identificación de formas distintas de comparación y relación entre números reales tales como...

7/24/2019 Identificacin de Formas Distintas de Comparacin y Relacin Entre Nmeros Reales Tales Como Razones Tasas Proporciones y Variaciones

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Razones, Proporciones, Tasas,Porcenta es Variaciones

Matemticas I


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MatemticasI

Nmeros racionales expresados como

fraccin Dentro de los nmeros reales, encontramos a los

nmeros racionales que se expresan como un

cociente de dos nmeros enteros.

Los enteros son racionales ya que se pueden

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represen ar en orma e racc n.

Los nmeros racionales tienen una gran relacincon las razones, proporciones, tasas, porcentajes y

variaciones, ya que se pueden expresar como unafraccin.


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MatemticasI

Razones Una razn es una divisin entre dos enteros a y b.

La razn de a entre b tambin se puede leer

como a contra b a respecto a b a:b. La razn muestra la relacin entre a y b.

Ejemplo:

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Un coche va a 80km/h y una bicicleta a 20km/h La razn entre las velocidades es de 4:1, ya que 80 es

4 veces mayor respecto a 20:

80:20 4:1, dado que 420

80=


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MatemticasI

Proporciones La proporcin es la igualdad de 2 razones:

y

Entonces, a es a c como b es a d

xb

a= x

d

c=

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Los extremos de la proporcin son a y d, mientrasb y c son llamados los medios.

d

c

b

a=

db

ca


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MatemticasI

Propiedad fundamental de las

proporciones El producto de los medios es igual al producto de

los extremos:

Sea:dc

ba =

5

Ejemplo:

ca =

10

6

5

3= 56103 = 3030 =


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MatemticasI

Porcentaje Porcentaje se refiere a la cantidad de partes que

corresponden proporcionalmente a 100, donde 100

es el todo.

Ejemplo:

6

%25ciento"poroveinticinc"

100

2525.0

4

1

=

===


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MatemticasI

Ejemplo de porcentajes En un saln de 30 alumnos, 15 son nias. Qu

porcentaje representan las nias respecto al total?

?15

10030

p

100

15

30=

7

Entonces:

1001530 =p

%503010015 ==p


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MatemticasI

Ejemplo de porcentajes: otro enfoque El ejemplo anterior tambin se puede expresar de

la siguiente manera:

cantidad a evaluar

cantidad total5.0

30

15=

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Entonces, para saber el porcentajeque representan 15nias del total de 30 alumnos, multiplicamos la fraccinpor 100:

%501005.0 ==p


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MatemticasI

Variaciones Cuando dos variables son interdependientes, los

cambios en el valor de una tendrn un efecto

predecible en la otra.

Las variaciones son el crecimientoo decrecimiento

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e una var a e a con respec o a o ra , por unarazn o constante k.


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MatemticasI

Variaciones directas e inversas Existen dos tipos de variaciones: directa e inversa.

Variacin directa: cuando una variable aumenta

cuando la otra aumenta. Se puede expresar como: a = k x b, o bien, k = a / b

Las relaciones se expresan en la forma normal:

caca

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Variacin inversa: cuando una variable disminuyecuando la otra aumenta.

Se puede expresar como: a = k / b, o bien, k = a b

Las relaciones se expresan en forma invertidarespecto a laforma normal:

dbdb

c

d

b

a=

db

ca


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MatemticasI

Ejemplo de variacin directa Para recorren 50km un coche necesita 2 litros de

gasolina Cunto necesitara para recorrer 90km?

L

2

90

50=

L

90

250

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Ya que necesita recorrer una distancia ms larga,

entonces necesita ms gasolina. Esta es unavariacin directa.

litrosL 6.350

902=

=90250 =L


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MatemticasI

Ejemplo de variacin inversa Los problemas de variaciones que implican

relaciones de velocidades o relaciones de trabajo

pueden confundir a la gente, como en los ejemplosde las siguientes lminas.

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s os son e emp os e var ac ones nversas(cuando una variable disminuye cuando la otraaumenta).


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MatemticasI

Ejemplo de variacin inversa En una casa se utilizaron 4 pintores para pintar una habitacin y se

tardaron 3 horas. Cunto se tardaran 2 pintores en pintar la mismahabitacin?

Cuando analizamos el problema, llegamos a la conclusin que setrata de una relacin inversa, en vez de directa, ya que mientrasms pintores tenemos, menos tiempo les tomar el trabajo.

As, la solucin correcta re uiere ue utilicemos una ro orcin

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inversa, invirtiendo una de las relaciones como sigue:

Entonces:

Reafirmamos que sta es una variacin inversa, ya que a mspintores, menos tiempo, y a menos pintores, ms tiempo.

horasT 6234 ==342 =T

T

2

34

32

4 T=


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MatemticasI

Otro ejemplo de variacin inversa La corriente que circula por un circuito elctrico a voltaje

constante vara inversamentea la resistencia del circuito. Sila corriente I es de 4 amperes, cuando la resistencia R es de

9 ohms, cul ser la corriente cuando la resistencia es de 6ohms?

Puesto que I y R varan inversamente, la ecuacin para la= =

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, , ,

constante. Por tanto, 9 x 4 = V. Adems, 6 x I = V. Las cantidades iguales a una misma constante son iguales

entre s, de modo que tenemos la siguiente igualdad:

Con un voltaje constante V, cuando la resistencia disminuyede 9 a 6 ohms, la corriente aumenta de 4 a 6 amperes

(variacin inversa).

amperesI 66

36==496 =I

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