To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

1

Chuyeân ñeà 3 :

HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ - VOÂ TỈ I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån

1. Heä p h öông trình baäc nh aát h ai aån

a. Daïng : 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = + = (1)

Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...

b. Giaûi vaø bieän luaän ph öông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :

• 122122

11 bababa

baD −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)

• 122122

11 bcbcbc

bcDx −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa x)

• 122122

11 cacaca

caDy −== (goïi laø ñònh thöùc cuûa y)

Böôùc 2: Bieän luaän

• Neáu 0≠D thì heä coù nghieäm duy nhaát

=

=

D

Dy

D

Dx

y

x

• Neáu D = 0 vaø 0≠xD hoaëc 0≠yD thì heä voâ nghieäm

• Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm

YÙ ngh óa h ình h oïc: Giaû söû (d1) va ø(d2) laø hai ñöôøng thaúng laàn löôïc coù phöông trình : (d1) : a1x + b1y = c1 vaø (d2): a2x + b2y = c2

Khi ñoù:

1. Heä (I) coù nghieäm duy nhaát ⇔ (d1) vaø (d2) caét nhau 2. Heä (I) voâ nghieäm ⇔ (d1) vaø (d2) song song vôùi nhau 3. Heä (I) coù voâ soá nghieäm ⇔ (d1) vaø (d2) truøng nhau

AÙp duïng:

Ví duï1: Giaûi heä phöông trình:

=+−=−234

925

yx

yx

Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình :

=++=+

2

1

myx

mymx

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

2

Ví duï 3: Cho heä phöông trình :

=+=+1

32

myx

ymx

Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thoûa x >1 vaø y > 0

( 2 m 0)− < <

Ví duï 4: Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa tham soá m heä phöông trình 4 2mx y m

x my m

+ = + + = coù nghieäm duy nhaát

(x;y) vôùi x, y laø caùc soá nguyeân. (m 1 m 3= − ∨ = − )

Ví duï 5: Cho heä phöông trình : 2

2

x m y m 1

m x y 3 m

+ = + + = −

Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) sao cho S x y= + ñaït

giaù trò lôùn nhaát.

Ví duï 6: ( Döï bò 2007):

II. Heä phöông trình baäc hai hai aån: 1. Heä goàm moät ph öông trình baäc nhaát vaø moät p h öông trình baäc h ai h ai aån: Caùch giaûi: Ph öông ph aùp th öôøng duøng laø söû duïng p h öông p h aùp th eá + Ruùt x ( h oaëc y) töø p h öông trình baäc nh aát th eá vaøo ph öông trình coøn laïi. Ví duï : Giaûi caùc heä:

a)

=−+=+

522

5222 xyyx

yx b)

2 2

x 2y 1

x 14y 1 4xy

− = + − =

Chuù yù: Kh i ruùt aån x ( h oaëc y) p h aûi ñaûm baûo ñöôïc bieåu th öùc ruùt ñöôïc laø ñôn giaûn nhaát. 2. Heä p h öông trình ñoái xöùng loaïi I vôùi h ai aån x vaø y: a.Ñònh ngh óa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.

b.Caùch giaûi:

Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi 24S P≥ ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.

Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn 24S P≥ .

Böôùc 3: Vôùi moãi caëp S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :

20X SX P− + = ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).

Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0; x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä do ñoù

heä coù nghieäm duy nhaát thì 0 0x y= .

Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau :

1)

=++=++2

422

yxxy

yxyx 2)

2 2

7

3 3 16

x y xy

x y x y

+ + = − + − − = 3)

=+=++

30

1122 xyyx

yxxy 4)

=+++=+

092)(3

1322

xyyx

yx

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

3

5) =+

=+35

3033

22

yx

xyyx 6)

=+=+20

622 xyyx

xyyx 7)

=−+=+

4

4

xyyx

yx 8)

=+=+2

3444

yx

yx

1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)

4) 10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )2 2 2 2− − − + − − − − − + 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)

7) (4;4) 8) (1 2;1 2), (1 2;1 2)− + + −

Ví duï2 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:

−=+=+

myyxx

yx

31

1

Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: x 2 y 3 5

x y m

− + + = + =

3. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II vôùi hai aån x vaø y:

a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.

b. Caùch giaûi thöôøng duøng:

• Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá. • Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .

Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) 2 2

2 2

2 3 2

2 3 2

x y y

y x x

+ = − + = − 2)

=+=+

yxyy

xxyx

32

322

2

3) 2 3 2

2 3 2

3 2

3 2

y x x x

x y y y

= − + = − +

4) 2

2

13

13

x yx

y xy

+ = + = 5)

+=

+=

2

2

2

2

23

23

y

xx

x

yy

6) 3 2

3 2

x 2x 2x 1 2y

y 2y 2y 1 2x

− + + = − + + =

III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:

a. Daïng : 2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

a x b xy c y d

a x b xy c y d

+ + = + + =

b. Caùch giaûi :

Ñaët aån phuï x

ty= hoaëc

yt

x= . Giaû söû ta choïn caùch ñaët

xt

y= .

Khi ñoù ta coù theå tieán haønh hai caùch giaûi nhö sau:

Caùch 1:

Böôùc 1: Kieåm tra xem (x, 0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?

Böôùc 2: Vôùi y≠ 0 ta ñaët x = ty. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông trình ta

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

4

khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .

Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x, y.

Caùch 2 : Khöû heä soá töï do ( khoâng chöùa x hoaëc y). Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) 2 2

2 2

3 2 11

2 5 25

x xy y

x xy y

+ + = + + = 2)

=−−=−−495

562622

22

yxyx

yxyx 3)

3 2

3 2

2 3 5

6 7

x x y

y xy

+ = + =

IV. Caùc heä phöông trình khaùc:

Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau:

a. Ñaët aån phuï:

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình :

1)

=++−+−=+−

6

322 xyyxyx

yxxy 2)

=−−=−−+

36)1()1(

1222

yyxx

yxyx

3)2 2

3 2 2 3

5

6

x y x y

x x y xy y

− + − = − − + = 4)

2

2

x 1 y(y x) 4y

(x 1)(y x 2) y

+ + + = + + − =

b. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá:

Ví duï: Giaûi heä phöông trình : 2 2

2 2

x y 10x 0x y 4x 2y 20 0 + − = + + − − =

c. Bieán ñoåi veà tích soá:

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) +=+

+=+)(322

22

yxyx

yyxx 2)

++=++=+

2

7722

33

yxyx

yyxx 3)

+=−=−12

11

3xy

yy

xx

.

4)

5 5

9 9 4 4

x y 1

x y x y

+ = + = +

; 5)

3 3

5 5 2 2

x y 1

x y x y

+ = + = +

d) Phöông phaùp ñaùnh giaù

Ví dụ: Giải caùc hệ phương trình sau:

1) 2 2

2 2

1 1x y 4

x y

1 1x y 4

x y

+ + + = + + + =

2)

3 3

2 2

x y 1

x y 1

+ = + =

; 3)

4 4

6 6

x y 1

x y 1

+ = + =

;

e. Sử dụng đạo hàm Kieán thöùc:

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

5

* Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). (do ñoù neáu toàn taïi x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì x0 ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)

* Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoaûng (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x)).

Ví dụ: Giải caùc hệ phương trình sau:

1)

3 2

3 2

x 1 2(x x y)

y 1 2(y y x)

+ = − + + = − +

; 2)

3 2

3 2

3 2

x 3x 5x 1 4y

y 3y 5y 1 4z

z 3z 5z 1 4x

− + + = − + + = − + + =

;

3)

3 2x y y y 2

3 2y z z z 2

3 2z x x x 2

= + + − = + + − = + + −

4)

3 22x 1 y y y

3 22y 1 z z z

3 22z 1 x x x

+ = + + + = + + + = + +

.

CAÙC ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 1, + + = − − + = − 2 2

1( 99)6x xy y MTCNx y y x 2, + = − − + =

2 2

4 2 2 4

5 ( 98)13

x y NTx x y y

3, + = − + =2 2

3 3

30( 93)35

x y y x BKx y

4, + = − + = +3 3

5 5 2 2

1 ( 97)x y ANx y x y

5, + + = − + + =2 2

4 4 2 2

7 ( 1 2000)21

x y xy SPx y x y

6, + + = − + + + = 2 2

11 ( 2000)3( ) 28x y xy QGx y x y

7, + = + − + =

7 1( 99)

78

x yy x xy HH

x xy y xy 8,

+ + = − + + =2 2

2 2

1( )(1 ) 5( 99)1( )(1 ) 49

x y xy NTx y x y

9, + + + = − + + + =2 2

2 2

1 1 4( 99)1 1 4

x y x y ANx y x y

10, + + = − + + = 2

( 2)(2 ) 9 ( 2001)4 6x x x y ANx x y

11, + + + + + + + + + = − + + + − + + + + − =

2 2

2 2

1 1 18( 99)1 1 2

x x y x y x y y ANx x y x y x y y

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

6

12, + + = − + + − = 2

(3 2 )( 1) 12( 97)2 4 8 0x x y x BCVTx y x 13, + = − + =

2 2

2 2 2

6 ( 1 2000)1 5y xy x SP

x y x

14, + = − + + = 2 2 3 3

4 ( 2001)( )( ) 280x y HVQHQTx y x y 15, − = − − − = −

2 2

2 2

2 3 2( 2000)2 3 2x x y QGy y x

16, = − − = −2

2

3 ( 98)3

x x y MTCNy y x

17, + = − + =

1 32( 99)1 32

x y x QGy x y

18, = + − = +3

3

3 8 ( 98)3 8

x x y QGy y x

19, + = − + =

2

2

32( 2001)32

x y x TLy x y

20, + + − = − + + − =5 2 7( 1 2000)5 2 7

x y NNy x

21, += − + =

2

2

2

2

23( 2003)23

yy x KhèiBxx y

22, − = − − − =2

2 2

3 2 16 ( )3 2 8

x xy HH TPHCMx xy x

23, + = − + = −3 3 3

2 2

1 19 ( 2001)6

x y x TMy xy x

24, − + = − − + =2 2

2 2

2 3 9 ( )2 13 15 0x xy y HVNH TPHCMx xy y

25, − = − + =2 2

2 2

2 ( ) 3 ( § 97)( ) 10y x y x M Cx x y y

Ñeà döï bò naêm 2007.

4 3 2 2

3 2

x x y x y 1

x y x xy 1

− + = − + = −

;

2

23

2

23

2xyx x y

x 2x 9

2xyy y x

y 2y 9

+ = + − + + = + − +

;

Bµi tËp THAM KHAÛO

1. giải các hệ phương trình:

a)2 29 4 36

2 5

x y

x y

+ = + = ; b)

2 2

2

4 1

3 4

x xy y

y xy

− + = − = ; c)

2 2 1

3

x xy y

x y xy

+ + = − − =

d)2 2 58

10

x y

x y

+ = + = ; e)

2 2 28

4

x y

xy

+ = = ; g)

2 2 4

2

x xy y

x xy y

+ + = + + =;' h)

13

6

5

x y

y x

x y

+ = + =

l)2 2 164

2

x y

x y

+ = − = ; m)

2 2 8

5

x x y y

x xy y

+ + + = + + =; n)

2 2

11(DHQG-2000)

3( ) 28

x y xy

x y x y

+ + = + + + =

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

7

I)2 2 13

2

x xy y

x y

− + = + = −; K)

2 2 2( ) 31

11

x xy y x y

x xy y

− + − + = − + + =; u)

2 2 2

1

x y x y

xy x y

+ − + = + − = −

v)90

9

xy

x y

= − = ; w)2 2 4

( 1) ( 1) 2

x x y y

x x y y y

+ − + = − + + − =; p)

2 2 6

3

x xy y x y

xy x y

+ + − + = − + = −;

Q)

1 1 7

2

2( ) 3

xyx y

x y xy

+ + = + =

2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.

a)2 2

2 2

2 3 2( 2000)

2 3 2

x x yDHQGKB

y y x

− = − − − = −; b)

3 4

( 1997)3 4

yx y

xDHQGKA

xy x

y

− = − − =

c)2 2

2 2

2 2

2 2

x y x y

y x y x

− = + − = +; d)

2

2

2 3

2 3

x xy x

y xy y

+ = + = ;

g)2

2

2

1

2

1

yx

y

xy

x

= − = −; h)

2

2

2

2

1

1

1

1

yx

y

xy

x

−= + − = +; l)

2 2

2 2

2 3 15

2 8

x xy y

x xy y

+ + = + + =

m)2 2

2 2

2 3 9( , 2000)

2 2 2

x xy yDHSPTPHCMKA B

x xy y

+ + = − + + =; n)

2 2

2 2

2 4 1

3 2 2 7

x xy y

x xy y

− + = − + + =.

3. giải các hệ phương trình sau:

a)2 2

2 2

2 17

3 2 2 11

x xy y

x xy y

+ + = + + =; b)

2

2 2

3 2 160

3 2 8

x xy

x xy y

− = − − =; c)

2 2

2 2

6 2 56

5 49

x xy y

x xy y

− − = − − =

d:

2 2 5

2 5 2

2

x xy y

y x

x y xy

+ − = − − = −; e)

2 22 3 0

2

x xy y

x x y y

+ − = + = −; g)

2

2

13 4

13 4

x x y

y y x

= + = +;

h)

1 12 2

1 12 2

yx

xy

+ − = + − =

; i). ( ) ( )2 2 3 3

4( 2000)

280

x yHVQHQT

x y x y

+ = − + + =

k) 2 2

x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5

x y x y 80

+ + + + + = − + − + − + + + =

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

8

1) 10 10 4 4

x yxy

y x ;

x y 8x y

+ = + =

23

23

x 1 y 6 y 12) ;

y 1 x 6 x 1

− + + = − − + + = −

3) ( )x y

6 4

sin xe

sin y

10 x 1 3 y 2

5ππ x; y

4

− = + = + < <

Bài 4. Giải hệ bất phương trình :( ) ( )2 3 2 3

2

6x . x 6x 5 x 2x 6 x 4

2 2x 1

x x

− + = + − + + ≥ +

Bài 5. Giải hệ phương trình : ( ) ( )( )

2 2

2 2

y x 8 x 2

y 8 4x y 16 16x 5x 0

= + + − + + + − =

Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

x 21 y 1 y

y 21 x 1 x

+ = − + + = − +

Bài 7. Giải hệ phương trình:

13x 1 2

x y

17y 1 2

x y

+ = + − = +

Bài 8. Giải hệ ( )( ) ( )2 2 4 4 6 2

2 3 2

2x y x y y x 1 x

1 x y x 2y x 0

− = + − + + + + ≤

BOÅ XUNG HEÄ PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau a)

x 2 y 2

y 2 x 2

+ − = + − =

; b) 4

4

x y 1 1

y x 1 1

+ + = + + =

; c) x y 1 1

x y 2 2y 2

+ − = − + = −

.

d)

x y 71

y x xy

x xy y y.x 78

+ = + + =

; e)

2

2 2

x 3 y 3

y 5 x x 5

+ + = + + = +

.

BAØI TAÄP HEÄ COÙ THAM SOÁ Baøi 1: Tìm ñeå caùc heä phöông trình sau coù nghieäm

a) x 1 3 y m

y 1 3 x m

+ + − = + + − =

; b) 3 3

3 3

1 1x y 5

x y

1 1x y 15m 10

x y

+ + + = + + + = −

.

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

9

c)

2 2

2

x 4xy y m

y 3xy 4

− + = − =

; d)

2 2

2 2

3x 2xy y 11

x 2xy 3y 17 m

+ + = + + = +

; e) 2 2 2 2 2

x y x y m

x y x y m

− + + = + + − =

.

g) x 1 y 2 m

y 1 x 2 m

+ + − = + + − =

; h) x 1 y 1 3

x y 1 y. x 1 y 1 x 1 m

+ + + = + + + + + + + =

Baøi 2: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát 2 2x y 1

a) ;x y m

+ =

− =

b)

2xy(x y) m m

x xy y 2m 1

+ = + + + = +

; c)

2

2

xy x m(y 1)

xy y m(x 1)

+ = − + = −

.

d)

2 3 2

2 3 2

y x 4x mx

x y 4y my

= − + = − +

; e)

2

2

(x 1) y m

(y 1) x m

+ = + + = +

; g) 2x y m 0

x xy 1

− − = + =

.

h) 2 2

x y xy 1

x y 1 m( x y 1) 1

+ = + + − − + − =

Baøi 3: Chöùng minh raèng vôùi moïi m > 0 heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát.

2 2

2 2

3x y 2y m 0

3y x 2x m 0

− − = − − =

.

To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ

10