prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · sjbv • lei de ohm na forma pontual vs....

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•  Lei de Ohm na forma Pontual vs. Macroscópica

•  Tempo de Relaxação

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza3

Condutividade Elétrica e Lei de Ohm na Forma Pontual (Capítulo 5 – Páginas 114 a 118)

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•  Se aplicarmos uma diferença de potencial nos terminais de um fio condutor, a força

exercida sobre os elétrons livres dentro do condutor é:



Condutividade

!F = −e

!E

carga do elétron = 1,602x10-19C

_ !F

!E

V•  Devido às colisões com os átomos do condutor, os elétrons não são acelerados

continuamente.

•  Os elétrons atingem uma velocidade constante (velocidade de deriva, vd): !vd = −µe

!E

•  A mobilidade do elétron (µe) é um parâmetro que depende do material e tem unidades

de m2V-1s-1.

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•  A densidade de corrente J é dada pela densidade volumétrica de cargas livres

multiplicada pela velocidade das cargas livres.



Condutividade

_

!E

V•  Em semicondutores, as lacunas também contribuem para a densidade de corrente.

•  Se em um dado semicondutor, a densidade de lacunas for ρh, a densidade de corrente

é dada por:

!vd!J = −ρeµe

!E

Densidade vol. de elétrons livres

!J = −ρeµe

!E + ρhµh

!E

•  Note que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico.

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•  No caso de materiais semicondutores, a mobilidade das lacunas também tem que ser

levada em conta.

•  Lei de Ohm na forma pontual: a densidade de corrente em um ponto é

proporcional ao campo elétrico naquele ponto. A condutividade do material é a

constante de proporcionalidade.



Condutividade

_

!E

•  A condutividade pode ser expressada em termos da mobilidade. No caso dos

condutores a mobilidade dos elétrons é usada.

!J =σ

!E __

!J

σ = −ρeµe

σ = −ρeµe + ρhµh

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•  A diferença de potencial aplicada no condutor pode ser relacionada ao campo elétrico.

•  Já conhecemos a forma pontual da Lei de Ohm e agora podemos relaciona-la com a

forma macroscópica, que conhecemos de circuitos elétricos:



Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica

•  Para um condutor com seção transversal de área ‘S’, a relação entre a corrente e a

densidade de corrente é:

R = VI

I

VABS

I =!J ⋅d!S

S∫ = !E σS

A B !LAB

VAB = −!E ⋅d!l =

B

A

∫!E ⋅!LAB =

!E L

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•  Substituindo as duas últimas expressões na Lei de Ohm (macroscópica), chegamos

na equação que relaciona a resistência elétrica com a condutividade.



Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica

R = 1σLS I

VABS

A B !LAB

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•  Pergunta: O que acontece se, de alguma forma, ‘inserirmos’ uma quantidade de

cargas no interior de um dado meio material?



Tempo de relaxação

•  Se as cargas tiverem o mesmo sinal as cargas se

repelem. •  As cargas vão se concentrar na superfície do

material.

•  Tempo de relaxação é tempo que uma carga no interior de um material leva para

decair a e-1 (36,8%) de seu valor inicial.

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•  Podemos encontrar a equação que descreve a evolução da quantidade de carga

dentro do material ao longo do tempo.




•  A equação da continuidade de carga também pode ser expressa em termos de E

através da lei de Ohm na forma pontual ( ).

∇⋅!D = ρv ∇⋅

!E = ρv

ε

•  Para materiais homogêneos a Lei de Gauss pode ser expressa em termos de E.

!J =σ

!E

∇⋅!J = −∂ρv

∂tσ∇⋅

!E = −∂ρv

∂t

1ρv

∂ρv∂t

= −σε

•  Substituindo obtido da L.G. na equação acima: ∇⋅!E

σ ρvε= −

∂ρv∂t

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•  A solução da Eq. Diferencial acima é:




•  O tempo de de relaxação τ é dado por:

•  Qual é o tempo de relaxação para o cobre (σ = 5,8x107 S/m, ε = ε0)?

τ = 1,53x10-19 s

ρv = ρv0e− t τ

τ =εσ

•  Qual é o tempo de relaxação para o quartzo (σ = 1x10-17 S/m, ε = 5ε0)?

τ = 4,43x106 s (51 dias)

•  A densidade volumétrica no ponto cai exponencialmente com o tempo.

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Calcule a intensidade da densidade de corrente para uma amostra de prata

para a qual e , se:

(a)  A velocidade de deriva é 1,5 µm/s;

(b)  A intensidade de campo elétrico é 1mV/m;

(c)  A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado e por ela passa uma corrente total

de 0,5A.



Exemplo

σ = 6,17×107 [S /m] µe = 0,0056 m2 /V.s⎡⎣ ⎤⎦

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Um condutor de cobre (σ = 5,8x107 [S/m]) tem diâmetro de 15,24 mm e

comprimento de 365,7m. Suponha que por ele circule uma corrente total de 50A.

(a)  Calcule a resistência total do condutor.

(b)  Que valor densidade de corrente existe no condutor.

(c)  Qual é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor?

(d)  Quanta potência é dissipada no fio.



Exemplo

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