. EXEMPLE4:Soitunemachinetrononnerlesprofils.

DterminerleseffortsenC,1etJ pendantlaphased'acclration

maximaledel'ensemble(5)={1,2,9}.

Onconnat:

. lamassedel'ensemblem=7kg,

. leseffortsdansleplan(G,X,z),

. lesfrottementsen1etJ d'anglecp=8,5,

. l'acclrationa;: =4x (mis2).

Modliserlesactionsmcaniquessur(5)

. distance:poids1- mg~\

. Decontact:G\0 1Leseffortsdslapressionatmosphriquesecompensent,

fXI 0\ fXJ 0\ fXc 0\en1 0 0 . enJ 0 0 . enC 0 0/\ZI of' j\zJ of' c\zc of

. Unetuderapide(sanscalculs)danslecasdeliaisonspar-

faites(ll= lj= 0)permetdedterminerlesensdesnormalesen

1etJ; onendduitlapositiondecespointssurlesgnratrices.

D'autrepart,ladirectiondel'effortmoteurenCpermetd'crire

larelationle=- Xc.tan7,5.Avecfrottement,onajoutelesrelations:

XI=- II' tancp, Xj =lj' tancp(chapitre32).

Appliquerle principefondamental

- II .tan cp+ lj .tan q>+Xc = m .a-m.gtZl +lj -Xe.tan7,5=0

L~(F8xi)=o:G/x+GJxJ+GCXC=O

~ec

(

: 16

)

~

(

- h tanf{J

)

~

(

136

)GI 0; 1 0 ; GJ 0

- 58 ZI - 58

-;>

(

-IJ' tancp

)

~

(

76

)

->

(

-Xc

)JO' GC O. C 0

ZJ ' -130' -Xc. tan7,5

Onobtient:

- 7,3311-148,2511-120Xc=0

(1)

(2)

(II)

Rsoudrelesquations:

Enremplaantmpar7,apar4etcppar8,5,cesystmedetrois

quationspermetdecalculerII, lj, Xc.

Lesrsultatssontportssurlecroquisci-contre.

201

CROQUIS D'ENSEMBLE

16

151413

ENSEMBLE (8)= {1,2, 9 }

Nota:

202

. EXEMPLE5:

Unmonte-chargedemassemi=1500kgavecsonchargement

estsoulevparuncbledediamtred=10mm.Cecbleaune

limitelastiqueRe= 1200MPa*etunemassevolumique

Pv=7,2kg/dm3.Pourlapositionbassedumonte-charge,lecble

aunelongueurdrouledeL=30m(massenonngligeable).

Dterminer:

1 Le coefficientdescuritdu cblelorsqu'ilsoutientle

monte-chargel'arrt.

2 partirdequelleacclrationdumonte-charge,lecble

risque-t-ildeserompre?

SOLUTION:

. Lacontraintemaximaledanslecblesesitue sapartie

suprieurelorsqu'ilestcompltementdroul.2

Masseducbledroul:m2=p v.lliL. L4

Pv=7,2kgldm3\d=0,1dm /m2=16,96kg.L=300dm

Avec:

. Massetotalesoutenue=mr= m1+m2""1517kg.

. Calculerlecoefficientdescuritl'arrt:

Il s'agitd'uncalculdersistancedesmatriauxpouruncble

soumislatractionsimple:

E "" Re=>s=Re.S= Re.S5 S Fmax(m1+mi)g

Re=1200MPa \Avec:5=n:x 52mm2 ~ coefficientdescurits""6,2

m1+m2=1517kg

rg=10m/s2. Calculerl'acclrationentranantle dpassementde la

limitelastiqueducble:

Il fautisoler{cbledroul+monte-charge)(voirci-contre),

L proj;z(F;i)=(m1+mi)aSoit:T- (m1+m2)g=(m1+m2)a =>T=(m1+m2)(a+g)

Ilfautque: I< Re soit Tmax=Re.55

Donc: (m1+m2)(atg)=Re.S=>amax=~-gm1+m2

. Applicationnumrique:Re=1 200N/mm2;m1+m2=1517 kg\amax=52,1mis2S=n:x25mm2;g=10m/s2 famax""5.g

* 1 MPa = 1 N/mm 2.

CBLE DE TRACTION

E0C')Il-J

1 T

2cCI!"'0cQ)urJ)CI!Q)rnu:eQ)>

m2.g

Cble

0d::::'10mm

1 T

1-m2.g

, ~~g

I~

NOTA:La pressionatmosphriqueagissanttoutautourdusystme,larsultantedeseffortsqu'elleengendreestnulle.

57Solidesenrotationautourd'unaxefixe

Touslesp~e l'ensembletournant(S)ontmmevitesseangulaireQ Sjrkgdansunrepregalilen(9lg).Si:

. z reprsentelevecteurunitairedel'axederotation,

. (=e' (oude/dt)reprsenteladriveparrapportautempsdel'anglee balayparchaquepointde(S)dans(9lg),

alors:;;;;;;g= (. z(chapitres26et27).57.1 Choix durepreOnlimitel'tudelarelationd'unsolideautourd'unaxefixe.

Lechoixdecetaxedoitpermettredevrifierleprincipefonda-mentaldeladynamiqueavecuneprcisionsatisfaisante(voir56.2).

REMARQUES:

. Lemouvementderotationestplan(chapitre28).

. Onnotegnralement(0,X;), (0,'y;)lesaxesduplanet(0,7;)l'axederotationperpendiculaireceplan.

203

SOLIDE EN ROTATION

Axe de rotation

Xs

---+---

Xg

Yg

evZg

t-Xg

evQSMg = OJSfCjlg'Z

57.2MOMENTS D'INERTIE J D'UN SOLIDE PAR RAPPORT UN AXE PASSANT

PAR SON CENTRE DE GRAVIT

DfinitionL (L1m)=m(kg)

J6Z9(ouPD2*)

Cylindrepleinhomogne

massem(kg)

Cylindrecreux(couronne)homogne

massem(kg)

Tigerectilignesectionngligeable

homogne,massem(kg)

0~Axe Zg

J 6zg = L{L1m.r2)

t t tkg.m2 kg m2

JGzg =1 m.R22 JGZg=l m{R2+f2)2 JGzg= ~ m.R25

2 2JGZg=mt =mt'

12 3

* Ancienneappellation.

Sphrepleinehomogne

massem(kg)

Axe Zg Axe Zg

~.~

_G -f'l"

l'

G Zg~

204

57.3 ThormedeHuygensIlpermetd'exprimerlemomentd'inertied'unsolidehomogne

parrapport unaxe(A, I;) connaissantceluiparrapport

(G,I;) quiluiestparallle.

[ JAzg(S)=JOzg(S)+m.d2JAzg:momentd'inertiede(5)parrapport(A,I;) parallle

~ 2(G,lg)(kg.m).

JGzg:momentd'inertiede(5)parrapport(G,I;) passantparsoncentredegravit(kg.m2).

m :massede(5) (kg).

d :distanceentrelesaxes(G,I;) et(A,I;) (m).

57.4 Calculsdesmomentsd'inertie

57.41 Centresdegravitsurl'axederotationLesinertiesdechaquesolidelmentaireayantsoncentrede

gravitsurl'axederotations'ajoutentdirectement.

EXEMPLE:

Leplateau(P)estconstitudedeuxcylindrescreux:

. 51,d'inertieJAzg(51)= 1,08x 10-3kg.m2.

. S2 (dfini ci-contre) de massevolumique Pv = 7,2 kg/dm3.- 1 2 2

JAzg(52)-2m2.(R +r) (57.2).

m2=Pv.7T(R2- r2).e=7,2x 7TX(0,62- 0,22)x 0,2"'"1,45kg.

JAzg(52)=0,5x 1,45(0,062+0,022)= 2,9 X 10-3 kg.m2.

. (P)=(51,52)adoncuneinertie:JAzg(P1)"",4x10-3kg.m2.

57.42Centredegravitextrieur l'axederotationAppliquerlethormedeHuygens.

EXEMPLE:

Connaissantlescaractristiquesdumaneton(5) :

JA zg(5)= JGzg(5)+ m.d2= 3 x 10-6+ 0,08x 0,052"'"2 X 10-4.

Pour({P),(5n :

JAzg=4x10-3t2 x10-4=4,2X10-3kg.m2.

PLATEAU MANIVELLE

Plateau (P) Maneton(8)

Inertie JGzg

=3 x 10-6kg .m2Masse m =0,08 kg

Zg

1L Axe derotation

NOTA:

. Pour calculer l'inertie d'un solide par rapport un axe, ilfaut dcomposerce solide en volumesgomtriquement

simples,d'inertieconnueoufacilementcalculable.

JAzg{(P),(S)}=JAzg(S1)+JAzg(S2) +JAzg(S).

. La recherchedu centrede gravitde l'ensembleest gn-

ralementinutile.

. Porterl'attentionsurlesunitsutilises(chapitre72).

57.5 Momentcintique

57.51Momentcintiquelmentaire

SoitPi un pointdu solide,auquelon associeunemasse

lmentairemi'

. Laquantitdemouvementdecepointsenote:P;=mi'V; (unit:kg.mis).

. Lemomentcintiquedecepointparrapport(.1):~ 2

#.1(Pi'P;) = H;P;.mi,vPi= mi.ri') carv; = ),(;.

57.52 Momentcintiquedusolide~ ~

IlsenoteLI1(5/91g)=!;!f11(P;,P;).

Enprojectionsurl'axe(.1),onobtientunerelationalgbrique:--- - ~ 2 2LI1(5/~J(g)=!;!f.1(Pi'Pi)=!(mi' ri .w)=w.!(mi.ri )

L,j(SJ;J(g)=J,j(S). w

LIl(5/fJ1g):momentcintiqueparrapport.1,de(5)(kg.m2/s).

JI1(5) :momentd'inertiede5parrapport.1(kg.m2).

w :vitesseangulairede5autourde.1(radis).

57.6 Torseurcintiqued'unsolideparrapportunaxeL1

Re=m.VGJ;Rg: rsultante cintique

m :massedusolide.~

VG/Y(g :vitesseducentredegravitGde(5)dans(01g)'

!0'SNg),j =(R; L,j(sh/gd~

LI1(5/fRg):momentcintiqueparrapport(.1)de(5)1(0lg).

Lorsquelesolidetourneautourde(.1)sansglisserlelongde

cetaxe,onobtient:

1tbS/~Kgl,j=(0 L,j(ShJlg).) =(0 J,j.w.x)

NOTA:

Nepasconfondrele torseurcintique(quiassociemasses

etvitesse)avecletorseurcinmatique.

205

MOMENT CINTIQUE

(,1)~Axe de rotation

Momentcintiqueen(..:1)dePi

L,j (P;) =rff,j (Pi' p;)

Hi

Point

(particulelmentaire)

Quantitdemouvment

de Pi

MOMENT CINTIQUE D'UN SOLIDE

(,1)

Yg

{]S;'Rg= w.Zg

TORSEUR CINTIQUE D'UN SOLIDE (S) EN ROTATIONAUTOUR D'UN AXE (,1)FIXE

(..:1)

L,j(S)'z =J,j. w

Rc=OO~1

(La rsultantecintiqueest nulle)

206

57.7 Thormedumomentcintique.ThormedeKoenigIlexplicitelarelationentremomentsd'untorseur(76.1).Pour

letorseurcintique,oncrit:

((QShJg)G= (R; LG(S/8;))et (0'Shllg)A= (R; LA(S/8lg))'

~ ~ ~ ~*

LA(S/,Ilg)=LG(SNlg)+AGx Re

Le momentcintiqued'unsolide(5), enunpointA

quelconque,estgalaumomentcintiquedecesolide

ensoncentredegravitaugmentdumomentenAde

sarsultantecintique.

REMARQUE:

PQurunsolideenrQ!~tionaut~unelxefixe,larsultante

cintiqueestnulle(Re=M.VGhJlg= 0).

(5)enrotationautourde(G,Z;) (fixe)passantparG:~~

LA(s/tRg) =LG(S/tilg)'ifA (quelquesoitA),

LG(Sltilg) .Z; =JGz' CJJ.

57.8 Moment dynamiquedlun solide. ChaquepointPi dusolide(5),associunemassel-mentairemi, aunequantitd'acclrationnotemi' aPiMg.

Onappellemomentdynamiquedusolide(5) parrap-

port unaxe(G,Z;) lasommedesmomentsparrap-port cetaxe,desquantitsd'acclration.

;lfdG(S/;ilg) =1:1i;;; (Pi' m.apiJ8:g)

. Thormedumomentdynamique.Lemomentdynamiquesedduitdumomentcintique:

d~

;lfdG(s/,R.g)=diLG(Shilg)

. Pourunsolideenrotationautourde(G,z) :

d;lfdG(Sl8lg)= di (JGz'CJJ) = JGz'CJJ' = JGz(}"

;ffdenkg.m2/s2

JGzenkg.m2.11)'et (J'en radis 2.

, x : signe du produit vectoriel (1\ est tolr, avec rserves. Voir 70.6).

THORME DE KOENIG

LA(smlg} = LG(ShJlg}

MOMENT DYNAMIQUE

Solide S

Xg

/;f!dG(S/;Rg}

S~lide(S)enrottio;;70lg~

. LG(S/;Jlg} =JGZg' e'=JGz' 11)

. ;f!dG(S/;Jl9}= JGZg' eu = JGz .11)'

57.9Torseurdynamique

Pourunsolideenrotationautourd'unaxefixepassant

parsoncentredegravit,letorseurdynamiques'crit:

G{.9f(S/0lg)}= Jo Ifd;(S/0~g)}. Lecentrede gravitrestantfixesur l'axe,la rsultante

dynamiqueestnulle.

. ;;;C;;(S/0~g).g= JGzg.e"JGZg :momentd'inertiede(5)/ GZg(57.2et3).

e"=dw/dt=d2e/dt2:acclrationangulairede(5).

(G,Yg):axederotationde(5).

. Lemomentdynamiqueconservelammevaleurentouspoints:

+ + ~ ~ +

tffdA = tffdG +AG x 0 = tffdG (76.1)

57.10Principefondamental

Pourunsolideenrotationautourdel'axe(G,Z;)pas-santparsoncentredegravit:

il existeaumoinsunrepre,ditgalilen,etunechro-

nologie,diteabsolueparrapportauxquels,pourtout

systme(5), letorseurdesforcesextrieuresappliqu

(5)estgalsontorseurdynamique(outorseurdes

quantitsd'acclrations).

f l Fextls\ 1 }

(1)

G\II!;(FextIs)f = G\JGZY.eu.g (II)

NOTA:

Vitessecritiquederotation.

Unarbredemcanismedoittoujourstourner unevitesse

loignedesavitessecritiqueNesouspeinederupturepar

vibrations(rsonnance).Lavitessecritiquesecalculeparlarelation:

Ne =960{ni YImax

Ne:vitessecritique(tr/min).

1YImax :flchemaximaledel'arbre(mm)(52.93).

EXEMPLE:

Si1YImax=0,3 mm,Ne =1 750tr/min

207

THORMES GNRAUX

Rsultantedynamique(1)

AxeSolide(S)

Rd=O----

La somme vectorielledes forces extrieures

appliques un solide(S) en rotationautourd'unaxe fixe (d'un repre galilen)est nulle. En

projectionssurlesaxes(G,Xg)et(G,yg)duplandelarotation,onobtient:

(1) l Proj/Gxg(F ext/ S)=0

(2) I: Proj1Gyg(F ext1S) =0

Momentdynamique(II)

Axe

I1dG(S)/;'ig

G

Solide (S)

La sommedesmomentsparrapport l'axe(G,Z;)fixe dans le repregalilen(~Rg),de toutes lesactions mcaniquesextrieuresappliquesau

solide(S)enliaisonpivotautourde(G,Z;)estgaleauproduitdumomentd'inertiede(S) relatif (G,Zg)parl'acclrationangulairedecesolide.

-~

(6) II1Gzg(Fext/S)=JGzg' e"

NOTA:

Retenirsimplement:Couple moteur- Couplersistant=J . e".(Exemplepageci-contre.)

208

57.11Applications

EXEMPLE1:

Un moteurexerce au dmarrageun couple Cm=5N.m. L'en-sembledela chanecinmatiquepeuttremodlisparun

volantpleinderayonR=150mmetdemassem=50kg,relidirectementaumoteur.

Calculerladurededmarragepourquelemoteuratteigne

lafrquencederotationn=1500tr/min:

10enngligeantlesfrottements,

20enconsidrantquetouslesfrottementsrapportsl'axedu

moteur se rduisent Cf =0,2N. m.

SOLUTION:

Isolerl'ensembletournant(figureci-dessous)etcrireleprin-cipefondamentalenprojectionsurl'axederotation:

C C J ' ,Cm-Crm- r= GzO) =>0)=-J Gz

(

Cm=couplemoteur; Cr =couplersistant,

)JGz=l m.R2=1x50x0,152=0,562kg.m2

2 2

DMARRAGE D'UN MOTEUR

Volant

-"!.===C'; Cr

1---+-

Zg

MTHODE DE RSOLUTION (RSUM)

Danslaplupartdescas,il suffitd'utiliserl'quation(fi) enpro-

jectionsurl'axederotation~(G.z) pourrsoudre:~-L #Gz(Fext) = JGzco'=JGz8"

Casdufrottementngligeable CasdufrottementCf

co'==8 89rad/s2 5-02 2co'=--'-=8,53rad/s0,562 ' 0,562

co=co't co=co't

t=-.f!L -1500x2 n'/60 t=-.f!L=1500x2n/60co' 8,89 co' 8,53

t=17,7s t=18,4s

Problmersoudre:SOLIDEENROTATIONAUTOURD'UNAXEFIXE

(parexemple(G,z))

Isolerlesystme(S)

Choisirunrepregalilen(:Rg)

Modliserlesliaisons EffectuerRecenserlesactions l'analysecinmatique

mcaniquesextrieures

distance decontact

1

Vrifierquelecentredegravitestsitusurl'axe

derotation

1

Calculerlesmoments Calcu1ouexpressionenunpoint del'acclration

del'axederotation angulaire8(t)=m'(I)

Appliquerlesthormesgnraux:

IL F;. =0 (1)

\L #GzF;;t = JGz.co'. z (fi)

EXEMPLE2:

Suruntambourplein1 demassem1=60kg,derayonR=200mm,s'enrouleuncblesuppossansraideuretdemassengligeable,

Letambourpivoteavecfrottement(fl=0,2)dansdespaliers0 d=20mm,

l'extrmitducble,onaccrocheunechargedemasse

m2=30kgqu'onabandonnesansvitesseinitiale,

Calculerladuremiseparlachargepourdescendreh=10m,

SOLUTION:

. Isolementdutambour.

l:Fe;=eLP - F +T=o(sury:(2))l:;ffGz(Fe;)=!Gz.m':T.R-F./1.r=J.m' (surz:(6))

. Isolementdelacharge:

l:Fe; =m2..m2.g- T=m2.a(surY:(2'))

. Aspectcinmatique:L'acclrationdelachargeestgale l'acclrationtangen-tielledutambour.

a = a{=d.JL =~ (m. R) =}a=m'.Rdt dt

. Ilfautdoncrsoudre:

f m1.g-F+T =\ T.R-f.1.F.r =\ m2.g-T =

RSOLUTION:

(2) :F=m1. g+T ; (2') : T=m2(g- m'. R)

(6) :m2(g- m'.R)R-[m1'g+m2(g- m'.R)]fl. r=0,5m1'R2.m'

Enregroupantlestermesavecm',ilvient:

, g[m2.R-f.1.r(m1+m2)]m-R[0,5.m1.R+m2(R-fl. r)]

m2.R-f.1.r(m1+m2)=}a=g

0,5.m1.R+m2(R-f.1. r)Applicationnumrique:

10 30x0,2- 0,2x0,01(60+30)a = x0,5x 60x 0,2+30(0,2- 0,2x 0,01)

a =4,87m/s2(Mouvementrectiligneuniformmentacclr,)

Donc:v=a.teth=0,5.a.t2=}t=ff ",,2,038,(Enchutelibre,ladescentedureraitt'=1,414s,)

0

J.m'

m2.m'.R

209

DESCENTE D'UN TREUIL

Tambour1(massem1)

Cble

Charge(massem)

Palier0 d =2r

Verticaleascendante ,L,

Lu]

ISOLEMENTDUTAMBOUR

F , {p\ - -POIds 0\0j avecP =m3g.YPression atmosphrique""sommed'effortsnulle

T

(2)(6)(2')

Pivot { F \

Fx o\-IICrll.zj

@z Cr=j1F.r

y , Cble {IITII.;\,\ 0 j

p

ISOLEMENT DE LA CHARGE

ifG ~m,g

Poids{m2g.;\G\ 0 j

{-T.;\

Fx CbleG\ 0 j

@ z NOTA: La rsultantedes actionsdues la pressionatmosphrique

- est nulleet la rsistancede l'airesty nglige.

210

EXEMPLE3:

Casdedeuxarbrestournants.

L'arbre1auneinertieJ1 parrapportsonaxe.Ilentrane,par

l'intermdiaired'unecourroie,unarbre2dontl'inertieparrap-

portsonaxeestJ2. (J1 = 0,2 kg. m2 ; J2 =3 kg. m2),

L'arbre1estsoumisuncouplededmarrageCm1alorsque

l'arbre2 supporteuncouplersistantglobalgal Cr2'

(Cm1=12N.m; Cr2 =20 N .m).Pouruncertainrglagedespoulies,lerapportderductionobtenuestR = r1/r2,(r1=15mm;r2=60mm).

QUESTIONS:

1 Exprimerl'acclrationangulairependantle dmarrage

(applicationnumrique).(

2 Calculerladuremisepourquel'arbre1 tourne1500tr/min(Cm1constant).

3OnsupprimeCm1'Duredel'arrt?

SOLUTION:

1Isolonsl'arbre1 :J1 8"1=Cm1-F.r1

Isolonsl'arbre2:J28"2=+F.r2- Cr2

Relationcinmatique:a"2= +Ela"1 r2

Ilsuffitalors,dans1,deremplacer:

F=+h.a"2-Cr2 . a" '" +Ela" . d'o', 2 1 , .R2 r2

[J1 +h(~~r]8"1= Cm1-C'2~~Expressiondelaforme:

J1* 8"1 = Cm1- C'1*.t

Inertiequivalentesurl'arbre1

Oncalculedonc:

J(=0,2+3x 15/16=0,3875kg.m2\==}8"F 18,06radis2Cr(=20x15/16=5N.m J2Duredudmarrage(aspectcinmatique).

(/'1=18,06rad/s2=}8"1=a"1t

8'1=1500x 2 Ir/60radis pour t1=8,69s

3Arrt:

0,38758"1=- 5=}8"1=- 21,6rad/s2=}12=7,278.

CHANE CINMATIQUE DEUX ARBRESVariateurde vitesse

Moteur

Courroie

trapzodale

Poulie diamtrevariable

Arbre moteur1

Commande

1

Arbre men 2

SCHMA CINMATIQUE - ISOLEMENT

(1)

(2)

(3)J1 (kg. m2)

Arbre 1

Arbre 2

J2 (kg. m2)

I

l --LJ 1

Variateur-Rducteur:;/" 1(pourun rglagedonn)10 l ~

Yo

01

Z; 82 Yo +F .Yo

Zo

Zo

Yo

r21 lA

l

'"

C..'.,

.

,

'.. l x;

212-~ ~021

NOTA: F", IIFII

EXEMPLE4:

Chanecinmatiquenarbres(gnralisation).

Lamthodeindiquedansl'exemple3s'appliqueaussiune

chanecinmatiquecomportantplusdedeuxarbres.

Danslecasdetroisarbres,enisolantchaquearbreetencrivant

lerapportentrelesvitessesangulaires;onarriveauxrsultatssuivants:

. quationdu mouvementdel'arbre(1):J1 *e"1=Cm1- Cr1*

fJ1 *=J1+h (!..1)2+J3 (,-! )2.(!..1)2avec '2'4'2\Cr1*=Cr3 X '3 x!..1 =C 3 (()3~ '4 '2 r. (()1

. quationdu mouvementdel'arbre(II) :

J2*e"2= Cm2*- Cr2*

fh *=J1 ('2)2+J3 (,-! )2avec '1 '4\C

* C '2.C * C '3m2= m1.-, r2= r3X-'1 '4

. quationdu mouvementde "arbre (III) :

J3*e"3= Cm3*- Cr3

fh*=J1 X ('2)2x (,-! )2+havec '1'4\C

* C '2'4 C (()1m3 = m1x - x - = m1x-'1'3 (()3

REMARQUES:

. L'inertiequivalented'unarbrerapiderapporteunarbrepluslentestgalel'inertiedecetarbrerapidemultiplieparle

carrdurapportdemultiplication(suprieur1).

. L'inertiequivalented'unarbrelentrapporteunarbreplusrapideestgalel'inertiedecetarbrelentmultiplieparlecarr

durapportderduction(infrieur1).

. Lecouplequivalentsecalculepartirde:

* * ~Ci. (Oi=Cj. (Oj ~ Ci =Cj-

(Oi

211

Arbre(1) :inertieJ1=0,1kg.m2

Arbre(II) : inertieJ2=0,2kg.m2Arbre(III) : inertieJ3=25kg.m2.

Rduction(1)/ (II) :R1=1/5=r1/r2'

Rduction(II)/(III): r3/r4=1/4etr3=20mm.

Lefrottementdechaquearbresursespaliersestestim Cf =0,2N.m.

Deplus,(III) supporteuncouplersistantCr3=5N.m.L'ensembletournantestentranparunmoteur1500tr/min.

Oncoupel'alimentationdumoteur.

Calculer:

1 ladcclrationangulaire,

2 l'efforttangentielenAentredentures.

SOLUTION:

. Considrerl'ensembletournantet rapportersonmouvementl'arbre(1):

[J1+J2. R12+J3. R12.(r3/r4)2]8"1

=- Cf - (Cf. R1)- (Ci +Cd. R1. (r3/r4)

-[0,2+0,2/5- (0,2+5)/ (5x 4)JD'o 8"1= 0,1+0,2/25+25/(25x 16)

8"1=- 2,932radis2.

. PourcalculerF dansladenture,il suffitdeconsidrerseulement

(1)+(II) :

[0,1+0,2/25J.8"1=- 0,2+F. 0,02~ F=69N5

EXEMPLE DE CALCUL

Arbre Poulie Roue dente

moteur 1

(Ir Arbre

rcepteur, ,'4

Courroie I 1 1 1 fEi?t (III)./-'2+1-1

Roue dente-UJ?

Poulie

212

58Travail58.1 Travaild'uneforceUneforcetravaillelorsquesonpointd'applicationsedplacedansunrepre.

Le travail~mentairedW, exprim~ joules(J),d'uneforce F (N) sedplaantdedt (m)estgal

au produitscalaire: dW=7=. d7.

REMARQUE:-->

Untravailestpositif,ngatifounulselonF etdt.

~,~~/~Ydt

/ (infinimentpetit)

EXPRESSION ANALYTIQUE (exemple)

58.2 Expressionanalytiquedutravaillmentaire

Dplacementlmentaired7\ ->...,.Tempslmentaire ~tf

dt =V.dt

Vitesseinstantane V

NOTA:

Sidtreprsenteledplacementlmentaired'unpointM,onlanoteaussidDMoudM.

EnconsidrantlescoordonnessurunrepredeVetF.onobtient:

...,.--> *

(X

)(1JX

)dW=F.V.dt= Y. 1JY dt=X.1Jxdt+Y.1Jydt+Z.1JzdtZ 1JZsoitencore:

...,. -> *

(X

)(dX

)dW=F.U = f' ~~=X.dx+Y.dy+Z.dz58.3 Travaillmentaired'uneforceentranslationrectiligne

dw=l.v.dt=Illll.cosa.1)x.dt=lllll.cosa.dxNOTA:

Si1 resteconstant(mmesdirection,sensetintensit),alorson

peutcalculerletravaildelaforceentredeuxpointsAetB:

WAB=lllIl.cosa.(XB-x A)

y

'~F (1O0N)

~ ~

dW=F. dt

,

(

100 sin 30

) (

50

)f 100 c~s30 ; f 50012m=100tr/min=10,47radis =~~

=>d8 = 10,47dt .

Donc

(

5

} (

0

)dW= 50~ . 2X1~47dt =1813dt

Le travaild'uneforceconstantequise dplaceentredeuxpointsAet8 estgalauproduitdelaprojectiondelaforcesurlatrajectoire,parla longueurdecelletrajectoire.

, Prsentationpratiquepourcalculerleproduitscalairededeuxvecteurs( 73.5)

Solide

B

Forcef /(constanteentreA et B)

58.4 Travaild'uneforceoutranslationquelconque. Elleconservemmesdirection,sensetintensitmaissonpointd'applicationdcritunecourbequelconque;sontravails'critdW=F.d7.(d7=ds.1o1 :vecteurunitairetangent lacourbe).. dW=III Il.ds.cosa =11111.ds' (ods'reprsentelaprojectiond'unlmentdetrajectoiresurF).

. EntredeuxpointsAetB,ilsuffitdesommer:

Letravaild'uneforceconstantesedplaantentredeux

pointsestgalauproduitdelanormedecetteforcepar

laprojectiondelatrajectoiresursonsupport.

58.5 Travaild'uneforcedemomentconstantparrapportsonaxederotation

~ ->~ ->~->

dW=F.dt=Fr.dt+FN.dt~ -> ~ ->

=Fr. dt car FN..ldt ; doncFN .dt =0=Fr. d7(h. d7 =Fr. d t : vecteurscOlinaires)

=Fr.R.de=;f{o(l).de

EntreAet8,onobtient:

WA-B=;f{O(1).(eB - eA) (Netrad)

Letravaild'uncouple(momentconstantetrsultante

nulle)estgal lavaleurdececouplemultipliepar

sonanglederotation.

58.6 Travaild'uneactiondecontactOn projette rsultante et moment de l'action mcanique en un

point sur le plan tangent au contactet sur la normale ce plan.

Les seuls mouvements possibles se rduisent :

. unglissementrelatifdansceplan,devitessev;:; ,

. unpivotementautourdelanormale:(J) z2/1,

. unroulementautourd'unedroiteduplan:(J) x et(J) Y'Le travaildWcorrespondantsecalculealorspar:

f~ \f D;\ (~ ~ ? ~ ),

\ ? f' \~ Idt: A112'VAE211+#A112..Q211dt# A112 VAE211(Comomentdutorseurdel'effortparle torseurcinmatique.)

213

TRAVAIL D'UNE FORCE CONSTANTE

(exemple: poids d'un corps mobile)

~lFB?-

:Pof

/

~ //\j(fJ0(). B'U)

"0 ipIl 1

~ of 1 WA-B=IIAI.hl

TRAVAIL D'UN COUPLE

- ~-C =#0(F)

Fr

1 WA-B=;ifo(F). (8B-8A)1

TRAVAILD'UNEACTION DE CONTACT

illy2/1 y

Actionmcaniquede1/2: lA1/2}enA

(X A) -7 (LA)A1/2 i: # A1/2 :Mouvementrelatifde211:1v2/1}enA

----? C ().Q2/1 :y VAE2/1dW : (XA .Vx+ YA' VY+LA, (j)x +MA, (j)y+NA' (j)z) d t

214

58.7 Applications58.71 SphreroulantsansglissersurunplanEntreAetB,lesforcesquitravaillentsont:

. lepoids(directionconstante):[WpOidS]A-B=+mgh(58.4),

. l'actiondecontactenA :

{A }- '~A ~\ (frottementncessairepourlarotation;)A 0/1 - \ A , ~ ~ ~ rsistanceauroulementngligeableA 0 0 (x,y,z)

Letorseurcinmatiquede1/0enAs'crit:

A {v 1/0}= '\~ ~

)-> -> -> (sansglissement,~O= 0)

A ( z 0 (x, y, z)

Danslecasd'unroulementsansglissement,letravaildelaforcedecontactestnul.Letravailserduitalorsceluidupoids.

58.72 Travaild'ungazUn cylindrecontientungazlapressionp.Ilsecomprimesous

l'actionF d'unpiston.Onpeutcrire:. Travaillmentairereuparlegaz:

IdWI=IF. dxl=Ip.S. dxl=Ip.dVI

. Sous1, levolumeVdiminue;doncdVO.Ondoitdonccrireletravaillmentaire:

dW=- F. dx=- P .S .dx =- P .d V

dW(J) p(Pa) V(m3)

. Legazaccumuledel'nergiequandonlecomprime.58.73 Travaild'unressortLeraisonnementressembleauprcdent:

Pendantunecompressiondedx,laforceappliqueauressorttravailiededW=+F. dx.

Dansledomainelastiqueonconnatlaloidedformation,fonctiondelarigiditk(N/m):

F=+k.xana: dW=+k.x.dx=+dS

(dS=airelmentairesurlediagramme,)

nergieaccumulepourlaflchefmax:

WA- B =~r:{=1 Fmax . f max2

Leressortquel'oncomprimeemmagasinedel'nergiequel'on

comptealorspositivement.

SPHRE QUI ROULE SANS GLISSER

Sphre 1ID1:ro"0t:IDUCf)roIDroutID>

0;:0;

B

Si II~BII=1m}Ilpll=10 N WA-B =llpll.IIAllsina=10 x 1 x sin 20=3,42J

TRAVAIL LMENTAIRE D'UN GAZ

Cylindre SectionS

F=-pS.xx--+

1 dW - - dV 1 dW enjoules (J) ;P en pascals (Pa)- p. dVenmtre-cube(m3)

TRAVAIL D'UN RESSORT

F(N)(effort)

Fmax

d =.E(dS)F

dS=F.dx x(m)---(Flche)fmax j

~$reprsentel'nergiepotentielledu ressortsoumis Fmax

59Puissance59.1DfinitionLapuissanceinstantaneP d'uneforcequieffectuependantletempsdt letravaillmentairedWestgaleladrivedutravaillmentaireparrapportautemps:

1 p= dt

P :puissancel'instanttenwatt(W).

dW:travaillmentaireenjoule(J).

dt :tempslmentaireenseconde(s).

REMARQUE:

. Lapuissanceestunegrandeuralgbrique(voirconventiondesignefig.1).

. Unwattestla puissancedveloppeparuneforcequi

effectueuntravailde1jouleen1seconde.

Multiple:lekilowatt(kW);1kW=1Q3W*.

59.2 Puissanced'uneforceLapuissancedveloppeparuneforce1l'instanttestgaleauproduitscalairedecetteforceparlavitessedupointd'appli-

cationM decetteforcedanssonmouvementparrapport

aurepre(9l)(voirfig.2).

p= ;. V;;;; oup=Il;11.11~ Il. cosaP :puissanceenwatt(W).

11111 :intensitdelaforceappliquesur(5)ennewton(N).

IlV::;:,II: vitessedeMappartenant(5)parrapport(9\,),enmtreparseconde(mis),

59.3 Puissanced'uneforcesurunsolideenrotation

~

P = If lM .-~

P :puissancel'instanttenwatt(W),

# oCi) :momentde1parrapport0,

11#0(;)11ennewton.mtre(N.m).

Q 5/H' :vitessederotationde(5)parrapport(~),

Il0;:, Ilenradianparseconde(radis).* Ancienneunit:lechevalvapeur:1 ch=736W.

215

CDCONVENTION DE SIGNE

1 P1 >0 1

1 Pz

216

Danslerepre9l(0,x,;,z)lescomposantesdesvecteurssont:

--> L L=ftfoxCF) 0

ftf0(F) : ( ~) avec:M = ftf0y~): il S;'K: ( ~) .N=ftfoz(F)

Eneffectuantleproduitscalaireftf0(F).~1 p=~.w ou P=N.w

P: puissancedveloppe l'instanttparuneforceF applique

surunsolideenrotationparrapportunaxefixe(0,z) (W).

ftfOx(F) :momentdelaforceF / axefixe(0,z) (N.m).IJ) :vitesseangulairede5/ ~Rl'instantt (rad/s).

REMARQUES:

. Si ftfOz(F) etIJ)sontdeIllmesigne:P>O.LapuissancedveloppeparF estfournieausolide(5).

. Si ftfOz(F) etIJ) sontdesignecontraireP

59.4 Puissanceabsorbeparlesactionsdecontact. Lorsqu'uneliaisonestparfaite(facteurdefrottementJi

nul)lapuissanceabsorbeparlesactionsdecontactestnulle.

Parexemple,si lamasselotte2 glissesansfrottementsurla

tige1enrotationuniformeautourde(0,z) onpeutcrire:

P=A;. VAE2/1=0 (A; 1-VAE2/1)

. Lorsquele facteurdefrottementJi n'estpasnul,larsultantedesactionsdecontactde1/2peuttreprojete

surunenormaleetunetangentelasurfacedecontact:~ ~ ~

A1/2=N1/2+ T1!2 (voir 32.2).Letravaildelaforcetangentielleestrsistantetnonnul.Ilesttransformessentiellementenchaleur.

REMARQUE:

Danslecasd'unroulementsansglissement(/-.t'*0)avecuncontactponctuel,letravail(etdonclapuissance)de

l'actiondecontactestnul(voir 58.71).

217

MASSELOTTE COULISSANTE (J.1=0)

zA 1 2y,

A1/2 Y

x

Dans (9l,) =(0, X;,~, 2"7)- -P = IlA1/2II.11VAE2/,II. cos (j = 0

X1

(cos!!...=0)2

MASSELOTTE COULISSANTE (IL; 0)

z A1/2

P =IIA1/2II.IIVAE2/,II.cos (j =0x,

(cos(j

218

59.52 PlusieursdegrsdelibertSoitunsolideenrotationautourde(A,x) etentranslationselon

(A,x) parrapport50(exempledelaliaisonpivotglissant).Le

torseurcinmatiquede(5)IRos'critenA:

A{VS/9O}= [nS/9O.} (Roestli50)A VAES/9OLetorseurdesactionsdecontactde(50)/(5)enAest:

A{A(sJ/(sOj}=J~}Lapuissancetotaledesactionsmcaniquesde(~0)/(51)est

galelasomm~elapuissancedveloppeparR etdecelledveloppepar;t!A:

P=R.;;;+/?1,.;.~

~ :rsultantedesactionsmcaniquesde(50)sur(5).;t!A :momentdesactionsmcaniquesde(50)sur(5)enA.

nS/9l~ :vitesseangulairede(5)parrapport810'VAES/9O:vitessedeA li(5)parrapportRo.

P estdonclecomomentsuivant:

[

Fi

} [

~}P=A ;et; .A VAES/9O

59.6 Puissanceabsorbeparla rsistancedel'air. Cettedernireabsorbeunegrandepartiedelapuissancedumoteurd'uneautomobile.

. Leventsurletoitd'unbtimentprovoqueunechargeimportante.

D'aprsle18.3:

II~II=O,5.Cx'p.s.11vS/A'llz*

ex: coefficientdetrane(dpenddelaforme,delarugositducorps).

p :massevolumiquedel'air(kg/m3).

5 :sectionmaximaleducorpsnormaleauxfiletsd'air(m2).

V(S/A;:vitessedusolide(5)parrapportl'air(A)(mis).

Lapuissancecorrespondanteabsorbeest:

p=IIRA/S'II.IIV;II; P=O,5.C..p.s.llvs/AII3

EXEMPLE: LIAISON PIVOT-GLISSANT

CAS DELAPUISSANCENULLE_AY

x

P =0, si on a simultanment:

R.VAES/9O = 0 : R -L VAES/9O#A' ilS/fiLO =0 : #A -L ilS/fiLO

RSISTANCE L'AVANCEMENT

Ligne de courant

L~ ~

cf

RA/s

rc;!~

S : section normaleaux filetsd'air

rc;!~

S : section maximale

/' .60EnergIe60.1DfinitionUnsystmeisolpossdedel'nergiesicettegrandeurphy-

siquepeuttretransformeentravailmcanique.

Ondistinguediffrentesformesd'nergie,parexemple:

. l'nergiemcanique:elleestdirectementtransformableentravail(mcanismesavecressorts,fluidescomprims,etc).

. l'nergielectrique:lielacirculationd'lectronsdansunconducteur(moteurlectrique).

. l'nergiechimique:lielacombinaisondeplusieurscorps(ex.: lacombustiondel'essenceprovoqueuntravaildans

lemoteurcombustioninterne).

. l'nergiesolaire:lieaurayonnementsolaire,sonaspectlumineux(photopiles)oucalorifique.

. l'nergienuclaire:lielatransformationdelastruc-turedesatomes(racteurnuclaire).

Lafigure1montre,sousformesymbolique,quelquestransfor-

mationspossiblesdel'nergie.

60.2 RendementnergtiqueLerendementd'unemachinequitransformeuneformed'nergie

quelconqueennergiemcaniqueestdfiniparle rapport

suivant(voirfig.2):

1/ =PsPe

T/: rendement(lireta).Nombresansdimension.

Pe:puissanced'entredanslesystmeisol(W).

Ps:puissancedesortiedusystmeisol(W).

REMARQUES:

. Lapuissancedissipeparlespertes(frottements,effetJoule,pertescalorifiques...)estgaleladiffrenceentrelapuissanced'entreetlapuissancedesortie.

. T/esttoujoursinfrieur1;T/

220

60.3 ValeursderendementsdemcanismesPourlescalculsderendementsdemcanismes:

. soitoncalculelesvaleurspartirderelationsfaisantintervenirle

facteurdefrotlemententrematriaux(voirchapitre12etchapitre32).

Mcanismesparticuliers

Arbressurpaliersroulements

Arbressurpalierslissesbienlubrifis

Commandesparcourroie

Engrenagesdroitsrectifis,bienlubrifis

Engrenagestaills,bienlubrifis

Arbressurpalierslissesgraissagediscontinu

Engrenagestaillsmallubrifis

Engrenagesbrutsdematriage,selonmontageetentretien

Roueetvissansfin:

- rversiblebienlubrifi

- irrversible,lubrifi la graisseVisetcroud'assemblage(irrversible)

. soitonutiliselesvaleursexprimentalesdutableauci-dessous.

Uneplaceparticulireestfaiteauxsystmesvis-croubilles,tant

donnleurimportancedanslespartiesoprativesdesmachines

commandesd'axesnumriquesetdessystmesasservis.

RendementTI

0,98

0,95

0,95

0,98

0,950,97

0,90,92

0,90,92

0,750,85

0,40,80,30,4

0,150,3

SYSTME VIS-CROU

CDRendementTI desvis-crou billes(utilisationnormale). 1 evRendementTIdesvis-croubilles(utilisationinverse).Utilisationnormale:tournerlavispourobtenirundplacemententranslationdel'crou.

Rendement TI

0,9

0,8

0,7

0,6

0,0030,0050,01

0,1

0,50,2

0,4

Utilisationinverse:translaterl'croupourobtenirunerotationdelavis.

Rendement TI

0,3

0,2

,LI=tan

221

~

61Energiepotentielle

Epi:nergiepotentielled'lasticitaupoint1(J).Ep2:nergiepotentielled'lasticitaupoint2(J).k :raideurduressort(N/m).Xi :abscissedupoint1(m).X2 :abscissedupoint2(m).* Sinononpeutexploitersimplementladiffrenced'nergiepotentielle,cequipermetd'liminerlaconstante.

Danscertainscasparticuliers,letravaild'uneforceapplique

suruncorpsdpenduniquementdespositionsinitialeetfinaleducorps,etnondelafaondontleparcourss'esteffectuDanscecas,laforceestditeconservative,elle

dpendd'unefonctionEp'appelenergiepotentielle.

61.1 nergiepotentielledepesanteurUnsolide(5)demassem,placdansunchampdepesan-

!uruniformeg, sedplacede12.LetravaildesonpoidsP dansledplacementd'unehauteur:h=zi - Z2's'crit:

1 W(p)1.2=mg(z1-z2);W(ph.2=mgZ1-mgZ21

. Pardfinition,l'nergiepotentielledepesanteuren1ou2,dfinieuneconstanteprsC,est:

Ep1=mgZ1+C ; Ep2=mgZ2+C

Epi:nergiepotentielleenunlieu1(J).

Ep2:nergiepotentielleenunlieu2(J).m :massedusolide(5) (kg).

zi :altitudedulieu1parrapportl'originede0l(m).

Z2 :altitudedulieu2parrapportl'originede01(m).

REMARQUE:

SiconventionnellementEpestnullepourz= 0, laconstanteest

nulleetEp= mgz*.. LetravaildupoidsP peuts'crireainsi:

W(i'\.2=Ep1- Ep2; w(i'\.2 =mgh

61.2 nergiepotentielled'lasticit

~

Unressort1 comprim,exercesurunpiston2,uneffortFi/2:

lorsque2 p~e dupoint1 aupoint2, letravaildelaforce

d'lasticitF1/2duressorts'crit:

~ 1 2 1 2 ~W(F)1'2='2kX1-'2kX2 ; W(F)1.2=Ep1-Ep2

NERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR

Verticaleascendante

2

z

Solide (S) /Acclration

1 de la pesante~

P=mgl 1 ~gh

(S)Z1

P=mg

Plan derfrence

Z2

Terre

y

010 x

EXEMPLE DE CALCUL

UncorpsdemasseM = 300kgdescendde3 m.Sachantque

IlgIl= 10m/s2,calculerlavariationd'nergiepotentielledepesanteuraucoursdudplacement:h=z1- z2;h=3m.

W(Ph'2=300x 10x3=9000J.

NERGIE POTENTIELLE D'LASTICIT

Originedu reprefixe~ (ressortdtendu)y

F1/2 x

Xi

ta : longueurlibredu ressort

RAPPEL

. Laforceexerceparunressortestproportionnelle sa

flchex: F1j2=-kx.x.Si x< 0 (casci-dessus)F1/2>0.

. LetravaillmentaireestdW=- kxdx" .x2

W(F\.2 = - ( kxdx=.! kX~- .! kX~.JX1 2 2

**Voirchapitre58.

222

61.3 nergiepotentielled'ungazUngazquel'oncomprimeaccumuledel'nergie(58.72),Onditalorsqu'ilaugmentesonnergiepotentiellecaril pourra

restituerletravailcorrespondantlorsdesadtente,

W(gaz)1.2= Ep2- Ep1

W(gaz)1-2 :travailreuparlegazentrelestats1(P1'V1' T1)et2(P2'V2'T2)(J),

Ep2 : nergiepotentiellefinaledugaz(tat2),

Ep1 : nergiepotentielleinitialedugaz(tat1),

Onpeutaussicrire:

V2

I1Ep1-2 =Ep2 - Ep1=J - p.dvv1

DMARCHE DE CALCUL

1 Pourcalculerl'intgraleci-dessus,il fautconnatrela loidevaria-

tiondep enfonctiondelavariationdevolume.

2Identifierletypedetransformationdansletableauci-dessous(transformationenvaseclosd'unemassede1kgdegazsitueenpermanencedanslemmercipient*).

3 CalculerP1 ' v1 l'tat1etP2, v2 l'tat2.

4CalculerWH selonlaloidfinieci-dessous.

Transformationisotherme:T= Cte

p (Pa)

P2 t--~i"'1p,f--+----

Loi de Mariotte:

T =Cte;pv =Cte

Travail chang1-2:V2

W1-2=-P1V1en-V1

0 V2 V1 v (m3/kg)

Transformationisobare:dp=0

P (P

lclal2 1~ -~Pli2 1 V (m3/kg)0 V2 V1

P1V1=r. T1P2v2=r. T2

V1 T1

;-; - T2Travailchang1-2:W1-2=-P (V2 - V1)

, tudeinsuffisantepouraborderlesmachinesthermiquesdanslesquelleslegazs'coule,

NERGIE POTENTIELLE D'UN GAZ

Gaz(air) S : surfacedupiston1

y2

~TF1/gaz:

X2

x Tube2

x,

t Position2dupiston1

tPosition1dupiston1

0x

GRANDEURS PHYSIQUES

p : pressioneffectivedugaz(Pa).

v : volumeoccupparle gaz(m3/ kg).

T : tempratureabsolue(K).

r : constantecaractristiquedugaz(J / (kg.K)).

F : forceexerceparlegazsurlepiston(N)

avecF=p.S.x.

dW(gaz):travaillmentairedugaz(J / kg)

avecdW(gaz)=F.dx.

Transformationisochore:dv=0

:2(P

1L-~rp --11, v (m3/kg)0 v, =V2

PlV, =r. T1P2v2=r. T2

P1 T1- -P2 T2

Travail chang 1-2 :W1-2=0

Transformationisentropique:da=0

P (Pa)

P2t-_2

~111 1P1 f---: I

pv'l=Cte

Travailchang1-2:1

W1-2=- (P2v2-P1v1)r-1W1-2=~ (T2-T1)r-10 V2 V1 v (m3/kg)

"62EnergiecintiqueC'estl'nergieacquiseparunsolide(5)quisedplaceune

vitessev parrapportunrfrentiel(01).

Toutcorpsenmouvementpeutfourniruntravaillorsquesa

vitessediminue(unmarteauquiarriveavecunevitessesurune

tle,estcapabledeladformer).

62.1 SolideentranslationOndfinitlavariationd'nergiecintiqueM k1-2d'unsolide(5)

entredeuxinstants11et12par:

[

1 2 -1mv21!.Ek1-2="2m.v2Slfil2 . 1SIfil

m :massede(5)(kg).

V1:vitessed'unpoint(5)parrapport(01)l'instant11(mis).v 2:vitessed'unpoint(5)parrapportUR)l'instant12(mis).

Pardfinition,lagrandeurscalairepositive1 m. v21SI '2 fJestl'nergiecintiquedusolide(S), l'instant11consi-

dr,parrapportaurfrentiel01*.Onpeutaussicrire:

[il Ek1-2:variationd'nergiecintiqueentre11et12(J).

62.2 Solideen rotation

1!.E k1-2=Ek2 - Ek1

Ondfinitlavariationd'nergiecintiqueil Ek1-2d'unsolide(5)

entredeuxinstants11et12par:

1 2 1 21!.Ek1-2="2JOZ.1J)2Sl9-"2 JOz.1J)1S/fil=Ek2-Ek1

J Oz :momentd'inertiede(5)parrapport l'axe(0,Z) derotationde(5)/(01)(kg.rn2).

Q)1S/fil:vitesseangulairede(5)/(0l)l'instant11(radis).Q)2S19:vitesseangulairede(5WR) l'instant12(radis).

APPLICATION:

Calculerlavariationd'nergiecintiqueduvolantV demasse

m=120kg,deformecylindriquederayonR=0,5m,entrel'instant11

defrquencederotationn1=900tr/minetl'instant!2 : n2=0tr/min.

SOLUTION:

Calculerlemomentd'inertieduvolantparrapport (0,z)

mR2 . 120X 0,52. 2Joz =- , J Oz= , J Oz=15kg.m2 2

La vitesseangulaire 11est W1(V/9)=9006~2 71:- 30 71:radis.

Calculerlavariationd'nergiecintiqueentre11et12:

Ek2- Ek1=0-1 x 15x (3071:)2;,IlEk1-2 =-6620J2 '

223

NERGIECINTIQUED'UNMARTEAU

Massem 81(0,X,y,z) liau v'. CG M~em

Vitesse. \:f! L- VitessenulleVGESlH*0

VGESh!{'"0

MOUVEMENT DE TRANSLATION

-. Solide(S)masse(m), .. (y '1' , ~ES/9:trajectoiredeG/81-VGEs/,n

x

oZ0 81(0,X,y,z) lilaterre

TRANSLATION: EXEMPLE DE CALCUL

Calculerlavariationd'nergiecintiqued'uneautomobiledont

la masse en chargeest de 1 600kg lorsqu'ellepasse d'une

vitessev 1=110kmlh l'arrt(v 2=0) parrapport un rf-.

rentiel(9q li la terre.

SOLUTION:

Convertirla vitesse l'instant'1 en mis:110x103 11

V1 '" . V1 = -x102m/s3600' 36

Calculer 1!.E kH = Ek2 - Ek1 :

1!.Ek1'2=0_1x1600x(11)2X104(pourv2=0 Ek2=0)2 361!.E k1-2=-746913,6 J =-747 kJ

NERGIE CINTIQUE D'UN VOLANT

y'" Volantmassem

x

Z~ti Palierde guidage

91(0,x,y,z) liaubti1

* Si V 1S/91estnulleparrapportaurepre(811)'EHe! nulleparrapport(811)'cequineveutpasdirequ'ellesoitnulleparrapportunautrerepre(8L2)'

224

62.3 MouvementquelconqueLorsqu'unsolide(5) estanimd'unmouvementquelconque,

celui-ciestlersultatdelacompositiondedeuxmouvements

(ex.:alimentationenrotorsd'unpostedemontage).

. CeluiducentredegravitGde(5)dontlevecteurvitessel'instanttest:VGE5hl .. Celuidusolide(5)autourd'unaxe(G,z) passantparG,

dontlevecteurvitesseangulaireest:il 5/'J( .

1 ~21 ~~2

Ek=2m.11 VGEShJll1+2J(O,z) IlnShJll1

L'nergiecintique,l'instantt,parrapportaurfrentiel(~R)d'unsolidetournantautourd'unaxed'orientationfixepassantparsoncentredegravitGestlasommedel'nergie

cintiquedueaumouvementdetranslationdeGparrapport

(9l)etdel'nergiecintiquedueaumouvementderotationautourdecetaxe,parrapportaummerfrentiel(91,).

62.4 Thormedel'nergiecintiqueDansunrepregalilen(0lg),lavariationd'nergiecintiqued'unsystme(5) isol,entrel'instantt1etl'instantt2,estgale

lasommedestravauxdesforcesextrieuresetintrieuresagis-

santsur(5)entrecesdeuxinstantsconsidrs:

W(FeXt!S)1-2+W(Fint7S)1-2= Ek2- Ek1

W(F8x!7S)1-2:travaildesforcesextrieuresappliquessur(5)entret1ett2(J).

~

W(Fint/5)1-2:travaildesforcesintrieures(5)entret1elt2(J).

Ek2:nergiecintiquede(5)l'instantt2(J).

Ek1:nergiecintiquede(5)l'instantt1(J).

REMARQUES:

. Letravaildesforcesintrieures(S)n'estpasnulsi lescorpssontdformables(casdelacompression-extensiond'ungaz,d'unressorL),et/oulesliaisonssontrelles(frotte-mentnonnul:J1, =t- 0)*.

. Lethormedel'nergiecintiqueesttrsbienadaptl'tudedessystmesauxmouvements"unidimensionnels"(translationourotation)carilnefournitqu'uneseulequationscalaire.* fL = tan'P= 0;facteurdefrottementnul.

ALIMENTATION PAR PLAN INCLIN

Rotor (S) Rotationde(S) autourde(G,z)

9l(O, X,Y, z)liau bti

(S) ISOL ={MOTEUR +GAZ}~ z~ dz

~

[

Travaildesforces+- intrieuresdues

lapression

31

2 y

l

fL =0 Travailnulx desactions

~ mcaniques+- auxliaisons

ITravaildesforcesextrieures+-Utravailducouplemoteur)CASPARTICULIERS 1

Corpsindformables.LiaisonsparfaitesIL = 0*

W(FeXI)1-2= Ek2- Ek1 W(Fnh-2= 0

CorpsindformableentranslationIL = 0*

1 2 2W(FexI)1-2=2m(V2- V1)

V2: vitesseducorpsaupoint2/(ffig)v1 : vitesseducorpsaupoint1/(9lg)

SystmedformableenrotationIL = 0*

w2 w22 1W(Fexth-2= J2 2 - J1 2

J2' J1, W2' W1:momentsd'inertieetvitessesangulaires

auxpoints2et1/(9lg)

SystmeindformableenrotationIL = 0 *

J 2 2W(FexI)1-2=2 (W2 - W1)J =Cte; W(Fn)1-2=0

225

Translationrectiligne- Forceconstante

CAS PARTICULIERS 2:CORPS INDFORMABLES - FROTTEMENT NUL f..l=0

y Solide(5)massem

R M R x~~

(m) 12 V2(Mhil)

0

V1(MM)

X2

9lg(0,x,y,z) repregalilen

Travail:ilserduitautravaildesforcesextrieures:

W(R/S!1-2=Ilili(X2-X1)

Variationd'nergiecintique:1 2 1 2

Ek2-Ek1=2mv2(Mhil)-2mv 1(Mhn)

EXEMPLE1(freinaged'unchariot):

Unchariot1 demassem=15kgroulesurdeuxrailshorizon-

taux2. Il estarrtparunebute13,5}ressort,fixesurle

bti4.LaforceFexerceparleressort6surlepiston5estpro-

portionnellesaflchex.

F6/5=-11 538x(FenN;xenm).Lacoursemaximaledela

buteestxmax=100mm.Calculerlavitessemaximaleduchariotparrapport(9t)liaubti,compatibleaveclacoursedelabute:

HYPOTHSES:

. larsistanceauroulementenAetBestnulle,

. lefacteurdefrottementestnulenAetB( J1=0)etentrelepiston5etlecorps3delabute,. larsistancedel'airestnglige,. lemomentd'inertiedesrouesestnglig,SOLUTION:

10Isolerle systmeS ={chariot1, bute3}

20Appliquerlethormedel'nergiecintiqueentre:1 :dbutducontact1 - 3et2 :findecoursebute.

. Calculerlestravauxdesactionsextrieures(S)de12:P, A; , B;,sontverticales(J1 =0)doncperpendiculairesaudplacementd;, Leurtravailestnul

W(pL'2+ W(A;)1.2+W(B;)1.2= 0. Calculerlestravauxdesactionsintrieures(S)de12:~ estverticale(J1=0)doncperpendiculaireaudplacementdx: W(D;J2=D3/~. d; =0

Mouvem!!nthlicodal,de(S)/~!Lg

Solide (5), massem, momentd'inertieJy

F

1~ -1 rffA

Z x1.. 1 X2 ..

9l (0, X,y, z) repregalilen

Travaildesactionsextrieures:

IlF Il =CteIlrffA Il =Cte

E W(actionsextlSh-2=W(;)1' 2+W(#.:)1'2

EW(actionsextlS)1-2=11';II(x2-X1)+111!;11(02-01)

Variationd'nergiecintique:

Ek2-Ek 1=1m (V 2_V 2)+1J (/ -/ )2 2A 1A 2 2(SM) 1(SM)DISPOSITIF D'ARRT

2 -..V1 4 35 y1

A B1 ~R(O,X,y,z) li41P

Dbutcontact5/1

V1

Xmax: course

bute:100mm

Findecoursepiston5 (t1)1~2 (t2)

A2/1

G

--~-A

p

3/5 dx

E6/3

6

226

E6/; netravaillepascarsonpointd'applicationestfixe*.

F;;; estcolinaireaudplacementdesonpointd'application.

Letravaildelaforced'unressortest:W(~)~ -1 F6/5mw.'f 2mw.**W(~)1-2~-1 x11538x0,1x o~~-57,7J

2. Calculerlavariationd'nergiecintiqueentre11et12:AEk1.2~ Ek2- Ek1 ;Ek2 ~ 0car V2 =0; AEk1.2=0- 7,5V12

. Appliquerlethormedel'nergiecintiqueentre1et2:

Ek2-Ek1=W(~)1'2; 0-7,5v12=-57,7. Rsoudrel'quation,calculerV1:

V12=7,69; v1=y7,69 ; V1 =2,77mis

MTHODE

F Isolerunsystme(8).

2Choisirdeuxpoints1 et2osontconnuescertainesgran-

deurs(vitesse,forces...).3Calculerl'nergiecintiqueen1et2.4Fairelebilandesactionsmcaniques.Calculerleurtravailentre1et2.

5Appliquerlethormedel'nergiecintique.6Rsoudreetcalculerl'inconnue.

r Si impossibilit,choisirunnouveaucouplede pointsetrecommencerlecalcul.

EXEMPLE2(calculd'unvolantd'inertie):

Unmoteur2 fournituntravailde1000J partouruncompresseurmonocylindrique.Letravailncessaire l'aspira-

tiondel'airpendantledemi-tourde12estngligeablealors

queletravailfourniparlemoteurresteconstant.Lecompresseur

prenddoncdelavitesse.Pendantledemi-toursuivantde21,

letravailncessairelacompressiondel'airentraneunechute

devitesse,Lapoulie-volant4 jouelerledevolantd'inertiepour

rgulerlavitessederotationducompresseur.

HYPOTHSES:

. lesliaisonsentrelessolidessontsansfrottements,

. lesmassesetlesmomentsd'inertiesdessolidesenmouve-ment,autresquelapoulie-volant,sontngligs.Calculerlemomentd'inertieJ Ozdelapoulieafinquelavitesseangulairew ducompresseurrestecompriseentre1,5TCet2TCradis,lecouplemoteurrestantconstant.

SOLUTION:

1IsolerlesystmeS=11,4,airdanslachambre}.

2Appliquerlethormedel'nergiecintiqueentrelepoint

1(pointmorthaut)et2(pointmortbas).(Phaseaspiration,)

3Calculerl'nergiecintiqueauxpoints1puis2 :

En1: vitessemin:w=1,5TCrad/s;Ek2=t Jozx (1,5TC)2,

En2 :vitessemax: w= 2 TCradis; Ek2=t Joz x (2TC)2.4Calculerlestravauxdesforcesextrieuresetintrieures:

Lesforcesintrieuresauxliaisonsnetravaillentpas(frottement

nul),letravaild'aspirationdel'airestnul.Letravailducouple

moteur,supposconstant,de12est:

W(G:)1.2=1000 ; W(G:)1.2=500J2

5crirelethormedel'nergiecintique:

1 .Joz[(2TC)2-(1,5TC)2]=500; Joz'"57,9kg. m32* Il enestdemmepourlesautresforcesdeliaisondontlepoinfd'aplicationestfixe,

COMPRESSEUR MONO-CYLINDRIQUE

REFOULEMENT1 Compresseur1

PHASE ASPIRATION

Fin de coursehaute

t~I~Aspiration=r-+-~~de l'airIII 1

Course CFin de coursebasse

1 : pointmorthaut Volant

x

Compression2~1

2 : pointmortbas

Aspiration1 ~2

** Voir 58.73.

63 Conservationdel'nergie

63.1 NotiondesystmeisolUnsystme(5)estditisollorsqu'iln'changeaucunenergie

(mcanique,calorifique,chimique...)aveclemilieuextrieur.

. Dansle cas,parexemple,de la chuted'uncorpssous

l'effetde l'attractionterrestre,lesystmeisolestconstitu

du corps(C). Laperted'nergiepotentiellede(C)n'estpas

changeavecl'extrieurmaisconvertieennergiecintique

de(C)(enngligeantlarsistancedel'air).

. Lesystmeisolnepeutcomporterdecontactsavecfrotte-ment.Cesforcesabsorbentdel'nergie,pourl'essentielconver-

tieenchaleur,cdel'extrieur.

63.2 Principedelaconservationdel'nergiemcaniquePourunsystmeisol(5),danslequeltouteslesforcesdpen-

dentd'unenergiepotentielle*etlesactionsdecontactnetra-

vaillentpas,l'nergiemcaniquetotaleEmestconstanteentre

deuxinstantst1ett2(voirfig.2).L'nergiemcaniquetant

lasommedel'nergiepotentielleEpetdel'nergiecintiqueEk'onpeutcrire:

Em= Ep+ Ek= Cie

L'nergiepotentielleayanttroisformes,onpeutcrire:

Em= Ek+ Ep (pes)+ Ep (las)+ Ep (press)= Cie

Ep(pes):nergiepotentielledepesanteur(J).

Ep(lasl:nergiepotentielled'lasticit(J).

Ep(pressl:nergiepotentielledepression(J).

REMARQUES:

. L'nergiemcaniquetantconstante,elleestengnral

dtermineparlesconditionsinitialesdumouvement(fig.3).

. S'ilexisted'autresforcesF; ne dpendantpas d'une ner-giepotentielle,onpeutcrirequelavariation~d'nergiemca-

niqueentret1ett2estgaleautravaildecesforcesF;entre1et2(~estngatifsi lesystmeperddel'nergie.)

L'1(Ec+Eph-2= W(~L-21

C'estlecasd'uncorpssoumislaforcedefrottementdel'air:

l'nergiemcaniquediminuecarW(-,c;)

228

EXEMPLEDECALCUL:

Soitunpendulesimplecomposd'unfildelongueurtet d'une

particuleMdemassemliel'extrmitdufil,l'autreextrmi-

ttantlieausupportfixeenA.Oncartelependuled'unangle

parrapportlaverticale,OnappelleMo,d'altitudezo,laposition

initialecartedea, etMi, d'altitudeZi'lapositiondeMla

verticaledeA.OnabandonneM enMosansvitesseinitiale.

CalculerlavitesseIl V(M/9;)11aupassagedeMenMi' (~Rgestunrepregalilenlilaterre.)

HYPOTHSES:

. lamassedufilestngligeable,. lefilestinextensibleetparfaitementflexible*,

. lamasseMestponctuelle,larsistancedel'airestnglige.

SOLUTION:

Isolerlesystme(5)constituparlamasseponctuelle(M):

1Recenserlesactionsmcaniquess'exerantsur(M)

. Uneforceconservativedcoulantdel'nergiepotentiel-ledepesanteur:lepoidsP deM.. Uneforcenonconservativedveloppantuntravailnul:tension1 dufilestconstammentperpendiculaireaudpla-cementdt, (dirigeselonladroiteAM,AM1- d--; ).(Rsistanc~iJl'airnglige,)

2Calculerl'nergiemcaniquelapositioninitiale0

L'nergiecintiqueest:Eko=0 car~) =.L'nergiepotentielleest:Epo=m.g. Zo;Emo=m. g. zoo

3Calculerl'nergiemcaniquelapositionverticale11 ~ 2

L'nergiecintiqueest:Eki= "2'm. IlV(Mi/f)g)Il .

L'nergiepotentielleest: Epi =m .g.Zi'". 1 ~2

dou, Em=- mil V(Mii'Jg)11+m.g.zi =Eki+Epi.2

4crirele principedela conservationdel'nergieentreles2 instants10et11

1 ~ 2O+m.g.zo ="2 mil V(M1/;Rg)11+m.g.Z1

~2IlV(M1/ffi,g)11=2.g.(ZO-Z1)

DansletriangleAHMo,onpeutcrire:cosa =MAMo

d'o: AH=t.cosa

et: Zo- Zi =t - t cosa=t (1- cosa)

LavitesseIl V(M1/fJ;)11s'crit:

IIV(M1/jt~)11=*Voirchapitre1,

V2gt (1- cosa)

PENDULE SIMPLE

z

Fil (massengligeable)

Positioninitialea

(Instantta)--VMa/fXa= a

ZaH

Z1,-

VM1/.'ilaM1 Positionverticale1 (instantt1)

BILAN DES FORCES: S ={M }

Acclrationde la pesanteur

rg~ Trajectoirede M

parrapport ,!ta

VM/fRa -P=mg

MTHODE DE RSOLUTION

1Isolerunsystme(5).

2Fairelebilandesforcesdcoulantdel'nergiepotentielle

agissantsur(5).

3Vrifierquelesautresforces(forcesauxliaisons,rsistan-

cedel'air...) netravaillentpas.

4Calculerl'nergiemcanique lapositioninitiale0:

Epo+Eko=Emo50Calculerl'nergiemcanique laposition1 :

Ep1+Ek1=Em160crirelethormedelaconservationdel'nergieentre1et2 :

EmO=Em1

r Rsoudre,calculerl'inconnue.

64 Hydrostatique

64.1 Fluideincompressible

Unfluideincompressibleestun milieumatrielcontinu,

dformable,sansformepropre,capabledes'coulerou

d'occuperla formedurcipientquile contientetdontlesvariationsdevolumesousdefortesvariationsdepression,

restentngligeables.

Onclasse,danscettecatgorie,lesliquides:eau,huile,etc.

REMARQUES:

. Lamassevolumiqued'unfluideincompressibleresteconstante.

Massevolumique:p (kg/m3) constante

t-.V. -~-Xe't-.pVV :volumeinitial(m3);L1V=variationduvolume(m3).

Xe :coefficientdecompressibilit(m2/N).

L1p :variationdepression(Pa).

64.2 Pressionstatiqueenunpoint.Lapressionpenunpointsecalculeparlarelation:

Frpartieuniformment

p=FIS

F rpartienonuniformment

p=dFldS

p :pression(PaouN/m2).

dF: forcelmentairedeF(N),normalelasurface.

dS:surfacelmentairede5(m2).

PROPRIT:

Lapressionestidentiquedanstouteslesdirectionsautourdupoint.

REMARQUE:

Autresunitsdepression:

. Lebar(bar):

1bar=105Pa=0,1N/mm2

. Hauteurd'eauouhauteurdemercure(m).Voir 64.34.

229

EXEMPLE:

Soitdterminerladiminutiondevolumede1 litred'eausous20bars.

L1V=-xe.ilpV

il V=-5 X 10-10X 20x 105=2V 1000

Pour V=1Iitre=1000cm3

L1V=-1 cm3

Danslaplupartdescalculs,onngligecettevariationdevolumeet

l'onconsidrequel'eauestincompressible.

Il enestdemmepourleshuilesetl'ensembledesliquides.

Ona:

MULTIPLICATEUR DE PRESSION (principe)

0d =30

F1xA

HF2

xB

Canalisation

0 0 =150

On exerce une force F1 sur le piston du cylindre pri-maire; il en rsulte une force F2 sur le piston dusecondaire.

PA =.L1=~ pa =fl=~$1 n.d12 $2 n.d22

PA = Pa ( 64.31) ~ F2 = (:~r. F 1 =25 F 1

COEFFICIENT DE COMPRESSIBILIT XeDES LIQUIDES

Eau Mercure

Xe(m2/N) 5x 10-10 3,9 X 10-11

230

64.3 quationfondamentaledel'hydrostatique

64.31nonc

La diffrencede pressionentredeuxpointsd'un liqui-

de enquilibreestgaleaupoidsd'unecolonnede ce

liquide, de section unit, ayantpour hauteurla diff-

rencede profondeursparantces deuxpoints.

P A-PB =p.g.(hA-hB) l':.p=p.g.l':.h

PA,PB,~penpascals(Pa),

p: massevolumiqueduliquide(kg/m3).

g: acclrationdelapesanteur(9,81m/s2),

hA,hB'~h :diffrencedehauteur(m),

REMARQUE:

Si PB estunepressionambiantePambetPA, unepression

mesure,onpose:

. PA=pressionabsolueenA,

. ~P=PA- Pamb=Pelt:pressioneffective,

64.32 ApplicationsimmdiatesEXEMPLE1:

Ontrouveraci-contrelecalculdespressionsstatiquesdansunecanalisation,

Gnralement,danslescircuitshydrauliquesdesmachines,les

faiblesvariationsde hauteur,engendrentdesvaria-

tionsdepressionssouventngligeables.

EXEMPLE2:

Lasurfacelibred'unliquideaureposesttoujoursplaneethori-zontale,

Lapressionestconstantedanstoutplanhorizontalsitul'int-

rieurduliquide(surfaceisobare),

(Appliquerl'quationfondamentaleentredeuxpointsdelasur-

facehorizontale,)

EXEMPLE3:

Lasurtacedesparationdedeuxliquidesnonmisciblesau

reposestplaneethorizontale,

(Lesmassesvolumiquesp diffrentesimposent~h=a entre

deuxpointsdelasurfacedesparation.)

DISTRIBUTION D'EAU

(Pamb) Altitudez (m)

s 25

7

4

l':.p= P- Pamb= p.g.Mavec

1

p (eau)= 1 kgl dm3= 103kg/m3

g =9,81 mis 2

D'o:

PA-Pamb= 103X9,81 X(25-1)=2,35

Pa- Pamb= 103X 9,81 x (25- 4) =2,06

PC-Pamb= 103X9,81 X(25-7)=1,77

REMARQUE:

Entre A et B, l':.z=3 m

et PA-pa = 103X9,81 X (3)=2,94 x105pa=O,29bar

(ngligeable)

x 105pa =2,35 bar

x 105pa =2,06 bar

x 1Q5pa= 1,77 bar

SURFACEDE NIVEAU

LIQUIDESNON MISCIBLES

PA- pa = 0

}p*O; g*O =>l':.h= 0

P a - P A = P1 . g.hPa-PA =p2.g.h

P1*P2=>h=0

64.33 Vasescommunicants

Onutiliseleprincipedesvasescommunicantspourreprer,

grceuntubetransparentreliunecuve,lahauteurdeliqui-

decontenudanscettecuve.Eneffet,dansunmmeliquide,les

surfacessoumiseslammepression,sontdanslemmeplan

horizontal(64.32)

64.34 valuationd'unepressionenhauteurdeliquide

. Considronsunrservoirfermcontenantunliquide.Celui-ciestsoumissursasurfacelibreunepressionambiantePamb'Relionscerservoiruntubedontl'autreextrmitest l'air

libre.

Lahauteurdeliquideaudessusdelasurfacelibre,dansletube,

permetd'valuerlapressionquirgnedanslevolumelibredurservoir.

P amb- Palm=P .g.hOnpose:

P amb- P atm=P e : pressioneffective

EXEMPLE:

Lacuvecontientduvin(densit0,99)etonrelveh=0,6m.

P amb- Patm=Pe =p .g.havec p =990kg/m3

g =9,81m/s2

h =0,60m

Soit,unepressioneffective:

Pe =5830Pa soi!0,058bar

. Retournonsuntubepleindeliquidesursabche.Leliquidedescenddansletubeencrantunvideabsoluetsestabilisela

hauteurh.EntreAet8,onpeutcrire:

PB-O=p.g.h~h =~= Patmp.g p.g

RSULTATS:

Pression

atmosphriquenormale

Hauteur

d'eau

(p =103kgtm3)

Patm=1,013X 105Pa :::> h =10,33m

231

VASES COMMUNICANTS

vent

Patm=Pamb

A

Tube transparent

Lecturedu

~ -t> niveaudansB la cuve

PRESSION EN HAUTEUR DE LIQUIDE

Pamb

1-----

chelleoblique(plusdtaille)

Tube

Bche

~.c::

xB

Hauteur

demercure

(p=13,6x103kgtm3)

:::> h =76cm

Ipatm 1

Il3Jromtrel

Hauteur

d'alcool

(p =0,8x 103kgt m3)

:::> h =12,9m

232

64.4 ThormedePascalDansunfluideincompressibleaurepos,foutevariationdepression

enunpointAengendrelammevariationdepressionentouspoints8dufluide,

APPLICATION:

Soitlesystmeconstituparlematrecylindreetlescylindresdefreind'unvhiculeautomobile,Descanalisationslesrelientetun

rservoirassureunremplissageexemptdepochesd'air,

. LeprincipeMastervacpermetd'obtenirunfreinageassist:un

effortmodrsurla pdaledefreinsetraduitparuneffortplus

importantsurlepistondumatrecylindre,

. Lematrecylindretandempermetdesparerlesystmedefrei-nageendeuxcircuitsindpendants(obligatoireenFrancedepuis

juillet1976), Encasd'incidentsurl'undescircuits,l'autreresteactif,

. L'applicationd'uneffortsupplmentaireM surlapdaledefrein

engendreuneaugmentation!1PAdelapressionauxsortiesA, etAz'

. Il enrsultedesvariationsdepression!1PBauxpoints8" 8z,

83et84prochesdescylindresdefreins,*

11 9 5

CIRCUIT DE FREINAGE D'UNE AUTOMOBILE

1 3

PRINCIPE DE PASCAL

Effortsurlapdale Variationdepression!1PAenA1etA2

tVariationdepression!1Psen81,82,83,84

PrincipedePascal!1PA=!1.P8

Cylindredefreinarrire:F2=!1.P8.S2

~ICylindredefreinavant:F1=!1.P8,S1

Effortsdeserrage

.Voircalcul64,2,

2 8

81

LGENDE

1 - Mastervac(assistance)2 - Matrecylindretandem3 - Rservoir5 - Flexible

6 - trierdefreindisque(avant)8 - Canalisationrigide9 - Correcteurd'assiette

10 - Cbledefreinmain11 - Cylindredefreintambour

Reproductionautorise:dessinBENDIX,

64.5 Thormed'Archimde

Toutcorpsplongdansunliquidereoitdeceliquideunepousse

hydrostatiquedebasenhaut,galeaupoidsduvolumedeliquidedplac.

Cettepoussenedpenddoncpasdelanaturede(5).

IlF;Il=p.g.v

P :massevolumiqueduliquide(kg/m3).

g :acclrationdelapesanteur(m/s2)

V: volumeduliquidedplac(m3).

APPLICATION:

Soituncorps(51)depoidsfi;;flottantsurunliquide(L)

Il reoitdeceliquide,desforces1;.Cesmmesforces1;agissentsurlaforme(5') deliquidequioccuperaitlaplacede

(5)ensonabsence.

QUILIBREDE(S') :

Cetteportiondeliquideestsoumise:

. sonpoidsG[~}(G= centredegravitde(5')),

. l'actionduresteduliquide:forcesfi perpendiculairesauxsurfaces.tantenquilibre sousdeuxforces",laforme(5')reoitdoncduresteduliquide,uneactionmcaniquegaleet

opposesonpoids.

64.51 Densimtre(ouaromtre)

D'l ' - Masseducorpsdedensitinconnueensle -

M dA

1 d, .40asseumemevoume eaupurea

REMARQUE:

Lamassevolumiquedel'eaupure4Cvalant

Peau= 1kg/dm3, onpeutaussinoter:

., Massevolumiqueducorps(kg/m3)Denslle=

1kg/m3

Ladensitestunnombresansdimension:elles'exprimedoncsansunit.

REMARQUE:

Lamesuredeladensitd'unliquidepeuts'effectuerl'aided'un

densimtre(ouaromtre).Cetinstrumentestunflotteurlest

dontlatigegradues'enfonceplusoumoinsselonladensitdu

liquidedanslequelil estplong.

233

THORME D'ARCHIMDE

~I

R(amb) 'f

1 Pamb 1

Forme (8')

POLlsse=1hydrostatique1 =

11FtIl

DENSIMTRE OU AROMTRE

chellegradue

~I

:c:

Grenaillede plomb(lest)

Liquidede densitinfrieure

celle de ('eau

Corps flottant(S)

/

Liquide (L)

1 Pousse hydrostatique1

Centrede gravitde (8')

Fe: ~sultantedes fjsur (S)ou (S')

Pousse

hydrostatique

1 -= -.t::

Liquide, de densit

suprieurecelle de ('eau

234

64.52 Flotteurdemcanisme

ANALYSE:

Pourlachassed'eauconsidre,lesystmedefermetured'arri-

ved'eauaurservoirestralispourl'essentield'unflotteur2

enpolystyrneexpans,visssuruntubedeliaison3enPVC.

Cetubecoulisse,grce unjeuradialconsquent(3 mm),

le longducorps1 enentranantle levier4 defermeturede

l'orificedemiselapressionatmosphrique.

Enrglantlapositionduflotteur2,surletube3,onagitsurlahauteurd'eaumaximaledanslerservoir.

APPLICATION:

. Donnesethypothses:

Letube3peuttremodlisparuncylindre:

0 d=30mm;0 D=50mm;H=200mm.

Leflotteur2corresponduncylindre:

0 d'=50mm;0 D'=70mm;H'=50mm.

L'ensembleaunemassede120grammes.

Envissantleflotteurdefaon cequesafacesuprieure

affleurecelleducylindre3,onconstatequel'eaudanslerser-

voirs'arrte mi-hauteurdecepolystyrnelorsquecessele

remplissage.

Calculerl'actionduflotteursurl'axedulevier4.

. Solution:Il suffitd'appliquerlethormed'Archimdelorsquecessele

remplissage.

Volumed'eaudplac:

V=JI(D2-d2).(H-H') +JI(D'2_d'2)./i.4 2 4 2

Enremplaantparlesvaleursrespectives,ontrouve:

V'"2,67x 105mm3soit V'"0,267dm3.

Lepoidsduvolumed'eaudplacestdonc:

P =M. 9 =p. V.9avecP =1kg/dm3et9 =9,81m/s2

D'ol'effortexercsurlelevier4 :

F =P- PE= 2,62-1,2 soit F", 1,4N.

FLOTTEUR DE MCANISME DE CHASSE D'EAUSANITAIRE

Pamb: voir nota prcdent (rsultante nulle)Rservoir

Eau

Corps 1

-

Flotteur2

Tube filet3

~J::

0d00 =0 d'00'

J::I ~J::

PE: poidsde l'ensembleflotteur(PE=m.g)

65235

Cinmatiquedesfluidesincompressibles

65.1 Descriptiond'uncoulement

Eninjectantdanslefluidedesproduitscolorsdedensitsvoisines,

onpeutvisualiserlesmouvementsdesparticuleslmentaires.

. Trajectoire:Courbedcriteparuneparticuleaucoursdutemps.Levecteur-

vitesseesttangentcettetrajectoire..Lignedecourant:Courbetangenteauxvecteurs-vitessesdesparticulesdefluide.Elle

donneuneimagedesdirectionsdesvecteurs-vitessesuninstantdonn.

. coulementpermanent:

Lesparticulessituessurunetrajectoireparticulire,continuentde

dcrirecettetrajectoireaucoursdutemps.Ellespassenttoutesla

mmevitesseenunpointparticulier.Lestrajectoiresseconfondent

alorsavecleslignesdecourant..coulementperturb:Lesparticuleschangentdetrajectoireaucoursdutemps.Lavitesse

depassageenunpointvarie.Lestrajectoiressedistinguentalorsdes

lignesdecourant.

. coulementlaminaire:

Lesparticulessuiventdestrajectoiressensiblementparalllesaux

paroisdelacanalisation.LenombredeReynolds(65.3)permetdemettrecetcoulementenvidence.

. coulementturbulent:

Lesparticulessuiventdestrajectoireserratiquesparrapportaux

parois:onditqu'ilexistedesturbulences.LenombredeReynolds

(65.3)lemetenvidence.

.coulementintermittent:Ilcesseetreprenddetempsautre.

.coulementfluide:Lefrottementestngligeableentre:

-les particules,

- particulesetparois.

Dansunesectiondroitedelacanalisation,touteslesparticulesont

unemmevitesse(ouclritCenmis).

.coulementvisqueux:Lefrottementnepeuttrengligentre:

- lesparticules,- particulesetparois.Dansunesectiondroitedelacanalisation,lavitessedesparticules

n'estplusuniforme.

DIVERS TYPES D'COULEMENTS

Lignes de courant

coulementturbulent coulementlaminaire

coulemenlfluide(eau dans unecanalisation lisse)

coulemenlvisqueux(coule d'unematireplastique)

236

65.2 Viscosit

65.21ViscositdynamiqueIL

L'expriencedeCouettepermetdeladterminer:

. Entredeuxcylindrescoaxiauxderayonsvoisins,onplaceunfluideetl'onentranelecylindreextrieurenrotation.

. Onmesureuncouplesurlecylindreintrieurquisetrouve,

parconsquent,soumisaufrottementdufluide.

. Commeeestfaibledevantr,onpeutschmatiserl'expriencepardeuxplans(Ci) et(C2)desurfaceS = 27Tr.h,distantsdee,avec(Ci) sedplaant C = UJ. r(m/s).

. Sur(C2)apparatdoncuneforceFparallleceplan,dueauxfrottementsdanslefluide.

. TantqueUJ resteinfrieurunevaleurcritique,onrelvealorsunerelationentreFetlesdiversparamtres:

S.CF=P-'e

F :forcetangentielle(N).fL :viscositdynamique(Pa.s).S :surfacemouille(m2).

C :cl,ritouvitesserelative(mis).e :distanceentrelessurfaces(m).

Ceteffet,dlaviscosit,estmisprofitdanslescoupleurset

convertisseursdecouples.

65.22 Viscositcinmatiquev

Ellesedduitdelaviscositdynamiqueetdelamassevolu-

miquedufluideparlarelation:

P-li =-

P

v :viscositcinmatique(m2/s).

fL :viscositdynamique(Pa.s).

p :massevolumiquedufluide(kg/m3).

EXPRIENCE DE COUETTE

C2

-C

C'1 Mise en rotation

C'2

i.. r (mis)1 :.

pj(fluideIC'2)

COUPLEUR DE COUPLE

Fluideentranpar lespalesmotrices

Fluideentranant

lespalesrceptrices

Arbremoteur

Arbre

rcepteur

Produit(massevolumique)20Gsous1bar P-(Pa.s) 11(m2/s)

Eau(1kg/dm3) 10-3 10-6

Huiledegraissage(0,9kg/dm3)deviscositmoyenne 0,270,35 1,1x 10-3 3,9 X 10-4

Huiledegraissage(0,9kg/dm3)deviscositfluide 0,085 9,5x 10-5

65.3 NombredeReynoldsfilCenombre,sansdimension,permetdeprvoirletyped'coulementdansuneconduite.

fJL=C.1Lv

fR,: nombredeReynolds(sansdimension).

C :clrit(vitesse)dufluidedanslaconduite(mis).

d : diamtredelaconduite(m).

v : viscositcinmatiquefluide(m2/s).

8ld2. C =d' 2. C'

donc:c=C(~r =CX22

C' = 40 mis

238

66 Dynamiquedesfluidesincompressibles

66.1 Thormed'EuleroudesquantitsdemouvementCethormetablitunerelationentreleslmentscinmatiques

d'unfluideetleseffortsquiluisontappliqus.

Lasommevectorielledesforcesappliques untrononde

fluideencoulementpermanentestgaleauproduitdudbit

massiqueparladiffrencevectorielledesvitessesdufluideen

avaletenamontdecetronon.

~ ~ ~

1:Fexl= qm(Cz - C1)

~

2;Fext: sommevectorielledesforcesextrieuresappliquesuntronondefluideisol(N).

qm :dbitmassiquedufluide(kg/s).

c; :vitessevectorielledufluidel'aval(m/s).~ :vitessevectorielledufluidel'amont(m/s)REMARQUE:

Lesparticulesdefluide(assimilablesdepetitessphresindpendantes,enmouvement)sontextrmementmobiles:unefforttrspetitsuffitlesdplacer.Parconsquent,tantquelefluiden'estpasemprisonndansunecanalisationparexemple,il rgneauseindufluideunepressiongale lapressionambianteextrieurel'coulement.Leseffortsduscettepressionambiantes'annulentmutuellement.

EXEMPLE(jetd'eausuruneplaque):

. Enappliquantlethormed'Eulerauvolumedefluidesitu

entrelasortiedelabuseetlaplaque:

F= qm(c;-c;),. Enprojectionsurl'axe(0,y), onobtient:F.y = Fy= - qm.C1.COS= - p.qv.C1.COS,

CommeC1=qv/s: Fy=(-p.q3.cOS)/S,

L'actionmutuelledel'eausurlaplaques'endduit:

F 'y= (+p. q3.cos )/5 .. Pourla positiond'quilibredela plaque,la sommedes

momentsparrapport(0,z) estnulle:

F'y.h/cos= Mg.t/2.sin .

. D'o: sin=(p.q3.h)/(S.Mg..e/2)ontrouve: =4,87.

THORME D'EULER

Masse de fluide

qui pntredansABCD pendantdt (s)

= qm .dt (kg)

Masse de fluide

qui sort deABCDpendantdt (s)= qm .dt (kg)

Veinefluide

x

yVolumeABCDisol

Plaquedflectrice

En projections,on obtient:

surx: x = qm (C2. cos - C1)~r y: y =qm.C2 .sin R (x, y) : rsultantede la plaquedflectricesur lefluide

JET D'EAU SUR UNE PLAQUE ARTICULE

..c:

y

Verticaleascendante

0 d = 10 mmS =1Tx 25x 10-6m2

(Volume d'eau isol de poids ngligeable.)

Plaque Eau

DA = ex p=103kg/m3e =0,6m qv=2X 10-4m3/s

MasseM= 1kg h=0,5m

Pivotparfaiten0 0 d=10

66.2 quationdeBernoulliConsidronsunemachine(pompeouturbine)quichangede

l'nergieavecunfluide.D'unefaongnrale,onpeutdireque

cettenergieseconservemmesiellesetransforme:

il V1-;2= il Ep + il Ek + il E ~+ il J1-2

. Conventiondesigneil W1-2>0: Lefluidereoitdel'nergiedelamachine;ils'agit

doncd'unepompe.

il W1-2

240

66.3 Applications

66.31 Calculd'unepompeUnepompe,situe2mau-dessusd'unbassind'alimentation,doitleverdel'eaudansunchteaud'eaudontleniveauest40m.

Elledoitdbiter30fIs grcedescanalisationsde0 d= 100mm.Onestimelespertesdecharge0,1mparmtredednivele.

Calculer.1 Lavitessedufluidedanslacanalisation.

2 Lapuissanceminimaledelapompe.

3 Lespressionsl'entreetlasortiedelapompe

Pamb= 105Pa.

HYPOTHSE:

Lesniveauxdubassind'alimentationetduchteaud'eaurestentconstants.

SOLUTION:

1 Vitessedufluidedanslecircuitqv

qv= S.C(65.5)::::} C= S'

qv=30f/s =30X1Q-3m3/s

}::::} C=3,82m/s.

S = 1TX502x 10-6m2

REMARQUE:

9~=3,82x :0-1 =3,82x 105 (65.3).10-

L'coulementestturbulentdansleconduit.

2 Puissancedela pompe

Appliquerl'quationdeBernoulli(66.2)entrelespoints0et3 :

P3- Po 1 2 2WO-3= P +2(C3-CO)+g(Z3-Z0)+JO-3

P3= Po = Pamb;

C3= Co= 0 (fluideimmobilehorsduconduit);

J 0-3=0,1x 40=4md'eaus'ajoutant Z3- zo.

Ilvient:WO-3=9,81x (40+4)=432J/kg.

Lapuissancedelapompesecalculepar:

p= WO-3.qmo

qm=p.qv

p= 432x 30=1,295X 104W= 12,95kW.

CALCUL D'UNE POMPE

Chteaud'eau

EcoCf)

Pompe Ngligeable

Bassind'alimentation

EC\J

3Pressions

. Pressionl'entredelapompe

Entrelespoints0et1,iln'yapasd'changedetravail:

P1- Po 1 2 20= P +2(C1-CO)+g(Z1-Z0)+JO-1'

P1 =valeurcherche.P =103kg/m3(eau).Po =Pamb=105(pressionambiante)C1 =3,82mIs.Co =0 danslebassind'alimentation.z1-zo=2m.JO-1=0,1x 2=0,2md'eau.

Onobtient: P1= 0,711X 105Pa=0,7bar.

Unepression,plusfaiblel'entredelapompeexpliquelamontedel'eau.

. Pressionlasortiedelapompe

Entrelespoints2et3,il n'yapasd'changedetravail:

P3- P2 1 2 20 = - + _

2 (C3- C2)+g(z3- Z2)+ J 23.P -

P3 =105Padanslechteaud'eau.C3=0 surlasurfacelibre.C2=3,82mIs.Z3- Z2=38m et h3 =3,8m.

Onobtient: P2=5,03X 106Pa= 50,3bar.

66.32 Calculd'uneturbine

Orlveutprdtermineruneinstallationhydrauliquede1GWsitue

entredeuxplansd'eau.Lesaltitudesdiffrentde420m.Onpeutesti-

merquelespertesdechargecorrespondent1/7del'nergiedis-

ponible.Lestroiscanalisationsaurontundiamtred=3m.

10Calculerl'nergiedisponiblesurl'installationdeturbinage.

2Pouruncoulementlaminaire,combienfaudrait-ilprvoirdeconduitesenparallle?

3 Enlimitanttroisconduitesetenconsidrantquelespertesdechargeseproduisentessentiellementavantlesturbines,calculerla

pressionl'entredesturbines.

SOLUTION:

10 nergiedisponible

AppliquonslethormedeBernoullientrelespoints1et4:

P4-P1 1 2 2WH =-+-(C4 -C1 )+g(Z4-Z1)

P 2

=g(ze Z1)carP4=P1etC4=C1=0

APPLICATIONNUMRIQUE:

g= 9,81m/s2;Z4- Z1=- 420: W1-4=- 4120 J/kg

(ngatifcarlefluidecdedutravail-66,2).

Lespertesdecharges'lventdonc :

J=4120/7=589J/kg

L'installationdisposed'unenergieutile:

W1-4u=4120- 589=3531J/kg

2Nombredeconduitespouruncoulementlaminaire

Ilfautque9l 01=~ .~v 5 n.v d

Onconnaitlapuissancedel'installation:

P =WH u.qm => qm = ~WHu

AvecP=109W et W1-4u=3531J/kg:

qm= 2,83X 105kg/s

L'ensembledesnconduitesdoitavoirundbitvolume:

q'v= n.qv= 283m3/sUncoulementlaminairencessite:

~.~n> 4.q'vn.v n.d n.v.dx2300

241

CALCUL D'UNE TURBINE

z(m)

Z111

Z2 2

Z3[Z4

q~=283m3/s\-6 2/ \v =10 m Sf=>n>52000,,~d =3m

3Pression l'entredesturbines

Avectroisconduites,l'coulementseraturbulent.

Vitessedel'eaudansuneconduite:

qv=S.C=>C=qv/S(65.5)

qv =283/3=94,4m3/s \ =>C=1335mis5 =n x 1,52=7m2f '

AppliquerlethormedeBernoullientrelespoints1 et3 (pas

d'change):

P3-P1 1 2 20 = - t - (C3 -C1 )+g(Z3-Z1)tJ1-3

P 2

P1 =1,013x105Pa

Ca=13,35mis

C1=0

D'o:

g =9,81mis2

za- Z2=- 420m

ha =589J/kg

P3=3,54x 106Pa =35,4bar

242

67 PertesdechargesEllesrsultentd'unetransformationd'unepartiedel'nergieenchaleur,nonrcuprable.Ondistinguelespertesdechargesrguliresetsingulires.

67.1 PertesdechargesrguliresEllesseproduisentlelongdesconduitsrectilignesparfrottementdu

fluidesurdesparoisplusoumoinsrugueuses.

Ellesvarientselonletyped'coulement.

67.2 PertesdechargessinguliresEllessesituentdanscertainessectionsprsentantdesvariationsbrutalesdanslaconduitedufluide.

PERTES DECHARGES RGULIRES

2

'J=C2~L t::::: ~~: : : : : :---- L{m) ~

1 lL~r- '"c;I~

NOTATIONS ET UNITS:J enJ/kg; CI etC2enmis; aen ; tR.:nombre.deReynolds( 65.3)

Divergent(diffuseur) 1 largissementbrusque 1 Arrived'uneconduite1 Rtrcissementprogressif

Ra:;;; 10 : J = 0

a> 70 : J = 0,4. C12

Variationlinaireentre10et70

Rtrcissementbrusque

C 1 cr:section1,S1 contracte

J =(~-1r.ctJ ~ a/ 82 lorsqueg{,)'

~~Fr-I~C1,S1 C2,S2

J =(1- 81)2 .fL82 2 J =0,54. C12Entred'uneconduite

~.~.....

. S-c, ~J=ci

2

Changementde direction

J=O

0~ ~[ (d )

3,5

]

aO 2J= 0,13+1,85 - .- .C1

2r 180 J= (sin 2Q.+ sin4Q.).c/

2 2 2

~C S C2,S21, 1

J "" (~-1r.sina.cisia :;;;900

J =(1--1r. cl si a>90C 3

o C= 0,63+0,37( S2/S1)

~1

C2

J=ci4

Soupape

4TrJ= C12

coulement coulementlaminaire turbulent

9t 105( 65.1)

=.R =1

81 (100 9l ),25

Pour9b 105, il existe des abaques.

681

Transfertdechaleur

68.1 Principedel'quilibrethermique l'quilibre,deuxcorpsencontactthermique(quiontdonctoutespossibilitsd'changerdelachaleur),atteignentunemmetemprature.

L'nergieexistantsousformedechaleur,s'exprimeenjoules(J).

Unitsanciennes:lacalorie(1cal= 4,18J),

lafrigorie(1frigorie= - 1cal),lathermie(1thermie= 4180kJ),

Ceprincipeestmisenpratiqueaveclesthermomtres.

68.2 chellesdetempratures68.21 chellesthermomtriquesEllespermettentdecomparerdestempraturessanstoutefoispouvoirlesmesurer:grandeursreprables,Ellestablissentunecorrespondanceentreunphnomnephysiquemesurablexquivolueaveclatemprature8selonuneloidelaformex= a8+b,xs'appellealorsgrandeurthermomtrique:. Volumeapparentd'unecertainemassedeliquidedansuntubedeverre(alcool,mercure..,J,. Pressiond'unemassegazeusevoluantdansunvolumeconstant.

Oncalculelesconstantesaetbenchoisissantdeuxtempra-turesconventionnelles:

Pressionatmosphrique

normale

Glacefondante aC

100C 212oF

aoR

80OR

32oF

Vapeurd'eaubouillante

68.22 chellethermodynamique*. Ellepermetdecompareretmesurerdestempratures,

. ElledfinitunetempratureabsolueTproportionnelle

lapression,volumeconstant,d'ungazparfait.

. Ellesedduitdel'chelleCelsiusparlarelation:

T= (1+273

Degrkelvin(K) + t DegrCelsius(OC)*Ouabsolue,

243

GRANDEURS REPRABLESGRANDEURS MESURABLES

Paul1,80 m

Claude1,60m

Jacques1,40m

E'

I

' EE 0 0

I ciE

Latailledespersonnagesdonton,nevoitpaslespiedsestune

grandeurreprablepartirdusommetdelabalustrade.

Cetterfrenceestarbitraireau mmetitrequele 0 e des

tempratures,

Onpeutcomparer:

PaulestplusgrandqueClaude,etc,

Onnepeutcalculer:

0,80= 2x 0,40:::}PauldeuxfoisplusgrandqueJacquesestfaux!

partirdusol,rfrencecommuneauxtroispersonnages(comme

le0 K otouslesgazontunenergienulle),latailledevientune

grandeurmesurable.Onpeutcompareretmesurer:i

Paulest~:~ foisplusgrandqueClaude...

DEVINETTE

Quelestledoubledelatemprature20C?

'Jo m JUop)saJo QGapalqnopal

'>J98= >J86Gx G

'>J86G= Jo QGJUOO

'senlosqBsam)BJ?dwe)sapJnsanbslnJIBJsepJenpejja)nedauua

:NOIlnlOS

244

68.3 Capacit thermiquemassique *C

Lacapacitthermiquemassiqueestlaquantitdechaleurncessaire

pourleverde1C(ou1K),latempraturede1kgd'uncorps,sansmodificationdesanature.

Parexemple,chaufferdumtaloudel'eaumaisnepasfairefondre

delaglace.

~a= m.C.~O

~Q :quantitdechaleurchange(J ).

m :masseducorps(kg).

e :capacitthermiquemassique(JI kg.K).

~() :variationdetemprature(OCouK).

REMARQUES:

. e dpenddelatemprature;toutefois,onpeututi1iserdesvaleursmoyennes(voirtableau).

. Pourungaz,ondistingue:ep = capacitthermiquemassiquepressionconstante,

ev = capacitthermiquemassiquevolumeconstant.

(Pour1kgou1kmole= 1000molculesdegaz.)

68.4 CapacitthermiquemassiquedefusionCfLacapacitthermiquemassiquedefusionestlaquantitdechaleur

ncessairepourfairepasser1kgd'uncorpsdonndel'tatsolide

l'tatliquide.

. Cettetransformationestisotherme(tempratureconstante).

. Lescorpsaugmententdevolumeenfondantexceptelaglace,lafonte,l'argentetlebismuth.,

68.5 CapacitthermiquemassiquedevaporisationCvLacapacitthermiquemassiquedevaporisationestlaquantitdechaleurncessairepourfairepasser1kgd'uncorps,del'tatliquidel'tatgazeux(envapeursaturante).

. Cettetransformationestisotherme(tempratureconstante).

. Quelquescorpspassentdirectementdel'taLsolide l'tatgazeux(exemple:naphtaline);ilssubissentalorsunesublimation.

* L'expression"chaleurmassique",d'emploicourant,estdconseille.

APPLICATION:

Unvhiculedemassem= 950kgroule90km/h.Ilfreinependant

25s jusqu'l'arrt.

Enadmettantque:

. 213del'nergiedissipechauffelesfreinstandisquelereste

s'vacueparventilation,

. lesdisquesdefreinspeuventtreassimilsthermiquementdans

leurensembleunblocde1,3kgdefonte.

Calculerl'chauffementdesfreins.

SOLUTION:

Appliquerlethormedel'nergiecintique(chapitre62)entre

ledbutetlafindefreinage:

1 2 1 (90x 103

)2

~Ek= "2m.v ="2 x 950x 3600 =297kJ.

nergieconserveparlesfreins:2

M=297X3=198kJ

M=m.e.Ml

d'o:Ml = Mm.e

e =530J/(kg.K)(tableau).

. 198x103 0Ontrouve.Ml = 1,3x 530=287 C.

CAPACITS THERMIQUES (valeursmoyennes)

Corps C(J!kg.K) C,(J/kg) Cv(J/kg)68.3 68.4 68.5Acier 470 2x 105

Aluminium 905 3,8x 105

Cuivre 394 1,7x 105

Eau(glace) 2090 3,3x 105

Eau(liquide) 4180 2,2x 106

Fonte 530 1,3x 105

Laiton 385 1,7X105

Zinc 380 1,2x 105

68.6 Transfert par conductionLesmatriauxontlapropritdetransmettrelachaleurd'unpointunautredeleurmatire.Ondfinituncoefficientdeconductivitthermiqueparlarelation:

p= ~ =.s.~,i f e

P :puissancechange(W).Il Q:quantitdechaleurchangeQ(J).Il t :duredel'change(s). :coefficientdeconductivitthermique(W.m-1.K-1).

5 :surfaced'change(m2).Mi :diffrencedetemprature(DCouK).

e :paisseurdeparoi(m).

. Cetransferts'effectuedelazonechaudeverslazonefroide

. Lapuissancedetransfertestdirectementproportionnelle.

Onpeutainsidistinguerlesconducteursthermiquesetlesiso-

lants(voirtableau).

68.7 Transfertparconvection. L'chauffementlocald'unfluidemodifiesamassevolumiquecetendroit.Celaengendredescourantsdeconvectionprovo-

quantundplacementdelazonechaude,doncuntransportdechaleur.

. Ondfinituncoefficientdeconvectionhc'

,iQp= - =hc.S.,i8,if

h ' . W - 2 K-1cSexprimeen .m . .. Laconvectionseproduitaussidanslessolides.

245

RADIATEUR EN FONTE

Eau 70 DC

'~; d'.pa;"",",!? 2,5 mmPice 20 DC

20 lments

Calcul de la puissancedissipable :

P = 4S,S x O,S x O,OS x 2 x 20 x ~ -32,5.10 "

=2 500 kW .

DOUBLES VITRAGES

Unpavillonchauff20DCestformde120m2demursenbton

ayant25cmd'paisseuretde25m2desurfacevitre.

Enadmettantquel'ensembledesperditionsdechaleurs'effectuepar

cessurfaces,calculerl'conomieraliseenprvoyantdesdoubles

vitrages,lorsqu'ilfait0DCl'extrieur.

APPLICATION:

Puissanceperdueavecdesfentressimples:

P1= 2,3x 120x 20+ 5,8x 25x 20= 8420W.

Puissanceperdueavecdesdoublesvitrages:

P2 = 2,3 x 120x 20 +2,9x 25 x 20 = 6970W.

Soitungainde20,8%.

Matriau (cm)2 12 25

Bton hc= 3,4 hc = 2,3

Bois hc = 3,8 hc = 1,7

Briquerouge hc = 2,9 hc = 2

Fentresimplevitrage(e= 4mm) : hc = 5,8

Fentredoublevitrage(4- 20---:4) : hc = 2,9

Bonsconducteurs Cuivre Aluminium

thermiques

(w.m-1.K-1) 372 209

Conductersthermiques Fonte Aciermoul

moyens

(W.m-1.K-1) 48,8 46,5

Mauvaisconducteurs Caoutchouc Bois ligethermiques(isolants)

(W.m-1.K-1) 0,25 0,15 0,04

t : longueurchaud(mm).ta :longueurinitiale(mm)*.ae :coefficientdedilatationlinique(QC-1ouK-1).!::..e : lvationdetemprature(QCouK).

Unetempraturehomognen'entranepasdecontraintesther-miquescontrairementunetempraturevariable l'intrieurdelapice.

Unepoutredontongnelalibredilatationsubitunecontrainte.

* Entouterigueur,eoestla longueur0 C maisl'approximationunetempratureditfrenteestsouventacceptable.

246

68.8 TransfertparrayonnementUncorps latempratureabsolueT1rayonneuncourantde

chaleurdansunmilieulatempratureabsolueT2selonuneloidelaforme:

ilQ

[(T1 )

4

(T2 )4

]p- - - h S - --- il t - r' 1 100 100P :puissancerayonne,enwatt(W).M :quantitdechaleurrayonne,enjoules(J).M :durederayonnementensecondes(s).

hr :constantederayonnementdel'metteur(W.m-2.K- 4).

S1 :surfaced'mission,enmtrecarr(m2).

T1 :tempratureducorpsmetteur(K).

T2 :tempraturedurcepteur(K).

. EXEMPLE:Laportevitred'unfourdecuisinireaunesurfacede20dm2

Quellepuissancedissipe-t-elledansunepice 20QClors-qu'elleestporte180QC?

. SOLUTION:Il suffitd'appliquerlarelationprcdente,soit:

P = 5,2x (20x 10- 2) X [(1801;0273f- (20~t3 n= 361W.

69 Contraintesthermiques

. L'chauffementd'unmatriauprovoqueunevibrationdesesatomesautourdeleurspositionsd'quilibre.Ilsubitalorsunedilatationthermique.

. Unepicedelongueurta* initiale,chauffe t:.8QCs'allongelinairementselonlaloi:

[= [0(1+O'e.ilO)

RAYONNEMENT D'UNE VITRE DE PORTE DE FOUR

..

.. Vitrechauffe 180CMilieu ambiant

20 QC(initial)

..

oE

..

oE

Porte de four /

POUTRE ENCASTRE CHAUFFE

Acier E (acier)=2 x 105MPa

ta = 100mm

20 QC,la poutren'est soumise aucune contrainteCalculer la contrainte 70 QC.

SOLUTION

FA .---- FoE-t B I1t =t - ta =ta .a!? M)

F doit raccourcir

la poutrede I1t :I~

t ~F M

u= -=E.-=E.e.eS ta

(J"=2 x 105 X 12 X 10-6 x50 = 120 MPa (N/mm2)

.

CONSTANTESDE RAYONNEMENT hr(W.m-2.K-4)

Aluminiumpoli 0,4Aluminiummat 0,3Bois 5,1Cuivre 0,23Eau 3,7Glace 3,5Verre 5,2

COEFBCIENTDEDILATATIONLINIQUEae (OCI K-l)

Acier 12X 10-6

Aluminium 23,8X 10-6

Cuivre 16,5x10-6

Fonte 10,5X 10-6

Invar(36%Ni;64%Fe) 1,5X 10-6

70 Grandeursetunits

70.1 PrincipedebaseUnegrandeurqualifiequalitativementetquantitativementunph-

nomneouuncorps.

Lesymboled'unegrandeurdoittreimprimencaractreitalique

(pench),sanspointfinalautrequeceluidelaponctuationnorma-ledutexteoils'insre.

EXEMPLES:Cp, Ek""

Lessymbolesdesunitsetdesprfixesassocisnedoiventpastre

altrs:pasdemajuscule laplacedeminuscules,delettrelatine

laplacedelettregrecqueetrciproquement.

crireparexemple

kgkm

Nepascrire

CDUK

247

NFX02-001X02-213

MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES

Facteur Prfixe Symbole

1018 exa E1015 peta P

1012 tra T109 giga G106 mga M103 kilo k102 hecto h10 dca da

10-1 dci d10-2 centi c10-3 milli m

10-6 micro10-9 nano n10-12 pico p10-15 femto 110-18 anD a

70.2 UNITS, MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES USUELS

Grandeursetsymboles UnitsS.I. Multipleset Autresunits Observationssous-multiples usuelles

Angleplan mrad tr(tour) lIr =21rrada,/3,y,e,rp,

rad(radian)rad O(degr) Ne pas crire )f..

etc. ... '(minule) Nepascrire '..."(seconde) Nepascrirese ,s, ..

Longueurt,L km

Largeurb hm 1ln=2,54cm(unitanglo-saxonne)Hauteurh dam in,", (inch) 1fi=0,3048m(unitanglo-saxonne)paisseurd,i5 m(mlre) cm fi, '(fool) NepascrireRayonr mm L'emploidel'angstrm(A)demeureinterditDiamtred m UA=10-10m)Longueurcurvilignes nm

Superlicle,aireA,(s) km21a=102m2dm2

m2(mtrecarr)cm2 a(are) L'exposantconcernel'unitetsonprfixe:

mm2 1km2=(103)2m2=106m2

VolumeV dm3

m3(mtrecube) cm3 t, L(litre) 1L=1dm3mm3 1mL=1cm3

Tempst ms d(j)(jour) 1d=24h=86400s

h(heure) 1h=60min=3600s

s (seconde) ns min(minute) 1min=60s

semaine, Nepascriremois, a (anne) Nepascrire, n '

Vitesseangulaire(J) radIs Pourunmouvementcircuaire:

(radianparseconde) (J)=drp/dt=rp'(t)

248

Grandeursetsymboles UnitsS.I. Multipleset Autresunits Observationssous-multiples usuelles

Frquencederotationn s-1 min-1 tr/min 1tr/min=2J!rad/min(secondemoinsun) tris 1tr/s=2J! radis

VitesseU,V,m,C mis km/h Nepascrire

249

70.3 crituredesnombres crire

. Pourfaciliterlalecture,onsparelesnombrespartranchesdetroischiffresdepartetd'autredusignedcimal.Cettespa-

rationnesematrialisequeparunespaceblanc.

N=7421283,012

N~7,42X 106

. Ilestconseilld'utiliserlespuissancesdedixetlesprfixesmmepourdesunitsnonS.I.:E=210000MPa=210GPa=0,210TPa

1MF=1 000000F

1 kF=1 000F.

0,0007123

7,123 X 10-4

Nepascrire

Grandeursetsymboles Units5.1. Multipleset Autresunits Observationssous-multiples usuelles

Pressionp Pa(pascal) GPa bar(bar) 1bar=105Pa=0,1MPaMPa mbar (utilisenmcaniquedesfluides)hPa 1mbar=1hPa

Contraintenormale Pa(pascal) GPa 1N/mm2=1 MPaContraintetangentielle MPa 1Pa=1N/m2

(DUdecission)l' hPa

Viscosit(dynamique)7J.J1 Pa. s mPa.s P (poise): ancienneunit(pascal-seconde) 1cP=1mPa.s

Viscositcinmatiquev m2/smtrecarr mm2/s St(stokes): ancienneunitparseconde 1cst=1mm2/s

nergieE, (W) TJ eV(lectronvolt) eV: utilisenphysiqueatomiqueTravailW,(A) J (joule) GJ etnuclaire

nergiepotentielleEp' V, fJ MJ Wh(wattheure) Employpourlescombustiblesgazeux

nergiecintiqueEk' K, T kJ kWh etl'nergielectriquemJ

PuissanceP W(watt) GW kW ch(cheval):ancienneunit1ch=736W

Tempratureabsolue K (kelvin) NepascrireouthermodynamiqueT

TempratureCelsiust, e C(degrcelsius) t=T-273,15K, 1C=1K

Coefficientdedilatation

. liniquea t K-1

. volumiquea v (kelvinpuissance-1)

Chaleur,quantitdechale1lra J (joule) MJ kJ 1J =1N.m=1kg.m2.s-2CapacitthermiqueC J/(kg .K) SouventnommimproprementCapacitmassiquec (joulepar chaleurmassique". pressionconstanteCp kilogramme. volumeconstantev etkelvin)

250

70.4 Prcisionsdesrsultats. Laplupartdesphnomnesphysiquessontchiffrsavecuneincertitudedpendantdeleurorigine(frottements,jeux...),

desappareilsdemesure,de"observateur,etc.

. L'incertitudesenotedelafaonsuivante:Valeurnumrique(unit):tincertitude(unit).

. Unevaleurnumriqueseulesous-entenduneincertitudegaleunedemieunitdudernierchiffre.

70.5 Exemplesd'crituresdessymboles

crire Nepascrire

12,350(degrd'angle)17degrs11minutes2secondes117degr~

17011'2"

10heures25minutes

10h25min8 s

70.6 Signesdloprations. Lesignenormaldelamultiplicationentredesnombresestx. Toutefois,onpeutregroupercertainstermesd'unproduit:

a=2,3.102;b=2,3. 102X 1,5.103

. Lesignenormaldelamultiplicationentregrandeursestlepoint(ventuellementomis):

a.b=ab;(4c+d).e=(4c+die

70.7 quationsauxdimensions. Lesystmed'unit8.1.tantcohrent,onasouventintrtvrifierl'homognitd'unrsultatlittrall'aided'unequationauxdimensions.

. Enmcanique,onutiliseessentiellementtroisgrandeursdebase:longueur,masseettempsdontlesdimensionssont

respectivementindiquesparL,Met T.

. Lecalculdimensionnelsuitlesrglesdel'algbre.

EXEMPLE:

Flched'unepoutref=(Ft 3)/ (48E.I) (voirchapitre52).

dimf-dimF.dim1'3= M.L.r2.L3 =LdimE.diml Mc1 r2.L4

CONCLUSION:

Laflcheestbienhomogneunelongueur.

* Le signe" /\ " est tolr, avec rserves.

CRITUREDESRSULTATS

L=52,31mm:t0,05mmL=(52,31:t0,05)mmL=52,310,05mmprsL=52,31signifie:52,305

/'

Elmentsvectoriels

71.1 Bipoint(A,B) ouABLe bipoint(A,B)est l'ensembleordonnde deuxpointsA

(origine)etB (extrmit).

Lanormedubipointcorrespond ladistancesparantcesdeux

points;on lanoted (AB).

Onpeutdfi