introdução à trigonometria (adaptação rived)
DESCRIPTION
Atividades adaptadas do site RIVED - MECTRANSCRIPT
Aplicações práticas:
• Engenharia• Mecânica• Eletricidade• Acústica• Medicina• Astronomia • Música
No triângulo retângulo, a trigonometria nos permite realizar facilmente cálculos como:
• altura de um prédio através de sua sombra • distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo • largura de rios, montanhas• medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua
INTRODUÇÃO
Um pouco da história da Trigonometria
• Origem incerta• Provavelmente nasceu por volta do século IV ou V a.C. com os egípcios, babilônios
e gregos• Problemas surgidos pela astronomia e navegação• Significado da palavra Trigonometria: medida do triângulo• Principais precursores da Trigonometria na antiguidade:
Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria)
Menelau de Alexandria (100 a.C.) Ptolomeu (séc. II d.C.)
Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhecida entre os árabes como o Almajesto.
Quer saber mais, consulte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa2c.htmlhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm
No triângulo retângulo temos:
h – hipotenusa
α
co – cateto oposto ao ângulo α
ca – cateto adjacente ao ângulo α
Definições:
Seno = medida do cateto oposto medida da hipotenusa
Cosseno = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa
Tangente = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente
Essas razões são chamadasRazões Trigonométricas!
Exercício 1:
Considere o triângulo retângulo representado na figura ao lado.
Determine as razões trigonométricas do ângulo x.
Atenção! As razões trigonométricas são sen x, cos x e tg x.
Resolução do exercício 1:Seno = medida do cateto oposto medida da hipotenusa
Cosseno = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa
Tangente = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente
Logo,
sen x = co = 3 = 0,6 h 5cos x = ca = 4 = 0,8 h 5
tg x = co = 3 = 0,75 ca 4
Observe que,
sen x = co => h.sen x = co h
tg x = co = h.sen x => tg x = sen x ca h.cos x cos x
cos x = ca => h.cos x = ca h
Exercício 2:
A figura ao lado representa um triângulo retângulo.
Determine o seno do ângulo a.
Que medidas usamos para calcular o seno de um ângulo?
Como podemos calcular a medida que falta?
Resolução do exercício 2:
Para determinarmos o seno, precisamos da medida do cateto oposto. Usaremos o Teorema de Pitágoras para calcular esta medida.
5,10
25,110
25,110
10025,210
25,210100
5,1410
2
2
2
222
x
x
x
x
x
x
x
Assim, sen a = co = 10,5 = 0,72 (aproximadamente) h 14,5
Exercício 3:
Em relação a figura ao lado, que representa um triângulo retângulo, sabe-se que tg b = 2 e sen b = 0,9.
Determine o cosseno do ângulo b.
Qual a razão trigonométrica que determina o valor da tangente de um ângulo, sabendo o seno do ângulo?
Resolução do exercício 3:
Sabemos que tg b = sen b cos b
Como tg b = 2 e sen b = 0,9 podemos escrever:
2 = 0,9 e resolver a equação. cos b
2.cos b = 0,9cos b = 0,9 = 0,45 2
Fácil, não? Mas precisa treinar...
Para casa: Fazer os exercícios da página 222 do livro e TCA 38, números 1 e 2.
Vamos agora a outro exemplo. Imaginem um avião levantando vôo...
5 Km
Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...
10 Km
5 Km
8 Km
Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...
10 Km
16 Km
5 Km
8 Km
10 Km
Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...
10 Km
16 Km
5 Km
8 Km
10 Km
10 Km
16 Km
20 Km
Você consegue perceber alguma relação entre a distância do avião ao solo e a distância percorrida?
Por semelhança de triângulos notamos que:
2
1...
20
10
16
8
10
5 5,0
2
1k
k é a razão de semelhança, que nesse caso é 0,5.
E entre a distância do ponto de decolagem até a sombra avião no solo e a distância percorrida?
Por semelhança de triângulos notamos que:
2
3...
20
310
16
38
10
35 87,0
2
...732,1
2
3k
k é a razão de semelhança, que nesse caso é, aproximadamente, 0,87.
5 Km
8 Km
10 Km
10 Km
16 Km
20 Km
km35
km38
km310
Voltando ao exemplo do avião...Será que podemos descobrir qual o ângulo do avião em relação ao solo no momento da decolagem?
hipotenusa
α
catetooposto aoângulo α
5,0
5,020
10
sen
hipotenusa
opostocatetoseno
5 Km
8 Km
10 Km
10 Km
16 Km
20 Km
Você consegue perceber alguma relação entre a distância do avião ao solo e a distância percorrida?
Por semelhança de triângulos notamos que:
2
1...
20
10
16
8
10
5 5,0
2
1k
k é a razão de semelhança, que nesse caso é 0,5.