introduzione alla probabilitÀ nella scuola … · distribuzione delle forme di vita nella foresta...

GRUPPO MAT06 – Dip. Matematica, Università di Milano - Probabilità e Statistica per le Scuole Medie - SILSIS - 2007

1Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base

INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

NELLA SCUOLA MEDIA

CONCETTI DI BASE



Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile.

Cioè conoscendo i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato.

Ciò che invece possiamo conoscere èl'insieme di tutti i possibili risultati.

DATI + LEGGI = CONOSCENZA

DATI + LEGGI = NON CONOSCENZA

Fenomeno deterministico

Fenomeno non deterministico



ESPERIMENTI ALEATORI

STUDENTI

ANNO SESSO ETA' PESO ALTEZZA DIPSCI DIPCLA DIPTEC DIPALT COMPON OCCHIALI FUMO

1988 0 20,6 65 180 0 0 1 0 6 0 11988 0 20,2 75 180 1 0 0 0 4 0 01988 0 20,3 60 173 0 0 1 0 4 1 01988 0 23,9 93 187 1 0 0 0 8 0 11988 0 21,4 66 164 0 0 1 0 5 0 01988 0 25 84 186 0 0 1 0 4 0 01988 0 20,8 67 175 0 0 0 1 4 0 11988 0 20,6 89 170 0 1 0 0 3 1 01988 0 27,1 71 180 1 0 0 0 1 0 11988 0 23,3 63 170 0 1 0 0 4 0 01988 0 23,1 75 176 0 1 0 0 5 0 01988 0 21,3 78 182 0 0 1 0 5 0 11988 0 23,2 77 174 0 0 1 0 4 0 11988 0 23,2 64 167 1 0 0 0 4 0 1

DESCRIZIONE DATI:Informazioni sugli studenti del corso di statistica. Questo dataste raccoglie le risposte a un questionariosomministrato alla fine di ogni anno accademico a partire dal 1986-87, a tutti gli studenti presenti in aula alla fine del corso di Statistica (I e II cattedra, Facoltà di Scienze Politiche, Università Federico II di Napoli).



ESPERIMENTI ALEATORI

ECOLOGIA UMANA: riconoscimento solo olfattivo da parte delle puerpere

Campione: 68 puerpere, 68 neonati (35 maschi e 33 femmine)

TEST: riconoscimento solo olfattivo del camicino (indossato per 24 ore) del proprio figlio fra sei camicini.



ESPERIMENTI ALEATORIBIODIVERSITA’

DESCRIZIONE DATI:

E' stato effettuato uno studio sulla biodiversità delle biofrite, sulla differenziazione dei microambienti e della distribuzione delle forme di vita nella foresta "los Robles" situata sulla montagna Talamanca in Costa Rica.

Sono state campionate 206 specie (osservazioni), appartenenti alla grandi famiglie di biofrite epatiche (1-104), di biofrite muschi (106-206) ed un solo esemplare della famiglia biofrite hornwort (105). le variabili microambienticonsiderate sono 9: ramoscello, ramo, tronco, base dell'albero, arbusto, foglie, ceppo, terreno, pietra/rocciaSi e' misurata la variabile ABBONDANZA che puo' assumere i valori 1 (raro), 2 frequente), 3(comune) per ogni specie riscontrata in quel microambiente specifico. Inoltre si e' considerara la variabile LIFE FORM che specifica sotto quale forma sono stati campioonati gli individui di quella data specie.

species ramoscelli ramo tronco base dell'albero arbusto foglie ceppo terreno pietra/roc

ciaLIFE

FORM1 1 TU2 2 TU3 3 3 2 2 TU4 1 2 TU5 2 3 2 MA6 2 2 TU7 2 2 MA8 1 3 2 MA9 1 MA10 2 1 2 MA11 2 MA12 2 MA13 2 1 MA14 2 2 1 MA15 3 2 MA16 1 MA



ESPERIMENTI ALEATORIINQUINAMENTOThe Atmosphere, Climate & Environment Information Programme, supported by the Department of Environmental, Food and Rural Affairs (DEFRA) provides monthly summaries of air quality in nine urban areas of Britain.Summaries are provided in the form data, showing the daily average concentrations of 5 pollutants during october 200, 2001, 2002 : carbon monoxide, nitrogen dioxide , ozone , particulate matter and sulphur dioxide.

SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (microg/m3).

Date SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (microg/m3)10/01/2002 5 6 38 122 0,6 5110/02/2002 3 7 31 56 0,3 3710/03/2002 3 9 28 60 0,5 2910/04/2002 3 6 30 76 0,5 3110/05/2002 3 7 24 54 0,5 2610/06/2002 3 14 22 44 0,4 2410/07/2002 4 5 35 76 0,5 3710/08/2002 5 7 30 74 0,5 3710/09/2002 6 5 29 86 0,5 4110/10/2002 4 5 26 67 0,6 4010/11/2002 6 4 30 92 0,5 4610/12/2002 7 5 28 78 0,5 3113/10/2002 5 5 29 104 0,4 2414/10/2002 3 5 25 68 0,5 2715/10/2002 3 9 25 67 0,4 2516/10/2002 2 6 22 72 0,2 2617/10/2002 10 5 24 68 0,1 2518/10/2002 4 4 29 92 0,1 2819/10/2002 4 7 28 64 0,1 25

Date SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (mg/m3)10/01/2001 3 19 30 44 0,3 2810/02/2001 3 14 24 40 0,5 1610/03/2001 3 11 22 44 0,6 2510/04/2001 2 10 22 43 0,6 2010/05/2001 2 11 26 54 0,6 2110/06/2001 2 16 20 33 0,4 2010/07/2001 2 23 16 23 0,3 1510/08/2001 2 15 24 39 0,5 1910/09/2001 2 6 28 55 0,5 2110/10/2001 3 9 27 45 0,4 2210/11/2001 2 10 26 42 0,3 1910/12/2001 3 4 37 102 0,7 3413/10/01 5 3 35 147 1,3 6014/10/01 3 10 20 75 0,7 3715/10/01 2 11 24 46 0,3 2516/10/01 2 8 31 63 0,6 2617/10/01 5 2 37 125 0,7 3518/10/01 2 7 29 54 0,6 3119/10/01 4 2 32 88 0,9 36



A SCUOLACASO 1: la probabilità



Esperimento Casuale, aleatorio (dado il latino alea)

non deterministico

Spazio campioneinsieme di tutti i possibili esperimenti dell’esperimento

Evento elementareuno dei possibili risultati dell’esperimento

Eventoun sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato.

Esitociò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posterioria posteriori.

Probabilità di un evento aleatoriomisura del grado di fiducia che si può stabilire a prioria priori circa il verificarsi o meno dell'evento.

NOMENCLATURA ESEMPIO

Lancio di un dado

Tiro il dado, esce {6}



La probabilità di un evento A, detta P(A), rappresenta una misura di

quanto ci si aspetta che si verifichi l’evento A.

Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un

maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare

un certo fenomeno aleatorio.

PROBABILITÀ

CASO 1:

la probabilità frequentista

a posteriori

CASO 2:

la probabilità classica

a priori



PROBABILITÀCASO 1:

la probabilità frequentista - a posteriori

LEGGE EMPIRICA DEL CASO :

in una successione di prove ripetute nelle stesse condizioni, la frequenza di un

evento si avvicina alla probabilità dell’evento stesso

)(lim#

#limlim)( Afiesperiment

verificasiEvolteNmAP NNNN

===

)()( APAf NN →

fN(A) è una STIMA di P(A)

LIMITI della definizione TANTE PROVE DIFFICILE, stesse condizioni

ASPETTI POSITIVI della definizione è operativa



PROBABILITÀCASO 1:

la probabilità frequentista - a posteriori



PROBABILITÀCASO 2:

la probabilità classica - a priori

LIMITI della definizione : IpotesiASPETTI POSITIVI della definizione: è operativa

Ipotesi

possibilicasifavorevolicasi

NmAP

=

=)(



PROBABILITÀCASO 2:

la probabilità classica - a priori

possibilicasifavorevolicasi

NmAP

=

=)(



ESERCIZI

Esercizio 1.1 Si lancino contemporaneamente due monete. Qual è la probabilitàche esca testa su entrambe?

Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro, quindi p=1/4.

Erroneamente, nella famosa Encyclopédie di Diderot e D'Alambert, si sosteneva che l'analogo caso di due figli presentava tre possibilità, due maschi, due femmine o un maschio e una femmina, assegnando probabilità 1/3 a ciascuno dei casi..

I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità e della combinatoria. Questo a lato è un grafo regolare, in cui ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri.

Vitto

rio D

e Pe

tris



ESERCIZI

Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori.

Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne contiene solo 12.

Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha in mano quattro carte di cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilità ha?

Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano.

Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano).

La probabilità è dunque 4/27.

Vitto

rio D

e Pe

tris



ESERCIZI

Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che si verifichi tal evento?

Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero pari" è leggermente avvantaggiato, poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento opposto.

Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con probabilità 1/2

Diversa è la situazione se si considera la possibilità di poter gettare anche lo zero (mano chiusa). In tal caso la situazione torna in perfetta parità con 18 casi su 36 per entrambi gli eventi.

Vitto

rio D

e Pe

tris



ESERCIZI

Esercizio 1.4 Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che almeno uno di essi sia un 6?

La probabilità dell'evento è quindi p=11/36.

E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in un dado la probabilità è 1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi.

E' un errore abbastanza comune.

Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e come ottenere quella dei due dadi.

Vitto

rio D

e Pe

tris



ESERCIZI

Si deve considerare che un settore di 18 gradi rappresenta 18/360 dell'intera ruota e quindi la probabilità è di 1/20

Esercizio 1.5

Al Luna Park una ruota di legno, suddivisa in settori colorati di ampiezze diverse, gira velocemente, mentre un giocatore spara una freccetta con una carabina ad aria compressa, colpendo a caso uno dei settori.

Che probabilità ci sono di vincere la bambolina abbinata al settore di colore nero, il cui angolo misura 18 gradi?

Gli alunni probabilmente non se ne sono accorti, ma siamo passati dalla probabilità di eventi discreti (cioè distinguibili e numerabili all'interno di un insieme finito, come le biglie in un'urna), alla probabilità di eventi continui.

Lo spazio campione è dato dall'intera superficie del cerchio. In tale spazio non ha senso considerare la probabilità che la freccetta colpisca un particolare punto, ma solo quella di colpire un punto che appartenga ad una certa superficie all'interno dello spazio campione.

Supponendo quindi che la probabilità sia distribuita in modo uniforme all'interno della ruota (come ci assicura la velocità con cui gira), quella di colpire un particolare settore è legata al rapporto tra la superficie considerata e quella dell'intero spazio campione. Vi

ttorio

De

Petr

is



LANCIO DI UNA MONETA

ESTRAZIONE DI UNA PALLINA



NASCITA DI DUE FIGLI MASCHI



STRUMENTO DI LAVORO: EXCEL

Excel è un’applicazione di foglio elettronico che permette di raccogliere ed

elaborare i dati inseriti dall’utente.

I dati vengono raccolti in tabelle.

Tabella Insieme di celle disposte secondo righe e colonne che

costituiscono i fogli di lavoro

Cartelle di lavoro Insieme di fogli di lavoro raccolti insieme come una

rubrica telefonica e identificati da una etichetta

Riferimenti: •Statistica con Excel : appunti D. Morale•"Laboratorio di Statistica con Excel" di A.M. Paganoni e L. Pontiggia



RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI specifici per la scuola media

http://xoomer.alice.it/vdepetr/t20/Text20.htm di Vittorio De Petris

http://www.dienneti.it/risorse/matematica/didattica.htm

Dal sito dell’Unione Matematica Italianahttp://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/didattica.htmlhttp://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/problemi/media.pdfhttp://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie1.pdfhttp://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie2.pdfhttp://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/media3.pdf

Ulteriori riferimenti inhttp://www.museo.unimo.it/labmat/BIB.HTM

http://xoomer.alice.it/vdepetr/t20/Text20.htm

http://www.dienneti.it/risorse/matematica/didattica.htm

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/didattica.html

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/problemi/media.pdf

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie1.pdf

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/medie2.pdf

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2001/seconda/dati/media3.pdf

http://www.museo.unimo.it/labmat/BIB.HTM

introduzione alla probabilitÀ nella scuola … · distribuzione delle forme di vita nella foresta...

Documents