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II Unidad: Relaciones y Funciones
MATEMÁTICA IIº AÑO MEDIO
DOCENTES: Isaías Correa M.
“Conceptos básicos”
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Definir relación y función, estableciendo las diferencias entre un concepto y otro.
• Determinar si una relación es función.
• Determinar el Dominio y Recorrido de una Relación
• Determinar el Dominio y Recorrido de una Función.
• Determinar si una función es inyectiva, epiyectiva o biyectiva.
• Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.
Contenidos
1. Nociones de teoría de conjuntos
2. Relaciones
3. Funcionesa) Definición
b) Evaluación de funciones
d) Clasificación: Inyectivas; Epiyectivas; Biyectivas.
a) Definición
b) Dominio, Codominio y Recorrido
a) Definiciones
b) Producto Cartesiano
c) Dominio y recorrido de una función
1. Nociones de Conjuntos a) Definiciones
Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos,
considerados como una sola unidad.
Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto
C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C.Si p no pertenece a C, se denota: p Є C
Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee
elementos. También se denota como: { }
Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro
conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.
b)Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B :
A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B }
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:
A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
a b c
1
2 ..
.
...
A
B
Gráficamente:
2.Relaciones a) Definición:
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a}
A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
entonces:
Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones.
El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.
2 3 7
4
5 ..
.
...
A
BGráficamente:
6 . . .
R
El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2.Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3.
(2,4) Є R ó 2 R 4
Notación:
ó R (2) = 4
(2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6
(3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6
Además de estos elementos podemos agregar que:
b) Dominio, Recorrido y Codominio :
Dominio:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada.
Recorrido:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida.
Codominio:
Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la relación.
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces:
Dom(R): = {2,3}
Rec(R): = {4,6}
= {4,5,6} = BCodom(R):
Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
2
3
7
4
5
6
A B
R
Conj. de partida. {2,3,7}
Conj. de llegada (Codominio){4,5,6}
Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6}
De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:
2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2
Este tipo de representación de relaciones se denomina “diagrama sagital” (sagita = flecha)
Relación InversaRelación Inversa
Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹
Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)}
Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}
3. Funciones
Una “función f” es una relación, tal que todo elemento delconjunto de partida tiene imagen, y ésta es única.
3.1. Definición
Ejemplos:
1. Determine si la siguiente relación R es función:
a
b
c
d
e
f
A B
R
La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.
R (c)= e
R (c)= f
• Dom f = A• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.
2. Determine si la siguiente relación R es función:
3
5
4
6
7
9
A B
R
R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única.
f (3) = 6
f (5) = 6
f (4) = 7
Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}
3
5
4
6
7
9
fA B
Sea f una función, definida en los reales como:
3.2. Evaluación de funciones
f(x) = 2x + 3.
a) f (1) =
Determinar:
IR IR
f
b) f (3) =
c) f (7) =
d) f (12) =
= 24 + 3
= 27
Ejemplo 1:
1
37
12…x
5
9
17
27…
f(x)
2·1 + 3 = 5
2·3 + 3 = 9
2·7 + 3 = 17
2·12 + 3
2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)
2(-1) + 3
f (4) - 3·f (0)
f (-1)=
8 + 3 – 3(3)
1
2
11 – 9
=
=
=
e) Para f(x) = 2x + 3, determinar
Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.
f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR
3.3. Dominio y Recorrido
x
y
Por lo tanto, este gráfico representa una función.
Ejemplo 1:
Sea
¿Es siempre posible calcular este cuociente?
Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1.
Luego, Dom(f) = IR – {1}
Respuesta:
IR IR
f
2
1
-1
…
f(x)
2
3
-1
x
1
f(x)= 2 x – 1
Ejemplo 2:
Dom(f) = [ -2, +∞ [
¿Por qué?
Seaf(x) = x + 2
Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3.
Luego, Dom(f) = IR – {3}
Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.
y(x – 3)=x
yx – 3y=x
yx – x=3y
x(y – 1)=3y
Luego, Rec(f) = IR – {1}
y= x x – 3 x=
3y
y – 1
Ejemplo 3:
f(x)= x x – 3
Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función.
Ejemplo 4:
Dom(f) = [-2,5 , 5]
Rec(f) = [-1,8 , 3,2]
Dom(f) = IR
Rec(f) = {2}
y = 2
Dom(f) = IR
Rec(f) = ]-∞ , 4] No es función
x = 3
3.4. Clasificación Función inyectiva (uno a uno):
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es imagen de exactamente un único elemento del dominio.
2
3
7
4
5
6
Bf
A
1. Determine si la siguiente función es inyectiva:
f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.
Ejemplo:
Dom(f) = A
Rec(f) = {5,6}
i) En un Diagrama Sagital:
ii) En el Plano Cartesiano:
Por lo tanto, NONO es Inyectiva
iii) Funciones Reales:
Sí f(x1)=f(x2) x1=x2
Sí f(x)=4x – 3 una función real, verificar si es inyectiva. f(x1)=4x1 – 3 f(x1)= f(x2) f(x2)=4x2 – 3 4x1 – 3=4x2 – 3 /+3 4x1 – 3+3=4x2 – 3+3 4x1=4x2 /:4 x1=x2 Por lo tanto, la función es inyectiva
1 24 4
4 4
x x
Por ejemplo:
Función Epiyectiva: (Sobre)
2
3
7
4
5
6
A B f
Diremos que una función es epiyectiva, cundo el recorrido de ella es igual al codominio, es decir, cuando no sobran elementos en el codominio.
i) En el diagrama sagital:
4
5
6
BA
2
3
7
f
Es función epiyectivaNo es función epiyectiva, porque sobra el “4”
1) 2)
iv) En el plano Cartesiano:
1)
No es función epiyectiva
2) y
x
Es función epiyectiva
iii) Funciones reales:
Para funciones definidas de f:IR IR, el procedimiento es similar al utilizado para encontrar el recorrido de una función real, es decir, debemos despejar “x”.
Para verificar si esta función es o no epiyectiva, debemos despejar “x” y comprobar si Rec(f)=Codom (f)
y(x – 3)=x
yx – 3y=x
yx – x=3y
x(y – 1)=3yy= x x – 3
x=3y
y – 1
Ejemplo: Dada la función real definida de f:IR IR
3
x
x
Luego, Rec(f) = {yєIR / y≠1}, por lo tantoComo el Codom(f) ≠ Rec(f), entonces f(x) no es epiyectiva.
f(x)=
Codom(f)
Función biyectiva:
Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.
Ejemplos:
4
7
-4
A B
5
8
-3
f
f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.
Dom(f) = A
Rec(f) = {4, 7, -4} = B
OBS. Una función Biyectiva posee inversa y se denota por f-1
Esta función nos permite saber “qué preimagen le corresponde a una imagencualquiera, es decir nos devuelve al principio. El procedimiento para encontrar la inversa de una función (f-1) es similar al utilizado para encontrar el recorrido, es decir, debemos despejar “x”.
Función Inversa: f-1
f(x)=3
x
x Sí entonces, para encontrar su inversa debemos despejar “x”, para eso f(x) lo cambiamos por “y”
y(x – 3)=x
y= x x – 3
yx – 3y=x
yx – x=3y
f-1 (x)=3x
x – 1 x(y – 1)=3y
Enseguida, cambiamos “x” por f-1(x), e“y” por “x” y nos queda:
x=3y
y – 1