La Integral Definida• Contenido:

– Notación Sigma.– Suma Superior e Inferior.– Integral Definida.

• Propiedades.– Teorema de Valor Medio para integrales.– Teorema fundamental del calculo.– Aplicación de métodos.

• Sustitución.• Cambio de variables.

Participante: Carlos Mantilla

Notación Sigma

El símbolo de Sumatoria

Definición.- Dado n números reales , para expresar la

suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e

Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como

igualmente la suma de los cuadrados de los

primeros n enteros es

naa ,,1

n

iia

1ia 1i ni

nin

i

11 22

1

2 1 nin

i

n

n

ii aaa

1

1

Propiedades de la Sumatoria

1. Ley conmutativa

n

kkn

n

kk aa

11

1

2.

n

kk

n

kk acca

11

3. Ley distributiva

n

kk

n

kk

n

kkk baba

111

4.

n

k

cnc1

5. Propiedad Telescópica 01

1 aaaa n

n

kkk

Algunas veces se expresa como kfak ka

Por medio de éstas propiedades se pueden obtener fórmulas para:

n

k

k1

,

n

k

k1

2

,….,

n

k

nk1

Así tenemos que

n

k

nnk

12

1 ,

n

k

nnnk

1

2

6

121,

2

1

3

2

1

n

k

nnk

Suma superior y Suma inferior

Partición.- Dado un intervalo [a, b], donde a<b, el conjunto de

puntos recibe el nombre

de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos:

bxxxabaxP ni 10/,

0xa 1x ix1ix bxn

Toda partición P de un intervalo [a, b], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud nixx ii ,,1,,1

La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por

y la longitud de la partición P se denota por

nixxx iii ,,1,1

nixP i ,,1/max

Partición Regular.- Dado un intervalo [a, b] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n+1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [a, b] se divide en n partes iguales,

siendo los puntos de la partición:n

abxi

nin

abiaxi ,,1,

Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [a, b], si existen números reales m, M tales que

Dada una partición P de [a, b], y f una función acotada sobre [a, b],

entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales mi, Mi tales que

verificándose la desigualdad

:f baxMxfm ,,

nixx ii ,,1,,1

iii xxxxfm ,/inf 1 iii xxxxfM ,/sup 1

NOTA.- Si la función f es continua sobre [a, b], entonces

Mi = valor máximo de f sobre [a, b] y mi = valor mínimo de f

niMMxfmm ii ,,1,

Integral superior e integral inferior

Integral superior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

Integral inferior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

PPfSIfb

a/,sup

PPfSSfb

a/,inf

Definición.- Una función acotada sobre [a, b] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden

lo que se denota por:

Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b.

La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada

:f

b

adxxf

Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [a, b] , entonces

abMdxxfdxxfabmb

a

b

a

Teorema 2.- Si f es integrable sobre [a, b] entonces

PabMPfSSdxxfPfSIabmb

a,,,

NOTA.- Como entonces

Es decir con un error máximo de

PfSSdxxfPfSIb

a,,

PfSIPfSSPfSIPfSSdxxfb

a,,

21

,,21

SISSdxxfb

a 2

1 SISS

21

Ejemplos.- Suponiendo que las siguientes funciones son integrables. Hallar un valor aproximado de:

1.

a) Una partición regular de longitud 1

b) Con la partición P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 3.5, 4, 5}

2. con una partición regular de longitud 15°

3. con una partición regular de longitud 0.5

5

0 21

1dx

x

20

2cos1 dxx

dxx3

3

3

Solución 1 a:

ix

ixf

0 1 2 3 4 5

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03

35.11

15

0 2

dxx

con un error máximo de 0.22, ya que

Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que P,0 PfSIPfSS ,,

Teorema 4.- Toda función f continua sobre [a, b] es integrable sobre éste intervalo.

Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces para

cada , y todos los

b

a

n

iiii xxxfdxxf

11

*

iii xxx ,1*

0 PP /

OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede

expresar como:

En particular, si P es una partición regular con n+1 puntos, entonces

es equivalente a y como

xi* podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e

ó de modo que

b

a

n

iiii

Pxxxflímdxxf

11

*

0

0, Pnab

P n iii xxx ,1*

abni

axi * abni

axi 1*

b

a

n

in nab

abni

aflímdxxf1

b

a

n

in nab

abni

aflímdxxf1

1

Área bajo una curva

Se conoce como área bajo la curva y = f(x), al área de la región acotada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la gráfica de la función y = f(x).

a) Si sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es

b) Si sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es

b

adxxfRA

0xf

b

adxxfRA

0xf

PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f es una función constante sobre [a, b], entonces

2. Si f es integrable sobre [a, b], entonces cf es integrable sobre [a, b]

3. Si f es integrable sobre [a, b], y , entonces f es integrable

sobre [a, c] y sobre [c, d], además

4. Si f , g son integrables sobre [a, b] , entonces es integrable

5. Si f , g son integrables sobre [a, b], entonces

b

aabcc

b

a

b

afccf

b

a

b

c

c

afff

b

a

b

a

b

agfgf

b

a

b

agf

bac ,

gf

gf