integral indefinida

Working Adult Matemática 2: Ciclo 2011-5

1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA

PRIMERA UNIDAD

ANTIDERIVADA, INTEGRAL INDEFINIDA, TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

ANTIDERIVADA Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque

quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador

que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo

total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada

sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA

de f.

Definición:

Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si:

( ) ( ); F x f x x I

Ejemplo:

Sea 2

( )f xx

una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2

( ) ( )F x f xx

Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es: ( )F x C ; donde C es una constante arbitraria.

Ejemplo:

- La antiderivada más general de ( )f x sen x es ( ) cosF x x C

- La antiderivada más general de ( ) 2f x x es 2

( ) 23

F x x x x C

Definición: Al conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de

( )f x y se representa por:

( ) ( )f x dx F x C

Ejemplos: 1. cos xdx sen x C 2. Cxdxx

ln1

LUIS

Sello

LUIS

Sello


FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sean gf , funciones derivables, además ck, constantes, entonces tenemos:

1. duufkduukf )()(

2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du

3. 0du C

4. du u C

5. kdu ku C

6. n 1

n uu du C

n 1

7. du

ln | u | Cu

8. u ue du e C

9. u

u aa du C, a 0,a 1

ln a

10. Sen(u)du Cos(u) C

11. Cos(u)du Sen(u) C

12. cossenku

ku du ck

13. cuduusen cos

14. ck

ukdukusen

cos

15. Tan(u)du ln | Cos(u) | C

16. Ctg(u)du ln | Sen(u) | C

17. u

Sec(u)du ln | Sec(u) Tan(u) | C ln Tan C2 4

18. u

Csc(u)du ln | Csc(u) Ctg(u) | C ln Tan C2

19. 2Sec (u)du Tan(u) C

LUIS

Sello


20. 2Csc (u)du Ctg(u) C

21. Sec(u)Tan(u)du Sec(u) C

22. Csc(u)Ctg(u)du Csc(u) C

23. 2 2

du 1 uacrtg C

a au a

24. 2 2

du 1 u aln C

2a u au a

25. 2 2

du 1 u aln C

2a u aa u

26. 2 2

du uarcSen C

aa u

27. 2 2

2 2

duln u u a C

u a

28. 2 2

2 2

duln u u a C

u a

29. 2

2 2 2 2u a ua u du a u arcSen C

2 2 a

30. 2

2 2 2 2 2 2u au a du u a ln u u a C

2 2

31. 2

2 2 2 2 2 2u au a du u a ln u u a C

2 2

32. 2 2

du 1 | u |arcSec C a 0

a au u a

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Sello


TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1. INTEGRACIÓN DIRECTA

Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata cono el conocimiento de

derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos

algebraicos y las propiedades señaladas.

Ejemplos:

1. cxx

dxxdxx 66

55

6.666

2. 4 3 2

3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2

x x xx x x dx x c

3. 2

3 ( 2 3 3) 2 3 3x dx x x dx x dx xdx dx

23 22 3

32 3 2

/

/

xx x c

4. 3/ 2 5/ 221 1 ( 1)

5x x x dx x dx x x c

5.

dxx

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xxx3/2

6

3/2

2

3/2

5

3 2

625

2323

13/3 4/3 16/3

16/3 7/3 19/3

3 2

9 6 3

16 7 19

x dx x dx x dx

x x x c

6.

169

16

16

16

916

16

25

22

2

2

2

2

2

x

dxdx

x

xdx

x

xdx

x

x

16916

16

25

2

2

2

2

x

dxdxxdx

x

x

Luego:

cxxxxxxdxx

x

16ln916ln1616

2

1

16

25 222

2

2

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Sello


2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Si se tiene dxxf )( , una integral no inmediata; se trata de hacer el cambio:

( )x g t , entonces ' '( )x g t dt para llegar a

( ) ( ( )) ( )f x dx f g t g t dt

Ejemplos:

1. 21 2 y y dy

Solución

Sea 21u y , entonces 2du ydy

Luego en la integral se tiene: 3

22 1/21 2

3

2

uy ydy udu u du C 3/22

3u C

Reemplazando u por 21 y

3/2

2 221 2 1

3y ydy y

2. 5 2 5x x dx

Solución:

Haciendo 25 2u x du xdx ;

2

duxdx

Luego reemplazamos en la integral:

6/55 2 1/5 6/55 1 1 5

52 2 2 6 / 5 12

du ux x dx u u du C u C

6/5

255

12x C

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Sello


3. dxxx 243 3.)1(

Solución:

Haciendo dxxduxu 23 31 ; luego reemplazamos en la integral

cu

duudxxx 53.)1(

54243

cx

dxxx

5

)1(3.)1(

53243

4. 6

9 7 1

xdx

x

Solución:

Haciendo 7 6 61 77

duu x du x dx x dx luego reemplazamos en la

integral

6 8/91/9 8/9

1/9 1/99 7

1 1 1 97

7 7 7 8 / 9 561

du

x du udx u du u C

u ux

6

8/97

9 7

91

561

xdx x C

x

5. dxxxsen cos.

Solución:

En primer lugar hacemos el siguiente cambio de variable

dxxdtsenxt .cos , luego reemplazamos en la integral obteniendo:

Ct

dttdxxxsen 2cos.

2

Finalmente tenemos que:

Cxsen

dxxxsen 2

)(cos.

2

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Sello


6. cosdx

xx

Solución:

Haciendo 2

dxu x du

x

2 dx

dux

cos cos 2 2 cos 2 2dx

x u du u du senu C sen x Cx

7. 2 2cos ( )

xdx

x

Solución:

2 2

2 2sec ( )

cos ( )

xdxx x dx

x

Haciendo 2 2 u x du x dx

2

dux dx

Entonces 2 2 2 2 21 1 1sec ( ) sec sec

2 2 2 2

dux x dx u u du tgu C tg x C

8. sec x dx

Solución:

sec (sec tan )sec

sec tan

x x xx dx dx

x x

2sec sec tan

sec tan

x x xdx

x x

Haciendo 2sec tan sec tan secu x x du x x x dx

Por lo tanto

sec x dx 2(sec sec tan )

sec tan

x x xdx

x x

lndu

u Cu

ln sec tanx x C

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Sello


9. x

dx

e

Solución:

Haciendo 2 x xu e u e

2 xu du e dx

22 u du u dx

2

du dxu

Reemplazando en la integral tenemos:

2 2

2 1 2 22

x x

dxdu du C C

u u ue e

10.

1

x dx

x

Solución:

Haciendo 2 21 1 1u x u x u x

Además 2 u du dx

Reemplazando en la integral tenemos:

2 3

2 3 1 22 2 1 2 2

3 31

x dx u uudu u du u C u u C

ux

32

1 2 13

x x C

11. 2cos

tg xdx

x

Solución

Haciendo 2

1

costg x u dx du

x , tenemos que

2

2

2

cos 2

( )

2

tg x udx u du C

x

tg xC

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12.

cxxx

dx1)1(1ln

1)1(

2

2

13.

3

1

)1(3 2

xarcsen

x

dx

14. 2 2 22 1 ( 1) ( 2)x x dx x dx

2 21

( 1) 2. ln 1 ( 1) 22

xx x x c

15. Hallar3 ln x

dxx

Solución

Sea lnu x , entonces 1

du dxx

Luego en la integral se tiene:

1

2

1

3 ln 3 ln ln3ln

3ln 3ln2

x x xdx dx x C dx

x x x x

ux C udu x C

Reemplazando u por ln x , tenemos

23 ln (ln )3ln

2

x xdx x C

x

16. 2 6 25

dx

x x

Solución

Completando cuadrados: 2 2 2 2 26 25 ( 3) (3) 25 ( 3) (4)x x x x

c

x

x

dx

x

dx

xx

dx

4

3arctan

4

1

4)3(16)3(256 2222

17. 21 ln

dx

x x

Solución

2 2.....................(1)

1 ln 1 ln

dx

dx x

x x x

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Sea ln ...............................(2)dx

u x dux

Reemplazando (2) en (1) se tiene

2 2( ) (ln )

1 ln 1

dx duarcsen u c arcsen x c

x x u

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Encuentre la antiderivada G de f que satisfaga la condición dada:

1. 4 5f (x) 5x 2x , G(0) 2

2. 2 1f (x) 4 3(1 x ) , G(1) 0

3. f (x) 1 6x, G(0) 8

4. 3f (x) 8x 12x 3, G(1) 6

5. f (x) 3 x 1 x , G(1) 2

2. Calcular las siguientes integrales:

1. 23 5 2t t dt

2. 2 2( 5)x x dx

3. dxx

xx

5

24

2

1

4. 4(2 3 )x x dx

5. 3/2 5( 5)x x dx

6. dxxx )42( 4

7.

dxx

xexx x

3

23 3

8. 3

3

1x dx

x

9.

dxx

xx 3

2

23

10. x ln x

dxx

11. dx

2x

12. 216 x

dx

13. 3

4

1

4 1

xdx

x x

14. 24 ( 2)

dx

x

15. 2 2 13

dx

x x

16. sen 2xdx

17. cos(7 )x dx

18. sec3t tan3t dt

19. 3

( )5

xsen dx

20. 4

1 cossenx x dx

21.

dtt

2

6cos1

22. 2cos 1senx x sen x dx

23. dxxxx )cot.csc(csc2

1 2

24. dxxxx )sec2tan.sec4( 2

25. 2sec x dx

a btgx

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26. d)tan2( 2

27. 2

1

cos 1dx

x tgx

28. 1 cos

sen xdx

x

29. x

dx

e

30. 4xe dx

31. 65 1 xx e dx

32. (1 ln )xe x x

dxx

33. x

x

edx

a be

34. dxxe x

2

33

35. 2ln x

dxx

36. 2

3 6

2 8 3

xdx

x x

37. 216 x

dx

38.

dxee xx

2

39. dxee xx

21

40. x

x

edx

a be

41. 3 23 2 11t t dt

42. d)cot1( 2

43.

dxee xx

2

44. 225 9

dx

x

45. 2 35 1 5 3 2 x x x dx

3. Encuentre la función de costo para cada una de las siguientes funciones de costo

marginal:

a) 2( ) 3 2dC

C x x xdx

; el costo fijo es de $10

b) 2( ) 110 2800dC

C x x xdx

; el costo fijo es de $5000

c) ( )dC

C x xdx

; 16 unidades cuestan $60

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12

4. Resolver los siguientes problemas:

1. La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2( ) 4 6 3P x x x , y la utilidad cuando ningún artículo se vende es de -40

dólares. Encuentre la función de utilidad.

2. Si el ingreso marginal mensual por un producto es IM = –0,4x + 30, Encuentre la

función del ingreso total.

3. Si el ingreso marginal mensual por un producto es IM = –3x + 20, Encuentre la

función del ingreso total.

4. La función de costo marginal para un artículo particular está dada por 1/ 2( ) 3(5 4)C x x . Si el costo general es de $10, determine la función de costo total.

5. Se estima que dentro de t años, el valor V(x) de un acre de tierra cultivable

crecerá a una tasa de 3

4

0.4( )

0.2 8000

xV x

x

dólares por año. Actualmente la

tierra vale $500 por acre.

a) Determine V(x)

b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?

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13

3. INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, el cual nos

permite resolver un gran número de integrales no inmediatas, que se obtiene de la

fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son funciones

diferenciables, entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x g x f x f x g xdx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x f x g x g x f xdx

Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d

f x g x dx f x g x dx g x f x dxdx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x g x f x dx ……………… (1)

La fórmula (1) recibe el nombre de fórmula de integración por partes. Para los

propósitos de cálculo, una forma más conveniente de esta fórmula se obtiene al

considerar ( )u f x y ( )v g x .

Entonces ( )du f x dx y ( )dv g x dx de modo que (1) se transforma en

OBSERVACIÓN:

El éxito en la integración por partes consiste en determinar adecuadamente la

función u. Se sugiere que la función u se tome la que mas se simplifica al

derivar.

dv debe ser integrable

-udv uv vdu

LUIS

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14

Ejemplos:

1. Hallar xsenx dx

Solución:

Haciendo u x , du dx

dv senx dx

dv senx dx

cosv x

xsenx dx = ( cos ) ( cos )

dv v vu u du

x senx dx x x x dx

= cos cos x x x dx

cosx x senx c

2. Hallar ln x dx

Solución:

Haciendo lnu x , 1

du dxx

dv dx

dv dx

v x

Integrando por partes tenemos: ln x dx uv v du

Reemplazando: 1

ln lnx dx x x x dxx

lnx x dx

lnx x x

3. 2 ln x x dx

Solución:

Haciendo lnu x y 2dv x dx ; tenemos:

1

du dxx

2dv x dx

3

3

xv

Entonces 3 3

2 1ln ln

3 3

x xx x dx x dx

x

3 2

ln3 3

x xx dx

3 3

ln3 9

x xx C

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15

4. 2 2xI (x 3x 1)e dx

Solución:

Haciendo 2 3 1 (2 3)u x x du x dx Y 2

2

2

xx e

dv e dx v ;

Luego: 2 2

2 2 2

( 1 )

( 3 1) ( 3 1) (2 3)2 2

x xx e e

x x e dx x x x dx

Luego volveremos a aplicar integración por partes en (1) para encontrar la integral

dada. 2

1 (2 3)2

xeI x dx

Haciendo 2 3 2u x du dx Y 2 2

2 4

x xe edv dx v ;

Luego: 2 2 2 2

1 (2 3) .2 (2 3)4 4 4 4

x x x xe e e eI x dx x C

Ahora reemplazamos I1 en (1).

2 2 2

2 2 2( 3 1) ( 3 1) (2 3)2 4 4

x x xx e e e

x x e dx x x x C

5. 23 xx e dx

Solución:

Haciendo 2u x Y 2xdv xe dx ; entonces:

2 du x dx 2xdv xe dx

2xv xe dx

Para hallar 2xxe dx se tiene:

Por sustitución: 2 2 t x dt x dx 2

dtx dx

Luego 22 1 1 1

2 2 2 2

x t t t xdtxe dx e e dt e e

Por lo tanto

2

2

xev

Luego

2 2

23 2 2 2 2

x xx e e

x e dx x x dx

2

2 22

3 2

xx xx e

x e dx xe dx

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Sello


16

2 2

22

3

2 2

x xx x e e

x e dx C

2

23 2 12

xx e

x e dx x C

6. 1 x x dx

Solución:

Haciendo u x Y 1 dv x dx ; tenemos:

du dx 1 dv x dx

3/2 3/21 2 1

3 / 2 3

x xv

Entonces

3/2 3/22 1 2 1

1 3 3

x xx x dx x dx

3/2

3/22 1 21 1

3 3

x xx x dx x dx

3/2

5/22 1 2 21 1

3 3 5

x xx x dx x C

3/2 5/22 4

1 1 13 15

x x dx x x x C

7. 2ln( 2) x dx

Solución:

Haciendo 2ln( 2)u x Y dv dx ; tenemos:

2

2

2

xdu dx

x

v x

Tenemos: 2

2 2

2

2ln( 2) ln( 2)

2

xx dx x x dx

x

2 2

2

4ln( 2) ln( 2) 2

2x dx x x dx

x

2 2

2

4ln( 2) ln( 2) 2

2x dx x x dx dx

x

2 2 1ln( 2) ln( 2) 2 4

2 2

xx dx x x x arctg

2 2ln( 2) ln( 2) 2 2 2 2

xx dx x x x arctg C

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17

Integrales trigonométricas

Las identidades que se utilizan en la resolución de las integrales trigonométricas son las

siguientes.

1. sen2x + cos

2x = 1;

2. 1+ tan2x = sec

2x;

3. 2 21 cot cscx x

4. 2 2 cossen x senx x

5. 2 2cos2 cosx x sen x

6. 2 1 cos 2

2

xsen x

7. 2 1 cos 2cos

2

xx

8. 1

cos ( ) ( )2

senx y sen x y sen x y

9. 1

cos( ) cos( )2

senx seny x y x y

10. 1

cos cos cos( ) cos( )2

x y x y x y

Ejemplos:

1. Hallar 3cos x dx

Solución:

3 2 2cos cos . cos 1 . cos x dx x x dx sen x x dx

Haciendo cos u senx du x dx

En 3 2cos 1 . cos x dx sen x x dx

21 u du

2du u du

3

3

uu C

3

3

senxsenx C

2. Hallar 4 tg x dx

Solución:

4 2 2 2 2 . sec 1 tg x dx tg x tg x dx tg x x dx

4 2 2 2 sec tg x dx tg x x tg x dx

2 2 2.sec tg x x dx tg x dx

2 2 2

( )

.sec sec 1 d tgx

tg x x dx x dx


18

2 2 sectg x d tgx dx dx

3

3

tg xtgx x C

3. Hallar 3 4 cos sen x x dx

Solución: 3 4 2 4 cos cos sen sen x x dx sen x x x dx

2 4 4 61 cos cos sen cos cos sen x x x dx x x x dx

4 6cos cos x senx x senx dx

4 6cos cos x senx dx x senx dx

Haciendo cos u x du senx 3 4 4 6 cos sen x x dx u du u du

5 7

5 7

u uC

5 7cos cos

5 7

x xC

4. Hallar 5 cos 4 sen x x dx

Solución:

5 4 +sen 5 45 cos 4

2

sen x x x xsen x x dx dx

1

5 cos 4 9 2

sen x x dx senx sen x dx

1 cos9

cos2 18

xx C

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Sello


19

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando el método de cambio de variable, calcular las siguientes integrales:

1. 1

3 4dx

x

2. 2

3 3 3

x dx

3. 4 3

dx

x x

4. (3 2ln )

dx

x x

5. 2

1

(ln )dx

xsen x

6. 2

cos

cos 2 4

senx xdx

x

7. 22 1 3 4 4

dx

x x x

8. 2ln 4 ln

dx

x x x

9. 2sec ( )ax b dx

10. 3 4 x x dx

11. 25 ( 1) x x dx

12. 2(1 ) xsen x dx

13. tgx dx

14. ctgx dx

15. x

ctg dxa b

16.

5

dx

xtg

17. dxtg x

x

18. 2( 1)xctg x dx

19. cos

dx

senx x

20. 3

3 cos3

sen xdx

x

21. 2 2

cos

cos

senx xdx

x sen x

22. 3 2tan sec3 3

x xdx

23. 2

tancos

dxx

x

24. 3

4

1

4 1

xdx

x x

25. 3

8 5

xdx

x

26. 2

2

3 2 3

2 3

xdx

x

27. 2

3 3 1

x dx

x

28. 3 1 ln x

dxx

29. tan 11

dxx

x

30. 24 ln

dx

x x

31. 2

sec .tan

sec 1

x xdx

x

32. 2 1

dx

x x

33. 2 cos 4 sen x x dx

34. 3 2 sen x sen x dx

35. 2

2

sec

tan 4 tan 1

xdx

x x

36. 2 1 x x dx

LUIS

Sello


20

Usando el método de integración por partes calcular:

1. 2 x senx dx

2. lnnx xdx

3. 3 2xx e dx

4. 2(1 )

xxedx

x

5. 3 3xx e dx

6. x dx

a bx

7. (ln ) sen x dx

8. 3 senx sen x dx

9. cos axe bx dx

10. axe senbx dx

11. 2 3 sec tg x x dx

12. ln 1

1

xdx

x

13. 2ln 1x x dx

14. 2ln 1x x dx

15.

2

ln

1

xdx

x

16. 2/3 ln 3x x dx

17. cos x senx x dx

18. 2 5 6 cos2 x x x dx

19. xe dx

20. 2 2 5 xx x e dx

21. xe senx dx

22. cos xe x dx

23. 2 cos3 xe x dx

24. 2 xe sen x dx

25. 9 56 3x x dx

26. 2cos 3

xdx

x

Resolver las siguientes integrales trigonométricas

1. 3(6 ).cos(6 ) sen x x dx

2. 3cos3

xdx

3. 4 sen x dx

4. 3 sen x dx

5. 2

cosx xdx

sen x

LUIS

Sello

integral indefinida

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