HMP23-1

การเชอมโยงการคดทางพชคณตกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ในชนเรยนทใชวธการแบบเปด

Connection of Algebraic Thinking and Geometric Thinking of Students Grade 10

in Classroom using Open Approach

ศรประภา บญหลา (Seepapha Boonla) * เออจตร พฒนจกร (Aaijit Pattanajak) **

บทคดยอ

การวจยนมวตถประสงคเพอส ารวจการเชอมโยงความคดพชคณตกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยนชน

มธยมศกษาปท 4 เรองเขาคณตวเคราะหในชนเรยนทใชวธการแบบเปด โดยใชระเบยบวธวจยเชงคณภาพดวยการ

ทดลองเชงการสอนโดยใชวธการแบบเปดตามแนวคดของ Inprasitha (2011) โดยมเครองมอทใชเกบรวบรวมขอมล

ประกอบดวย แผนการจดการเรยนรเรองเรขาคณตวเคราะหจ านวน 6 แผน เครองบนทกวดทศน เครองบนทกเสยง

เครองบนทกภาพนง แบบบนทกภาคสนาม ซงมกลมเปาหมายเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ปการศกษา 2558

จ านวน 3 กลม กลมละ 3 คน ซงเปนชนเรยนทน าวธการแบบเปดมาใชจดการเรยนการสอนเพอเนนใหนกเรยน

แกปญหาดวยตวเอง และวเคราะหขอมลโดยใชกรอบแนวคดของ Businskas (2008) ผลการวจยพบวา นกเรยนมการ

เชอมโยงการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตทง 7 ประเภท ดงน การแสดงแทนส ารอง การแสดงแทนเทยบเทา

การใชคณสมบตทวไป การรวมเขาไวดวยกน รปแบบทวไป การใหความหมายโดยนย และกระบวนการ ในการ

แกปญหาเรองเขาคณตวเคราะห

ABSTRACT

This research aims to explore the connection of algebraic thinking and geometric thinking of 10th grade

students in classroom using Open Approach. The paper utilized the qualitative method with teaching experiment

using Open Approach according to Inprasitha (2011). The data was collected by using lesson plans, video recorder,

audio tape recorder, camera, field note. The target group is 10th grade students in school year 2015, 3 groups of 3

student, who attended in the classroom teaching by using Open Approach that encourage student to solve problem by

their own selves. The data was analyzed by using framework of Businskas (2008). The results showed that students

can connect between algebraic and geometric thinking 7 types to display Alternate representation, Equivalent

representation, Common features, Inclusion, Generalization, Implication and Procedure to solve problems of analytic

geometry.

ค าส าคญ : การเชอมโยง การคดทางพชคณต การคดทางเรขาคณต

KeyWords : Connection, Algebraic thinking, Geometric thinking

* นกศกษา หลกสตรศกษาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาการศกษาวทยาศาสตรและเทคโนโลย คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน ** รองศาสตราจารย สาขาวชาคณตศาสตรศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

- 1698 -

HMP23-2

บทน า

หลกสตรแกนกลางการศกษาข น พนฐาน 2551 มงใหผ เรยนเกดสมรรถนะส าคญ 5 ประการ ดงน

ความสามารถในการสอสาร ความสามารถในการคด ความสามารถในการแกปญหา ความสามารถในการใชทกษะชวต

ความสามารถในการใชเทคโนโลย ซงความสามารถในการคด เปนความสามารถในการคดวเคราะห การคดสงเคราะห

การคดอยางสรางสรรค การคดอยางมวจารณญาณ และการคดเปนระบบ เพอน าไปสการสรางองคความรหรอ

สารสนเทศเพอการตดสนใจเกยวกบตนเองและสงคมไดอยางเหมาะสม คณตศาสตรมบทบาทส าคญยงตอการพฒนา

ความคดมนษย ท าใหมนษยมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบ มแบบแผน สามารถวเคราะหปญหาหรอ

สถานการณไดอยางถถวน รอบคอบชวยใหคาดการณ วางแผน ตดสนใจ แกปญหา และน าไปใชในชวตประจ าวนได

อยางถกตอง เหมาะสม นอกจากนคณตศาสตรยงเปนเครองมอในการศกษาทางดานวทยาศาสตร เทคโนโลยและศาสตร

อน ๆคณตศาสตรจงมประโยชนตอการด าเนนชวต ชวยพฒนาคณภาพชวตใหดขน และสามารถอยรวมกบผอนไดอยาง

มความสข (กระทรวงศกษาธการ, 2551) การคดทางคณตศาสตรแบงออกเปน 3 ประเภท คอ (1) การคดทางคณตศาสตร

ทเกยวของกบวธการทางคณตศาสตร (2) การคดทางคณตศาสตรทเกยวของกบเนอหาทางคณตศาสตร(3) ทศนคตทาง

คณตศาสตรเปนวชาทเปนนามธรรม การใชเหตผล กระบวนการคด และการแกปญหา คณตศาสตรจงเปนวชาทชวย

เสรมสรางใหนกเรยนเปนคนทมเหตผล มการคดอยางมวจารณญาณและเปนระบบ ตลอดจนมทกษะการแกปญหา

การคดทางพชคณตเปนองคประกอบทส าคญและเปนพนฐานของการคดและการใหเหตผลทางคณตศาสตร

ซงเกยวของกบการรบรรปแบบและความสมพนธทางคณตศาสตรทวไป ทามกลางจ านวน วตถและรปทรงเรขาคณต

(Windsor, 2009) Booker (2009) กลาววา การคดทางพชคณตเนนเกยวกบลกษณะทวๆไป จาก รปแบบ วธการของ

ความสมพนธทแสดงออกและการวเคราะหตามสวนของการเปลยนแปลงทมองเหนได การสรางวธการของการคดซง

แปลงการเชอมโยงทามกลางหวขอทหลากหลายและการเตรยมส าหรบเนอหาตางๆมากมาย การพสจนและการอธบาย

คณสมบตตางๆของการคดทางพชคณต เชน สญลกษณ ความสมพนธและสงทเปนนามธรรมทางคณตศาสตร ให

พชคณตเครองมอทมประสทธภาพส าหรบการท าความเขาใจโดเมนอน ๆ ของคณตศาสตร โดยเฉพาะอยางยงในกรณท

เปนเรขาคณต กระบวนการทเปนนามธรรมมความซบซอนโดยเฉพาะอยางยงทเกยวของกบกระบวนการทางความร

หลายอยางซงมนคมคาทจะท าความเขาใจ ในขณะเดยวกน Pierre Marie van Hiele และ Dina van Hiele Gelgof สอง

สามภรรยาชาวเนเธอรแลนด ผเปน สามไดท าการศกษาเกยวกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยน โดยไดก าหนดระดบ

การคดออกเปน 5 ระดบ คอ ระดบท 1 การรบรจากการมองเหน (Visualization, or Recognition) ระดบท 2 การวเคราะห

หรอการพรรณนารปลกษณะ (Analysis, Description) ระดบท 3 การใหเหตผลเชงนรนยอยางไมเปนแบบแผน (Informal

deduction, or Ordering) ระดบท 4 การใหเหตผลเชงนรนยอยางเปนแบบแผน (Formal deduction) และระดบท 5 การ

เปนนามธรรม (Rigor) การใชงานของการแสดงหลายสวนประกอบทไดรบการยอมรบของการคดทางพชคณตจะ

เชอมโยงอยางชดเจนกบการคดทางเรขาคณตและในความเปนจรงมโอกาสทจะเชอมโยงกนแนวคดจากทงพชคณตและ

เรขาคณต (Duval, 1998) แตการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรในชนเรยนไทยในปจจบน ยงคงเนนการคดค านวณ

ทองจ าเนอหาตามทครบอก การสอนเนอหาสวนใหญเปนพวกกฎ สตร หลกการทางคณตศาสตรและการใหนกเรยนท า

แบบฝกหดจ านวนมากเพอใหจาเนอหา การจดการเรยนการสอนดงกลาวเปนการสอนทเทยบไดกบการบอกคณตศาสตร

- 1699 -

HMP23-3

(Talking Mathematics) เทานน การสอนในลกษณะนนอกจากจะไมไดสงเสรมการคดอยางมเหตผลแลวยงเปนการ

ท าลายความกระตอรอรนและความคดสรางสรรคของนกเรยนอกดวย (Dindyal, 2005)

การน าวธการแบบเปดเปนวธการการเรยนการสอนทเปนเครองมอในการสนบสนนการแกปญหาของนกเรยน

และเขาใจเนอหาจากการแกปญหา การจดการเรยนรโดยใชวธการแบบเปด (Open Approach) เปนวธการสอนทม

เปาหมายเพอใหนกเรยนเปดใจในการเรยนจากมมมองทหลากหลายจากปญหาปลายเปดทเปนสถานการณปญหาซงม

ความหลากหลายทงวธการและค าตอบ และปญหาทดนนควรทจะชวยสงเสรมใหนกเรยนเกดความเขาใจมากยงขน การ

เรยนการสอนทใชสถานการณปญหาปลายเปดเปนการสงเสรมนกเรยนมอสระในการคดในการทากจกรรมและแก

สถานการณปญหา โดยมงเนนใหนกเรยนมอสระทจะคดทจะแสดงออก และแสดงความคดเหนทแตกตาง นอกจากน

นกเรยนยงสามารถทจะนาไปใชในการแกปญหาอนๆไดดวย และ Inprasitha (2011) ไดพฒนาวธการแบบเปดทเปน

วธการสอนม 4 ขนตอนคอ 1) การนาเสนอปญหาปลายเปด 2) การเรยนรดวยตนเองของนกเรยน 3) การอภปรายและ

เปรยบเทยบรวมกนท งชนเรยน 4) การสรปการเชอมโยงแนวคดทางคณตศาสตรของนกเรยนทเกดขนในชนเรยน

(Inprasitha, 2011) นอกจากนวธการแบบเปดยงเปนวธการสอนทมการมงเนนความหลากหลายของแนวทางในการคด

ของนกเรยน หรออาจกลาวไดวาเปนการคดทางคณตศาสตรของนกเรยน การเชอมโยงเปนเครองมอในกระบวนการ

แกปญหา ดงนน งานของครคอตองสนบสนนใหนกเรยนใชการเชอมโยงในการแกปญหา (Hiebert andCarpenter,

1992) และการเรยนการสอนในช นเรยนจะตองสงผลใหนกเรยนสามารถสรางและน าการเชอมโยงไปใชใน

กระบวนการแกปญหาได (Hodgson, 1995) มาตรฐานการเชอมโยงเปนหลกสตรการเรยนการสอนตงแตชนอนบาลถง

ชนมธยมศกษาปท 6 ซงจะชวยใหนกเรยนทกคนสามารถ 1. ตระหนกและใชการเชอมโยงระหวางแนวคดทาง

คณตศาสตร 2. เขาใจวธการทางคณตศาสตรทเชอมโยงระหวางความคดและสามารถสรางสงหนงทท าใหเชอมโยงไป

หาสงอนๆทงหมดได 3. ตระหนกและน าคณตศาสตรไปใชในบรบทอนของคณตศาสตร (NCTM, 2000)

การเชอมโยงทางคณตศาสตรเปนสงส าคญทก าหนดไวในวตถประสงคของหลกสตรคณตศาสตรในระดบ

โรงเรยน (NCTM, 2000) และมาตรฐานของสาระการเรยนรคณตศาสตรใหความสนใจไปทความสามารถของนกเรยน

ในการเชอมโยงความรซงเปนมาตรฐานหนงของสาระทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทก าหนดไวในหลกสตร

คณตศาสตรในประเทศไทย (Jaijan and Loipha, 2014) การเชอมโยงเปนกจกรรมทส าคญส าหรบท งครผสอนและ

นกเรยน (Mousley, 2004) โดยเปดโอกาสใหนกเรยนในการสรางหรอน าเสนอคณตศาสตรรปแบบใหมเหมอนกบวา

คณตศาสตรเปนกจกรรมของมนษย (Pilgrim and Bloemker, 2016) นนคอผเรยนจะตองรจกสรางการเชอมโยงระหวาง

สงทเปนรปธรรมไดแกรปภาพ สญลกษณและมโนมต กบกระบวนการรวมเนอหาและวธการตางๆ ทางคณตศาสตรเขา

ดวยกน และจะตองรจกสรางการเชอมโยงระหวางคณตศาสตรกบชวตจรง (Kennedy and Tipps, 1994) กจกรรมการ

แกปญหาจากโลกจรงคอยๆเคลอนทเขาไปทวโลกทางคณตศาสตรโดยใชวธตามธรรมชาตในการคนหาการเชอมโยง

ทางคณตศาสตร การสรางสถานการณเชอมโยงเพอการเชอมโยงทางคณตศาสตรโดยการจดระบบประสบการณการ

เรยนรทางคณตศาสตรซงขนอยกบลกษณะทางคณตศาสตรของนกเรยนในแตละระดบช นทจะตองเผชญกบ

คณตศาสตรทมความหลากหลายในบรบทของโลกของความเปนจรง ซงวตถทเปนรปธรรมเปนสวนหนงในการชวยให

นกเรยนเขาถงการเชอมโยงทางคณตศาสตรและการอธบายความสมพนธของสญลกษณโดยใชสงตางๆรอบตวในระบบ

โรงเรยน นกเรยนควรเชอมโยงคณตศาสตรในสงทพวกเขาไดศกษาจากบทเรยนหนงไปยงบทเรยนถดไป

- 1700 -

HMP23-4

ในสวนของเรขาคณตพชคณตและมประวตศาสตรทางการเชอมโยงทเหนยวแนน มศกษาการมากมายท

ตรวจสอบการเชอมโยงระหวางพชคณตและเรขาคณต (Lee and Wheeler, 1989) พชคณตและเรขาคณตถอวาเปนสอง

เรองหลกของหลกสตรคณตศาสตรทวโลกและถอวาเปนสองเสาหลกทส าคญของของคณตศาสตร สงสามารถแบง

ระหวางพชคณตและเรขาคณต คอ "พชคณตทเกยวของกบการจดการ และเรขาคณตทเกยวของกบพนท (Atiyah, 2001)

โดยทวไป การเรยนการสอนเรขาคณตเปนทยอมรบโดยเฉพาะอยางยงการสรางการพสจนทางเรขาคณตทซบซอนมาก

ขนและมกจะประสบความส าเรจนอยกวาการเรยนการสอนการด าเนนการเกยวกบตวเลขตวเลขหรอพชคณต (Duval,

1998) นกเรยนในโรงเรยนมธยมตองพบเจอกบความยากล าบากอยางมากในการแกปญหาทางเรขาคณตเกยวกบการม

ปฏสมพนธระหวางวธการทางเรขาคณตและการวเคราะห อาจจะเปนเพราะความเขาใจทมเพยงเลกนอยเกยวกบ

แนวความคดทางเรขาคณตจากระดบชนทเรยนกอนหนานและหลายปจจยทมสวนในการท าใหความเขาใจและการ

แสดงออกของนกเรยนเกยวกบเรขาคณตไมเพยงพอ มหลายปจจยทชใหเหนวามผลกระทบตอวธการท าความเขาใจและ

ด าเนนการเกยวกบงานทางคณตศาสตรของนกเรยน (Dindyal, 2005) ทงพชคณตและเรขาคณตอนญาตใหมการแสดง

หลายแนวคดซงนกวจยเหนดวยและศกษาเพมเตมไปสการพฒนาความเขาใจแนวคดให โอกาสทจะใชสญลกษณไปยง

โลกจรงและในทสดกชวยใหความยดหยนในการแกปญหาทางคณตศาสตร การใชงานของการแสดงหลาย

สวนประกอบทไดรบการยอมรบของการคดเชงพชคณตจะเชอมโยงอยางชดเจนกบความคดทางเรขาคณตและในความ

เปนจรงมโอกาสทจะเชอมโยงกนแนวคดจากทงพชคณตและเรขาคณต (Duval, 1998)

จากทกลาวมาขางตนจะเหนวา นกเรยนมจ านวนไมนอยทมปญหาดานการเชอมโยงทางคณตศาสตรซงเปน

มาตรฐานหนงของสาระทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทก าหนดไวในหลกสตรคณตศาสตรในประเทศไทย

ดงน น การศกษาครงนจงไดท าการศกษาเกยวกบการเชอมโยงการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตในการ

แกปญหาเรองเรขาคณตวเคราะหในชนเรยนทใชวธการเปดของนกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 4 นอกจากจะศกษา

วานกเรยนเชอมโยงการคดทางกบพชคณตและเรขาคณตแลวยงส ารวจวาการเชอมโยงนสงเสรมความเขาใจของนกเรยน

และนกเรยนสามารถแกปญหาอยางมประสทธภาพเรขาคณต

วตถประสงคการวจย เพอส ารวจการเชอมโยงความคดพชคณตกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในชน

เรยนทใชวธการแบบเปด

วธการวจย กลมเปาหมาย ใชระเบยบวธวจยเชงคณภาพทเนนการสงเกต และการวเคราะหขอมล ในการแกปญหาของนกเรยน โดยใช

การเรยนการสอนวธการแบบเปดนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4/5 ปการศกษา 2558 ภาคเรยนท 2 โรงเรยนสตรชยภม

อ าเภอเมอง จงหวดชยภม จ านวน 3 กลม กลมละ 3 คน กลมเปาหมายนผวจยไดท าการเรยนการสอนคณตศาสตรในชน

เรยนทใชวธการแบบเปดเปนระยะเวลา 1 ปการศกษา

ขอบเขตทางดานเนอหา

- 1701 -

HMP23-5

เนอหาทใชในการศกษาครงนคอ เรอง เรขาคณตวเคราะห ซงเปนเนอหาทอยในรายวชาคณตศาสตรเพมเตม ระดบชนมธยมศกษาปท 4 และในการเกบขอมลวจยครงนผวจยใชแผนการจดการเรยนรเรอง เรขาคณตวเคราะห จ านวน 8 แผนการจดการเรยนรทมการใชความรทางพชคณตรวมอยในการเรยนการสอนดวย เครองมอทใชในการวจย

เครองมอในการวจย ประกอบดวย เครองมอทใชในการเกบรวบรวมขอมลและเครองมอทใชในการวเคราะห

ขอมล

1. เครองมอทใชในการเกบรวบรวมขอมล

1.1 เครองมอทใชในการเกบรวบรวมขอมล

1.1.1 แผนการจดการเรยนรทสรางโดยใชวธการแบบเปดเรองเรขาคณตวเคราะห จ านวน 6 แผน

ผวจยและผชวยวจยรวมกนสงเคราะหรายการคาถามเพอสรางรายการคาถามทสงเสรมการคดทางคณตศาสตรทปรบให

เขากบบรบทของชนเรยน แลวนารายการคาถามทไดมาก าหนดเปนโครงสรางในการสรางแผนการจดการเรยนร และ

รวมกนสรางแผนการจดการเรยนรเรองความนาจะเปน ตามกระบวนการของวธการแบบเปดตามแนวคดของ Inprasitha

(2011)

1.1.2 แบบบนทกภาคสนาม ใชบนทกลกษณะอาการ การกระท า ค าพด การใหเหตผล พฤตกรรม

ของนกเรยนกลมเปาหมายทสามารถสงเกตไดในขณะทนกเรยนแกปญหาและเขยนอธบายการแกปญหา เพอใชเปน

ขอมลในการประกอบการวเคราะห

1.1.3 ใบกจกรรม เปนใบงานทใหนกเรยนขด เขยน ทด วาดรป แสดงแนวคด

1.2 อปกรณทใชในการเกบรวบรวมขอมล

1.2.1 เครองมอบนทกวดทศน ใชบนทกวดทศนในระหวางทนกเรยนแกปญหาตงแตเรมจนสนสดการแกปญหา โดยบนทกเหตการณภาพรวม ภาพระยะใกลของกลมเปาหมาย

1.2.2 เครองมอบนทกภาพนง ใชบนทกภาพนงในระหวางทนกเรยนแกปญหาตงแตเรมจนสนสดการแกปญหา โดยผวจยใชกลองบนทกภาพนงสาหรบบนทกภาพในเหตการณทมพฤตกรรมทนาสนใจของนกเรยนในขณะทนกเรยนมการแกปญหา 1.2.3 เทปบนทกเสยง ใชบนทกเสยงของนกเรยนแตละกลมในขณะทนกเรยนพดคยกนในระหวางการแกปญหาปลายเปด 2. เครองมอทใชในการวเคราะหขอมล

วเคราะหการเชอมโยงการคดทางพชคณตและการวเคราะหทางเรขาคณตของนกเรยนซง วเคราะหการคดทาพชคณตตามกรอบของ Pilgrim and Bloemker [16 ] วเคราะหการคดทางเรขาคณตตามกรอบของ Duval [5] และวเคราะหการเชอมโยงทางคณตศาสตรตามกรอบของ Businskas [3] โดยขอมลทใชในการวเคราะหคอ โพรโทคอลจากการจดกจกรรมการเรยนการสอนดวยวธการแบบเปดซงไดจากการถอดเทปบนทกชนเรยน งานเขยนจากการท ากจกรรมของนกเรยนและแบบบนทกภาคสนาม

การเกบรวบรวมขอมลการวจย ผวจยเกบรวบรวมขอมลโดยจดการเรยนการสอนโดยใชวธการแบบเปด ซงผวจยและผชวยวจยมการขนตอน

การด าเนนการ ดงตอไปน

- 1702 -

HMP23-6

1. การด าเนนการกอนเกบรวบรวมขอมล 1.1 การรวมกนสรางแผนการจดการเรยนรทใชวธการแบบเปด โดยกระบวนการของการศกษาชนเรยน (Lesson Study) ซงม 3 ขนตอน ดงน

ขนท 1 การสรางแผนการจดการเรยนรรวมกน (Plan) ระหวางผวจยและผรวม การวางแผนการจดการเรยนรทใช 4 ขนตอนของวธการแบบเปด สรางกจกรรมทใชสถานการณปญหาปลายเปด คาดการณแนวคดของนกเรยน และรวมกนสรปสาระส าคญของแผนการเรยนร วางล าดบขนการสอนใหสอดคลองกบเวลาในการท ากจกรรม

ขนท 2 การสอนในชนเรยนและการสงเกตการสอนรวมกนของทมการศกษาชนเรยน (Do) เปนการน าแผนการจดการเรยนรไปใชจรงในชนเรยนโดยผวจยเปนผสอน ผสงเกตชนเรยน ประกอบดวย ครผสอนรายวชาคณตศาสตรในระดบชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 2 คน นกศกษาฝกปฏบตการสอนในสถานศกษา ระดบบณฑตศกษา สาขาวชาการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย วชาเอกการสอนคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาตอนปลาย คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน เปาหมายของการสงเกต คอ การสงเกตกระบวนคดของนกเรยน อารมณ สหนา ทาทางทแสดงออก การเชอมโยงทางคณตศาสตรของนกเรยน ไมใชการพจารณาความสามารถในการสอนของคร

ขนท 3 การสะทอนผลหรอการอภปรายรวมกนของทมการศกษาชนเรยน (See) เปนการสะทอนผลรวมกน ผ สะทอนผล คอ ผทรวมวางแผนการจดการเรยนรและผทสงเกตชนเรยนจะสะทอนผลบทเรยนจากผลทไดจากการสงเกตชนเรยนเพอน าไปสการปรบปรงแผนการจดการเรยนรแลวน าประเดนจากการสะทอนผลไปใชในชนเรยนใหมอกครง ประเดนทสะทอนเปนประเดนเดยวกนกบประเดนทรวมกนวางแผนการจดการเรยนรและสงเกตชนเรยน

2 การด าเนนการเกบรวบรวมขอมล งานวจยนเกบรวบรวมขอมลโดยการวเคราะหการแกปญหาของนกเรยนเรองเรขาคณตวเคราะห ระดบชน

มธยมศกษาปท 4 โดยใชวธการสอนแบบวธการแบบเปด ซงมผวจยเปนผสอน และผชวยวจย 3 คนเกบขอมลตามบทบาทของตวเอง ดงน

1. ผวจย เปนครผสอน เปนคนน าเสนอสถานการณปญหาปลายเปดใหนกเรยน จากนนชวงทนกเรยนท ากจกรรมผวจยกสงเกตพฤตกรรมโดยไมเขาไปแทรกแซง เพอเกบรายละเอยดในขณะทนกเรยนท ากจกรรมแลวบนทกพฤตกรรมการแกปญหาปลายเปดของนกเรยนจนสนสดการแกปญหาปลายเปด และด าเนนการการน าอภปรายวธการแกปญหาของนกเรยนและรวมสรปผลการเรยนกบนกเรยน

2. ผชวยวจยคนท 1 บนทกวดทศนในระหวางทนกเรยนท าการแกปญหาปลายเปดตงแตเรมตนแกปญหาจนสนสดการแกปญหา โดยเปนการบนทกเหตการณในลกษณะภาพขยาย (Zoom) เพอใหเหนงานเขยน (Written Work) ของนกเรยน และท าการบนทกเสยงในระหวางทนกเรยนท าการแกปญหาปลายเปดตงแตเรมตนแกปญหาจนสนสดการแกปญหา โดยบนทกทกลมเปาหมาย

3. ผชวยวจยคนท 2 บนทกวดทศนในระหวางทนกเรยนท าการแกปญหาปลายเปดตงแตเรมตนแกปญหาจนสนสดการแกปญหา โดยเปนการบนทกเหตการณในลกษณะภาพระยะใกลเพอใหเหนภาพรวมของนกเรยน และท าการบนทกภาคสนามในระหวางทนกเรยนท าการแกปญหาปลายเปดตงแตเรมตนแกปญหาจนถงชวงการน าเสนอผลงานของนกเรยนและชวงการสรปความร โดยบนทกพฤตกรรมทนกเรยนแสดงออกมาในระหวางการแกปญหา น าเสนอและสรปความรของนกเรยน

- 1703 -

HMP23-7

4. ผชวยวจยคนท 3 ท าการบนทกภาคสนามในระหวางทนกเรยนท าการแกปญหาปลายเปดตงแตเรมตนแกปญหาจนถงชวงการน าเสนอผลงานของนกเรยนและชวงการสรปความร โดยบนทกพฤตกรรมทนกเรยนแสดงออกมาในระหวางการแกปญหา น าเสนอและสรปความรของนกเรยน

การวเคราะหขอมลการวจย ในวจยเรอง การเชอมโยงการคดทางพชคณตกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในชน

เรยนทใชวธการแบบเปด ครงนเปนการวจยทใชระเบยบวธการวจยเชงคณภาพ โดยวเคราะหจากโพรโทคอลของนกเรยน พรอมดวยวเคราะหวดทศนชนเรยน โดยเนนกระบวนการแกปญหาของนกเรยน ขอมลจากการบนทกภาคสนามของผวจยและ ผรวมวจย และขอมลจากผลงานของนกเรยนกลมเปาหมายทเขยนอธบายวธการแกปญหาของกลม รวมทงเหตผลตางๆทใชเปนแนวคดในการแกปญหา เชน กระดาษบรฟ กระดาษทด ใบงานตางๆ ในการใชท ากจกรรมการแกปญหาปลายเปด เพอน าวาวเคราะหการคดทางพชคณตตามกรอบของ Pilgrim and Bloemker [16] ซงม 3 แงมมดงน 1. การใชสญลกษณ (Symbolization) 2. การใชรปแบบ (Patterns) 3. การใชการแสดงแทนทหลากหลาย (Multiple Representations) วเคราะหการคดทางเรขาคณตของตามแนวคดของ Duval [5] มสามแงมมดงน 1. การนกภาพ (Visualization) 2. การสราง (Construction) 3. การให เหตผล (Reasoning) และกรอบการเชอมโยงทางคณตศาสตรของ Businskas [3] ซงม 7 ประเภท ดงน 1. การแสดงแทนส ารอง (Alternate representation) 2. การแสดงแทนการเทยบเทา (Equivalent representation) 3. คณสมบตทวไป (Common features) 4. การรวมเขาไวดวยกน (Inclusion) 5. รปแบบทวไป (Generalization) 6. ความหมายโดยนย (Implication) 7. กระบวนการ (Procedure) ผลการวจย

การวเคราะหการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณต การวเคราะหการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตของนกเรยนจะเรยนตามล าดบของ 4 ขนตอนของวธการแบบ

เปด วเคราะหการคดทางพชคณตตามกรอบของ Pilgrim and Bloemker [16] ซงม 3 แงมมดงน 1. การใชสญลกษณ (Symbolization) 2. การใชรปแบบ (Patterns) 3. การใชการแสดงแทนทหลากหลาย (Multiple Representations) วเคราะหการคดทางเรขาคณตของตามแนวคดของ Duval [5] มสามแงมมดงน 1. การนกภาพ (Visualization) 2. การสราง (Construction) 3. การใหเหตผล (Reasoning) การวจยครงนใชนยามศพทค าวา “Item” หมายถง พฤตกรรมทเกดขนในการแกปญหาของนกเรยนในระหวางการจดการเรยนการสอนตามลาดบเวลาทเกดขนไดแก การพดหรอบทสนทนา โดยมรายละเอยดการวเคราะห ดงน

ตารางการส ารวจการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตในแตละขนตอนของวธการแบบเปด แผนการจดการ

เรยนรท กลมเปาหมาย 4 ขนตอนของ

วธการแบบเปด

การคดทางพชคณต การคดทางเรขาคณต

S P M V C R

1 กลมท 1

1 - - + + - -

2 + + - + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - +

กลมท 2 1 - - - - - -

- 1704 -

HMP23-8

2 + + + + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - -

กลมท 3

1 - - - - - -

2 + + + + + -

3 - - - - - +

4 - + - - - -

2

กลมท 1

1 - - - - - -

2 + + + - + +

3 - - - - - +

4 - + - - - -

กลมท 2

1 - - - - - -

2 + + + + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - -

กลมท 3

1 - - - + - -

2 + + + + + +

3 - - - - - -

4 - - - - - +

3

กลมท 1

1 - - + + - -

2 + + + - + +

3 - - - - - +

4 - + - - - -

กลมท 2

1 - - + - - -

2 + + + + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - +

กลมท 3 1 - - - + - -

2 + + + + + +

- 1705 -

HMP23-9

3 - - - - - -

4 - - - - - +

4

กลมท 1

1 - - - - - -

2 + + + - + +

3 - - - - - +

4 - + - - - +

กลมท 2

1 - - + - - -

2 + + + + + +

3 - - - - - +

4 - + - - - -

กลมท 3

1 - - - + - -

2 + + + - + +

3 - - - - + -

4 - - - - - +

5

กลมท 1

1 - - - - - -

2 + + + + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - -

กลมท 2

1 - - + - - -

2 + + - + + +

3 - - - - - +

4 - - - - - +

กลมท 3

1 - - + + - -

2 + + + + + +

3 - - - - - -

4 - - - - - +

* S = Symbolization, P = Patterns, M = Multiple representations, V = Visualization, C = Construction, R = Reasoning รปท 1 ตารางการวเคราะหขอมลการคดทางพชคณตกบการคดทางเรขาคณตของนกเรยนกลมท 1 ตาม 4 ขนตอน

ของวธการแบบเปด

- 1706 -

HMP23-10

การวเคราะหแผนการจดการเรยนรท 1 เรอง ทางไหนใกลกวากน

สถานการณปญหา

ถานกเรยนจะเดนทางไปทกอ าเภอโดยเรมทอ าเภอเมอง นกเรยนจะมวธทจะเดนทางไปยงทกเมอง โดยทม

ระยะทสนทสด และมระยะสนทสดเทาไร

มาตราสวน 1 หนวย ตอ 1 กโลเมตร

ค าสง : ใหนกเรยนแสดงวธการหาเสนทางทสนทสดทจะเดนทางไปยงทกเมอง โดยเรมจาก

อ าเภอเมอง

การวเคราะหการส ารวจการคดทางพชคณต

จะพจารณาในขนท 2 การเรยนรดวยตวเองของนกเรยน (Students’ Self Learning)

1. การใชสญลกษณ (Symbolization)

Item 29 เฟรม ใชๆ ตรงนนาจะเปน (1,2)

Item 30 ใหม หรอ

Item 31 พอส ถกแลว เปน 1 เปน 2

Item 32 ใหม ตรงน (4,2) ใชไหม (ชท อ าเภอแกงครอ)

Item 33 เฟรม ไมใชๆ ตรงน (-4,2)

Item 34 พอส โอเค เขาใจแลวลงใหครบทกจด อ าเภอเมอง (-4,9)

Item 35 ใหม จตรส (1,12) แลวก หนองบวแดง (6,3) แลวเอาไงตอทน

จาก Item 29 – Item 35 จะเหนวาเปนการพดคยกนของนกเรยนในการลงพกดจดบนระบบพกดฉาก จะเหนวาใน Item 30 พอสไดพดวา ถกแลว x เปน 1 y เปน 2 ซงนเปนการใชตวแปรในการบอกพกดของจดของอ าเภอ จากตรงนจะเหนวามการใชตวแปร x , y เปนทแรกในการแกปญหา ซงปกตตวแปร x , y กถกใชโดยทวไปในการบอกพกดอยแลว ในเรองการหาระยะหางระหวางจดสองจดจะนยมใช

1x , 2x ,

1y , 2y ในสตรทค านวณอยแลว

- 1707 -

HMP23-11

ดงนนการใชตวแปร x , y จงเปนการใชตวแปรทเปนทนยมใชในทางคณตศาสตร จากตรงนจะเหนวานกเรยนมการ

คดทางพชคณตในแงมมของการใชสญลกษณ การวเคราะหการส ารวจการคดทางเรขาคณต

1. การนกภาพ (Visualization) Item 36 เฟรม นนด เราจะเรมเดนจากทางไหนด Item 37 พอส ระยะทางไหนใกลกวากน เราวาแบบนใกลกวา (พอสลากเสน จาก อ าเภอเมอง

ไป แกงครอ ไป คอนสวรรค ไป หนองบวแดง ไป จตรส)..... ทางท 1 Item 38 เฟรม เคากวาทางนเหมอนกน ลงขางลางปบ แลวกตรงมา แลวกขนมาอยางนเลย ครบ

พอด Item 39 พอส หรอวาจะอยางน (พอสลากเสน จาก อ าเภอเมอง ไป จตรส ไป หนองบวแดง ไป

คอนสวรรค ไป แกงครอ).... ทางท 2 จาก Item 36 – Item 39 แสดงถงการพดคยกนของนกเรยนเกยวกบการหาเสนทางทจะเชอมตอแตละอ าเภอ

ใหสนทสด ซงในค าพดของเฟรม Item 38 ทบอกวา เคากวาทางนเหมอนกน ลงขางลางป บ แลวกตรงมา แลวกขนมาอยางนเลย ครบพอด ซงเปนการอธบายภาพเสนทางทตนเองคดไวในใจแตไมไดวาดลงไปในกระดาษ แตการอธบายของเฟรมไมไดบอกวาทางทตนเองจะไปนนผานอ าเภอไหนบาง แตเฟรมอธบายวา ขน ลง ตรงไป ซงจะบอกตรงนไดตองผานการลงจดบนกราฟมาแลวแลวบอกจากทมองเหนบนกราฟ จากตรงนจะเหนไดวานกเรยนมการคดทางเรขาคณตในแงมมการนกภาพ การวเคราะหการเชอมโยงการคดทางพชคณตกบการคดทางเรขาคณต

จากการวเคราะหการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตเพอแยกวาแตละขนตอนนกเรยนมการคดแบบไหนปรากฏขนมาบาง แลวจากนนผวจยไดน าแตละการคดทไดวเคราะหมาท าการจดเรยงล าดบตามเหตการณทเกดขนวาการคดไหนเกดการคดไหนเกดทหลงและไดท าการวเคราะหวาในแตละการคดทเกดขนนนไดมการเชอมโยงทางคณตศาสตรดงทเราจ าแนกตามกรอบของ Businskas [3] ซงจะเหนไดจากรปท 1 เปนรปการวเคราะหการเชอมโยงทางคณตศาสตรตามกรอบของ Businskas [3] โดยใชขอมลจากการวเคราะหการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตมาท าการวเคราะห จาก รปท 1 ผวจยไดก าหนดสญลกษณขนมาเพองายตอการเขาใจ ซงมค าอธบายดงน 1. ตวอกษรภาษาองกฤษทเปนตวพมพใหญ ใชแทนแงมมตางๆของการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณต นนคอ “S” สญลกษณ (Symbolization)

“P” รปแบบ (Patterns) “M” การแสดงแทนทหลากหลาย (Multiple representations) “V” การนกภาพ (Visualization) “C” การสราง (Construction) “R” การใหเหตผล (Reasoning) 2. ตวเลขทตามหลงตวอกษรภาษาองกฤษ ใชแทนแตละขนตอนของวธการแบบเปด เชน S1 หมายถง การคดทางพชคณตในแงมมการใชสญลกษณเกดขนในขนท 1 ของวธการแบบเปด 3. ตวเลขทแสดงการก ากบลกศร ใชแทนประเภทของการเชอมโยงทางคณตศาสตรซงมดวยกน 7 ประเภท ดงน 1 แทน การแสดงแทนส ารอง (Alternate representation)

- 1708 -

HMP23-12

2 แทน การแสดงแทนการเทยบเทา (Equivalent representation) 3 แทน คณสมบตทวไป (Common features) 4 แทน การรวมเขาไวดวยกน (Inclusion) 5 แทน รปแบบทวไป (Generalization) 6 แทน ความหมายโดยนย (Implication) 7 แทน กระบวนการ (Procedure) 4. ลกศร ใชแสดงทศทางวามการเชอมโยงจากแงมมไหนไปยงแงมมไหน

รปท 2 แผนผงแสดงการวเคราะหการเชอมโยงทางคณตศาสตรของนกเรยนกลมท 1 แผนการจดการเรยนรท 1

จากแผนผงจะวเคราะหการเชอมโยงทางคณตศาสตรระหวางสองแงมมทเชอมโยงกนโดยจะแบงการ

วเคราะหออกเปนชวงในการวเคราะหซงแบงตามลกศรทชจากแงมมหนงไปยงอกแงมมหนง

ซงมตวอยาง ดงน

ชวงท 1 V1 -> M1 ในชวงนเปนการเชอมโยงจากแงมมการนกภาพซงเปนการคดทางเรขาคณตไปยงแงมม

การแสดงแทนทหลากหลายซงเปนการคดทางพชคณต ใน Item 3 – 6 เปนแงมมของการนกภาพ ซงครไดถามนกเรยน

วาจากสถานการณทครใหมานกเรยนเหนอะไร ซงนกเรยนตอบวา กราฟ แตในสถานการณปญหาทครใหนนไมมกราฟ

มเพยงจดเทานนเอง และใน Item 10 -13 เปนแงมมของการแสดงแทนทหลากหลาย โดยครถามตอวากราฟทเหนเรยน

วาอะไร นกเรยนกตอบวา ระบบพกดฉาก ซงเปนการแสดงแทนโดยใชค าซงเปนค าทมความหมายทางคณตศาสตร จาก

ค าตอบของนกเรยนทวา กราฟและระบบพกดฉากนนจะเหนวาอยในเนอหาเดยวกน เพราะกราฟสามรถวาดไดบน

ระบบพกดฉากโดยการลงจดบนระบบพกดฉากแลวลากเสนจากจดหนงไปยงอกจดหนง และระบบพกดฉากงายตอการ

สรางกราฟเพราะสามรถบอกพอกดบนกราฟไดเลย จากตรงนแสดงใหเหนวานกเรยนมการเชอมโยงทางคณตศาสตร

แบบการรวมเขาไวดวยกน

ชวงท 2 M1 -> S2 ในชวงนเปนการเชอมโยงจากแงมมการแสดงแทนทหลากหลายซงเปนการคดทาง

พชคณตไปยงแงมมการใชสญลกษณซงเปนการคดทางพชคณตเหมอนกนใน Item 10 – 13 ในแงมมของการแสดง

แทนทหลากหลายเปนการแสดงแทนโดยใชค าพด คอค าวา ระบบพกดฉาก ซงเปนค าทมความหมายทางคณตศาสตรใช

บอกพกดของจดดวยระยะหางจากแกนทตดกนเปนมมฉากโดยปกตจะวางแกนทงสองในแนวระดบ และแนวดง

- 1709 -

HMP23-13

อกษรทใชเปนชอแกน นยมใช X และ Y และใน Item 29 – 35 เปนแงมมของการใชสญลกษณ นกเรยนไดมการใช

สญลกษณในการแทนจดแตละอ าเภอตามทโจทยก าหนดให จะเหนวานกเรยนใชสญลกษณ yx, ในการแทนพกดจด

แตละจด จะเหนไดวานกเรยนมรการใช ค า และการก าหนดสญลกษณทางคณตศาสตรมาใชในการแกปญหา จากตรงน

แสดงใหเหนวานกเรยนมการเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการแสดงแทนส ารอง

อภปรายและสรปผลการวจย

สรปผลการวจย จากการวเคราะหขอมลการการเชอมโยงการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตของนกเรยนในชนเรยน

ทใชวธการแบบเปด พบการเชอมโยงการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตตามกรอบของ Businskas [3] สรปไดดงตอไปน

1. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการแสดงแทนส ารอง เปนการเชอมโยงโดยใชแนวคดหนงแสดงแทนอกแนวคดหนง ในการวจยนพบวาการแสดงแทนส ารองทนกเรยนใชมการใชสญลกษณ yx, แสดงแทนพกดจดตางๆในระบบพกดฉาก การใชสมการพาลาโบลาแทนเสนโคงของจานดาวเทยม ซงสามารถท าใหนกเรยนสามารถแกปญหาทางคณตศาสตรไดโดยการหาสญลกษณตางๆมาใชในการแดสงแทนสงทนกเรยนคดไมออกหรอใชในการแดงแทนสงทนกเรยนคดเพองายตอความเขาใจของนกเรยน สงผลใหนกเรยนสามารถเลอกหรอหาสงทแสดงแนวคดของนกเรยนออกมาใหเพอนๆไดเรยนรรวมกนได

2. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการแสดงแทนการเทยบเทา เปนการเชอมโยงโดยการแสดงของสองแนวคดทมค าตอบเหมอนกนแตมวธการคดหรอวธการแกปญหาไมเหมอนกน จากการเชอมโยงทางคณตศาสตรโดยการเทยบเทาท าใหพบวานกเรยนสามารถมวธการคดในการแกปญหาไดหลากหลายวธในการแกปญหานนๆ สงผลใหนกเรยนสมารถเลอกใชวธการแกปญหาทงายและเรวทสด

3. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการใชคณสมบตทวไป เปนการเชอมโยงสองแนวคดทมการใชคณสมบตบางอยางรวมกน ท าใหพบวานกเรยนสามารถหาลกษณะหรอคณสมบตสองแนวคดมรวมกน สงผลใหนกเรยนสามารถบอกความความเหมอนหรอความแตกตางของสองแนวคด

4. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการรวมเขาไวดวยกน เปนการเชอมโยงทางคณตศาสตรทรวมแนวคดหนงทเปนองคประกอบของแนวคดหนงไดดวยกน สงผลใหนกเรยนสามารถรวมแนวคดทมลกษณะเดยวกนหรอใกลเคยงกนไวดวยกนเพอจะไดไมมแนวคดทซ ากนเกดขนในชนเรยน

5. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบท าเปนรปแบบทวไป เปนการเชอมโยงทางคณตศาสตรทแนวคดหนงสงผลใหสามารถสรปแนวคดหนงใหเปนรปแบบทวไปได สงผลใหนกเรยนสามารถสรปความรทเกดขนภายในหองเรยนไปสรปแบบทวไปในทางคณตศาสตรได และนกเรยนสามารถเลอกใชรปแบบทวไปทเหมาะสมกบการแกปญหาในแตละขออกดวย

6. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการใหความหมายโดยนย เปนการเชอมโยงทางคณตศาสตรทแนวคดหนงใชสนบสนนอกแนวคดหนงหรอแนวคดหนงเกดขนท าใหเกดอกแนวคดหนงขนตามมา สงผลใหนกเรยนสามารถน าแนวคดหนงมาใชแกปญหาตอมาได

- 1710 -

HMP23-14

7. การเชอมโยงทางคณตศาสตรแบบการกระบวนการ เปนการเชอมโยงทางคณตศาสตรทเปนขนเปนตอนและในวธการหรอกระบวนการแกปญหานนซงแนวคดหนงจะใชอธบายอกแนวคดหนงไดอยางชดเจน สงผลใหนกเรยนมวธการอธบายเปนขนเปนตอนและเปนระบบ

อภปราย ในการจดการเรยนการสอนเรองเรขาคณตวเคราะหซงเปนการเชอมโยงความรระหวางพชคณตและเรขาคณตเขาดวยกน ซงการแกปญหาทางพชคณตบางปญหาอาจน าความรทางเรขาคณตมาชวยปญหา หรอการแกปญหาทางเรขาคณตบางปญหาอาจน าความรทางพชคณตมาชวยในการแกปญหา Inprasitha (2011) กลาววาในการจดการเรยนการสอนดวยวธการแบบเปดซงเนนใหนกเรยนแกปญหาดวยตวเอง ท าใหนกเรยนสามารถดงศกยภาพของตวเองในดานการคดการคดทางพชคณตและทางเรขาคณตออกมาใชไดอยางเตมท และตามท Kennedy and Tipps (1994) กลาววาผเรยนจะตองรจกสรางการเชอมโยงระหวางสงทเปนรปธรรมไดแกรปภาพ สญลกษณและมโนมต กบกระบวนการรวมเนอหาและวธการตางๆ ทางคณตศาสตรเขาดวยกน และจะตองรจกสรางการเชอมโยงระหวางคณตศาสตรกบชวตจรง นกเรยนสามารถคดหาวธการแกปญหาดวยตวเองและสามารถเชอมโยงความรระหวางการคดทางเรขาคณตและการคดทางพชคณตได จากการวเคราะหขอมลพบวานกเรยนสามารถเชอมโยงการคดทางพชคณตและการคดทางเรขาคณตทง 7 ประเภท ไดแก 1. การแสดงแทนส ารอง (Alternate representation) 2. การแสดงแทนการเทยบเทา (Equivalent representation) 3. คณสมบตทวไป (Common features) 4. การรวมเขาไวดวยกน (Inclusion) 5. รปแบบทวไป (Generalization) 6. ความหมายโดยนย (Implication) 7. กระบวนการ (Procedure) เพอแกปญหาเรองเรขาคณตวเคราะห ซงท าใหนกเรยนเหนการแกปญหาดวยวธการตางๆทหลากหลายท าใหนกเรยนสามารถทจะเลอกวธการแกปญหาทงายและเหมาะสมตอสถานการณปญหานน กตตกรรมประกาศ

ผลงานนไดรบการสนบสนนการวจย (บางสวน) จากศนยความเปนเลศดานคณตศาสตร ส านกงานคณะกรรมการอดมศกษา ประเทศไทยและศนยวจยคณตศาสตรศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน เอกสารอางอง

กระทรวงศกษาธการ. 2551. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.กรงเทพฯ: โรงพมพชมนม

สหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย. Atiyah, M. (2001). Mathematics in the 20th Century. American Mathematical Monthly, 654-666. Businskas, A. M. (2008). CONVERSATIONS ABOUT CONNECTIONS. Ph.D. Dissertation, Department of

Education, University of Simon Fraser University. Dindyal, J. (2005). An overview of the Singapore mathematics curriculum framework and the NCTM Standards.

Topic Study Group, 3. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. NEW ICMI STUDIES SERIES, 5, 37-51. Freudenthal, M., (1971). Neogene vertebrates from the Gargano Peninsula, Italy. — Scripta Geol.,3: 110. Hiebert, J. & Carpenter, Th. P. (1992). Learning and teaching with understanding. In: D. W. Grouws (Ed.),

Handbook of research in teaching and learning of mathematics (pp. 65-97). New York: Macmilan. Hlfgard E R & Hffgmd J R. (1984). Hypnosis in the relief of pain. Los Altos, CA: William Kaufmann, P. 302.

- 1711 -

HMP23-15

Hodgson, T.R. (1995). Connections as problem-solving tool. In P.A. House (Ed.).Connecting mathematics across the curriculum, 1995 Yearbook. (pp. 13-21). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Inprasitha, M. (2011). One Feature of Adaptive Lesson Study in Thailand Designing Learning Unit. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, 34(1), 47-66.

Jaijan, W., & Loipha, S. (2014). Making Mathematical Connections with Transformations Using Open Approach. HRD JOURNAL, 3(1), 91-100.

Kennedy & Tipps. (1994). Guiding Children ’ s Learning of Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth Publishing. Lee, L., & Wheeler, D. (1989). The arithmetic connection. Educational Studies in Mathematics, 20(1), 41-54. Mousley, J. (2004). An aspect of mathematical understanding: The notion of "connected knowing". In M. J.

Høines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 377-384). Bergen, Norway: Bergen University College.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Nichols, B. W. (1986). The effect of different sequences of geometry and algebra II on mathematics education. Unpublished doctoral dissertation, University of Missouri, Kansas City.

Pilgrim, M. E. , & Bloemker, J. ( 2016) . Accepted and to be published in Spring 2016 (April 1, 2016) issue of Colorado

Mathematics Teacher CONNECTING ALGEBRA TO GEOMETRY: A TRANSITION SUMMER CAMP FOR AT-RISK STUDENTS.

- 1712 -