prof. daniel orquiza de carvalho eletromagnetismo i · propriedades dos condutores e condições de...

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Prof.Dan

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Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Conceito de Condutor Elétrico Perfeito (PECs)

•  Densidade de carga, campos e potencial no interior de PECs

•  Condições de Contorno em superfícies condutoras.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Propriedades dos Condutores e Condições de Contorno (Capítulo 5 – Páginas 119 a 123)


•  Um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) é um condutor cuja condutividade é infinita

(σ = ∞).


Condutor Elétrico Perfeito (PEC)

•  Embora se trate de uma abstração, os PECs são usados para compreender muitos

condutores reais (bons condutores).

•  O que acontece se um conjunto de cargas for inserido dentro de um condutor

perfeito (ou bom condutor)?

•  Existe campo elétrico E e Densidade de Fluxo Elétrico D no interior de um

condutor Perfeito (PEC)?


•  Cargas dentro de um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) (ou um bom condutor) se

repelem mutuamente, caso tenham mesmo sinal.


•  O que acontece com cargas de sinais opostos?

•  Uma densidade superficial de cargas existirá nas

superfícies.

•  Recorde o que estudamos sobre o tempo de relaxação! Qual a ordem de grandeza

de τ para bons condutores?

ρv = 0 no interior do PEC

ρS ≠ 0 se houver cargas no PEC

Propriedades de PECs

Condutor Elétrico Perfeito

Campo Elétrico em um condutor

•  O que acontece quando um campo elétrico externo Ee é aplicado em um Condutor Elétrico Perfeito?

30/05/17 4


!Ee

!Ee

!Ee

!Ei

!Ei

!Ei

ρv = 0!E = 0!D = 0

ρs ≠ 0

!E = 0

!D = 0e

Campo Elétrico em um condutor

30/05/17 5

!E = 0 −∇V = −

∂V∂x

ax −∂V∂y

ay −∂V∂z

az = 0


V =Constante

VAB = 0

§  Visto que o campo elétrico é nulo, é possível saber o comportamento do potencial em qualquer ponto dentro do condutor.

§  Para que esta equação seja satisfeita, V tem que ser constante ao longo de todas as direções espaciais.

§  Por consequência, a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B no interior do PEC é nula.


•  O conhecimento do comportamento dos campos eletrostáticos (e eletromagnéticos)

em:


Meios materiais (MUDAR)

permite compreender o funcionamento e projetar grande parte dos dispositivos

de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, como por exemplo:

①  Materiais homogêneos, isotrópicos e lineares (condutores e dielétricos) e

②  Na interface entre meios diferentes (condutores e dielétricos),

Antenas FibrasÓpticasGuiasdeOnda

Linhasdetransmissão


As condições de contorno na interface entre dois meios nos permitem relacionar os campos dos dois lados da interface.

30/05/17 7

!E1

!E2

!E2n

!E2t

!E1n

!E1t

e

e

y

x

Condições de Contorno na Superfície de PECs

!E2n

!E1n

!E2t!

E1t

Decompondo os campos dos dois lados, é possível encontrar relações entre as componentes normais ( ) em cada lado.

Além disso, é possível encontrar relações entre as componentes tangenciais nos dois lados da interface ( ).

c d


30/05/17 8

y

x

Condições de Contorno na Superfície de PECs Caminho fechado

Condutor perfeito

Se escolhermos o caminho tal que h→ 0:

h

w

h

a b

!E ⋅d!l

C!∫ = 0

!E ⋅d!l

C1∫ +

!E ⋅d!l

C2∫ +

!E ⋅d!l

C3∫ +

!E ⋅d!l

C4∫ = 0

C1

C2

C3

C4 !E ⋅d!l

C2∫ =

!E ⋅d!l

C4∫ = 0

§  Os campos eletrostáticos são conservativos e satisfazem a equação:

§  Usando a integral de linha ao longo de um caminho retangular encontramos as C.C. para E tangencial na superfície do condutor.

§ 

c d


30/05/17 9

y

x


Caminho fechado

Condutor perfeito h

w

h

a

§  Além disso, o campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo.

b

!E ⋅d!l

C3∫ = 0

C1

C2

C3

C4

§  Por consequência, a integral de linha ao longo de C1 tem de ser nula.

§  Com isso, a componente tangencial do campo elétrico na superfície do condutor perfeito é nula.

E1tw = 0

!Et = 0

!E × aN S

= 0

§  Se w for suficiente pequeno, o componente tangencial de E ao longo de C1 é uniforme.

aN

30/05/1710

h

Área S’

z y

x



ψLATERAL = 0

ψBASE = 0

§  O campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo.

!D ⋅d!S

S!∫ =Q ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q

§  A Lei de Gauss (na forma integral) permite encontrar a relação entre os componentes normais de D.

§  Considerando uma Superfície Gaussiana cilíndrica onde o topo e a base são paralelos à superfície temos:

Carga dentro do cilíndro ρs

Se a altura do cilindro for tal que h→ 0:§ 

PEC

30/05/1711

h

Área S’

z y

x



§  A Lei de Gauss para a superfície gaussiana considerada resulta em:

!D ⋅d!S

S!∫ =Q ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q

!D ⋅ S ' aN( ) =Q

§  Para o condutor perfeito, o único fluxo que contribui para a L.G. é o fluxo através do topo do cilindro.

ρs

0 0§  Se S’ for suficientemente pequena, a

componente normal de D ao longo de S’ é uniforme.

aN

PEC

§  A C. C. para a componente normal de D na superfície do condutor é obtida substituindo a expressão anterior na L.G.:

30/05/1712

h/2

Área S’

z y

x



Q = ρS dSS∫

Q = ρSS '

!D ⋅ aN S

= ρS

§  A carga no interior do cilindro está toda localizada na superfície do PEC. O lado direito da L.G. fica:

ân

§  Considerando que ρs é uniforme ao longo da superfície contida no interior do cilindro (que também tem área S’):

PEC

PEC

30/05/1713



§  Note que a densidade de carga ρs pode ser negativa ou positiva.

§  Quando ρs > 0, a densidade de fluxo aponta na direção da normal saindo do condutor.

!D ⋅ aN S

> 0

!D ⋅ aN S

< 0

§  Quando ρs < 0, a densidade de fluxo aponta na direção da normal entrando no condutor.

ân

ρs > 0

ρs < 0

ân

ân

!D

!D

PEC

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