introductory notes to game theory

Introduzione alla Teoria dei giochi e aimodelli di oligopolio

Pietro GaribaldiMarta Bruschi

28 giugno 2014

Indice

1 Gioco in forma strategica 2

1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Gioco con strategie finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Gioco con strategie infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Strategie dominanti forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Dilemma sociale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Strategie dominanti deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Equilibrio di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Equilibrio di Nash con strategie finite . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2 Equilibrio di Nash con strategie infinite . . . . . . . . . . . . 17

2 Oligopolio e mercati concentrati 21

2.1 Modello di Cournot: competizione sulle quantita . . . . . . . . . . . 21

2.2 Modelli di Bertrand: competizione sui prezzi . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Modello di Bertrand con prodotti di↵erenziati . . . . . . . . . . . . 28

3 Gioco in forma estensiva 31

3.1 Rappresentazione ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Rappresentazione in forma strategica di un gioco dinamico . . . . . 34

3.3 Sottogiochi e “subgame perfect equilibrium” . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 “Backward Induction” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.1 Multipli SPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 SPE e strategie infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Deterrenza all’entrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Strategie Miste 52

1

2 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA

Capitolo 1

Gioco in forma strategica

Fino a questo punto del corso di microeconomia abbiamo assunto che gli agentieconomici (consumatori, imprese concorrenziali o monopolistiche) sono razionali,ma prendono decisioni in modo isolato dal contesto. Ovvero, nel prendere ledecisioni, gli individui ignorano il comportamento degli altri agenti.In altre parole l’analisi microeconomica condotta fin’ora trascura due aspettifondamentali:

1. L’agente economico, per quanto razionale, e un animale sociale. Quindivive di interazioni.

2. Le decisioni di ciascun agente dipendono dalle decisioni degli altri agenti;ovvero vi un’interazione strategica tra gli individui.

La teoria dei giochi studia il comportamento individuale in ambienti sociali incui le azioni di ciascun individuo influenzano gli altri.Questo strumento di analisi puo essere usato per studiare non solo il sistemaeconomico, ma anche altri ambienti sociali: per esempio la famiglia, la scuola, lerelazioni internazionali tra gli Stati.

E possibile definire un gioco come uno scambio sociale con regole prestabilite.Tre sono gli elementi essenziali che costituiscono un gioco:

1. giocatori : agenti razionali;

2. strategie : scelte dei giocatori;

3. pay-o↵ : utilita dei giocatori.

Esempio 1:

1.1. DEFINIZIONI 3

Immaginiamo che i manager di due imprese, una manifattura e un’agenzia dimarketing, debbano decidere se formare una partnership oppure no. Il valorecongiunto totale delle due imprese sarebbe di 1, 000, 000 euro.I due amministratori delegati possono scegliere tra due strategie : negoziaredirettamente con il management dell’altra azienda o a�dare la negoziazione adun avvocato.Se negoziano direttamente non devono sostenere alcuna spesa; mentre seassumono un avvocato lo devono pagare 50, 000 euro, ma possono aumentare ilricavo derivante dalla partnership di 100, 000 euro, a danno della controparte.Quindi possiamo definire i pay-o↵ di ciascun manager come segue:

• 10002 = 500 : se entrambi negoziano direttamente;

• 600� 50 = 550 : se il manager assume un avvocato, ma la contropartenegozia direttamente;

• 500� 100 = 400 : se il manager negozia direttamente, ma la controparteassume un avvocato;

• 500� 50 = 450 : se entrambi i manager assumono un avvocato.

N.B. I pay-o↵ non rappresentano necessariamente i profitti delle imprese, ma

descrivono l’utilita che gli agenti traggono dal verificarsi di una certa

combinazione di strategie. In questo esempio specifico, l’utilita coincide con il

profitto delle imprese, perche l’obiettivo dei manager nel decidere le modalita con

cui contrattare le condizioni della partnership, e ricavare il maggior profitto

possibile per la propria impresa.

E possibile e utile rappresentare questo tipo di gioco, in cui ci sono solo duegiocatori, che decidono simultaneamente, con la tabella sottostante:

CEO MKTdirettamente avvocato

CEO INDdirettamente 500; 500 400; 500

avvocato 550; 400 450; 450

1.1 Definizioni

Un gioco in forma strategica e definito da tre componenti:

1. giocatori;


2. insieme di strategie;

3. pay-o↵ di ciascun giocatore.

Definiamo:

• I l’insieme di tutti i giocatori;

• N il numero dei giocatori o #(I);

• k 2 I il giocatore k-esimo;

• X

k

insieme delle strategie disponibili al giocatore k-esimo;

• x

k

2 X

k

una strategia disponibile al giocatore k-esimo;

Esempio:

• I= { CEO MKT. ; CEO IND.}

• N = 2

• X

IND

= {negoziare direttamente; avvocato}

• X

MKT

= {negoziare direttamente; avvocato}

Definiamo:

• x = (x1, x2, ..., xn

) profilo di strategie, che specifica per ogni giocatorek-esimo, appartenente all’insieme dei giocatori I, una strategia disponibilea k.

• X =Q

n

k=1 X (prodotto cartesiano di tutti gli X

k

) l’insieme di tutte lepossibili combinazioni di strategie di tutti i giocatori.

• x�i

= (x1, x2, ..., xi�1, xi+1, ..., xn

) un profilo di strategie di tutti i giocatoridiversi da i;

• X�i

=Q

j 6=i

X

j

l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie ditutti i giocatori diversi da i,

• x�i

2 X�i

un profilo di strategie di tutti i giocatori diversi da i.

Esempio:

• x

IND

= negoziare direttamente

• x

MKT

= x�IND

= negoziare direttamente

1.2. GIOCO CON STRATEGIE FINITE 5

• x = (xIND

, x

MKT

) = (xIND

, x�IND

) = (negoziare direttamente, negoziaredirettamente)

• X = X

IND

x X

MKT

= { (negoziare direttamente, negoziare direttamente),(negoziare direttamente, avvocato), (avvocato, negoziare direttamente),(avvocato, avvocato)}

N.B. Quindi un profilo di strategie x puo essere definito in due modi equivalenti:(x1, x2, ...xi

, ....x

n

) oppure (xi

,x�i

)

Definiamo pay-o↵ di ogni giocatore una funzione che associa a ciascun profilostrategico un numero reale:

U

i

: X �! R

I pay-o↵ (o funzioni di utilita) di ciascun giocatore dipendono dalle strategiescelte da tutti gli altri giocatori e rappresentano le preferenze del giocatore.

Formalmente: U

i

(x) > U

i

(x0) () il risultato che deriva dal profilo di stategie x

e preferito al risultato derivante dal profilo x0.

Esempio:

• U

IND

(negoziare direttamente; negoziare direttamente) = 500

• U

IND

(negoziare direttamente; avvocato) = 400

• 500 > 400 () (negoziare direttamente; negoziare direttamente) �(negoziare direttamente; avvocato)

1.2 Gioco con strategie finite

Come anticipato nell’esempio della sezione (1.1), nel caso particolare in cui#(I) = 2 e ogni giocatore ha un numero finito di strategie tra cui scegliere (X haun numero finito di elementi), la funzione pay-o↵ puo essere rappresentata permezzo di una matrice. In questa matrice ogni riga corrisponde a una dellestrategie disponibili al giocatore 1 e ogni colonna a una delle strategie disponibilial giocatore 2. In ogni riquadro della matrice sono inseriti due valori: il pay-o↵del giocatore 1 (a sinistra) e il pay-o↵ del giocatore 2 (a destra). Generalizzando,i pay-o↵ nel riquadro della matrice all’incrocio tra riga m e colonna n saranno:U1(m, n), U2(m, n), cioe saranno i pay-o↵ dei giocatori quando il giocatore 1sceglie la strategia m e il giocatore 2 sceglie la strategia n.


GIOC-21 .... m .... n

GIOC-1

1 U1(1, 1);U2(1, 1) .... U1(1, m);U2(1, m) .... U1(1, n);U2(1, n)... U1(..., 1);U2(..., 1) .... U1(..., m);U2(..., m) ..... U1(..., n);U2(..., n)

m U1(m, 1);U2(m, 1) .... U1(m, m);U2(m, m) ..... U1(m, n);U2(m, n)

... U1(..., 1);U2(..., 1) ... U1(..., m);U2(..., m) ....U1(..., n);U2(..., n)n U1(n, 1);U2(n, 1) .... U1(n, m);U2(n, m) .... U1(n, n);U2(n, n)

1.3 Gioco con strategie infinite

Fino a questo punto abbiamo assunto che i giocatori abbiano un numero finito distrategie tra cui scegliere. Tuttavia ci sono situazioni che e meglio rappresentareimmaginando che i giocatori possano scegliere tra un numero infinito si strategieo, piu precisamente, assumendo che i giocatori possano scegliere un valoreall’interno di un intervallo continuo di numeri reali.

Esempio 2:

Due direttori dell’area marketing di una azienda, Ann e Beth, competono per lapromozione. Questi hanno un curriculum molto simile, ma l’uno dirige l’areamarketing del dipartimento nella regione settentrionale del paese e l’altraresponsabile del marketing del dipartimento nella regione meridionale.Quindi lo scatto di carriera sara aggiudicato a chi conseguira i migliori risultatinel corso dell’anno.La scelta strategica che A. e B. devono prendere consiste nel budget da spendereper la campagna promozionale. I loro pay-o↵ sono costituiti dal ricavocomplessivo del proprio dipartimento al netto delle spese per la pubblicita e inrelazione ai ricavi dell’altro dipartimento.In questo caso e possibile rappresentare le strategie e i pay-o↵ come numeri realiall’interno di un intervallo:

• X

i

= [0, M ] , con i = {A, B} e M 2 R

• X = [0, M ] x [0, M ] ,

• U

i

: [0, M ] x [0, M ] �! R

N.B. Nei giochi in forma strategica i giocatori scelgono simultaneamente. Inoltre,fino a questo momento e per il resto di questo corso, abbiamo assunto eassumeremo che tutti i giocatori sanno il valore esatto dei pay-o↵ di tutti igiocatori.In teoria dei giochi si dice che i pay-o↵ vengono considerati commonknowledge. Nella realta questa assunzione non e mai completamente

1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI 7

soddisfatta. Per studiare situazioni con informazione incompleta bisognerebbedescrivere non solo le preferenze di ogni giocatore, ma anche cosa ogni giocatorepensa circa i pay-o↵ degli altri e cosa pensa che gli altri pensino rispetto alproprio pay-o↵. Questo procedimento e complesso e lo a↵ronterete a livelli piuavanzati del vostro percorso di studi.Tuttavia ci sono situazioni che possono essere ben approssimate da unarappresentazione con informazione completa. Per esempio nel caso dei duemanager in competizione tra loro: infatti questi condividono lo stesso obiettivo,posseggono le stesse competenze e hanno accesso allo stesso tipo di informazionicirca le caratteristiche del prodotto che vendono e del mercato che ognunoa↵ronta. Quindi e realistico assumere che ognuno dei due sia in grado diapprossimare molto bene il valore dei pay-o↵ altrui.

1.4 Strategie dominanti forti

I pay-o↵ di ciascun giocatore dipendono dalle scelte di tutti gli altri giocatori.Tuttavia, in alcune circostanze, il giocatore i-esimo puo essere in condizione difare il seguente ragionamento: “Qualunque cosa scelgano gli altri giocatori, lastrategia x

i

e strettamente preferibile a qualunque altra strategia x

0i

a medisponibile. ”

Esempio 3:

• I= {1,2}

• X1= { Top, Bottom }

• X2= { Left, Right }

2L R

1T 3; 3 1; 2B 2; 0 0; 0

Top e una strategia dominante forte per 1 perche:

• U1(T, L) > U1(B, L) (i.e. 3 > 2)

• U1 (T, R) > U1(B, R) (i.e. 1 > 0)

Left NON e una strategia dominante forte per 2, perche:


• U2 (T, L)> U2 (T, R) (i.e. 3 > 2)

• U2 (B, L) = U2 (B, R) (i.e. 0 = 0)

Definizione:

Una strategia x

i

2 X

i

e detta strategia dominante forte se 8x0i

6= x

i

e 8x�i

2 X�i

,8j 6= i vale la seguente disuguaglianza:

U

i

(xi

,x�i

) > U

i

(x0i

,x�i

)

Definizione:

Se CIASCUN giocatore ha una strategia dominante forte, la combinazione diqueste strategie e chiamata soluzione del gioco con strategie dominantiforti.

Questo tipo di soluzione e la piu robusta possibile in teoria dei giochi, percherichiede il minor numero di assunzioni circa il comportamento dei giocatori.Infatti e su�ciente ipotizzare che ogni giocatore faccia il meglio dal suo punto divista. Mentre non e necessaria alcuna assunzione circa il comportamento deglialtri giocatori: la razionalita del comportamento degli altri giocatori e lacorrettezza delle aspettative circa le loro scelte, dal punto di vista di ciascungiocatore, non ha alcun e↵etto su quale strategia sia ottimale: la strategiaottimale e la strategia dominante forte.

N.B. La soluzione del gioco va sempre espressa in termini di profilo di strategiex = (x

i

,x�i

) e non di pay-o↵ U= (Ui

(xi

,x�i

) , U�i

(xi

,x�i

)), perche la soluzionee sempre un profilo di strategie a cui sono associati dei pay-o↵.

1.4.1 Dilemma sociale

Esempio 4:Due studenti, che condividono un appartamento, devono decidere se collaborarenel pulire la cucina oppure non collaborare e non pulire.

• I = {studente-1, studente-2}

• X

i

= {Cooperare, Non Cooperare} , i = {1, 2}

2C NC

1C 2; 2 0; 3

NC 3; 0 1; 1

1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI 9

• Per lo studente-1 Non Cooperare e una strategia dominante forte : U1 (NC,C) > U1 (C, C) (i.e 3 > 2) e U1(NC, NC)> U1(C, NC) (i.e. 1 > 0)

• Per lo studente-2 Non Cooperare e una strategia dominante forte:U2(C, NC) > U2(C, C) (i.e. 3 > 2) e U2 (NC, NC) > U2 (NC, C) (i.e. 1 > 0)

Quindi entrambi gli studenti non puliscono la cucina. Questo risultato e lasoluzione ottimale dal punto di vista individuale, anche se e sub-ottimale dalpunto di vista sociale, perche gli studenti vivranno in una cucina sporca, mentrepreferirebbero una cucina pulita.Infatti: U1 (C, C) > U1 (NC, NC) e U2 (C, C) > U2 (NC, NC). (i.e. 2 > 1)

Esempio 5: “Dilemma del prigioniero”

Il dilemma sociale viene anche chiamato dilemma del prigioniero, perche furappresentato per la prima volta con il seguente esempio.Due delinquenti vengono catturati dalla polizia, che ha un numero di provesu�ciente per incriminarli e condannarli ad una pena di 1 un anno di reclusione.Se uno dei due confessa potra godere di uno sconto di pena per aver collaboratocon la giustizia ed essere subito rilasciato, ma le informazioni fornitepermetterebbero di condannare il complice a cinque anni di reclusione.Se entrambi confessano, entrambi verranno condannati a cinque anni didetenzione, ma, per aver collaborato, gli sara concesso uno sconto di due annisulla pena e quindi rimarranno in carcere solo 3 anni.

In sintesi:

• I = {delinquente-1, delinquente-2}

• X

i

= {Confessare, Non Confessare} , i = { 1, 2}

2NC C

1NC -1; -1 -5; 0C 0; -5 -3; -3

Come nel caso precedente per entrambi i giocatori Confessare e la strategiadominante forte ( 0 > �1 e �3 > �5). Cosı facendo pero si condannano a 3 annidi reclusione, mentre se avessero collaborato e taciuto avrebbero scontato solo unanno di galera.

La contraddizione tra cio che e ottimale dal punto di vista individuale e cio che eottimale dal punto di vista collettivo costituisce un dilemma sociale. Questa


contraddizione e insuperabile nei giochi in forma strategica, poiche gli agenti nonhanno modo di coordinarsi. Si tratta della cosiddetta trappola della strategiadominante.Tuttavia nella realta spesso si possono osservare soluzioni cooperative, diverse daquelle rappresentate negli esempi precedenti. Ovvero, gli agenti economici spessevolte sono in grado di raggiungere la soluzione che massimizza i pay-o↵ totali(pareto e�ciente).Ad una prima analisi si potrebbe pensare che il modello sbagli nel modellare lepreferenze dei giocatori, i quali in realta non agiscono in modo esclusivamenteegoista, ma posseggono un lato altruista che li porta a tutelare il bene comune.Questa obiezione e discutibile e implicherebbe un cambiamento delle funzioni dipay-o↵.Esiste anche un’altra risposta, che non richiede di rinunciare all’ipotesi dicomportamento egoista da parte di tutti gli individui.Infatti si noti che i giochi fin qui rappresentati prevedono che i giocatoriinteragiscono una sola volta e le loro scelte, una volta fatte, non possano piuessere cambiate.Questa assunzione e molto restrittiva, in quanto in situazioni reali gli agentiinteragiscono ripetutamente nel tempo, cioe il gioco viene replicato piu e piuvolte.La rappresentazione dei giochi in forma ripetuta e su�ciente a superare latrappola della strategia dominante, perche permette ai giocatori di mettere inatto strategie cooperative, ma coerenti con la natura egoista del loro agire.Vedremo esempi di questa tipologia di giochi in seguito.

1.5 Strategie dominanti deboli

Ci sono situazioni in cui un giocatore non ha una strategia che gli garantisce unpay-o↵ strettamente maggiore rispetto a quello prodotto da tutte le altrestrategie, a prescindere dalle scelte degli altri giocatori. Tuttavia e ancorapossibile individuare una strategia disponibile al giocatore che produca un pay-o↵maggiore o uguale a quello prodotto da ogni altra. Infatti, per alcune strategiedisponibili agli altri giocatori, tale strategia produrra un’utilita equivalente aquella prodotta da strategie diverse; mentre per almeno un profilo di strategiedegli altri giocatori tale strategia produrra un’utilita strettamente maggiore.Questa strategia e detta dominante debole.

Definizione formale

x

i

2 X

i

, i 2 I e detta strategia dominante debole se 8x0i

6= x

i

2 X

i

,8j 6= i

vale:

1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI 11

U

i

(xi

,x�i

) � U

i

(x0i

,x�i

) e 9 bx�i

2 X�i

8j 6= i tale che U

i

(xi

,

bx�i)> U

i

(x0i

,

bx�i)

Esempio 6:

• I = {1, 2}

• X1 = {T, B}, X2 = {L, R}

2L R

1T 3; 3 1; 2B 2; 0 0; 0

• L dominante debole per il giocatore 2:

– U2(T, L) > U2(T,R), (i.e.3 > 2)

– U2(B, L) = U2(B, R), (i.e.0 = 0)

• T per 1 e dominante forte:

– U1(T, L) > U1(B, L), (i.e.3 > 2)

– U1(T,R) > U1(B, R), (i.e.1 > 0)

That is:

• Per il giocatore-1 sia che x1 = T o x1 = B =) L ⌫ R,poiche se x1 = T =) L � R mentre se x1 = B =) L ⇠ R.

• Per il giocatore-2 sia se x2 = L o x2 = B =) T � B.

Esempio 7:

• I = {1, 2}

• X1 = {T, M, B}, X1 = {L, R}

2L R

1T 1; 1 1; 1M 1; 0 0; 1B 0; 1 1; 0


• Per il giocatore-1 T e dominante debole:

U1(T, L)

(= U1(M, L)

> U1(B, L)

U1(T,R)

(> U1(M, R)

= U1(B, R)

N.B. Il giocatore-2 e indi↵erente tra L e R!

DefinizioneSe ciascun giocatore ha una strategia dominante debole, il profilo di strategiecomposto dalle strategie dominanti deboli di tutti i giocatori e la soluzione delgioco. Tale soluzione e chiamata soluzione in strategie dominanti deboli.

Esempio 8: Asta al secondo prezzoImmaginiamo un’asta in cui il banditore mette in palio un quadro al miglioro↵erente.

Regole dell’asta:

• Ogni giocatore deve scrivere su un foglio la propria o↵erta;

• vince chi fa l’o↵erta piu alta;

• il vincitore paghera un prezzo pari alla seconda o↵erta piu elevata;

• se ci sono due o piu o↵erte massime identiche, si tira a sorte il vincitore.

N.B. Nessuna regola formale vieta ai giocatori di fare un’o↵erta diversa rispettoal vero valore che, in cuor loro, attribuiscono al quadro.L’utilita di ciascun giocatore dipende dal valore che attribuisce all’oggetto, dallapropria o↵erta e dalle o↵erte di tutti gli altri partecipanti all’asta.

Esempio:Giocatori={A, B, C}, fanno le seguenti o↵erte:

A B COFFERTA 100 80 90

Vince il giocatore A, ma paga 90.

Notazione:

1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI 13

• n numero di partecipanti all’asta

• k + 1 numero di o↵erte massime uguali, cioe numero di giocatori che sicontendono il premio.

• v

i

valore che il giocatore i-esimo attribuisce al quadro;

• b

i

� 0 o↵erta del giocatore i-esimo;

• r prezzo e↵ettivamente pagato dal giocatore che vince l’asta;

Pay-o↵:

U

i

(b1

, b

2

, ..., b

i

, .., b

n

) =

(0, 9j 6= i t.c. b

j

> b

i

vi�r

k+1

, b

i

� b

j

, 8 j 6= i

Tesi:

b

i

= v

i

e una strategia dominante debole.Ovvero e ottimale dire la verita sul valore che si assegna al bene.

Dimostrazione:Lo dimostriamo verificando che non esistono alternative migliori, qualunquesiano le o↵erte degli altri giocatori.

1. r < v

i

8>>>>>><

>>>>>>:

b

i

> v

i

�! U

i

= v

i

� r

bi = vi �! Ui = vi � r

r < b

i

< v

i

�! U

i

= v

i

� r

b

i

= r �! U

i

= vi�r

k+1 < v

i

� r

b

i

< r �! U

i

= 0

2. r = v

i

8><

>:

b

i

> v

i

= r �! U

i

= v

i

� r = r � r = 0

bi = vi = r �! Ui = vi�rk+1 = r�r

k+1 = 0

b

i

< v

i

= r �! U

i

= 0

3. v

i

< r

8>>><

>>>:

b

i

> v

i

�! U

i

= (vi

� r) < 0

bi = vi < r �! Ui = 0bi = r �! Ui = vi�rk+1 < 0

b

i

< v

i

< r �! U

i

= 0

v

i

< b

i

< r �! U

i

= 0


1.6 Equilibrio di Nash

1.6.1 Equilibrio di Nash con strategie finite

Esempio 9: “La battaglia dei sessi”

Immaginiamo una coppia di fidanzati che devono decidere come passare il sabatopomeriggio. Sara vorrebbe andare al cinema, mentre Marco preferisce andare allostadio. La cosa piu importante pero e stare insieme. Quindi per Sara il pay-o↵piu alto e dato dall’andare insieme al cinema; mentre per Marco il pay-o↵ piualto e dato dall’andare insieme allo stadio. Tuttavia entrambi preferisconorinunciare al proprio passatempo preferito, pur di stare con il partner.

Schematicamente:

• I= {Sara, Marco};

• X

sara

= {Stadio, Cinema} ; X

marco

= {Stadio, Cinema}

MarcoCINEMA STADIO

SaraCINEMA 2; 1 0; 0STADIO 0; 0 1; 2

N.B. In questo gioco ci sono due soluzioni: (CINEMA, CINEMA) e (STADIO,STADIO). Infatti, se Sara va al cinema, per Marco la scelta migliore e andare alcinema con lei; mentre se Marco va allo stadio, per Sara la scelta migliore eaccompagnarlo allo stadio.

Definizione:

Dato x�i=(x1, ..., xi�1, xi+1, ...xn

), un profilo di strategie di tutti i giocatoridiversi dall’i-esimo e x

⇤i

2 X

i

, una strategia disponibile al giocatore i-esimo.x

⇤i

si definisce miglior risposta dato x�i se non esiste una strategia x

i

2 X

i

cheda al giocatore i-esimo un pay-o↵ piu alto: U

i

(x⇤i

,x�i

) � U

i

(xi

,x�i

), 8xi

2 X

i

Definizione:

x⇤ = (x⇤1, ..., x⇤i

, ...x

⇤n

) si definisce equilibrio di Nash se per ogni giocatore i 2 I

la strategia x

⇤i

e una miglior risposta al profilo di strategia x⇤�i di tutti gli altrigiocatori. In altre parole, x

⇤i

e la miglior risposta alle migliori risposte di tutti glialtri giocatori.In modo formale:x⇤ e N.E. se 8i 2 I, U

i

(x⇤i

,x⇤�i

) � U

i

(xi

,x⇤�i

), 8xi

2 X

i

1.6. EQUILIBRIO DI NASH 15

Si puo dire che un profilo di strategie e un equilibrio se nessun giocatore hainteresse a deviare unilateralmente, ovvero nessun giocatore puo aumentare ilproprio pay-o↵ scegliendo una strategia diversa da x

⇤i

quando tutti gli altriscelgono il profilo di strategie x⇤�i.

N.B.(1) Il concetto di equilibrio di Nash e piu ampio e richiede meno assunzionirispetto alle soluzioni che abbiamo studiato in precedenza. Infatti: sia lesoluzioni in strategie dominanti forti, sia le soluzioni in strategie deboli sonoequilibri di Nash.Esempio:

1)Il dilemma del prigioniero ha una soluzione in strategie dominanti forti datadal profilo di strategie (Confessare, Confessare) e tale soluzione e un equilibrio diNash.

2NC C

1NC -1; -1 -5; 0C 0; -5 -3; -3

2)Nell’asta al secondo prezzo, la soluzione in strategie dominanti deboli, data dalprofilo di strategie {b

i

= v

i

, 8i}, e un equilibrio di Nash.

N.B.(2) Ci possono essere piu equilibri di Nash all’interno dello stesso giocostrategico, cioe piu soluzioni possono coesistere contemporaneamente.Esempio:

La battaglia dei sessi e un tipico esempio di gioco con soluzioni multiple instrategie dominanti deboli.

MarcoCINEMA STADIO

SaraCINEMA 2; 1 0; 0STADIO 0; 0 1; 2

Esempio 10: “Divisione di un tesoro”Il capo di una tribu trova un cofanetto contenente 4 monete d’oro. Due famigliedella tribu sostengono di esserne proprietarie. Per risolvere la disputa il capotribu decide che i membri delle due famiglie dovranno simultaneamente eseparatamente dire al capo tribu quante delle monete contenute nel cofanettovogliono tenere per se.


Se complessivamente le richieste non sono maggiori di 4 monete, ogni famigliaricevera quanto richiesto e il capo tribu terra per se stesso il resto. Invece se lerichieste complessivamente superano le 4 monete, il capo tribu terra tutte lemonete per se.

Studiamo il possibile comportamento delle famiglie per mezzo di un gioco informa strategica:

• I = {famiglia A, famiglia B }

• X = XA

x XB

= {0, 1, 2, 3, 4} x {0, 1, 2, 3, 4}

B0 1 2 3 4

A

0 0;0 0;1 0;2 0;3 0;41 1;0 1;1 1;2 1;3 0;02 2;0 2;1 2;2 0;0 0;03 3;0 3;1 0;0 0;0 0;04 4;0 0;0 0;0 0;0 0;0

Quanti equilibri di Nash ci sono? 6!

Gli equilibri di Nash in questo gioco sono:

8>>>>>>>><

>>>>>>>>:

x1=(xA

= 0, xB

= 4);

x2=(xA

= 1, xB

= 3);

x3=(xA

= 2, xB

= 2);

x4=(xA

= 3, xB

= 1);

x5=(xA

= 4, xB

= 0);

x6=(xA

= 4, xB

= 4).

N.B.(3) Una soluzione e sempre un equilibrio di Nash, ma non vale il viceversa.Ovvero, a�nche un profilo di strategie possa essere una soluzione di un gioco,deve essere un equilibrio di Nash, pero non tutti gli equilibri di Nash sono anchesoluzioni di un gioco. Infatti studiando i giochi dinamici si vedra che certiequilibri di Nash sarebbero soluzioni improbabili.

REGOLA PRATICA PER TROVARE UN EQUILIBRIO DI NASH.(In un gioco in forma strategica, con strategie finite e con duegiocatori).

Cominciamo, per convenzione dal giocatore in riga:

1.6. EQUILIBRIO DI NASH 17

1. Per il giocatore in riga, prendere in considerazione ad una ad una tutte lestrategie del giocatore in colonna e porsi la seguente domanda: “Se ilgiocatore in colonna sceglie la strategia x

c

giocatoreincolonna

, quale strategiadeve scegliere il giocatore in riga per ottenere il pay-o↵ piu alto possibile?”In pratica: cercare per ogni colonna le celle con il pay-o↵ piu alto. Quindisottolineare il contenuto della cella.

2. Per il giocatore in colonna, prendere in considerazione ad una ad una tuttele strategie del giocatore in riga e porsi la seguente domanda: “Se ilgiocatore in riga sceglie la strategia x

r

giocatoreinriga

, quale strategia devescegliere il giocatore in colonna per ottenere il pay-o↵ piu alto possibile?”In pratica: cercare per ogni riga le celle con il pay-o↵ piu alto. Quindisottolineare il contenuto della cella

3. Ogni cella in cui entrambi i valori sono sottolineati riporta ad una coppia distrategie che costituisce un equilibrio di Nash. Ovvero ciascuna strategiadella coppia e la miglior risposta che il giocatore puo scegliere, data lastrategia scelta dall’altro giocatore.

Inserire esercizi?

1.6.2 Equilibrio di Nash con strategie infinite

Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, ci sono situazioni che e opportunorappresentare per mezzo di strategie continue. In questo caso il procedimento checi porta ad individuare gli equilibri di Nash e diverso da quanto visto fin’ora.

Esempio 11:

Immaginiamo uno studio legale in cui lavorino due avvocati. I profitti dellostudio dipendono dall’impegno congiunto di entrambi i partner nel lavoro.Quindi la funzione dei profitti puo essere rappresentata nel modo seguente:

⇧(x1, x2) = 4x1 + 4x2 + x1x2

I due avvocati dividono esattamente a meta i profitti dello studio. Ciascunavvocato, non solo trae un guadagno crescente all’aumentare dei profitti, maa↵ronta anche un costo che cresce all’aumentare degli sforzi impiegati nel lavoro.Ovvero, tante piu ore lavorate e un maggior numero di clienti produconomaggiori ricavi, ma aumentano lo stress e la fatica e riducono il numero di oreche una persona puo dedicare ai propri hobby e agli a↵etti. Ogni ora in piulavorata ha un costo via via piu elevato.

La funzione di costo puo essere rappresentata nel modo seguente:

C(xi

) = x

2i

, i 2 {1, 2}


• I = { avvocato-1, avvocato-2}

• X1 = X2 = I ✓ R

Pay-o↵:

U

i

(xi

, x

j

) =1

2⇧(x

i

, x

j

)� C(xi

)

=1

2(4x

i

+ 4xj

+ x

i

x

j

)� x

2i

= 2xi

+ 2xj

+1

2x

i

x

j

� x

2i

i 2 {1, 2}, j 6= i

Per trovare l’equilibrio di Nash dobbiamo porci la seguente domanda: “qual’e laquantita di lavoro, x

i

, che l’avvocato i-esimo deve scegliere permassimizzare la sua utilita, data la scelta del partner, x

j

?” Ovverodobbiamo trovare la funzione di reazione del giocatore i-esimo.

Soluzione formale:

A livello formale possiamo scrivere la funzione di reazione come:

x

⇤i

(xj

) = argmax U

i

(xi

, x

j

), dato x

j

E si ricava risolvendo il seguente problema di ottimizzazione:

max U

i

(xi

, x

j

)x

i

dato x

j

F.O.C.

@U

i

(xi

, x

j

)

@x

i

= 0

2 + 12xj

� 2xi

= 02x

i

= 2 + 12xj

x

⇤i

(xj

) = 1 +1

4x

j

Allo stesso modo possiamo trovare x

⇤j

(xi

).

L’equilibrio di Nash e costituito dalla coppia (x⇤i

, x

⇤j

), che troviamo risolvendo ilsistema:

(x

⇤i

(x⇤j

) = 1 + 14x⇤j

x

⇤j

(x⇤i

) = 1 + 14x⇤i

(x

⇤i

= 1 + 14(1 + 1

4xi

)

...

N.E. =

(x

⇤i

= 43

x

⇤j

= 1 + 14(

43) = 4

3

Soluzione Grafica:Per ogni dato valore di x

j

, U

j

= 2xi

+ 2xj

+ 12xi

x

j

� x

2i

e una parabola in x

i

:

Figura 1.1: Massimizzazione dell’utilita dell’i-esimo giocatore, per diversi valori di x

j

:

rappresentazione grafica

Le funzioni di reazione (o “best reply functions”), ricavate dal problema dimassimizzazione, possono essere rappresentate come segue:L’equilibrio di Nash e costituito dalla coppia (x⇤

i

, x

⇤j

), che troviamo incorrispondenza dell’intersezione tra le due rette:

19


Figura 1.2: Funzione di reazione: rappresentazione grafica

Figura 1.3: Intersezione delle due funzioni di reazione: soluzione grafica del gioco

21

Capitolo 2

Oligopolio e mercati concentrati

Una delle applicazioni piu interessanti di teoria dei giochi in economia riguardal’analisi del comportamento delle imprese.Quando la produzione e portata avanti da un ridotto numero di imprese ilmercato viene definito oligopolio o mercato concentrato.In alcuni settori le imprese fissano prezzi quasi identici, di conseguenza lacompetizione avviene sulle quantita vendute ai consumatori. Un esempio diconcorrenza sulle quantita e rappresentato dall’industria casearia: il prezzo dellatte fissato dai diversi produttori e molto simile, di conseguenza la competizioneriguarda lo spazio occupato sugli sca↵ali dei supermercati.Viceversa ci sono industrie in cui le unita di prodotto venduto ai consumatorisono fissate e le imprese competono sui prezzi. Per esempio questo accadenell’industria aeronautica: ogni aereo ha un numero prefissato di posti e le diversecompagnie gareggiano sui prezzi per conquistare il maggior numero di clienti.

2.1 Modello di Cournot: competizione sullequantita

Immaginiamo un mercato in cui competono n imprese, le quali producono unbene perfettamente omogeneo. Ogni impresa sostiene un costo marginale c

i

> 0,con i = 1...n. Per semplicita assumiamo costi fissi uguali a zero.La domanda aggregata e rappresentata dalla seguente funzione:

Q =P

i=n

i=1 q

i

= A - P

P il prezzo di mercato, che tutte le imprese prendono come dato.L’obiettivo delle imprese e massimizzare i pay-o↵, che in questo caso coincidonocon i profitti ⇧, scegliendo la quantita ottimale q

⇤i

2 R+

22 CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI

Quindi questo modello appartiene alla categoria dei giochi con strategie infinite.Se q

i

e la strategia dell’i-esima impresa e q�i il profilo di strategie delle altren� 1 imprese, possiamo definire le funzioni dei pay-o↵ come segue:

⇧i

(qi

,q�i

) = Pq

i

� c

i

q

i

= (P � c

i

)qi

= (A�P

i=n

i=1 q

i

� c

i

)qi

N.B. Riscrivendo la funzione della domanda aggregata in funzione di q

i

, si ottieneP = A�

Pi=n

i=1 q

i

.Poiche siamo interessati alle quantita che le imprese scelgono di produrre permassimizzare il loro profitto e il modello consiste in un gioco a strategie infinite,per risolvere il modello dovremo applicare il metodo per trovare la soluzione diun gioco a strategie infinite, che abbiamo studiato nel capitolo precedente.

Cerchiamo le funzioni di reazione:

max ⇧(qi

,q�i

)s.t.q�i

= q⇤�i

F.O.C.

@⇧(qi

,q⇤�i)

@q

i

= �q

i

+ A�i=nX

i=1

q

i

� c

i

= �2qi

+ A�X

j 6=i

q

⇤j

� c

i

= 0

q

⇤i

=1

2(A�

X

j 6=i

q

⇤j

� c

i

)

q

⇤i

=

(12(A�

Pj 6=i

q

⇤j

� c

i

) se A�P

j 6=i

q

⇤j

� c

i

> 0

0 altrimenti

Esempio 12: Competizione sulle quantita con costi asimmetrici.

Ipotesi:

• n = 2

• c1 = 30

• c2 = 50

• A = 130

• q1 =

(12(130� q2 � 30) se (130� q2 � 30) > 0

0 altrimenti

2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITA 23

• q2 =

(12(130� q1 � 50) se (130� q1 � 50) > 0

0 altrimenti

Soluzione analitica:(q1 = 1

2(130� q2 � 30)

q2 = 12(130� q1 � 50)

2q1 = 130� q2 � 30

2q1 = 130� 1

2(130� q1 � 50)� 30

2q1 �1

2q1 = 130� 65 + 25� 30

q

⇤1 = 40

q

⇤2 =

1

2(130� 40� 50) = 20

N.E. =

(q

⇤1 = 40

q

⇤2 = 1

2(130� 40� 50) = 20

Soluzione grafica:

Figura 2.1: Competizione sulle quantita con costi asimmettrici: soluzione grafica


Esempio 13.1: Competizione sulle quantita con costi asimmettrici conn imprese

Generalizziamo il modello a n imprese.

Le funzioni di reazione delle n imprese sono date da:8>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:

q1 = 12(A� (q2 + q3 + ... + q

n

)� c1)

.

.

q

i

= 12(A� (q1 + q2 + q3 + ... + q

i�1 + q

i+1... + q

n

)� c

i

)

.

.

q

n

= 12(A� (q1 + q2 + q3 + ... + q

n�1)� c

n

)

Generalizzando:q

i

= 12(A�

Pj 6=i

q

j

� c

i

)

La domanda aggregata e data da:

(2.1)i=nX

i=1

q

i

=1

2(nA� (n� 1)

i=nX

i=1

q

i

�i=nX

i=1

c

i

)

(2 + n� 1)i=nX

i=1

q

i

= (nA�i=nX

i=1

c

i

)

i=nX

i=1

q

i

=(nA�

Pi=n

i=1 c

i

)

n + 1

Quindi sostituendo nella funzione di reazione delle i-esima impresa otteniamo:

q

i

=1

2(A�

X

j 6=i

q

j

� c

i

)

q

i

=1

2(A� (

j=nX

j=1

q

i

� q

i

)� c

i

)

2qi

� q

i

= A� (nA�P

i=n

i=1 c

i

)

n + 1� c

i

q

i

=(n + 1� n)A +

Pi=n

i=1 c

i

)� (n + 1)ci

n + 1

2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITA 25

q

⇤i

=A +

Pi=n

i=1 c

i

)

n + 1� c

i

Esempio 13.2: Competizione sulle quantita con costi simmettrici con n

imprese

Se c

i

= c 8i = 1..n, allora:

q

⇤i

=A +

Pi=n

i=1 c

i

)

n + 1� c

i

=A + nc� nc� c

n + 1

=A� c

n + 1

8i = 1...n

Quindi potremmo riscrivere la domanda aggregata come:

P = A�Q

= A� nq

⇤

= A� n(A� c

n + 1)

=A

n + 1+

nc

n + 1

Nota che:

1. Le imprese hanno un mark-up, ovvero fanno profitti positivi se:

P> c () A

n+1 + nc

n+1 > c () A > c. (A e il prezzo massimo che iconsumatori sono disposti a pagare).

2. Se il numero di imprese tende a infinito, la quantita prodotta tende a zero eil prezzo di equilibrio di Cournot tende al costo marginale, cioe al prezzo diequilibrio nel modello di concorrenza perfetta:

limn!1

A

n+1 = 0 e limn!1

A

n+1 + nc

n+1 = c, (limn!1 n + 1 ⇡ n)

In pratica il modello di Cournot conferma l’assunzione del modello diconcorrenza perfetta, secondo il quale, in un mercato con un numeromolto elevato di imprese che producono lo stesso bene, ogni singolaimpresa ignora l’e↵etto che la propria produzione ha sul prezzo del benestesso.


2.2 Modelli di Bertrand: competizione suiprezzi

Il modello di base di Bertrand configura un caso estremo di competizione diprezzo e assume che:

• Le imprese producano un bene omogeneo;

• Le imprese siano in grado di produrre qualunque quantita di bene, alprezzo fissato;

• L’impresa che fissa il prezzo piu basso di tutte cattura tutto il mercato;

• Se piu imprese fissano lo stesso presso piu basso, si dividono il mercato inparti uguali;

• Le imprese hanno costi fissi pari a zero e uguali costi marginali: c

i

= c pertutte le n imprese sul mercato.

In modo formale possiamo dire che se Q = A� P e la domanda aggregata e n e ilnumero di imprese nel mercato: A e il prezzo massimo che i consumatori sonodisposti a pagare e P = min{P1, P2, ....Pn

} e il prezzo di mercato.

Quindi ogni imprese dovra scegliere il prezzo, P

i

2 R+, a cui vendere il bene, inmodo da massimizzare il proprio pay-o↵, che coincide con i profitti:

⇧i

=

8><

>:

(Pi

� c)Q = (Pi

� c)(Pi

� A), se P

i

= min{P1, P2, ....Pn

}1k

(Pi

� c)(Pi

� A), se k n imprese fissano P

i

= min{P1, P2, ....Pn

}0, se P

i

> min{P1, P2, ....Pn

}

Soluzione analitica:

Per trovare l’equilibrio di Nash che risolve il modello, procediamo verificando se,per ogni possibile combinazione (P1, P2) esiste una deviazione profittevole peralmeno uno dei due giocatori.

1)P1 6= P2

i) P1 > P2 > c:q1 = 0 ! ⇧1 = 0 e q2 = Q ! ⇧2 = (P2 � c)Q9 P

01tale che c < P

01 < P2 ! ⇧1 > 0.

Quindi P

01 costituisce una deviazione profittevole per 1.

ii) P2 > P1 > c

(Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici).

2.2. MODELLI DI BERTRAND: COMPETIZIONE SUI PREZZI 27

iii) P2 > c � P1:q1 = Q, ma ⇧1 0 e q2 = 0 ! ⇧2 = 09 P

01tale che c < P

01 < P2 ! ⇧1 > 0.

Quindi P


iv) P1 > c � P2


v) c � P1 > P2

q1 = 0 ! ⇧1 = 0 e q2 = Q, ma ⇧2 < 09 P

02 tale che c � c = P

02 > P2 ! ⇧2 = 0.

Quindi P


vi) c � P2 > P1


Nessuna coppia tale che P1 6= P2 costituisce un Equilibrio di Nash esoluzione del modello.

Proviamo ora con:

2) P1 = P2

i) P1 = P2 > A

q1 = q2 = 0 ! ⇧1 = ⇧2 = 09 P

02 e 9 P

01 tali che c < P

01 = P

02 < A ! ⇧2 = ⇧1 > 0.

Quindi P

01 e P

02 costituiscono una deviazione profittevole per 1.

ii) A > P2 = P1 > c

q1 = q2 = 12Q ! ⇧1 = ⇧2 = 1

2(P � c)Q

9 c < P

02 < P1 e 9 c < P

01 < P2 tale che q2 = Q o q1 = Q,

! ⇧2 = (P02 � c)Q o ⇧1 = (P

01 � c)Q

Quindi P

01 e P

02 costituiscono una deviazione profittevole per 1.

iii) P2 = P1 < c

q1 = q2 = 12Q ! ⇧1 = ⇧2 < 0

9 P

02 � c e 9 P

01 � c tale che q2 = 0 o q1 = 0 e ⇧2 = 0 o ⇧1 = 0

Quindi P


iv) P1 = P2 = c

q1 = q2 = 12Q e ⇧1 = ⇧2 = 0

8 P

02 < P1 = c ! ⇧2 < 0 e 8P 0

2 > P1 = c ! ⇧2 = 0 ; lo stesso vale per 1.Quindi non esiste una deviazione profittevole per entrambi i giocatori.

QuindiP1 = P2 = c


e l’equilibrio di Nash e la soluzione del modello.

Nota che:In questo modello la guerra dei prezzi porta al risultato concorrenziale, anche inpresenza di duopolio. Il risultato e generalizzabile a n > 2.Questo risultato e molto diverso dalla soluzione del modello di Cournot, dovetutte le imprese facevano profitti positivi, tendenti a zero solo se il numero diimprese sul mercato tendeva ad infinito. Questa di↵erenza e determinata dallanon continuita del modello di Bertrand: cioe dal fatto che un cambiamentomarginale nel prezzo sposta completamente la domanda da un produttore ad unaltro.Nella realta questo risultato non si verifica quasi mai, perche nella quasi totaliadei casi i beni non sono perfettamente omogenei, come si assume in questomodello. In altre parole, quando un consumatore deve scegliere da che impresaacquistare, non bada solo ed esclusivamente al prezzo, ma a una serie dicaratteristiche del prodotto. Di conseguenza un cambiamento marginale delprezzo non e su�ciente a spostare tutta la domanda di mercato nel mondo reale.Inoltre bisogna tenere presente che in questa specificazione del modello siipotizza che le imprese decidono una volta per tutte e simultaneamente il prezzodel loro prodotto. Anche questa ipotesi e irrealistica. Sara modificata e correttaper mezzo dei giochi ripetuti, che studierete piu avanti lungo il vostro percorso distudi.

2.3 Modello di Bertrand con prodottidi↵erenziati

In questa variazione del modello assumiamo che ci siano due imprese cheproducono due beni simili, ma non perfettamente sostituibili. Ovvero anche seuna delle due imprese fissa un prezzo piu alto dell’altra, non perde tutti iconsumatori.Questa ipotesi e rappresentata dalla domanda per il bene dell’impresa i-esima:

q

i

(P1, P2) = A� P

i

� (Pi

� P )

dove il termine �(Pi

� P ) e la di↵erenza tra prezzo i-esimo e prezzo medio dimercato. Se P

i

> P , la domanda i-esima diminuisce, ma non si azzera.Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi diversiIpotesi:

• n = 2

• P = (P1+P2)2

2.3. MODELLO DI BERTRAND CON PRODOTTI DIFFERENZIATI 29

• q1(P1, P2) = A� P1 � (P1 � P ) = A� P1 � (P1 � P1+P2)2 ) = A� 3

2P1 + 12P2

• q2(P1, P2) = A� P2 � (P2 � P ) = A� P2 � (P2 � P1+P2)2 ) = A� 3

2P2 + 12P1

• c1 < A

• c2 < A

• ⇧1 = (P1 � c1)q1 = (P1 � c1)(A� 32P1 + 1

2P2)

• ⇧2 = (P2 � c2)q2 = (P2 � c2)(A� 32P2 + 1

2P1)

Per trovare l’equilibrio di Nash soluzione del modello, usiamo il procedimentostandard che si applica nei giochi con strategie infinite:

Soluzione analitica:

1) Massimizziamo ⇧i

rispetto a P

i

e dalle F.O.C. ricaviamo le funzioni direazione: (il problema e simmetrico, quindi e su�cienti calcolare una soladerivata parziale).

@⇧

@P

i

= A� 3

2P

i

+1

2P

j

+ (Pi

� c

i

)(�3

2) = 0

F.O.C.

2A� 3Pi

+ P

j

� 3Pi

+ 3ci

= 0

P

⇤i

(Pj

) =1

3A +

1

6P

j

+1

2c

i

2) Risolviamo il sistema:(

P

⇤1 (P2) = 1

3A + 16P2 + 1

2c1

P

⇤2 (P1) = 1

3A + 16P1 + 1

2c2

(P

⇤1 (P2) = 1

3A + 16(

13A + 1

6P1 + 12c2) + 1

2c1

P

⇤2 (P1) = 1

3A + 16P1 + 1

2c2

(P

⇤1 = 2

5A + 1835c1 + 3

35c2

P

⇤2 = 2

5A + 1835c2 + 3

35c1

Soluzione grafica:

Figura 2.2: Concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi diversi: soluzionegrafica

Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi uguali

Se i costi sono uguali: c1 = c2 = c, la soluzione diventa:

P

⇤1 = P

⇤2 =

2

5A +

3

5c

I profitti delle imprese sono positivi? Ovvero le imprese sono in gradodi ottenere un mark-up quando i beni sono di↵erenziati?

P > c () P � c > 0 () 25A + 3

5c� c > 0 () 25(A� c) > 0

Questa disuguaglianza e sempre vera, date le ipotesi del modello. Quindipossiamo concludere che, se n = 2 e i prodotti sono di↵erenziati, le imprese

30

31

fisseranno P > c e otterranno profitti positivi.

Capitolo 3

Gioco in forma estensiva

Nei giochi esaminati fino a questo momento (giochi in forma strategica), igiocatori scelgono le proprie strategie in modo simultaneo e si incontrano unasola volta.Questa tipologia di giochi rende impossibile studiare situazioni in cui gli agentiagiscono in modo sequenziale, ovvero scelgono le proprie azioni uno dopo l’altro epossono osservare le scelte fatte in precedenza dagli altri giocatori.Questi giochi si dicono giochi dinamici o giochi in forma estensiva.

3.1 Rappresentazione ad albero

I giochi in forma estensiva si rappresentano con uno schema ad albero. Un alberoe formato da un insieme di nodi e rami. Ogni ramo parte da un unico nodo econduce ad un unico nodo. Ogni albero ha un solo nodo a cui non arriva alcunramo, chiamato radice e molteplici nodi da cui non partono altri rami, chiamatifoglie. (Fig. 3.1)

Formalmente:Nell’ambito dei giochi in forma estensiva si usa la seguente notazione:

N insieme dei nodi del gioco

I

n

giocatori attivi al nodo n

A

n

i

insieme delle azioni disponibili al giocatore I nel nodo n.

xn

= {an

i

}i2In 2 A

n =Q

i2InA

n

i

profilo di azioni scelto dai giocatori attivi alnodo n.

⇡

l = {⇡l

i

}i2I

2 RI pay-o↵ dI ogni giocatore nelle foglia l.

32 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA

Figura 3.1: Gioco dinamico: schema ad albero

Strategie nei giochi in forma estensivaNei giochi in forma estensiva le strategie sono l’insieme che specifica le azioni chei giocatori intraprendono o intraprenderebbero in ciascun nodo in cui sono attivi.Formalmente:

N

i

insieme dei nodi in cui il giocatore i e attivo;

A

n

i

insieme delle azioni disponibili a i nel nodo n;

xi

= {an

i

}n2Ni 2 A

i

=Q

n2NiA

n

i

una strategia del gioctaore i, che specifica leazioni che il giocatore i scegliera ad ogni nodo in cui e attivo.

Esempio 15:(Fig.3.2)

• Il giocatore 1 ha due stategie: { a; b };

• il giocatore 2 ha quattro strategie: { (c,e); (c,f); (d,e); (d,f) }

Esempio 16.1:(Fig 3.3)

• Il giocatore 1 ha quattro stategie: { (a; e), (a;f), (b;f), (b;e) };

3.1. RAPPRESENTAZIONE AD ALBERO 33

Figura 3.2: Gioco Dinamico 1



• il giocatore 2 ha due strategie: { c; d }

Nota: Perche la strategia (b,f) del giocatore 1 comprende l’azione f , che 1avrebbe intrapreso ad un nodo che non puo raggiungere, proprio perche nel nodoprecedente sceglie b?Ci sono due possibili spiegazioni:

1. Una strategia descrive sempre cosa il giocatore intende fare ad ogni nodo incui e attivo, perche c’e una probabilita positiva che per qualche motivo ilgiocatore non riesca a intraprendere l’azione che vorrebbe al nodoprecedente.

2. La strategia di un giocatore e osservata anche dagli altri giocatori, cheprendono le loro decisioni tenendo in considerazione le scelte altrui ad ogninodo. Quindi per ogni giocatore e utile sapere quale sarebbe la scelta deglialtri se il gioco arrivasse ad un certo nodo, piuttosto che ad un altro, inseguito ad una loro azione, per decidere cosa fare.

3.2 Rappresentazione in forma strategica di ungioco dinamico

Una volta definite le strategie di ogni giocatore, se il gioco dinamico comprendesolo due giocatori, e possibile rappresentare il gioco in forma strategica.Possiamo rappresentare il gioco dell’esempio precedente con la seguente tabella:

Esempio 16.2:

Giocatore-1(C;E) (C;F) (D;E) (D;F)

Giocatore-2A 2; 1 2; 1 0;0 0;0B 1; 2 0;0 1; 2 0;0

Gli equilibri di Nash sono dati dalle seguenti coppie di strategie:

1. {A, (C;E)}

2. {A, (C;F)}

3. {B, (D;E)}

3.3. SOTTOGIOCHI E “SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM” 35

Nota: Il terzo equilibrio ignora l’aspetto dinamico del gioco. Infatti lastrategia (D;E) e da leggersi cosı: il giocatore-2 sceglie D , se il giocatore-1 sceglieA e sceglie E se il giocatore-1 sceglie B.Poiche D porta ad un pay-o↵ zero per entrambi i giocatori, mentre E da unpay-o↵ 1 al giocatore-1 e 2 al giocatore-2, il giocatore-1 preferisce scegliere Bquando tocca a lui.In altre parole, B e la miglior risposta che 1 puo dare a (D, E)Tuttavia, se il giocatore-1 deviasse e scegliesse comunque A davvero tuttirischierebbero di ottenere un pay-o↵ nullo? No! Perche la miglior risposta di 2 aA e C, non D.Questa soluzione ignora il fatto che 2 osserva cosa sceglie 1 prima diagire. Avrebbe senso solo se 2 potesse in qualche modo impegnarsi a scegliere d

se 1 sceglie a.

3.3 Sottogiochi e “subgame perfectequilibrium”

Come abbiamo visto nell’esempio precedente, nei giochi in forma estensivaesistono degli equilibri di Nash che non tengono in considerazione delladimensione dinamica del gioco.Come possiamo eliminare questi equilibri? Di quali condizioni aggiuntiveabbiamo bisogno?Ogni gioco in forma estensiva puo essere scomposto in sottogiochi: ogni nodo,che non sia una foglia, definisce un sottogioco

Esempio 17.1:(Fig. 3.4)Questo gioco, puo essere scomposto in tre sotto-giochi:


Figura 3.4: Scomposizione in sottogiochi

Definizione

I “Subgame Perfect Equilibria” (SPE) sono un sottoinsieme degli Equilibri diNash.Un profilo di strategie che costituisce un equilibrio di Nash e anche un SPE se eun equilibrio di Nash in ciascun sotto-gioco in cui puo essere scomposto il gioco.

Esempio 17.2:

Dato il gioco dell’esempio precedente, troviamo per ciascun sotto-gioco il profilodi strategie che definisce un equilibrio di Nash. (Fig. 3.5, 3.6).

Quindi il SPE e : {A; (E,C)}

NotaIn ogni stadio del gioco i giocatori agiscono come se non avessero memoria,ovvero scelgono la strategia ottimale senza considerare quanto accaduto nelle fasidel gioco precedenti. Quindi qualunque tipo di vendetta intrapresa da ungiocatore in risposta all’azione di un altro nella fase precedente e priva disignificato in questo contesto e il comportamento degli agenti e mirato solo adottenere il massimo pay-o↵ da quella fase in avanti.

3.3. SOTTOGIOCHI E “SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM” 37

Figura 3.5: Primo e secondo sottogioco con equilibri di Nash evidenziati.

Figura 3.6: Terzo sottogioco con SPE evidenziato.


3.4 “Backward Induction”

Il metodo, che abbiamo appena applicato, per cercare i SPE costituisce unasoluzione a ritroso del gioco: si parte dai sottogiochi definiti dagli ultimi nodiprima delle foglie e poi si passa a sottogiochi piu ampi, fino ad arrivare al gioconel suo complesso.Per ogni sottogioco si identificano i pay-o↵ che conducono alla strategia ottimaleper ciascun giocatore.

Esempio 18:

Dato questo gioco, cerchiamo i SPE utilizzando la soluzione a ritroso:


1) Partiamo dal sottogioco piu piccolo: il giocatore-1 sceglie F, che gli garantischeun pay-o↵ di 5, mentre E gli garantirebbe un pay-o↵ solo di 4. (Fig. 3.8)

2) Passiamo al nodo superiore e cerchiamo l’equilibrio di Nash in questosottogioco: sapendo che se si arriva al nodo successivo il giocatore-1 sceglie F, ilgiocatore-2 preferisce scegliere D che gli garantische un pay-o↵ di 3, mentrescegliere C darebbe a 1 la possibilita di scegliere F e cosı 2 otterebbe un pay-o↵di 2. (Fig. 3.9)

3.4. “BACKWARD INDUCTION” 39

Figura 3.8: Primo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato

Figura 3.9: Secondo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato


3) Infine, passando al nodo ancora superiore: il giocatore 1 sa che se sceglie a ilgiocatore-2 al nodo successivo scegliera D e cos 1 otterra un pay-o↵ nullo, seinvece sceglie subito B ottiene pay-o↵ 1, quindi preferisce B. (Fig. 3.10)

Figura 3.10: Terzo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato

Quindi il SPE e : { (B;F), D }.

Soluzione in forma strategica

Utilizzando la rappresentazione in forma strategica e cercando le migliori rispostedi ogni giocatore ad ogni strategia della controparte, troviamo tutti gli equilibridi Nash del gioco.Come si puo notare sono due: pero solo uno dei due e anche un SPE, l’altro nontiene conto della dinamica del gioco, come spiegato nell’esempio precedente.

Giocatore-1c d

Giocatore-2

(a;e) 4; 4 0; 3(a;f) 5;2 0; 3(b;e) 1; 0 1; 0(b;f) 1; 0 1; 0


3.4.1 Multipli SPE

Esempio 19:

Figura 3.11: Gioco dinamico 4

Nel sottogioco piu piccolo il giocatore-2 e indi↵erente tra C e D, perche gligarantiscono lo stesso pay-o↵. (Fig. 3.12)Quindi se il giocatore-2 sceglie C, la miglior risposta del giocatore-1 sara B(30 > 25). (Fig. 3.13)Se il giocatore 2 sceglie D, la miglior risposta del giocatore 1 e A (25 > 20). (Fig.3.14)


Figura 3.12: Primo sottogioco del gioco dinamico 4: SPE evidenziato

Figura 3.13: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: primo SPE evidenziato

Figura 3.14: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: secondo SPE evidenziato


Quindi ci sono due SPE: { B;C } e { A;D }.

3.4.2 SPE e strategie infinite

Fin’ora abbiamo rappresentato giochi in cui gli agenti scelgono tra un numerofinito di strategie, ma ci possono essere dei giochi in forma estensiva in cui gliagenti devono scegliere tra un numero infinito di strategie. Il metodo dirisoluzione non cambia.

Esempio 20: Competizione di quantita con impresa leader

Immaginiamo di avere un duopolio in cui l’impresa-1, che chiameremo impresaleader, puo scegliere per prima la quantita da produrre; l’impresa-2, chechiameremo impresa follower osserva e poi decide che quantita produrre.L’impresa leader puo scegliere qualsiasi quantita positiva. Lo stesso vale perl’impresa follower. Possiamo rappresentare il gioco con il seguente schema adalbero:

Figura 3.15: Gioco dinamico con strategie infinite

Cerchiamo il SPE del gioco con backward induction:

La domanda aggregata e definita dalla seguente espressione:

P = A� q1 � q2


Assumiamo, per semplificare, che i costi, sia fissi che variabili, siano uguali a zero.

1)Partiamo dall’impresa follower : dato q1, cioe la quantita prodotta dall’impresa

leader, l’impresa follower massimizza i suoi profitti.

q

⇤2 =argmax⇧2(q1, q2) = P ⇤ q2 = [A� q1 � q2] ⇤ q2

F.O.C.

⇧2@x2

= A� q1 � q2 � q2 = 0

q

⇤2 =

1

2(A� q1)

Questa e la funzione di reazione dell’impresa follower, dato q1.

2) Ora passiamo al nodo precedente dell’albero e vediamo come si comportal’impresa leader, sapendo quale sara la reazione del follower.

La quantita totale domandata diventa:

Q = q1 + q2 = q1 +(A� q1)

2

=q1 + A

2

Quindi la domanda aggregata diventa:

P = A�Q = A� q1 + A

2

=A� q1

2

L’impresa leader: data la funzione di reazione dell’impresa f ollower, massimizza iprofitti:

q

⇤1 =argmax⇧1 = P ⇤ q1 = (A�q1

2 ) ⇤ q1

F.O.C.

@⇧1@q1

= A�q1

2 � q1

2 = 0


q

⇤1 =

A

2

Sostituendo nella funzione di reazione dell’impresa follower otteniamo q

⇤2:

q

⇤2 =

1

2(A� q1)

=1

2(A� A/2)

=A

2� A

4=

A

4

Confrontiamo Stackelberg con Cournot

Q

⇤ = q

⇤1 + q

⇤2 =

(Stackelberg : A

2 + A

4 = 34A

Cournot : A

3 + A

3 = 23A

Q

Stackelberg

> Q

Cournot

⇧leader

= P ⇤ q

⇤1 =

(Stackelberg : (A� A

2 �A

4 )A

2 = 14A

A

2 = 18A

2

Cournot : (A� A

3 �A

3 = (13A)(1

3A) = 19A

2

⇧leader,Stackelberg

> ⇧leader,Cournot

⇧follower

= P ⇤ q

⇤2 =

(Stackelberg : (A� A

2 �A

4 )A

4 = 14A

A

4 = 116A

2

Cournot : (A� A

3 �A

3 = (13A)(1

3A) = 19A

2

⇧follower,Stackelberg

< ⇧follower,Cournot

Nota: In Stackelberg la posizione di leader determina un profitto maggiore.

Soluzione grafica


3.5 Deterrenza all’entrata

Nei modelli visti fino ad ora (concorrenza perfetta, monopolio, oligopolio,concorrenza monopolistica), l’entrata nel mercato da parte delle imprese e liberao e bloccata.Invece nei mercati oligopolistici spesso la concorrenza si sviluppa tra imprese giaoperanti sul mercato e imprese che minacciano di entrare nel mercato.Una delle possibili conseguenze dovute all’entrata di una nuova impresa sulmercato e lo scoppio di una guerra di prezzi tra “vecchie” e “nuove” imprese.Esito positivo per i consumatori e negativo per le imprese. Tuttavia questoscenario non sempre si avvera.Nei prossimi modelli studieremo le condizioni che possono portare ad una guerradi prezzi e quali strumenti le imprese gia sul mercato mettono in atti comedeterrenti all’entrata.

Esempio 21:

Immaginiamo un mercato con due imprese: impresa gia operante sul mercato eimpresa che intende entrare nel mercato.Possiamo rappresentare questo gioco come un gioco dinamico in due stadi: in unprimo momento l’impresa entrante decide se entrare o no nel mercato, in unsecondo momento le due imprese decidono simultaneamente se scatenare unaguerra di prezzo. Quindi nel secondo tempo si gioca un gioco in forma strategica.

3.5. DETERRENZA ALL’ENTRATA 47



Schematicamente:

• Strategie dell’impresa gia sul mercato = { Guerra di prezzo; Nonguerra di prezzo}

• Strategie dell’impresa entrante = { (Stare Fuori; Guerra di prezzo),(Entrare, Guerra di prezzo); (Stare Fuori, Non guerra di prezzo); (Entrare,Non guerra di prezzo) }

Risolviamo il gioco con backward induction:

1) Partiamo dal gioco in forma strategica del secondo stadio e poi definiamo ladecisione dell’impresa entrante.

Giocatore-1Non guerra Guerra

Giocatore-2Non guerra 16; 16 5; 20

Guerra 20;5 8; 8

Nel sotto-gioco, dati questi pay-o↵, l’equilibrio di Nash e : (Guerra diprezzo, Guerra di prezzo).

2) Passando al nodo precedente:

Figura 3.17: Gioco dinamico 5: SPE

Il SPE e : ((Stare Fuori, Guerra di prezzo); Guerra di prezzo).

Soluzione in forma strategica:

3.5. DETERRENZA ALL’ENTRATA 49

Gia dentroGuerra Non guerra

Entrante

(Fuori, Guerra) 11; 32 11; 32(Fuori, Non guerra) 11;32; 11;32(Entrare, Guerra) 8;8 20; 5

(Entrare, Non guerra) 5;20 16;16

Avremmo trovato due equilibri di Nash: { (Stare Fuori, Guerra di prezzo);Guerra di prezzo} , {(Stare Fuori, Non guerra di prezzo), Guerra di prezzo}.Dove il primo e anche SPE, il secondo no.

Esempio 22:

Se provassimo a cambiare i pay-o↵ troveremmo risultati diversi:


1) Risolvendo il sotto-gioco troviamo come Equilibrio di Nash: {Non guerra, Nonguerra}.



Guerra 15; 10 8; 8


2) Passando al nodo precedente troviamo che il SPE e : {Non guerra, (Entrare,Non guerra)}.

Soluzione in forma strategica:

Gia dentroGuerra Non guerra

Entrante

(Stare Fuori, Guerra) 11;32 11;32(Stare Fuori, Non guerra) ; 11; 32 11; 32

(Entrare, Guerra) 8;8 15; 10(Entrare, Non guerra) 10;15 16;16

Avremmo trovato tre Equilibri di Nash: {(Guerra; Stare Fuori); Guerra}, {(Starefuori; Non guerra); Guerra}, {(Entrare; Non guerra); Non guerra}.

Esempio 23:

Cambiando ancora i pay-o↵ possiamo trovare una soluzione con SPE multipli.


1) Nel sotto-gioco ci sono due possibili Equilibri di Nash: (Non guerra; Nonguerra), (Guerra; Guerra).



Guerra 11; 7 8; 8

Figura 3.20: Gioco dinamico 7, Sottogioco 1: SPE

Figura 3.21: Giocodinamico 7, Sottogioco 2: SPE

2) Andando a ritroso troviamo due possibili Equilibri di Nash, cioe due possibili

51

52 CAPITOLO 4. STRATEGIE MISTE

SPE: ((Entrare; Non guerra); Non guerra), ((Stare Fuori; Guerra); Guerra).

Capitolo 4

Strategie Miste

Esistono casi in cui e ottimale per un agente razionale a�darsi al caso? Si!Diamo alcuni esempi concreti: un calciatore che deve tirare un calcio di rigore edeve decidere se tirare a destra o sinistra e dall’altro lato il portiere che devedecidere dove buttarsi; oppure nel tennis quando il giocatore deve decidere dache lato battere il servizio.Inoltre esistono giochi che non hanno Equilibri di Nash, a meno che non sipermetta ai giocatori di tirare a caso.

Esempio 24:“Matching Pennies”Due individui devono scegliere simultaneamente su che lato posare una monetasu un tavolo: Testa o Croce.Se entrambi scelgono Testa o entrambi scelgono Croce, il giocatore 1 si prendeentrambe le monete.Se uno sceglie Testa e l’altro Croce, il giocatore 2 si prende entrambe le monete.

Rappresentiamo in forma strategica questo gioco e troviamo l’equilibrio di Nash,se esiste:

Giocatore-1T C

Giocatore-2T 2; 0 0; 2C 0; 2 2; 0

Come si vede dalla tabella, non esiste un profilo strategico che soddisfi ladefinizione di Equilibrio di Nash.

Proposizione:Se aggiungiamo un’altra strategia tra quelle disponibili ai giocatori: tirare lamoneta, saremo in grado di trovare un equilibrio di Nash.

Quando il giocatore sceglie una strategia mista, il pay-o↵ del giocatore e dato dalvalore atteso dell’utilita.

53

Nel nostro esempio, assumendo che la moneta non sia truccata, c’e unaprobabilita di 1

2 che esca T e probabilita di 12 che esca C. Quindi possiamo

scrivere il pay-o↵ della strategia “tirare la moneta” come segue:

• Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Testa:

E[U1(T,

12)] = 1

2(U1(T, T )) + 12U1(T,C) = 1

• Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Testa:

E[U2(12 , T )] = 1

2(U2(T, T )) + 12U2(C, T ) = 1

• Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:

E[U1(C,

12)] = 1

2(U1(C, T )) + 12U1(C, C) = 1

• Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:

E[U2(12 , C)] = 1

2(U2(T,C)) + 12U2(C, C) = 1

• Se entrambi tirano la moneta:

E[U1(12 ,

12)] = 1

2 [12(U1(C, T )) + 1

2U1(C, C)] + 12 [

12(U1(T, T )) + 1

2U1(T,C)] = 1

E[U2(12 ,

12)] = 1

2 [12(U2(T,C)) + 1

2U2(C, C)] + 12 [

12(U2(T, T )) + 1

2U2(C, T )] = 1

Riscriviamo la tabella:

Giocatore-1T tiro C

Giocatore-2T 2; 0 1;1 0; 2

tiro 1;1 1; 1 1,1C 0; 2 1;1 2; 0

Come si puo leggere nella tabella, {tiro, tiro} e un Equilibrio di Nash.

In questo primo esempio abbiamo preso come data la probabilita di un mezzo.Ma ci potrebbero essere situazioni in cui i giocatori sono in grado di dareprobabilita diverse alle strategie, quando le mischiano.Quindi dovremmo definire una risposta ottima da parte dell’altro giocatore, perogni valore di p.

Riscriviamo le formule precedenti, ma in modo piu generale, ovvero senzaspecificare un valore per p.

54 CAPITOLO 4. STRATEGIE MISTE

Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Testa:

E[U1(T, p2)] = p2(U1(T, T )) + (1� p2)U1(T,C) = p2 ⇤ 2 + (1� p2) ⇤ 0 = 2p2

Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Croce:

E[U1(C, p2)] = p2(U1(C, T ))+(1�p2)U1(C, C) = p2⇤0+(1�p2)⇤2 = 2(1�p2)

Il giocatore 1 decidera di tirare anche lui la moneta quando il valore di p2 rendeuguale il pay-o↵, sia che scelga T sia che scelga C:

2p2 = 2(1� p2)

p

⇤2 =

1

2

Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Testa:

E[U2(T, p1)] = p1(U2(T, T ))+(1�p1)U2(C, T ) = p1⇤0+(1�p1)⇤2 = 2(1�p1)

Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:

E[U2(C, p1)] = p1(U2(T,C)) + (1� p1)U2(C, C) = 2p1

Il giocatore 2 decidera di tirare anche lui la moneta quando il valore di p1 rendeuguale il pay-o↵, sia che scelga T sia che scelga C:

2(1� p1) = 2p1

p

⇤1 =

1

2

Quindi possiamo scrivere le funzioni di reazione dei giocatori come segue:

R1(p2) =

8><

>:

p

⇤1 = 1(T ) se p2 >

12

p

⇤1 2 [0, 1] se p2 = 1

2

p

⇤1 = 0(C) se p2 <

12

R2(p1) =

8><

>:

p

⇤2 = 1(C) se p1 >

12

p

⇤2 2 [0, 1] se p1 = 1

2

p

⇤2 = 0(T ) se p1 <

12

Graficamente troviamo che l’unico Equilibrio di Nash e: {p1 = 12 , p2 = 1

2}

55

Figura 4.1: Gioco con strategie miste: soluzione grafica

introductory notes to game theory

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