1. HUKUM AMPERE untuk MEDAN MAGNETPertama kita anggap suatu arus lurus tak tentu I (lihat gambar)

Gambar 1.a Medan magnet di sekitar kawat lurus berarus IMedan magnet B di titik A adalah tegak lurus terhadap OA, yang dinyatakan dengan persamaan

B=µ0 I

2πru0

Marilah kita hitung perputaran dari B sekeliling lintasan melingkar yang berjari-jari r. Medan

magnet B merupakan garis singgung terhadap lintasan, sehingga = B . d l = Bdl dan besarnya konstan. Oleh karena itu perputaran magnetik (magnetic circulation / gaya magnetomotif) yang didistribusikan dengan AB adalah:

AB=∮L

❑

B .d l=∮L

❑

B .dl=B∮L

❑

dl

∮dl=L=2πr

AB=BL=( μ0 I

2 πr ) (2πr )

AB=∮ B .d l=μ0 I (1)

Dan persamaan (1) disebut Hukum Ampere

Berdasarkan persamaan (1) Nampak bahwa perputaran magnet adalah sebanding dengan kuat arus I dan tidak bergantung dari jari-jari lintasan. Oleh karena itu, pada sekitar arus I digambarkan ada beberapa lingkaran L1, L2, L3, (lihat gambar) maka perputaran magnetik diseluruh sekitar dari kawat adalah sama yaitu µ0I.

Gambar 1.b Lintasan-lintasan medan magnet mengelilingi arus

Lintasan tertutup sembarang (L) mengelilingi arus I (gambar 1.c).

Gambar 1.c Perputaran magnetik sepanjang lintasan L

Perputaran magnetik sepanjang L adalah:

AB=∮L

❑

B .dl=μ0 I2 π

∮ u0. d lr

Sedangkan u0 . d l adalah komponend l dalam arah vector satuan u0 dan besarnya rdθ.

Karena itu:

AB=μ0 I

2π∮

L

❑

dθ=μ0 I

2π(2 π )=μ0 I

Sebab total sudut sekitar titik adalah 2π.

Hasil tersebut sesuai dengan yang ditunjukkan pada persamaan (1), hal itu menunjukkan bahwa persamaan (1) sesuai untuk lintasanj tertutup yang mengelilingi arus lurus, dengan tak mengandalkan posisi arus relatif terhadap lintasan.

Persamaan (1) dapat digunakan untuk berbagai bentuk arus, artinya tidak hanya khusus untuk arus lurus saja. Misalnya, ada beberapa arus I1, I2, I3,….membentuk mata rantai dengan menutup lintasan L (lihat gambar 1.d).

Gambar 1.d Beberapa mata rantai arus

Masing-masing arus memberikan sumbangan kepada perputaran dari medan magnet sepanjang L. berdasarkan ketentuan Hukum Ampere, maka perputaran dari medan magnet sepanjang garis tertutup yang dilingkupi arus (merupakan mata rantai), I1, I2, I3 adalah

AB=∮ B .d l=μ0 I (2)

Dimana I = I1 + I2 + I3 +….

Catatan untuk persamaan (2). Arus positif bila arus tersebut menembus L dalam keadaan sama dengan putaran sekrup ke keadaan mengikuti arah lintasan L, arus negatif bila arahnya berlawanan dengan keadaan tersebut.

Catatan:

Arus positif, bila arah arus yang lewat (melingkupi) lintasan L sama dengan arah putaran sekrup ke kanan yang mengikuti arah lintasan tersebut.

Arus negatif, bila arah arus berlawanan dengan keadaan tersebut. Dalam gambar tersebut I1 dan I3, adalah positif dan I2 adalah negatif.

Hukum Ampere ∮L

❑

B . d l=μ0 I dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dengan

menggunakan teorema Stokes sebagai berikut:

∮L

❑

B . dl=μ0 I

∮S

❑

(∇× B ) . d a=μ0∮S

❑

j . d a

Sedangkan (I=∮S

❑

j . d a), maka

∇× B=μ0 j (3)

Persamaan (3) merupakan persamaan hukumAmpere dalam bentuk diverensial. Berdasarkan

persamaan tersebut dapat dilihat bahwa curl B tidak nol (∇× B≠0 ). Sebaliknya divergensi

(∇× B )=0 yang pembuktiannya sebagai berikut;

Berdasarkan persamaan Biot Savart dapat dinyatakan bahwa medan listrik disekitar kawat besarnya adalah

B=μ04 π

∮L

❑ I ut × ur

r2dl (4)

∇× B=μ04 π

∮L

❑

∇ ∙I ut dl× ur

r2

∇ . B=μ04π

∮L

❑

∇ .Id l ×ur

r2

∇ . B=μ0 I4 π

∮L

❑

∇ .d l ×ur

r 2

Sementara itu berdasarkan sifat identitas vektor dapat dinyatakan bahwa

∇ .[d l ×ur

r2 ]=( ur

r2 ) . (∇ .d l )−d l .[∇×( ur

r2 )]Mengingat d l tidak mengandung (x, y, z), maka ∇× d l=0, disamping itu ∇×

^ur

r2=0 maka

∇ ∙ B=0 (5)

2. POTENSIAL VEKTORPerhitungan medan listrik telah dapat disederhanakan dengan memperkenalkan potensial skalar elektrostatik ( E=−∇V ). Penyederhanaan tersebut juga hasil dari curl ∇× E=0. Sedangkan

untuk medan magnet ∇× B=μ0 j, tetapi ∇ . B=0. Karena divergensi dari suatu curl adalah nol,

maka dengan alasan tersebut dapat diasumsikan bahwa medan magnet dapat dituliskan: B=∇× A (6)

A disebut potensial vektor magnetik (weber/m). sekarang akan ditentukan A sebagai berikut:Berdasarkan hukum Biot-Savart, maka medan B adalah:

B=μ04 π

∮ I μt × μr

r2dl=

μ0 I4 π

∮ d l × μr

r2 (7)

Melalui identitas vektor dapat dinyatakan

d l ×ur

r2=−d l×∇( 1r )=∇×(∇× d l

r )−( ∇×d lr )=∇×( d l

r ) (8)

Karena ∇× d l=0, maka persamaan (8) menjadi

d l × μr

r2=∇×( d l

r )Sehingga B dapat dinyatakan dengan,

B=μ0 i

4 π∮∇×( d l

r ) B=∇×( μ0 I

4 π∮ d l

r ) (9)

Dari persamaan (8) dan (9) dapat dituliskan bahwa:

A=μ0 I

4 π∮C

❑d lr

(10)

Persamaan (10) adalah A untuk arus filamen (kawat berarus). Bila distribusi arusnya volume dan permukaan maka potensial vektor yang dihasilkan masing-masing adalah:

A=μ04 π

∮V

❑jr

dv (11)

A=μ04 π

∮S

❑kd a

r (12)

Sementara itu potensial vektor yang dihasilkan oleh titik muatan yang bergerak adalah:

A=μ0q v

4 πr (13)

Dengan mengingat bahwa B=∇× A, maka hukum Ampere dapat dinyatakan sebagai berikut:

∇× B=∇×∇× A=μ0 j (14)

Dengan menggunakan identitas vektor dapat diperoleh

∇×∇× A=∇ (∇× A )−∇2 A

Dapat dibuktikan bahwa ∇ . A=0, maka

∇× B=∇×∇× A=∇ (∇ . A )−∇2 A=μ0 j

∇2 A=−μ0 j (15)

Yang memiliki komponen pada x, y,z sebagai berikut

∇2 Ax=−μ0 jx

∇2 A y=−μ0 j y (16)

∇2 A z=−μ0 jz

Perlu diperhatikan bahwa penilaian potensial vektor pada titik tunggal adalah tidak bermanfaat, sebab induksi magnet dapat diperoleh dengan diferensial. Prinsip penggunaan potensial vektor adalah pada elektrodinamika dan masalah-masalah yang meliputi radiasi elektromagnet.Contoh 1Dengan menggunakan hukum Ampere, tentukan medan magnet yang dihasilkan oleh arus sepanjang silinder yang panjangnya tak tentu.

PenyelesaianKita anggap arus I sepanjang silinder yang jari-jarinya a (lihat gambar). Ini berarti garis-garis gaya dari medan magnet merupakan lingkaran-lingkaran dengan pusat sepanjang sumbuh silinder, dan medan magnet B pada setiap titik hanya tergantung pada jarak titik tersebut dari sumbu.

Oleh karena itu jika kita pilih sebuah lingkaran dengan jari-jari r sepusat dengan arus sebagai lintasan L, maka perputaran magnetiknya adalah:

AB=∮L

❑

Bdl=B∮L

❑

dl=BL=B2πr

Jika jari-jari r lebih besar daripada jari-jari arys, seluruh arus I lewat menembus lingkaran. Oleh karena itu dengan menggunakan persamaan (2) diperoleh:

2πrB=μ0 I

|B=μ0 I

2πr| (17)

Persamaan (17) sama dengan medan magnet yang dihasilkan kawat berarus. Oleh karena itu pada titik-titik diluar silinder berarus, medan magnetnya adalah sama seperti jika seluruh arus dipusatkan sepanjang sumbu silinder.Jika r<a, maka ada dua kemungkinan, yaitu:

Bila arus hanya terdapat disepanjang permukaan silinder (= anggap konduktor merupakan sarung silinder dari logam), maka arus yang menembus lintasan L’ adalah 0 dan hukum Ampere menghasilkan:

2πrB=μ0 I → I=02πrB=0

B=0 Bila arus tersebar merata menembus penampang lintang dari konduktor, maka arus

yang menembus L’ adalah:

I '= 1π a2

( π r2 )= I r2

a2

I '=J . A'

J= IA

A=π a2

A'=π r2

Oleh karena itu dengan hukum Ampere dapat dinyatakan

2πrB=μ0 I '

¿ μ0I r2

a2

|B=μ0 Ir

2π a2| (18)

Persamaan (18), merupakan medan magnet pada titik di dalam silinder yang membawa arus rata melalui penampang lintang adalah sebanding dengan jarak dari titik tersebut terhadap sumbu dari silinder.

Contoh 2

Dengan menggunakan hukum Ampere, tentikan medan magnet yang dihasilkan oleh kumparan toroida.

Penyelesaian

Kumparan toroida terdiri atas kawat yang seragam (lihat gambar). Dalam masalah ini digunakan N sebagai jumlah lilitan, I adalah arus yang melalui masing-masing lilitan.

Garis-garis gaya dari medan magnet adalah berupa lingkaran-lingkaran sepusat dengan (torus). Pertama-tama kita pandang lintasan L, maka perputaran megnetiknya:

AB=∮ B .d l=BL,

Dimana L adalah lintasan-lintasan yang dilingkupi lilitan-lilitan. Oleh karena itu arus total yang mengalir melalui toroida = NI.

Dengan menggunakan hukum ampere dapat dihitung:

¿ (19)

Jika jari-jari penampang lintang dan torus lebih kecil dibanding dengan jari-jari lintasan maka boleh dianggap bahwa L adalah praktis sama dengan seluruh lintasan dalam.

Bila n =N / L adalah jumlah lilitan persatuan panjang, maka da[pat disimpulkan bahwa medan magnet di dalam torus adalah serbasama dengan mempunyai harga konstan.

¿ (20)

Untuk lintasan diluar torus, masing-masing L’ dan L’’, arus total yang melingkupi adalah 0, jadi B = 0. Dengan kata lain, medan magnet dari kumparan toroida dibatasi keseluruhan toroida bagian dalam.

3. FLUKS MAGNETDalam bagian listrik telah diuraikan bahwa medan listrik adalah merupakan medan vektor. Disamping itu medan listrik dapat digambarkan dengan suatu garis medan listrik (garis gaya

listrik). Seperti halnya pengertian tersebut, maka medan magnet juga merupakan suatu medan vektor yang dapat dinyatakan dengan garis medan.Misalnya, d A adalah vektor elemen luas permukaan S, B adalah vektor induksi magnet pada elemen luas tersebut, maka jumlah garis medan (garis gaya) atau fluks magnetik (Φ ) yang keluar dari permukaan S adalah:

Φ=∮S

❑

B . d a (21)

Integral pada persamaan (17) merupakan integral permukaan. Persamaan (17) dapat dinyatakan dalam bentuk:

Φ=∮S

❑

B . n da (22)

Atau

Φ=∮S

❑

B dacos θ=∮S

❑

Bn da (23)

Dimana θ adalah sudut antara B dan n, Bn=Bcosθ merupakan komponen B pada arah normal. Sehubungan dengan uraian di atas maka induksi magnet B dapat diartikan sebagai banyaknya garis gaya tiap satuan luas, atau disebut rapat fluks (rapat garis gaya).Fluks magnet yang melalui permukaan tertutup adalah nol, gunakan teorema divergensi, sehingga

∮S

❑

B . n da=∮S

❑

(∇ . B ) dv=0 (24)

Atau ∇ . B=0 (25)

Satuan fluks magnet adalah Weber (Wilhelm E. Weber adalah ahli fisika German yang hidup pada tahun 1804 -1891). Satuan Weber disingkat W dan 1 W menyatakan satu buah garis gaya.Berdasarkan persamaan (17) maka satuan induksi magnet adalah W / m2 (dalam sistem mks).W / m2 = 1 T, T = tesla (Tesla adalah neme lengkapnya Nicholas Tesla bangsa Yugoslavia kelahiran Amerika).T = kg det-1 C-1

Dalam sistem cgs satuan induksi magnet adalah gauss (G) dan satuan fluks magnetik adalah maxwell (M), jadi 1 gauss = 1 M cm-2.