investigacion de operaciones prof.: felipe lillo v. ing. civil industrial [email protected]
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INVESTIGACION DE OPERACIONESPrograma del Curso
DESCRIPCION El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal, Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.
OBJETIVOS Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración.Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones.Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de procesos.Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.
METODOLOGÍA
Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema.Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.
INVESTIGACION DE OPERACIONESPrograma del Curso
CONTENIDOS.Introducción a la Investigación de OperacionesDefinición de I.O.Historia de la I.O.Campos de aplicación.
2.Formulación matemáticaMetodología para la generación de modelos.Formulaciones matemáticas típicas presentes en la P.L.
3.Programación LinealDefinición de P.L.Métodos de Resolución:Método gráficoMétodo algebraico (simplex)Análisis de sensibilidad.Problemas especiales de P.L:Problemas de transporteProblemas de asignación
4. Introducción a la SimulaciónDefinición de la simulaciónGuìa para proyectos de simulacìón.Simulacìón de Monte CarloModelos con incrementos de tiempo discretosModelos con incrementos de tiempo variable.
Softwares de Simulación
5.Teoría de InventariosModelos con demanda real conocida:Modelo General.Sistema de revisión continua.Sistemas de revisión periódica.
Nota Final = 0.25*P1+25*P2+0.2T+0.30*PGP1 / P2: Notas pruebas parcialesT: Promedio trabajos practicos.PG: Prueba global
FECHASPrueba 1: 02 de Octubre del 2003Prueba 2: 27 de Noviembre del 2003P. Global: 04 de Diciembre del 2003
BIBLIOGRAFIATitulo: “Investigación de Operaciones”Autor: Hamdy TahaEditorial: Prentice Hall / sexta edición.Año: 1998Titulo: “Administración de Operaciones”Autor: Roger SchroederEditorial: Mc Graw Hill. / 3ª edición / Año: 1999
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Definición:
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de
acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en
estudio.
• Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos procesos.
• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta.
• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s Procesos
Sistemas v/s Procesos
Entidadesque Entran
Entidadesque Salen
Reglas deOperación(Controles)
Sistema
Recursos
Actividades
Sistemas v/s Procesos
Sistemas v/s Procesos
• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión de cómo el sistema se comporta.
ModelosModelos
INVESTIGACION DE OPERACIONES
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos
Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:
•Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo.
•Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo.
•Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas maneras.
•Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible, construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).
•Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).
•Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos
•Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas.
•Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua.
•Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es única y siempre la misma.
•Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución equiprobable dentro del intervalo).
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos
•Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no
pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo:
•El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza
dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan
gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema
continuo por un modelo discreto.
Gotas
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos
•La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <= x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el método de Monte Carlo, es igual a:
•En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema determinístico.
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos
El azar en computadora es pseudo azar:
•Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una
distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos
estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema
real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
•En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo
pseudoazar (determinístico).
INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos según la I.O.
Modelo MatemáticoEs aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por ende tiene una solución optima.
Modelo de SimulaciónEs un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo entrega soluciones aproximadas.
Modelo HeurísticoEs una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada, dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.
INVESTIGACION DE OPERACIONESTópicos relacionados
•Análisis Estadístico
•Simulación
•Programación Lineal
•Sistema de Redes
•Líneas de Espera
•Problemas de Inventario
•Programación No - Lineal
•Programación Dinámica
•Programación Entera
•Teoría de Decisiones
•Teoría de Juegos
INVESTIGACION DE OPERACIONESEl Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.•Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los
problemas.•Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la
creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.
INVESTIGACION DE OPERACIONESEtapas para puesta en práctica
1. Definición del problema:• Alternativas de decisión (vars. de decisión).• El objetivo de estudio (Función Objetivo).• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo:• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión, la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo:• Uso de algoritmos de optimización.• Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo:• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema estudiado?
5. Puesta en práctica:• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.
PROGRAMACIÓN LINEAL
FORM ULACION MATEM ATICA
M ETODO GRAFICO M ETODO ALGEBRAICO(SIM PLEX)
PROBLEM A GENERAL
PROBLEM AS DE TRANSPORTE PROBLEM AS DE ASIGNACIÓN
PROBLEM AS ESPECIALES
PROGRAM ACION LINEAL
PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L.•Proporcionalidad•Aditividad•Divisibilidad•Certidumbre•Objetivo único•No negatividad
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOSUna compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas.Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque.Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque.Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y 300
R2) 2X + Y 400
R3) X + 2Y 400
R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
EJERCICIO PROPUESTO
El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que
pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria
de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear
procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por
radiografía son $4 para la máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas
radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?
Se pide:
Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y
las variables de decisión.
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día}
Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80.
R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100.
R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 4X + 3Y }
Sujeto a :
R1) X 80
R2) Y 100
R3) X + Y 150
R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
PROBLEMA DE LA DIETA
La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.
El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones.
Costo
US$/lb
Maíz 0.09 0.02 0.30Similla Soya 0.60 0.06 0.90
A. ganado FibraProteinas
libra componente por libra de alimento ganado
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos
un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el
costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
¿….?
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}
Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día
R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%
R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y 800
R2) 0.09X + 0.6Y 0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y 0.05(X + Y)
R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y 800
R2) 0.21X - 0.30Y 0
R3)0.03 X - 0.01Y 0
R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la
compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales.
Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se
conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se
conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es
determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes de manera que
minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de
transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades
embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70,
90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de
Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se
muestran en la tabla siguiente:
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Se pide:
Formular como un PPL.
Planta1 2 3 4
1 19 30 50 102 70 30 40 603 40 8 70 20
Almacén
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
Min{C=19X11+70X21+40X31+30X12+30X22+8X32+50X13+40X23+70X33+10X14+60X24+20X34}
Sujeto a :
R1) X11+X12+X13+X14 70
R2) X21+X22+X23+X24 90
R3) X31+X32+X33+X34 180
R4) X11+X21+X31 50
R5) X12+X22+X32 80
R6) X13+X23+X33 70
R7) X14+X24+X34 140
R8) Xij 0 i , j
8
Modelo General de PL Definición de variables:
Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....nFunción objetivo:Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , ma11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn = b2
· .· .
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn = bi· .· .
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn = bm
Condiciones de signo para variables: toda xj 0m = # total de restricciones,n = # de variables de decisión (originales)
Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.
8
Métodos de Resolución Método GráficoEmpleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.
8
Métodos de ResoluciónGRAFICO
Sujeto a:
R1)
R2)
R3)
10
Método de Resolución: Paso 1Gráficar las restricciones
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
A B
C0,0
FabX1 X20 1,000
1,666.7 0
AssyX1 X20 750
3,000 0
X1
R1
R2
PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}
i = 1,2,3 / j = 1,2,3,4
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70
R2) Capacidad mensual de producción planta 2 de 90
R3) Capacidad mensual de producción planta 3 de 180
R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50
R5) Requerimientos del almacén 2 para Marzo de 80
R6) Requerimientos del almacén 3 para Marzo de 70
R7) Requerimientos del almacén 4 para Marzo de 140
R8) No Negatividad.
11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
FabX1 X20 1,000
1,666.7 0
AssyX1 X20 750
3,000 0
R1
R2
Método de Resolución: Paso 1Gráficar las restricciones
11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
FabX1 X20 1,000
1,666.7 0
AssyX1 X20 750
3,000 0
R1
R2
Método de Resolución: Paso 2Obtener la RSF
RSF
11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Método de Resolución:
RSF
Premisa: el punto optimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la RSF.
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Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo: Alternativas
Alternativa 1Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que maximice (o minimice) dicha función.
Alternativa 2Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a la solución optima.
13
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo(1)
Z=320.000
14
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Optimal PointOptimal Point
Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (2)
15
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
El punto optimo (B) se encuentra en la intersección de las dos rectas
3X + 12X 9,000 Assy
3X + 5X 5,000 Fab
7X 4,000
X = 571.43, or 571 Multimax
X =5000 - 5(571)
3 715 Max
1 2
1 2
2
2
1
Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (3)
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RESULTADOSMax Z= 400X + 800 X
Z= 400(715) + 800 (571)
Z=$286,000+$456,800=
1 2
$742,800
X1=715X2=571 Z =742,800.
X1=715X2=571 Z =742,800.
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar
su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del
recurso que excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de
especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa
el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho
( cuanto falta para cumplir con lo pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera
al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de
maximizar es ‘ M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
2º Cambios de variables
a.- Variables no restringidas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s
Cambio de variable
Xi = Ui – Vi
Ui …. Parte positiva de Xi
Vi …. Parte negativa de Xi
Ej.
X1 + X2 ≤ 24
X1 ≥ 0, X2 s.r.s
Luego X2 = U2 – V2
F.E.
X1 + U2 – V2 + h1 = 24
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Variables negativas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0
Cambio de variable
Yi = – Xi Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40
X1 ≥ 0, X2 ≤ 0
Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2
F.E.
X1 - Y2 + h1 = 40
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)
S/A
R1) X1+2X2+4X3 ≥ 30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40
R3) X1 + X2 + X3 ≤ 70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0
Cambios de variable:
Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar
Z* + 15 U1 - 15 V1 - 10 Y2 - 20 X3 + M t1 + M t2 = 0
U1 - V1 - 2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30
5 U1 - 5 V1 - 25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40
U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular
BASE Z U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1SOLUCION
z 1 15 -15 -10 -20 0 M M 0 0
t1 0 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30
t2 0 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40
h1 0 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1SOLUCION
z 15 -15 -10 -20 0 0 0 0 0
M 0 0 0 0 0 1 1 0 0
t1 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30
t2 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40
h1 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO
Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá
encontrar la (s) solución (es) del PPL.
Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas
entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen
como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no
básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen
arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la
F.O. de las variables básicas son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable
de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los
“lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO
Pasos del Simplex:
Paso 0 : determinar la solución factible inicial.
Paso 1 : seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.
Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2 : seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3 : determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de
Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO
EJEMPLO
Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3
S/A
2x1 + x2 30
3x1 + 2x2 + x3 25
x2 + 2x3 20
x1 , x2 , x3 0
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0
h1 2 1 0 1 0 0 30
h2 3 2 1 0 1 0 25
h3 0 1 2 0 0 1 20
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0
h1 2 1 0 1 0 0 30
h2 3 2 1 0 1 0 25
h3 0 1 2 0 0 1 20
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___
8
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___
PIVOTE
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION
z 0 2 0 0 7/3 4/3 85
h1 0 0 0 1 -2/3 1/3 20
X1 1 1/2 0 0 1/3 -1/6 5
h3 0 1/2 1 0 0 1/2 10
¡Optimo!
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Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
SOLUCIÓN
z 85
X1 5
X2 0
X3 0
h1 20
h2 0
h3 10
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Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto
provoca que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como
“Metodo Dual Simplex”, el cual funciona de la siguiente manera:
Condicion de Factibilidad:
La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas
negativo, si todas las variables basicas son no negativas el proceso
termina y se alcanza la solucion factible - optima.
Condicion de Optimalidad:
La variable entrante se escoge de la manera siguiente:
Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los
coeficientes de la fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes
positivos o ceros. La variable que entra es la que posee la razon mas
pequeña si el problema es de minimizacion. Si todos los denominadores
son cero o positivos el problema no tiene solucion factible.
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EJEMPLO
MIN (Z = 2X1 + X2)
S/A
R1) 3X1+X2 ≥ 3
R2) 4X1+3X2 ≥ 6
R3) X1 + 2X2 ≤ 3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0
Forma Estándar:
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Forma Estándar
Z + -2 X1 - X2 = 0
-3 X1 - X2 + r1 = -3
-4 X1 - 3 X2 + r2 = -6
X1 + 2 X2 + h1 = 3
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3Sale mas negativa
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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RAZON 2/4 1/3 0 0 0
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
8
RAZON 2/4 1/3 0 0 0
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Entra razon mas pequeña
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
8
RAZON 2/4 1/3 0 0 0
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Entra razon mas pequeña
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Gauss Jordan
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
8
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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RAZON 2/5 0 0 1 0
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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RAZON 2/5 0 0 1 0
BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
Pivote
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Gauss Jordan
BASE X1 X2 R1 r2 h1SOLUCION
Z 0 0 -2/5 -1/5 0 12/5
X1 1 1 -3/5 1/5 0 3/5
X2 0 0 4/5 -3/5 0 6/5
h1 0 0 -1 1 1 0
Optimo – Factible!!!
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Solución:BASE SOLUCION
Z 12/5
X1 3/5
X2 6/5
r1 0
r2 0
h1 0
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX
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Ejercicio Propuesto
MIN (Z = 5X1 + 4X2 + 8X3)
S/A
R1) X1+2X2+X3 ≥ 15
R2) 2X1+X2+X3 ≥ 10
R3) X1 + X2 +X3 ≤ 20
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0
Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX