเงา ซงจะแสดงกราฟ ของอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10

y ≥ 0

0.20.4x - 10

0.20.4x - 10





การเขยนกราฟของอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14 1. จากอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14 จะได y ≤ 2. จากเมนกราฟ เลอกคาสงฟงกชนใหม พมพ f(x) = แลววาดกราฟฟงกชนน 3. สรางจด S และ T บนกราฟของฟงกชน เลอกทเสนกราฟของฟงกชนเพอซอนเสนกราฟ จากนนเลอกทจด S และ T สรางเสนตรงแทนเสนกราฟของฟงกชน 4. เลอกทจด S และเสนตรงทแทนเสนกราฟของฟงกชน สรางเสนตงฉาก 5. สรางจดบนเสนตงฉาก โดยเลอกวางจดใหอยเหนอเสนกราฟ ตงชอจดเปนจด R ซอนเสนตงฉาก จากนน เลอกทจด S และจด R ตามลาดบ สรางรงส ซอนจด R 6. สรางจดบนรงส ตงชอจด V เลอกทจด V และเสนตรงทอยบนกราฟ สรางเสนขนาน จะไดเสนขนานกบ เสนกราฟ ซอนเสนรงส 6. เลอกสรางรอยบนเสนขนานน เมอเลอนขนานนจะไดอาณาบรเวณทแรเงา ซงจะแสดงกราฟ ของอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14 การเขยนกราฟของสมการจดประสงค z = 8x + 10y 1. จากสมการ z = 8x + 10y จะได y = 2. สรางพารามเตอรใหม จากเมนกราฟ ตงชอ z กาหนดคาเรมตนเปน 0 3. จากเมนกราฟ เลอกคาสงฟงกชนใหม พมพ f(x) = ดงภาพ

0.40.2x-14

108 xz −

0.40.2x-14

108 xz −





4. จากนนวาดกราฟฟงกชน y= เมอ z = 0 จะไดดงภาพ เมอสรางกราฟของอสมการทงหมดแลว จะไดสวนแรเงาทมการซอนทบกน ดงภาพ

เซตของจดทอยในอาณาบรเวณทแรเงาซอนทบกน เปนอาณาบรเวณทหาคาตอบได ซงจดทกจดในอาณาบรเวณนสอดคลองอสมการขอจากดทงหมด และมจดมมทใชพจารณาหาคาตาสดของสมการจดประสงค เมอเขยนกราฟของสมการจดประสงคบนระบบพกดเดยวกน (ในรปคอเสนประ) แลวเลอนกราฟนไปแบบขนานจะไปพบทจดมม ซงทจดมมนจะเปนจดทจะใชพจารณาคาตอบได

108 xz −





การสรางสอการสอนเรอง เมทรกซ เราสามารถใช GSP ชวยในการสรางสอการสอนคณตศาสตรในการทางานแบบซาๆ เชน เรองเมทรกซ เพอลดความจาเจ และใชเวลาในการฝกการวเคราะหโจทยปญหาใหมากขน หากเปนงานทครมอบหมายใหนกเรยนสราง template ของการดาเนนการระหวางเมทรกซ กจะชวยใหนกเรยนจานยามทฤษฎหรอสมบตไดงายขน เชน การบวก ลบ หรอคณ ระหวางเมทรกซและการหา At , A-1 และ det A เมอ A เปนเมทรกซใดๆ เปนตน ทาใหนกเรยนมเวลาในการศกษา วเคราะหและแกโจทยปญหาโดยใชเมทรกซชวยแกระบบสมการมากขน วธสรางวงเลบ 1. กาหนดจดอสระใดๆ สมมตชอจด A 2. สรางสวนบนของวงเลบ ดวยการเลอนขนาน 3. สรางความสงของวงเลบ ดวยการสรางเสนตงฉาก 4. กาหนดขนาดของความสง ดวยจดอสระใดๆ บนเสนตงฉากนน สมมตชอจด B สรางสวนปดของวงเลบ 5. สรางวงเลบปด - ตองอยในแนวเสนตรงเดยวกนกบวงเลบเปด - ความสงตองเทากน วธกาหนดเปนเครองมอสวนตว 1. เลอกออบเจกตทตองการ ตามลาดบ 2. ทเครองมอกาหนดเอง .. > สรางเครองมอใหม ตงชอ วธเรยกใชงานวงเลบ ทเครองมอสรางเอง ..> เลอกชอเครองมอทเราตงชอไว นาไปวางในทๆ ตองการ

1 -1

3 2

1 -1

3 2

a11 = 1 a12 = -1

a21 = 3 a22 = 2





3. วธเปลยนปายชอ ใหคลกขวาทพารามเตอรแตละคา จะไดกลองสมบตของพารามเตอร ลบ(delete) ชอออกจากปาย จะได ยกไปวางใหตรงตาแหนงทตองการ 4. การคานวณคาในแตละคของสมาชก สามารถทาไดดวยคาสงคานวณ จาก เมนการวด โดยอาศยนยาม สมบต หรอ ทฤษฎเกยวกบเมทรกซ เพอหาคาของสมาชกตวใหม แลวนาไปใสในเมทรกซใหมทเปนผลลพธ

13

-12





คณะทปรกษา

ผอานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย ดร. พศาล สรอยธหรา รองผอานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย ดร. นงนช ชาญปรยวาทวงศ ผเชยวชาญพเศษ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นายดนย ยงคง ผชวยผอานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย ดร. พรพรรณ ไวทยางกร หวหนาโครงการสงเสรมการใชเทคโนโลยสารสนเทศเพอการเรยนการสอน สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย ดร. สมศร ตงมงคลเลศ

คณะผจดทา

นายดนย ยงคง ผเชยวชาญพเศษ สสวท. ผศ.เพญพรรณ ยงคง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย นางชมยพร ตงตน ผชานาญ สาขาคณตศาสตรมธยมศกษา สสวท. นายสมนก บญพาไสว ผชานาญ สาขาออกแบบและอปกรณ สสวท. นางกรองทอง ตรอาภรณ ผชานาญ สาขาเทคโนโลยสารสนเทศ สสวท. นางแจมจนทร ศรอรณรศม นกวชาการ สาขาเทคโนโลยสารสนเทศ สสวท. นายถนม ทพยผอง นกวชาการ สาขาเทคโนโลยสารสนเทศ สสวท. นายอลงกต ใหมดวง นกวชาการ สาขาเทคโนโลยสารสนเทศ สสวท.

ภาคผนวก





เอกสารอางอง 1. หนงสอเรยนคมอครสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตรเลม 1 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1.สานกพมพครสภา,2546. 2. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตรเลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2.สานกพมพครสภา,2547. 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตร ค013 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย .สานกพมพครสภา,2542. 4. Cindy Clements, Ralph Pantossi, Scott Steketee. Exploring Calculus with The Geometer’s Sketchpad. Key Curriculum Press, 2002. 5. Dan Bennett . Exploring Geometry with The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum press,2002. 6. Danial Scher, Scott Steketee, Pual Kunkel, Irina Lyublinskqya. Exploring Precalculus with The Geometer’s Sketchpad. Key Curriculum Press, 2002. 7. Karen Windham Wyatt, Ann Lawrence, Gina M. Foletta. Geometry Activites for middle School students. Key curriculum press, 2002. 8. Reference Manual. The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum press. 2001. 9. Steven Chanan, Eric Bergofsley, Dan Bennett. Exploring Algebra with the geometer’s Sketchpad . Key Curriculum Press,2002. 10. Teaching Mathematics with The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum press.2002.



gsp สำหรับมัธยม geometer's sketchpad

Education