hızlandırıcılarda rf ve güç (Ömer yavaş, ankara Üniversitesi)

Parçacık Hızlandırıcılarında çRF ve Güç

Prof. Dr. Ömer YavaşAnkara ÜniversitesiAnkara Üniversitesi

Fizik Mühendisliği Bölümü

V. UPHDYO, 29.08-03.09.2009, Bodrum

1

, ,

Ö. Yavaş ( Ankara Ü.) V. UPHDYO, Bodrum

İçerikİçerik• Radyo Frekans ( RF ) • Enerji Kazanımı

M ll D kl l i D l D kl l i• Maxwell Denklemleri ve Dalga Denklemleri• Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları• Faz hızı - Dalga Hızı• Cut-Off Frekansının Fiziksel Anlamı• TM ve TE kipleri (Cavity Modes)• Pill-Box Cavity• TM010 Kipi ( Duran Dalga Sistemi )• RF Kavite Parametreleri• Kavite – Devre Denkliği• Kavitelerin RF ile beslenmesi• Güç• Referanslar

2Ö. Yavaş ( Ankara Ü.) V. UPHDYO, Bodrum

Elektromanyetik Spektrumda Radyo Frekans’ın ( RF ) Yeri


Giriş

z Epd rr

• Lorentz kuvveti uyarınca yüklü bir parçacığa hareketi doğrultusunda hız kazandırabilmesi için elektrik alana ihtiyaç duyulur.

• Bu elektrik alan iki nokta arasına uygulanan sabit potansiyel farkı ile elde edilebileceği( elektro statik hızlandırıcılar ) gibi değişen potansiyellerle üretilen EM dalgalarının

zz Eq

dtp

=

( ) g ğ ş p y gelektrik alan bileşeni de kullanılabilir.

• İki nokta arasına uygulanan sabit potansiyel birkaç 10 MV ile sınırlı olmasından dolayı ( voltaj boşalması ) değişen alanlı hızlandırıcılara ihtiyaç duyulmuştur.

Elektrostatik hızlandırıcının şematik görünümü


GirişGiriş

• Eğer bir önceki slayttaki elektrotların kutuplarına verilen gerilimin değişken bir kaynak tarafından sağlandığını düşünürsek elektrik alan boşluklarda yönbir kaynak tarafından sağlandığını düşünürsek elektrik alan boşluklarda yön değiştirecektir . Hiç bir zaman tek yönlü olmayacaktır.

• Bu sistem ilk olarak 1920’ li yıllarda Wideroe tarafından keşfedilmiştir ve halen günümüzde kullanılmaktırhalen günümüzde kullanılmaktır.

Değişen alanlı Wideroe h hızlandırıcısı şematik görünümü


RF RF • Hızlandırıcı elektrik alanını oluşturan güç kaynağının salınma frekansının

mertebesinde olması nedeni ile bu tip hızlandırıcılara RF hızlandırıcılar denir.

• Gerek halka tip büyük ölçekli hızlandırıcılarda gerek doğrusal hızlandırıcılardaGerek halka tip büyük ölçekli hızlandırıcılarda gerek doğrusal hızlandırıcılarda hızlandırmanın yapıldığı yer doğrusal olacağından RF doğrusal hızlandırıcı ( RF Linear Accelerator –RF Linac ) olarak adlandırılmışlardır.

• Hızlandırmanın sağlanabilmesi için parçacığın hızı ile salınan RF in frekansı ğ ç p ç ğuyum içersinde olmalıdır.

TRF RF alan periyodu v parçacığın hızı


Enerji KazanımıGö li di ikt ji t t E d ji W ki tik • Göreli dinamikte enerji ve momentum tanımı E0 durgun enerji , W kinetik enerji ve p momentum olmak üzere:

• Enerji değişimi yukarıdaki denklemden;

• Lorentz kuvveti ifadesini kullanarak E oyuktaki elektrik alan olmak üzere;Lorentz kuvveti ifadesini kullanarak Ez oyuktaki elektrik alan olmak üzere;

• Enerji değişimi elektrik alan cinsinden; j ğ ş ;

• Her iki tarafın integrali alınarak kolaylıkla gösterilebilir ki parçacığın oyuk (kavite) boyunca kazanacağı enerji;ğ j

• Burada V oyuğun iki ucu arasındaki yani oyuklar arasındaki açıklık ( gap ) voltajıdır

7

Burada V oyuğun iki ucu arasındaki, yani oyuklar arasındaki açıklık ( gap ) voltajıdır.


M ll D kl l i D l D kl l iMaxwell Denklemleri ve Dalga Denklemleri

, 0D BB H ρμ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎫= ⎪

ur ur ur urur uur

D l d kl l i i b l k i i

o .ü . ,

B HD BD E H j Et t

μ

ε

⎫= ⎪⎬ ∂ ∂= ∇ × = + ∇ × = −⎪⎭ ∂ ∂

ur urur ur ur uur r ur ur

Dalga denklemlerini bulmak için;

( ) ( ) 2A A A∇ × ∇ × ≡ ∇ ∇ ⋅ − ∇ur ur ur ur ur ur ur

Vektör denkliğini elektrik alana uygularsak;

( )2 E Bt∂

∇ = − ∇×∂

ur ur ur


E Ve H için Dalga DenklemleriE Ve H için Dalga Denklemleriç gç gBir önceki denklemde B’yi μH olarak yazıp Maxwell’ in manyetik dönüşüm denkleminde yerine koyarsak;

( )2 E Ht

μ ∂∇ = ∇ ×

∂

ur ur uur2

2 0EE με ∂∇ =ur

ur2

2

D Jt t

μ⎛ ⎞∂ ∂

= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

ur ur2 0E

tμε∇ − =

∂⎝ ⎠

22

2 0HH με ∂∇ − =∂

uuruur

Aynı işlemleri manyetik 2t

μ∂alan için yazarsak;

2 1c =

9

μεÖ. Yavaş ( Ankara Ü.) V. UPHDYO, Bodrum

Dalga Denklemlerinin Serbest Uzayda Genel Çözümleri

2122 2

EE

∂∇ =

∂

urur

Dalga denklemlerinden sadece elektrik alan bileşenini ele alalım:

( ) ( ) ( ) ( ) i tE t E T t E ωuuuur uuuur uuuurr r r

2 2c t∂Denklemin sol t arafı sadece konuma bağlı, sağ tarafı ise sadece zamana bağlıdır. Zamana bağlı kısım periyodik olmalı dolayısıyla;

( , ) ( ). ( ) ( ). i tE r t E r T t E r eω= =Dalga denkleminde yerine yazarsak;

2 2 ( ) 0 ; E k E r k cω∇ + = = /r r r( ) ; ω∇ /

Aradığımız elektrik alan bileşeninin z doğrultusunda olduğunu, kartezyen koordinatlarda nabla operatörünün üç bileşenli olarak ve en genel çözümü ile yazıldığını varsayalım;


Dalga Denklemlerinin Serbest Uzayda Genel ÇözümleriHer bir terim diğerinden bağımsızdır ve çözümü basitleştirirsek;

kx, ky ve kz dalga sayıları olarak adlandırılır ve birbirlerine bağlıdırlar. En genelde z yönünde elektrik alan bileşenleri kartezyen koordinatlar cinsinden;

• Eğer kz kompleks ise alanın genliği üstel olarak azalır (damping).

• Eğer kz gerçek sayı ise dalga ilerlemeye devam eder.

• kc=√(kx2+ky

2) ilerleyen dalganın dalga sayısıdır ve CUT-OFF d l l k dl d ldalga sayısı olarak adlandırılır.

• X(x) ve Y(y) fonksiyonları sınır şartları yardımı ile bulunur.


Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları • Silindirik dalga kılavuzları hızlandırıcı yapı olarak kullanılırlar.• Genel olarak hızlandırma yı sağlayan E alanının z doğrultusunda olması ve bu doğrultuda

manyetik B alanının sıfır olması istenir.

• RF oyukları bu sınır koşullarını sağlayacak şekilde tasarlanır.

• En genel çözüm E(r)=R(r)Φ(φ)Z(z)T(t) şeklinde olacaktır.• Z(z) ve T(t) bileşenleri açısal bileşen ile aynı davranıp periyodik olacaktır ve açısal bileşen

genelde Φ(φ)=e-inφ ile verilir

• Radyal bileşen için;


Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları

Denkleminin çözümü Bessel fonksiyonları türünden olacaktır.

Diğer bileşenler sınır şartlarının uygulanması ile bulunabilir ve en genelde aşağıdaki gibi verilir:


Faz Hızı - Dalga Hızı

• Ez alanının tepesinin hareket hızı faz hızı olarak adlandırılır. Gurup hızı dalga paketinin ilerleme hızıdır. Aşağıdaki eşitlikten görüleceği gibi faz hızı ışık hızının üstündedir.

Faz hızı Grup hızı;

ş ğ ş g ğ g ş

• Hızlandırmanın sağlanabilmesi için faz hızı ile parçacık hızının senkronize olması gereklidir ve faz hızı yavaşlatılmalıdır. Bu dalga kılavuzuna bir sınırlama getirilmesi ile sağlanır.

K l b l d d l d kl i i bi l d ti i Y i l kt ik• Konulan bu sınırlandırma dalga denklemine yeni bir sınırlandırma getirir. Yani elektrik alanın z doğrultusundaki bileşenleri oyuk duvarında sıfır olmalıdır. p tamsayı l oyuk boyu olmak üzere;

• Cut-off dalga sayısı böylece yeni bir değer alacaktır.


Cut-off Frekansının Fiziksel Anlamı

ω > ωc ==� Reel k değeri mümkün. Dalga kompleks ve üsteldir.

ω < ωc ==� k sanaldır,dalga üstel olarak z ile azalır sürüklenemez.

Silindirik bir dalga kılavuzunda faz ve gurup hızını hesaplarsak;

2 21 cgrv c

kω ωωωμε−∂

= = <∂

Parçacık ışık hızından yavaş hareket edeceğinden dalga parçacığın üzerinden sıçrayacaktır ve hızlandırma

2

2

1 cphv c

k kω ω

με= = + >

yapılmayacaktır.

Bundan dolayı dalga kılavuzları l uzunluğunda sınırlandırılır.


TM ve TE Oyuk Kipleri ( Cavity Modes ) Lit tü dLiteratürde;

• B0,z ≡ 0 olan kipler Enine Manyetik Kip TM ( Transverse Magnetic ) Modes

E 0 l ki l E i El kt ik Ki TE ( T El t i ) M d• E0,z ≡ 0 olan kipler Enine Elektrik Kip TE ( Transverse Electric ) Modes

olarak adlandırılır.

Genellikle kiple kendilerine ait indeks numaraları ile çağrılır. • TEuv veya TMnp ( Burada ikinci indis v veya p, z doğrusunda kaç sıfır olduğunu gösterir. )

TM ki i d l l kt ik l l i d ö kl dl d lTM kipinde salınan elektrik alanın salınma periyoduna göre oyuklar adlandırılır.Şekilde çok hücreli oyuk verilmiştir. Bir t anında elektrik alanın yönü iki hücrede birisinde πdiğerinde π/2 kadar farklı fazda salınmaktadır.

16

Pill-Box Cavity• En basit hızlandırıcı oyuğu yapısı literatürde pill-box oyuk• En basit hızlandırıcı oyuğu yapısı literatürde pill-box oyuk

olarak adlandırılan silindirik simetriye sahip ve kısmen kısa l uzunluğa sahip oyuktur.

• Bu oyuğun geometrik yapısı salınan alanın elektrik alan bil i i d l ik l bil i i d i lbileşeninin doğrusal ve manyetik alan bileşeninin dairesel olmasına olanak verir. Sınır şartlarına göre;

En basit kip TM01 kipidir ve sadece üç bileşeni vardır.p p ç ş

k oyuğun sınırları tarafından sınırlandırılır

17

kc oyuğun sınırları tarafından sınırlandırılır.


TM010 Kipi ( Duran Dalga Sistemi )

• TM01 kipi sadece Ez, Er, Hθ alan bileşenlerine sahiptir.

z=0 ve z=L sınır koşulları otomatik olarak aşağıdaki koşulu sağlar.

; kL p pπ= ∈

Bu dalga genellikle TMnp kipinde adlandırılır ve sadece oyuğun boyutlarına bağlı olarak izinli frekanslara sahip olabilir .

2 2 oyuk boyu1 n Lz pπω⎫⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

oyukyarıçapı np aa Lω

με+ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭


RF Kavite Parametreleri

Geçiş Zamanı Katsayısı ( Transit Time Factor )

Şekildeki gibi bir pill-box oyuk içersinde eğer demet akış tüpü yeterince küçük ise alanın genliği sabit olacaktır. Böylece Ez bileşeni;

V : Uygulanan gerilim

Parçacık t=0 anında oyuğun merkezinde ise z=v.t mesafesinde kazanacağı enerji;

Burada T geçiş zaman katsayısı ve θ=ωg/v’ dir.

T geçiş zaman katsayısı 0<T<1 arasında değerler alır. Örneğin; bir 2π kip yapıda g=L/v θ= π ve T=0 637 olur

19

Örneğin; bir 2π kip yapıda g L/v , θ= π ve T 0.637 olur.


RF Kavite Parametreleri Geçiş Zamanı Katsayısı ( Transit Time Factor )

• En genelde eksen boyunca elektrik alan;

• Ve kazanılan enerji ve ψp parçacığın giriş fazı olmak üzere;

tanımını yaparak kazanılan enerji;

Böylece bir parçacığın kazanacağı maksimum enerjiye karşılık gelen geçiş zaman katsayısı;

20

Bu değer çok hücreli yapılar için bilgisayar yardımıyla hesaplanır.


Makas Empedansı ( Shunt Impedance )

• Shunt empedansı Rs , hızlandırıcı açıklığındaki voltaj V ile oyuk duvarlarında kaybolan Pd gücünün oranlarını belirleyen bir katsayıdır ( RLC devrelerinde empedans ).

Makas Empedansı ( Shunt Impedance )

• Shunt impedance genellikle birim uzunluk üzerinden değerlendirilir ve bir ilerleyen dalgalı bir yapı için;yapı için;

Burada L oyuk uzunluğu, r birim uzunluktaki shunt empedansı Ez hızlandırıcı alanın genliği dPd/dz birim uzunlukta giriş gücünün kaybolma oranıdır

Duran dalga sistemlerinde kesin olmayan shunt empedansı Z oyuktaki açıklık boyunca voltaj V nin integrali ile hesaplanır Bu durumda geçiş zaman katsayısı

uzunlukta giriş gücünün kaybolma oranıdır.

boyunca voltaj V nin integrali ile hesaplanır. Bu durumda geçiş zaman katsayısı yardımıyla birbirleri arasındaki ilişki;

Rs = Z T2

200 MHz frekansında çalışan proton linaklar da shunt empedansı 35 MW/m e kadar ulaşmıştır. Bununla beraber 3 GHz elektron linaklarda shunt empedansı100 MW/m mertebesindedir.


Kalite katsayısı (Quality Factor)Kalite katsayısı (Quality Factor)

olarak tanımlanır. Burada Pd oyuk duvarlarında kaybolan enerji, ω çalışma açısal frekansı, Ws oyuk duvarlarında depolanan enerjidir.

Doğrudan ölçülebilen ve sadece oyuğun yapısına bağlı olacak şekilde tanımlanacak olursa

Oyukta depolanan enerji

Oyukta kaybolan enerji , Rw yüzey direnci olmak üzere;

Rw yüzey direnci, δ cidar kalınlığı, σ ,yüzey iletkenliği, f frekans olmak üzere;

Böylece yüzeyde kaybolan enerji ve kalite katsayısı sırasıyla;

,

, olur.

Pill-Box Kavite İçin Kalite Çarpanı TM010 kipinde pill-box oyuğu ele alalım;

;

Denklemde yerine yazılırsa;Denklemde yerine yazılırsa;

eşitliği ile;ğ

3 GHz te çalışan bir pill box oyuk için oyuk yarıçapı a=3.8 cm, cidar kalınlığı δ=10-6

m ( bakır ) ise kalite faktörü Q=21590’ elde edilirm ( bakır ) ise kalite faktörü Q=21590 elde edilir.

Aynı frekansta ve boyutlarda süper iletken bir oyuk için cidar kalınlığı δ=10-9 m mertebesinde olduğundan kalite faktörü süper iletken bir yapı için 1000 kat daha fazladır Nitekim Sc TESLA oyuğu için kalite faktörü Q=8 x 109 dur

23

fazladır. Nitekim Sc TESLA oyuğu için kalite faktörü Q=8 x 109 dur.



D ld ( Filli ti )

• Kalite katsayısının oyukta depolanan ile kaybolan gücün oranı ile orantılı olduğundan bahsetmiştik.

Doldurma zamanı ( Filling time )

• Oyuğa aktarılan EM enerji aşağıdaki gibi doyuma ulaşacaktır.

D l ji E l k i il t l ld ğ d ji d b ğ l k 2Depolanan enerji E alanının karesi ile orantılı olduğundan enerji zamandan bağımsız olarak 2τsabit zamanında azalacaktır. Eğer oyuk bir RF alanı ile besleniyorsa enerji aşağıdaki gibi bir zamanda yapılanacaktır.

Oyuğun enerji ile doldurulmaya başlandığından sabit değer alana kadar geçen bu süreye

24

doldurma zamanı denir ve τ ile gösterilir.


Kavite - Devre Denkliği

Maxwell Denklemleri’ ne göre oyuklarda alanlar TM01 gibi kiplerde rezonansa gelirler. Zaman ortalamalı elektrik alanla depolanan enerji manyetik alanla depolanan enerjiye eşitlenir.

Bir RF periyodu süresince enerji , elektrik ve manyetik l l d l kt B d t ki bialanlar arasında salınacaktır. Bu durum rezonanstaki bir

paralel RLC devresi ile özdeştir.

Elektrik alanla zaman ortalamalı depolanan enerji ( kapasitör );p j ( p )

Manyetik alanla zaman ortalamalı depolanan enerji ( indüktans );

Rezonansta;Rezonansta;

Zaman ortalamalı depolanan enerji ve güç;

Q ve R/Q t l d lDevrenin kalite katsayısı;

ω0, Q ve R/Q tanımlarından yola çıkarak RF oyuğu için bir RLC eşdeğer devresi kurmak mümkündür

Oyukların RF ile Beslenmesi

RF gücünün üreteçten oyuklara aktarılması

• Bir koaksiyel hat ile (kısa mesafe, düşük güçBir koaksiyel hat ile (kısa mesafe, düşük güç < 100 kW, yüksek kayıp ), paketleyici oyuklar örnek olarak verilebilir.

• Bir dalga kılavuzu ile (yüksek güç, düşük ka p)kayıp).

Dalga kılavuzu ile oyuk arasındaki bağlantı bir kısa koaksiyel hat ile yapılır ve görünür güç kaybı olmaz.y y p g g ç y

Koaksiyel kablodaki bir seramik pencere dalga kılavuzu ile oyuğu birbirinden ayırır aynı zamanda vakum ortamı için de kullanılırvakum ortamı için de kullanılır.

Oyuğu rezonansa getirmek için ayar yapılması gerekir ve bu ayar milleri ile yapılır.


RF Kaviteler


9 hücreli Sc TESLA RF Kavitesi

28

9 hücreli Sc TESLA RF Kavitesi


Sc RF Kaviteleri Cazip Kılan Nedir?


Devre Analojisine Geri Dönersek;j ;

∞⇒⇒ QRsurf ,0

Pratikte;


RF Güç YükselteçleriKlystron

•Klystronlar RF ve mikrodalga sistemlerde elektron demetlerini hızlandırmak için güç üretiminde kullanılır. g ç

• İletim fonksiyonu olarak adlandırılan k katsayısı, demet akımı ve hızlandırma voltajının birbirine oranıdır.


Güç

• Klaystronlardaki mikrodalgalar dalga kılavuzlarıyla hızlandırıcı yapılara aktarılır. Bu hızlandırıcıda ilerleyen formda bir e m dalga formu oluşturur DemetBu hızlandırıcıda ilerleyen formda bir e.m. dalga formu oluşturur. Demet enerjisi klystron başına sağlanan enerji ve toplam klaystron sayısı dikkate alınarak belirlenir.


Güç ç

zamaniş

tWP ==

zamant

RIVIVP 22

Elektrikte: RIR

IVP ⋅==⋅= 2

)()()( tVtItP

Elektrikte:

Anlık Güç: )()()( tVtItP ⋅=Anlık Güç:

T1∫ ⋅=T

avg dttvtiT

P0

)()(1Ortalama Güç:


Güç ç• Hızlandırıcının demete aktarabileceği maksimum güç uygulanan RF gücü

kadar olabilir.

• Kullanılan klystronun gücü hızlandırıcı yapı ile ulaşılacak olan demet enerjisini belirler.

• Örneğin ELBE laboratuvarında (Dresden) 10 kW klaystron kullanılmakta• Örneğin ELBE laboratuvarında (Dresden) 10 kW klaystron kullanılmakta olup ve elektron demetinin ortalama akımı yaklaşık 1 mA civarındadır.

• Bunun anlamı 1 metrelik hızlandırıcı yapıya 10 kW RF gücü aktarılarak 10 MeV demet enerjisi elde edilmektedirMeV demet enerjisi elde edilmektedir.


Güç

• Güç sensörleri sinyalleri çok geniş bant genişlikleri üzerinden ölçer. Eğer50 MHz’ ten 40 GHz’ e bir güç ölçer varsa bu banttaki her sinyal içinortalama güç ölçülebilirortalama güç ölçülebilir.

• Sadece belirli bir sinyalle ilgileniliyorsa ölçüm için bir ön filtre gereklidir.Ayrıca bantlar üzerindeki gürültü oldukça yüksek olabileceğinden ölçülebilenAyrıca bantlar üzerindeki gürültü oldukça yüksek olabileceğinden ölçülebilensinyal değerini oldukça etkileyebilmektedir.

• Bant dışı sinyaller olabilir. Özellikle hızlandırıcılarda, birden fazla olan çokş y , çgeniş bant sinyalleri daha sonra sorun çıkarmasın diye ihmal edilir.


Güçç

Mikrodalga literatüründe güç dBm olarak ifade edilir. dBm bir logaritmikterimdir ve 1mW’lık sinyalin seviyesini gösterir.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 3

)(log10)( wattsPdBmP ⎟⎠

⎜⎝ −310

g)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= − 10

)(3 10101)(

dBmP

wattsP ⎟⎠

⎜⎝

30 ⎞⎛

Örneğin; 30 dBm Watt olarak gösterilmek istenirse;

wattwattsP 110101)( 1030

3 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −


Güçç

• Voltajla ilgileniliyorsa;2V

50rmsVP =RwattsPVrms ⋅= )(

• 50 ohm’ luk direnç yapısı için 0 dBm ( veya 1 mW )

VVrms 22.05010 3 =⋅= −

Vrms 22360 VVrmsVpeak 316.07071.02236.0

22

===


ReferanslarReferanslar

• J. Le Duff, “ Hıgh-Frequency Non-Ferrıte Cavıtıes ”, CAS, RF Enginee ing NotesRF Engineering Notes

• J. Le Duff, “ Dynamics and Acceleration in Linear Structures ”, CAS notes, 1994Structures , CAS notes, 1994

• Y. Papaphilippou, “ RF Cavities ”, 2005 USPAS notes

• Peter Tenenbaum, “ An Introduction to the Physics and Technology of e+e- Linear Colliders ”, 2003 USPAS Notes


hızlandırıcılarda rf ve güç (Ömer yavaş, ankara Üniversitesi)

Documents