informe de procesos estocasticoshh

8/16/2019 Informe de Procesos Estocasticoshh

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Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia

Análisis de procesos estocásticos en el dominio dela frecuencia

F. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso 2012-2013

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Contenido

Función de densidad espectralDefiniciónRelación con la transformada de FourierPropiedades

Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales

Funcion de densidad espectral cruzada

Estimacion de la funcion de densidad espectral

Densidad espectral de algunos procesos estocásticos

Generación de realizaciones artificiales

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Función de densidad espectral


◮ En el dominio del tiempo, un proceso estocástico quedacaracterizado si conocemos la función de medias µX (t ) y la funciónde autocorrelación R X (τ ) (o la función de autocovarianzas).

◮ Los procesos estocásticos estacionarios tienen propiedades muy

importantes cuando se analizan en el dominio de la frecuencia.◮ Un proceso estocástico queda caracterizado en el dominio de la

frecuencia mediante la función de densidad espectral, que es latransformada de Fourier de R X (τ ).

◮ La descripción en el dominio de la frecuencia de una señal

determinista x (t ) viene dado por la transformada de Fourier X (ω) (ypor tanto, también por el espectro, |X (ω)|2).

◮ Sin embargo, no siempre es posible calcular la transformada deFourier de una señal aleatoria. La función de densidad espectral si sepuede calcular.

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Para que una función f (t ) tenga transformada de Fourier se tiene que

cumplir1. La función es absolutamente integrable +∞

−∞

|f (t )|dt < ∞

2. Cualquier discontinuidad de f (t ) es finita.

Sea {X (t )} un proceso estocástico. En principio, todos los procesosestocásticos que vamos a considerar no tienen discontinuidades infinitas.Para que se cumpla la primera propiedad se tiene que dar que X (t ) → 0

cuando t → −∞ y

t → ∞. Esto no pasa en los procesos estocáticos!Por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier de X (t ).

Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función deautocorrelación, que es la que nos sirve para caracterizar el procesoestocástico en el dominio del tiempo.

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Para procesos estacionarios, la función de autocorrelación se puede ponercomo:

R X (τ ) = E (X (t )X (t + τ ))

Los procesos estocásticos estacionarios dejan de estar correlacionadospara valores muy grandes de τ , esto es

limτ →∞

R X (τ ) = E (X (t ))E (X (t + τ )) = µ2

X

Si la media del proceso es distinta de cero, se le resta la media y portanto cumple que

limτ →∞

R X (τ ) = 0

Por tanto ∞−∞

|R X (τ )|d τ < ∞

Luego la función de autocorrelación de los procesos estocásticosestacionarios (con media cero) tiene transformada de Fourier.

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Definición

DefiniciónSea {X (t )} un proceso estocástico estacionario. La función de densidadespectral de {X (t )}, que se escribe como S X (ω), se define como latransformada de Fourier de la función de autocorrelación:

S X (ω) = 1

2π ∞

−∞

R X (τ )e −i ωτ d τ

R X (τ ) =

∞

−∞

S X (ω)e i ωτ d ω

Las ecuaciones anteriores se conocen también como las ecuaciones de

Wiener-Kinchin en honor a los matemáticos Norbert Wiener y AleksandrKhinchin.Como la función de autocorrelación caracteriza al proceso estocástico enel dominio del tiempo, la función de densidad espectral caracteriza alproceso en el dominio de la frecuencia.

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Relación con la transformada de Fourier

Relación con la transformada de Fourier de X (t )◮ Si estamos trabajando con el proceso estocático {X (t )} y con la

Transformada de Fourier (T.F.), sería deseable que la función dedensidad espectral estuviese definida a partir de la T.F. de {X (t )}

X (t ) T .F .⇐⇒ X (ω) =

1

2π ∞

−∞

X (t )e −i ωt dt

◮ Sin embargo, si el proceso estocástico es estacionario, teóricamenteX (t ) se extiende desde −∞ hasta +∞, y por tanto

∞

−∞|X (t )|dt no

es finita, por lo que en principio no se puede hacer la T.F. de X (t ).

◮ Para resolver este problema vamos a considerar X (t ) en el intervalo

(0, T ), y hacemos cero en el resto. Ahora si está definida la T.F.

X (f , T ) = 1

2π

∞

−∞

X (t )e −i ωt dt =

T 0

X (t )e −i 2πft dt

◮ Vamos a trabajar con f en lugar de con ω para evitar el factor 12π

.

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◮ La media de |X (f , T )|2 para cada frecuencia f se calcula como

E (|X (f , T )|2) = E (X (f , T )X ∗(f , T ))

= E

T 0

X (t )e −i 2πft dt

T 0

X (s )e +i 2πfs ds

= E

T

0

T

0

X (t )X (s )e −i 2πf (t −s )ds dt

◮ La región de integración se muestra en la figura siguiente (a). Sidefinimos τ = t − s , la nueva área de integración es (b).

E (|X (f , T )|2) = E

T 0

t t −T

X (t )X (t − τ )e −i 2πf τ d τ dt

8

l d l d d l f


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◮ Si intercambiamos el orden de integración y tomamos la esperanzadentro:

E (|X (f , T )|2) = T

0 t

t −T

E (X (t )X (t − τ )) e −i 2πf τ d τ dt

=

T 0

t t −T

R X (τ )e −i 2πf τ d τ dt

◮ Como el integrando no depende de t , integramos primero en t yluego en τ . Hay dos regiones de integración, como se observa en (c):para τ ∈ (−T , 0) ⇒ t ∈ (0, τ + T ); τ ∈ (0, T ) ⇒ t ∈ (τ, T ). 9

A áli i d á i l d i i d l f i


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E (|X (f , T )|2) =

=

0

−T

R X (τ )e −i 2πf τ

t +τ 0

dt

d τ +

T 0


T τ

dt

d τ

= 0

−T

R X (τ )e −i 2πf τ (τ + T )d τ +

T

0

R X (τ )e −i 2πf τ (τ − T )d τ

=

T −T

R X (τ )e −i 2πf τ (T − |τ |)d τ

◮ La integral anterior va a infinito cuando T → ∞. Dividimos por Tpara que esto no ocurra:

1

T E (|X (f , T )|2) =

T −T


1−

|τ |

T

d τ

◮ Para T grande

limT →∞

1

T E (|X (f , T )|2

) = ∞−∞


d τ = S X (f )10

Análi i de e e t á ti en el d mini de l f e en i


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TeoremaSea {X (t )} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad

espectral de {X (t )} se puede expresar como:

S X (f ) = limT →∞

1

T E (|X (f , T )|2)

S X (ω) = limT →∞

1

2πT E (|X (ω, T )|2)

◮ A grandes rasgos, lo que quiere decir el teorema anterior es que,para un proceso estocástico estacionario, el espectro de amplitudesdel proceso se calcula como la media de los espectros de amplitudes

de las diferentes realizaciones y se denomina función de densidad espectral (como una señal aleatoria no tiene transformada de Fourierhay que dividir por T y calcular el límite).

◮ El espectro de amplitudes también se conoce como periodograma.Pero el periodograma se suele representar en función del periodo, node la frecuencia (T = 1/f ).

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Ya vimos un resultado similar en el tema de Fourier: la Transformada deFourier de la correlación de dos funciones es igual al producto de la

conjugada de la Transformada de Fourier de la primera función y laTransformada de Fourier de la segunda función.

y (t ) =

∞

−∞

x (τ )h(t + τ )d τ TF ⇐⇒ Y (f ) = H (f )X ∗(f )

Cuando h(t ) = x (t ), la correlación se conoce como autocorrelación dex (t ). Entonces se tiene

y (t ) =

∞

−∞

x (τ )x (t + τ )d τ TF ⇐⇒ Y (f ) = X (f )X ∗(f ) = |X (f )|2

La correlación anterior es entre dos funciones deterministas. En el caso defunciones aleatorias, tenemos que tomar esperanzas y dividir por T

limT →∞

1

T E (Y (f )) = lim

T →∞

1

T E (|X (f )|2) = S x (f )

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Propiedades

Propiedades

◮ La función de densidad espectral refleja el contenido en frecuenciasdel proceso estocástico, como se desprende de la relación entre lafunción de densidad espectral y la transformada de Fourier. Portanto, dibujando la función de densidad espectral podemos observarqué frecuencias son las más importantes.

◮ SimetríaS X (−ω) = S X (ω)

Se basa en el hecho de que |X (ω, T )| es simetrico.

◮ La función de densidad espectral es positiva para todo ω.

◮ El área definida por la función de densidad espectral es igual al valorcuadrático medio del proceso estocástico (que es constante pordefinición de estacionaridad):

R X (0) = E (X 2(t )) =

∞

−∞

S X (ω)e 0d ω =

∞

−∞

S X (ω)d ω

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Propiedades

◮ Luego el valor cuadrático medio

ψ2X = ∞−∞

S X (ω)d ω

◮ Como la media del proceso estocástico es cero:

σ2X = ∞

−∞

S X (ω)d ω y de igual manera σ2

X = ∞

−∞

S X (f )df

es decir, el área bajo la función de densidad espectral (ya sea enrad/s o Hz) es igual a la varianza del proceso.

◮ Estas relaciones son importantísimas. Por ejemplo, permitencomprobar si está bien calculada la función de densidad espectral.

◮ Tambien se utilizan para conocer las unidades de S X (ω).* Si U son las unidades de X (t )* las unidades de S X (ω) son U

2/(rad /s );* las unidades de S X (f ) son U

2/(Hz ).

Por ejemplo, si estamos trabajando con aceleraciones, la funcion dedensidad espectral se mide en (m/s 2)2/(rad /s ) o en (m/s 2)2/Hz .

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p


Propiedades

◮ Para cambiar de unidades de radianes por segundo a hertzios:

S X (f ) = 2πS X (ω)

En efecto, ω = 2πf ⇒ d ω = 2πdf

σ2X = ∞

−∞

S X (f )df

σ2X =

∞

−∞

S X (ω)d ω ⇒ σ2

X =

∞

−∞

S X (ω)2πdf

◮ Si las frecuencias negativas son suprimidas, la función de densidad

espectral tiene que multiplicarse por dos para que se sigaconservando el área.

G X (ω) =

2S X (ω) ω ≥ 0

0 ω


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Propiedades

Se definen por tanto 4 posibles representaciones de la densidad espectral

(a) es conocido como densidad espectral biliteral (two-sided).

(b) es conocido como densidad espectral uniliteral (one-sided).

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Propiedades

Función de densidad espectral de potencia (PSD)◮

Antes de la llegada de los ordenadores, los espectros se calculabansimulando las funciones mediante señales eléctricas.◮ La energía de una señal x (t ) se define como:

E =

∞

−∞

|x (t )|2dt

◮ La potencia media de una señal x (t ) entre 0 y T se define como:

P = limT →∞

1

T

T 0

|x (t )|2dt

◮ Las definiciones anteriores provienen de las señales eléctricas: si v (t ),

i (t ) y R son potencial, intensidad y resistencia respectivamente:

p (t ) = v (t )i (t )

R = i 2(t ) ⇒ potencia instantánea por ohmio

La energía total y la potencia media disipadas en la resistencia son:

E = ∞−∞

|i 2(t )|dt (Julios), P = limT →∞

1T T 0|i 2(t )|dt (Watios) 17



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Propiedades

◮ Se definen los siguientes espectros:

1. Espectro de energía. Sea una señal x (t ) con energia finita, esto es,

E =

∞

−∞

|x (t )|2dt < ∞

Por tanto, se cumple la condición fundamental para que exista la

transformada de Fourier. El espectro se calcula como:

ΘX (ω) = 12π

|X (ω)|2

Se conoce también como densidad espectral de energía.

2. Espectro de potencia. Si la señal x (t ) no tiene energía finita no sepuede calcular su transformada de Fourier. Para calcular el espectro

cogemos la señal entre 0 y T y:

ΦX (ω) = limT →∞

1

2πT |X (ω,T )|2

Debido a la semejanza de esta fórmula con la densidad espectral, a

S X (ω) también se conoce como densidad espectral de potencia.

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Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos

estocásticos linealesEn en dominio del tiempo hemos estudiado los siguientes modelosestocásticos lineales:◮ Proceso de Ruido blanco.◮ Proceso MA(q).

◮ Proceso AR(p).Para estos procesos, las ecuaciones de Wiener-Kinchin se suelen escribircomo

S (f ) =

N /2

h=−

N /2+1

γ (h)e −i 2πfh, −1/2 ≤ f ≤ 1/2

γ (h) =

1/2−1/2

S (f )e i 2πfhdf , h = 0,±1,±2, . . .

Es decir, transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT): los datosson discretos, γ (h) = {γ (−N

2 + 1), · · · , γ (−1), γ (0), γ (1), γ (N

2 )}, pero la

funcion de densidad espectral se define continua. 19


l d d d d l d d l l l


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Ya vimos que la DTFT se definía (para datos con tiempo normalizado, esdecir, ∆t = 1)

X (ω) =N −1k =0

x k e −i ωk

x k = 1

2π

2π

X (ω)e i ωk d ω

En estas fórmulas, k = 0, 1, . . . , N − 1, y ω está definida en cualquierintervalo de longitud 2π ⇒ [0, 2π], [−π

2, π2 ]. Si utilizamos frecuencias

lineales, ω = 2πf , ⇒ d ω = 2πdf , [−π2

, π2 ] −→ [− 1

2, 12

] (el intervalo deintegración es cualquier intervalo de longitud uno), luego

X (f ) =N −1

k =0

x k e −i 2πfk

x k =

12

−12

X (f )e i 2πfk df

20


A li i i d d id d l d d l á i li l


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Densidad espectral del ruido blanco

El ruido blanco se define comow t ∼ N (0, σ

2

w )

Su función de autocovarianza es

γ w (h) = σ2w si h = 0

0 si h = 0

Luego

S w (f ) =

N /2h=−N /2+1

γ w (h)e −i 2πfh = σ2w , −1/2 ≤ f ≤ 1/2

Si trabajamos sólo con frecuencias positivas

G w (f ) = 2σ2

w , 0 ≤ f ≤ 1/2

Luego todas las frecuencias tienen la misma potencia o son igualmenteimportantes (igual que la luz blanca). El ruido blanco excita todas las

frecuencias por igual. 21


A li i F i d d id d t l d d l t á ti li l


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Pero hemos visto que la densidad espectral también se escribe como

S W (f ) = limT →∞

1

T E (|W (f , T )|2) = lim

T →∞

1

T E (W (f , T )W (f , T )∗)

dónde W (f , T ) quiere decir la transformada de Fourier de una señal de

ruido blanco w k de longitud T (si la señal se extiende de −∞ hasta +∞no tiene transformada de Fourier!). Pero hemos visto que

S w (f ) = σ2

w

⇒ limT →∞

1

T E (W (f , T )W (f , T )∗

) = σ2

w

Esta propiedad la vamos a utilizar en los apartados siguientes.

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Aplicacion Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales


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Densidad espectral de un proceso MA(q)

La ecuación de un proceso estocástico MA(q) es:

x t = w t + θ1w t −1 + θ2w t −2 + · · ·+ θq w t −q , w t ∼ N (0, σ2

w )

La función de densidad espectral de un proceso MA(q) es

S x (f ) = σ2

w |1+θ1e −i 2πf +θ2e

−i 4πf +· · ·+θq e −i 2πqf |2, −1/2 ≤ f ≤ 1/2

G x (f ) = 2σ2

w |1 + θ1e

−i 2πf + θ2e −i 4πf + · · ·+ θq e

−i 2πqf |2, 0 ≤ f ≤ 1/2

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Para poder probar la fórmula anterior, hay que utilizar las siguientespropiedades de la transformada de Fourier:

◮ Linealidad

z k = ax k + by k T .F .⇐⇒ Z (f ) = aX (f ) + bY (f )

◮ Despalzamiento en el tiempo (time shifting)

x k T .F .⇐⇒ X (f )

x k −mT .F .⇐⇒ e −i 2πfmX (f )

es decir, si la T.F. de x k es X (f ), entonces la transformada deFourier de x k −m es e

−i 2πfmX (f ).

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MA(q) ⇒ x k = w k + θ1w k −1 + θ2w k −2 + · · ·+ θq w k −q

La transformada de Fourier de x k esX (f , T ) = W (f , T ) + θ1e

−i 2πf W (f , T ) + · · · + θq e −i 2πqf W (f , T )

X (f , T ) =

1 + θ1e −i 2πf + θ2e

−i 4πf + · · ·+ θq e −i 2πqf

W (f , T )

y el complejo conjugado

X ∗

(f , T ) =

1 + θ1e −

i 2πf + θ2e

−

i 4πf + · · · + θq e

−

i 2πqf ∗

W ∗

(f , T )

Por tanto

X (f , T )X ∗(f , T ) =1 + θ1e

−i 2πf + · · ·+ θq e −i 2πqf

2

W (f , T )W ∗(f , T )

Tomando esperanzas y el limite

S x (f ) = limT →∞

1T

E [X (f , T )X ∗(f , T )] =

=1 + θ1e

−i 2πf + θ2e −i 4πf + · · ·+ θq e

−i 2πqf 2

limT →∞

1

T E [W (f , T )W ∗(f , T )]

= 1 + θ1e −i 2πf + θ2e −i 4πf + · · ·+ θq e −i 2πqf 2 σ2W 25




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Densidad espectral de un proceso AR(p)

La ecuación de un proceso estocástico AR(p) es:

x t = φ1x t −1 + φ2x t −2 + · · · + φp x t −p + w t , w t ∼ N (0, σ2

w )

La función de densidad espectral de un proceso AR(p) es

S x (f ) = σ2w

|1− φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πpf |2, −1/2 ≤ f ≤ 1/2

G x (f ) = 2σ2

w |1− φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πpf |2

, 0 ≤ f ≤ 1/2

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p p

AR(p) ⇒ x k = φ1x k −1 + φ2x k −2 + · · ·+ φp x k −p + w k

La tranformada de Fourier de x k esX (f , T ) = φ1e

−i 2πf X (f , T ) + · · ·+ φp e −i 2πpf X (f , T ) + W (f , T )

X (f , T ) = W (f , T )

(1 − φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πqf )

y el complejo conjugado

X ∗(f , T ) = W ∗(f , T )

(1 − φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πqf )∗

X (f , T )X ∗(f , T ) = W (f , T )W ∗(f , T )

|1 − φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πqf |2

Tomando esperanzas y el limite

S x (f ) = limT →∞

1

T E [X (f , T )X ∗(f , T )] =

limT →∞1

T E [W (f , T )W ∗(f , T )]

|1 − φ1e −i 2πf − · · · − φq e −i 2πqf |2

=

σ2W

|1 − φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πqf |2

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Ejemplo

Dibujar la función de densidad espectral del proceso MA(1) definido por

x t = w t + w t −1, w t ∼ N (0, σ2

w = 1)

Para un proceso MA(1)

x t = w t + θ1w t −1 = (1 + θ1B )w t = θ(B )w t

con función de densidad espectral

G x (f ) = 2σ2

w |1 + θ1e −i 2πf |2

= 2σ2w (1 + θ1e −i 2πf )(1 + θ1e i 2πf )

= 2σ2w (1 + θ2

1 + θ1(e i 2πf + e −i 2πf ))

= 2σ2w (1 + θ2

1 + 2θ1 cos(2πf )), 0 ≤ f ≤ 1/2

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−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

Funcion de densidad espectral de xt = w

t + w

t−1

f (Hz)

S x

( f ) [ U

x 2 / H z ]

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10Funcion de densidad espectral unilateral

f (Hz)

G x

( f ) [ U

x 2 / H z ]

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Funcion de densidad espectral cruzadaSea X (t ) un proceso estocastico estacionario. La función deautocorrelación se definió como

R XX (τ ) = E [X (t )X (t + τ )]

Sean X (t ), Y (t ) dos procesos estocasticos estacionarios. Se define lafunción de correlación cruzada como

R XY (τ ) = E [X (t )Y (t + τ )]

R YX (τ ) = E [X (t + τ )Y (t )]

La función de densidad espectral cruzada se define como la transformadade Fourier de la función de correlación cruzada. Por tanto hay dos de

densidad espectral cruzada

S XY (ω) = 1

2π

∞

−∞

R XY (τ )e −i ωτ d τ

S YX (ω) = 1

2π ∞

−∞

R YX (τ )e −i ωτ d τ

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Propiedades◮

Las funciones de correlación se obtienen haciendo la transformada deFourier inversa

R XY (τ ) =

∞

−∞

S XY (ω)e i ωτ d ω

R YX (τ ) = ∞

−∞

S YX (ω)e i ωτ d ω

◮ Las funciones de densidad espectral cruzada toman valorescomplejos.

◮ Si X (t ) e Y (t ) son procesos estasticos con valores reales

S XY (ω) = S ∗

YX (ω)

◮ Sea Z (T ) suma de dos procesos estocasticos

Z (t ) = aX (t ) + bY (t )

Entonces se cumple

S ZZ (ω) = a

2

S XX (ω) + abS XY (ω) + abS YX (ω) + b

2

S YY (ω) 31




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Estimación no paramétrica. Método general.La estimacion puede ser:

◮ No paramétrica.

◮ Paramétrica. Se ajusta un modelo matemático a los datos.

Para definir la estimación no paramétrica, vamos a utilizar la definiciónde la función de densidad espectral a partir de la T.F.:

S X (ω) = limT →∞

1

2πT E (|X (ω, T )|2)

Si se tienen M realizaciones del proceso estocástico.

Ŝ X (ω, T , M ) = 12πT

1M

M m=1

|X m(ω, T )|2

Evidentemente, esta estimación será mejor si disponemos de muchasrealizaciones (M >>). En general, la longitud de las realizaciones T debeser suficiente para que la función de autocorrelación converga a cero.

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Pero tenemos que adaptar las fórmulas anteriores a señales discretas.Sean N valores discretos de X(t), ⇒ x k = x (k ∆t ), k = 0, 1, . . . , N − 1

La T.F. de x k ⇒ X n =N −1

n=0

x k e −i 2πnk /N , n = 0, 1, . . . , N − 1

El cuadrado del módulo de X n es

|X n|2

= X nX ∗

n =N −1

j =0x j e

−i 2π jn/N N −1m=0

x me i 2πmn/N

=

N −1 j =0

N −1m=0

x j x me −i 2π( j −m)n/N , n = 0, 1, . . . , N − 1

El valor esperado de esta cantidad es:

E |X n|

2

=

N −1 j =0

N −1m=0

R X (( j −m)∆t )e −i 2π( j −m)n/N , n = 0, 1, . . . , N − 1

La doble suma se simplifica considerando el cambio de variables

r = −m = s 33




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E |X n|

2= 0

r =−(N −1)

(N −1)+r s =0

+

N −1r =1

N −1s =r

R X (r ∆t )e

−i 2πrn/N

,

n = 0, 1, . . . , N − 1

La suma correspondiente a s tiene que realizarse primero porque estáexpresada en términos de r . La suma es

E |X n|

2

= N N −1

r =−(N −1)

1−

|r |

N

R X (r ∆t )e

−i 2πrn/N

Para N suficientemente grandes

E |X n|

2

= N

N −1r =−(N −1)

R X (r ∆t )e −i 2πrn/N

= N

∆t

N −1

r =−(N −1)R X (r ∆t )e

−i 2πrn/N ∆t

, n = 0, 1, . . . , N − 1

34




35/48

La suma en la segunda expresión es una aproximación a la función dedensidad espectral:

S X (f ) =

∞

−∞

R X (τ )e −i 2πf τ d τ

luego

E |X n|2 = N ∆t

S X (f n), n = 0, 1, . . . , N − 1

Despejando

S X (f n) = ∆t

N E

|X n|

2

, n = 0, 1, . . . , N − 1

y en rad /s

S X (ωn) = ∆t

2πN E |X n|

2

, n = 0, 1, . . . , N − 1

35




36/48

Basándonos en estas fórmulas, la función de densidad espectral discretase puede estimar como

Ŝ X (f n) = ∆t N

Ê |X n|2

, n = 0, 1, . . . , N − 1

Si tenemos M realizaciones del proceso estocástico, la estimación de laesperanza es

Ê |X n|

2=

1

M

M m=1

|X mn|2

, n = 0, 1, . . . , N − 1

por lo que finalmente

Ŝ X (f n) = ∆t

MN

M

m=1

|X mn|2, n = 0, 1, . . . , N − 1

y la función de densidad espectral unilateral

Ĝ X (f n) = 2∆t

MN

M

m=1|X mn|

2, n = 0, 1, . . . , N

2

36

Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuenciaEstimacion de la funcion de densidad espectral


37/48

Estimación por máxima verosimilitud◮ Si estimamos por máxima verosimilitud, el estimador obtenido es:

Ŝ X (f n) = ∆t

NM

M m=1

|X mn|2, n = 0, 1, . . . , N − 1

es decir, se obtiene el mismo resultado. Pero lo importante de estemétodo es que podemos calcular la media y la varianza del estimador

◮ La media del estimador de la función de densidad espectral es:

E

Ŝ X (f n)

= S X (f n) +

∞k =1

1

(2k + 1)(2k )!

∆f

2

2k S (2k )X (f n)

≈ S X (f n) + (∆f )2

24 S ′′

X (f n), n = 0, 1, . . . , N − 1

◮ La varianza del estimador de la función de densidad espectral es:

Var

Ŝ X (f n)

=

(S X (f n))2

M , n = 0, 1, . . . , N − 1

es decir, cuanto mayor es S X (f n), mayor es la varianza del estimador. 37



38/48

Aspectos prácticos de la estimación de la densidad espect.◮

Las fórmulas descritas en los apartados anteriores se utilizan paraestimar la función de densidad espectral de un proceso estocásticoestacionario.

◮ Sin embargo, a menudo sólo disponemos de una realización ytenemos que considerar el proceso estocástico como ergódico. La

estimación en este caso sería:

Ŝ X (f n) = ∆t

N |X n|

2, n = 0, 1, . . . , N − 1

Esta estimación es muy mala. Por ejemplo, su varianza es elcuadrado de la función estimada:

Var

Ŝ X (f n)

= (S X (f n))2

◮ Para mejorar la estimación considerando sólo una realizaciónaplicamos windowing .

38



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◮ Windowing consiste en tomar segmentos de la señal, calcular elespectro de cada segmento y luego hacer la media.

◮ Al dividir la señal en segmentos, disminuye la resolución enfrecuencias del espectro, es decir, la separación entre las frecuenciasaumenta. Si la señal original está muestreada con ∆t y tiene N 0puntos, y cada segmento tiene N 1 puntos:

* Señal original: Frecuencia de Nyquist: f nq 0 = 1/(2∆t ); frecuencias:f n0 = n/(N 0∆t )⇒ ∆f n0 = 1/(N 0∆t ).

* Segmentos: Frecuencia de Nyquist: f nq 1 = 1/(2∆t ); frecuencias:f n1 = n/(N 1∆t )⇒ ∆f n1 = 1/(N 1∆t ).

* Por tanto, f nq 0 = f nq 1, ∆f n0 < ∆f n1.

◮ Los segmentos se obtienen multiplicando la señal original por unafunción de peso o ventana.

◮ Cada ventana introduce un error en la DFT denominado leakage .◮ Ventanas habituales: rectangular, Hamming, Hanning, Barlett,

Chebyshev,...

◮ Para aumentar el número de medias a la hora de estimar E

|X n|

2

se utiliza el solapado de las ventanas ⇒ Método de Welch.39



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Estimación paramétrica◮ Los métodos no paramétricos no imponen ninguna condición a las

señales, salvo que sean estacionarias. Si asumimos que el procesoestocástico se ajusta a un modelo matemático entonces tenemosestimación paramétrica.

◮ Nosotros sólo vamos a estudiar el modelo AR(p). Si los datos seajustan a un modelo AR(p)

x t = φ1x t −1 + φ2x t −2 + · · ·+ φp x t −p + w t , w t ∼ N (0, σ2

w )

entonces el espectro será

G x (f ) = 2σ2w

|1 − φ1e −i 2πf − φ2e −i 4πf − · · · − φq e −i 2πpf |2, 0 ≤ f ≤ 1/2

◮ Por lo tanto, si estimamos el modelo AR(p) a partir de los datos

x t = φ̂1x t −1 + φ̂2x t −2 + · · ·+ φ̂p x t −p + ŵ t , ŵ t ∼ N (0, σ̂2

w )

la estimación de la función de densidad espectral será

Ĝ x (f ) = 2σ̂2w

|1− φ̂1e −i 2πf − φ̂2e −i 4πf − · · · − φ̂q e −i 2πpf |2, 0 ≤ f ≤ 1/2

40



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EjemploSea el proceso MA(1) definido por

x t = w t + w t −1, w t ∼ N (0, σ2w = 1)

t = 1, 2, 3, . . . , N , N = 10000, ∆t = 0,1 s

Estimar su función de densidad espectral.

Ya conocíamos su función de densidad espectral teórica

G x (f ) = 2σ2

w (1 + θ2

1 + 2θ1 cos(2πf )), 0 ≤ f ≤ 1/2

Como conocemos ∆t , lo ideal es que la funcion de densidad espectralesté definida en 0 ≤ f ≤ f nq = 1/(2∆t )

0 ≤ f ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f ≤ f nq = 1/(2∆t )

Luego hemos dividido las frecuencias por ∆t . Como el área bajo lafunción de densidad espectral se tiene que conservar, multiplicamos G x por ∆t .La estimación se lleva a cabo con la fórmula

Ĝ X (f n) = 2∆t

N Ê (|X n|2

), n = 0, 1, . . . , N /2 41



42/48

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Funcion de densidad espectral teorica

f (Hz)

G x

( f ) [ U

x 2 / H z ]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Estimacion con una realizacion

f (Hz)

G 1

( f ) [ U

x 2 / H z ]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Estimacion con 100 realizaciones

f (Hz)

G 1 0 0

( f ) [ U

x 2 / H z ]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Estimacion con una realizacion dividida en 10 segmentos

f (Hz)

G 1 s

( f ) [ U

x 2 / H

z ]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Estimacion con Welch de matlab

f (Hz)

G W e l c h

( f ) [ U

x 2 / H z ]

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2Estimacion parametrica con un AR(20)

f (Hz)

G A R

( f ) [ U

x 2 / H z ]

42

Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuenciaDensidad espectral de algunos procesos estocásticos


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Densidad espectral de algunos procesos estocásticos

43

Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuenciaGeneración de realizaciones artificiales


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Generación de realizaciones artificialesSi se conoce la función de densidad espectral de un proceso estacionario,

se pueden calcular realizaciones del proceso estocástico que verifiquendicha función de densidad espectral. Estas realizaciones artificiales sepueden utilizar para carcular la respuesta del sistema en el tiempo.Sea un proceso estocástico {X (t )} del que conocemos su función dedensidad espectral unilateral discreta, G X (ωn). Sabemos que

G x (ωn) = ∆t N π

E (|X n|2)

X n = 1

N

N −1

k =0x k e

−i 2πnk /N

x k =N −1n=0

X ne i 2πnk /N

por tanto, si generamos los X n de manera que verifiquen la primeraecuación, podemos calcular una realización x k (utilizando la última

ecuación) con la función de densidad espectral buscada. 44



45/48

En general, de la teoría de la transformada de Fourier discreta sabemosque los X n son complejos

X n = An + iB n ⇒|X n|

2 = A2n + B 2

n

E (|X n|2) = E (A2n) + E (B

2

n )

Como estamos trabajando con procesos estocásticos de media cero, secumple que

E (An) = 0, E (B n) = 0

En efecto

X n = 1

N

N −1

k =0x k e

−i 2πnk /N =

N −1

k =0x k

1

N cos(2πnk /N )−i

N −1

k =0x k

1

N sin(2πnk /N )

Tomando esperanzas

E (X n) =N −1k =0

E (x k ) 1

N cos(2πnk /N )− i

N −1k =0

E (x k ) 1

N sin(2πnk /N )

Como el proceso tiene media cero E (x k ) = 0 ⇒ E (An) = 0, E (B n) = 0. 45



46/48

Por tanto se cumple que

E (A2n) = Var (An), E (B 2n ) = Var (B n)

⇒ E (|X n|2) = Var (An) + Var (B n)

Si tomamos

An ❀ N 0, σ2 = N π2∆t

G X (ωn)B n ❀ N

0, σ2 =

N π

2∆t G X (ωn)

entonces se cumple

∆t

N πE (|X n|

2) = ∆t

N π

N π

2∆t G X (ωn) +

N π

2∆t G X (ωn)

= G x (ωn)

Y obtenemos la función de densidad espectral buscada.

46



47/48

Hay que tener en cuenta las propiedades de la transf. de Fourier discreta:◮ Si N es par:

* X 0 es real, en concreto es la media X 0 = 1

N N −1k =0 x k . Como

trabajamos con procesos estocásticos de mecia cero, X 0 = 0.* X N /2 también es real

X N 2=

1

N

N −1k =0

x k e −i πk =

1

N

N −1k =0

x k cos(πk )

Por tanto tomamosX N 2

2 ❀ N

0, σ2 = N π

∆t G X (ωN

2)

* Los términos entre n = 1 y n = N 2 − 1 se calculan generando An y

B n como se ha indicado. Los términos entre n = N 2 + 1 y n = N − 1

son complejos conjugados de éstos.◮ Si N es impar:* X 0 sigue siendo la media ⇒ X 0 = 0.* Los términos entre n = 1 y n = N −1

2 se calculan generando An y B n

como se ha indicado. Los términos entre n = N +12

y n = N − 1 soncomplejos conjugados de éstos.

Una vez que tengamos calculados los X n ⇒ x k = ifft (X n). 47



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0 10 20 30 40 50 600

10

20

w (rad/s)

G

Funcion de densidad espectral dada

0 100 200 300 400 500 600 700−100

0

100

t (s)

x t

Realizacion generada

0 10 20 30 40 50 600

10

20

w (rad/s)

G x

Metodo Welch por defecto de matlab

0 10 20 30 40 50 600

10

20

w (rad/s)

G x

Metodo Welch con ventanas Hamming de 500 datos, solapadas el 75%

48

informe de procesos estocasticoshh

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