1 Intervalo de confianza para proporciones Ejercicio n 1.- El60de una poblacin de 20 000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos al azar 50 personas de esa poblacin, cul es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros? Ejercicio n 2.- Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte ms de 60 respuestas. Ejercicio n 3.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algn defecto. Se empaquetan en caja de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. Cul es la probabilidad de que en una caja haya ms de 10 pantalones defectuosos? Ejercicio n 4.- En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 50 veces, cul es la probabilidad de sacar roja en ms de 20 ocasiones? Ejercicio n 5.- Lanzamos un dado 300 veces. Cul es la probabilidad de que obtengamos ms de 70 unos? Ejercicio n 6.- En una moneda defectuosa, la probabilidad de obtener cara es de 0,586. Si hacemos tandas de 40 lanzamientos: a)Cmo se distribuye la proporcin de caras en esas tandas? b)Cul es la probabilidad de que la proporcin de caras en una tanda sea mayor de 0,6? Ejercicio n 7.- El 1% de las soldaduras hechas en una mquina son defectuosas. Cada da se revisan1 000 de ellas. a)Cmo se distribuye la proporcin diaria de soldaduras defectuosas (entre las 1 000 que se revisan cada da)? b)Cul es la probabilidad de que, en un da, haya entre 8 y 10 soldaduras defectuosas (ambos incluidos)? Ejercicio n 8.- En una empresa que cuenta con 1 200 empleados, la proporcin de los que hablan ingls es de 1 020/1 200. a)Indica los parmetros de la distribucin a la que se ajustaran las muestras de 35 empleados. Cul es la distribucin? b)Calcula la probabilidad de que, en una muestra de 35 empleados, haya entre 25 y 30 que hablan ingls (ambos incluidos). Ejercicio n 9.- El 11% de los billetes de lotera reciben algn tipo de premio. a)Cul es la distribucin de la proporcin de billetes premiados en muestras de 46 billetes? b)Cul es la probabilidad de obtener ms de 6 billetes premiados en muestras de 46? 2 Ejercicio n 10.- En un instituto de 900 alumnos, la proporcin de chicas es de 585/900. a)Cul es la distribucin de la proporcin de chicas en muestras de 30 alumnos? b)Halla la probabilidad de que, en una muestra de 30, haya entre 20 y 25 chicas (ambos incluidos). Ejercicio n 11.- Seis de cada diez familias de cierta ciudad poseen ordenador. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de familias con ordenador, en muestras de 35 familias de esa ciudad, correspondiente al 90%. Ejercicio n 12.- El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca del pueblo. Halla un intervalo en el que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan la biblioteca en muestras de tamao 60. Ejercicio n 13.- La probabilidad de obtener un 3 en un dado trucado es de 0,18. Encuentra el intervalo caracterstico para la proporcin de treses en tandas de 100 lanzamientos, correspondiente a una probabilidad del 95,44%. Ejercicio n 14.- La proporcin de vecinos de cierta localidad que est a favor de la gestin econmica del ayuntamiento es de 29/50. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de vecinos a favor de dicha gestin econmica, en muestras de 80 vecinos, correspondiente al 99,73%. Ejercicio n 15.- La proporcin de alumnos de cierto instituto que aprueban matemticas es de 560/800. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de aprobados en matemticas, en muestras de 30 alumnos, correspondiente al 99%. Ejercicio n 16.- De una muestra de 100 familias de una poblacin, hay 20 que poseen lavaplatos. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporcin poblacional, para un nivel de confianza del 99%. Ejercicio n 17.- En una encuesta realizada a 150 familias de una determinada poblacin, se encontr que en 25 de ellas haba tres o ms hijos. Halla el intervalo de confianza para estimar la proporcin real de las familias en las que hay tres o ms hijos, con un nivel de confianza del 90%. Ejercicio n 18.- De 1 500 personas encuestadas en un sondeo preelectoral, 800 manifiestan su intencin de votar. Entre qu valores puede estimarse, con un 95% de confianza, que se encontrar el nivel de abstencin en el conjunto del censo? 3 Ejercicio n 19.- Una muestra de 100 votantes, elegidos al azar entre todos los de un distrito, indic que el 55% de ellos estaba a favor de un candidato determinado. Halla el intervalo de confianza del 99,73% para la proporcin de todos los votantes del distrito que estaban a favor del candidato. Ejercicio n 20.- En cierto instituto de Enseanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 15% de ellos, se les pregunt si utilizaban la cafetera del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. Halla el intervalo de confianza del 99% para estimar la proporcin de alumnos que utilizan la cafetera del instituto. Ejercicio n 21.- En cierta ciudad se sabe que el porcentaje de habitantes con estudios superiores se sita en torno al 15%. Se desea actualizar los datos y, para ello, se va a extraer una muestra aleatoria de tamaonpara hacer la estimacin del porcentaje actual. De que tamao mnimo deberemos seleccionar la muestra para que le error en la estimacin de la proporcin sea menor de 0,02, con un nivel de confianza del 95,44%? Ejercicio n 22.- A travs de una encuesta realizada a 800 personas sobre la eleccin de alcalde de una ciudad, se estim que la proporcin de votantes al canditatoAestaba entre el 54% y el 59%. Con qu nivel de confianza se realiz la estimacin? Ejercicio n 23.- Para estimar la proporcin de las familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se va a tomar una muestra aleatoria de tamaon.Calcula el mnimo valor denpara garantizar que, con un nivel de confianza del 95%, el error en la estimacin sea menor que 0,05. (Ya que se desconoce la proporcin, se tiene que tomar el caso ms desfavorable de que sea 0,5). Ejercicio n 24.- Una moneda est trucada de manera que 40 de cada 100 veces que se lanza sale cara. Cuntas veces se ha de lanzar esta moneda, como mnimo, para que la proporcin de caras obtenidas no difiera de la proporcin verdadera en ms de un 2%, con un nivel de confianza del 90%? . Ejercicio n 25.- Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporcin de alumnos de cierto instituto que tienen dos o ms hermanos. De qu tamao mnimo tendremos que seleccionar la muestra si admitimos un error mximo de 0,1? (En otro estudio reciente se obtuvo que esta proporcin era de 0,4). 4 Solucin Intervalo para proporciones Ejercicio n 1.- El60de una poblacin de 20 000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos al azar 50 personas de esa poblacin, cul es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros? Solucin: Si llamamosx = "nmero de personas con los ojos oscuros",entoncesxes una binomial con La calculamos aproximando con una normal: Ejercicio n 2.- Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte ms de 60 respuestas. Solucin: Si llamamosx = "nmero de respuestas acertadas", entoncesxes una binomial conn = 100, La calculamos aproximando con una normal: Ejercicio n 3.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algn defecto. Se empaquetan en caja de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. Cul es la probabilidad de que en una caja haya ms de 10 pantalones defectuosos? Solucin: Si llamamosx = "nmero de pantalones defectuosos en una caja",entoncesxes una | | 50, p 0,6,en la que tenemos que calcular 30 . n p x = = npq x p( ) ( ) 1 , 0 es 5 , 50 es '21, 100 es N z N x B x |.|

\|| | | | | | = > =((

> = > = > 1 , 2550 5 , 605 , 60 ' 60 z p z p x p x p| | | | 0179 , 0 60 0179 , 0 9821 , 0 1 1 , 2 1 = > = = < = x p z p5 La calculamos aproximando con una normal: Ejercicio n 4.- En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 50 veces, cul es la probabilidad de sacar roja en ms de 20 ocasiones? Solucin: La calculamos aproximando con una normal: Ejercicio n 5.- Lanzamos un dado 300 veces. Cul es la probabilidad de que obtengamos ms de 70 unos? Solucin: Si llamamosx ="nmero de unos obtenidos",entoncesxes una binomial conn = 300, La calculamos aproximando con una normal: | |. 10 calcular que hayque la en , 07 , 0 ; 80con binomial > = = x p p n. 28 , 2 es tpica desviacin su ; 6 , 5 07 , 0 80 es x de media La = = = npq np( ) ( ) ( ) 1 , 0 es 28 , 2 ; 6 , 5 es ' 07 , 0 ; 80 es N z N x B x | | | | | | = > =((

> = > = > 15 , 228 , 26 , 5 5 , 105 , 10 ' 10 z p z p x p x p| | | | 0158 , 0 10 0158 , 0 9842 , 0 1 15 , 2 1 = > = = < = x p z p, 50 con binomial una es entonces , rojas" bolas de nmero " llamamos Si = = n x x| |. 20 cal cul ar que tenemos que l a en , 3 , 0103> = = x p pLa media de es 50 0, 3 15; su desviacin tpica es 3,24. x np npq = = =( ) ( ) ( ) 1 , 0 es 24 , 3 ; 15 es ' 3 , 0 ; 50 es N z N x B x | | | | | | = > =((

> = > = > 70 , 124 , 315 5 , 205 , 20 ' 20 z p z p x p x p| | | | 0446 , 0 20 0446 , 0 554 9 , 0 1 70 , 1 1 = > = = < = x p z p| |1,en la que tenemos que calcular70 .6p p x = >. 45 , 6 es tpi ca desvi aci n suy5061300 es x de medi a La = = = npq np( ) ( ) 1 , 0 es 45 , 6 ; 50 es '61, 300 es N z N x B x |.|

\|| | | | | | = > =((

> = > = > 18 , 345 , 650 5 , 705 , 70 ' 70 z p z p x p x6 Ejercicio n 6.- En una moneda defectuosa, la probabilidad de obtener cara es de 0,586. Si hacemos tandas de 40 lanzamientos: a)Cmo se distribuye la proporcin de caras en esas tandas? b)Cul es la probabilidad de que la proporcin de caras en una tanda sea mayor de 0,6? Solucin: a)La distribucin de la proporcin de caras en las tandas, pr,es una normal de media N (0,586; 0,078). b)En una tanda de 40, una proporcin mayor de 0,6 es obtener ms de40 0,6 = 24 caras. En unaB (40; 0,586),tenemos que calcularP [x > 24]. Comonp > 5ynp > 5,podemos aproximar mediante una normal de media = np = 40 0,586 = 23,44y As, si xes B (40; 0,586) x'esN (23,44; 3,12) zesN (0, 1),entonces: =1 0,6331 = 0,3669 La probabilidad pedida es de 0,3669. Ejercicio n 7.- El 1% de las soldaduras hechas en una mquina son defectuosas. Cada da se revisan1 000 de ellas. a)Cmo se distribuye la proporcin diaria de soldaduras defectuosas (entre las 1 000 que se revisan cada da)? b)Cul es la probabilidad de que, en un da, haya entre 8 y 10 soldaduras defectuosas (ambos incluidos)? Solucin: a)La proporcin diaria,pr,de soldaduras defectuosas se distribuye segn una normal Es decir,presN (0,01; 0,003). b)En unaB (1 000; 0,01),tenemos que calcularP [8 s x s 10].Comonp > 5ynq > 5,podemos aproximar mediante una normal de media = np = 10y de desviacin tpica xesB (1 000; 0,01) x'esN (10; 3,15) zesN (0, 1),entonces: | | | | 0007 , 0 70 0007 , 0 9993 , 0 1 18 , 3 1 = > = = < = x p z pes deci r, Es . 078 , 040414 , 0 586 , 0 tpi ca desvi aci n dey586 , 0 prnpqp = = =. 12 , 3 414 , 0 586 , 0 40 tpica desviacin de = = = o npq| | | | | | | | = < = > =((

> = > = > 34 , 0 1 34 , 012 , 344 , 23 5 , 245 , 24 ' 24 z P z P z P x P x P. 003 , 0000 199 , 0 01 , 0 tpi ca desvi aci n dey01 , 0 medi a de = = =npqp1000 0,01 0,99 3,15.As, si: npq = =7 = 0,5636 (1 0,7852) = 0, 3488 La probabilidad pedida es de 0,3488. Ejercicio n 8.- En una empresa que cuenta con 1 200 empleados, la proporcin de los que hablan ingls es de 1 020/1 200. a)Indica los parmetros de la distribucin a la que se ajustaran las muestras de 35 empleados. Cul es la distribucin? b)Calcula la probabilidad de que, en una muestra de 35 empleados, haya entre 25 y 30 que hablan ingls (ambos incluidos). Solucin: a)La proporcin de empleados que hablan ingls,pr,en muestras de 35, es una distribucin Es decir,presN (0,85; 0,06). b)En unaB (35; 0,85),tenemos que calcularP [25 s x s 30]. Comonp > 5ynq > 5,podemos aproximar por una normal de media = np = 29,75 y de desviacin tpica xesB (35; 0,85) x'esN (29,75; 2,11) zes N (0, 1),entonces: La probabilidad pedida es de 0,6342. Ejercicio n 9.- El 11% de los billetes de lotera reciben algn tipo de premio. a)Cul es la distribucin de la proporcin de billetes premiados en muestras de 46 billetes? b)Cul es la probabilidad de obtener ms de 6 billetes premiados en muestras de 46? Solucin: a)La distribucin de la proporcin de billetes premiados,pr,en muestras de 46 billetes, | | | | | | = s s =((

s s= s s = s s 16 , 0 79 , 015 , 310 5 , 1015 , 310 5 , 75 , 10 ' 5 , 7 10 8 z P z P x P x P| | | | | | | | | | | | ( ) = < s = > s = s s = 79 , 0 1 16 , 0 79 , 0 16 , 0 79 , 0 16 , 0 z P z P z P z P z P z P1 020normal con media 0,85y con desviacin tpica1 200p = =. 06 , 03515 , 0 85 , 0= =npq35 0,85 0,15 2,11.As, si npq o = = =| | | | =((

s s= s s = s s11 , 275 , 29 5 , 3011 , 275 , 29 5 , 245 , 30 ' 5 , 24 30 25 z P x P x P| | | | | | | | | | = > s = s s = s s = 49 , 2 36 , 0 49 , 2 36 , 0 36 , 0 49 , 2 z P z P z P z P z P| | | | ( ) 6342 , 0 ) 9936 , 0 1 ( 6406 , 0 49 , 2 1 36 , 0 = = < s = z P z P8 Es decir ,presN (0,11; 0,046). b)En unaB (46; 0,11)tenemos que calcularP [x > 6]. Comonp > 5ynq > 5,podemos aproximar por una normal de media = np = 5,06y de desviacin tpica xesB (46; 0,11) x'esN (5,06; 2,12) zesN (0, 1),entonces: =0,2482 La probabilidad pedida es de 0,2482. Ejercicio n 10.- En un instituto de 900 alumnos, la proporcin de chicas es de 585/900. a)Cul es la distribucin de la proporcin de chicas en muestras de 30 alumnos? b)Halla la probabilidad de que, en una muestra de 30, haya entre 20 y 25 chicas (ambos incluidos). Solucin: a)La proporcin de chicas,pr,en muestras de 30, se distribuye segn una normal de Es decir,pres unaN (0,65; 0,087). b)Es unaB (30; 0,65), tenemos que calcularP [20 s x s 25].Comonp > 5ynq > 5,podemos aproximar por una normal de media = np = 19,5y de desviacin tpica xesB (30; 0,65) x'esN (19,5; 2,61) zesN (0, 1),entonces: La probabilidad pedida es de 0,4893. Ejercicio n 11.- Seis de cada diez familias de cierta ciudad poseen ordenador. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de familias con ordenador, en muestras de 35 familias de esa ciudad, correspondiente al 90%. Solucin: La proporcin de familias con ordenador, en muestras de 35, se distribuye segn una normal. 046 , 04689 , 0 11 , 0 tpi ca desvi aci n dey11 , 0 medi a de normal una es = = =npqp. 12 , 2 89 , 0 11 , 0 46 = = = o npq| | | | | | | | = = < = > =((

> = > = > 7518 , 0 1 68 , 0 1 68 , 012 , 206 , 5 5 , 65 , 6 ' 6 z P z P z P x P x P. 087 , 03035 , 0 65 , 0 tpi ca desvi aci n dey65 , 0900585 medi a = = = =npqpsiAs, . 61 , 2 35 , 0 65 , 0 30 = = = o npq| | | | | | = s s =((

s s= s s = s s 30 , 2 061 , 25 , 19 5 , 2561 , 25 , 19 5 , 195 , 25 ' 5 , 19 25 20 z P z P x P x P| | | | 4893 , 0 5 , 0 9893 , 0 5 , 0 30 , 2 30 , 2 0 = = s = s s = z P z P9 Para el 90%, tenemos que 1 o = 0,9 zo/2 = 1,645. El intervalo caracterstico ser: (0,6 1,645 0,083;0,6 + 1,645 0,083);es decir: (0,46; 0,74) Esto significa que, en el 90% de las muestras de 35 familias, la proporcin de las que poseen ordenador est entre 0,46 y 0,74. Ejercicio n 12.- El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca del pueblo. Halla un intervalo en el que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan la biblioteca en muestras de tamao 60. Solucin: La proporcin de alumnos que utilizan la biblioteca, en muestras de 60, se distribuye segn una Para el 95%, tenemos que1 o = 0,95 zo/2 = 1,96. El intervalo caracterstico ser: (0,65 1,96 0,062;0,65 + 1,96 0,062);es decir: (0,53; 0,77) Esto significa que, en el 95% de las muestras de 60, la proporcin est entre 0,53 y 0,77. Ejercicio n 13.- La probabilidad de obtener un 3 en un dado trucado es de 0,18. Encuentra el intervalo caracterstico para la proporcin de treses en tandas de 100 lanzamientos, correspondiente a una probabilidad del 95,44%. Solucin: La proporcin de treses en tandas de 100 lanzamientos sigue una distribucin normal de media Para una probabilidad del 95,44%, tenemos que: 6 0,6 0,4media 0,6y desviacin tpica 0,083.10 35pqpn= = = =0,65 0,35normal de media 0,65y de desviacin tpica 0,062.60pqpn= = =0,18 0,820,18y de desviacin tpica 0,038.100pqpn= = =0228 , 029544 , 0 1 =o = o 10 P [z s zo/2] = 0,9544 + 0,0228 = 0,9772 zo/2 = 2 El intervalo caracterstico ser: (0,18 2 0,038;0,18 + 2 0,038);es decir: (0,104; 0,256) Esto significa que, en el 95,44% de las tandas de 100 lanzamientos, la proporcin de treses est entre 0,104 y 0,256. Ejercicio n 14.- La proporcin de vecinos de cierta localidad que est a favor de la gestin econmica del ayuntamiento es de 29/50. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de vecinos a favor de dicha gestin econmica, en muestras de 80 vecinos, correspondiente al 99,73%. Solucin: La proporcin de vecinos a favor de la gestin econmica del ayuntamiento, en muestras de 80, se distribuye segn una normal de mediap = 29/50 = 0,58y de desviacin tpica Para una probabilidad del 99,73%, tenemos que: P [z s zo/2] = 0,9973 + 0,00135 = 0,99865 zo/2 = 3 El intervalo caracterstico ser: (0,58 3 0,055;0,58 + 3 0,055);es decir: (0,415; 0,745) Esto significa que, en el 99,73% de las muestras de 80 vecinos, la proporcin de los que estn a favor est entre 0,415 y 0,745. Ejercicio n 15.- La proporcin de alumnos de cierto instituto que aprueban matemticas es de 560/800. Halla el intervalo caracterstico para la proporcin de aprobados en matemticas, en muestras de 30 alumnos, correspondiente al 99%. Solucin: La proporcin de aprobados en matemticas, en muestras de 30 alumnos, se distribuye segn Una probabilidad del 99% significa1 o = 0,99 zo/2 = 2,575. . 055 , 08042 , 0 58 , 0= =npq00135 , 029973 , 0 1 =o = o 560 0,7 0,3una normal de media 0,7y de desviacin tpica 0,084.800 30pqpn= = = =11 El intervalo caracterstico ser: (0,7 2,575 0,084;0,7 + 2,575 0,084);es decir: (0,48; 0,92) Esto significa que, en el 99% de las muestras de 30 alumnos, la proporcin de aprobados en matemticas est entre 0,48 y 0,92. Ejercicio n 16.- De una muestra de 100 familias de una poblacin, hay 20 que poseen lavaplatos. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporcin poblacional, para un nivel de confianza del 99%. Solucin: Queremos estimar la proporcin poblacional mediante una muestra de tamao 100, con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma: Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que1 o = 0,99 zo/2 = 2,575 El valor depres el de la proporcin obtenida en la muestra: As, el intervalo con confianza ser: (0,097; 0,303) Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporcin en la poblacin est comprendida entre 0,097 y 0,303. Ejercicio n 17.- En una encuesta realizada a 150 familias de una determinada poblacin, se encontr que en 25 de ellas haba tres o ms hijos. Halla el intervalo de confianza para estimar la proporcin real de las familias en las que hay tres o ms hijos, con un nivel de confianza del 90%. Solucin: Queremos estimar la proporcin en la poblacin,p,mediante una muestra de tamao 150, con un nivel de confianza del 90%. El intervalo de confianza es de la forma: ||.|

\|+o onpr prz prnpr prz pr) 1 ( ;) 1 (2 / 2 /2 , 010020= = pr: deci r es;1008 , 0 2 , 0 575 , 2 2 , 0 ;1008 , 0 2 , 0 575 , 2 2 , 0||.|

\|+ ||.|

\|+o onpr prz prnpr prz pr) 1 ( ;) 1 (2 / 2 /12 Para un nivel de confianza del 90%, tenemos que1 o = 0,9 zo/2 = 1,645 El valor depres el de la proporcin obtenida en la muestra: Por tanto, el intervalo con confianza ser: (0,12; 0,22) Esto significa que tenemos una confianza del 90% de que la proporcin en la poblacin est comprendida entre 0,12 y 0,22. Ejercicio n 18.- De 1 500 personas encuestadas en un sondeo preelectoral, 800 manifiestan su intencin de votar. Entre qu valores puede estimarse, con un 95% de confianza, que se encontrar el nivel de abstencin en el conjunto del censo? Solucin: Queremos estimar la proporcin poblacional mediante una muestra de tamao 1 500, con un nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza es de la forma: Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que1 o = 0,95 zo/2 = 1,96 El valor depres el de la proporcin obtenida en la muestra sobre el nivel de abstencin, es decir: Por tanto, el intervalo con confianza ser: (0,445; 0,495) Esto significa que tenemos una confianza del 95% de que la proporcin de abstenciones en la poblacin se sita entre 0,445 y 0,495. Ejercicio n 19.- Una muestra de 100 votantes, elegidos al azar entre todos los de un distrito, indic que el 55% de ellos estaba a favor de un candidato determinado. Halla el intervalo de confianza del 99,73% para la proporcin de todos los votantes del distrito que estaban a favor del candidato. 17 , 015025= = pr: deci r es;15083 , 0 17 , 0 645 , 1 17 , 0 ;15083 , 0 17 , 0 645 , 1 17 , 0||.|

\|+ ||.|

\|+o onpr prz prnpr prz pr) 1 ( ;) 1 (2 / 2 /47 , 0500 1700500 1800 500 1= == pr: deci r es;500 153 , 0 47 , 0 96 , 1 47 , 0 ;500 153 , 0 47 , 0 96 , 1 47 , 0||.|

\|+ 13 Solucin: Queremos estimar la proporcin poblacional mediante una muestra de tamao 100, con un nivel de confianza del 99,73%. El intervalo de confianza es de la forma: Para un nivel de confianza del 99,73%, tenemos que: P [z s zo/2] = 1 0,00135 = 0,99865 zo/2 = 3 El valor depres el de la proporcin obtenida en la muestra; es decir,pr = 0,55. As, el intervalo de confianza ser: (0,40; 0,70) Esto significa que tenemos una confianza del 99,73% de que la proporcin poblacional se sita entre 0,40 y 0,70. Ejercicio n 20.- En cierto instituto de Enseanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 15% de ellos, se les pregunt si utilizaban la cafetera del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. Halla el intervalo de confianza del 99% para estimar la proporcin de alumnos que utilizan la cafetera del instituto. Solucin: Queremos estimar la proporcin poblacional mediante una muestra de tamao: n = 15% de 800 = 120 con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma: Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que1 o = 0,99 zo/2 = 2,575 ||.|

\|+o onpr prz prnpr prz pr) 1 ( ;) 1 (2 / 2 /00135 , 029973 , 0 1 =o = o : deci r es;10045 , 0 55 , 0 3 55 , 0 ;10045 , 0 55 , 0 3 55 , 0||.|

\|+ ||.|

\|+o onpr prz prnpr prz pr) 1 ( ;) 1 (2 / 2 /14 El valor depres el de la proporcin de alumnos en la muestra que s utilizan la cafetera, es decir: Por tanto, el intervalo con confianza ser: (0,706; 0,894) Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporcin poblacional se encuentra entre 0,706 y 0,894. Ejercicio n 21.- En cierta ciudad se sabe que el porcentaje de habitantes con estudios superiores se sita en torno al 15%. Se desea actualizar los datos y, para ello, se va a extraer una muestra aleatoria de tamaonpara hacer la estimacin del porcentaje actual. De que tamao mnimo deberemos seleccionar la muestra para que le error en la estimacin de la proporcin sea menor de 0,02, con un nivel de confianza del 95,44%? Solucin: Para un nivel de confianza del 95,44%, tenemos que: P [z s zo/2] = 1 0,0228 = 0,9772 zo/2 = 2 El error mximo que admitimos esE = 0,02. Paraprtomaremos el valor anterior:pr = 0,15. As, si sustituimos en la expresin anterior, tenemos que: Deberemos seleccionar una muestra de, al menos, 1 275 habitantes. Ejercicio n 22.- A travs de una encuesta realizada a 800 personas sobre la eleccin de alcalde de una ciudad, se estim que la proporcin de votantes al canditatoAestaba entre el 54% y el 59%. Con qu nivel de confianza se realiz la estimacin? 8 , 01209612024 120= == pr: deci r es;1202 , 0 8 , 0 575 , 2 8 , 0 ;1202 , 0 8 , 0 575 , 2 8 , 0||.|

\|+ .) 1 ( es admi si bl e mxi mo error El2 /npr prz E=o0228 , 029544 , 0 1 =o = o = = =02 , 02 85 , 0 15 , 0 85 , 0 15 , 0202 , 0 85 , 0 15 , 0 2 02 , 0 nnn275 1 707 , 35 = = n n15 Solucin: Como se estim que la proporcin estaba entre el 54% y el 59%, es decir, entre 0,54 y 0,59, el error es: El valor denes 800 y el depres el centro del intervalo(0,54; 0,59); es decir: Sustituyendo en la expresin anterior, tenemos que: o = 0,1528 1 o = 0,8472 La estimacin se ha realizado con un nivel de confianza del 84,72%. Ejercicio n 23.- Para estimar la proporcin de las familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se va a tomar una muestra aleatoria de tamaon.Calcula el mnimo valor denpara garantizar que, con un nivel de confianza del 95%, el error en la estimacin sea menor que 0,05. (Ya que se desconoce la proporcin, se tiene que tomar el caso ms desfavorable de que sea 0,5). Solucin: Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que1 o = 0,95 zo/2 = 1,96 En la indicacin se nos dice que debemos tomarpr = 0,5. Y sabemos queE = 0,05. Sustituyendo en la expresin anterior, tenemos que: .) 1 ( es admi si bl e mxi mo error El2 /npr prz E=o025 , 0254 , 0 59 , 0== E565 , 0259 , 0 54 , 0=+= pr = =o o435 , 0 565 , 0800 025 , 0800435 , 0 565 , 0025 , 02 / 2 /z z| | | | o = = s = s = o o21 9236 , 0 43 , 1 43 , 12 / 2 /z P z z P z.) 1 ( es admi si bl e mxi mo error El2 /npr prz E=o = = =nn n5 , 096 , 105 , 0 5 , 0 5 , 096 , 105 , 0 5 , 0 5 , 0 96 , 1 05 , 016 , 384 6 , 1905 , 096 , 1 5 , 0= = = n n n16 Habr que tomar una muestra de, al menos, 385 familias. Ejercicio n 24.- Una moneda est trucada de manera que 40 de cada 100 veces que se lanza sale cara. Cuntas veces se ha de lanzar esta moneda, como mnimo, para que la proporcin de caras obtenidas no difiera de la proporcin verdadera en ms de un 2%, con un nivel de confianza del 90%? Solucin: Para un nivel de confianza del 90%, tenemos que1 o = 0,9 zo/2 = 1,645 El error mximo que admitimos esE = 0,02(el 2%). As, si sustituimos la expresin anterior, tenemos que: Tendramos que lanzar la moneda, como mnimo, 1 624 veces. Ejercicio n 25.- Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporcin de alumnos de cierto instituto que tienen dos o ms hermanos. De qu tamao mnimo tendremos que seleccionar la muestra si admitimos un error mximo de 0,1? (En otro estudio reciente se obtuvo que esta proporcin era de 0,4). Solucin: Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que1 o = 0,99 zo/2 = 2,575 El error mximo que admitimos esE = 0,1. Paraprtomaremos el valor del estudio anterior, es decir,pr = 0,4. As, sustituyendo en la expresin anterior, tenemos que: Deberemos tomar, como mnimo, una muestra de 160 alumnos. .) 1 ( es admi si bl e mxi mo error El2 /npr prz E=o. 4 , 010040 que Sabemos = = p = = =02 , 0645 , 1 24 , 0 24 , 0645 , 102 , 0 6 , 0 4 , 0 645 , 1 02 , 0 nnn6 , 623 1 29 , 40 = = n n.) 1 ( es admi si bl e mxi mo error El2 /npr prz E=o = =nn6 , 0 4 , 0575 , 21 , 0 6 , 0 4 , 0 575 , 2 1 , 014 , 159 61 , 121 , 0575 , 2 24 , 0= = = n n n