HMP20-1

ความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ เรองความนาจะเปน ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ในชนเรยนทใชวธการแบบเปด

Relationship between Conceptual and Procedural Knowledge on Probability of Grade 11 Student in Classroom Using Open Approach

วจนา วรรณโกษตย (Watjana Wannakosit)* เออจตร พฒนจกร (Auijit Pattanajak)** ดร.ไมตร อนทรประสทธ (Dr.Maitree Inprasitha) ***

บทคดยอ งานวจยนมวตถประสงคเพอวเคราะหความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการของนกเรยน

เรองความนาจะเปนในชนเรยนทใชวธการแบบเปด ใชระเบยบวจยเชงคณภาพ และบรรยายเชงการวเคราะหตามกรอบแนวคด Johnson et al.(2001) กลมเปาหมายคอนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 3 กลม กลมละ 3 คน เครองมอชวยเกบขอมลวจย ไดแก เครองบนทกเสยง เครองบนทกภาพนง และเครองบนทกวดทศน เครองมอเกบขอมลคอ ผลงานของนกเรยน และแผนการเรยนรจ านวน 6 แผน ผลวจยพบวา การสอนดวยวธการแบบเปดสนบสนนการเกดความสมพนธ พบมากทสดในขน 2 การเรยนรดวยตนเอง นกเรยนน าความรเชงมโนมตเพอหาเงอนไขเปนตวก าหนดขนตอนในการแกปญหาบงบอกวาเปนการใชความรเชงวธการและใชสญลกษณทางคณตศาสตร วาดภาพ แผนภาพตนไม แตเมอเกดขอผดพลาด หรอความไมเขาใจ นกเรยนไดอภปราย แสดงเหตผลทงการพดและเขยนซงเปนการใชความรเชงมโนมตอกครง จะเหนไดวานกเรยนมความรเชงมโนมตและความรเชงวธการทสมพนธความรนเปนพนฐานของความเขาใจของนกเรยน

ABSTRACT The purpose of this research was to analyze the relationship between conceptual and procedural knowledge

on the probability of student in a classroom using Open Approach. The study employed qualitative research and analytic description according to Johnson et al. (2001) . The target group were 3 groups of 3 people of 11th grad. Tools help for data research collection include the audio tape recorder, images recorder, and video recorder. The data was collected by works of students and lesson plans 6 plans. The result showed teaching by Open Approach support occurrence for a relationship. It’ s illustrated the most is in step 2 was students’ self-learning. Student use of conceptual knowledge for find condition determine the steps to solve the problem elucidate use to procedural knowledge and used mathematical symbols, drawing, and tree diagrams. When has an error or then they present discussion and reasons both spoken and written which is conceptual knowledge. It is seen that students have conceptual and procedural knowledge related. Both this knowledge as the basis of the student's understanding. ค าส าคญ : ความรเชงมโนมต ความรเชงวธการ วธการแบบเปด KeyWords : Conceptual Knowledge , Procedural Knowledge ,Open Approach *นกศกษา หลกสตรศกษาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาการศกษาวทยาศาสตรและเทคโนโลย คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน **รองศาสตราจารย สาขาวชาคณตศาสตรศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน ***ผชวยศาสตราจารย สาขาวชาคณตศาสตรศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

- 1670 -

HMP20-2

บทน า หลกสตรการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551 (หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน , 2551 : 3)

ก าหนดใหสนบสนนนกเรยนทกคนมความรและทกษะพนฐาน นกเรยนสามารถเรยนรและพฒนาตนเองได โดยใชกระบวนการ 5 กระบวนการ ไดแกกระบวนการแกปญหา การพสจนและใหเหตผล กระบวนการสอสาร การน าเสนอหรอการแสดงแทน การเชอมโยง แตภาพรวมของการจดการเรยนการสอนในโรงเรยนยงเปนปญหา โดยเฉพาะการแกปญหาของนกเรยนทใหนกเรยนไดแกปญหาดวยตนเอง (ไมตร, 2557:94) นกเรยนรวบรวมความรเพอเปน ความคดรวบยอด น าไปอธบาย เขยน ยกตวอยาง น าเสนอหรอแสดงแทนในการหาค าตอบ ความเกยวของกนระหวางความคดรวบยอดกบกระบวนการ สงผลใหเกดยทธวธเชงการคด เปนประโยชนในการหาค าตอบ (บงกช นมตระกล, 2556) อกท งหลกสตรแบบใหมยงตองการใหนกเรยนมการบรณาการในการแกปญหาตองประกอบดวยเนอหา กระบวนการหรอทกษะ และคานยมทงสามสงนนกเรยนตองไดรบในการเรยนร (Inprasitha, 2011) ทงน กลมวชาคณตศาสตรไดแบงออกเปน 6 สาระ ทกเนอหาลวนมความส าคญแตกตางกนออกไป ซงความนาจะเปนเปนเนอหาหนงท มอทธพลตอกระบวนการใหเหตผลท เกยวของกบการตดสนใจ การวางแผนการท างานในอนาคตและเปนหนงในการท างานมนษย (ศรเพญ, 2544) ความนาจะเปนจงเปนสวนทส าคญในคณตศาสตรระดบขนพนฐานของการศกษาตอนปลายและสะทอนใหเหนถงประโยชนของการจดระบบทางคณตศาสตร ซงแนวคดหลกของความนาจะเปนคอการหาโอกาสทเกดขนของเหตการณ ถอวาเปนเรองทมความยงยากมากส าหรบการเรยนการสอน เปนผลมาจากเนอหาเรองความนาจะเปนมสงทจบตองไมได (Shao, 2015) นกเรยนมกจะความสบสนในหาขอสรปของโจทยปญหาและการตความในค าถามเกยวกบความนาจะเปน ครผสอนควรสอนเนอหาเกยวกบความนาจะเปนผานกจกรรมและกระตนใหนกเรยนไดเขาไปเกยวของกบสถานการณในชวตจรง (Tsang and Shahrill, 2015) การจดการเรยนการสอนครจะตองเปนผทหาสถานการณปญหามาใหนกเรยนไดลงมอกระท าและแกปญหาเพอใหนกเรยนไดเกดการเรยนร ซงผเรยนจะเปนผทส าคญทสดในชนเรยน ครตองเปดใหโอกาสนกเรยนไดเรยนรดวยตนเอง เนนกระบวนการแกปญหา ซงการเปลยนจดเนนทวานมสวนชวยสงเสรมการปฏรปการเรยนรทเนนผเรยนเปนหลก การเปดโอกาสใหนกเรยน เรยนรดวยตวเองทเนนกระบวนการเรยนร (ไมตร , 2546) ซงวธการแบบเปด (Open Approach) ถกน ามาใชในจดประสงคของการเปนวธการสอน (Teaching Approach) มล าดบขนตอน 4 ขนตอนดงน 1) ขนการน าเสนอสถานการณปลายเปด 2) ขนเรยนรดวยตนเองของนกเรยน 3) อภปรายท งชนเรยนและการเปรยบเทยบ และ 4) ขนการสรปเชอมโยงแนวคดส าหรบวชาคณตศาสตรของนกเรยนทเกดขนท งหมดในชนเรยน ถกน ามารวมและปรบใหเขากบการศกษาชนเรยนและเปนนวตกรรมทสามารถปรบปรงการสอนและการเรยนรคณตศาสตรไดดยงขน น ามาซงชนเรยนนเนนกระบวนการแกปญหา (Problem solving classroom) (Inprasitha, 2011)

กระบวนการแกปญหาของนกเรยนจะเกด การทนกเรยนน าความรตางๆมาใชเพอแกปญหานนและไดมาของ ค าตอบ และมความรทส าคญ คอความรชงวธการจะถกสรางขนสองสวนทแตกตางกน นนกคอ สวนทประกอบไปดวย ภาษาทเปนทางการหรอการแสดงออกทางสญลกษณทเกยวกบวชาคณตศาสตร กบสวนอนๆทเปนขนตอนวธการหรอ กฎส าหรบการท าปญหาทางคณตศาสตรใหส าเรจ แมนกเรยนจะมเพยงความรเชงวธการในการแกปญหาแตนกเรยนไมเขาใจในสงทนกเรยนไดกระท าลงไป กไมเกดประโยชนตอการเรยนรของนกเรยน ซงมหนงความรทนกคณตศาสตรทวไปยอมรบวาเปนรากฐานทส าคญส าหรบสญชาตญาณในการแกปญหาและเปนความรทเปนรากฐานของความรเชง

- 1671 -

HMP20-3

วธการ คอความรเชงมโนมตในการทนกเรยนลงมอแกปญหานกเรยนจะหาค าตอบไดแตอาจไมเขาใจใหสงทนกเรยนไดลงมอท าไป (Hiebert and Lefevre, 1986)

จากการประเมนวจยทางคณตศาสตรพบการความเขาใจในทางคณตศาสตรจะประกอบดวยความรเชงมโนมต(Conceptual Knowledge) และความรเชงวธการ( Procedural Knowledge) อกท ง Johnson et al.(2001) ผ ทใหความแตกตางระหวาง ความรเชงมโนมตอนดบแรกและความรเชงวธการอนดบแรก ในอดตมงานวจยทสอดคลองในเรองล าดบการเกดกอนหรอการเกดหลงของความรทงสองประเภทน ไดแก Concepts-first เดกจะไดรบในขนแรกจะไดรบความรเชงมโนมต เชน โดยการฟงจากการอธบายดวย ค าพด และจากนนโดยการปฏบตจะไดรบความรเชงวธการจากการปฏบต และ Procedures-first เดกไดรบขนตนไดรบความรเชงวธการในเนอหาสาระท เฉพาะเจาะจง เชน การเรยนรโดยการทดลองและขอผดพลาด แลวคอยๆสรปเปนความรเชงมโนมตจากการเรยนรนนดวยกลบไปดขอผดพลาด บนพนฐานของความเปนจรงทวามหลกฐานเชงประจกษส าหรบท งสองชนดของทฤษฎ Johnson et al. (2001)ไดเสนอ รปแบบการท าซ า (Iterative Model) อาจจะมการเชอมสาเหตสองทศทางระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ การเพมขนในหนงชนดของความรแลวจะเพมอยางทนทในความรอนๆเชนกน จากทกลาวมาทงน ผวจยไดขอสรปวา การเรยนในเรองความนาจะเปน จะมความนามธรรม มความซบซอน ถาไมมความรเชงมโนมตควบคกบความรเชงวธการ นกเรยนอาจไมมประสทธภาพมากพอในแกปญหาได มความสนใจทจะศกษาความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการเรองความนาจะเปนอยางไร ทไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 5 ถาน าวธการสอนแบบวธการแบบเปดมาใชในการจดการเรยนการสอน

วตถประสงคการวจย เพอศกษาความสมพนธ ระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการเรองความนาจะเปนของนกเรยนชน

มธยมศกษาปท 5 ทใชวธการแบบเปด

วธการวจย บรบทชนเรยน นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5/4 ซงเปนนกเรยนในหองเรยนพเศษวทยาศาสตรตามโครงการสงเสรมการสอน

วทยาศาสตรและคณตศาสตร แตในการเรยนการสอนในโรงเรยนยงสอนแบบการบรรยาย ผวจยไดน าวธการแบบเปดมาเปนแนวการสอน ซงนกเรยนไดถกสอนเปนระยะเวลา 1 ภาคเรยน คอภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2558 เพอใหนกเรยน คนเคยในการแกปญหาดวยตนเอง และกลาทจะแสดงความคดเหนของตนเองเพอความเขาใจรวมกนทงชนเรยน

กลมเปาหมาย กลมเปาหมาย เปนนกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนอดรพทยานกล อ าเภอเมอง จงหวดอดรธาน ท

ก าลงศกษาตลอดภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2558 มท งหมด 9 คน เนนกจกรรมเปนกลม แบงเปน 3 กลม กลมละ 3 คน นกเรยนแต ละคนมคณลกษณะ คอกลาแสดงออก มความคดทหลากหลาย มการใหเหตผลขณะแกปญหาทสนบสนนในงานวจยน จากการทนกเรยนรจกการแสดงออก การอภปรายภายในกลมท าใหผวจยเหนความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการไดชดเจนยงขน

เครองมอทใชในการวจย การวจยครงนมเครองมอการวจยทประกอบไปดวย เครองมอชวยในการการเกบรวบรวมขอมล เครองมอทใชใน

การการเกบรวบรวมขอมล และเครองมอทใชในการวเคราะหขอมล มรายละเอยดดงตอไปน

- 1672 -

HMP20-4

1. เครองมอชวยในการการเกบรวบรวมขอมล 1.1 เครองบนทกวดทศน บนทกวดทศนโดยเรมตงแตการน าสกจกรรมของคร ครน าเสนอสถานการณ

ปญหา แลวนกเรยนท ากจกรรม แกปญหาทางคณตศาสตรดวยตนเอง การอภปรายกนในชนเรยน ไปจนถงขนการสรปและเชอมโยงแนวคดของ นกเรยนทเกดขน เปนสนสดการท า กจกรรม

1.2 เครองบนทกภาพนง ใชส าหรบบนทกภาพผลงานจากการท ากจรรมของนกเรยนทนกเรยนไดลงมอปฏบต ในระหวางทนกเรยนมสวนรวมของการกระท าการแกไขปญหาใหไดมาซงค าตอบ

1.3 เครองบนทกเสยง ใชส าหรบบนทกเสยงของนกเรยนขณะทนกเรยนท ากจกรรมในกลมยอย เพอถอดค าพดและ พฤตกรรม ออกมาในรปขอความเพอวเคราะหขอมล

2. เครองมอทใชในการการเกบรวบรวมขอมล 2.1 การวางแผนการเรยนรหรอแผนการสอน ซงเปนกจกรรมเสรมโดยเปนสถานการณปญหาปลายเปด ซง

สถานการณปลายเปดทน ามาใชน มการรวมมอกนของเหลา เพอนรวมรนทสอนในชนเดยวกน ครช านาญการ และน าแผนทไดมาตรวจสอบดวยผเชยวชาญ จงมการน าไปใชในการเรยนการสอนเพอนเปนแหลงเกบรวบรวมขอมล

2.2 ผลงานเขยนของนกเรยน การขดเขยนของผเรยนในแตละกลมทไดบนทกเกยวกบความรเชงมโนมตและความรเชงวธการของนกเรยนทไดอธบายในรปของภาพวาดตางๆ ในกลมในชนเรยนลงบนกระดาษ

3. เครองมอทใชในการวเคราะหขอมล 3.1 ผลงานตางๆของนกเรยน ทไดจากการแกปญหาในแผนการจดการเรยนรทง 6 แผน 3.2 ขอมลทไดจากโพรโทคอลการแกปญหาปลายเปดของนกเรยนซงขอมลเหลานจะน ามาวเคราะหเปน

ชวงทเกดขนของขอมลทแสดงความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ ตามกรอบแนวคดของ Johnson et al.(2001) ในรปแบบการท าซ า (Iterative Model) การเกบรวบรวมขอมลการวจย การด าเนนการในการเกบขอมลวจยมรายละเอยดดงน

1. ผวจยไดศกษาบรบทของโรงเรยน ชนเรยน และศกษาพฤตกรรมของนกเรยนกลมเปาหมาย ในการเรยนรตลอดภาคเรยนท 1 ของปการศกษา 2558 ซงผวจยไดด าเนนการเรยนการสอนเอง

2. ผวจยและผชวยวจยไดรวมการเขยนแผนการจดการเรยนรเพอใหเปนเครองมอในการเกบขอมลวจย การวเคราะหผลการศกษา

การวเคราะหขอมลของงานวจยครงน ใชระเบยบวจยเชงคณภาพ น าขอมลทไดจากการถอนค าพดของนกเรยนรวมกบอธบายการกระท าของนกเรยนจากเครองบนทกวดทศนและเครองบนทกเสยง อกกทงยงมผลงานของนกเรยน และบนทกภาคสนามจากผชวยวจย เพอน ามาวเคราะหความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการของนกเรยนในชนเรยนทใชวธการแบบเปดตามแนวคดของ ไมตร (2557) มล าดบขนตอน 4 ขนตอนดงน 1. ขนการน าเสนอสถานการณปลายเปด 2. ขนเรยนรดวยตนเองของนกเรยน 3. การอภปรายรวมกนและเปรยบเทยบทงชนเรยน และ 4. การสรปเชอมโยงแนวคดนกเรยนทเกดขนในชนเรยน ซงในแตละขนของการสอนดวยวธการแบบเปด จะวเคราะหความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการตามกรอบแนวคดของ Johnson et al.(2001) ในรปแบบการของการท าซ า มรปแบบการเกดขนของความสมพนธดงน 1. นกเรยนมการใชความรเชงมโนมตมาใชเพออธบายเหตผลของการน าความรเชงวธการมาใชเพอแกปญหา การทนกเรยนพดถงนยาม กฎสตร เงอนไข หรอการแสดง

- 1673 -

HMP20-5

สถานการณปญหา “เจมสจมนาฬกาเรอนหนงซงบนปดของนาฬกามเฉพาะตวเลขค เขาตองการสรางรปหลายเหลยมบนหนาปดนาฬกา อยากทราบวาเขาจะสามารถสรางรปหลายเหลยมไดกรป โดยใชตวเลขบนหนาปดเหลานเปนจดยอดมม”

ค าสง ใหนกเรยนแตละกลมแสดงวธการแกไขสถานการณปญหาอยางละเอยด โดยใหแสดงวธการหาใหไดหลากหลายวธมากทสด พรอมอธบายเหตผล

เหตผล ซงไดมาจากโพรโทคอลของนกเรยนกบการเขยนในใบงานระหวางการแกปญหา 2. การทนกเรยนน าความรเชงวธการมาใชในการแกปญหา ซงเปนทงการแสดงขนตอน และการแสดงสญลกษณทางคณตศาสตร ซงการด าเนนการนกเรยนจะมการใชความรเชงมโนมตทอธบายเหตผลของการน าวธการมาแกปญหา การกระท าของนกเรยนทงหมดนแสดงความสมพนธแบบสองทศทางระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ ตวอยางการวเคราะห ผวจยน าตวอยางแผนการจดการเรยนรทน ามาวเคราะหขอมล ซงแสดงรายละเอยดดงน การจดการเรยนการสอนตามขนตอนของวธการแบบเปด แผนการจดการเรยนรท 5 เรอง การจดหม

ในการเรยนการสอนในคาบนด าเนนการสอนตามแนวการวธการสอนแบบเปดทเปนเงอนไขในการไดมาซงการอภปรายและใหเหตผล การคดทหลากหลายของนกเรยน ซงจดประสงคในคาบนคอนกเรยนน าวธการทหลากหลายมาชวยแกไขสถานการณปญหาทก าหนดใหและสามารถหาค าตอบทถกตองและสามารถอธบายสงทนกเรยน กจกรรมเรองการจดหมเพอแสดงความสมพนธความรเชงมโนตและความรเชงวธการ ดงน 1. ขนน าเสนอปญหาปลายเปด

ครน าเขาสสถานการณปลายเปดการสรางรปหลายๆเหลยมจากจดบนหนาปดทก าหนดให และถามเขาใจจากนกเรยนวานกเรยนเขาใจสถานการณนซงจะแสดงไวดงน

Item9 ปญหาคร (เปดสไลนสถานการณปญหา) นาฬกาพศวง ยงไงนะ ดจากสถานการณปญหา

นะคะ ลองอานส

Item10 นกเรยน “เจมสจมนาฬกาเรอนหนงซงบนปดของนาฬกามเฉพาะตวเลขค เขาตองการ

สรางรปหลายเหลยมบนหนาปดนาฬกา อยากทราบวาเขาจะสามารถสรางรป

หลายเหลยมไดกรป โดยใชตวเลขบนหนาปดเหลานเปนจดยอดมม”

Item11 คร อะลองอานค าสงดส

- 1674 -

HMP20-6

Item12 นกเรยน ใหนกเรยนแตละกลมแสดงวธการแกไขสถานการณปญหาอยางละเอยด โดยให

แสดงวธการหาใหไดหลากหลายวธมากทสด พรอมอธบายเหตผล

Item13 คร อะเขาใจวายงไง กลธดา

Item14 นกเรยน กใหสรางรปหลายเหลยม วามนสรางไดกรป จากนาฬกาทมเลขค จากจดยอดมม

Item15 คร อะมาเอาใบงานนะคะ ม 2 แผน อยาลมปากกานะคะ เอาวธทหลากหลายทสด

นะคะ

จาก Item 9 – Item 15 หลงจากทครใหอานค าสงและใหนกเรยนลองอธบายวานกเรยนคดวาสถานการณนตองการใหท าอะไร ซงสถานการณนเปนปญหาทวไปทสามารถน าความรเรองความนาจะเปนมาชวยหาไดจงตองมการถามความเขาใจของนกเรยน จากทครถามวา “อะเขาใจวายงไง..” ซงนกเรยนทอยในกลมเปาหมายกบอกวา “กใหสรางรปหลายเหลยม วามนสรางไดกรป จากนาฬกาทมเลขค จากจดยอดมม” ซงนกเรยนทกคนกเหนดวย วาสถานการณนตองการเชนนนจรง ซงในขนการเรยนการสอนนนกเรยนยงไมเกดความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการเพราะเปนเพยงการน าเสนอสถานการณของคร นกเรยนยงไมมการแกปญหาจงมาสามารถวเคราะหถงความสมพนธได

ภาพท 1 แสดงการน าเขาสสถานการณปญหาเรอง นาฬกาพศวง

2. ขนการเรยนรดวยตนเองของนกเรยน

หลงจากทนกเรยนไดใบกจกรรมกเรมตนแกปญหาซงในแตละกลมจะเรมตนในการอานสถานการณปญหาและชวยกนหาวธเพอใหไดค าตอบซงในขนนจะพบความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการทนกเรยนน ามาใชในการแกปญหาน ซงมการเกดขนของท งสองความรนตามกรอบของ Johnson et al.(2001) ดงโพรโทคอลดงน

Item11 น ถาเราวาดรปในวงกลมไปเลยละ แบบวา ตก ตก ตก (ท าจดบนรปวงกลม)

ภาพท 2 แสดงการวาดรป3เหลยมในวงกลม

- 1675 -

HMP20-7

จาก Item11- Item26 แสดงการพดคยและแลกเปลยนความคดเหนภายในกลมยอยของนกเรยนกลมของพล นและกอ ซงเมอครน าเสนอปญหาปลายเปดไปแลว นกเรยนไดอานสถานการณปญหาอกครงหนง เพอดเงอนไขและหาวธการเพอไดค าตอบ เปนการทนกเรยนรวาควรจะน าวธการใดมาหาค าตอบเงอนไขจากสถานการณปญหาเปนเงอนไขบงคบใหเลอกใชวธการ คอการวาดรปในวงกลม จาก Item 11 ทวา “ ถาเราวาดรปในวงกลมไปเลยละ แบบวา ตก ตก ตก (ท าจดบนรปวงกลม)” ซงจากค าพดและการกระท าของนทไดแสดงใหเพอนเหนคอการเรมเลอกจดทตองการในการสราง 3 เหลยม เปนการแสดงขนตอนในการหาค าตอบท จดในวงกลมเปนสอกลางยงการใชความรเชงมโนมตทนไดอธบายเพมวา “ถารปสาม เหลยมมนกจะม 3 เสนเชอมไง 3เสนเชอม” นรวาในการสรางรปสามเหลยมจะตองม 3เสนเชอมและมจด 3 จด จงจะสรางเสนเชอมได และกลมของพลกไดท ารปแบบของนใน ส เหลยม และ หาเหลยมตอไป แตเมอท าไปแลวมนท าใหสบสนเพราะจดมทงหมด 6 จด สามารถสรางไดหลายแบบ นกเรยนกลมนจงหยดการกระท าโดยวธการน เหนไดจากการท พลบอกวา “จะลองวาด 3 เหลยม แตมนเยอะอะ มนไดหลายแบมากๆ สบสนๆ” และกอลองวาด 4 เหลยมแลวยงบอกอกวา “มนเยอะเกนไป ” เปนการใชความรเชงวธการอกครงในการด าเนนการหาค าตอบทมตวแสดงแทนเปนรปหลายๆในวงกลมเปนสอกลางของการเกดความสมพนธน

ภาพท 3 แสดงการวาดรปเหลยมตางๆในวงกลมของนกเรยนกลมของนกเรยน

Item12 พล มาเดยวเขาเขยนอนนกอนแลวกน (เขยนวธท1การเลอก) Item13 น มนจะเปนแบบนเลอก สามเหลยม สรางรป 3เหลยม Item14 พล ถารป3 เหลยมมนกจะม 3 เสนเชอมไง 3เสนเชอม Item15 กอ 3เสนเชอม มนจะเปนอยางน Item16 พล ผมนกดสตนเลยครบ Item17 กอ กยงงงๆอยเพราะความจรงมนคดตรงๆกได ลองๆ มนเลอกจด 3 จด แลวก

สรางเสนเชอมเฉยๆ Item18 น ท าไงวะ Item19 พล อะเดยวจะลองวาด สามเหลยม แตมนเยอะอะ มนไดหลายแบบมากๆ Item20 น ไหนลอง ส เหลยมส Item21 กอ สเหลยม.. (วาดรปในวงกลม) Item22 พล ลอง 5 ส Item23 น นบไดไหมอะ ถาวาดแบบน Item24 กอ อนนลองท าเฉยๆอะ แตวาท าไมได Item25 พล ใชไหม เพราะวามนเยอะวะ Item26 กอ มนเยอะเกนไป

- 1676 -

HMP20-8

นกเรยนยงคงหาวธทแตกตางออกไปในการหาค าตอบซงเมอนกเรยนไดค าตอบหาค าตอบจากวธการกอนหนานมาแลวซงในชวงการหาค าตอบนนไมเกดความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการเปนเพยงการค านวณทไดใหนกเรยนคนเดยวไดค านวณ

ภาพท 4 แสดงการค านวณหาค าตอบของนกเรยนกลมของนกเรยน

แตเมอค านวณเรยบรอยมนกเรยนในกลมไดคดอกวธและไดน าเสนอวธทตนเองคดเสนอในกลมยอยของตนเอง

Item95 กอ มแผนภาพตนไมกท าไดนะเนย

Item96 น มอกวธหนง แบบแผนภาพตนไม

Item97 พล ทหายงไงอะ

Item98 กอ ดตวอยาง หกเหลยม สมมตเลอกจกแรกคอจดท 2 ถาเกด หกเหลยมกจะม 6 จดเนาะ อกจดหนงก จะเปน 4 อกจดหนงกจะเปน 6 กได ยงไงกได

Item99 พล เลอกยงไงกได ใหได 6 จด

จากItem 95 – Item 99 แสดงการทนกเรยนไดคดวธการไดมาซงค าตอบอกวธ จากท กอบอกวา “ แผนภาพตนไมกท าไดนะเนย ” และกอไดอธบายวธคดของเขาใหเพอนในกลมไดฟง ซงกอเรมตนดวยการน าความรเชงวธการมาอธบายขนตอนในการหาจากทวา “ตวอยาง หกเหลยม สมมตเลอกจกแรกคอจดท 2” เปนการพดแสดงขนตอน วาจะจดแรกทจะเลอกคอ จดหมายเลข 2 ทอยบนหนาปดนาฬกา และไดอธบายเพมวา “ ถาเกด หก เหลยมกจะม 6 จดเนาะ” ซงกไดพดขนตอไปอกวา ในการเลอกจดตอไปจะเปนจดใดกใดกไดเพอใหไดรปหกเหลยม จากค าพดทบอกวา “จะเปน 4 อกจดหนงกจะเปน 6 กได ยงไงกได” แสดงขนตอนในการหาอกครงท ม จดหมายเลขบนหนาปดนาฬกาสอกลางของการใชความรเชงวธการ

Item100 กอ สมมต หาเหลยมนะ สมมตให 2 เรมกอน

Item101 พล คอตองลากใหได หาจด

Item102 กอ เออ 5 จดใชไหม 5 จดนกจะเปน 4 6 8 12

Item103 พล แตกยากทตรงดวามนซ าอะไรใชไหม ถาเราเรมจดท 4 แลววนไป 6 8 12 2 มนกเปนรปเดมเนาะ

Item104 น ถาซ าอะไรเรากคอยมาลบออก แลวกมาดวาเลขนซ าเรากมาตกออกๆ

- 1677 -

HMP20-9

ใน Item 100 – Item 104 นกเรยนไดเรมกระท าในรปอนนอกจากรปหกเหลยม ซงไดใชความรเชงวธกา เหนจากกอบอกวา “สมมต หา เหลยมนะ สมมตให 2 เรมกอน” ซงเปนขนตอนทกอไดเลอกทกระท าและเรมจากจดหมายเลข 2 บนหนาปดนาฬกากอน และหลงจากนน เพอนในกลมมการใชความรเชงมโนมตทนกเรยนรวาในการสราง หาเหลยมกตองสรางการเลอกจด 5 จด ถาเราเรมจากจดใหมแตไดใชจดเดมในการสรางรปหาเหลยมนกเรยนกรวารปนนยงเปนรปเดมอย เหนจาก “ถาเราเรมจดท 4 แลววนไป 6 8 12 2 มนกเปนรปเดมเนาะ” และขนตอนสดทายทนกเรยนไดกระท าคอการลบจดทซ าออก ความรเชงวธการทนกเรยนน ามาใชแสดงกระบวนการหาค าตอบและมสญลกษณทางคณตศาสตรมาเกยวของ จากท นกลาววา “ถาซ าอะไรเรากคอยมาลบออก..” 3. ขนอธปรายรวมกนและเปรยบเทยบทงชนเรยน

เมอครไดในใหนกเรยนแกสถานการณปญหาแลว ซงหลงจากทครเดนสงเกตแนวคดของเดกนกเรยนแตละกลม ครไดรแนวคดของแตละกลม ครไดใหแตละกลมออกมาน าเสนอแนวคดของกลมตนเองซงครเรยงตามกลมเปาทไดคดเลอกและจดกลมตามล าดบ ซงขนตอนอภปรายรวมกนทงชนเรยนวเคราะหดงน ในขนอภปรายรวมกนทงชนเรยนของกลมพลไดน าเสนอวธทงายทสดในการหาจ านวนวธทงหมดในการวาดรปหลายเหลยมบนหนาปดนาฬกาทมตวเลขแคเลขค

Item112 พล ถาเราคดเปนแบบจ านวนท n มนจะเปน n ในรปแบบนนะครบ ถาเปน n ของรปสามเหลยม จากจดทงหมดม 6 จด เราตองการ 3 จด กคอ r=3 ไปแทนคาในตวน กจะได 20 วธ กจะไดเทากนกบวษแตในกลมตณเหมอนกบวาเขาจะวาดรปไมซ า หรอหายไปเขาเลยไดแค 10 แลวกท าในกรณอยางนไปทก เหลยม สามเหลยมสเหลยมหาเหลยมหกเหลยม กจะไดเปน 20 15 6 แลวก 1 พอรวมกนกจะได 42 วธครบ

Item113 คร มใครท าวธนบางเอย (นกเรยนยกมอ) โอว ทกกลมเลย

จาก Item 112 – Item 113 เปนการอธบายวธการทนกเรยนกลมของพลไดอภปรายและสรปออกมาซงเปนวธท

ทงายและสะดวกตอการหาค าตอบมากทสดซงจากค าอธบายใน Item 112 มความสมพนธระหวางความรเชงงมโนมตและความรเชงวธการตามกรอบของ Johnson et al.(2001) ในรปแบบการท าซ าซงมรายละเอยดดงน นกเรยนไดน าความรของการจดหมมาชวยในการแกสถานการณปญหา นกเรยนใชความรทเรยนมา

ภาพท 5 แสดงใบงานของนกเรยนในแผนการจดการเรยนท 5 เรองวงลอพศวง

- 1678 -

HMP20-10

4. ขนสรปโดยเชอมโยงแนวคดของนกเรยนทเกดขนในชนเรยน

ครไดน านกเรยนมาสขนสรปของบทเรยน เปนการทครน าแนวคดทนกเรยนไดน าเสนอและอภปรายรวมกนทงชนเรยนมาสรปรวมและอธบายเพมเตม ซงครไดน าแนวคดของนกเรยนทนกเรยนบอกวางายทสดขยายเพอความเขาใจอกครง และจะเปนประโยชนในเนอหาความนาจะเปนตอไป

Item120 คร การวาดรปหลายเหลยมในวงกลมทมจดยอด 6 จด ใชวธไหนงายทสด

Item121 นกเรยน ซ เอน อาร

Item122 คร หลกๆเลยทเราใช(ครน างานทนกเรยนเขยนสตรมาใหนกเรยนด ) จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง ซง r ของเราจะอยระหวาง 0 ถง n เปน 0 กไดหรอเปน n กได จะเทากบ n!สวนดวย (n-r)!r! ร ไหมวามาจากไหนบางเนย n! ครเอามาจากไหนเอย

Item123 พล จ านวนสงของ

Item124 คร อา จ านวนสงของการเรยงสบเปลยนใชไหม แลว(n-r)!ละ

Item125 พล ตวทซ า

Item120 - Item125 เปนการทครน าเขาสบทสรปของบทเรยน และไดเนนในเรองบทนยามของการจดหม ซงเปนเนอหาคณตศาสตรเพมเตม จะเหนไดจากทครอธบายบทนยามวา “สงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง ซง r ของเราจะอยระหวาง 0 ถง n เปน 0 กไดหรอเปน n กได จะเทากบ n!สวนดวย (n-r)!r! ” เปนเพยงการทครพดถงนยามอกครง และ นกเรยนไดท าความเขาใจรวมกนในตวแสดงแทนตางๆของบทนยามเรองการจดหม จากการวเคราะหในขนเชอมโยงแนวคดของนกเรยนเพอศกษาความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการตามกรอบรปแบบการท าซ าของ Johnson et al. (2001) จงไมปรากฏในขนการเรยนการสอนดวยวธการแบบเปด

ภาพท 6 แสดงการอธบายเพมเตมของครจากแนวคดนกเรยนในทฤษฎเรองการจดหม

ผลการวจย ขน 1 ขนน าเสนอปญหาปลายเปด ในการเรยนการสอนในขนท 1 ไมปรากฏความสมพนธระหวางความรเชง

มโนมตและความรเชงวธการเพราะการเรยนในขนน าเสนอสถานการณปญหาปลายเปดครเปนผน าเขาสปญหา นกเรยนเพยงแคท าความเขาใจสถานการณปญหากอนมการแกไขปญหาในขนการเรยนการสอนตอไป

ขน 2 ขนการเรยนรดวยตนเองของนกเรยน พบความสมพนธทนกเรยนน ามาแกไขสถานการณปญหาปลายเปดทมเงอนไขตางๆทก าหนดให ปรากฏท งสองทศทางของการน าความรมาใช ซงรปแบบสองทศทางนวเคราะหตาม

- 1679 -

HMP20-11

รปแบบการท าซ า ตามแนวคด Johnson et al.(2001) คอการทนกเรยนน าความรเชงมโนมตมาใชและไดมาซงความรเชงวธการ ซงในทศทางนนกเรยนเลอกวธการทเหมาะสม น าความรทนกเรยนมมากอนหนานมาชวยในการเลอกการด าเนนการทจะไปสค าตอบทถกตอง ซงการเลอกวธการหรอน าความรเดมมาชวยแกปญหาเปนการน าไปสการใชความรตอไป และการทนกเรยนน าความรเชงวธการมาใชและมการอธบาย โตเถยง โตแยง อภปรายภายในกลมยอยของตนเองทน ามาซงความรเชงมโนมต เพราะความรเชงวธการจะมการแสดงแทนทเปนสญลกษณทางคณตศาสตร การวาดภาพทเกยวของกบเรองความนาจะเปนมาใชในการหาค าตอบเปนสงทแสดงสอกลางไปยงการใชความรเชงมโนมตทจะอธบายถงเหตผลทน าการแสดงแทนเหลานมาใชหาค าตอบ

ขน 3 ขนอธปรายรวมกนและเปรยบเทยบทงชนเรยน พบความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการจากการวเคราะหนกเรยนสวนมากจะเรมตนการอธบายแนวคดของกลมตนเองดวยการน าความรเชงวธการบอกถงขนตอนของแตละการแกปญหาของกลมซงนกเรยนบอกขนตอน การด าเนนการ และมการสรางประโยคสญลกษณทางคณตศาสตรซงนกเรยนจะอธบายเหตผลถงสญลกษณ การวาดภาพในวงกลม หรอการวาดแผนภาพตนไม ทเกยวของกบเรองความนาจะเปน ซงเปนการทนกเรยนน าความรเชงมโนมตมาใชในการอธบายเหตผลเหลาน และสญลกษณทางคณตศาสตร การวาดภาพ หรอแมกระทงกากระทงการขดเขยนในการใบงานทมการอธบายเหตผลเปนตวแสดงแทนทแสดงใหเหนแนวคดของกลมตนเอง และมการใชรปแบบนในการ น าเสนอแนวคดอนๆจากสถานการณปญหาทก าหนดให หรอจากเงอนไขทไดมาจากปญหาจากทครน าเสนอ

ขน 4 ขนสรปโดยเชอมโยงแนวคดของนกเรยนทเกดขนในชนเรยน ในการวเคราะหพบวาไมมความสมพนธแบบสอทศทางตามรปแบบการท าซ า ตามแนวคดของ Johnson et al. (2001) เพราะครไมไดตงค าถามใหนกเรยนไดชวยกนตอบ เพยงแคครน าแนวคดมาสรปบทเรยนและเสรมสงทนกเรยนยงขาดหายของเนอหาความนาจะเปนหลงจากนกเรยนไดน าเสนอแนวคดและผลงานของกลมตนเองแลว อภปรายและสรปผลการวจย

จากการสรปผลการวจย ผวจยน ามาอภปรายผลตามการเรยนการสอนดวยวธการแบบเปด 4 ขนตอน ตามแนวคดของ ไมตร (2557) มรายละเอยดดงน

ขน 1 ขนน าเสนอปญหาปลายเปด ไมพบความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ ดวยสาเหตทวาขนการเรยนการสอนนครเปนผน าเขาสสถานการณปญหาดวยครเอง นกเรยนเปนเพยงผท าความเขาใจวาสถานการณปญหามเงอนไข หรอตองการหาค าตอบอยางไร นกเรยนยงไมไดรวมอภปรายกนภายในกลมจงไมมการอธบายเหตผลหรอแสดงขนตอนในการหาค าตอบ

ขน 2 ขนการเรยนรดวยตนเอง ความสมพนธทเกดขนในเรองความนาจะเปน นกเรยนน าความรเชงมโนมตมาใชในการคนหาเงอนไขเพอเลอกใชวธการทเหมาะสม และไดมาซงความรเชงวธการ สอดคลองกบ บงกช (2556) บอกวาการแกปญหาทมขนตอนทมความรเชงมโนมตมาสนบสนนเรยกวาความสมพนธของความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ แตเมอนกเรยนเกดขอผดพลาด หรอไมเขาใจกนภายในกลม นกเรยนมการอธบาย โตเถยง โตแยง น ามาซงความรเชงมโนมต และนกเรยนน าความรเชงวธการมาใชอกครงเพอใหไดค าตอบ และการพฒนาความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการคอการทนกเรยนไดใชความรทงสองนบอยครง สอดคลองกบ Johnson (1998) วา ความรเชงวธการและความรเชงมโนมตจะพฒนาซ าๆ การเพมขนเลกนอยของความรหนงจะน าไปสการเพมขนของอกความรหนง

- 1680 -

HMP20-12

ขน 3 ขนอธปรายรวมกนและเปรยบเทยบทงชนเรยน พบความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการทนกเรยนน าความรเชงวธการมาอธบายกอนทจะใชความรเชงมโนมตพดเหตผลในการใชวธการเหลานนซงในความรเชงวธการจะมการแสดงแทนตวปญหา ซงการแสดงแทนนเปนสอกลางของความรเชงวธการไปยงความรเชงมโนมต จากท Greer (1992 cited in Chinnappan, M., 2005) กลาวถงการแสดงแทนทางคณตศาสตรวาเปนหลกฐานทสอใหเหนความสมพนธระหวางแนวคดและการด าเนนการทเกดขนในระหวางการแกปญหาคณตศาสตร ซงการแสดงแทนนนคอหลกฐานทบงบอกถงการคดและความเขาใจของนกเรยน

ขน 4 ขนสรปโดยเชอมโยงแนวคดของนกเรยนทเกดขนในชนเรยน ไมพบความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการ ดวยสาเหตทวาการเรยนการสอนในขนนครเปนผด าเนนการในชนเรยนทน าแนวคดทนกเรยนไดน าเสนอในชนเรยนมาสรปและอธบายเพมเตมเพอใหนกเรยนเขาใจรวมกน ขอเสนอแนะ

ผลวจยทไดท าใหเหนความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชงวธการแบบสองทศทางทนกเรยนสามารถหาวธการทเหมาะสมมาแกปญหาและสามารถบอกเหตผลของวธการนนได ซงครควรจะเรมตนการสอนดวยความรเชงมโนมตเปนล าดบแรกและมการจดแผนการเรยนการสอนทเปนสถานการณปญหาปลายเปดทครทวไปสามารถน าไปเปนแนวทางในการจดแผนการเรยนการสอน และควรมการคาดการณแนวคดของนกเรยนเพอเพมการอภปรายทมากขน กตตกรรมประกาศ

งานวจยนไดรบทนสนบสนนจากสถาบน สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.), ศนยวจยคณตศาสตรศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน และ บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน

เอกสารอางอง กระทรวงศกษาธการ. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพชมนมสหกรณ

การเกษตรแหงประเทศไทย; 2552. บงกช นมตระกล. การใชยทธวธคดเชงความสมพนธเพอสรางความสมพนธระหวางความรเชงมโนมตและความรเชง

วธการในชนเรยนคณตศาสตรทเนนกระบวนการแกปญหา. วทยานพนธปรญญา ปรชญาดษฎบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรศกษา บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน; 2556.

ศรเพญ ทรพยมนชย. สถตเพอการตดสนใจ. กรงเทพฯ: โรงพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร; 2544. ไมตร อนทรประสทธและคณะ. การปฏรปกระบวนการเรยนรวชาคณตศาสตรในโรงเรยนโดยเนนกระบวนการทาง

คณตศาสตร. ขอนแกน: ขอนแกนการพมพ; 2546. ไมตร อนทรประสทธ. กระบวนการแกปญหาในคณตศาสตรระดบโรงเรยน . ขอนแกน: ศนยวจยคณตศาสตรศกษา คณะ

ศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน; 2557. Hiebert and Lefevre, editoes. Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. London: Lawrence Erlbaum

Associates Inc;1986. Inprasitha, M. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, One Feature of Adaptive Lesson Study in

Thailand: Designing a Learning Unit; 2011 Vol. 34 No. 1. p. 47 – 66.

- 1681 -

HMP20-13

Chinnappan, M., & Lawson, M. J. A framework for analysis of teachers’ geometric content knowledge and geometric knowledge for teaching. Journal of Mathematics Teacher Education; 2005. 8(3). p. 197-221.

Rittle-Johnson, Bethany, Robert S. Siegler, and Martha Wagner Alibali. Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology; 2001. 93. p. 346-362.

Rittle-Johnson, B., and Siegler, R. S. The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review; 1998.

Schneider, M., & Stern, E. Conceptual and procedural knowledge of a mathematics problem: Their measurement and their causal interrelations. In Proceedings of the 27th annual conference of the cognitive science society; 2005. p. 1955.

Tsang & Shahrill.Integrating the real-world problem-solving and innovation dimension in the teaching of Probability. 7th ICMI-East Asia Regional Conference on Mathematics Education 11-15 May 2015, Cebu City, Philippines; 2015.

- 1682 -