Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 41

De acuerdo con los resultados de la TABLA 22 xa =909765625 a 2 Y f(xa) ~ -7019 x10-4

Observe que el menor valor de If(xn)l n =123 8 es 4If(91015625) 1= 442 x10- y ocurri6 en la iteracion n == 7 Sera que x7 es mejor

aproximaci6n de que xa a 2

Si usamos el metodo de Bisecci6n para buscar aproximaciones de E[- 5-A] ya 1

E[37 38] con la misma precisi6n de a obtenemos a 3 2

a1 -458984375 = xe f(xa) = 7485 x10-s

3 a 3 3733203 125 = xe f(xa) = - 2A08 x10- bull

Algunas de las desventajas del metodo de Bisecci6n con respecto a otros metodos son

No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la fu nci6n en las aproximaciones calculadas t xn s610 tiene en cuenta su signo 10 que hace que una aproximaci6n intermedia mejor que

-- - la respuesta final pase desapercibida

Aunque el metodo converge siempre su convergencia es muy lenta comparada con la convergencia de otros metod os que estudiaremos por 10 que se sugiere escoger el intervalo inicial [ab] tan pequeno como sea posible 0 usar el metodo de Biseccion para obtener un

buen punta de arranque para la aplicaci6n de otro metodo

Una de las mayores ventajas que tiene el metoda de Biseccion es que el error de b - a

truncamiento Ia - xn I se acota facilmente (recuerde que Ia - xn I~ - n- ) 2

Ejercicio 21 Use el metodo de Biseccion para estimar la menor raiz positiva de la ecuacion x - tanx = 0 can una precision de por 10 menos 3 cifras decimale~ exactas empezando con un intervalo [a b] que contenga a dicha raiz y b - a = 01 - bull

212 Metodo de Posmiddotici6n Falsa (0 Regula Falsi) Consideremos una funcion f continua

en un intervalo [ab] y tal que f(a)f(b) lt O EI metodo de Posicion Falsa para encontrar una

aproximaci6n de una raiz a de f(x) = 0 en (a b) es similar al metodo de Bisecci6n en el

sentido de que se generan subintervalos [anbn] que encierran a la raiz a pero esta vez xn

no es el punto media de [an bn] sino el punto de interseccion de la recta que pasa por los

puntos (an f(an)) (bn f(bn)) con el eje x (ver la FIGURA 26 siguiente)

AI reemplazar la curva por una recta se obtiene una posicion falsa de la raiz de aqui ei nombre del metodo Tambien se Ie canoce como metodo de Interpolaci6n Lineallnversa

42 METODOS NUMERICOS

x

FIGURA 26

Empezamos tomando a1 = a b1 = b Y encontramos la primera aproximaci6n de la raiz x1 como la intersecci6n con el eje x de la recta secante a la curva que pasa por los puntos

(a 1f(a1)) (b1f(b1))

Si f( x1) = 0 entonces a = x1 Y el proceso termina

Si f(a1)f(x1) lt O entonces a E(a 1x1) y tomamos a2 = a1 b2 =x1 de 10 contrario tomamos

a2 = x1 b2 = b1

Aplicamos nueva mente el proceso anterior al intervalo [a 2 b2 ] es decir hacemos

Oespues de la (n -1 )-esima iteraci6n tenemos a E(an bn) y tomamos

Observe que en el denominador de la expresi6n anterior nunca se resta pues f( an )f(bn) lt 0

Este metodo tiene la desventaja con respecto al de Bisecci6n que la longitud del subintervalo que contiene a la rafz en general no tiende a cera porque la mayoria de las graficas de las funciones son c6ncavas (hacia arriba 0 hacia abajo) en la vecindad de la raiz 10 que hace que uno de los extremos de los subintervalos se apraxime a la ra[z mientras el otro permanece fijo (ver la FIGURA 26 anterior)

Por 10 anterior la longitud del subintervalo [an bn] no puede tomarse como un criterio de

aproximaci6n a la rafz se requiere una tolerancia en el valor de la funci6n en la apraximaci6n

xn es decir If(xn)IltE 0 IXn - Xn_1lt E para

escogida EI procedimiento termina cuando se de iteraciones previamente establecido

Se puede demostrar ver Ralston 1965 pagina 324 sea continua

Ejercicio 22 Escriba un algoritmo para el metoda

Ejemplo 23 Con respecto a las raices a

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 si usamos el metoda de

se obtienen los siguientes resultados

Instrucci6n en DERIVE

REGULA( f(x) x a b N) aproXiml

aplicado a la funci6n f(x) en el

Compare los resultados

Ejercicio 23 Aplque el

ecuaci6n x - tanx =0

cut t s cifras

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 43

xn es decir I f(xn) Ilt E 0 I xn - xn_1 1lt E para alguna tolerancia Egt O previamente

escogida EI procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia 0 un numero maximo de iteraciones previamente establecido

Se puede demostrar ver Ralston 1965 pagina 324 que este metodo converge siempre que f sea continua

Ejercicio 22 Escriba un algoritmo para el metodo de Regula Falsi

Ejemplo 23 Con respecto a las raices a 1 E[- 5-4] a 2 E[9 tO] a 3 E[3 738] de la

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 si usamos el metodo de Regula Falsi con criterio de aproximaci6n

se obtienen los siguientes resultados

a l ~-458960329 = X3 Y f(x3) = - 656 x10-6

a2 ~ 910006353 = X3 Y f(X3) = - 362 x10-6

a 3 ~ 373307860 = X4 y f(x4) = 824 x10-6

Instrucci6n en DERIVE

REGULA( f( x) x a b N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Regula falsi

aplicado a la funci6n f( x) en el intervalo [a b] 0

Compare los resultados anteriores c~n los obtenidos por el metodo de Bisecci6n Ejercici9 23 Aplique el metodo de Regula Falsi para estimar la menor raiz positiva a de la

ecuaci6n x - tanx = O usando como criteria de aproximaci6n If(xn) Ilt 5 x 10-s Con

~ifras aeetmales exactas aproxima el valor obtenido xn a a

22 METODOS ABIERTOS

A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raiz buscada los metodos abiertos que se veran requieren de un solo valor 0 dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raiz esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes 0 se alejen de la rafz de interes (~ probablemente ~ otra ra fz) pero tienen la ventaja que cuando convergen 10 hacen mas rapidamente que las sucesiones generadas por los metodos cerrados

221 Metodo de Punto Fijo Dada una ecuaci6n f(x) = 0 podemos transformarla de alguna

manera en otra equivalente (al menos localmente) del tipo x = g( x) para alguna funci6n g

Ento~ces el proble~a de hallar una raiz de f( x) =0 se transforma en el equivalente de hallar

una raiz de ~ = g(x)

42 METODOS NUMERICOS

x

FIGURA 26

Empezamos tomando a1 = a b1 = b Y encontramos la primera aproximaci6n de la raiz x1 como la intersecci6n con el eje x de la recta secante a la curva que pasa por los puntos

(a 1f(a1)) (b1f(b1))

Si f( x1) = 0 entonces a = x1 Y el proceso termina

Si f(a1)f(x1) lt O entonces a E(a 1x1) y tomamos a2 = a1 b2 =x1 de 10 contrario tomamos

a2 = x1 b2 = b1

Aplicamos nueva mente el proceso anterior al intervalo [a 2 b2 ] es decir hacemos

Oespues de la (n -1 )-esima iteraci6n tenemos a E(an bn) y tomamos

Observe que en el denominador de la expresi6n anterior nunca se resta pues f( an )f(bn) lt 0

Este metodo tiene la desventaja con respecto al de Bisecci6n que la longitud del subintervalo que contiene a la rafz en general no tiende a cera porque la mayoria de las graficas de las funciones son c6ncavas (hacia arriba 0 hacia abajo) en la vecindad de la raiz 10 que hace que uno de los extremos de los subintervalos se apraxime a la ra[z mientras el otro permanece fijo (ver la FIGURA 26 anterior)

Por 10 anterior la longitud del subintervalo [an bn] no puede tomarse como un criterio de

aproximaci6n a la rafz se requiere una tolerancia en el valor de la funci6n en la apraximaci6n

xn es decir If(xn)IltE 0 IXn - Xn_1lt E para

escogida EI procedimiento termina cuando se de iteraciones previamente establecido

Se puede demostrar ver Ralston 1965 pagina 324 sea continua

Ejercicio 22 Escriba un algoritmo para el metoda

Ejemplo 23 Con respecto a las raices a

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 si usamos el metoda de

se obtienen los siguientes resultados

Instrucci6n en DERIVE

REGULA( f(x) x a b N) aproXiml

aplicado a la funci6n f(x) en el

Compare los resultados

Ejercicio 23 Aplque el

ecuaci6n x - tanx =0

cut t s cifras

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 43

xn es decir I f(xn) Ilt E 0 I xn - xn_1 1lt E para alguna tolerancia Egt O previamente

escogida EI procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia 0 un numero maximo de iteraciones previamente establecido

Se puede demostrar ver Ralston 1965 pagina 324 que este metodo converge siempre que f sea continua

Ejercicio 22 Escriba un algoritmo para el metodo de Regula Falsi

Ejemplo 23 Con respecto a las raices a 1 E[- 5-4] a 2 E[9 tO] a 3 E[3 738] de la

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 si usamos el metodo de Regula Falsi con criterio de aproximaci6n

se obtienen los siguientes resultados

a l ~-458960329 = X3 Y f(x3) = - 656 x10-6

a2 ~ 910006353 = X3 Y f(X3) = - 362 x10-6

a 3 ~ 373307860 = X4 y f(x4) = 824 x10-6

Instrucci6n en DERIVE

REGULA( f( x) x a b N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Regula falsi

aplicado a la funci6n f( x) en el intervalo [a b] 0

Compare los resultados anteriores c~n los obtenidos por el metodo de Bisecci6n Ejercici9 23 Aplique el metodo de Regula Falsi para estimar la menor raiz positiva a de la

ecuaci6n x - tanx = O usando como criteria de aproximaci6n If(xn) Ilt 5 x 10-s Con

~ifras aeetmales exactas aproxima el valor obtenido xn a a

22 METODOS ABIERTOS

A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raiz buscada los metodos abiertos que se veran requieren de un solo valor 0 dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raiz esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes 0 se alejen de la rafz de interes (~ probablemente ~ otra ra fz) pero tienen la ventaja que cuando convergen 10 hacen mas rapidamente que las sucesiones generadas por los metodos cerrados

221 Metodo de Punto Fijo Dada una ecuaci6n f(x) = 0 podemos transformarla de alguna

manera en otra equivalente (al menos localmente) del tipo x = g( x) para alguna funci6n g

Ento~ces el proble~a de hallar una raiz de f( x) =0 se transforma en el equivalente de hallar

una raiz de ~ = g(x)

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 43

xn es decir I f(xn) Ilt E 0 I xn - xn_1 1lt E para alguna tolerancia Egt O previamente

escogida EI procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia 0 un numero maximo de iteraciones previamente establecido

Se puede demostrar ver Ralston 1965 pagina 324 que este metodo converge siempre que f sea continua

Ejercicio 22 Escriba un algoritmo para el metodo de Regula Falsi

Ejemplo 23 Con respecto a las raices a 1 E[- 5-4] a 2 E[9 tO] a 3 E[3 738] de la

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 si usamos el metodo de Regula Falsi con criterio de aproximaci6n

se obtienen los siguientes resultados

a l ~-458960329 = X3 Y f(x3) = - 656 x10-6

a2 ~ 910006353 = X3 Y f(X3) = - 362 x10-6

a 3 ~ 373307860 = X4 y f(x4) = 824 x10-6

Instrucci6n en DERIVE

REGULA( f( x) x a b N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Regula falsi

aplicado a la funci6n f( x) en el intervalo [a b] 0

Compare los resultados anteriores c~n los obtenidos por el metodo de Bisecci6n Ejercici9 23 Aplique el metodo de Regula Falsi para estimar la menor raiz positiva a de la

ecuaci6n x - tanx = O usando como criteria de aproximaci6n If(xn) Ilt 5 x 10-s Con

~ifras aeetmales exactas aproxima el valor obtenido xn a a

22 METODOS ABIERTOS

A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raiz buscada los metodos abiertos que se veran requieren de un solo valor 0 dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raiz esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes 0 se alejen de la rafz de interes (~ probablemente ~ otra ra fz) pero tienen la ventaja que cuando convergen 10 hacen mas rapidamente que las sucesiones generadas por los metodos cerrados

221 Metodo de Punto Fijo Dada una ecuaci6n f(x) = 0 podemos transformarla de alguna

manera en otra equivalente (al menos localmente) del tipo x = g( x) para alguna funci6n g

Ento~ces el proble~a de hallar una raiz de f( x) =0 se transforma en el equivalente de hallar

una raiz de ~ = g(x)

44 METODOS NUMERICOS

Definicion 22 Un numero a tal que a = g(a) se dice un punta fija de la funcion g V

CCuando una funcion 9 tiene un punta fijo y si 10 tiene como encontrarlo

EI siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntas formuladas antes

Tearema 21 (de punta fija) Si 9 es una funcion continua en [ab] y g(x) E[ab] para todo

x E [a b] entonces 9 tiene por 10 menos un punto frjo en [a b] Si ademas g( x) existe para

todo x E ( a b) Y1 g(x) I os K lt il para todo x E ( a b) K constante entonces 9 tiene un unico

punto frjo a E [a b] Y la sucesion xn n defrnida mediante la formula de iteracion

I xn = g(xn_1) n=123 I

converge a a cualquiera sea Xo E[a b] Y se tienen las siguientes cotas para el error de

truncamiento Ia - xn I

i) I a - xn I os Kn Max xo - a b - xo para cad a n ~ 1

Kn

ii) Ia - xn Ios --I x1- Xo I para cada n ~ 1 1- K

iii) Ia - xn Ios 1~K Ixn - xn-1I para cada n ~ 1

lIustracion

y =Xy

b y = g(X)

I

a --- I I

--r--r---~--------I

b x

FIGURA 27

Demastracion Existencia Si g(a) = a 0 g(b) = b entonces a 0 b es un punto fijo de go

I I I

I I I

Supangamos a ~a) y b

h(a)=g(a)-agtO h(b) b

Convergncl tit

Sea Xo e[abJ CUII_

para algun y

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 45

Supongamos a lt g(a) Y b gt gb) Y sea h(x)=gx) - x Entonces h es continua en [ab]

h(a)=g(a)-a gt O h(b)=g(b)-b lt O por tanto (teorema del valor intermedio) existe por 10

menos un a E(ab) tal que h(a) = 0 esto es a = g(a)

Unicidad Supongamos que 1g(x) 15 K lt 1 para toda x E ( a b) Y alguna constante K y sean

a y p puntos fijos distintos de 9 en [a b] Entonces

para algun ~ E(a p) 10 cual es un absurdo asi que a = p y entonces el punto fijo en [a b]

que existe segun la primera parte es unico

Convergencia de fa sucesi6n xn t con xn = g( xn-1) n = 123 Y cotas para 1a - xn I

Sea Xo E [a b] cualquiera Entonces

para algun y entre a Y xn- 1

Procediendo inductivamente sobre n se tiene que

(22)

y como Kn -40 cuando n -4 +00 pues 05 K lt 1 entonces En = 1a - xn 1-4 0 cuando

n -4 +00 es decir lim xn = a n-gtltYl

De la relaci6n (22) se tiene que

De otro lade

asique

y como 0 5 K lt 1 entonces

(23)

Nuevamente de (22)

1a - Xn 15 K n 1a - Xo 1

y entonces multiplicando a ambos miembros de (23) por Kn obtenemos

46 METODOS NUMERICOS

asique

Kn

I a - xn 15 Knl a - Xo 15 --I Xl - Xo I1- K

Kn

ii) I a-xn 15 --IXl - xO I n = 12 1-K

La demostraci6n de la parte iii) se deja como ejercicio V

EI metodo de Punto Fijo para encontrar una raiz a de la ecuaci6n X = g(x) consiste en

generar la sucesi6n xn n mediante la f6rmula de iteraci6n

xn = g(xn_l ) n = 12

con Xo dado

Nota Observe a partir de la cota de error dada en el teorema 21 ii) que para 0 K lt 1

entre mas pequela sea K es decir entre mas pequeria sea Ig(x) I x E(ab) m~s rapida

sera la convergencia de la sucesi6n xn n a a La convergencia puede ser muy lenta si K

esta cerca de 1

_ Algoritmo 22 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximaci6n amiddot de un punto fijo a de una funci6n g dada una aproximaci6n inicial xo

Entrada g(x) una aproximaci6n inicial Xo una toleranGfa r~y un numero maximo de

iteraciones N

Salida Un punto fijo aproximado a middot 0 un mensaje

Paso 1 Tomar n = 1

Paso 2 Mientras que n N seguir los pasos 3-6

Paso 3 Tomar c = g(xo (calcular Xn )

Paso 4 Si I c - Xo 1lt Tol 0 I c - Xo I lt Tol l c I entonces salida Un punto fijo

aproximado de la funci6n dada es a middot = c Terminar

Paso 5 Tomar n = n + 1

Paso 6 Tomar Xo = c (redefinir Xo )

I Paso 7 Salida Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia

Terminar

Capitulo 2 SOlUCION NUMERICA DE UN

Las siguientes graficas muestran algunas formas sucesi6n

Y= XY

Y= g(X)

I I I I I I I I I I I I I I

a ex Xo b x

FIGURA 2Ba Convergencia (La sucesi6n no es mon6tona)

Y

FIGURA 2Bc Divergencia No satisface III tesis del teorema de Punlo

Hay situaciones en las embargo hay corlvAlro

Ejemplo 24 Para

E[-5-4J a2

de Punto Fijo

a l

AIgunas tunlclOflbull 4

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 45

Supongamos a lt g(a) Y b gt gb) Y sea h(x)=gx) - x Entonces h es continua en [ab]

h(a)=g(a)-a gt O h(b)=g(b)-b lt O por tanto (teorema del valor intermedio) existe por 10

menos un a E(ab) tal que h(a) = 0 esto es a = g(a)

Unicidad Supongamos que 1g(x) 15 K lt 1 para toda x E ( a b) Y alguna constante K y sean

a y p puntos fijos distintos de 9 en [a b] Entonces

para algun ~ E(a p) 10 cual es un absurdo asi que a = p y entonces el punto fijo en [a b]

que existe segun la primera parte es unico

Convergencia de fa sucesi6n xn t con xn = g( xn-1) n = 123 Y cotas para 1a - xn I

Sea Xo E [a b] cualquiera Entonces

para algun y entre a Y xn- 1

Procediendo inductivamente sobre n se tiene que

(22)

y como Kn -40 cuando n -4 +00 pues 05 K lt 1 entonces En = 1a - xn 1-4 0 cuando

n -4 +00 es decir lim xn = a n-gtltYl

De la relaci6n (22) se tiene que

De otro lade

asique

y como 0 5 K lt 1 entonces

(23)

Nuevamente de (22)

1a - Xn 15 K n 1a - Xo 1

y entonces multiplicando a ambos miembros de (23) por Kn obtenemos

46 METODOS NUMERICOS

asique

Kn

I a - xn 15 Knl a - Xo 15 --I Xl - Xo I1- K

Kn

ii) I a-xn 15 --IXl - xO I n = 12 1-K

La demostraci6n de la parte iii) se deja como ejercicio V

EI metodo de Punto Fijo para encontrar una raiz a de la ecuaci6n X = g(x) consiste en

generar la sucesi6n xn n mediante la f6rmula de iteraci6n

xn = g(xn_l ) n = 12

con Xo dado

Nota Observe a partir de la cota de error dada en el teorema 21 ii) que para 0 K lt 1

entre mas pequela sea K es decir entre mas pequeria sea Ig(x) I x E(ab) m~s rapida

sera la convergencia de la sucesi6n xn n a a La convergencia puede ser muy lenta si K

esta cerca de 1

_ Algoritmo 22 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximaci6n amiddot de un punto fijo a de una funci6n g dada una aproximaci6n inicial xo

Entrada g(x) una aproximaci6n inicial Xo una toleranGfa r~y un numero maximo de

iteraciones N

Salida Un punto fijo aproximado a middot 0 un mensaje

Paso 1 Tomar n = 1

Paso 2 Mientras que n N seguir los pasos 3-6

Paso 3 Tomar c = g(xo (calcular Xn )

Paso 4 Si I c - Xo 1lt Tol 0 I c - Xo I lt Tol l c I entonces salida Un punto fijo

aproximado de la funci6n dada es a middot = c Terminar

Paso 5 Tomar n = n + 1

Paso 6 Tomar Xo = c (redefinir Xo )

I Paso 7 Salida Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia

Terminar

Capitulo 2 SOlUCION NUMERICA DE UN

Las siguientes graficas muestran algunas formas sucesi6n

Y= XY

Y= g(X)

I I I I I I I I I I I I I I

a ex Xo b x

FIGURA 2Ba Convergencia (La sucesi6n no es mon6tona)

Y

FIGURA 2Bc Divergencia No satisface III tesis del teorema de Punlo

Hay situaciones en las embargo hay corlvAlro

Ejemplo 24 Para

E[-5-4J a2

de Punto Fijo

a l

AIgunas tunlclOflbull 4

46 METODOS NUMERICOS

asique

Kn

I a - xn 15 Knl a - Xo 15 --I Xl - Xo I1- K

Kn

ii) I a-xn 15 --IXl - xO I n = 12 1-K

La demostraci6n de la parte iii) se deja como ejercicio V

EI metodo de Punto Fijo para encontrar una raiz a de la ecuaci6n X = g(x) consiste en

generar la sucesi6n xn n mediante la f6rmula de iteraci6n

xn = g(xn_l ) n = 12

con Xo dado

Nota Observe a partir de la cota de error dada en el teorema 21 ii) que para 0 K lt 1

entre mas pequela sea K es decir entre mas pequeria sea Ig(x) I x E(ab) m~s rapida

sera la convergencia de la sucesi6n xn n a a La convergencia puede ser muy lenta si K

esta cerca de 1

_ Algoritmo 22 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximaci6n amiddot de un punto fijo a de una funci6n g dada una aproximaci6n inicial xo

Entrada g(x) una aproximaci6n inicial Xo una toleranGfa r~y un numero maximo de

iteraciones N

Salida Un punto fijo aproximado a middot 0 un mensaje

Paso 1 Tomar n = 1

Paso 2 Mientras que n N seguir los pasos 3-6

Paso 3 Tomar c = g(xo (calcular Xn )

Paso 4 Si I c - Xo 1lt Tol 0 I c - Xo I lt Tol l c I entonces salida Un punto fijo

aproximado de la funci6n dada es a middot = c Terminar

Paso 5 Tomar n = n + 1

Paso 6 Tomar Xo = c (redefinir Xo )

I Paso 7 Salida Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia

Terminar

Capitulo 2 SOlUCION NUMERICA DE UN

Las siguientes graficas muestran algunas formas sucesi6n

Y= XY

Y= g(X)

I I I I I I I I I I I I I I

a ex Xo b x

FIGURA 2Ba Convergencia (La sucesi6n no es mon6tona)

Y

FIGURA 2Bc Divergencia No satisface III tesis del teorema de Punlo

Hay situaciones en las embargo hay corlvAlro

Ejemplo 24 Para

E[-5-4J a2

de Punto Fijo

a l

AIgunas tunlclOflbull 4

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 47

Las siguientes graticas muestran algunas formas de convergencia 0 divergencia de la sucesi6n

y=Xy

a

I I I I I I I I I I

x

FIGURA 28a Convergencia (La sucesi6n no es mon6tona)

y

x

FIGURA 28c Divergencia No satisface las hip6shytesis del teorema de Punto Fijo

y y=x

Xo b x

FIGURA 28b Convergencia (La sucesi6n es mon6tona)

y y=X

x

FIGURA 28d Convergencia (dependiendo del punta inicial) No satisface las

hip6tesis del teorema de Punto Fijo

Hay situaciones en las que no se satisfacen las hip6tesis del teorema de Punto Fijo y sin embargo hay convergencia ElS decir el teorema es de condiciones suficientes no necesarias

Ejemplo 24 Para la ecuaci6n 3x2 - eX = 0 sabemos que tiene tres ralces reales

a 1 E[-S-4] a2 E[910] y a 3 E[3738] Estimemos a z usando el metodo de iteraci6n

de Punto Fijo

Algunas funciones de iteraci6n g se obtienen como sigue

I

48 METOD OS NUMERICOS

Como

entonces 91(X) = J31

e ~ 2 es una funcion de iteraci6n

Como

eX entonces 92 (X) = - x 0 tambien es una funci6n de iteraci6n

3x

Como

entonces 93 (x) = In( 3x2) X 0 es otra funci6n de iter~cj6n

Como

3x2 _ xe x + eX entonces 94 (x) = 6x - eX 0 es una funci6n de iteraci6n (Ia funci6n de

6x _ex iteraci6n del metoda de Newton-Raphson)

Como

entonces 95 (x) = 3x2 + X - eX es tambien una funci6n de iteraci6n

X

Si escogemos la funci6n de iteraci6n 91(X) = ~ e2 y el intervalo [910] vemos que

1 ~ 291 es continua en [910] 9(x) = r e gt 0 para todo x E[9tO] as que 91 es

2v 3

creciente en (910] Y como

entonces 91 (x) e [9to] el intervalo [9tO]

Ahora

asl que 9 es creclente en eI inll

para xe[910]) V como

entonces

Lue90 91 tiene un unioo

la sucesi6n xn In con

truncamiento la2

desigualdad

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 49

entonces g (x) E[910] para todo x E [910] Luego g tiene por 10 menos un punto fiJo en

el intervalo [910J

Ahora

1 ~ g(x) = 43 e 2 gt 0 para todo x E[9 10J

as que g es creciente en el intervalo [9 10J (Ia grafica de g es c6ncava hacia arriba

para x E[910])y como

g(9) = ~e45 = 452 g(10) = ~emiddot5 = 475

entonces

[I g(x) 1~ 48 = ~a~a todo x E[9 10J ]

Luego g tiene un unico punto fijo 02 en el intervalo [9J O] Y cualquiera sea XO E[910J

la sucesi6n xn n con

n =123

converge a a 2 bull es decir lim xn = a 2 Y se tienen ademas las cotas para el error de n--gt oo

truncamiento Ia 2 - xn I dadas en el teorema 21

Cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime al punto fijo 0 2 E[910]

con por 10 menos tres cifras decimales exactas

Como sabemos que 1 0 2 - Xn I~ Kn Max xo - a b - xo basta_ resolv~r para n la

desigualdad ~

[ K Max xc - a b - xc) 51 1 0- I

Tomando K =48 Y Xo =95 ( observe que Xo =95 es el punta medio del intervalo [9 10] y

es el valor que minimiza la e~presi6n MfiX xo - a b - xo ) obtenemos

Max xo - a b - xo = Max 95- 9 10- 95 = 05

y entonces debemos resoJver la desigualdad

Kn Max xo - a b - xo =(48f(05) ~ 5 x 10 --4

La soluci6n de esta desigualdad es

48 METOD OS NUMERICOS

Como

entonces 91(X) = J31

e ~ 2 es una funcion de iteraci6n

Como

eX entonces 92 (X) = - x 0 tambien es una funci6n de iteraci6n

3x

Como

entonces 93 (x) = In( 3x2) X 0 es otra funci6n de iter~cj6n

Como

3x2 _ xe x + eX entonces 94 (x) = 6x - eX 0 es una funci6n de iteraci6n (Ia funci6n de

6x _ex iteraci6n del metoda de Newton-Raphson)

Como

entonces 95 (x) = 3x2 + X - eX es tambien una funci6n de iteraci6n

X

Si escogemos la funci6n de iteraci6n 91(X) = ~ e2 y el intervalo [910] vemos que

1 ~ 291 es continua en [910] 9(x) = r e gt 0 para todo x E[9tO] as que 91 es

2v 3

creciente en (910] Y como

entonces 91 (x) e [9to] el intervalo [9tO]

Ahora

asl que 9 es creclente en eI inll

para xe[910]) V como

entonces

Lue90 91 tiene un unioo

la sucesi6n xn In con

truncamiento la2

desigualdad

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 49

entonces g (x) E[910] para todo x E [910] Luego g tiene por 10 menos un punto fiJo en

el intervalo [910J

Ahora

1 ~ g(x) = 43 e 2 gt 0 para todo x E[9 10J

as que g es creciente en el intervalo [9 10J (Ia grafica de g es c6ncava hacia arriba

para x E[910])y como

g(9) = ~e45 = 452 g(10) = ~emiddot5 = 475

entonces

[I g(x) 1~ 48 = ~a~a todo x E[9 10J ]

Luego g tiene un unico punto fijo 02 en el intervalo [9J O] Y cualquiera sea XO E[910J

la sucesi6n xn n con

n =123

converge a a 2 bull es decir lim xn = a 2 Y se tienen ademas las cotas para el error de n--gt oo

truncamiento Ia 2 - xn I dadas en el teorema 21

Cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime al punto fijo 0 2 E[910]

con por 10 menos tres cifras decimales exactas

Como sabemos que 1 0 2 - Xn I~ Kn Max xo - a b - xo basta_ resolv~r para n la

desigualdad ~

[ K Max xc - a b - xc) 51 1 0- I

Tomando K =48 Y Xo =95 ( observe que Xo =95 es el punta medio del intervalo [9 10] y

es el valor que minimiza la e~presi6n MfiX xo - a b - xo ) obtenemos

Max xo - a b - xo = Max 95- 9 10- 95 = 05

y entonces debemos resoJver la desigualdad

Kn Max xo - a b - xo =(48f(05) ~ 5 x 10 --4

La soluci6n de esta desigualdad es

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 49

entonces g (x) E[910] para todo x E [910] Luego g tiene por 10 menos un punto fiJo en

el intervalo [910J

Ahora

1 ~ g(x) = 43 e 2 gt 0 para todo x E[9 10J

as que g es creciente en el intervalo [9 10J (Ia grafica de g es c6ncava hacia arriba

para x E[910])y como

g(9) = ~e45 = 452 g(10) = ~emiddot5 = 475

entonces

[I g(x) 1~ 48 = ~a~a todo x E[9 10J ]

Luego g tiene un unico punto fijo 02 en el intervalo [9J O] Y cualquiera sea XO E[910J

la sucesi6n xn n con

n =123

converge a a 2 bull es decir lim xn = a 2 Y se tienen ademas las cotas para el error de n--gt oo

truncamiento Ia 2 - xn I dadas en el teorema 21

Cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime al punto fijo 0 2 E[910]

con por 10 menos tres cifras decimales exactas

Como sabemos que 1 0 2 - Xn I~ Kn Max xo - a b - xo basta_ resolv~r para n la

desigualdad ~

[ K Max xc - a b - xc) 51 1 0- I

Tomando K =48 Y Xo =95 ( observe que Xo =95 es el punta medio del intervalo [9 10] y

es el valor que minimiza la e~presi6n MfiX xo - a b - xo ) obtenemos

Max xo - a b - xo = Max 95- 9 10- 95 = 05

y entonces debemos resoJver la desigualdad

Kn Max xo - a b - xo =(48f(05) ~ 5 x 10 --4

La soluci6n de esta desigualdad es

Capitulo 2 SOLUCION NUIERKi ~50 M~TODOS NUM~RICOS

In(10 -2) n ~ ( ) =627

In 48

Lue90 para n ~ 7 se tiene que xn aproximara a a 2 con una precisi6n de por 10 menos tres

cifras decimales exactas

1 ~ La 9ratica de 9(x) == J3 e 2 se muestra en la FIGURA 29 Y los valares calculados usando el

x

metoda de Punto Fijo can la funci6n de iteraci6n91 (x) = ~e-2 iniciando con Xo = 95 Y

terminando en a2 se muestran en la TABLA 23 x7

y

x

FIGURA 29

Instrucci6n en DERIVE

PUNTO_FIJO( g(x) X xo N) aproXima las

Fijo aplicada a la funci6n g(x) con

expresi6n PUNTO_FIJO( ~exp(~) x

Observe en la FIGURA 29 que no exlSll

fijo de 9 ) dande se satisfagan todas 181

9 Para esta funci6n de iteraci6n g II

210 si9uiente tenemos

n xn

0 95 1 9283874 2 9184090 3 9138383 4 9117522 5 9108017 6 9103690 7 9101720

TABLA 23

___ _

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NOmiddotLlNEAL EN UNA VARIABLE 51

Instrucci6n en DERIVE

j PUNTO_FIJO( g(x) X XOi N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Punto

Fijo aplicado a la funci6n g(x) con aproxim8)6n inicial xo Para el ejemplo aproXime la

expresi6n PUNTO FIJO( ~ exp(~) x 095 7 0 - v3 2 =---------shy

------gt

De acuerdo con los resultados de la TABLA 23 a 2 ~ 9101720 = x7 bull

Observe en la FIGURA 29 que no existe intervalo [ab] que contenga a a 3 (que es punto

fijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n

g1 Para esta funci6n de iteraci6n g1 el metodo de Punto Fijo no converge a a 3

x Si tomamos la funci6n de iteraci6n g2(X) =~ X 0 cuya gratica se muestra en la FIGURA

3x 210 siguiente tenemos

Y

Y= x

x

FIGURA 210

Xx x() 3xe - 3e e (x-1) 0 []g2 es continua en [910] g2 x = = ~ si x E 910 asf que g2 es

9x2 3x2

decreciente en [9 10] Y como

entonces g2(X) E[910] para todo x E[910] as que g2

el intervalo [910J

DEPTO DE BWUOTECAS DI yv ~

tiene par 10 menos un punto fijo en

~M bull

52 METODOS NUMERICOS

Ahora

y como

x 2 e x - 2xe x + 2e x

3 X3

e X (x2 - 2X+2) )

3 X3 I J

e

entonces 92(X) gt 0 ~ Xgt 0

Por tanto 92 es creciente en [9tO J y como

entonces

92(9) = -10 92(10) = 0

I 92(X) I 11=Klt1 paratodo xE[910J

En consecuencia 92 tiene un unico punto fijo a 2 E[910J y la sucesian Xnn con

converge a a 2 cualquiera sea Xo E [910J y se tienen ademas cotas para el error de

truncamiento 1a 2 - xn I middot

Los valores obtenidos usando la funcian de iteracian 92 con punta inicial Xo = 95 Y criterio

5de aproximaci6n 1 xn - xn- 1 1 lt 5 x 10- se muestran en la TABLA 24 si9uiente

I n

I xn I 1 xn - xn- 1 1 I 0 95 1 9072665 427335 x 10-2

2 9102584 29919 x 10-3

3 9099850 2734 x 10-4

4 9100096 246 x 10-5

TABLA 24

De acuerdo con los resultados de la TABLA 24 a2 9100096 = x4 middot Como ejercicio

analice con cuantas cifras decimales exactas aproxima x4 a a 2 bull

x

Sera que la funci6n 92(X) = ~ nos sirve para determinar a3 E[3738] 3x

Capitulo 2 SOlUCI6N NUMERICA DE

Veamos

92 es continua en [3738] 92 es creciente en

92(38) = 39 [3738 entonces no se 501111

x E[3738]

Existira al9un intervalo [a b) que contenga a hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la

Observe a partir de la 9rafica de 92 que no

1192(x)I ~ K lt 1 paratodo xE[abj 1

ltPmo 92 as creclente en [37381 middot para todo x E [3738J Lue90 no exisl

satisfa9an las hip6tesis del teorema de

Por otro lado como 92 es decrtCshy

entonces 92 tampoco satifac ill

que conten9a a a 1 middot bull

Ejercicio 24 Use el m~todo de iteraci6n dadas anteriormenle

ecuaci6n 3X2 - eX = 0 USjjlncx~

Ejemplo 25 Usemos el de la ecuaci6n x- tanx O

___ _

Capitulo 2 SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NOmiddotLlNEAL EN UNA VARIABLE 51

Instrucci6n en DERIVE

j PUNTO_FIJO( g(x) X XOi N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Punto

Fijo aplicado a la funci6n g(x) con aproxim8)6n inicial xo Para el ejemplo aproXime la

expresi6n PUNTO FIJO( ~ exp(~) x 095 7 0 - v3 2 =---------shy

------gt

De acuerdo con los resultados de la TABLA 23 a 2 ~ 9101720 = x7 bull

Observe en la FIGURA 29 que no existe intervalo [ab] que contenga a a 3 (que es punto

fijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n

g1 Para esta funci6n de iteraci6n g1 el metodo de Punto Fijo no converge a a 3

x Si tomamos la funci6n de iteraci6n g2(X) =~ X 0 cuya gratica se muestra en la FIGURA

3x 210 siguiente tenemos

Y

Y= x

x

FIGURA 210

Xx x() 3xe - 3e e (x-1) 0 []g2 es continua en [910] g2 x = = ~ si x E 910 asf que g2 es

9x2 3x2

decreciente en [9 10] Y como

entonces g2(X) E[910] para todo x E[910] as que g2

el intervalo [910J

DEPTO DE BWUOTECAS DI yv ~

tiene par 10 menos un punto fijo en

~M bull

52 METODOS NUMERICOS

Ahora

y como

x 2 e x - 2xe x + 2e x

3 X3

e X (x2 - 2X+2) )

3 X3 I J

e

entonces 92(X) gt 0 ~ Xgt 0

Por tanto 92 es creciente en [9tO J y como

entonces

92(9) = -10 92(10) = 0

I 92(X) I 11=Klt1 paratodo xE[910J

En consecuencia 92 tiene un unico punto fijo a 2 E[910J y la sucesian Xnn con

converge a a 2 cualquiera sea Xo E [910J y se tienen ademas cotas para el error de

truncamiento 1a 2 - xn I middot

Los valores obtenidos usando la funcian de iteracian 92 con punta inicial Xo = 95 Y criterio

5de aproximaci6n 1 xn - xn- 1 1 lt 5 x 10- se muestran en la TABLA 24 si9uiente

I n

I xn I 1 xn - xn- 1 1 I 0 95 1 9072665 427335 x 10-2

2 9102584 29919 x 10-3

3 9099850 2734 x 10-4

4 9100096 246 x 10-5

TABLA 24

De acuerdo con los resultados de la TABLA 24 a2 9100096 = x4 middot Como ejercicio

analice con cuantas cifras decimales exactas aproxima x4 a a 2 bull

x

Sera que la funci6n 92(X) = ~ nos sirve para determinar a3 E[3738] 3x

Capitulo 2 SOlUCI6N NUMERICA DE

Veamos

92 es continua en [3738] 92 es creciente en

92(38) = 39 [3738 entonces no se 501111

x E[3738]

Existira al9un intervalo [a b) que contenga a hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la

Observe a partir de la 9rafica de 92 que no

1192(x)I ~ K lt 1 paratodo xE[abj 1

ltPmo 92 as creclente en [37381 middot para todo x E [3738J Lue90 no exisl

satisfa9an las hip6tesis del teorema de

Por otro lado como 92 es decrtCshy

entonces 92 tampoco satifac ill

que conten9a a a 1 middot bull

Ejercicio 24 Use el m~todo de iteraci6n dadas anteriormenle

ecuaci6n 3X2 - eX = 0 USjjlncx~

Ejemplo 25 Usemos el de la ecuaci6n x- tanx O

52 METODOS NUMERICOS

Ahora

y como

x 2 e x - 2xe x + 2e x

3 X3

e X (x2 - 2X+2) )

3 X3 I J

e

entonces 92(X) gt 0 ~ Xgt 0

Por tanto 92 es creciente en [9tO J y como

entonces

92(9) = -10 92(10) = 0

I 92(X) I 11=Klt1 paratodo xE[910J

En consecuencia 92 tiene un unico punto fijo a 2 E[910J y la sucesian Xnn con

converge a a 2 cualquiera sea Xo E [910J y se tienen ademas cotas para el error de

truncamiento 1a 2 - xn I middot

Los valores obtenidos usando la funcian de iteracian 92 con punta inicial Xo = 95 Y criterio

5de aproximaci6n 1 xn - xn- 1 1 lt 5 x 10- se muestran en la TABLA 24 si9uiente

I n

I xn I 1 xn - xn- 1 1 I 0 95 1 9072665 427335 x 10-2

2 9102584 29919 x 10-3

3 9099850 2734 x 10-4

4 9100096 246 x 10-5

TABLA 24

De acuerdo con los resultados de la TABLA 24 a2 9100096 = x4 middot Como ejercicio

analice con cuantas cifras decimales exactas aproxima x4 a a 2 bull

x

Sera que la funci6n 92(X) = ~ nos sirve para determinar a3 E[3738] 3x

Capitulo 2 SOlUCI6N NUMERICA DE

Veamos

92 es continua en [3738] 92 es creciente en

92(38) = 39 [3738 entonces no se 501111

x E[3738]

Existira al9un intervalo [a b) que contenga a hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la

Observe a partir de la 9rafica de 92 que no

1192(x)I ~ K lt 1 paratodo xE[abj 1

ltPmo 92 as creclente en [37381 middot para todo x E [3738J Lue90 no exisl

satisfa9an las hip6tesis del teorema de

Por otro lado como 92 es decrtCshy

entonces 92 tampoco satifac ill

que conten9a a a 1 middot bull

Ejercicio 24 Use el m~todo de iteraci6n dadas anteriormenle

ecuaci6n 3X2 - eX = 0 USjjlncx~

Ejemplo 25 Usemos el de la ecuaci6n x- tanx O

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NOmiddotLlNEAL EN UNA VARIABLE 53

Veamos

92 es continua en [3738] 92 es creciente en [373-8] y como 9A37) = 36 [37 38]

92(38) = 39 [3738 entonces no se satisface la condicion 92(X) E[3-138] para todo

x E[3738]

Existira algun intervalo [a b] que contenga a la raiz a 3 donde se satisfa9an todas las

hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n g2

Observe a partir de la grafica de g2 que no existe intervalo [ab] con a3 E[ab] tal que

11 g2(X) 1 ~ K lt 1 para todo x E[ab]

Gpme-g2-es-clft~1~--te en [3 ~7 38] g2(3-1) = 265 g2(38) = 288 entonces 1 g2(x)1 gt 1

para todo x E (3738] Luego no existe intervalo [a b) que contenga a la ralz a 3 dondese middot

satisfagan las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funcion g2

Por otro lado como g2 es decreciente en [-5-4] 92 (- middot5) =-121 Y 92(-4)= - 195

entonces g2 tampoco satisface las hip6tesis del teorema de Punto Fijo en algun intervalo

que contenga a a l bull

Ejercicio 24 Use el metodo de iteraci6n de Punto Fijo con alguna de las funci ones de iteraci6n dadas anteriormente para encontrar estimaciones de las raices a 1 Y a 3 de la

ecuaci6n 3x2 - eX = 0 usando como criterio de aproximacion

I xn - xn_1 1lt 5x 1O -~ bull

Ejemplo 25 Usemos el metodo iterativ~ de Punto Fijo para encontrar la menor raiz positiva de la ecuaci6n x - tanx ~ 0

Como x - tanx = 0 lt=gt x = tanx empezamos graficando en un mismo plano coordenado las funciones f1(X) = X Y f2(x)=tanx (verlaFIGURA211)

De acuerdo con la FIGURA 211 la menor raiz positiva a E (311 Y a partir de una tabla 2

de valores para f(x)=x-tanx puede verse que aE [4445] (cuando utilice una

calculadora use el modo radianes para los calculos)

Una primera funci6n de iteraci6n de Punto Fijo (que salta a la vista) es g( x) = tanx (ya que

x - tanx = 0 lt=gt x = tanx) pero es claro que para esta funci6n 9 no existe intervalo [a b] que

contenga la raiz a donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo pues

19(a) Iraquo 1 (observe la FIGURA 211 anterior)

54 METODOS NUMERICOS

Y

Y= tanx

x

II

I I I I I I

FIGURA 211

Si aplicamos el metodo de Punto Fijo con la funcion de iteracion g(x) = tanx se obtiene en

las cinco primeras iteraciones y tomando como punto inicial Xo = 44 los resultados que se

muestran en la TABLA 25 siguiente

n xn

0 44 1 3096325 2 --4529983 x 10 -2

3 --4533084 x 10 -2

4 --4536192 x 10 -2

5 --4539305 x 10 -2

TABLA 25

Observando la TABLA 25 se concluye que no hay convergencia a la raiz buscada

Si empezamos con Xo = 45 se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 26

donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raiz buscada

Cual otra funcion de iteracion podrlamos construir

Observando la grafica de la funci6n tangente (vea la FIGURA 211) Y teniendo en cuenta la relaci6n entre la grafica de esta funci6n y la de su inversa se ve ciaramente que una funci6n de iteraci6n de punto fijo apropiada para determinar a es la que se obtiene por la via de la funci6n inversa Para obtener tal funci6n de iteraci6n g(x) procedemos como sigue

Cpltuo 2 SOl UCI6N MJlMCAI

Puesto que tanx =- tan(x - ) en

It 3 - x y2 2

- x 2

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NOmiddotL1NEAL EN UNA VARIABLE 55

n Xn

0 45 1 4637332 2 1329819 3 8982053 4 1255524 5 3066069

TABLA 26

Puesta que tanx = tan( x - 1t) entances

1t 3n - lt x lt shy y2 2

n 3n x = tanx cgt - lt x lt shy y x = tan( x - n)

2 2 n n

cgt -shy lt X- n ltshy y x = tan(x-n )2 2

n 3n - lt x lt shy y2 2

t n n t -1X= anx cgt - - lt x - n lt shy y an x = x - n 2 2

n 3n lt=gt - lt x lt shy y x = n + tanshy1 x

2 2

As que pademas tamar como funci6n de iteraci6n g(x) = n + tan -1x La grafica de

y = n + tan -1 x se muestra en la FIGURA 212 siguiente

y y= x

3112 ---shy - ----- - -shy -shy -shy

V= 1t+ tan-1x

1t====~-2-----shy --------shy -shy

-shy -shy ----shy - - -shy ---shy - -I

I I I I II II

I I I I II ___ ____ _ _ 1L ___ _ __ _ _

11

2

II I I I I I I

FIGURA 212

x

Veamas que g( x) = 1t + tan - 1x satisface las hip6tesis del tearema de Punta Fije en el intervale

[4445]

bull

56 METODOS NUMERICOS

9 es continua en [4445] g(x) = _1_ gt 0 para todo x E R aSI que 9 es creciente en 1+ X2

[4445] y como g(44) =448 y g(45)=449 entonces g([4445])[4445]

Ahora g es decreciente en [4445] (a medida que x aumenta g(x) disminuye) y como

g(44)= 049 Y g(45)= 047 entohces Ig(x)l ~ 05=K lt 1 paratodo xE(4445)

Por 10 tanto 9 tiene un unico punta fijo a E [4445] Y la sucesion xn n con

converge a a cualquiera sea Xo E[4445] Y se tienen ademas las cotas para el error de

truncamiento Ia - xn I dadas en el teorema 21

La convergencia debe ser rapid a pues K es pequera

Como ejercicio encuentre cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime

a a con par 10 menos 4 cifras decimales exactas tomando [ab] = [4445] Xo = 445 Y

K = 05

La TABLA 27 siguiente muestra los calculos de las iteraciones para g(x) = 1T + tan-1 x con

punto inicial Xo = 445 Y criterio de aproximacion I xn - xn-1 1lt 5 x 10-5

I n

I xn I Ixn - xn- 1 I I 0 445 1 4491341 041341 2 4493311 197 x 10 -3

3 4493404 93 x 10 -5

4 4493409 50 x 10-6

TABLA 27

De acuerdo con los resultados de la TABLA 27 a 4493409 = x4 bull

222 Metodo de Newton-Raphson Como veremos mas adelante el metodo de NewtonshyRaphson se aplicara para hallar ralces simples de una ecuaci6n f( x) = O Antes de ver el

metodo de Newton-Raphson veamos la siguiente definicion sobre la multiplicidad de una rafz de una ecuacion

Definici6n 23 Dada una ecuacion f(x) = O Un numero a se dice una raiz de multiplicidad

m (m un entero positiv~) de la ecuacion f(x) = 0 si f(o ) = 0 y

Capitulo 2 SOLUCION NUM~RICA DE

para Xto f(x)=(x-exth(x)

sectl m = 1 la raiz se dice simple pound

nte teoremcuelaciona la multiplicidad de

derivadas de la funcjoo f

Demostraci6n Supongamos que ex es

acuerdo con la definicion 23 t(ex ) O Y

Derivando a ambos lados de la

Como

Reclprocamente su~IOIIS

Taylor para f alrededor

Capitulo 2 SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NOmiddotL1NEAL EN UNA VARIABLE 55

n Xn

0 45 1 4637332 2 1329819 3 8982053 4 1255524 5 3066069

TABLA 26

Puesta que tanx = tan( x - 1t) entances

1t 3n - lt x lt shy y2 2

n 3n x = tanx cgt - lt x lt shy y x = tan( x - n)

2 2 n n

cgt -shy lt X- n ltshy y x = tan(x-n )2 2

n 3n - lt x lt shy y2 2

t n n t -1X= anx cgt - - lt x - n lt shy y an x = x - n 2 2

n 3n lt=gt - lt x lt shy y x = n + tanshy1 x

2 2

As que pademas tamar como funci6n de iteraci6n g(x) = n + tan -1x La grafica de

y = n + tan -1 x se muestra en la FIGURA 212 siguiente

y y= x

3112 ---shy - ----- - -shy -shy -shy

V= 1t+ tan-1x

1t====~-2-----shy --------shy -shy

-shy -shy ----shy - - -shy ---shy - -I

I I I I II II

I I I I II ___ ____ _ _ 1L ___ _ __ _ _

11

2

II I I I I I I

FIGURA 212

x

Veamas que g( x) = 1t + tan - 1x satisface las hip6tesis del tearema de Punta Fije en el intervale

[4445]

bull

56 METODOS NUMERICOS

9 es continua en [4445] g(x) = _1_ gt 0 para todo x E R aSI que 9 es creciente en 1+ X2

[4445] y como g(44) =448 y g(45)=449 entonces g([4445])[4445]

Ahora g es decreciente en [4445] (a medida que x aumenta g(x) disminuye) y como

g(44)= 049 Y g(45)= 047 entohces Ig(x)l ~ 05=K lt 1 paratodo xE(4445)

Por 10 tanto 9 tiene un unico punta fijo a E [4445] Y la sucesion xn n con

converge a a cualquiera sea Xo E[4445] Y se tienen ademas las cotas para el error de

truncamiento Ia - xn I dadas en el teorema 21

La convergencia debe ser rapid a pues K es pequera

Como ejercicio encuentre cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime

a a con par 10 menos 4 cifras decimales exactas tomando [ab] = [4445] Xo = 445 Y

K = 05

La TABLA 27 siguiente muestra los calculos de las iteraciones para g(x) = 1T + tan-1 x con

punto inicial Xo = 445 Y criterio de aproximacion I xn - xn-1 1lt 5 x 10-5

I n

I xn I Ixn - xn- 1 I I 0 445 1 4491341 041341 2 4493311 197 x 10 -3

3 4493404 93 x 10 -5

4 4493409 50 x 10-6

TABLA 27

De acuerdo con los resultados de la TABLA 27 a 4493409 = x4 bull

222 Metodo de Newton-Raphson Como veremos mas adelante el metodo de NewtonshyRaphson se aplicara para hallar ralces simples de una ecuaci6n f( x) = O Antes de ver el

metodo de Newton-Raphson veamos la siguiente definicion sobre la multiplicidad de una rafz de una ecuacion

Definici6n 23 Dada una ecuacion f(x) = O Un numero a se dice una raiz de multiplicidad

m (m un entero positiv~) de la ecuacion f(x) = 0 si f(o ) = 0 y

Capitulo 2 SOLUCION NUM~RICA DE

para Xto f(x)=(x-exth(x)

sectl m = 1 la raiz se dice simple pound

nte teoremcuelaciona la multiplicidad de

derivadas de la funcjoo f

Demostraci6n Supongamos que ex es

acuerdo con la definicion 23 t(ex ) O Y

Derivando a ambos lados de la

Como

Reclprocamente su~IOIIS

Taylor para f alrededor

56 METODOS NUMERICOS

9 es continua en [4445] g(x) = _1_ gt 0 para todo x E R aSI que 9 es creciente en 1+ X2

[4445] y como g(44) =448 y g(45)=449 entonces g([4445])[4445]

Ahora g es decreciente en [4445] (a medida que x aumenta g(x) disminuye) y como

g(44)= 049 Y g(45)= 047 entohces Ig(x)l ~ 05=K lt 1 paratodo xE(4445)

Por 10 tanto 9 tiene un unico punta fijo a E [4445] Y la sucesion xn n con

converge a a cualquiera sea Xo E[4445] Y se tienen ademas las cotas para el error de

truncamiento Ia - xn I dadas en el teorema 21

La convergencia debe ser rapid a pues K es pequera

Como ejercicio encuentre cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime

a a con par 10 menos 4 cifras decimales exactas tomando [ab] = [4445] Xo = 445 Y

K = 05

La TABLA 27 siguiente muestra los calculos de las iteraciones para g(x) = 1T + tan-1 x con

punto inicial Xo = 445 Y criterio de aproximacion I xn - xn-1 1lt 5 x 10-5

I n

I xn I Ixn - xn- 1 I I 0 445 1 4491341 041341 2 4493311 197 x 10 -3

3 4493404 93 x 10 -5

4 4493409 50 x 10-6

TABLA 27

De acuerdo con los resultados de la TABLA 27 a 4493409 = x4 bull

222 Metodo de Newton-Raphson Como veremos mas adelante el metodo de NewtonshyRaphson se aplicara para hallar ralces simples de una ecuaci6n f( x) = O Antes de ver el

metodo de Newton-Raphson veamos la siguiente definicion sobre la multiplicidad de una rafz de una ecuacion

Definici6n 23 Dada una ecuacion f(x) = O Un numero a se dice una raiz de multiplicidad

m (m un entero positiv~) de la ecuacion f(x) = 0 si f(o ) = 0 y

Capitulo 2 SOLUCION NUM~RICA DE

para Xto f(x)=(x-exth(x)

sectl m = 1 la raiz se dice simple pound

nte teoremcuelaciona la multiplicidad de

derivadas de la funcjoo f

Demostraci6n Supongamos que ex es

acuerdo con la definicion 23 t(ex ) O Y

Derivando a ambos lados de la

Como

Reclprocamente su~IOIIS

Taylor para f alrededor