EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

etromag

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Prof.Dan

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SJBV

Reflexão de ondas planas

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

•  Reflexão de ondas planas na interface entre dielétricos com incidência oblíqua:

•  Polarização paralela

•  Polarização perpendicular

•  Angulo de Brewster

Ondas planas: Reflexão de ondas (Capítulo 12– Páginas 428 a 437)

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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela

Reflexão de ondas planas

•  Duas polarizações são possíveis no caso de incidência oblíqua:

•  Polarização perpendicular: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é

perpendicular ao plano de incidência

•  Para polarização perpendicular, a orientação dos campos das ondas incidente,

refletidas e transmitidas são ilustradas na Figura (próximo Slide).

•  Polarização paralela: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é

paralelo ao plano de incidência

•  Lembrando que o plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda

incidente (e das demais ondas) e a normal à interface.

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

SJBV

Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua

Reflexão de ondas planas

!kt

ε1, µ1 ε2, µ2y z

x

!kr

θi

θr θt

!ki

!Ei

!Hi

!Er

!Hr

!Et

!Ht

•  Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Perpendicular)

SJBV

Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua

Reflexão de ondas planas

!kt

ε1, µ1 ε2, µ2y z

x

!kr

θi

θr θt

!ki

!Ei!Hi

!Er

!Hr

!Et

!Ht

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

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fig

ura

segu

inte

est

iver

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da e

la se

rá c

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gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

•  Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Paralela)

SJBV

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

Reflexão de ondas planas

•  No meio 1, o vetor de onda da onda incidente é:

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

!kix!

kiz

y z

x

!ki!

Ei

!Hi

θi

!ki = β1senθiax +β1 cosθiaz

•  Hio possui componentes em x e z:

!Ei

!Hi

θi

!Hix

!Hiz

!Hio =

!Hio −cosθiax + senθiaz( )

θi•  Os campos da onda incidente no meio 1 são:

Componentes de k

Componentes de E

!Ei = Eioe

− jβ1(xsenθi+zcosθi )ay!Hi =

Eio

η1−cosθiax + senθiaz( )e− jβ1(xsenθi+zcosθi )

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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

Reflexão de ondas planas

•  No meio 1, o vetor de onda da onda refletida é: !krx

!krz

y z

x

θr

!kr = β1senθrax −β1 cosθraz

•  Hro possui componentes em x e z: !Hrx

!Hrz

!Hro = Hro cosθrax + senθraz( )

•  Os campos da onda refletida no meio 1 são:

!kr

!Hr

!Er

θr

!Hr

!Er

θr

Componentes de k

Componentes de E

!Er = Eroe

− jβ1(xsenθr−zcosθr )ay!Hr =

Ero

η1cosθrax + senθraz( )e− jβ1(xsenθr−zcosθr )

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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

Reflexão de ondas planas

•  No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é: !ktx

!ktz

y z

x

!kt!

Et

!Ht

θt!kt = β2senθt ax +β2 cosθt az

•  Hto possui componentes em x e z: !Et

!Ht

θt

!Htx

!Hto = Hto −cosθt ax + senθt az( )

θt•  Os campos da onda transmitida no meio 2 são:

Componentes de k

Componentes de E

!Htz

!Et = Etoe

− jβ2 (xsenθt+zcosθt )ay

!Ht =

Eto

η2−cosθt ax + senθt az( )e− jβ2 (xsenθt+zcosθt )

θt

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Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

Reflexão de ondas planas

•  Os campos E e H tangenciais a interface têm de ser iguais dos dois lados.

•  Da C.C. para o campo elétrico (que só possui Ey):

•  A condição de contorno para o campo magnético fica:

• Se

a o

rien

taça

o de

Ei,

Er

e E

t na

fig

ura

segu

inte

est

iver

erra

da e

la se

rá c

orri

gida

pel

o si

nal d

e ga

mm

a e

T

!E

i

t z = 0( )+!E

r

t z = 0( ) =!E

t

t z = 0( )

(1)

(2)

!H

i

t z = 0( )+!H

r

t z = 0( ) =!H

t

t z = 0( )

⇒ Eio +Ero( ) = Eto

⇒1η1

Eio −Ero( )cosθi =1η2Eto cosθt

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•  Isolando Eto em (8) e (9), e igualando ambas as equações:

Reflexão de ondas planas

•  Isolando Ero em (1) e (2) e igualando ambas as equações:

•  O Coeficiente de Reflexão para polarização perpendicular ao plano de incidência é:

η1 cosθt Eio +Ero( ) =η2 cosθi Eio −Ero( )

Eio −η1 cosθtη2 cosθi

Eto = Eto −Eio

•  O Coeficiente de Transmissão para polarização particular é:

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

Coeficientes de Fresnel (polarização

perpendicular)

Γ⊥ =Ero

Eio

=η2 cosθi −η1 cosθtη2 cosθi +η1 cosθt

τ⊥ =Eto

Eio

=2η2 cosθi

η2 cosθi +η1 cosθt

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•  Os coeficientes de reflexão de Fresnel dão as relações entre os campos.

Reflexão de ondas planas

•  A Refletância (R) é definida como a razão entre a potência refletida e a

incidente:

•  Normalmente, quando se trabalha com ondas eletromagnéticas, seja em óptica ou

RF, a grandeza medida não é diretamente o campo, mas a potência da radiação.

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

•  Os coeficientes são complexos. Pergunta: O que a fase de Γ e τ representam?

R = PrPi=  Γ  2

•  A Transmitância (T) é definida como a razão entre a potência transmitida e a

incidente:

T = PtPi=ℜe 1/η2

*{ }ℜe 1/η1

*{ } τ   2 = η1

η2

2η2 +η2

*

η1 +η1*  τ  

2

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•  Uma expressão mais simples para a transmitância pode ser obtida pelo fato de que,

pela conversão de energia:

Reflexão de ondas planas

•  Em outras palavras, a potência refletida somada à transmitida tem de ser igual à

incidente. A transmitância fica:

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular

•  Note que, ao contrário da energia, a amplitude dos campos não é uma grandeza

que é conservada. De fato para polarização perpendicular:

R+T =1

T =1−  Γ  2

•  Para polarização paralela:

1+Γ = T cosθtcosθi

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1+Γ⊥ = T⊥

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•  Como se pode ver da Equação para Γ||, para a polariz. paralela há um angulo para o

qual a onda é totalmente transmitida.

Reflexão de ondas planas

Angulo de Brewster (Polarização Paralela)

•  Usando a Lei de Snell e manipulando esta equação, chegamos na Eq. para o

ângulo de Brewster θB:

•  Que para meios não magnéticos (µ1=µ2=µ0), esta equação se reduz a:

η2 cosθt =η1 cosθB    ⇒ Γ|| = 0

sen2θB =1− µ2ε1

µ1ε2

1− µ2ε1µ1ε2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

tanθB =ε2ε1=n2n1    ⇒ θB = tan−1 n2

n1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

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•  No caso da polarização perpendicular, para que o coef. de reflexão seja zero:

Reflexão de ondas planas

Angulo de Brewster (Polarização Perpendicular)

•  Para que esta equação seja satisfeita, temos que:

•  Como meios magnéticos são pouco utilizados tanto em óptica como em RF, o

ângulo de Brewster para polarização perpendicular tem pouca aplicação.

η1 cosθt =η2 cosθB⊥    ⇒ Γ⊥ = 0

tanθB =µ2µ1  

•  Para a polarização paralela, o fato de Γ|| ser zero implica que uma onda incidente

com polarização qualquer será refletida somente com E perpendicular.

•  A polarização paralela é efetivamente filtrada e isto é usado em Lasers e filtros

de polarização.

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Reflexão de ondas planas

FAZER GR´AFICO DO ANGULO DE BREWSTER

clear;clc;n1=1;n2=6;theta_i=0:0.01:pi/2;theta_t=asin((n1/n2)*sin(theta_i));gamma_par=(n1.*cos(theta_t)-n2.*cos(theta_i))./(n1.*cos(theta_t)+n2.*cos(theta_i));plot(180*theta_i/pi,abs(gamma_par))Γ

θi

ni=1;nt=6;