Trajan Stanču

-1-

Jednakost a=b·q+r

1. Koliki je količnik q i ostatak r pri deljenju broja 215 sa brojem 11?

REŠENJE:

Podelimo date brojeve:

a to znači da je količnik a ostatak .

Važi jednakost: .

2. Koliki je količnik q i ostatak r pri deljenju broja 112 sa 12?

REŠENJE:

Kada podelimo date brojeve dobijamo a to znači da je količnik a ostatak .

(Važi jednakost: )

3. Broj 51 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3.

REŠENJE:

Neka su brojevi C i D dva tražena broja, i neka je C veći broj. Zbir im je 51:

Primenom jednakosti deljivosti biće:

Zbir brojeva je sada:

Trajan Stanču

-2-

4. Broj 82 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 3 i ostatak 2.

REŠENJE:

Neka su brojevi A i B dva tražena broja, i neka je A veći broj. Zbir im je 82: .

Primenom jednakosti deljivosti biće:

Zbir brojeva je sada:

Trajan Stanču

-3-

Primena pravila deljivosti

1. Rastavi broj 196 na proste činioce.

REŠENJE:

196 | 2 98 | 2 49 | 7 7 | 7 1 | _

2. Rastavi broj 250 na proste činioce.

REŠENJE:

250 | 2 125 | 5 25 | 5 5 | 5 1 | _

.

3. Odredi vrednost * tako da broj 40*2 bude deljiv sa brojem 4.

REŠENJE:

Broj je deljiv sa 4 ako mu je dvocifreni završetak deljiv sa 4. Cifra 2 je već na mestu cifre jedinica pa * može biti 1, 3, 5, 7, 9.

4. Napiši najmanji četvorocifreni broj deljiv brojem 9.

Trajan Stanču

-4-

REŠENJE:

Najmanji četvorocifreni broj deljiv brojem 9 je 1008.

5. Odredi vrednost cifre x tako da broj 27×5 bude deljiv sa brojem 3.

REŠENJE:

Broj je deljiv sa 3, ako mu je zbir cifara deljis sa tri. Bez cifre x, zbir je 2+7+5=14. Do prvog deljivog sa 3 nedostaje 1, pa cifra x može biti baš 1. Može biti i 4 ili 7 jer je u svakom slučaju dobijeni zbir deljiv sa 3. Dakle,

6. Napiši najveći četvorocifreni broj deljiv brojem 4.

7. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1301x bude deljiv sa: a) 5

b) 3

8. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1007x deljiv sa: a) 2; b) 9.

Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.

9. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi: a) ; b) ; c) .

Trajan Stanču

-5-

10. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi: a) ; b) ; c) .

11. Baka je Sari dala 37 bombona. Sara je svojim drugaricama davala po 5 bombona. Koliko je Sari ostalo bombona ako je bombone podelila sa:

a. 3 drugarice b. 4 drugarice

12. Замени звездицу одговарајућом цифром (цифрама) тако да важи:

а) 𝟐|𝟐 ∗̅̅ ̅̅ ;

b) 𝟐𝟓|𝟒𝟏 ∗ 𝟓̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ;

c) 𝟑|𝟗 ∗ 𝟕𝟗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ;

d) 𝟒|𝟑𝟑𝟐 ∗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ;

e) 𝟗|𝟑𝟏𝟏 ∗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .

13. Odredi sve sadržaoce broja 11 između 100 i 200.

NZD i NZS

1. Učiteljica želi da svakom učeniku pokloni jednak broj čokoladnih i jednak broj žele bombona. Za to joj je potrebno 42 čokoladne i 28 žele bombona. Koliko učenika ima u odeljenju? Koliko je čokoladnih a koliko žele bombona dobio svaki učenik?

Trajan Stanču

-6-

REŠENJE:

Odredimo :

42, 28 | 2 21, 14 | 7 3, 2 | _

U odeljenju je 14 = 2 * 7 učenika i svaki od njih dobio je 3 čokoladne bombone i 2 žele bombone.

2. Na stanicu A stigli su istovremeno u 12:00 časova, tramvaj i autobus. Tramvaj prođe kroz tu stanicu u razmacima na svakih 1 sat i 30 minuta a autobus na 2 sata. U koliko časova će se ponovo naći na stanici A, istovremeno i tramvaj i autobus?

REŠENJE:

Vreme potrebno tramvaju da napravi „krug“ iznosi 90 minuta, a autobusu je to 120 minuta. Odredimo :

90, 120 | 2 45, 60 | 2 45, 30 | 2 45, 15 | 3 15, 5 | 3 5, 5 | 5 1, 1 | _

. Za 360 minuta ili za 6 sati će se ponovo naći na stanici A. To je u 18:00 časova.

Trajan Stanču

-7-

3. Tri štapa dužina treba iseći na komade jednakih dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?

REŠENJE:

Treba odrediti :

48, 60, 90 | 2 24, 30, 45 | 3 8, 10, 15 | _

Štapovi treba da budu dužine a biće ih komada.

4. Odredi NZS i NZD za brojeve 32, 56.

REŠENJE:

Najpre NZD:

32, 56 | 2 16, 28 | 2 8, 14 | 2 4, 7 | _

NZS:

32, 56 | 2 16, 28 | 2 8, 14 | 2 4, 7 | 2 2, 7 | 2 1, 7 | 7 1, 1 | _

Trajan Stanču

-8-

5. Jelena, Marija i Biljana često idu u školsku biblioteku. Jelena ide svakih 4 dana, Marija svakih 6 dana, Biljana svakih 8 dana. Kog datuma u septembru će sve tri ponovo zajedno posetiti biblioteku ako se zna da su to učinile 2. septembra?

REŠENJE:

Odredimo NZS (4,6,8):

4, 6, 8 | 2 2, 3, 4 | 2 1, 3, 2 | 2 1, 3, 1 | 3 1, 1, 1 | _

To znači da će do ponovnog susreta doći 26. seprembra.

6. Odredi NZS i NZD za brojeve 54, 60.

REŠENJE:

Za NZD:

54, 60 | 2 27, 30 | 3 9, 10 | _

Za NZS:

Trajan Stanču

-9-

54, 60 | 2 27, 30 | 2 27, 15 | 3 9, 5 | 3 3, 5 | 3 1, 5 | 5 1, 1 | _

7. Od brojeva 12, 32, 42 koja dva broja imaju: a) najveći zajednički delilac broj 4; b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?

REŠENJE:

a) najveći zajednički delilac broj 4;

Iz navedenih skupova vidi se da je .

b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?

Iz navedenih skupova vidi se da je .

8. Od brojeva 16, 20, 32 koja dva broja imaju: a) najveći zajednički delilac broj 8; b) najmanji zajednički sadržalac broj 80?

REŠENJE:

a) najveći zajednički delilac broj 8;

Trajan Stanču

-10-

Iz navedenih skupova se vidi da je 8 jedini zajednički delilac brojeva 16 i 32, ali nije najveći. Pravi odgovor je: ni za jedan par brojeva broj 8 nije zajednički delilac.

b) najmanji zajednički sadržalac broj 80?

Iz navedenih skupova se vidi da je 80 najmanji zajednički sadržalac brojeva 16 i 20.

9. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 1700 i 1190.

REŠENJE:

1700, 1190 | 2 850, 595 | 5 170, 119 | 17 10, 7 | _

NZD (1700,1190)=2 * 5*17 =170

10. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 2300 i 1610.

REŠENJE:

2300, 1610 | 2 1150, 805 | 5 230, 161 | _

.

Trajan Stanču

-11-

11. Odredi: a) NZS(10, 35); b) NZS (33, 55, 66); c) NZD(34,51); d) NZD(28, 42, 56).

REŠENJE:

a)

10,35 | 2 5,35 | 5 1, 7 | 7 1, 1

NZS (10, 35)=2·5·7=70;

b)

33,55,66 | 2 33,55,33 | 3 11, 55, 11 | 5 11, 11, 11 | 11 1, 1, 1

NZS (33,55,66)=2·3·5·11=330

c)

34,51 | 17 2, 3

NZD (34, 51) = 17

d)

28,42,56 | 2 14, 21,28 | 7 2, 3, 4

Trajan Stanču

-12-

NZD (28,42,56) = 2·7 = 14.

12. Odredi: a) NZS(15, 25); b) NZS (21, 28, 35); c) NZD(26,39); d) NZD(12, 42, 54).

REŠENJE:

a)

15, 25 | 3 5, 25 | 5 1, 5 | 5 1, 1

NZS(15, 25)=3·5·5=75;

b)

21, 28, 35 | 2 21, 14, 35 | 2 21, 7, 35 | 3 7, 7, 35 | 5 7, 7, 7 | 7 1, 1, 1

NZS(21,28,35)=2·2·3·5·7=420

c)

26, 39 | 13 2, 3

NZD(26, 39) = 13

Trajan Stanču

-13-

d)

12, 42, 54 | 2 6, 21, 27 | 3 2, 7, 9

NZD(12,42, 54) = 2·3 = 6.

Skupovne operacije

1. Neka su P, Q, R, redom, skupovi slova reči: KOKAKOLA, COKOLADA i KAKAO. Odredi skupove P, Q i R, a zatim i , , , . U kakvom su odnosu skupovi: a) R i P; b) R i Q?

REŠENJE:

a) ; b) .

2. Nabrajanjem elemenata i Venovim dijagramom predstavi skupove: , i .

Trajan Stanču

-14-

REŠENJE:

3. Neka su P, Q, R, redom, skupovi slova reči: MANDARINA, NEKTARINA i NAR. Odredi skupove P, Q i R, a zatim i , , , . U kakvom su odnosu skupovi: a) R i P; b) R i Q?

Trajan Stanču

-15-

REŠENJE:

a) ; b) .

4. Odredi i tako da skupovi i budu jednaki.

REŠENJE:

Dva skupa su jednaka ako su im svi elementi jednaki. U oba skupa se nalaze lementi 42 i 60. Ostele dobijemo upoređivanjem. U skupu Q elementi c ili d su 15 ili 33, a u skupu P elementi a ili b su 51 ili 24. Bez obzira kako da ih odaberemo biće

5. Nabrajanjem elemenata i Venovim dijagramom predstavi skupove: ,

i .

Trajan Stanču

-16-

REŠENJE:

Venovim dijagramima:

Trajan Stanču

-17-

6. Dati su skupovi i . Odredi skupove i .

REŠENJE:

i

Trajan Stanču

-18-

7. Sa dijagrama na slici odredi elemente skupova:

A, B, C, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶, 𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶), (𝐴 ∖ 𝐵) ⋃ (𝐵 ∖ 𝐶)

REŠENJE:

𝐴 = {1, 2, 3, 4 , 5 , 6} 𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 4, 6}

𝐵 = {3, 4, 6, 7, 8, 9} 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {4, 6}

𝐶 = {4, 5, 6, 9, 10, 11} (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 = {3}

𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶) = {1, 2, 3, 4 , 5 , 6} ∩ {3, 7, 8} = {3}

(𝐴 ∖ 𝐵) ⋃ (𝐵 ∖ 𝐶) = {1, 2, 5} ⋃ {3, 7, 8} = {1, 2, 5, 3, 7, 8}

Trajan Stanču

-19-

8. Odredi i tako da skupovi i budu jednaki.

REŠENJE:

Element 50 imamo u oba skupa. Kako skup P nema elemente 32 i 14 jasno je da su to vrednosti za a i c. Slično je i za b i d.

9. Dati su skupovi i . Odredi skupove i .

REŠENJE:

Skup je određen, a skup B ima sledeće elemente:

Tada je :

Trajan Stanču

-20-

10. a) Upiši u Venov dijagram elemente ako je: , , . b) Napiši elemente skupa A i elemente skupa B. REŠENJE: a) Vidi sliku desno

b) ; .

11. Dati su skupovi , i . Odredi elemente skupova , , i

REŠENJE:

12. Dati su skupovi А = {х|х𝑁 и 2х < 8}, 𝐵 = {х|х𝑁 0 и х4} i

𝐶 = {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Odredi i predstavi Venovim dijagramom:

Trajan Stanču

-21-

а) 𝐴 ∩ 𝐵;

b) B ∪ 𝐴 ∪ 𝐶;

c) C\(A ∪ B).

13. Skup čine svi prirodni brojevi kojima se može deliti broj , a skup svi prirodni brojevi kojima se može deliti broj . Nabroj sve elemente tih skupova, nacrtaj dijagram i odredi skup

14. Skupovi i su jednaki. Odredi vrednost promenljivih i ako je i .

Trajan Stanču

-22-