ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

На правах рукопису

УДК 533.9

ІВКО СЕРГІЙ ВІКТОРОВИЧ

ВПЛИВ МАГНІТНОГО ПОЛЯ ТА НЕОДНОРІДНОСТІ ПЛАЗМИ

НА ПРОХОДЖЕННЯ Р-ПОЛЯРИЗОВАНОЇ ХВИЛІ КРІЗЬ

ШАРУВАТУ ПЛАЗМОВУ СТРУКТУРУ

Спеціальність – 01.04.08

«Фізика плазми»

Дисертація на здобуття вченого ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Денисенко Ігор Борисович

ХАРКІВ – 2015

2

ЗМІСТ

ВСТУП ................................................................................................................... 4

Розділ 1. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ .......................................................................... 19

Розділ 2. ДИСПЕРСІЙНІ ТА ЕНЕРГЕТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОВЕРХНЕВИХ ХИЛЬ ........................................................................................... 37

2.1 Дисперсія поверхневих хвиль ..................................................................... 37

2.2 Енергетичні властивості поверхневих хвиль ............................................. 43

2.3 Хвилі, що поширюються в додатному напрямку осі у ............................. 49

2.4 Хвилі, що поширюються у від’ємному напрямку осі у ............................ 55

Висновки до Розділу 2 .......................................................................................... 59

Розділ 3. ПОВНА ПРОЗОРІСТЬ ДВОШАРОВОЇ ПЛАЗМОВОЇ СТРУКТУРИ

У ПРИСУТНОСТІ ЗОВНІШНЬОГО МАГНІТНОГО ПОЛЯ ............................... 61

3.1 Основні рівняння та припущення ............................................................... 61

3.2 Прозорість двошарової плазмової структури. ........................................... 68

Висновки до Розділу 3 .......................................................................................... 74

Розділ 4. ПРОХОДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ КРІЗЬ

ДВОШАРОВУ ПЛАЗМОВУ СТРУКТУРУ З ПРОСТОРОВО

НЕОДНОРІДНОЮ ЕЛЕКТРОННОЮ ГУСТИНОЮ ............................................ 76

4.1 Основні рівняння .......................................................................................... 76

4.2 Випадок тонкого плазмового шару ............................................................. 80

4.3 Випадок слабкої неоднорідності ................................................................. 85

4.4 Випадок неоднорідності одного з шарів плазми ....................................... 90

3

4.5 Випадок неоднорідності обох шарів........................................................... 96

Висновки до Розділу 4 ........................................................................................ 102

ВИСНОВКИ ............................................................................................................. 105

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ............................................................... 108

4

ВСТУП

Фізичні явища, що пов’язані з поширенням електромагнітних хвиль в

плазмі, мають важливе фундаментальне та прикладне значення. Протягом

багатьох років проходження, відбиття, поглинання та збудження хвиль

вивчалося в різноманітних плазмових середовищах: від плазми газового

розряду [1–3] до іоносфери[4–6], від високотемпературної плазми в магнітних

уловлювачах [7; 8] до плазми, що утворюється при взаємодії надпотужного

лазерного випромінення з речовиною [9; 10] або в плазмово-пучкових

системах[11–13].

Плазма являє собою середовище з часовою та просторовою дисперсією, а

магнітоактивна плазма до того ж анізотропна, що визначає характеристики

електромагнітної хвилі, яка поширюються в ній. З іншого боку електромагнітне

поле хвилі взаємодіє з зарядженими частинками, що утворюють плазму,

впливаючи на їх функцію розподілу за енергією Така взаємодія хвилі та

плазмового середовища має складний характер, що потребує ретельного

вивчення, результати якого мають важливе теоретичне та практичне значення.

Побудова достовірних та точних моделей, що описують, наприклад, процес

поглинання енергії хвилі плазмою, є необхідною для підвищення ефективності

нагріву плазми. Вивчаючи властивості електромагнітних хвиль, що проходять

або відбиваються від неоднорідного плазмового середовища, можна за

допомогою метдів рефракто- та рефлектометрії визначити профіль

неоднорідності густини [14–16]. Теорія поширення хвиль в плазмі знаходить

застосування для передачі радіосигналів крізь іоносферу та для покращення

радіозв’язку з космічними апаратами в момент входження в атмосферу Землі,

коли вони оточені щільним шаром розпеченого та іонізованого повітря [17; 18].

Уявлення про електронну плазму в напівпровідниках та металах також

виявилось корисним при вивченні явищ, що пов’язані з існуванням

електромагнітних хвиль в таких плазмоподібних середовищах [19–21]. А в

5

останні роки з’явився новий клас штучно створених матеріалів

(метаматеріалів), що мають електромагнітні властивості, які не притаманні

природним матеріалам [22–26]. Ці матеріали складаються з великої кількості

однакових елементів спеціально підібраної форми та орієнтації, які періодично

розташовано у просторі, при цьому їх розміри менші за довжину хвилі.

Розвиток технологій з виробництва об’єктів мікро- та нано- розмірів дозволяє

створювати такі середовища навіть для електромагнітних хвиль інфрачервоного

та оптичного діапазонів[27; 28]. Електромагнітні властивості таких матеріалів

можна варіювати в широких межах, змінюючи конструкцію елементів, з яких

складається середовище. Дослідниками були створені штучні середовища з

від’ємною діелектричною та магнітною проникностями, біанізатрпопні

середовища. Але, можливо, самою цікавою властивістю, яку можна реалізувати

в метаматеріалах, є від’ємний показник заломлення, тобто скалярний добуток

вектора Пойнтінга та фазової швидкості хвилі в них стає від’ємним. [24; 29–31].

Ці нові матеріали знаходять застосування в нових методах мікроскопії з

роздільною здатністю, що перевищує обмеження, які спричиняє дифракція[32].

Структури з метаматеріалів застосовуються для передачі та детектування

сигналів в приладах мікроелектроніки та нанофотоніки. Властивості таких

середовищ можна описати в термінах ефективної діелектричної та магнітної

проникностей, якщо характерний розмір елементів, з яких створено матеріал,

набагато менший за довжину електромагнітної хвилі. Деякі з них мають

частотну дисперсію діелектричної проникності аналогічну металам та плазмі,

тобто наближено описується теорією Друде. Тому нерідко плазмоподібне

середовище використовується в якості моделі для метаматеріалів, що мають

від’ємну діелектричну проникність [33].

В експериментальних приладах та в природних умовах плазмове

середовище, в якому поширюються хвилі, часто має неоднорідну в просторі

густину, ступінь іонізації, температуру тощо. Це означає, що діелектрична

проникність є функцією координати. Хвильове рівняння для електромагнітного

поля в цьому випадку має аналітичні розв’язки лише для обмеженого класу

6

функціональних залежностей, які описують профіль неоднорідності. Тому на

практиці доводиться користуватися наближеними та числовими методами. У

випадку слабкої неоднорідності, тобто, якщо характерний масштаб

неоднорідності значно більший за довжину хвилі, стандартним є використання

наближення геометричної оптики [34–37]. Існує інший метод, який розглядає

неоднорідну область плазми, як набір однорідних шарів, з густиною, що

змінюється ступінчаcто від шару до шару [38–40]. Таким чином, початкова

задача зводиться до розв’язку хвильового рівняння з постійною діелектричною

проникністю в кожному шарі та до зшивки отриманих розв’язків на кожній

межі поділу.

Профіль неоднорідності може мати шаруватий характер в силу природних

факторів. Наприклад, в іоносфері Землі розрізняють від двох (Е та F) до

чотирьох (D, Е, F1 та F2) шарів [5; 41; 42], які відрізняються процесами, що в

них протікають, і, як результат, мають різну концентрацію електронів та іонів та

елементний склад іонів. В експериментах з лазерного термоядерного синтезу

густина плазми, що утворюється внаслідок взаємодії потужного лазерного

випромінення з мішенню, має на просторовому профілі неоднорідності область

з різким стрибком густини, що поділяє плазму на два шари[43]. Космічні

апарати, що входять в атмосферу, за рахунок адіабатичного стискання та

розігріву повітря створюють навколо себе щільний шар плазми, який в свою

чергу оточений шаром менш густої плазми, що складає іоносферу[17; 18].

Структури, що складаються з декількох шарів плазми або плазмоподібного

матеріалу, знаходять застосування в плазмовій напівпровідниковій електроніці

та фотоніці. Останнім часом широко вивчається клас шарувато-періодичних

структур, що мають назву фотонні кристали[44; 45]. В таких середовищах

діелектрична проникність періодично змінюється в просторі з періодом, який

можна співставити з довжиною хвилі. В найпростішому випадку, а саме

одновимірного фотонного кристалу, це структура, що складається з двох шарів з

різними показниками діелектричної проникності, що періодично змінюють

один одного. Характерною особливістю таких структур є наявність фотонної

7

забороненої зони, – діапазону довжин хвиль, в якому хвилі не можуть

поширюватись в кристалі. Ця властивість є аналогічною до властивості

напівпровідників, в зв’язку з чим фотонні кристали можуть стати основою для

побудови приладів нанофотоніки майбутнього. Наприклад, фотонні кристали

дають можливість побудувати хвилеводи дуже малих розмірів[46], при цьому з

малими втратами енергії. На основі фотонного кристалу було запропоновано

суперпризму, – призму з надзвичайно великою кутовою дисперсією[47]. Також

вони можуть бути використанні для створення нового покоління лазерів [48],

оптичних запам’ятовуючих та логічних пристроїв [49].

Як бачимо, шаруваті плазмові структури, що складаються з двох та

більше шарів, часто зустрічаються в природі та техніці.

Якщо густина одного з шарів достатньо велика, то структура в цілому

може бути непрозорою для електромагнітної хвилі, що падає на неї. У зв’язку з

чим виникає задача дослідження фізичних явищ, за рахунок яких енергія хвилі

може бути передана крізь область непрозорості. Або, якщо стоїть задача

нагрівання плазми, досліджуються умови, за яких енергія хвилі повністю

поглинається в середовищі за рахунок дисипативних процесів. Обидва випадки

об’єднує те, що за ідеальних умов відбита хвиля відсутня.

Існують різноманітні механізми просвітлення хвильових бар’єрів. Деякі з

них засновані на резонансній взаємодії хвилі з частинками плазми. Внаслідок

передачі енергії від хвилі частинкам утворюється промодульований струм, який

переносить інформацію про хвилю крізь область непрозорості, після чого,

регенерує хвилю вже за бар’єром [50]. Цей механізм потребує наявності в

плазмі достатнього числа резонансних частинок, що обмежує область його

застосування. Це обмеження можна обійти, якщо використовувати зовнішнє

джерело частинок [51], але це ускладнює систему. Окрім цього, в щільній

плазмі промодульваний хвилею струм електронів буде розсіюватись за рахунок

зіткнень, тим самим виходячи з резонансу.

Інша група методів просвітлення хвильових бар’єрів спирається на

нелінійний ефект модуляційної нестійкості. Якщо амплітуда хвилі достатньо

8

велика, то електричне поле хвилі змінює діелектричну проникність плазми

таким чином, що утворюється хвилеводний канал крізь бар’єр [52].

Розглядався механізм із застосуванням параметричного збудження

електростатичних хвиль, що поширювалися крізь область, яка була не прозорою

для хвилі, що падає. Внаслідок взаємодії між собою вони регенерували хвилю

за бар’єром [53]. Також розглядалося збудження поверхневих хвиль, що

поширювалися вздовж межі плазма-вакуум з обох сторін плазмового шару, і так

само за рахунок взаємодії між собою збуджували хвилю за бар’єром [54].

Істотним недоліком цих методів є необхідність використання потужного

випромінення для того, щоб вплив нелінійних ефектів був суттєвим.

В структурах, що складаються з кількох шарів, існують власні коливання,

які можуть бути збуджені хвилею, що падає. В багатьох роботах

досліджувалося зменшення коефіцієнта відбиття електромагнітної хвилі від

хвильового бар’єру внаслідок її резонансу з власними коливальними модами

багатошарової структури [55–58]. Прикладом такої моди є поверхнева хвиля,

що поширюється вздовж різкої межі поділу середовищ.

В роботі [59] розглядалась задача похилого падіння р-поляризованої хвилі

на напівобмежену плазму високої густини ( pe ). Між вакуумом та

основною плазмою існував проміжний шар плазми низької густини ( pe ).

Завдяки цьому шару хвиля за певних кутів падіння скінується (тобто поле хвилі

експоненційно спадає від межі розділу) і може збудити поверхневу хвилю на

межі плазма-плазма. Якщо в плазмі існує ефективний механізм поглинання

поверхневої хвилі, це призводить до нагріву плазми.

Можливе збудження і інших власних мод. В роботах [55; 60] було

проаналізовано спосіб введення випромінення в середовище, що забезпечує

повне його поглинання. Розглядалась плазма з плавним профілем

неоднорідності, що має різкий стрибок густини (або «ямку») в околі точки

плазмового резонансу. За данного розподілу густини плазми в системі існує

власна хвиля, що загасає не тільки за рахунок дисипативних процесів, але і за

рахунок «висвічування» енергії у вакуум. Процесс висвічування є зворотним,

9

що дозволяє вводити енергію без відбиття, за умови якщо енергія, що надходить

з хвилею повністю поглинається за рахунок дисипативних процесів. В [55]

зазначається, що для р-поляризованої хвилі цей механізм можна реалізувати в

плазмі з профілем неоднорідності, що має два стрибки густини, який

розглядався до того в роботі[59]. А за наявності «ямки» на профілі густини

плазми можливе повне поглинання як р-поляризованої, так і s-поляризованої

хвилі.

Резонансні властивості системи, що мають два хвильові бар’єри в області

циклотронних резонансів за наявності двох сортів іонів та неоднорідного

магнітного поля, можна застосувати для поліпшення ефективності нагріву

плазми в токамаках за рахунок збільшення коефіцієнта конверсії швидкої

магнітозвукової хвилі в короткохвильову моду, яка добре загасає на

електронах[61]. Збільшення коефіцієнта конверсії досягається в результаті

деструктивної інтерференції між собою хвиль, що відбиваються від першого та

від другого хвильового бар’єрів.

Широко досліджуються дво- та тришарові обмежені та напівобмежені

системи з різкими межами між шарами, що характерно для твердих

плазмоподібних середовищ [62–65]. Так в [66] було розглянуто повне резонасне

поглинання р-поляризованої хвилі в напівобмеженій двошаровій структурі, що

має профіль неоднорідності аналогічний профілю з роботи [59]. Задача

просвітлення хвильового бар’єру аналізувалася на прикладі симетричної

тришарової структури, в якій непрозорий для р-поляризованої хвилі шар плазми

було оточено з обох боків однаковими шарами плазми меншої густини [56].

Додаткові шари плазми дозволяють досягти фазового сінхронізму між хвилею,

що падає, та власною поверхневою модою системи і передати енергію хвилі, що

поширюється за бар’єром. Експеримент з просвітлення срібної плівки, що

знаходилась між двома шарами діелектрика (фторида магнія), показав, що така

структура за певних кутів стає аномально прозорою для р-поляризованої хвилі.

При цьому для s-поляризованої хвилі структура залишалася непрозорою у

всьому діапазоні кутів.

10

Досліджувались симетричні тришарові структури, в яких шар прозорого

матеріалу (діелектрик) знаходився між шарами непрозорого матеріалу (металу)

[65; 67]. Резонансна прозорість такої структури можлива за умови збудження як

поверхневих мод, так і мод типу Фабрі-Перо, для яких в області між бар’єрами

існує стояча хвиля. В роботі [68] наведено результати експериментальних

досліджень багатошарових структур (в тому числі тришарової), що складалися з

шарів алюмінію та фториду магнія, в яких крайові шари були з алюмінію.

Досліджувалися коефіцієнти прозорості для р- та s-поляризованої хвилі. Було

показано, що резонансне збільшення коефіцієнта прозорості спостерігається

лише для р-поляризованої хвилі.

Однак було з’ясовано, що наявність трьох шарів та симетрія не

обов’язкові для просвітлення хвильового бар’єра. В роботі [57] показано, що і

двошарова структура має резонансу поверхневу моду, яка призводить до

аномальної прозорості. На відміну від тришарової структури, для якої

залежність коефіцієнта прозорості від ky має два максимума, для двошарової

існує лише один. Виявляється, що дотична до поверхні компонента хвильового

вектора та частота хвилі, що проходить крізь структуру, пов’язані між собою

дисперсійним рівнянням для поверхневих хвиль на межі двох напівобмежених

середовищ.

Властивості поверхневих хвиль, в тому числі і їх дисперсія, вивчаються

на протязі багатьох років в різноманітних хвилеводних системах [63; 69–73].

Багато досліджень було присвячено поверхневим хвилям на межі плазма-

вакуум [73; 74] та плазма-метал [72; 75]. Поверхневі хвилі на межі плазма-

плазма досліджувалися дещо менше та пререважно стосовно до плазми

напівпровідників [76–78]. З цих досліджень відомо, що для існування

поверхневих хвиль необхідно, щоб діелектричні проникності середовищ, що

межують, мали різні знаки. Для існування швидкої поверхневої хвилі

необхідно, щоб діелектрична проникність середовища з додатною

діелектричною проникністю була менша за одиницю, що можливо в плазмі, але

не в вакуумі чи діелектрику. А саме швидку поверхневу хвилю збуджує хвиля,

11

що падає на шарувату структуру. При проходженні хвиль крізь шари плазми

важливо знати енергетичні характеристики хвилі (густина енерегії, вектор

Пойнтінга, швидкість поширення енергії). Потоки енергії поверхневої хвилі на

межі плазма-вакуум та плазма-плазма без магнітного поля в кожному з

середовищ окремо спрямовані протилежно. Досліджувався розподіл вектора

Пойнтінга в просторі для різних поверхневих мод [67]. Також було зазначено,

що для переносу енергії хвилею, що скінуються в плазмі, необхідно щоб поле

було суперпозицією експоненційно зростаючої та спадаючої хвиль [58].

Напрямок вектора Пойнтінга відносно хвильового вектора є однією з

визначальних характеристик лівих середовищ. В роботі [79] на основі аналізу

поведінки потоків енергії поверхневих хвиль автори визначили ліворукі

інтерфейси, тим самим поширивши ідеї ліворуких середовищ на новий клас

фізичних об’єктів. Зв’язок між поверхневими хвилями та резонансною

прозорістю шаруватих структур додає актуальності подальшому вивченню їх

дисперсійних та енергетичних характеристик.

Актуальність теми. Часто в лабораторних експериментах та в природних

умовах плазма знаходиться в зовнішньому магнітному полі. Іоносфера

знаходиться в магнітному полі Землі; в багатьох експериментальних приладах

магнітне поле використовується для утримання плазми, переважна більшість

досліджень з керованого термоядерного синтезу проводиться саме в магнітних

уловлювачах — токамаках та стелараторах[8]. Також велика кількість приладів,

що знайшли технологічне застосування базуються на газовому розряді в

магнітному полі: магнетрони [80], розряди Пенінга [81; 82], магнітні

компресори [83] та багато інших.

Плазма в магнітному полі стає гіротропним середовищем, що означає, що

хвилі з правою та лівою еліптичною поляризацією поширюються з різними

швидкостями. Тобто система стає дзеркально несиметричною. Зокрема

поверхневі хвилі, що поширюються вздовж межі поділу магнітоактивної плазми

з іншим середовищем, стають невзаємним: хвилі, що поширюються у

протилежних напрямках, мають різну фазову швидкість. Також в магнітному

12

полі збагачується спектр власних коливань плазми.

Прозорість багатошарових плазмових структур в магнітному полі для р-

поляризованої хвилі за умови збудження власних мод структури, до цього часу

не була досліджена. Оскільки зовнішнє магнітне поле суттєво впливає на

поширення електромагнітних хвиль в плазмі та на поверхневі моди шаруватої

плазмової структури, оцінка цього впливу на прозорість становить не

тривіальну задачу. Результати дослідження впливу зовнішнього магнітного поля

на характеристики шаруватої плазмової структури необхідні для подальшого

проектування нових приладів плазмоніки, якими можна керувати, змінюючи

магнітне поле.

Оскільки прозорість шаруватих структур, що досліджуються в даній

дисертаційній роботі, пов’язана з умовами існування власної поверхневої моди

системи, важливо дослідити її дисперсійні та енергетичні характеристики.

Властивості цієї моди визначають характеристики електромагнітної хвилі, що

пропускає шарувата структура за умов повної прозорості. До цього часу

енергетичні характеристики поверхневих хвиль на межі поділу двох

магнітоактивних середовищ детально не вивчалися.

В попередніх дослідженнях прозорості шаруватих структур густина

плазми вважалась однорідною в межах одного шару або лінійно неоднорідною

[56–58; 84]. Такі прості профілі неоднорідності зручні для теоретичного аналізу

та дозволяють отримати аналітичні розв’язки хвильового рівняння [37; 85]. На

практиці для твердого тіла створити шари плазми постійної густини не важко.

Але для плазми газового розряду однорідний розподіл густини в просторі не

притаманний. Оскільки до цього часу дослідників в основному цікавили

шаруваті структури, складені з твердих плазмоподібних матеріалів, структури,

що складаються з шарів з довільним профілем неоднорідності, були досліджені

мало. Зокрема, не було розглянуто косинусоподібні профілі неоднорідності,

характерні для плазми газового розряду. Результати, що було отримано в

дисертаційній роботі, наближають існуючі теоретичні моделі до реальних

експериментів.

13

Таким чином, тема дисертаційної роботи є актуальною як для фізики

плазми, так і для більш широкого класу матеріалів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертація написана на основі робіт, виконаних у Харківському національному

університеті імені В.Н. Каразіна. Роботи було проведено відповідно з науково-

дослідними темами кафедри прикладної фізики та фізики плазми у 2009-

2015 р., в яких здобувач був виконавцем.

1. «Вплив домішок на поширення, загасання та поглинання

електромагнітних хвиль в плазмових пристроях.» (шифр 4-13-09, номер

державної реєстрації №0109U001448, 2009-2012 р.)

2. «Фізичні процеси та формування наноструктур в обмежених

плазмоподібних середовищах» (шифр 4-13-12, номер державної

реєстрації №0111U010003, 2012– 2015 р.)

3. «Формування та діагностика нано- та мікро-розмірних об’єктів і структур

та їх вплив на середовище» (шифр 13-13-14, номер державної реєстрації

№0114U000130, 2014 – 2016 р.)

4. «Фізичні процеси в обмежених плазмоподібних середовищах,

метаматеріалах та надгустій плазмі» (шифр 5-13-15, номер державної

реєстрації №0115U000470, 2015 – 2017 р.)

Дослідження резонансної прозорості двошарової структури за

неоднорідності одного з шарів, що увійшли до четвертого розділу дисертації,

пов’язані з виконанням науково-технічного проекту Державного фонду

фундаментальних досліджень МОН України «Фізичні процеси в плазмі, яка

містить нано і мікро об'єкти» (номер державної регістрації № держреєстрації

0111U007701, 2011р.)

В рамках партнерського проекту НАТО «Резонансна прозорість

плазмоподібних металево- діелектричних структур» (№ CBP.NUKR.CLG.

983378, 2009 – 2011р.) було проведено дослідження, що увійшли до третього та

четвертого розділів роботи.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є встановити,

14

як магнітне поле, неоднорідність просторового розподілу густини плазми та

інші параметри впливають на проходження р-поляризованої хвилі крізь

двошарову плазмову структуру, що має місце за умов існування поверхневих

хвиль на межі плазмових середовищ; знаходження умов, за яких прозорість

структури максимальна; визначення дисперсійних та енергетичних

характеристик поверхневих хвиль, що розповсюджуються на межі двох

напівобмежених плазмових середовищ у присутності зовнішнього магнітного

поля.

Для досягнення цієї мети було необхідно розв’язати наступні задачі:

1. Визначити дисперсійні та енергетичні характеристики поверхневої хвилі,

що поширюється на межі двох напівобмежених магнітоактивних

плазмових середовищ в геометрії Фойгта.

2. Отримати аналітичні вирази для коефіцієнтів відбиття хвилі та прозорості

структури, що складається з двох шарів магнітоактивної плазми, для р-

поляризованої хвилі. При цьому розглянути випадок, коли плазмова

частота одного з шарів плазми є більшою за частоту хвилі і між шарами

плазми поширюється поверхнева хвиля. Провести розрахунки коефіцієнта

прозорості структури для різних зовнішніх умов (різних значень

хвильового вектора, товщини шарів плазми, частоти хвилі та значень

зовнішнього магнітного поля).

3. Проаналізувати залежності коефіцієнта прозорості двошарової

магнітоактивної плазмової структури від зовнішніх умов та встановити

умови, за яких коефіцієнт прозорості є максимальним (~ 1).

4. Розвинути теорію поширення р-поляризованої хвилі крізь структуру, що

складається з двох шарів неоднорідної плазми з довільним профілем

неоднорідності. Отримати аналітичні вирази, що визначають коефіцієнти

відбиття хвилі та прозорості структури у випадку слабкої неоднорідності

плазмових шарів та у випадку, коли неоднорідні шари плазми є тонкими.

5. Розрахувати коефіцієнт прозорості двошарової структури, що складається

з шарів неоднорідної плазми. Розглянути випадки, коли один з шарів має

15

лінійний або косинусоподібний профіль неоднорідності, та випадок, коли

в обох шарах густина електронів розподілена в просторі по закону

косинуса.

Об’єктом дослідження є поверхнева хвиля, що поширюється вздовж

плоскої межі двох магнітоактивних плазмових середовищ в геометрії Фойгта; р-

поляризована електромагнітна хвиля, що падає під довільним кутом на

структуру, що складається з двох шарів плазми, яка: а) однорідна та

магнітоактивна (з магнітним полем перпендикулярним до площини падіння)

або б) неоднорідна та немагнітоактивна.

Предметом дослідження є дисперсія, густини енергії, густини потоків

енергії та швидкість поширення енергії поверхневої хвилі, що

розповсюджується вздовж межі двох магнітоактивних середовищ в геометрії

Фойгта. Коефіцієнт відбиття р-поляризованої хвилі від двошарової плазмової

структури та коефіцієнт прозорості цієї структури у зовнішньому сталому та

однорідному магнітному полі, що є перпендикулярним до площини падіння

хвилі. Залежність коефіцієнта прозорості двошарової структури від величини

зовнішнього магнітного поля, товщини шарів, величини та напрямку

хвильового вектора р-поляризованої хвилі, що падає, та просторового профілю

неоднорідності густини електронів.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використовується теорія

електромагнітного поля Максвелла, імпедансний опис багатошарових структур

[86], метод Вентцеля-Крамерса-Бріллюена для розв’язання хвильового рівняння

в області слабкої неоднорідності, метод Рунге-Кутти для числового

інтегрування диференційних рівнянь. Плазмове середовище описується в

гідродинамічному наближенні холодної плазми без зіткнень.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі

одержано наступні нові наукові результати:

Вперше

– Отримано аналітичний вираз, що описує умови повної прозорості

двошарової плазмової структури в магнітному полі. Показано, що у випадку

16

товстих шарів ця умова співпадає з дисперсійним рівнянням поверхневих

хвиль, що розповсюджуються на межі двох напівобмежених плазмових

середовищ. Запропоновано спосіб керування прозорістю двошарової

плазмової структури для р-поляризованої хвилі шляхом зміни величини

зовнішнього магнітного поля.

– Показано, що залежність коефіцієнта прозорості двошарової плазмової

структури для р-поляризованої хвилі від хвильового числа у зовнішньому

сталому та однорідному магнітному полі, яке спрямоване перпендикулярно

хвильовому вектору, має два піки різної висоти, різниця між якими

збільшується з ростом зовнішнього магнітного поля.

– Показано, що двошарова структура, яка складається з тонких неоднорідних

плазмових шарів з довільним розподілом електронної густини, може

пропускати р-поляризовані хвилі в широкому діапазоні довжин хвиль з

низьким коефіцієнтом відбиття за умови правильного підбору товщини цих

шарів.

Дістала подальший розвиток

– теорія проходження р-поляризованих хвиль крізь структури, що

складаються з шарів плазми або плазмоподібного матеріалу, за умов

поширення поверхневої хвилі вдовж межі поділу. Як розвиток існуючої

теорії було окремо враховано вплив зовнішнього сталого та однорідного

магнітного поля, що перпендикулярне хвильовому вектору, та

неоднорідності електронної густини з довільним просторовим розподілом

на коефіцієнт прозорості шаруватої структури.

– теорія поширення поверхневих хвиль на межі плазма-плазма у

зовнішньому магнітному полі. Зокрема, на основі аналізу аналітичних

виразів для потоків енергії поверхневих хвиль на межі двох

магнітоактивних плазмових середовищ знайдено умови, за яких потік

17

енергії в шарі плазми високої густини змінює напрямок від напрямку

вздовж хвильового вектора на протилежний. Отримано аналітичні вирази

для потоків енергії та густини енергії в кожному з плазмових середовищ

та для групової швидкості.

Практичне значення одержаних результатів. Результати мають важливе

практичне значення для подальшого розвитку теорії взаємодії

електромагнітного випромінювання з неоднорідною та магнітоактивною

плазмою та різними плазмоподібними середовищами, з багатошаровими

плазмовими структурами. Результати роботи можуть бути використані для

ефективної передачі електромагнітного сигналу крізь шари густої неоднорідної

та магнітоактивної плазми, а також для діагностики та нагріву плазми.

Результати, одержані в дисертаційній роботі, можуть бути застосовані в

Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут»,

Інституті ядерних досліджень НАН України, Науковому фізико-технологічному

центрі МОН та НАН України, Харківському національному університеті імені

В.Н. Каразіна, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка,

Інституті космічних досліджень НАН України, Інституті радіофізики та

електроніки імені О.Я. Усикова НАН України.

Особистий внесок здобувача. Результати, що виносяться на захист,

одержані здобувачем самостійно.

У всіх наукових роботах, що було опубліковано за темою дисертації,

здобувач приймав безпосередню участь на всіх етапах виконання: обговоренні

та постановці задачі, аналітичних та числових розрахунках, в обговорені та

публікації результатів. Здобувач особисто представляв результати, викладені в

дисертаційній роботі, на міжнародних та українських конференціях.

Таким чином, особистий внесок здобувача в одержання результатів, що

виносяться на захист в дисертаційній роботі, є визначальним.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дослідження

доповідалися на наступних конференціях:

1. Українській конференції з фізики плазми та керованого термоядерного

18

синтезy - 2009, Київ (27-28 жовтня 2009 р.)

2. ХІ міжнародному семінарі«Плазмова електроніка та нові методи

прискорення‖, Харків (23-27 серпня 2010 р.)

3. International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion,

Alushta (Crimea), Ukraine, (September 13-18, 2010)

4. Українській конференції з фізики плазми та керованого термоядерного

синтезy - 2011, Київ (25-26 жовтня 2011 р.)

5. International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion,

Alushta (Crimea), Ukraine, (September 17-22, 2012)

6. Українській конференції з фізики плазми та керованого термоядерного

синтезy - 2013, Київ (24-25 вересня 2013 р.)

Публікації. За матеріалами, що увійшли до дисертаційної роботи,

опубліковано 11 наукових робіт, з них 6 статей в наукових журналах, серед яких

4 статті у журналах з імпакт-фактором, та 5 тезисах доповідей на наукових

конференціях.

В наукових виданнях України з фізико-математичних наук опубліковано

4 статті; в міжнародних наукових рецензованих виданнях з фізико-

математичних наук з імпакт- фактором вище 2 опубліковано 2 статті.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота містить

вступ, огляд літератури, три розділи основного тексту, висновки і список

використаних літературних джерел з 146 найменувань. Повний обсяг дисертації

становить 119 сторінок. Кількість ілюстрацій в тексті: 34. Список використаних

літературних джерел міститься на 12 сторінках.

19

Розділ 1. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ

Поширення електромагнітних хвиль у плазмі та плазмоподібних

середовищах є об’єктом інтенсивних наукових досліджень протягом багатьох

десятиліть. Ця проблема становить великий інтерес у зв’язку з вивченням

земної іоносфери, міжзоряних та міжпланетних просторів радіочастотними

методами, розробкою методів зв’язку, дослідженнями газового розряду та

керованого термоядерного синтезу, а також розробкою різних приладів мікро- та

наноелектроніки [1; 8; 41; 45; 87; 88]. Вивчення властивостей електромагнітних

хвиль, що поширюються у плазмі, є важливим для розробки нових методів

діагностики плазми [14; 15; 89], ефективного нагріву плазми [59], створення

плазмових приладів [90]. Останнім часом особливого інтересу набули

дослідження електромагнітних властивостей штучних середовищ, які також до

певної міри можуть вважатися плазмоподібними.

Початковий інтерес до поширення електромагнітних хвиль в іонізованому

газі виник після того, як О. Хевісайд та незалежно від нього А. Кеннелі в 1902

році постулювали наявність в атмосфері Землі шару, від якого відбиваються

радіохвилі [91; 92]. Наявність шару, який проводить струм, на їх погляд,

пояснювало передачу радіохвиль на значні відстані, а саме через Атлантичний

океан, що було продемонстровано Марконі 12 грудня 1901 року. Наявність шару

Хевісайда-Кенеллі було підтверджено в експерименті Е. Епплтона та М.

Барнетта в 1924 році. Вони спостерігали, що радіохвилі від передавача

приходять на приймаючу антену з двох напрямків: горизонтально та під кутом

близько 20 градусів до земної поверхні. Змінюючи частоту сигналу, з аналізу

інтерференції цих двох хвиль вони змогли оцінити висоту шару іоносфери, від

якого відбивалися хвилі [93].

У результаті подальших спостережень Епплтон відкрив, що іоносфера

складається з двох шарів. Перший шар, названий Е-шаром, що знаходиться

ближче до поверхні Землі, відбиває радіохвилі з більшою довжиною хвилі.

Другий шар, F-шар, що знаходиться далі від поверхні Землі, має більшу густину

20

електронів і відбиває більш короткохвильове випромінювання, яке проходить

крізь перший шар [42]. Нижня межа Е-шару знаходиться на висоті приблизно

90 км, а верхня межа доходить до 120 км, густина електронів в цьому шарі

змінюється потягом доби від 103 см

–3 вночі до приблизно 10

5 см

–3 вдень. Решту

іоносфери, що знаходиться вище 120–140 км, відносять до F-шару. Густина

електронів в цьому шарі досягає максимального значення порядку 106 см

–3 на

висоті приблизно 250 км. Також Епплтон та Реткліф встановили, що відбита від

іоносфери хвиля має кругову поляризацію, та правильно припустили, що це

результат дії магнітного поля Землі[42]. Епплтон вперше запропонував теорію

поширення радіохвиль в іоносфері, що враховувала магнітне поле (магніто-

іонна теорія) [94; 95]. З теорії випливає, що в іоносфері Землі поширюються дві

хвилі – звичайна, яка має відсічку на плазмовій частоті, та незвичайна, на

поширення якої впливає магнітне поле, яка має дві відсічки та резонанс на

циклотронній частоті. За значний вклад у дослідження іоносфери в 1947 році

Епплтон був нагороджений Нобелевською премією. Питання про поширення

радіохвиль у плазмі, особливо в застосуванні до іоносфери Землі, детально

викладено в монографіях [96].

Іоносферна та лабораторна плазма можуть розглядатися як однорідні

середовища лише на певних просторових масштабах. У багатьох випадках

необхідно враховувати неоднорідність плазмового середовища. Оскільки

хвильове рівняння можна розв’язати точно лише для певних просторових

розподілів густини плазми, в багатьох задачах доводиться вдаватися до

наближених методів розв’язку. Якщо властивості середовища змінюються слабо

на характерному масштабі хвильового процесу, то можна застосувати метод

геометричної оптики або метод Вентцеля-Крамерса-Бріллюена (ВКБ)[34–37].

Але метод ВКБ не можна застосовувати, коли існує різкий градієнт показника

заломлення. У випадку розповсюдження високочастотної хвилі вздовж

градієнту густини плазми він також непридатний, коли показник заломлення є

малим, тобто поблизу точки плазмового резонансу, а у випадку похилого

падіння хвилі з вакууму на шар плазми – поблизу точки відбиття x0, в якій

21

00 cos/)( xpe , де та pe – це частота хвилі та плазмова частота електронів

відповідно. 0 – кут між нормаллю до поверхні шару плазми та хвильовим

вектором на межі вакууму з плазмою [37; 97].

Електромагнітне поле хвилі у неоднорідній плазмі має свої особливості у

порівнянні з її полем в однорідній плазмі. Зокрема, у неоднорідній та

однорідній плазмі електричні та магнітні поля хвилі мають різні просторові

розподіли. При розповсюдженні хвилі вздовж градієнту густини у неоднорідній

плазмі можливе порушення поперечності електричної складової хвилі поблизу

точки плазмового резонансу, де плазмова частота дорівнює частоті хвилі. У

неоднорідній плазмі амплітуда хвилі не є постійною величиною, а змінюється з

координатою. Фаза хвилі також змінюється з координатою, причому за

нелінійним законом, і визначається інтегралом від показника заломлення. При

поширенні хвилі у неоднорідній плазмі можливе явище відбиття хвилі від

області, де діелектрична проникність стає від’ємною. Тоді в області, де

діелектрична проникність додатна, формується стояча хвиля, а в області, де

вона від’ємна, амплітуда хвилі експоненціально зменшується з координатою.

За відсутності зовнішнього магнітного поля у холодній плазмі (фазова

швидкість хвилі значно більша за теплову швидкість електронів) у плазмі

можливо поширення двох типів хвиль: s-поляризованої хвилі (або Н-хвилі ),

електричний вектор якої перпендикулярний до площини падіння, та р-

поляризованої хвилі (або Е-хвилі ), електричний вектор якої лежить у площині

падіння.

За нормального або похилого падіння s-поляризованої хвилі з вакууму на

шар неоднорідної плазми, густина електронів якого зростає від межі цього шару

з вакуумною областю, за точкою відбиття поле хвилі експоненціально

зменшується. За похилого падіння р-поляризованої хвилі за точкою відбиття

поле також експоненціально зменшується, але при наближенні до точки

плазмового резонансу ( 0Re ) воно зростає, і за умови нехтування

поглинанням в цій точці компоненти електричного поля хвилі можуть стати

дуже великими. Без урахування дисипації (зіткнень між частинками)

22

електричне поле хвилі за теорією зростає необмежено, але завдяки дисипації

цього не відбувається [37]. Крім цього, одним з механізмів, що є причиною

обмеження амплітуди поля р-поляризованої хвилі в точці, де 0Re , є

збудження плазмових хвиль. Падаюча на шар плазми хвиля, яка має компоненту

поля вздовж напрямку неоднорідності плазми, збуджує плазмові коливання,

амплітуда яких зростає при наближенні до точки, в якій 0Re . Ці коливання

поширюються у вигляді плазмових хвиль і виносять з околиці точки плазмового

резонансу частину енергії електромагнітної хвилі, що призводить до обмеження

амплітуди електромагнітної хвилі в точці, де 0Re . Зрештою, енергія

плазмових хвиль переходить в енергію теплового руху частинок. Амплітуда

електричного поля р-поляризованої хвилі в точці плазмового резонансу за

похилого падіння хвилі на шар плазми зменшується зі зростанням частоти

зіткнень електронів та теплової швидкості електронів[98].

В магнітному полі плазма стає гіротропним середовищем. Властивості

хвиль, що поширюються у плазмі в присутності зовнішнього магнітного поля,

суттєво залежать від кута між хвильовим вектором хвилі та зовнішнім

магнітним полем. Якщо хвиля поширюється вздовж сталого магнітного поля, то

ця хвиля може бути з лівою (електрони обертаються у напрямку протилежному

до циклотронного руху) або правою (електрони обертаються у напрямку

циклотронного руху) круговою поляризацією [99].

У плазмі, що утримується у сталому магнітному полі, часто збуджують та

реєструють хвилі, що поширюються перпендикулярно до напрямку магнітного

поля. Електромагнітна хвиля може бути поляризована або паралельно, або

перпендикулярно до магнітного поля. Така відмінність у поляризації замінює

класифікацію хвиль на хвилі з правою та лівою круговою поляризацією, яка

характерна для поширення хвиль уздовж магнітного поля. Хвилю, у якої вектор

електричного поля паралельний до магнітного поля, називають звичайною

хвилею (її також називають s-поляризованою хвилею або Н- хвилею), так як

закон дисперсії для неї такий же, як і за відсутності зовнішнього магнітного

поля. Хвилю з вектором напруженості електричного поля, перпендикулярним

23

до магнітного поля, називають незвичайною хвилею (її також називають р-

поляризованою хвилею або Е- хвилею).

Хвилі, що поширюються під довільним кутом до вектора зовнішнього

магнітного поля Н0, не можна поділити на s- та p- поляризовані хвилі та на

хвилі з лівою та правою круговою поляризацією. Розділення хвиль на s- та p-

поляризовану можливе лише для хвиль, що поширюються у холодній

магнітоактивній плазмі перпендикулярно до зовнішнього магнітного поля. За

присутності зовнішнього магнітного поля хвилі є невзаємними, тобто

властивості хвиль змінюються при зміні напрямку хвильового вектора на

протилежний напрямок.

Якщо частота хвилі в плазмі при Н0 = 0 є меншою за плазмову частоту

електронів, а у магнітоактивній плазмі за верхньогібридну частоту, то хвиля не

поширюється у даній плазмовій області, а скінується (амплітуда хвилі

зменшується експоненціально з відстанню). Між тим, для багатьох прикладних

задач необхідно передавати електромагнітний сигнал через плазмові бар’єри з

високою густиною плазми. Наприклад, навколо літальних апаратів, що входять

з космосу в атмосферу Землі з надзвуковою швидкістю, виникає шар густої

плазми, який сильно погіршує або, навіть, робить неможливим зв'язок з

Землею [17].

Тому метою багатьох наукових досліджень став пошук механізмів, які б

забезпечили ефективне проходження хвиль крізь плазмові бар’єри високої

густини.

Прозорість густої плазми, що знаходиться в однорідному зовнішньому

магнітному полі, для електронної ленгмюрівської хвилі досліджувалася у роботі

[100]. Було показано, що теорія, викладена в [50] для плазми без магнітного

поля, дає також задовільні результати для магнітоактивної плазми.

У роботі [50] було запропоновано метод проходження електромагнітних

хвиль крізь плазмові бар’єри в неоднорідній плазмі, пов’язаний з кінетичними

ефектами [101; 102]. Цей метод базувався на наступному фізичному явищі:

електрони, які було захоплено в потенційну яму хвилі в області відносно

24

низької густини плазми, рухалися в напрямку бар’єра, де плазмова частота

значно більша за частоту хвилі. За скінування хвилі частинки більше не

утримувалися полем хвилі і проходили крізь бар’єр, створюючи у плазмі за ним

промодульований струм частинок, який, в свою чергу, внаслідок неповного

фазового перемішування міг резонансно збудити хвилю [50]. Проходження

хвиль з частотою меншою за плазмову частоту крізь плазмовий бар’єр у

неоднорідній плазмі завдяки цьому механізму було підтверджено

експериментально у роботі [103]. Пізніше у роботі [104] цей механізм було

досліджено більш детально. Зокрема, було виміряно просторові характеристики

хвилі, що проходить крізь плазмовий бар’єр. Було отримано залежність

повздовжньої компоненти хвильового вектора від частоти та густини плазми.

У роботі [105] було досліджено похиле падіння плоских електромагнітних

хвиль на шар гарячої плазми, використовуючи кінетичний підхід. Було

з’ясовано, що за умов баунс-резонанса та аномального скін ефекта тепловий рух

електронів мало впливає на залежність коефіцієнта прозорості від кута падіння

електромагнітної хвилі. Отримані результати суттєво відрізнялися від тих, що

було отримано у припущенні, що густина струму в кожній точці плазми

пропорційна локальному електричному полю. Зокрема, за умов аномального

скін ефекту коефіцієнт проходження був значно більшим, ніж коефіцієнт, який

було розраховано в рамках вищезазначеного наближення.

Проходження ленгмюрівських хвиль крізь плазмовий бар’єр можливе за

рахунок збудження струму резонансних електронів у плазмі внаслідок загасання

Ландау [106]. Цей струм є колективним збуренням у системі заряджених

частинок, що рухаються з тепловим розбросом по швидкостям. Струм

резонансних електронів взаємодіє з хвилею у передбар’єрній області, проходить

крізь бар’єр та регенерує хвилю за бар’єром.

Проходження хвиль крізь плазмовий бар’єр за наявності неоднорідного

магнітного поля було досліджено у роботах [107; 108]. Розглядалося поширення

незвичайної хвилі вздовж неоднорідного магнітного поля, що мало максимум в

області непрозорості. У випадку неоднорідності, коли хвиля на кожній ділянці

25

плазми резонансно взаємодіяла тільки з певною групою частинок, ефект

просвітлення мав місце в лінійному наближенні. Експериментальне

підтвердження цього механізму було продемонстровано в роботі [109].

Кінетичний механізм проникнення хвиль скінченної амплітуди із

захопленими частинками крізь бар’єр з різкими межами досліджувався в роботі

[110]. В роботі [111] розглядався випадок бар’єру з гладкою межею. Було

продемонстровано, що у випадку слабкої неоднорідності плазми коефіцієнт

прозорості для повздовжньої хвилі може сягати 100%, завдяки нелінійній

модифікації дисперсійної залежності та повної зворотності обміну енергією між

хвилею та частинками.

Проходження електромагнітної хвилі крізь плазмовий бар’єр може бути

реалізовано за рахунок взаємодії плазми з інтенсивним випромінюванням.

Якщо інтенсивність електромагнітних хвиль достатньо велика, то під дією їх

поля відбувається перерозподіл густини заряджених частинок і можливе

формування хвилеводного каналу в надгустій плазмі. У роботі [112] наведено

результати експериментального спостереження за проходженням інтенсивної

хвилі через густу плазму [52].

У роботі [113] досліджувалося явище нелінійного проникнення

електромагнітної хвилі в плазму завдяки збудженню модуляційної нестійкості.

Розглядався самовплив s-поляризованої хвилі на початково однорідний шар

надгустої плазми з різкими межами. Було враховано, що внаслідок розвитку

модуляційної нестійкості плазма стратифікується, що в свою чергу призводить

до зміни реальної частини коефіцієнту показника заломлення. Було знайдено

залежність коефіцієнту прозорості від амплітуди хвилі, що падає на шар

плазми. Було знайдено, що для деяких значень амплітуди хвилі можлива повна

прозорість плазмового шару.

У роботі [114] теоретично досліджувалося нелінійне проходження хвилі

без відбиття через область неоднорідної плазми, яка була хвильовим бар’єром у

лінійному режимі. Розглядався випадок нормального падіння хвилі на шар

плазми. За рахунок нелінійної взаємодії хвилі з плазмою профіль коефіцієнта

26

діелектричної проникності змінювався, що призводило до просвітлення бар’єру.

У цій роботі запропоновано аналітичну модель з багатьма параметрами, що

дозволяє розглядати широкий спектр явищ нелінійного просвітлення.

У роботі [115] розглядалося падіння s-поляризованої хвилі на

неоднорідний шар плазми. Досліджувалась поява солітон-подібних сплесків у

полі електромагнітної хвилі при її проходженні через неоднорідну плазму, що

має малорозмірні структури (менше довжини хвилі). Представлено точні

розв’язки, які можуть бути основою для вивчення повного проходження s-

поляризованої електромагнітної хвилі крізь неоднорідну плазму, що має

малорозмірні структури (менше довжини хвилі) високої густини. Проходжння

хвиль крізь таку структуру неможливо коректно описати наближеними

методами. Показано, що задача про повне просвітлення бар’єру з неоднорідної

плазми може бути точно розв’язана у випадку кубічної нелінійності, яка

спричинена пондеромоторною силою.

У роботі [51] було запропоновано механізм просвітлення бар’єру густої

неоднорідної плазми за рахунок трансформації хвилі просторового заряду в

електромагнітну на задньому фронті хвильового бар’єру в області різкого спаду

густини плазми. Пізніше було показано експериментально можливість цього

просвітлення для електромагнітної хвилі за рахунок підсилення хвилі

просторового заряду в електронному пучку всередині бар’єру з наступною

трансформацією в електромагнітну хвилю на виході з бар’єру [116].

З задачею про проходження електромагнітних хвиль крізь плазмові

бар’єри тісно пов’язана задача про поглинання електромагнітних хвиль

плазмою.

В експериментах, в яких плазма утворювалась лазерним

випромінюванням, спостерігалося, що в області плазмового резонансу профіль

густини плазми має локальний мінімум [43]. Разом з цим, у цій області

спостерігалося збільшення коефіцієнту поглинання енергії хвилі. У роботі [60]

це пояснено резонансною взаємодією з власними модами, – поверхневими та

«замкненими» об’ємними хвилями [117], що можуть існувати в неоднорідній

27

плазмі з різкими градієнтами густини. Такі хвилі загасають внаслідок

звичайних дисипативних процесів та також за рахунок випромінювання їх у

вакуум. Зворотність процесу випромінювання дає можливість забезпечити

введення енергії хвилі у плазму без відбиття, якщо надходження енергії буде

повністю скомпенсоване поглинанням за рахунок дисипативних процесів.

Умови повного поглинання s-поляризованої хвилі було досліджено у роботі

[60], а р-поляризованої хвилі – у роботі [55].

У роботах [118; 119] досліджувалось поглинання лазерного

випромінювання лінійно неоднорідною плазмою і було показано, що

максимальний коефіцієнт поглинання не перевищує 50%. Трохи пізніше було

показано, що коефіцієнт поглинання електромагнітного випромінювання

плазмою може бути значно збільшеним, якщо плазма має різкий скачок густини,

вздовж якого може поширюватися поверхнева хвиля. У роботі [59] розглядалися

два шари однорідної плазми, один з яких був напівобмежений, а густина плазми

різко змінювалася на їх межах. Густини шарів було обрано таким чином, щоб

вздовж межі поділу плазма-плазма можливо було поширення поверхневої хвилі.

Розглядався випадок похилого падіння р-поляризованої хвилі на цю плазмову

структуру з вакуумної області. Було показано, що коефіцієнт поглинання

електромагнітного випромінювання плазмою може сягати 90%.

У роботі [120] було проаналізовано характеристики електромагнітної

хвилі, що нормально падала на шар магнітоактивної плазми з лінійною

залежністю густини від координати. При числовому моделюванні шар

холодної, слабоіонізованої, беззіткненної плазми розбивався на набір достатньо

тонких шарів, у кожному з яких параметри плазми вважалися незалежними від

просторових координат. Коефіцієнти прозорості та відбиття розраховувалися

для додатних та від’ємних градієнтів густини електронів. Було показано, що

коефіцієнт відбиття значно вищий у випадку від’ємного градієнту у порівнянні

з випадком додатного градієнту. А коефіцієнт поглинання, навпаки, значно

вищий у випадку додатного градієнту. Повне проходження хвилі крізь

плазмовий шар спостерігалося у випадку малих частот зіткнень, відносно малої

28

густини електронів та додатних градієнтів густини електронів. Було показано,

що шар плазми являє собою середовище з вибірковим за частотою

пропусканням, що має важливе практичне значення.

Відбиття, поглинання та проходження електромагнітних хвиль крізь шар

неоднорідної магнітоактивної плазми досліджувалося числовими методами у

роботі [40]. Параболічний профіль неоднорідності моделювався шляхом поділу

плазми на тонкі шари, в кожному з яких густина плазми була незалежною від

просторових координат. Зовнішнє магнітне поле було паралельне межі плазми з

вакуумом. Моделювання проводилося без урахування теплового руху та

зіткнень, плазма вважалась слабоіонізованою та стаціонарною. Розраховувалися

як повні коефіцієнти відбиття, поглинання та проходження, так і часткові – на

кожній межі плазма-плазма. Було досліджено вплив густини плазми, частоти

зіткнень та кута падіння хвилі на ці коефіцієнти.

Збудження хвиль у плазмовому середовищі з високою густиною або на

його межах може також вплинути на проходження електромагнітних хвиль крізь

це середовище.

Так, у роботі [54] було запропоновано механізм нелінійного просвітлення

бар’єру з магнітоактивної плазми за рахунок параметричного збудження

поверхневих хвиль біля його меж. Розглядався випадок, коли густина плазми

була однорідною у центральній частині плазмового шару та різко зменшувалася

біля його меж, а електричне поле хвилі, що падала на цю структуру, та стале

зовнішнє магнітне поле були спрямовані перпендикулярно до градієнту густини

плазми біля меж шару.

У роботі [53] розглядалося проходження електромагнітної хвилі крізь шар

магнітоактивної плазми, який був непрозорий для хвилі у лінійному

наближенні. Хвиля падала нормально на цей шар плазми. Розглядався процес, в

якому амплітуда хвилі зменшувалась у тонкому приграничному прошарку,

параметрично збуджуючи електростатичні об’ємні хвилі. За рахунок взаємодії

цих хвиль між собою в області непрозорості можлива регенерація

електромагнітної хвилі за плазмовим бар’єром. Розглядалися механізми, які

29

обмежували експоненційне зростання амплітуди хвилі, що проходить.

Показано, що у випадку, коли амплітуда хвилі накачки перевищує поріг

розвитку абсолютної нестійкості, амплітуда регенерованої хвилі насичується,

досягаючи максимального значення. Якщо поріг нестійкості не перевищено, то

стаціонарний стан обумовлено процесами лінійної дисипації. Показано, що за

рахунок цього нелінійного механізму коефіцієнт проходження електромагнітної

енергії крізь шар густої плазми з довільним просторовим розподілом густини

значно перевищує цей коефіцієнт у лінійному наближенні.

У роботі [62] було показано експериментально, що коефіцієнт

проходження р-поляризованої хвилі крізь симетричну структуру, яка складалася

з шару густої плазми ( 0 , де – діелектрична проникність плазмоподібного

середовища), що знаходився між однаковими шарами меншої густини ( 0 ),

може стати достатньо високим (~ 80%) за певних кутів падіння. У кожному з

шарів плазмоподібного середовища густина електронів вважалася сталою. У цій

роботі досліджувалося проходження випромінювання гелій-неонового лазера

(довжина хвилі 6328 ангстрем) крізь тонкий шар срібла (завтовшки 600

ангстрем), який було вкрито з обох боків шарами діелектрика (завтовшки 3000

ангстрем). Для s-поляризованої хвилі прозорість структури, що досліджувалася,

була низькою (< 2%). Аномально високу прозорість тришарової структури для

р-поляризованої хвилі було пояснено збудженням поверхневих хвиль на межах

плазмоподібних середовищ різної густини. Також за умов аномальної

прозорості було теоретично досліджено просторові розподіли амплітуди

електромагнітного поля та нормальної до поверхонь структури компоненти

вектора Пойнтінга. Було з’ясовано, що амплітуда електричного поля в першому

шарі зростає з відстанню від межі між вакуумом і діелектричним шаром та

зменшується в іншому діелектричному шарі від межі між сріблом і

діелектриком. Було обраховано, що нормальна компонента вектора Пойнтінга у

першому шарі діелектрика більше ніж у двічі більша за компоненту у другому

шарі.

У роботі [56] було показано, що в рамках лінійної теорії товстий шар

30

густої однорідної плазми, на межі якого густина електронів різко лінійно

зменшується, може пропускати р-поляризовані електромагнітні хвилі без

відбиття. Для цього було запропоновано оточити його двома плазмовими

шарами меншої густини ( pe ), в яких густина плазми лінійно залежала від

координати. Структура була симетричною відносно середини густого шару

плазми. Явище абсолютної прозорості цієї структури було пояснено

резонансним збудженням поверхневих мод біля меж густої плазми з плазмою

низької густини, які надавали ідеальний зв’язок між хвилею, що падає, та

хвилею, що проходить крізь цю структуру. Врахування дисипативних процесів

та асиметричність структури зменшувало прозорість системи, але при цьому

вона залишалася доволі високою.

Симетричну структуру, що складалася з шару надгустої гарячої плазми,

який знаходився між однаковими шарами плазми меншої густини, з різкими

межами між шарами було розглянуто у роботі [66]. Було знайдено коефіцієнти

прозорості та відбиття для такої структури з урахуванням теплового руху

електронів за похилого падіння р-поляризованих електромагнітних хвиль на цю

структуру. З аналізу умови повної прозорості було знайдено, що просвітлення

хвильового бар’єру відбувається завдяки взаємодії хвилі, що падає, з парою

поверхневих хвиль, які збуджуються на кожній межі плазма-плазма.

У роботі [121] було розглянуто систему з двох шарів плазми, один з яких

мав від’ємну діелектричну проникність, а діелектрична проникність другого

була додатною, але меншою за одиницю величиною. Розглядалося похиле

падіння р-поляризованої хвилі з вакуумної області на шар плазми з меншою

густиною. Було отримано коефіцієнти прозорості та відбиття для цієї

двошарової структури. Було знайдено значення частоти хвилі та відповідних

кутів падіння, за яких коефіцієнт прозорості дорівнює одиниці. Було показано,

що для реалізації умов проходження р-поляризованої хвилі крізь шар густої

плазми не обов’язкового оточувати його з обох боків шарам плазми низької

густини. Достатньо додати шар низької густини зі сторони падіння хвилі на

плазмову структуру. Тобто, симетрія системи не є обов’язковою. Було знайдено,

31

що на відміну від симетричних систем прозорість двошарової структури

залежить від ширини шарів плазми, з яких складається структура, що дозволяє

створювати на їх основі спектральні фільтри.

У роботі [122] досліджувалась прозорість двошарової структури, що

складалась з шару магнітоактивного матерілу та шару діелектрика. Були

отримані коефіцієнт відбиття р-поляризованої хвилі від такої структури та

умови повної прозорості. Було показано, що магнітне поле спричиняє

невзаємність повної прозорості. Також було з’ясовано, що повна прозорість

спостерігається не лише при збуджені поверхневих, але і об’ємних та змішаних

(поверхнево-об’ємних) мод.

У роботі [64] було проаналізовано вплив теплових ефектів на прозорість

двошарових структур. Використовуючи гідродинамічний опис [123], було

досліджено вплив температури електронів на дисперсію поверхневих хвиль у

такій структурі. Було показано, що дисперсія поверхневих хвиль у гарячій

плазмі може суттєво відрізнятися від дисперсії поверхневих хвиль на межі

плазма-плазма у випадку холодної плазми. В результаті чого, коефіцієнт

проходження р-поляризованої хвилі крізь структуру, що складалася з двох шарів

гарячої плазми, суттєво відрізнявся від цього коефіцієнту у випадку холодної

плазми. Спостерігалися високочастотні осциляції в залежності коефіцієнту

проходження від температури електронів. Наявність цих осциляцій було

віднесено до процесів лінійної трансформаці хвиль на межах плазми. Якщо

температура електронів не дорівнювала нулю, то на додачу до

псевдоповерхневої хвилі в плазмі також збуджувалась об’ємна ленгмюрівська

хвиля. Поверхнева хвиля на межі плазма-плазма збуджувала повздовжню

ленгмюрівську об’ємну хвилю, яка поширювалася у шарі плазми з низькою

густиною в бік межі з вакуумом. Коли об’ємна хвиля досягала межі плазма-

вакуум, вона трансформувалася в електромагнітну хвилю, яка в свою чергу

взаємодіяла з псевдоповерхневою хвилею у вакуумі та з р-поляризованої

хвилею, що відбивалася від межі вакуума з плазмою. Було показано, що

інтерференція цих трьох хвиль призводить до множення резонансів, що

32

відповідають повній прозорості.

У роботі [65] досліджено проходження р-поляризованих

електромагнітних хвиль крізь тришарову симетричну структуру, що складалася

з шару щільної плазми ( 0 ), який знаходився між двома плазмовими шарами

низької густини (0< ε <1). Дослідження було проведено з використанням

аналітичних та числових методів. Було показано, що повне проходження

електромагнітної хвилі крізь цю тришарову структуру можливе, якщо

належним чином обрати кут падіння хвилі на структуру та товщину і

діелектричну проникність шарів плазми низької густини. Встановлено, що

повна прозорість цієї структури може мати місце за рахунок резонансу між

хвилями, поле яких скінується в області щільної плазми, та стоячими хвилями,

що збуджуються в граничних шарах. Отримано аналітичні вирази, які

дозволяють знайти умови повної прозорості даної структури.

У роботі [86] для вивчення проходження електромагнітних хвиль крізь

багатошарові структури було використано імпедансний метод. У цій роботі було

розглянуто тришарову плазмову структуру і резонансне проходження

електромагнітних хвиль крізь плазмову структуру спостерігалося за умов

збудження поверхневих хвиль на межах плазмових середовищ. Було показано,

що для проходження хвилі крізь цю структуру з високим коефіцієнтом

проходження за кутів падіння близьких до π/2 необхідно, щоб ширини

граничних шарів з низькою густиною плазми ( 10 ) були одного порядку з

шириною центрального шару високої густини ( 0 ).

У роботі [124] досліджувався вплив зіткнень електронів з частинками

плазмового середовища на проходження р-поляризованої хвилі через бар’єр

гарячої плазми з від’ємною діелектричною проникністю, який оточено

діелектричними шарами з додатною проникністю. Було показано, що за умов

збудження поверхневих хвиль на межах розділу середовищ можливе повне

походження хвилі крізь цю структуру. Коли відношення частоти зіткнень до

частоти хвилі сягає 0,01, коефіцієнт проходження стає на декілька десятків

відсотків меншим, ніж у випадку, коли ці зіткнення є відсутніми.

33

Оскільки у багатьох випадках для досягнення проходження хвиль крізь

шаруваті плазмові та плазмоподібні структури необхідно збудити поверхневі

хвилі у цих структурах, то вкрай важливо знати дисперсійні та енергетичні

характеристики цих хвиль.

За похилого падіння електромагнітних хвиль на плазмоподібне

середовище з низькою густиною плазми або діелектрик ( 0 ) поверхневі

хвилі можуть бути збудженими, якщо перед цим середовищем встановити інше

середовище з більшою діелектричною проникністю (має місце ефект повного

внутрішнього відбиття). Поверхневі хвилі можуть також бути збудженими,

якщо перед шаром плазми надкритичної густини розташувати дифракційну

гратку [58; 125].

Поверхневі хвилі вивчалися багатьма науковцями у зв’язку з практичним

застосуванням у плазмовій та напівпровідниковій електроніці [69; 70]. Було

встановлено, що в обмежених плазмових системах на межі поділу двох

середовищ можливо існування хвилі, що поширюється вздовж межі. При цьому

амплітуда хвилі експоненційно зменшується в напрямку перпендикулярному до

межі поділу. Поверхневі хвилі знайшли багато застосувань та можуть бути

застосованими у майбутньому у фізиці газового розряду, фізиці

напівпровідників та термоядерному синтезі [59; 78; 126; 127]. Поверхневі хвилі

активно використовуються в функціональних приладах напівпровідникової

електроніки, оптоелектроніки, плазмоніці [87; 128–130]. Збудження

поверхневих хвиль може слугувати ефективним інструментом безконтактної

спектроскопії поверхонь твердих тіл та вимірювання параметрів контактуючих

середовищ. Можливо також створення генераторів та підсилювачів коливань, в

основі яких лежить збудження поверхневих хвиль в системі. Важливими

характеристиками поверхневих хвиль є фазова та групова швидкості, а також

густини енергії та потоку енергії хвиль. Поверхневі хвилі, які спостерігаються

на межах плазма-вакуум, плазма-діелектрик або плазма-метал є повільними,

тобто їх фазова швидкість менша за швидкість світла. Це означає, що їх не

можна збудити електромагнітною хвилею, що падає на поверхню, фазова

34

швидкість якої у вакуумі дорівнює швидкості світла.

Більшість досліджень з вивчення властивостей поверхневих хвиль було

проведено для випадків, коли плазмове середовище оточене вакуумом або

діелектриком чи металом, оскільки такі структури є типовими для

газорозрядної плазми [127; 131]. Кількість робіт з аналізу властивостей

поверхневих хвиль на межах двох середовищ є значно меншою у порівнянні з

попередніми випадками. Між тим, зі структурами плазма-плазма доволі часто

доводиться мати справу у пристроях напівпровідникової електроніки,

оптоелектроніки та плазмоніки. У газорозрядній плазмі також можуть поруч

існувати поруч області з різними густинами електронів, наприклад, шари

просторового заряду біля електродів та плазма в центральній частині газового

розряду низького тиску, сильно запорошена плазма з неоднорідним

просторовим розподілом порошинок [132; 133].

Дисперсійне рівняння для поверхневих хвиль, що поширюються на межі

двох однорідних плазмових середовищ за відсутності зовнішніх полів було

отримано у роботі [59]. Було показано, що воно має розв’язки тоді, коли

діелектричні проникності шарів плазми мають різні знаки.

Дисперсійні властивості поверхневих хвиль, які розповсюджувалися на

межі двох плазмових середовищ перпендикулярно до зовнішнього магнітного

поля, що паралельне межі розподілу середовищ, досліджувалися у роботі [134].

У цьому дослідженні було враховано вплив іонів на ці поверхневі хвилі. Було

з’ясовано, що за низьких частот цей вплив може суттєво змінити дисперсійні

властивості цих хвиль.

У роботі [45] на основі числового розв’язання дисперсійного рівняння

досліджувалися властивості s-поляризованих електромагнітних хвиль в

одновимірній дефектній діелектричній шарувато-періодичній структурі, що

межує з плазмоподібним середовищем. Було вивчено дисперсійні та

енергетичні властивості плазмових та дефектних мод в залежності від

положення дефектного шару в шарувато-періодичній структурі. Було

передбачено наявність ефекту резонансної взаємодії плазмових та дефектних

35

мод. Було показано можливість збудження електромагнітних хвиль у дефектній

шарувато-періодичній структурі методом порушеного повного внутрішнього

відбиття.

Дисперсійні властивості поверхневих хвиль, що поширюються у

двошаровій плазмовій структурі, яка з обох боків обмежена металом, вивчалися

у роботах [75]. У цих роботах було зазначено, що такі структури є типовими для

фізики напівпровідників та фізики твердого тіла, а також можуть мати місце у

газорозрядній неоднорідній плазмі, коли товщина перехідного шару між

областями з різними густинами плазми є меншою за глибини проникнення поля

ПХ у ці плазмові області.

У роботі [135] було досліджено теплові флуктуації електромагнітних

поверхневих хвиль, що поширюються перпендикулярно до сталого магнітного

поля вздовж межі плазма. Було показано, що за малих магнітних полів енергія

цих коливань, може випромінюватися з плазми, оскільки на межі плазма-

плазма ПХ можуть бути швидкими. Дослідження було проведене за умов

типових для створення плазми лазерним випромінюванням.

З поширенням ПХ на межах двох плазмоподібних середовищ доводиться

мати справу і при дослідженні ліворуких середовищ (в яких напрямки векторів

електричного та магнітного полів і напрямок хвильового вектора утворюють

ліву трійку векторів). [79; 136]. Прикладом ліворукого інтерфейсу може

служити двовимірна межа розділу зразків, один з яких має негативну

діелектричну проникність, а інший – негативну магнітну проникність. У роботі

[79] показано, що такі інтерфейси можуть проявляти властивості двовимірних

ліворуких середовищ для поверхневих хвиль. Ці хвилі характеризуються

повним потоком енергії та групової швидкістю, антипаралельними фазовій

швидкості, і тому мають негативний допплерівський зсув частоти, тупий

черенковський кут та негативний показник заломлення.

У роботі [137] було теоретично досліджено збудження поверхневих TM-

хвиль нескінченно тонким електронним пучком, що поширювався у

вакуумному зазорі між металоподібним середовищем та штучним діелектриком.

36

Отримано дисперсійне рівняння зв'язаних хвиль для зазору довільної товщини.

Детально проаналізовано випадок, коли товщина вакуумного зазору багато

менша за довжину хвилі, що збуджується. Показано, що в спектрі поверхневих

хвиль виникає додаткова гілка в області частот, де магнітна проникність

штучного діелектрика негативна. За відсутності вакуумного зазору та

електронного пучка знайдено умови, коли групова швидкість поверхневих

хвиль негативна і може виникнути абсолютна нестійкість. Показано, що повний

інтегральний потік енергії може бути негативним і у системі з зі скінченною

товщиною зазору в присутності електронного пучка.

Як видно з попереднього опису, проходження електромагнітних хвиль

крізь шари густої плазми при збудженні ПХ та їх властивості на межі плазма-

плазма за різних зовнішніх умов досліджувалися багатьма науковцями протягом

останніх десятиріч. Але при цьому деякі питання, пов’язані з цим

проходженням, залишилися недостатньо вивченими. Зокрема, слабо вивчено, як

може вплинути зовнішнє магнітне поле на проходження електромагнітних

хвиль крізь двошарову плазмову структуру, що складається з шарів високої та

низької густини плазми. Також слабо досліджено, як коефіцієнт проходження

електромагнітних хвиль крізь цю структуру залежить від параметрів шарів

плазми та електромагнітної хвилі за довільних просторових розподілів густини

електронів у плазмових шарах. Крім того, енергетичні характеристики

електромагнітних ПХ, що поширюються на межі плазма-плазма у присутності

зовнішнього магнітного поля, також є слабо вивченими. Всі ці питання є

важливими для розуміння та керування проходженням електромагнітних хвиль

крізь бар’єри густої плазми, і, тому, вони розглядаються в даній дисертаційний

роботі.

37

Розділ 2. ДИСПЕРСІЙНІ ТА ЕНЕРГЕТИЧНІ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕРХНЕВИХ ХИЛЬ

В цьому розділі досліджуються дисперсія та енергетичні характеристики

поверхневих хвиль, що поширюються вздовж межі двох напівобмежених

плазмових середовищ, перпендикулярно зовнішньому магнітному полю

(геометрія Фойгта). Розуміння цих властивостей необхідне для аналізу

проходження р-поляризованої хвилі крізь двошарову плазмову структуру, що

розглядається у Розділі 3. Досліджуються залежності густини потоків енергії

ПХ, густини енергії та швидкості поширення енергії ПХ від значення та

напрямку хвильового вектора та величини зовнішнього магнітного поля.

2.1 Дисперсія поверхневих хвиль

Розглянемо поверхневі електромагнітні хвилі на плоскій межі двох

напівобмежених плазмових середовищ (див. Рис.2.1). Припустимо, що плазма в

обох областях однорідна, холодна, беззіткненна та складається з електронів та

однозарядних іонів. Вважається, що частота електромагнітних хвиль, що

розглядаються, – більша за плазмову іонну частоту pi на стільки, що

впливом іонів на поширення хвиль можна знехтувати. Нехтується нелінійними

ефектами, тобто вважається, що фазова швидкість більша за осциляторну

швидкість електрона. Це означає, що амплітуда електричного поля хвилі E

не

може бути великою ( /(ke)ωm|E|e

2

, де е та

em заряд та маса електрона

відповідно). Плазма знаходиться в зовнішньому однорідному та сталому

магнітному полі 0

H , яке паралельне до межі поділу середовищ. Декартову

систему координат обрано таким чином, що границі поділу середовищ

знаходяться в площині yz, при цьому менш густа плазма з електронною

плазмовою частотою 1p займає область простору I з 0x , а більш густа

38

плазма з електронною плазмовою частотою 2p займає напівпростір з II 0x .

Вісь z спрямовано вздовж зовнішнього магнітного поля.

Рисунок 2.1: Схема поширення поверхневих хвиль вздовж межі поділу двох

напівобмежених плазмових середовищ

Розглянемо р-поляризовану поверхневу хвилю (ПХ), що поширюється

вздовж осі y, амплітуда якої залежить тільки від координати x .

Електромагнітне поле поверхневої хвилі має вигляд:

tiyikxExEyyx

exp0),(),(E ,

tiyikxHyz

exp)(,0,0H ,

де yk – хвильове число.

Компоненти електромагнітного поля ПХ можна отримати з рівнянь

Максвелла:

)( yxz igEEiky

H

,

)( yxz EigEikx

H

,

39

zxyikH

y

E

x

E

,

де та g компоненти тензора діелектричної проникності ij для холодної

магнітоактивної плазми без урахування руху іонів та зіткнень між частинками:

22

2

11 1c

p

22ωω

ω=εε=ε

,

)(22

2

2112

c

pc

ωωω

ωiω=igiε=ε

,

де cmHe ec 0|| – електронна циклотронна частота.

З системи рівнянь Максвелла отримаємо наступні рівняння для амплітуд

xE , y

E та z

H [73]

dx

dHg+εHk

gεk=xE z

zyx)(

122

, (2.1)

dx

dHε+gHk

gεk

i=xE z

zyy)(22

, (2.2)

0

2

=Hκ+dx

Hdz

2

2

z , (2.3)

де 22kk Vy – зворотна глибина проникнення поля ПХ до плазми,

2g

V – Фойгтівська діелектрична проникність,

Використавши умови неперервності тангенціальних компонент

магнітного поля z

H та електричного поля yE на межі плазма-плазма,

отримаємо дисперсійне рівняння для поверхневих хвиль, що поширюються

перпендикулярно зовнішньому магнітному полю:

40

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

g

gk

g

gkyy

, (2.4)

де індекси 1 та 2 відносяться до напівпросторів I та II відповідно. Дисперсійне

рівняння (2.4) може бути записано у формі біквадратного рівняння

0224

CBkAk yy ,

де

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2 4VVVVVV

ggA

,

2

12

2

2

1

11

2

22121 VVVVVVVV

ggB

,

212

2

2

2

1 VVVVC .

Дисперсія поверхневих хвиль на межі плазма-плазма має декілька цікавих

властивостей. По-перше, можливе поширення як повільної ( cvph , де ph

v – це

фазова швидкість), так і швидкої ( cvph ) хвилі. Це відрізняє ці хвилі від

поверхневих хвиль на межі плазма-вакуум або плазма-діелектрик, де ПХ

завжди повільні.

По-друге, поверхневі хвилі в магнітоактивній плазмі не взаємні, тобто

частота хвилі залежить від знаку проекції хвильового вектора на вісь y yk . В

подальшому будемо називати хвилю з 0yk додатною гілкою, а хвилю з 0

yk

– від’ємною гілкою. Діапазон частот , в якому існують додатна та від’ємна

гілки, відрізняється.

Верхня гранична частота існування ПХ знаходиться з дисперсійного

рівняння (2.4), з якого в наближенні kky|| отримуємо наступне рівняння

41

2211 gg , (2.5)

або

0)()(

2

2

2

2

1

c

p

c

p

. (2.6)

Тут верхній та нижній знаки відповідають додатній та від’ємній гілці

відповідно (Рис.2).

У випадку слабкого магнітного поля ( 2,1pc ) рівняння (2.6) має

наступний розв’язок

2

2

2

1

2

2

2

1)0(

2 pp

ppc

,

де 2)(2

2

2

1

)0(

pp

– гранична частота існування ПХ за відсутності

зовнішнього магнітного поля.

Рисунок 2.2. Залежність нормованої частоти від модуля нормованого

хвильового вектора поверхневих хвиль на межі плазма-плазма для

5,0/21

pp та 2,0/

2

pc .

42

Амплітуда поверхневої хвилі зменшується в міру віддалення від межі

плазма-плазма за експоненціальним законом, тобто – це дійсна величина.

Значить 02 , звідки можна отримати нижню границю частотного діапазону

існування хвилі. Для хвилі, що поширюється вздовж вісі-у в додатному

напрямку, нижня гранична частота може бути знайдена з нерівності 1Vy

kk ,

якщо

21 VV , або з нерівності

2Vykk в протилежному випадку. Частоти

1V та

2V визначаються наступним чином:

cpcV

2

1

2

1 42

1 ,

cpcV

2

2

2

2 42

1 .

Дисперсійна залежність ПХ в обох випадках подібна одна до одної. Тому,

в подальшому будемо розглядати лише один випадок, коли

21 VV

. Це

означає, що циклотронна частота має бути менше певної величини, а саме

)(2

2

1

2

2

2

1

2

2

pp

pp

c

.

Область існування поверхневих хвиль з 0yk починається від нижньої

гібридної частоти 22

11 cpH (Рис. 2.2), що менша за нижню граничну

частоту для додатної гілки. За частот менших, але близьких до 1H

, фойгтівська

діелектрична проникність – велика додатна величина, тому для скінченного

значення хвильового вектора буде 02

1 , тобто поверхневі моди існувати не

можуть.

Також характерною точкою на дисперсійній кривій для ПХ, що

поширюються в обох напрямках, буде точка, в якій швидкі хвилі стають

43

повільними, тобто kky . З дисперсійного рівняння знаходимо, що квадрат

відповідної частоти

242

21

42p2

2p1

cc ωω+ω

+ω

=ω .

2.2 Енергетичні властивості поверхневих хвиль

Потік енергії, що переносить електромагнітна хвиля, описується вектором

Пойнтінга

EHS4

c

Вектор Пойнтінга р-поляризованої поверхневої хвилі має дві компоненти:

xS та y

S . Середній за часом потік енергії в х-напрямку дорівнює нулю 0xS .

Таким чином, існує лише одна компонента середньої за часом густини потоку

енергії, що не дорівнює нулю

*Re8

zxy HEc

S

.

Скориставшись розв’язком рівнянь Максвелла (2.1) – (2.3), отримаємо

вирази для середньої густини потоку енергії в першому та другому

середовищах відповідно:

)2exp(8

1

2

02

1

2

1

111

1 xHg

gk

k

cS z

y

y

, (2.7)

44

)2exp(8

2

2

02

2

2

2

222

2 xHg

gk

k

cS z

y

y

, (2.8)

де ||0z

H – амплітуда магнітного поля поверхневої хвилі на межі поділу

середовищ. У напівпросторах потоки енергії, що припадають на одиницю

площі межі поділу, можна отримати, проінтегрувавши рівняння (2.7) та (2.8)

вздовж вісі-х:

2

1

2

1

111

1

00

21g

gkSdxSS

y

y

, (2.9)

2

2

2

2

222

2

0

0 22g

gkSdxSS

y

y

, (2.10)

де введено позначення для одиниці потоку енергії kHcSz

162

00 . Сумарна

густина потоку енергії, що переноситься поверхневою хвилею, дорівнює сумі

густин потоків в кожному середовищі:

2211

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

021

11

VV

yk

g

g

g

gSSSS

. (2.11)

Це рівняння можна спростити, врахувавши дисперсію поверхневих хвиль.

Дисперсійне рівняння (2.4) можна записати наступним чином

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1 1

VVykg

g

g

g

. (2.12)

Поєднавши рівняння (2.11) та (2.12), після алгебраїчних перетворень вираз

для потоку енергії поверхневої хвилі, що припадає на одиницю площі, можна

записати наступним чином:

45

21

2

0

0

11

yk

kSS . (2.13)

Оскільки 01 та 02 , то знак потоку енергії S визначається знаком

хвильового вектора yk . Тобто, енергія хвилі поширюється в тому ж напрямку,

що і фаза.

Густину потоку енергії (2.13) можна виразити через похідну по

хвильовому вектору yk від дисперсійного рівняння.

Використавши рівняння (2.9) та (2.10), повний потік енергії хвилі, що

припадає на одиницю площі межі поділу, можна записати в наступному

вигляді:

2

2

2

2

2

1

1

1

2

0

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

16y

x

y

xy

E

E

E

EES

, (2.14)

де )0(0 yy EE – величина тангенціальної складової електричного поля на межі

плазма-плазма. У рівнянні (2.14) були також використані наступні позначення:

2

1

2

1

111

1ˆ

g

gkE

y

x

,

2

2

2

2

222

2ˆ

g

gkE

y

x

,

2

1

2

1

111

1ˆ

g

gkE

y

y

,

2

2

2

2

222

2ˆ

g

gkE

y

y

.

(2.15)

Зауважимо, що в загальному вигляді:

0

0)0(

ˆ

z

i

iH

EkE ,

46

де )0(iE – це величина і-тої компоненти електричного поля на межі поділу

середовищ – в точці 0x , 2,1,2,1 yyxxi .

В нових позначеннях дисперсійне рівняння (2.4) набуває вигляду:

21

ˆ

1

ˆ

1

yyEE

D (2.16)

Взявши похідну по yk від D , отримаємо:

2

2

2

2

2

1

1

12

222

2

2

2

2

21

112

1

2

1

2

1ˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

)(ˆ

1

)(ˆ

1

y

x

y

xy

y

y

yy E

E

E

Ekg

gE

kg

gEk

D

що з точністю до знака співпадає з виразом у дужках рівняння (2.14).

Порівнявши ці вирази, можна записати

y

y

k

DES

16

2

0, (2.17)

Середню за часом густину енергії в середовищі з часовою дисперсією

можна знайти за формулою [138; 139]

**

16

1jiijjiij HHEEw

.

Зважаючи на вигляд тензора діелектричної проникності холодної плазми

та структуру поля р-поляризованої хвилі, вираз для густини енергії в цьому

випадку можна записати наступним чином:

47

2*22

2)(16

1zyxyx HEE

giEEw

,

де

222

222

)(

)(1

c

cp

,

222

2

)(

2

c

pcg

.

Використавши вирази (2.15), отримаємо середню за часом густину енергії,

що припадає на одиницю площі в першому та другому плазмовому

середовищах

11

12

1

2

1

12

1

00

11ˆˆ2ˆˆ

2yxyxEE

gEEk

k

WdxwW

, (2.18)

22

22

2

2

2

22

2

0

0 22ˆˆ2ˆˆ

2yxyxEE

gEEk

k

WdxwW

, (2.19)

де kHWz

16/2

00

Повну густину енергії поверхневої хвилі (21

WWW ) можна виразити

через похідну за частотою від дисперсійного рівняння. Вираз для похідної за

частотою від D за наявності зовнішнього магнітного поля у загальному

випадку має дуже громіздкий вигляд. Тому розглянемо тільки випадок великих

значень хвильового вектора, коли Vy

kk || та kky|| . За цих умов

||2,1 y

k і вирази (2.15) спрощуються

11

11ˆˆ

g

kEE

y

yx

, 22

22ˆˆ

g

kEE

y

yx

.

48

Врахувавши це, вирази (2.18) та (2.19) можуть бути записані у наступному

вигляді:

112

1

2

2

1

2

0

1ˆ2

32

gEk

k

HW

y

z (2.20)

222

2

2

2

2

2

0

2ˆ2

32

gEk

k

HW

y

z (2.21)

Оскільки kky|| та ||

2,1 yk , з виразів (2.20) та (2.21) випливає, що

y

y

k

gEW 11

2

0

116

,

y

y

k

gEW 22

2

0

216

.

Дисперсійне рівняння (2.16), в свою чергу, набуває вигляду

02211

yy k

g

k

gD

.

З виразів для D , 1

W та 2W витікає, що

DE

WWWy

16

2

0

21. (2.22)

Оскільки DD )( , то, розділивши вираз для густини потоку енергії

(2.17) на вираз для густини енергії (2.22), остаточно переконуємося, що

швидкість поширення енергії хвилі env співпадає з груповою швидкістю gr

v :

49

gr

y

y

en vkD

kD

W

Sv

. (2.23)

У випадку неповного проходження електромагнітної хвилі крізь

двошарову плазмову структуру швидкість поширення енергії хвилі може

відрізнятися від grv [140].

Проаналізуємо залежність енергетичних характеристик хвилі, а саме:

густини енергії та густини потоку енергії, швидкості поширення енергії, від

хвильового вектора yk та зовнішнього магнітного поля. Оскільки поверхневі

хвилі в даному випадку не взаємні, необхідно окремо розглядати хвилі, що

поширюються вздовж осі у та в протилежному напрямку.

2.3 Хвилі, що поширюються в додатному напрямку осі у

Рисунок 2.2. Типова залежність діелектричних проникностей та V від

частоти.

50

Розглянемо поверхневі хвилі, що поширюються в додатному напрямку.

Аналізуючи дисперсійне рівняння (2.4), було з’ясовано, що нижня межа

діапазону існування хвилі визначається з умови 01 , якщо

21 VV , або

02 , якщо

21 VV

. Спочатку розглянемо перший випадок, коли

21 VV .

Частота, що відповідає нижній межі існування хвилі 0

, задовольняє

наступній умові: 01

V . Порівнявши границі інтервалу частот існування

поверхневої хвилі ],[ 0 з частотами

1V та

2V , можна переконатися, що

201 VV . В діапазоні частот існування поверхневої хвилі 0

1 , тому

що

11 VH

. Таким чином, обидва доданки в чисельнику рівняння (2.9) більші

нуля. А оскільки |||| 11 g , знаменник також додатній. В результаті, потік

енергії в першому шарі плазми спрямований вздовж yk ( 01 S ). В той час як

потік енергії в другому шарі плазми спрямований в протилежному напрямку (

02S ), тому що 02 та |||| 22 g (див. Рис. 2.3). При цьому, повний потік

енергії, згідно рівняння (2.13), спрямований вздовж yk , звідки випливає,що

||||21SS .

Рисунок 2.3. Типова залежність квадратів діелектричних проникностей 2 та

2

V

від частоти.

51

Якщо частота хвилі близька до

1V , а значить 01 , то густина потоку

енергії та густина енергії в області плазми з меншою густиною значно більша

за відповідні величини в області з більш густою плазмою (див. рівняння (2.13),

(2.20) та (2.21)). У цьому випадку

2

1

2

1

1

1ˆ

g

kE

y

x

,

2

1

2

1

1

1ˆ

g

gkE

y

y

.

З рівнянь (2.14) та (2.20) випливає, що

11

01

V

yk

SSS ,

11

12

1

2

1

1

22

1

2

1

2

2

1

0

12)(

)(2g

gg

g

kk

k

WWW

y

.

На нижній межі інтервалу частот існування хвилі S та W (див.

Рис. 2.4 та 2.5), але при цьому швидкість поширення енергії скінченна:

1

1

1

11

2

1

2

11

111

12

22

gggc

W

Sv

VV

en (2.24)

Взявши похідну від Фойгтівської діелектричної проникності 1V

за

частотою

1

1

11

2

1

2

111 2 gggV ,

рівняння (2.24) можна записати в наступному вигляді:

52

1

1

1

12

V

V

Vencv . (2.25)

Рисунок 2.4. Залежність нормалізованого потоку енергії від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk за різних значень

нормалізованої циклотронної частоти 2/

pcc . Відношення плазмової

частоти в першому плазмовому середовищі до плазмової частоти в другому

середовищі 5,0/21

pp .

Беручи до уваги, що grenvv , попередній вираз можна отримати, взявши

похідні за частотою та хвильовим вектором від дисперсійного рівняння, яке в

цьому граничному випадку має вигляд:

01 Vyc

kD

.

Похідні від D записуються наступним чином:

53

1

yk

D,

1

1

12

1V

V

Vc

D.

Видно, що, підстановка в рівняння (2.23) виразів для похідних від D дає

рівняння (2.25).

Рисунок 2.5. Залежність нормалізованої густини енергії від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk , 5,0/

21

pp .

На верхній межі існування ПХ хвильовий вектор набуває великих значень

( kky ), так що можна покласти ||

21 yk . Густини потоку енергії в

першому та другому плазмовому середовищах мають наступний вигляд:

11

0

1g

SS

, 22

0

2g

SS

,

тобто 21SS . Таким чином, потік енергії, а з ним і швидкість поширення

енергії, прямують до нуля на верхній межі існування хвиль (див Рис. 2.4 та

54

Рис. 2.6). При цьому, густини енергії в обох плазмових областях прямують до

нескінченності пропорційно yk :

)(

)(

11

2

11

0

1

g

gk

kWW

y, (2.26)

)(

)(

22

2

22

0

2

g

gk

kWW

y, (2.27)

Рисунок 2.6. Залежність нормалізованої групової швидкості від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk , 5,0/

21

pp .

На Рис. 2.4 – 2.6 показано енергетичні характеристики ПХ для різних

значень зовнішнього магнітного поля. З цих рисунків можна побачити, що з

ростом магнітного поля густина потоку енергії ПХ спадає, в той час як густина

енергії збільшується. В результаті, швидкість поширення енергії ПХ

зменшується зі збільшення напруженості зовнішнього магнітного поля.

55

2.4 Хвилі, що поширюються у від’ємному напрямку осі у

Розглянемо хвилі, що поширюються вздовж осі у у від’ємному напрямку.

Діапазон частот існування таких хвиль обмежений гібридними частотами:

21 HH . Визначимо напрямок потоку енергії в кожній області плазми.

Розглянемо спочатку потік в I-й області 1S . Розділимо вищезгаданий інтервал

частот на дві частини:

11 VH та

1V

. Для першого частотного

інтервалу виконується нерівність 2

1

2

1g , таким чином знаменник виразу

(2.9) – від’ємний, а доданки в чисельнику мають різний знак, оскільки 01 , а

0yk . Таким чином, щоб встановити знак виразу, нам необхідно порівняти ці

члени за величиною. З нерівностей 2

1

2

1g та 0

1 витікає, що Фойгтівська

діелектрична проникність у цьому частотному діапазоні від’ємна:

0/)(1

2

1

2

11 g

V . З цього випливає, що ||2

01

2

1 yVykkk . Беручи до

уваги, що |||| 11 g , можна зробити висновок, що ||||111gk

y , тобто

чисельник виразу (2.9) додатний, а вираз в цілому від’ємний. Для частот

більших за

1V виконуються наступні нерівності 01 ,

2

1

2

1g , 0

1

V , звідки

витікає, що ||1 yk і ||||

111gk

y , таким чином чисельник виразу (2.9)

додатний, але знаменник від’ємний. В результаті, знак виразу (2.9), в цілому,

також від’ємний в інтервалі частот, що розглядається. Отже, для 0yk потік

енергії в I-й плазмовій області спрямовано в напрямку хвильового вектора (

01S ).

Визначимо напрямок вектору Пойнтінга в другому плазмовому

середовищі. Оскільки 2Hc

, діелектрична проникність 2 від’ємна, а

02g , і для 0

yk маємо 0

2

yk . Це означає, що члени в чисельнику виразу

(2.10) мають різні знаки. Залежно від величини хвильового вектора yk різниця

222gk

y може бути більша або менша нуля. Ця різниця дорівнює нулеві,

якщо

56

kg

kkSy

2

2

0

.

Різниця 222gk

y від’ємна для ||||

0Sykk і додатна, якщо ||||

0Sykk .

Підставивши 0Sykk в дисперсійне рівняння, знайдемо відповідну частоту:

2

1

2

1

2

2

24

1

2

1

2

0 )(42

1HppcHHS .

Зазначимо, що повний потік енергії завжди спрямовано в напрямку

хвильового вектора (див. рівняння (2.13)). В околі нижньої граничної частоти (

1H ), де 01 і, як наслідок,

1 , вираз для густини повного потоку

енергії можна спростити (див. рівняння (2.13)):

2

2

0

yk

kSS .

Рисунок 2.7. Залежність нормалізованого потоку енергії від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk , 5,0/

21

pp .

57

Отже, при 1H

потік енергії скінченний (див. область малих значень

хвильового вектора на Рис. 2.7). При цьому повна енергія прямує до

нескінченності (див. Рис. 2.8), що видно з рівняння (2.18), якщо в ньому

покласти 1 :

1

22

1

2

1

111

22

1

2

1

2

1

2

1

0

101

)(

2

)(2

g

g

g

g

g

k

WWW .

Беручи до уваги, що в околі нижньої границі частотного діапазону

існування хвилі 1101 / gk (тому що 01 ), приходимо до висновку, що

1

11

0

2g

WW .

Рисунок 2.8. Залежність нормалізованої густини енергії від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk , 5,0/

21

pp .

58

Оскільки густина повного потоку енергії скінченна, а W ,

заключаємо, що швидкість поширення енергії прямує до нуля на нижній

границі інтервалу частот існування хвилі. (Рис. 2.9).

Рисунок 2.9. Залежність нормалізованої густини енергії від модуля

нормалізованого хвильового вектора для 0yk , 5,0/

21

pp .

На верхній межі інтервалу існування ПХ, що визначається з рівняння (2.5),

потоки енергії в I-й та II-й плазмових областях рівні за абсолютним значенням,

але мають протилежні напрямки:

11

0

1g

SS

, 22

0

2g

SS

.

Таким чином, повний потік енергії прямує до нуля за 22kk y (див. Рис

2.7). Якщо yk , густина повної енергії прямує до нескінченності:

)(

)(

11

2

11

0

1

g

gk

kWW

y

)(

)(

22

2

22

0

2

g

gk

kWW

y .

59

Зазначимо, що вирази для 1

W та 2W подібні до виразів (2.26) та (2.27), що

описують густину енергії хвилі, що поширюється в додатному напрямку.

З ростом магнітного поля густина потоку енергії зменшується за

величиною (див. Рис.2.7), при цьому енергія також зменшується (див. Рис. 2.8).

Зі збільшенням магнітного поля значення, що відповідає максимуму групової

швидкості, зменшується та зсувається вбік більших величин хвильового

вектора (див. Рис.2.9).

Висновки до Розділу 2

У цьому розділі було досліджено дисперсію та енергетичні

характеристики поверхневих хвиль на межі плазма-плазма у зовнішньому

магнітному полі в геометрії Фойгта. Було отримано та проаналізовано

дисперсійне рівняння для ПХ. Було знайдо межі діапазону частот, в якому

існують поверхневі хвилі з додатним та від’ємним хвильовим числом. Знайдено

частоту, вище якої повільні ПХ переходять в швидкі.

Було досліджено енергетичні характеристики поверхневих хвиль, що

поширюються вздовж плоскої межі плазма-плазма, у присутності зовнішнього

магнітного поля. Розглянуто випадок, коли зовнішнє стале магнітне поле є

паралельним до межі поділу середовищ, а поверхневі хвилі поширюються у

напрямку, що є перпендикулярним до магнітного поля (геометрія Фойгта).

Густина плазми у першому плазмовому середовищі вважається малою

(плазмова частота електронів менша за частоту хвилі), а у другому – навпаки,

високою (плазмова частота електронів більша за частоту хвилі). Для кожного

середовища було отримано вирази для середніх за часом величин – густини

потоку енергії та густини енергії. Було проаналізовано залежності цих

характеристик від величини та напрямку хвильового вектора для різних значень

магнітного поля.

Було також досліджено, як спрямований вектор Пойтінга. З’ясовано, що

для хвиль з додатнім значенням хвильового числа потоки енергії в першому та

60

другому середовищах завжди спрямовані в протилежних напрямках. Однак, для

хвиль з від’ємним хвильовим числом, потік енергії в другому плазмовому

середовищі може бути спрямований як вздовж хвильового вектора, так і в

протилежному напрямку. Було знайдено значення хвильового вектора та

частоти, за яких потік енергії в другому середовищі відсутній. Таким чином,

було знайдено, що для певного діапазону значень хвильового вектора потоки

енергії в обох плазмових середовищах спрямовані в один бік, що не можливо за

відсутності зовнішнього магнітного поля. В той же час, повний середній за

часом потік енергії поверхневої хвилі завжди спрямований вздовж хвильового

вектора.

Було отримано вираз для швидкості поширення енергії хвилі. Було

показано, що швидкість поширення енергії поверхневої хвилі дорівнює

груповій швидкості хвилі. Було досліджено як групова швидкість ПХ залежить

від величини хвильового вектора та величини зовнішнього магнітного поля.

Було знайдено, що потік енергії хвилі та швидкість поширення енергії хвилі

прямують до нуля за великих значень хвильового вектора.

На нижній межі частотного діапазону існування поверхневих хвиль

швидкість поширення енергії хвилі залежить від напрямку хвильового вектора.

Якщо хвильове число від’ємне, то групова швидкість прямує до нуля, в той час,

як для додатного хвильового числа групова швидкість на нижній межі

частотного діапазону відмінна від нуля. Також з’ясовано, що з ростом

зовнішнього магнітного поля групова швидкість ПХ зменшується.

61

Розділ 3. ПОВНА ПРОЗОРІСТЬ ДВОШАРОВОЇ ПЛАЗМОВОЇ

СТРУКТУРИ У ПРИСУТНОСТІ ЗОВНІШНЬОГО

МАГНІТНОГО ПОЛЯ

У цьому розділі досліджується проходження електромагнітних р-

поляризованих хвиль крізь двошарову плазмову структуру у присутності

зовнішнього магнітного поля. Визначається залежність коефіцієнта прозорості

структури від значення хвильового вектора хвилі, товщини шарів плазми та

величини зовнішнього магнітного поля. Отримуються рівняння необхідні для

повної прозорості плазмової структури, що пов’язують характеристики хвилі та

параметри шарів плазми. Тут під повною прозорістю мається на увазі випадок,

коли нема відбиття хвиль від структури.

3.1 Основні рівняння та припущення

Розглянемо структуру, що складається з двох шарів плазми, які оточено

вакуумом. Структура знаходиться у сталому та однорідному магнітному полі

0H , яке спрямовано вздовж вісі z. Розглянемо випадок, коли густина електронів

у першому шарі плазми така, що Фойгтівська діелектрична проникність є

додатною 1<<01V

, а густина електронів у другому шарі велика на стільки, що

0<2V

.

Електромагнітна хвиля падає під нахилом на структуру з вакуумної

області В1 (Рис. 3.1). Після проходження крізь шари плазми хвиля

поширюється у вакуумну область В2, що знаходиться праворуч від структури.

Розглянемо поширення р-поляризованої хвилі, хвильовий вектор yxeekyxkk =

62

та електричне поле E якої лежать у площині ху. В загальному випадку у

вакуумній області В1 поширюються падаюча (з 0>xk ) та відбита (з 0<

xk )

хвилі, в той час як в області В2 відбитої хвилі немає. У плазмових областях Пл1

та Пл2, що мають товщини 1a та

2a відповідно, хвилі скінуються ( 0=Re xk ).

Припускається, що шари плазми однорідні в напрямках у та z. Як і у

попередньому розділі, вплив нелінійних ефектів на поширення хвиль в

плазмових шарах вважається слабким.

Рисунок 3.1. Схема проходження електромагнітної хвилі крізь двошарову

плазмову структуру.

Припускається, що в плазмі іони нерухомі (частота хвилі значно більша за

іонну плазмову частоту), магнітна проникність плазми 1= , фазова швидкість

хвилі більша за теплову швидкість електронів, а частота зіткнень менша за

частоту хвилі. За цих припущень тензор діелектричної проникності плазми в

зовнішньому сталому магнітному полі має наступні ненульові компоненти

63

2211 , 2112 ,

22

33 /1= p . Вирази для 11 та

12 надано у другому

розділі (див. (2.4)).

Електромагнітне поле р-поляризованої хвилі має наступний вигляд

).(exp))((0,0,=

),(exp),0)(),((=

tiyikxH

tiyikxExE

yz

yyx

H

E

В геометрії Фойгта, що тут розглядається, компоненти поля yxEE , та

zH

визначається виразами (2.1) та (2.3).

Локальний хвильовий імпеданс визначається як

.)(

)(=)(

xH

xExZ

z

y

Використовуючи рівняння (2.2) та (2.3), можна знайти компоненти поля

хвилі yE та

zH у вакуумній області В1

)),(exp)(exp(= xikxikk

AkE xvx

vxy (3.1)

)),(exp)(exp(= xikxikAH xvxvz (3.2)

де перші доданки у дужках в правій частині виразів (3.1) та (3.2) відносяться до

хвилі, що падає, а другі доданки – до хвилі, що відбивається. Амплітуда хвилі

позначена через vA , а

v – це амплітудний коефіцієнт відбиття в області В1.

Тоді локальний імпеданс для електромагнітної хвилі в області В1

,)(exp)(exp

)(exp)(exp=)(

1xikxik

xikxikZxZ

xvx

xvxvv

(3.3)

64

де kkZ xv /= – це імпеданс хвилі, що поширюється у вакуумній області

(характеристичний імпеданс).

З рівняння (3.3) випливає, що коефіцієнт відбиття v визначається

наступним чином

,(0)

(0)=

1

1

vv

vvv

ZZ

ZZ

(3.4)

де (0)1v

Z – це імпеданс на межі плазма-вакуум ( 0=x ).

Оскільки у вакуумній області В2 присутня лише хвиля, що пройшла крізь

плазмові шари, імпеданс хвилі не залежить від просторових координат і

.=2 vvZZ

Для поля електромагнітної хвилі, що визначається рівняннями (2.2) та

(2.3), локальний імпеданс хвилі в плазмовому шарі має вигляд

.1

)(==

22

dx

dH

Hgk

gk

i

H

EZ z

z

y

z

y

(3.5)

Розв’язок рівняння (2.3) в плазмі має наступний вигляд:

)),(exp)(exp(= xxAH z

Таким чином, імпеданс хвилі в плазмовій області дорівнює

,)(exp)(exp

)(exp)(exp=)(

xx

xxiixZ

де

65

,)(

=

,)(

=

22

22

gk

gk

gk

y

A – амплітуда хвилі, що падає на плазму, а – це коефіцієнт відбиття в шарах

плазми.

Позначивши )(0xZ та )( axZ , як імпеданси на лівій (

0= xx ) та правій (

axx = ) межах шару плазми з рівняння (3.5) отримуємо:

,)(exp)(exp

)(exp)(exp=)(

00

00

0xx

xxiixZ

(3.6)

.)(exp)(exp

)(exp)(exp=)(

aa

aaa

xx

xxiixZ

(3.7)

Зазначимо, що рівняння (3.6) та (3.7) справедливі, як для першого, так і

для другого шарів плазми. В рівняннях (3.6) та (3.7) можна позбавитися від

коефіцієнта відбиття, виразивши імпеданс )( axZ через імпеданс )(0xZ (чи

навпаки):

,))((

))((=)(

0

0

LixZi

LiixZiixZ

a

(3.8)

,))((

))((=)(

0LixZi

LiixZiixZ

a

a

(3.9)

де )(th= aL .

Рівняння (3.8) – (3.9) дають зв'язок між імпедансами )(11aZ та (0)

1Z для

першого шару плазми Пл1, так само як і зв'язок між )(212aaZ та )(

12aZ для

другого шару плазми Пл2.

66

Оскільки тангенціальні компоненти електричного та магнітного поля

неперервні на межі поділу середовищ, імпеданс також неперервна функція.

Прирівнюючи імпеданси на кожній межі поділу, отримуємо систему рівнянь

(0),=(0) 11 ZZv (3.10)

),(=)(1211aZaZ (3.11)

.=)( 212 vZaaZ (3.12)

Використовуючи граничні умови (3.10) – (3.12) та співвідношення (3.8) –

(3.9), знаходимо імпеданс (0)1v

Z на межі першого шару плазми Пл1 з вакуумом.

Підставивши (0)=(0) 11 ZZv в рівняння (3.4), отримаємо вираз для коефіцієнту

відбиття в плазмових шарах:

,(0)

(0)=

1

1

ZZ

ZZ

v

vv

де

.)(

)(=)(

,))((

))((=(0)

222

2222212

11121

11112111

LiZi

LiiZiiaZ

LiaZi

LiiaZiiZ

v

v

Якщо відомий амплітудний коефіцієнт відбиття v , квадрат якого

характеризує частку енергії, що відбилася від структури, то легко отримати

енергетичний коефіцієнт проходження

.1=2

vT (3.13)

67

Таким чином, повна прозорість двошарової структури досягається, якщо

0=v . У цьому випадку, імпеданс в точці 0=x точно дорівнює

характеристичному імпедансу в області В1, тобто, vZZ =(0)

1. Користуючись

цим фактом та рівняннями (3.13), отримаємо наступну умову повної прозорості

двошарової плазмової структури:

,)(

)(=

)(

)(

222

222

22

111

111

11LiZi

LiZ

LiZi

LiZ

v

v

v

v

(3.14)

де )(th= 111 aL та )(th= 222 aL . Це комплексне рівняння еквівалентне системі

двох дійсних рівнянь

))(()(=))(()( 111

2

2

2

222221

2

222

2

1

2

111112

2 LLLLZLLLLZ vv , (3.15)

)())((=)())((2

2

2

221222111

2

1

2

121222111 LLLLLLLL . (3.16)

Система рівнянь (3.15), (3.16) також визначає умови резонансної

прозорості ( 1=T ) двошарової плазмової структури.

У випадку товстих шарів можна покласти )2(exp1 iii aL , де 1,2=i

нумерує шари плазми, умова (3.14) спрощується

2211 2

22

22

2

2

11

11

12211e2e2=)()(

a

v

va

v

v

iZ

iZ

iZ

iZ

. (3.17)

Комплексне рівняння (3.17) еквівалентне наступній системі дійсних

рівнянь:

,e)(

2e)(

2=)()( 2211 2

22

22

22

2

2

22

2

22

11

22

1

2

112211

a

v

va

v

v

Z

Z

Z

Z

0.=e)(

e)(

2211 2

22

22

2

22

22

11

2

1 a

v

a

v ZZ

68

3.2 Прозорість двошарової плазмової структури.

Тепер дослідимо залежність прозорості двошарової структури від

компоненти хвильового вектора yk , електронної циклотронної частоти

c та

ширини плазмових шарів. По-перше, проаналізуємо прозорість структури за

відсутності зовнішнього магнітного поля. У випадку 0=0

H умова резонансної

прозорості (3.14) дає наступну систему з двох рівнянь [84]

,=20

2

10

1

(3.18)

.= 2211 aa (3.19)

Рівняння (3.18) співпадає з дисперсійним рівнянням для поверхневих

хвиль, що розповсюджуються вздовж межі двох напівобмежених плазмових

середовищ за відсутності зовнішнього магнітного поля. За умови (3.19)

наскільки поле хвилі збільшується в одному шарі, настільки ж воно

послаблюється в іншому (див. Рис. 3.2). В результаті чого, амплітуди поля

електромагнітної хвилі однакові на обох межах плазмової структури з

вакуумом.

Рисунок 3.2. Якісна залежність нормованої амплітуди магнітного поля

електромагнітної хвилі від нормованої координати.

69

Прозорість двошарової структури без магнітного поля залежить від

величини компоненти хвильового вектора yk . На Рис. 3.3 показано коефіцієнт

проходження T як функцію нормованої компоненти хвильового вектора kky/ .

Суцільна лінія на Рис. 3.3 відповідає залежності, яку було розраховано за

наступних параметрів: нормована частота 6007,0=/2p

, відношення

плазмових частот 5,0=/21 pp

, товщини шарів плазми 5401,11=1a , 0,2=

2a ,

де 2/=

pc . Оскільки за відсутності магнітного поля поверхневі хвилі взаємні,

залежність T для додатної ( 0>yk ) та для від’ємної ( 0

yk ) гілки ідентичні.

Таким чином, залежність коефіцієнта проходження симетрична відносно осі

0=/kky . Коефіцієнт сягає одиниці для двох різних значень y

k , які рівні за

модулем але мають протилежні знаки.

Рисунок 3.3. Залежність коефіцієнта проходження від нормованого хвильового

вектора для 00H за різних значень товщини шарів: а) 5401,11=

1a , 2=

2a

(суцільна лінія), б) 8264,5=1a , 2=

2a (штрихована лінія), в) 5401,11=

1a ,

3=2a (пунктирна лінія). Тут 6007,0/

2

p та 5,0/

21

pp .

70

Якщо ширини шарів плазми не задовольняють резонансній умові (3.19), то

прозорість двошарової структури не повна (див. штриховану та пунктирну лінії

на Рис. 3.3 , які отримано за тих самих зовнішніх умов, що й суцільну лінію на

Рис. 3.3, за виключенням ширини першого шару: для штрихованої лінії

5.8264=1a , а для пунктирної лінії ширини другого шару 0,3=2a ).

Коефіцієнт проходження зменшується зі збільшенням відхилення ширини шару

від значення отриманого з умови (3.19) (див. Рис. 3.4).

Рисунок 3.4. Залежність коефіцієнта проходження від відхилення товщини

першого шара 1a від резонансного значення 5401,11=10a для 0

0H ,

6095,0/ kky та 2=

2a . Інші параметри такі самі, як і для рис. 3.3.

Виключивши зворотні глибині проникнення поля 1

та 2

з рівнянь (3.18)

та (3.19), отримаємо резонансні умов на хвильове число та діелектричні

проникності шарів плазми:

0,==

,=

220110

2010

2010

aa

k y

71

де – ефективна діелектрична ширина для двошарової структури за умови

0=0

H .

Тепер проаналізуємо вплив магнітного поля на прозорість двошарової

структури. У сталому зовнішньому магнітному полі резонансні умови

описуються рівняннями (3.15) та (3.16), що відрізняються від тих, які

справедливі для випадку 0=0

H (див. (3.18), (3.19)). За 00

H залежність

коефіцієнта проходження від kky/ є асиметричною відносно осі 0=/kk

y (див.

Рис. 3.5). Асиметричність пояснюється невзаємністю електромагнітних хвиль,

що поширюються в магнітоактивній плазмі. Резонансні умови та прозорість

двошарової структури залежить від знаку yk . При 0

0H неможливо одночасно

досягнути повної прозорості для додатних та від’ємних значень yk за

однакових параметрів шарів плазми. Але резонансна прозорість може бути

отримана для 0>yk та 0<

yk для різного набору параметрів, наприклад для

різних ширин першого шару (Рис. 3.5).

Рисунок 3.5. Залежність коефіцієнта проходження від нормованого хвильового

вектора для 0yk та 717,5=

1a (суцільна лінія), і 0

yk та 3824,19=

1a

(штрихована лінія). Інші параметри наступні: 985,2=2a , 67,0/2

p ,

5,0/21

pp та 2,0/

2

pс .

72

Коефіцієнт проходження істотно залежить від величини зовнішнього

магнітного поля. Щоб показати це, було побудовано графік залежності

коефіцієнта проходження від нормованої компоненти хвильового вектора kky/

для різних значень циклотронної частоти. На Рис. 3.6 представлено залежність

T для 1,0=/2pc

(суцільна лінія), 0,2 (штрихована лінія) та 0,02 (пунктирна

лінія).

Рисунок 3.6. Залежність коефіцієнта проходження від нормованого хвильового

вектора для різних значень магнітного поля: 1,0/2

pс (суцільна лінія),

2,0/2

pс (штрихована лінія), 02,0/

2

pс (пунктирна лінія). Інші

параметри такі ж самі, як і для штрихованої лінії на рис. 3.3.

Зауважимо, що прикладаючи зовнішнє магнітне поле, можна змінити

прозорість двошарової структури, навіть покращити її, якщо параметри

структури було обрано не належним чином (див., наприклад, Рис. 3.7).

73

Рисунок 3.7. Залежність коефіцієнта проходження від нормованого хвильового

вектора. Суцільною та штрихованою лінією позначено залежності для

1,0/2

pс та 0/

2

pс , відповідно. Інші параметри такі ж самі, як і для

штрихованої лінії на рис. 3.3.

Рисунок 3.8. Залежність коефіцієнта проходження від нормованого хвильового

вектора для різних значень магнітного поля: 0/ p2c

ωω (суцільна лінія),

2,0/ p2c

ωω (штрихована лінія). Інші параметри плазми наступні: 67,0/ p2

ωω ,

p2ωc=a /3,71

1 , p2ωc=a /1,34

2 та 5,0/ p2p1

ωω .

74

Але, якщо за відсутності магнітного поля прозорість двошарової

структури була високою, магнітне поле, навпаки, її може погіршити (див

Рис. 3.8)

Висновки до Розділу 3

У цьому розділі досліджено прозорість двошарової плазмової структури у

зовнішньому сталому магнітному полі 0

H . Розглянуто випадок, коли

електромагнітна хвиля падає на структуру під нахилом, а поля в плазмі

скінуються. Хвиля була р-поляризованою, а зовнішнє магнітне поле було

перпендикулярне до площини падіння (геометрія Фойгта).

Знайдено умови повної прозорості двошарової структури (3.15) та (3.16).

Досліджено вплив товщини шарів, величини компоненти хвильового вектора

yk та величини зовнішнього магнітного поля (див. Рис. 3.5) на прозорість

структури. З’ясовано, що різниця між двома піками залежності коефіцієнта

проходження T від хвильового вектора стає більшою, якщо магнітне поле

зростає (див. Рис. 3.5). Показано, що структура, яка повністю непрозора за

відсутності магнітного поля, може стати абсолютно прозорою за умови 00

H

(див. Рис. 3.6).

Дисперсійні властивості поверхневих хвиль тісно пов’язані з

характеристиками резонансного проходження, що вивчається в цій роботі.

Варто зазначити, що за відсутності зовнішнього магнітного поля , одна з умов

резонансної прозорості співпадає з дисперсійним рівнянням поверхневої хвилі

на межі двох напівобмежених плазмових середовищ. Для скінченного

зовнішнього магнітного поля поверхневі хвилі невзаємні, внаслідок

невзаємності залежність коефіцієнта проходження від хвильового числа

відрізняється для 0>yk та 0<

yk , що не так для 0=H

0.

Для товстих шарів плазми одна з умов повної прозорості за 0H0 має

такий же вигляд, як і дисперсійне рівняння поверхневої хвилі на межі поділу

75

двох напівобмежених плазмових середовищ. Але для звичайних шарів плазми

замість дисперсійного рівняння (2.4) треба використовувати рівняння (3.15)

та (3.16).

Зазначимо, що в нашому дослідженні використано деякі спрощення.

Зокрема, плазмові шари мали однорідну густину. Але в багатьох експериментах

та в природі густина електронів в плазмі, як правило, майже однорідна лише в

областях, що не знаходяться поблизу границь плазми. Таким чином,

наближення однорідної плазми може бути застосовано, тільки якщо масштаб

неоднорідності плазми, що в лабораторній плазмі низького тиску складає кілька

радіусів Дебая, менший ніж глибини скін-шарів 1

1/ та 2

1/ . Неоднорідність

може підсилити явища дисипації у плазмовій структурі, і це може вплинути на

прозорість системи [73; 141]. Більше того, нами також не враховано нелінійні

ефекти, так само як і тепловий рух електронів. Ці явища можуть вплинути на

прозорість структури [64], навіть збільшувати її за певних умов [54].

У даному розділі показано, що двошарова плазмова структура, один з

шарів якої має електронну плазмову частоту більшу за частоту хвилі, може

бути повністю прозорою для р-поляризованої електромагнітної хвилі у

зовнішньому магнітному полі. Аномально висока прозорість пояснюється

взаємодією хвилі, що падає та власної поверхневої моди структури. Якщо шари

плазми товсті або зовнішнє магнітне поле відсутнє, хвилі в шарах являють

собою поверхневі хвилі з дисперсією, що описується дисперсійним рівнянням

для поверхневих хвиль на межі двох напівобмежених плазмових середовищ. За

0H0 та довільних значень товщини шарів плазми, дисперсійні властивості

хвиль у структурі відрізняються від тих, дисперсійних властивостей

поверхневих хвиль, що поширюються на межі двох напівобмежених плазмових

середовищ.

76

Розділ 4. ПРОХОДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ

КРІЗЬ ДВОШАРОВУ ПЛАЗМОВУ СТРУКТУРУ З

ПРОСТОРОВО НЕОДНОРІДНОЮ ЕЛЕКТРОННОЮ

ГУСТИНОЮ

В цьому розділі досліджується поширення р-поляризованої

електромагнітної хвилі крізь двошарову плазмову структуру з досить

довільними просторовими розподілами густини електронів у шарі плазми.

Дослідження проводиться як аналітичними, так і числовими методами.

Знаходяться умови, за яких двошарова плазмова структура стає повністю

прозорою. Розглядається випадок, коли шари плазми тонкі, і випадок, коли

неоднорідність розподілу густини електронів в шарах плазми слабка. Випадок

слабкої неоднорідності досліджується методом ВКБ (Вентцеля-Крамерса-

Бріллюена) [34–37]. Випадок, коли шари плазми не можна вважати тонкими,

досліджується за допомогою числових методів. Розподіл густини електронів в

шарах плазми обрано пропорційним до косинуса, що є типовим для більшості

лабораторних експериментів з плазмою [3; 8; 142]. Знаходяться коефіцієнти

відбиття електромагнітної хвилі для різних значень товщини плазмових шарів.

4.1 Основні рівняння

Розглянемо двошарову плазмову структуру, що знаходиться у вакуумі

(див. Рис. 4.1). Будемо вважати, що просторово усереднена густина плазми

першого шару мала ( 1<<0 1 де 1 – це просторово усереднена діелектрична

проникність першого шару), при цьому другий шар плазми Пл.2 має більшу

77

густину з 0<2 , де 2 – це просторово усереднена діелектрична проникність

другого шару.

Рисунок 4.1. Схема поширення електромагнітної хвилі крізь двошарову

структуру, що складається з двох шарів неоднорідної плазми.

Електромагнітна хвиля падає під кутом з боку напівобмеженої вакуумної

області В1 на шар плазми Пл1 (див. Рис.4.1). Хвиля, що пройшла крізь

двошарову структуру, поширюється у напівобмежену вакуумну область В2, яка

знаходиться праворуч від структури. Розглядається р-поляризована хвиля з

хвильовим вектором zxeek zx kk = , тобто вектор електричного поля лежить у

площині падіння xz . У вакуумній області В1 присутні падаюча (з 0>xk ) та

відбита (з 0<xk ) хвилі. У вакуумній області В2 відбитої хвилі немає. У

випадку повної прозорості системи відбитої хвилі також немає і у вакуумній

області В1. Плазмові області Пл1 та Пл2 мають ширини 1a та

2a відповідно і

хвилі в цих областях скінуються ( 0)=Re xk . Розглядається випадок, коли шари

плазми однорідні в напрямку y та z і неоднорідні у напрямку x . Вплив

нелінійних ефектів та теплового руху електронів на властивості хвиль

78

вважається малим. Крім того, припускається, що частота хвилі значно більша за

плазмову частоту іонів та частоту зіткнень електронів з іншими частинками

плазмового середовища.

Будемо вважати електрони нерухомими, фазову швидкість

електромагнітної хвилі більшою за теплову швидкість електронів, а частоту

електронних зіткнень малою в порівнянні з частотою хвилі.

Електромагнітне поле р-поляризованої хвилі можна записати у вигляді

)(exp))(),0,((= tizikxExE zzx E ,

)(exp),0)((0,= tizikxHzy

H .

Компоненти поля xE ,

zE та y

H , як функції діелектричної проникності

плазми, можуть бути знайдені з рівнянь Максвелла:

HE ik=rot , (4.1)

EH ik=rot , (4.2)

де 22

)/(1= xpe – діелектрична проникність холодної вільної плазми. У

даному випадку плазмова частота )(xpe

залежить від координати x .

З рівнянь (4.1) та (4.2), лекгко знайти компоненти поля хвилі zE та y

H у

вакуумній області В1.

)(exp)(exp= xikxikk

AkE xvx

vxz , (4.3)

)](exp)(exp[= xikxikAHxvxvy

, (4.4)

де перші доданки в дужках виразів (4.3) та (4.4) відносяться до хвилі, що падає,

а другі – до відбитої хвилі. Тут v – це коефіцієнт відбиття,

vA – це амплітуда

падаючої хвилі.

79

Введемо функцію )(xu , яка характеризує локальний імпеданс хвилі )(xZ :

.)(

)(=)(=)(

xH

xEikxikZxu

y

z

Тоді функція )(xu для поля електромагнітної хвилі у вакуумній області В1

має вигляд:

.)(exp)(exp

)(exp)(exp=)(

1xikxik

xikxikikxu

xvx

xvxxv

(4.5)

У вакуумній області В2 ця функція має простий вираз:

xv ikxu =)(2 . (4.6)

Залежність компоненти магнітного поля хвилі yH від координати x в

області неоднорідної плазми може бути знайдено з рівняння, що витікає з

рівнянь Максвелла (4.1) та (4.2) [73]

0,=)()(

1)(

2

y

yHx

dx

dH

xdx

dx

(4.7)

де 22

3= kk – це локальна обернена глибина проникнення поля

електромагнітної хвилі в плазму.

Компонента електричного поля zE пов’язана з компонентою магнітного

поля хвилі рівнянням:

.)(

=dx

dH

xk

iE

y

z

(4.8)

80

Для довільної залежності діелектричної проникності від координати не

можна знайти аналітичний розв’язок рівняння (4.7). Проте, наближений

розв’язок для цього рівняння можна отримати в деяких граничних випадках,

наприклад, у випадку, якщо шар плазми тонкий ( 1a ), або якщо

неоднорідність плазми слабка.

4.2 Випадок тонкого плазмового шару

Якщо шари плазми тонкі, то можна знехтувати другим членом у правій

частині рівняння (4.7), і це рівняння може бути представлено в спрощеному

вигляді:

0.)(

1)(

dx

dH

xdx

dx

y

(4.9)

Рівняння (4.9) має наступний розв’язок:

,)()(0

BdxxAxHx

xy (4.10)

де 0x – це початкова координата, A та B – константи.

Використовуючи рівняння (4.8) та (4.10), можна отримати вираз для z -

компоненти електричного поля:

kiAxEz /)( ,

з якого випливає вираз для функції u , що характеризує локальний імпеданс

хвилі в плазмових областях:

81

.)(

)(

0

BdxxA

Axu

x

x

(4.11)

Оскільки тангенціальні електричне та магнітне поля неперервні на межі

поділу середовищ, функція u також неперервна. Зшиваючи функції, що

характеризують локальний імпеданс, на кожній границі, отримуємо систему

рівнянь:

1

1=1

1

B

Aik

v

vx

, (4.12)

2

2

111

1

0

1 =)( B

A

BdxxA

Aa

, (4.13)

xaa

a

ikBdxxA

A=

)(222

21

1

2

, (4.14)

де індекси 1 та 2 відповідають областям Пл1 та Пл2, відповідно.

Система рівнянь (4.12) – (4.14) отримана в припущенні, що в рівнянні

(4.10) початковою координатою для області Пл1 є 0=0x , а для області Пл2 –

10 = ax .

Розв’язавши рівняння (4.12) – (4.14), отримуємо коефіцієнт відбиття:

,/2

=2211

2211

x

vkiaa

aa

(4.15)

де 11

1

01 /)(= adxx

a

, 22

21

1

2 /)(= adxxaa

a

– це усереднені діелектричні

проникності в плазмових шарах Пл1 та Пл2 відповідно.

Використавши рівняння (4.11) – (4.14), знайдемо залежність імпедансу

хвилі від координати в шарах плазми Пл1 та Пл2

82

./)(

/=)/(=)(

,/)(

/=)/(=)(

2221

22

221110

11

x

x

a

x

x

kiadxx

kikxiuxZ

kiaadxx

kikxiuxZ

З рівняння (4.15) видно, що повна прозорість ( 0=v ) двошарової

структури досягається, коли виконується наступна умова:

0.=2211 aa (4.16)

Умова повної прозорості (4.16) подібна до тієї, що має місце у випадку

однорідних шарів плазми. Однак, у цьому випадку замість діелектричних

проникностей для однорідної плазми 10 та

20 в рівняння входять усередненні

діелектричні проникності 1 та 2 . Зазначимо, що у випадку однорідних шарів

плазми хвильове число zk повинно задовольняти наступній умові [64]:

,=2010

2010

kkz (4.17)

Зазначимо, що у випадку, який тут розглядається, додаткова умова для zk

відсутня, тому що в рівнянні (4.7) було знехтувано доданком, що відповідає за

залежність поля хвилі від хвильового числа.

Умова на значення хвильового вектора zk , яка необхідна для повної

прозорості структури у випадку тонких шарів плазми, може бути отримана,

якщо врахувати другий член у лівій частині рівняння (4.7). У цьому випадку

рівняння (4.7) можна розв’язати методом послідовних наближень.

Застосовуючи цей метод, припустимо, що компоненту магнітного поля

можна представити у вигляді суми 10HHH

y , де другий доданок значно

менший за перший |||| 01 HH , а перший 0

H – це розв’язок рівняння (4.9), що

83

описується виразом (4.10). У цьому випадку отримаємо наступне рівняння для

1H :

0.=)(

1)(

0

21 Hdx

dH

xdx

dx

(4.18)

З рівняння (4.18) можна отримати вираз для 1H і, як результат, вираз для

y -компоненти магнітного поля в плазмовій області.

.)()(

)()()(

=

0000

2

10

dxdxBdxxAx

xxBdxxA

HHH

x

x

x

x

x

x

x

x

y

(4.19)

Використовуючи рівняння (4.8) та (4.19), отримаємо наступне рівняння

для z - компоненти електричного поля у довільному шарі плазми:

.)()(

)(=

0

2

0

dxBdxxA

x

xA

k

iE

x

x

x

xz

Тоді функція , що характеризує імпеданс хвилі в шарі плазми, є

наступною:

,

)()(

)()()(

)()(

)(1

==)(

0

2

000

0

2

0

dxdxCdxxx

xxdxxC

dxCdxxx

x

H

Eikxu

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

z

(4.20)

де ABC /= .

84

Для цього конкретного випадку зручно розташувати початок системи

координат ( 0=x ) на межі Пл1-Пл2, і покласти в рівнянні (4.20) 0=0x . Тоді з

граничних умов (0)=(0) 21 uu отримуємо, що 21

= CC .

Враховуючи неперервність функції )(xu на межах поділу плазма-вакуум

(у площинах 1

= ax та 2= ax ) і, вважаючи, що прозорість структури повна (

0=v ), отримаємо наступну систему рівнянь:

xikau =)( 11 , (4.21)

xikau =)(

22, (4.22)

де функції 1u та

2u визначаються рівнянням (4.20), в якому 0=

0x .

З рівнянь (4.21) та (4.22) витікає, що у випадку повної прозорості

)(=)( 2211 auau . (4.23)

У загальному випадку нам не вдалося знайти аналітичний розв’язок

рівнянь (4.21) – (4.23). Водночас, рівняння (4.23) приблизно задовольняється,

якщо

dxxdxxaa

)()(2

2

01

1

0

, (4.24)

dxx

xdx

x

x aa

)(

)(

)(

)(

2

2

22

01

2

11

0

, (4.25)

dxdxx

xxdxdx

x

xx

xaxa

)(

)()(

)(

)()(

2

2

2

02

2

01

2

1

01

1

0

, (4.26)

dxdxdxxx

xxdxdxdxx

x

xx

xxaxxa

)()(

)()()(

)(

)()( 20

2

2

2

02

2

0101

2

1

01

1

0

, (4.27)

dxdxxx

xdxdxx

x

x xaxa

)()(

)()(

)(

)(20

2

2

22

0101

2

11

0

. (4.28)

85

Зазначимо, що умова повної прозорості (4.24), яку було отримано,

враховуючи другий доданок у правій частині рівняння (4.7), співпадає з умовою

(4.16), яку було отримано без врахування цього доданка. Таким чином, умова

(4.24) більш важлива, ніж умови (4.25) – (4.28). Якщо шари плазми однорідні,

тоді з рівнянь (4.25) – (4.28) отримаємо співвідношення:

0.=//2211

Хвильове число, що задовольняє цьому рівнянню, співпадає з тим, що

описується виразом (4.17). Таким чином, у випадку неоднорідних шарів плазми

можна очікувати, що резонансне хвильове число приблизно дорівнює

.)/(= 21210 kk

z

4.3 Випадок слабкої неоднорідності

Наближений розв’язок рівнянь (4.1) та (4.2) можна знайти у випадку, коли

неоднорідність плазми слабка, тобто, коли коефіцієнт діелектричної

проникності мало змінюється на довжині проникнення поля хвилі 1 . Щоб

отримати розв’язок у цьому випадку, зручно скористатися рівнянням для x -

компоненти електричного поля, що витікає з рівнянь Максвелла (4.1) та

(4.2)[143]:

0.=)(ln)(2

2

2

2

2

2

x

xE

xEx

cE

zxxxx

(4.29)

Припустимо, що x -компоненту електричного поля можна записати у

вигляді:

86

],)()([exp)()(=),( zxxikxFxzxEx (4.30)

де )(=)( xc

xk

, )(sin= x , )(x – це кут між хвильовим вектором та

віссю x .

Підставивши (4.30) в (4.29), отримуємо, що [37]

constkxxk =(0)(0)=)()( ,

0=)(e2

2

2

2

Fxcx

Fff

,

де kkz/=(0)sin=(0) ,

2

22

2

2

2

0

2

e4

3

2

1sin)(=)(

xx

cxx

ff

.

Тут вважається, що точка 0=x знаходиться на межі В1-Пл1.

Якщо неоднорідність плазми слабка, то справедливі наступні нерівності:

2

2

2

2

0

2

2

1|sin)(|

x

cx

, (4.31)

2

22

2

0

2

4

3|sin)(|

x

cx

, (4.32)

та

0

2

e sin)()( xxff

. (4.33)

87

Беручи до уваги, що kkz/=sin

0 і 22

3= kk , умови (4.31) та (4.32)

можна записати у вигляді:

2

2

2

|2|

x, (4.34)

3

21

x. (4.35)

Якщо 23

/2|/| kx та ефективна діелектрична проникність описується

рівнянням (4.33), то приблизний вираз залежності x -компоненти електричного

поля від координати x має наступний:

)(exp)(exp)()(

)(00

dxDdxCxxk

kxE

x

x

x

x

z

x

, (4.36)

де 0x – це координата, C та D – константи.

Враховуючи, що xzyEkkH )/(= , та використавши вираз для

xE (4.36),

отримуємо вираз для наближеного значення компоненти магнітного поля:

.)(exp)(exp)()(

)()(

00

dxDdxC

xx

xxH

x

x

x

xy

(4.37)

Оскільки xHkiEyz /)/(= , у випадку слабкої неоднорідності плазми

вираз для z -компоненти електричного поля має вигляд:

.)(exp)(exp)()(

)()(

00

dxDdxC

xxk

xixE

x

x

x

xz

(4.38)

88

Використавши вирази (4.37) та (4.38), отримуємо наступне наближене

рівняння для функції )(xu , що характеризує імпеданс хвилі:

)(exp)(exp

)(exp)(exp

)(

)()(

00

00

dxDdxC

dxDdxC

x

xxu

x

x

x

x

x

x

x

x

.

Таким чином, функції )(1xu та )(

2xu , що характеризують імпеданс хвилі в

областях Пл1 та Пл2, є наступними:

.)(exp)(exp

)(exp)(exp

)(

)()(

1010

1010

1

11

dxAdx

dxAdx

x

xxu

xx

xx

,)(exp)(exp

)(exp)(exp

)(

)()(

21

21

21

21

2

2

2

dxBdx

dxBdx

x

xxu

x

a

x

a

x

a

x

a

де A та B – це константи, 0=0x і

10 = ax відповідно для областей Пл1 та Пл2.

Нагадаємо, що у вакуумних областях В1 та В2 функція )(xu визначається

рівняннями (4.5) та (4.6).

Беручи до уваги, що імпеданс неперервний на межах поділу середовищ – в

точках з координатами 0=x , 1

= ax та 21

= aax , отримуємо наступну систему

рівнянь:

.=)(exp)(exp

)(exp)(exp

)(

)(

,1

1

)(

)(=)(exp)(exp

)(exp)(exp

)(

)(

,1

1

(0)

(0)=

1

)(1

2

21

12

21

1

2

21

12

21

1

212

212

12

12

1

1

01

1

0

1

1

01

1

0

11

11

1

1

xaa

a

aa

a

aa

a

aa

a

aa

aa

v

vx

ikdxBdx

dxBdx

aa

aa

B

B

a

a

dxAdx

dxAdx

a

a

A

Aik

(4.39)

89

З системи рівнянь (4.39) можна знайти коефіцієнт відбиття v та

коефіцієнт проходження 2||1=

vT . Тут не приведено виразів для

v та T ,

тому що вони громіздкі та неінформативні.

Замість цього розглянемо випадок повної прозорості ( 0=v ). У цьому

випадку з першого рівняння системи (4.39) знаходимо, що:

xx ikikA

(0)

(0)/

(0)

(0)=

1

1

1

1

. (4.40)

Константу B можна знайти з третього рівняння системи (4.39):

xx

aa

aik

aa

aaik

aa

aadxxB

)(

)(/

)(

)()(2exp=

212

212

212

2122

21

1

. (4.41)

Таким чином, друге рівняння системи (4.39) з константами A та B , що

даються рівняннями (4.40) та (4.41), визначає умови повної прозорості

двошарової плазмової структури у випадку слабкої неоднорідності.

Якщо

)(

)(=)(

)(

12

12

11

11

a

a

a

a

(4.42)

та

,(0)

(0)=)(

)(

1

1

212

212

aa

aa (4.43)

то з другого рівняння системи (4.39) витікає, що для повної прозорості

необхідна також наступна умова:

90

.)(=)(2

21

11

1

0dxxdxx

aa

a

a

(4.44)

Якщо шари плазми просторово однорідні, то умови (4.42) – (4.44)

співпадають з умовами повної прозорості, які було знайдено в [121].

4.4 Випадок неоднорідності одного з шарів плазми

У попередніх підрозділах було отримано умови повної прозорості

двошарової структури у випадку тонких шарів плазми і коли неоднорідність

плазми слабка. У загальному випадку проходження електромагнітної хвилі

крізь двошарову неоднорідну плазмову структуру можна дослідити лише

числовими методами. Для числового розрахунку зручно використовувати

рівняння для функції )(xu , що описує імпеданс хвилі та витікає з рівнянь

Максвелла (4.1) та (4.2) [73]:

].)()([)(

1=

222uxx

xx

u

Представивши комплексну функцію )(xu у вигляді 21

= iuuu , де 1u та

2u

дійсні функції, отримуємо з попереднього рівняння наступну систему рівнянь

))]()()(()([)(

1=

2

2

2

1

221 xuxuxxxx

u

, (4.45)

)()()(2= 21

2 xuxuxx

u

. (4.46)

Система рівнянь (4.45) та (4.46) має бути доповненою граничними

умовами. Оскільки на межі плазма-вакуум Пл2-В2 xikaau =)(

21 , тоді

91

0=)(211aau , а

xkaau =)( 212 . Також очевидно, що 1u та

2u – неперервні

функції.

В числовій моделі, що тут використовується, припускається, що межа

середовищ В1-Пл1 може знаходиться в різних точках )(1ax , і коефіцієнт

відбиття можна представити у вигляді 21= iv, де

1 та

2 – це дійсні

функції.

Беручи до уваги неперервність функцій 1u та

2u на межі В1-Пл1, з

рівняння (4.5) отримуємо наступний вираз для модуля коефіцієнта відбиття:

,))(()(

))((2))()((=)()(=|)(|

2

2

2

1

2

1

222

2

2

12

2

2

1

x

xx

vkxuxu

kxukxuxuxxx

де )(1xu та )(

2xu – функції, що характеризують імпеданс хвилі на межі В1-Пл1,

можна отримати у результаті числових розрахунків з рівнянь (4.45) та (4.46).

Для числового розв’язку системи звичайних диференційних рівнянь

використовується метод Рунге-Кутта четвертого порядку.

Знаходячи числові розв’язки системи рівнянь (4.45) – (4.46) для різних

значень хвильового вектора zk , було досліджено вплив неоднорідності плазми

на модуль коефіцієнта відбиття v та отримано умови, за яких відбиття

відсутнє.

На Рис. 4.2 та Рис. 4.3 показано залежності функцій )(1xu та )(2 xukx від

координати x у випадку однорідних шарів для наступних параметрів: частота

хвилі 2 900 МГц, плазмова частота у другому шарі 6,0/2

p с

-1,

плазмова частота у першому шарі 215,0

pp с

-1, хвильовий вектор вздовж осі

z zk =0,115 см

-1, товщина першого шару

1a =5,76 см, товщина другого шару

2a =1

см. За даних умов 307,01 ; 77,1

2 .

92

Рисунок 4.2. Залежність дійсної частини функції )(xu від координати x у

випадку однорідних шарів. Тут 0x відповідає межі вакууму з першим

плазмовим шаром.

Рисунок 4.3. Залежність функції )(2 xukx від координати за тих же умов, що і

залежність на рис. 4.2.

З Рис. 4.2 та Рис. 4.3 видно, що на межах плазми з вакуумом функції )(1xu

та )(2 xukx дорівнюють нулю, а на межі розділу двох плазмових середовищ

мають максимуми.

93

Розглянемо випадок, коли діелектрична проникність першого шару

лінійно зменшується від межі розділу двох плазмових середовищ, а другий шар

плазми однорідний. На Рис. 4.4 показано відповідну залежність діелектричної

проникності плазми від координати (суцільна лінія) у порівнянні з випадком,

коли перший шар плазми однорідний (пунктирна лінія). З Рис. 4.5 видно, що

коефіцієнт відбиття електромагнітної хвилі, який розраховано для zk =0,115 см

-1

(що відповідає повній прозорості у випадку однорідних шарів), не дорівнює

нулю за жодних значень 1ax , коли перший шар плазми є неоднорідним

(пунктирна лінія). Однак, поклавши zk =0,139 см

-1 (крапки на Рис. 4.5),

знаходимо, що коефіцієнт відбиття обертається на нуль, коли x = 2,38 см .

Тобто, щоб отримати повну прозорість двошарової плазмової структури у

даному випадку, товщина першого шару повинна бути зменшеною до 1a =5,76

см – 2,38 см =2,38 см.

Рисунок 4.4. Профіль діелектричної проникності плазми. Пунктир — шари

плазми однорідні. Суцільна лінія — перший шар плазми неоднорідний.

94

Рисунок 4.5. Залежність коефіцієнта відбиття від координати. Суцільна лінія—

випадок повної прозорості, однорідні шари, 3k =0,115 см

-1. Пунктирна лінія—

перший шар плазми неоднорідний, 3k =0,115 см

-1. Крапки – перший шар

неоднорідний,3k =0,139 см

-1.

Розглянемо випадок, коли перший шар однорідний, а другий має

залежність густини від координати пропорційну до )cos(x , що відповідає

профілю діелектричної проникності, який зображено на Рис. 4.6. При цьому

середня діелектрична проникність другого шару є рівною –1,77 (такою ж

самою, як і у випадку однорідної плазми). Залежність коефіцієнта відбиття від

координати для цього випадку показано на Рис. 4.7. Пунктирна лінія відповідає

профілю коефіцієнта відбиття для випадку однорідних шарів (яку отримано для

zk =0,115 см

-1), суцільна ліня відповідає випадку, коли другий шар плазми

неоднорідний. З графіку видно, що профіль коефіцієнта відбиття у випадку

неоднорідного другого шару плазми слабо відрізняється від цього профілю,

який отримано в однорідному випадку. При цьому резонансне значення

хвильового вектора, що відповідає повній прозорості структури, відрізняється

також ненабагато від резонансного хвильового вектора, що отримано для

95

випадку двох однорідних шарів плазми, і становить zk =0,119 см

-1. Товщина

шарів плазми у двох випадках приблизно однакова.

Рисунок 4.6. Профіль діелектричної проникності плазми. Другий шар плазми

неоднорідний.

Рисунок 4.7. Залежність коефіцієнта відбиття від координати. Пунктир —

випадок однорідних шарів для zk =0,115 см

-1. Суцільна лінія — другий шар

плазми неоднорідний і zk =0,119 см

-1.

На нашу думку, різниця у цих двох випадках є незначною тому, що за умов, які

тут розглядаються, характерна глибина проникнення поля у плазму 2/2

pc є

значно більшою за товщину другого шару плазми.

96

4.5 Випадок неоднорідності обох шарів

Розглянемо випадок, коли обидва шари неоднорідні. Для цього випадку

коефіцієнт відбиття було розраховано у припущенні, що діелектрична

проникність плазми має залежність від координати пропорційну косинусу.

Залежності діелектричних проникностей мали наступний вигляд:

)/2)/((cos= 1111 aaxAmmax для 1

< ax ;

minm aaaxB 22212 ))/2)/(2.0((cos= для 1

> ax , де 0.37=1max , 1=

2

min ,

)/2(= 11

maxmA , )/2(=

22 minmB . Графік залежностей діелектричних

проникностей представлено на Рис.4.8.

Розрахунок виконувався для 18

1092=

s та різних значень ширини

другого шару Пл2: 0.25=2a см, 1 см, 5 см. Резонансне значення ширини

першого шару плазми Пл1 розраховувалось згідно рівняння 1221/= aa , яке

співпадає з однією з умов повної прозорості у випадку однорідної плазми [144].

Розглядалися випадки, коли хвильове число zk має таке ж значення, як

резонансне значення хвильового числа у випадку однорідної плазми (0

=zzkk ), і

коли хвильове число відрізняється від 0z

k .

Рисунок 4.8. Профілі діелектричної проникності в першому шарі плазми, які

використовується в числовому аналізі.

97

Рисунок 4.9. Профілі діелектричної проникності в другому шарі плазми, який

використовується в числовому аналізі.

На Рис. 4.10 показано залежність |)(| xv для неоднорідної плазми в

порівнянні з випадком, коли шари плазми просторово однорідні. Обидві криві

на Рис. 4.3 отримано для 1.148== 0zz kk см-1

. З Рис. 4.10 видно, що абсолютна

величина коефіцієнта відбиття |)(| xv при 0=x у випадку неоднорідної плазми

дуже мала (3

102~

), тобто прозорість системи, що складається з тонких шарів

неоднорідної плазми близька до повної, подібно до випадку однорідної плазми.

Рисунок 4.10. Абсолютне значення коефіцієнта відбиття для 148,10

zzkk см

-1,

25,02 a см-1

у випадку однорідних (суцільна лінія) та неоднорідних

(штрихована лінія) шарів плазми.

98

Якщо хвильове число zk більше за

0zk , тоді коефіцієнт відбиття при 0=x

також більший ніж той, що відповідає 0

=zzkk (див. Рис. 4.11). Це означає, що

прозорість двошарової структури залежить від хвильового числа zk , що

узгоджується з аналітичними результатами, які було отримано у випадку

тонких шарів (рівняння (4.25) – (4.28)). Збільшення хвильового числа zk

призводить до збільшення зворотної глибини проникнення поля

електромагнітної хвилі у плазму . Таким чином, за відносно великих zk умова

тонкості плазмового шару ( 1<<11a ) може не виконуватися.

Рисунок 4.11. Абсолютне значення коефіцієнта відбиття поля для 0zzkk

(суцільна лінія), 01,1 zz kk (штрихована лінія)

03,1

zzkk (пунктирна лінія) для

випадку неоднорідної плазми. Інші параметри такі самі, як і для рис. 4.3.

99

Рисунок 4.12. Абсолютне значення зворотної глибини проникнення поля для

0zzkk (суцільна лінія),

01,1 zz kk (штрихована лінія) 0

3,1zzkk (пунктирна

лінія) для випадку неоднорідної плазми. Інші параметри такі самі, як і для

рис. 4.3.

На Рис. 4.13 показано залежність |)(| xv для 1=

2a см у наступних

випадках: однорідні шари плазми і 0

=zzkk (суцільна лінія); неоднорідні шари

плазми і 0

=zzkk (штрихована лінія); неоднорідні шари плазми і

01,1= zz kk

(пунктирна лінія). У випадку неоднорідної плазми і 0

=zzkk абсолютне

значення коефіцієнта відбиття ||v в точці 0=x дуже мале (~0,006). Якщо

шари плазми неоднорідні і 0

1.1=zzkk , абсолютне значення коефіцієнта відбиття

приблизно дорівнює 0,2 в точці 0=x . У цьому випадку функція |)(| xv має

мінімум в точці 5,2x см, а 11a більше 0,4 для деяких x , тобто наближення

тонкого шару не може бути застосовано для 1=2a см.

100

Рисунок 4.13. Абсолютне значення коефіцієнта відбиття у випадку однорідної

плазми та 148,10

zzkk см

-1 (суцільна лінія), випадку неоднорідної плазми та

0zzkk (штрихована лінія) і

01,1 zz kk (пунктирна лінія). Товщина другого

шару 12a см.

Рисунок 4.14. Абсолютне значення зворотної глибини проникнення поля у

випадку однорідної плазми та 148,10

zzkk см

-1 (суцільна лінія), випадку

неоднорідної плазми та 0zzkk (штрихована лінія) і

01,1 zz kk (пунктирна

лінія). Товщина другого шару 12a см.

101

Також розглядався випадок, коли 1>11a , де 1 – це середня обернена

глибина скін-шару для першого шару плазми. В якості прикладу товстого шару

плазми було обрано значення 5=2a см. Якщо обидва шари товсті та

неоднорідні, тоді прозорість двошарової структури є меншою ніж у випадку

тонких шарів (Рис. 4.12). Відхилення zk від

0zk супроводжується ростом |(0)|

v

.

Рисунок 4.15. Те саме, що й на рис. 4.13, для 52 a см та однорідної плазми

0zzkk (суцільна лінія), випадку неоднорідної плазми за

0zzkk (штрихована

лінія) і 0

05,1zzkk (пунктирна лінія).

Рисунок 4.16. Те саме, що й на рис. 4.14, для 52 a см та однорідної плазми

0zzkk (суцільна лінія), випадку неоднорідної плазми за

0zzkk (штрихована

лінія) і 0

05,1zzkk (пунктирна лінія).

102

Зазначимо, що 12

> , і неоднорідність першого шару більше впливає на

прозорість структури, ніж неоднорідність другого шару (див. Рис. 4.17).

Рисунок 4.17: Абсолютне значення коефіцієнту відбиття для 0zzkk , у випадку

однорідного першого шару та неоднорідного другого шару (суцільна лінія) та у

випадку неоднорідного першого шару та однорідного другого шару

(штрихована лінія). Інші параметри такі самі, як і для рис. 4.15.

Висновки до Розділу 4

У даному розділі аналітичними та числовими методами досліджено

прозорість двошарової плазмової структури з просторово неоднорідним

розподілом діелектричної проникності в шарах. Розглядався випадок косого

падіння р-поляризованої електромагнітної хвилі на цю структуру.

Аналітичними методами було знайдено умови повної прозорості [(4.24) –(4.28)]

двошарової структури у випадку тонких шарів, а також, якщо неоднорідність

плазми слабка. При числовому дослідженні було розглянуто випадки тонких та

товстих шарів.

Для тонких шарів плазми встановлено, що умови повної прозорості

залежать від середньої діелектричної проникності (густини плазми) в шарах та

103

ширини шарів (див. рівняння (4.24)). Також існує залежність коефіцієнта

прозорості від хвильового числа, але вона слабка, тобто можливе проходження

електромагнітних хвиль різної довжини з низьким коефіцієнтом відбиття крізь

шари плазми (див. Рис. 4.11).

Якщо шари плазми товсті ( 1a ), то неоднорідність плазми істотно

впливає на прозорість двошарової структури. Більше того, у цьому випадку

мале відхилення хвильового числа від резонансного значення (

)/(= 21210 kk

z) може супроводжуватися значним збільшенням

коефіцієнта відбиття (див. Рис. 4.13). Неоднорідність першого шару з 1<<0 1

впливає на проходження сильніше, ніж неоднорідність другого шару. Це

пояснюється тим, що умови слабкої неоднорідності (4.34) та (4.35) залежать від

глибини проникнення поля у плазму, а глибина проникнення в першому шарі

більша, ніж в другому.

Аналіз проходження р-поляризованої електромагнітної хвилі крізь

неоднорідну плазму за косого падіння більш складний, ніж у випадку, коли

хвилі поширюються вздовж градієнта неоднорідності плазми, або випадку

косого падіння s-поляризованої хвилі [37; 115; 145]. У випадку, що розглядався,

ефективна діелектрична проникність ffe залежить не тільки від діелектричної

проникності і кута падіння хвилі, але ffe також функція похідних dxd / та

22/dxd . Як відомо, в силу складності виразу для ефективної діелектричної

проникності не існує точних аналітичних розв’язків, що описують проходження

р-поляризованої електромагнітної хвилі крізь неоднорідні шари плазми за її

косого падіння на ці шари.

Зазначимо, що в цьому дослідженні для спрощення було зроблено

декілька припущень. А саме, не враховано ефекти пов’язані з електронною

температурою та зіткненнями. Ці явища можуть впливати на проходження

електромагнітної хвилі крізь структуру та на втрату енергії хвилі і були

досліджені в роботах інших авторів [64; 146]. Дослідження також було

обмежено випадком, коли локальна плазмова частота )(xpe

в шарі густої

104

плазми завжди більша за частоту хвилі. Між тим, в більшості лабораторних

експериментів з плазмою існують точки резонансу поблизу границі плазми, де

плазмова частота приблизно дорівнює частоті хвилі. В цих точках має місце

дисипація енергії електромагнітної хвилі за рахунок збудження плазмових

коливань [37; 73], що може супроводжуватися зменшенням коефіцієнта

проходження. Але для високочастотного випадку, що тут розглядається, ми

очікуємо, що вплив резонансних точок на дисипацію енергії та коефіцієнт

проходження незначний. Ми також знехтували нелінійними ефектами, які

можуть впливати на коефіцієнт проходження через структуру, навіть

збільшувати його за певних умов [53; 54; 115]. Більше того, це дослідження

було обмежено випадком двошарової структури із хвилями, що скінуються у

кожному плазмовому шарі. Нещодавно було показано, що в структурах з

більшою кількістю шарів можна досягти повної прозорості за допомогою

резонансу зі стоячою хвилею [86].

Підсумовуючи, у даному розділі було показано, що коефіцієнт

проходження косої р-поляризованої хвилі крізь двошарову структуру може

дорівнювати одиниці, навіть якщо неоднорідність сильна. Вплив

неоднорідності більший у випадку товстих шарів плазми, ніж, коли шари

плазми тонкі.

105

ВИСНОВКИ

На основі електромагнітної теорії Максвелла та гідродинамічного опису

холодної плазми без зіткнень було вивчено дисперсію та енергетичні

характеристики поверхневих хвиль на межі двох напівобмежених плазмових

середовищ в магнітному полі за геометрії Фойгта. Було досліджено вплив

зовнішнього магнітного поля та неоднорідності плазми на коефіцієнт

прозорості двошарової структури для р-поляризованої електромагнітної хвилі,

що проходить крізь шари плазми при поширенні поверхневих хвиль на межі

плазмових середовищ. Вплив неоднорідності густини плазми на прозорість

двошарової структури вивчався в наближенні геометричної оптики (ВКБ-

наближення) та за допомогою числових методів.

На основі теоретичних та числових розрахунків було отримано наступні

результати:

1. Вперше проаналізовано вплив магнітного поля на прозорість двошарової

плазмової структури для р-поляризованої електромагнітної хвилі в

геометрії Фойгта. Досліджено залежність коефіцієнта прозорості від

товщини шарів плазми, величини зовнішнього магнітного поля, величини

та напрямку хвильового вектора хвилі, що падає. Знайдено, що

залежність коефіцієнта прозорості від хвильового числа має два піки

різної висоти. Один лежить в області додатних значень хвильового числа

yk , а інший – в області від’ємних значень. З ростом зовнішнього

магнітного поля різниця між ними збільшується.

2. Вперше отримано аналітичні вирази, що описують умови, за яких

двошарова плазмова структура в зовнішньому магнітному полі стає

повністю прозорою для р-поляризованої електромагнітної хвилі. З цих

виразів витікає, що за певної величини зовнішнього магнітного поля

двошарова плазмова структура з фіксованою товщиною шарів та певними

параметрами плазми може бути абсолютно прозорою для р-поляризованої

106

хвилі певної частоти лише для одного значення хвильового вектора. Було

отримано наближені умови повної прозорості для випадку, коли товщина

шарів значно більша або значно менша за глибину проникнення поля в

плазму. Вперше показано, що лише у випадку товстих шарів одна з умов

повної прозорості структури співпадає з дисперсійним рівнянням для

поверхневих хвиль, що поширюються на межі двох напівобмежених

магнітоактивних середовищ.

3. Отримано дисперсійне рівняння для поверхневих хвиль на межі плазма-

плазма в магнітному полі за геометрії Фойгта. Знайдено області частот, в

яких існують поверхневі хвилі з додатним та з від’ємним хвильовими

числами. Знайдено область існування повільних та швидких ПХ. Було

отримано аналітичні вирази для енергетичних характеристик поверхневої

хвилі: енергії та потоку енергії, що припадають на одиницю площини

поверхні, вздовж якої поширюється поверхнева хвиля. Було вивчено їх

залежність від величини та напрямку хвильового вектора та величини

зовнішнього магнітного поля. Було знайдено, що для хвиль з додатним

хвильовим числом потоки енергії в плазмових середовищах, що межують,

мають протилежні напрямки. А для хвиль з від’ємним хвильовим числом

існує область частот, в якій потоки енергії в обох плазмових середовищах

спрямовано в один бік. Також можлива ситуація, коли потік енергії в

одному з середовищ дорівнює нулю. Було показано, що сумарний потік

енергії ПХ завжди спрямований в один бік з хвильовим вектором.

4. Було досліджено вплив неоднорідності розподілу густини плазми в шарах

на прозорість двошарової структури для р-поляризованої хвилі.

Отримано аналітичні вирази для коефіцієнта прозорості такої структури.

Умови повної прозорості було отримано у наближенні тонких шарів та у

випадку, коли неоднорідність слабка, тобто діелектрична проникність

слабо змінюється на глибині проникнення електромагнітного поля хвилі

до плазми. Було показано, що у випадку тонких шарів умови повної

прозорості залежать від ширини шарів та середньої густини плазми в

107

шарах. При цьому, коефіцієнт прозорості слабко залежить від величини

хвильового вектора. Ця властивість означає, що двошарова структура, що

складається з тонких неоднорідних шарів, може пропускати хвилі в

широкому діапазоні довжин хвиль з низьким коефіцієнтом відбиття. У

випадку товстих шарів їх просторова неоднорідність істотно впливає на

прозорість, а діапазон довжин хвиль, які можуть проходити крізь

структуру, значно менший.

5. За допомогою числових методів було розраховано коефіцієнт прозорості

двошарової неоднорідної плазмової структури для довільних значень

товщини шарів. Вперше розглянуто випадок, коли просторовий профіль

неоднорідності плазми в шарі має косинусоподібну форму. Розрахунки

проводились для двошарових структур, в яких неоднорідним був лише

один шар або обидва шари. Отримано залежності коефіцієнта відбиття від

товщини шарів. Результати показують, що навіть за сильної

неоднорідності кожного з шарів плазми можливе проходження р-

поляризованої хвилі крізь структуру з низьким коефіцієнтом відбиття.

108

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Lieberman M.A. Principles of Plasma Discharges and Materials Processing /

M.A. Lieberman, A.J. Lichtenberg. — John Wiley & Sons, 2005. — 795 p.

2. Smirnov B.M. Physics of Ionized Gases / B.M. Smirnov. — John Wiley &

Sons, 2008. — 400 p.

3. Райзер Ю.П. Физика газового разряда / Ю.П. Райзер. — ―Наука‖, Глав.

ред. физико — математической лит-ры, 1992. – 544 с.

4. Appleton E.V. Wireless studies of the ionosphere / E.V. Appleton // Journal of

the Institution of Electrical Engineers. — 1932. — Vol. 71. — № 430. — P. 642–650.

5. Hagfors T. Earth’s ionosphere / T. Hagfors, K. Schlegel // The Century of

Space Science / eds. J.A.M. Bleeker, J. Geiss, M.C.E. Huber. — Springer

Netherlands, 2001. — P. 1559–1584.

6. Fejer J.A. Hydromagnetic wave propagation in the ionosphere / J.A. Fejer //

Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics. — 1960. — Vol. 18. — № 2-3. —

P. 135—146.

7. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции / Л.А. Арцимович.

— Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1963. — 504 с.

8. Chen F.F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion / F.F. Chen. —

Springer, 1984. — 448 p.

9. Kruer W.L. The Physics of Laser Plasma Interactions / W.L. Kruer. —

Westview, 2003. — 202 p.

10. Басов Н.Г. Диагностика плотной плазмы / Н.Г. Басов. — Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1989. — 376 с.

11. Файнберг Я. Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой / Я.

Файнберг // Атомная энергия. — 1961. — Т. 11. — № 4. — С. 313—335.

12. К нелинейной теории возбуждения монохроматической плазменной

волны электронным пучком / И.Н. Онищенко, А.Р. Линецкий, Н.Г. Мациборко и

др. // Письма в ЖЭТФ. — 1970. — Т. 12. — № 8. — С. 407–410.

13. Теория плазменно-пучкового разряда / П.М. Лебедев, И.Н. Онищенко,

Ю.В. Ткач и др. // Физика плазмы. — 1976. — Т. 2. — № 3. — С. 407.

14. Tolok V.T. Recent Advances in Plasma Diagnostics: Microwave techniques.

Recent Advances in Plasma Diagnostics / V.T. Tolok. — Consultants Bureau, 1971.

109

— 116 p.

15. Голант В.Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы / В.Е.

Голант. — Наука, 1968. — 336 с.

16. Hutchinson I.H. Principles of plasma diagnostics / I.H. Hutchinson. — New

York: Cambridge University Press, 2005. — 440 p.

17. Stenzel R.L. A new method for removing the blackout problem on reentry

vehicles / R.L. Stenzel, J.M. Urrutia // Journal of Applied Physics. — 2013. —

Vol. 113. — № 10. — Art.№ 103303 — 5 p.

18. Keidar M. Electromagnetic Reduction of Plasma Density During Atmospheric

Reentry and Hypersonic Flights / M. Keidar, M. Kim, I. Boyd // Journal of Spacecraft

and Rockets. — 2008. — Vol. 45. — № 3. — P. 445–453.

19. Pines D. A Collective Description of Electron Interactions: II. Collective vs

Individual Particle Aspects of the Interactions / D. Pines, D. Bohm // Physical

Review. — 1952. — Vol. 85. — A Collective Description of Electron Interactions. —

№ 2. — P. 338–353.

20. Wolff P.A. Theory of Plasma Waves in Metals / P.A. Wolff // Physical Review.

— 1953. — Vol. 92. — № 1. — P. 18–23.

21. Ritchie R.H. Plasma Losses by Fast Electrons in Thin Films / R.H. Ritchie //

Physical Review. — 1957. — Vol. 106. — № 5. — P. 874–881.

22. Veselago V.G. Properties of materials having simultaneously negative values of

the dielectric and the magnetic susceptibilities / V.G. Veselago // Soviet Physics Solid

State. — 1967. — Vol. 8. — № 12. — P. 2854 – 2856.

23. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena / J.B. Pendry,

A.J. Holden, D.J. Robbins, W.J. Stewart // IEEE Transactions on Microwave Theory

and Techniques. — 1999. — Vol. 47. — № 11. — P. 2075–2084.

24. Smith D.R. Negative refractive index in left-handed materials / D.R. Smith, N.

Kroll // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 85. — № 14. — P. 2933.

25. Shelby R.A. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction /

R.A. Shelby // Science. — 2001. — Vol. 292. — № 5514. — P. 77–79.

26. Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and

Permittivity / D. Smith, W. Padilla, D. Vier et al. // Physical Review Letters. — 2000.

— Vol. 84. — № 18. — P. 4184–4187.

27. Nanofabricated media with negative permeability at visible frequencies / A.N.

Grigorenko, A.K. Geim, H.F. Gleeson et al. // Nature. — 2005. — Vol. 438. —

№ 7066. — P. 335–338.

110

28. Korobkin D. Enhanced near-field resolution in midinfrared using

metamaterials / D. Korobkin, Y. Urzhumov, G. Shvets // JOSA B. — 2006. —

Vol. 23. — № 3. — P. 468–478.

29. Agranovich V. Negative refraction in gyrotropic media / V. Agranovich, Y.

Gartstein, A. Zakhidov // Physical Review B. — 2006. — Vol. 73. — № 4 —

Art.№ 045114 — 12 p.

30. Smith D.R. Metamaterials and Negative Refractive Index / D.R. Smith //

Science. — 2004. — Vol. 305. — № 5685. — P. 788–792.

31. Markoš P. Structures with negative index of refraction / P. Markoš, C.M.

Soukoulis // physica status solidi (a). — 2003. — Vol. 197. — № 3. — P. 595–604.

32. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens / J.B. Pendry // Physical

Review Letters. — 2000. — Vol. 85. — № 18. — P. 3966–3969.

33. Ramakrishna S.A. Physics of negative refractive index materials / S.A.

Ramakrishna // Reports on Progress in Physics. — 2005. — Vol. 68. — № 2. —

P. 449–521.

34. Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die Zwecke

der Wellenmechanik / G. Wentzel // Zeitschrift fur Physik. — 1926. — Vol. 38. —

№ 6-7. — P. 518–529.

35. Kramers H.A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung / H.A. Kramers

// Zeitschrift fur Physik. — 1926. — Vol. 39. — № 10-11. — P. 828–840.

36. Brillouin L. La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale

de résolution par approximations successives / L. Brillouin // CR Acad. Sci. — 1926.

— Vol. 183. — № 11. — P. 24–26.

37. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме / В.Л.

Гинзбург. — Наука; Глав. ред. Физико-математической лит-ры, 1967. — 684 c.

38. Albini F.A. Reflection and transmission of electromagnetic waves at electron

density gradients / F.A. Albini, R.G. Jahn // Journal of Applied Physics. — 1961. —

Vol. 32. — № 1. — P. 75–82.

39. Wait J.R. Electromagnetic Waves in Stratified Media. 2.ed: International Series

of Monographs in Electromagnetic Waves 3. Electromagnetic Waves in Stratified

Media. 2.ed / J.R. Wait. — Pergamon Press, 1970. — 608 p.

40. Laroussi M. Numerical calculation of the reflection, absorption, and

transmission of microwaves by a nonuniform plasma slab / M. Laroussi, J.R. Roth //

IEEE Transactions on Plasma Science. — 1993. — Vol. 21. — № 4. — P. 366–372.

41. Kelley M.C. The earth’s ionosphere: plasma physics and electrodynamics :

111

International geophysics series. The earth’s ionosphere / M.C. Kelley. —

Amsterdam ; Boston: Academic Press, 2009. — v. 96. — 556 p.

42. Appleton E.V. The existence of more than one ionised layer in the upper

atmosphere / E.V. Appleton // Nature. — 1927. — Vol. 120. — P. 330.

43. Пространственная вариация плотности в короне лазерной плазмы при

потоках 1014

- 1015

Вт/см2 / Ю.А. Захаренков, Н.Н. Зорев, О.Н. Крохин и др. //

Письма в ЖЭТФ. — 1975. — Т. 21 — № 9 — С. 557-561.

44. Yablonovitch E. Photonic band-gap structures / E. Yablonovitch // JOSA B. —

1993. — Vol. 10. — № 2. — P. 283–295.

45. Белецкий Н.Н. Взаимодействие плазменных и дефектных мод в

одномерной дефектной диэлектрической слоисто-периодической структуре,

граничащей с плазмоподобной средой / Н.Н. Белецкий, С.А. Борисенко, Н.И.

Гвоздев // Радиофизика и электроника. — 2013. — Вып. 4 (18),№ 3. — С. 55–63.

46. Demonstration of highly efficient waveguiding in a photonic crystal slab at the

1.5-µm wavelength / S.Y. Lin, E. Chow, S.G. Johnson, J.D. Joannopoulos // Optics

Letters. — 2000. — Vol. 25. — № 17. — P. 1297.

47. Superprism phenomena in photonic crystals / H. Kosaka, T. Kawashima, A.

Tomita et al. // Physical Review B. — 1998. — Vol. 58. — № 16. — P. R10096-

R10099.

48. Altug H. Photonic crystal nanocavity array laser / H. Altug, others // Optics

express. — 2005. — Vol. 13. — № 22. — P. 8819–8828.

49. Photonic crystal and quantum dot technologies for all-optical switch and logic

device / K. Asakawa, Y. Sugimoto, Y. Watanabe et al. // New Journal of Physics. —

2006. — Vol. 8. — № 9. — P. 208–208.

50. Лиситченко В.В. Просветление волновых барьеров для плазменных и

электромагнитных волн, связанное с кинетическими эффектами / В.В.

Лиситченко, В.Н. Ораевский // ДАН СССР. — 1971. — Т. 201. — С. 1319.

51. Анисимов И.А. Перенос электромагнитных волн сквозь слой плотной

плазмы с помощью электронного потока / И.А. Анисимов, С.М. Левитский //

ЖТФ. — 1989. — Т. 59. — № 7. — С. 50–54.

52. Литвак А.Г. О самовоздействии электромагнитных волн в плазме при

модуляционной неустойчивости / А.Г. Литвак, В.А. Миронов, В.А., Г.М.

Фрайман // ЖЭТФ. — 1975. — Т. 22. — № 7. — С. 368–371.

53. Gradov O.M. Parametric transparency of a magnetized plasma / O.M. Gradov,

R.R. Ramazashvili, L. Stenflo // Plasma Physics. — 1982. — Vol. 24. — № 9. —

P. 1101–1109.

112

54. Gradov O.M. On the parametric transparency of a magnetized plasma slab /

O.M. Gradov, L. Stenflo // Physics Letters A. — 1981. — Vol. 83. — № 6. — P. 257–

258.

55. Total absorption of electromagnetic radiation in a dense inhomogeneous

plasma / Y. Aliev, O. Gradov, A. Kyrie et al. // Physical Review A. — 1977. —

Vol. 15. — № 5. — P. 2120–2122.

56. Vukovic S. Total transparency of an overdense plasma layer / S. Vukovic, R.

Dragila // Journal of the Optical Society of America B. — 1986. — Vol. 3. — № 11.

— P. 1585.

57. Ramazashvili R.R. Total transmission of electromagnetic waves through slabs

of plasmas and plasma-like media upon the excitation of surface waves / R.R.

Ramazashvili // JETP Letters. — 1986. — Vol. 43. — № 5. — P. 298–301.

58. Sternberg N. Resonant Transmission through Dense Plasmas via Amplification

of Evanescent Mode / N. Sternberg, A.I. Smolyakov // PIERS Online. — 2009. —

Vol. 5. — № 8. — P. 781–785.

59. Kindel J. Surface-Wave Absorption / J. Kindel, K. Lee, E. Lindman // Physical

Review Letters. — 1975. — Vol. 34. — № 3. — P. 134–138.

60. Полное резонансное поглощение электромагнитного излучения в

неоднородной плазме / Ю.М. Алиев, С. Вукович, О.М. Градов et al. // Письма в

ЖЭТФ. — 1977. — Т. 25. — С. 35.

61. Fast Alfven wave propagation in multicomponent nonuniform plasmas / Y.O.

Kazakov, I.V. Pavlenko, I.O. Girka, B. Weyssow // Problems of Atomic Science and

Technology. Series ―Plasma Electronics and New Methods of Acceleration‖(6). –

2008. — № 4. — P. 99–103.

62. Dragila R. High Transparency of Classically Opaque Metallic Films / R.

Dragila, B. Luther-Davies, S. Vukovic // Physical Review Letters. — 1985. —

Vol. 55. — № 10. — P. 1117–1120.

63. Welford K. Surface plasmon-polaritons and their uses / K. Welford // Optical

and Quantum Electronics. — 1991. — Vol. 23. — № 1. — P. 1–27.

64. Evanescent wave interference and the total transparency of a warm high-

density plasma slab / E. Fourkal, I. Velchev, C.-M. Ma, A. Smolyakov // Physics of

Plasmas. — 2006. — Vol. 13. — № 9. — Art.№ 092113 — 9 p.

65. Resonant modes and resonant transmission in multi-layer structures / A.I.

Smolyakov, E.A. Fourkal, S.I. Krasheninnikov, N. Sternberg // Progress In

Electromagnetics Research. — 2010. — Vol. 107. — P. 293–314.

66. Dragila R. Surface-wave-induced total absorption of radiation in an

113

inhomogeneous warm plasma / R. Dragila, S. Vukovic // Journal of Applied Physics.

— 1987. — Vol. 62. — № 8. — P. 3446.

67. Welford K.R. Coupled Surface Plasmons in a Symmetric System / K.R.

Welford, J.R. Sambles // Journal of Modern Optics. — 1988. — Vol. 35. — № 9. —

P. 1467–1483.

68. Resonant photon tunneling via surface plasmon polaritons through one-

dimensional metal-dielectric metamaterials / S. Tomita, T. Yokoyama, H. Yanagi et al.

// Optics express. — 2008. — Vol. 16. — № 13. — P. 9942–9950.

69. Surface polaritons: electromagnetic waves at surfaces and interfaces : Modern

problems in condensed matter sciences. Surface polaritons / eds. V.M. Agranovich,

D.L. Mills. — Amsterdam ; New York: North-Holland Pub. Co. : Sole distributors for

the USA and Canada, Elsevier Science Pub. Co, 1982. — 717 p.

70. Girka V. Surface flute waves in plasmas: theory and applications : Springer

series on atomic, optical, and plasma physics. Surface flute waves in plasmas / V.

Girka, I. Girka, M. Thumm. — Cham ;Heidelberg: Springer, 2014. — 79. — 163 p.

71. Raether H. Surface plasmons on smooth surfaces / H. Raether. — Springer,

1988. — 136 p.

72. Electron Surface Cyclotron Waves in the Metallic Waveguide Structures with

Two-Component Filling / V.O. Girka, I.O. Girka, A.M. Kondratenko, I.V. Pavlenko //

Contributions to Plasma Physics. — 1996. — Vol. 36. — № 6. — P. 679–686.

73. Кондратенко А.Н. Поверхностные и объемные волны в ограниченной

плазме / А.Н. Кондратенко. — Энергоатомиздат, 1985. — 208 с.

74. Vandenplas. Electron Waves and Resonance in Bounded / Vandenplas. — John

Wiley & Sons Canada, Limited, . — 222 p.

75. Azarenkov N.A. Surface magnetoplasma waves at the interface between a

plasma-like medium and a metal in the Voigt geometry / N.A. Azarenkov, K.N.

Ostrikov // Physics Reports. — 1999. — Vol. 308. — № 5–6. — P. 333–428.

76. Hirota R. Propagation of Waves in a Bounded Solid State Plasma in Transverse

Magnetic Fields / R. Hirota, K. Suzuki // Journal of the Physical Society of Japan. —

1966. — Vol. 21. — № 6. — P. 1112–1118.

77. Theory of surface polaritons in anisotropic dielectric media with application to

surface magnetoplasmons in semiconductors / R. Wallis, J. Brion, E. Burstein, A.

Hartstein // Physical Review B. — 1974. — Vol. 9. — № 8. — P. 3424–3437.

78. Kushwaha M.S. Plasmons and magnetoplasmons in semiconductor

heterostructures / M.S. Kushwaha // Surface Science Reports. — 2001. — Vol. 41. —

№ 1-8. — P. 1–416.

114

79. Left-Handed Interfaces for Electromagnetic Surface Waves / A. Kats, S.

Savel’ev, V. Yampol’skii, F. Nori // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 98. —

№ 7 — Art.№ 073901 — 4 p.

80. Бизюков А.А. Сильноточный магнетронный разряд с

магнитоизолированным анодом / А.А. Бизюков, К.Н. Середа, В.В. Слепцов //

Вопросы атомной науки и техники. — 2008. — № 4. — С. 179–183.

81. Improvement of current efficiency of ion sources based on Penning discharge /

A.A. Bizyukov, V.V. Bobkov, A.Y. Kashaba, K.N. Sereda // 2000 13th International

Conference on High-Power Particle Beams 2000 13th International Conference on

High-Power Particle Beams. — 2000. — P. 272–275.

82. Бориско В.Н. Особенности аксиальной эволюции энергетических

спектров электронных пучков, эжектируемых из пеннинговского разряда / В.Н.

Бориско, А.А. Петрушеня // Журнал технической физики. — 2007. — Т. 77. —

№ 1. — С. 50–55.

83. EUV radiation from pinching discharges of magnetoplasma compressor type

and its dependence on the dynamics of compression zone formation / I.E. Garkusha,

T.N. Cherednychenko, M.S. Ladygina et al. // Physica Scripta. — 2014. — Vol. 2014.

— № T161. — Art.№ 014037 — 5 p.

84. Resonant transparency of a two-layer plasma structure in a magnetic field / S.

Ivko, A. Smolyakov, I. Denysenko, N.A. Azarenkov // Physical Review E. – 2011. —

Vol. 84. — № 1. — Art.№ 016407 — 7 p.

85. Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в слоистых и

нестационарных средах (точно решаемые модели) / А.Б. Шварцбург // Успехи

физических наук. — 2000. — Т. 170. — № 12. — С. 1297–1324.

86. Sternberg N. Resonant Transmission of Electromagnetic Waves in Multilayer

Dense-Plasma Structures / N. Sternberg, A.I. Smolyakov // IEEE Transactions on

Plasma Science. — 2009. — Vol. 37. — № 7. — P. 1251–1260.

87. Colloquium: Unusual resonators: Plasmonics, metamaterials, and random

media / K. Bliokh, Y. Bliokh, V. Freilikher et al. // Reviews of Modern Physics. —

2008. — Vol. 80. — Colloquium. — № 4. — P. 1201–1213.

88. Аверков Ю.О. Поверхностные электромагнитные волны в

плазмоподобной среде, граничащей со слоисто-периодической структурой /

Ю.О. Аверков, Н.Н. Белецкий, В.М. Яковенко // Радиофизика и электроника. —

2012. — № 3 (17). — С. 54–62.

89. A global model for the afterglow of pure argon and of argon with negatively

charged dust particles / I. Denysenko, I. Stefanović, B. Sikimić et al. // Journal of

Physics D: Applied Physics. — 2011. — Vol. 44. — № 20. — Art.№ 205204 — 12 p.

115

90. Кондратенко А.Н. Основы плазменной электроники / А.Н. Кондратенко,

В.М. Куклин. — Энергоатомиздат, 1988. — 319 с.

91. Heaviside O. Telegraphy / O. Heaviside // Encyclopaedia Britanica, William

Benton. — 1902. — P. 214.

92. Kennelly A.E. On the elevation of the electrically-conducting strata of the

earth’s atmosphere / A.E. Kennelly // Electrical world and engineer. — 1902. —

Vol. 39. — № 11. — P. 473.

93. Appleton E.V. On Some Direct Evidence for Downward Atmospheric

Reflection of Electric Rays / E.V. Appleton, M.A.F. Barnett // Proceedings of the

Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and

Physical Character. — 1925. — Vol. 109. — № 752. — P. 621–641.

94. Appleton E.V. Wireless studies of the ionosphere / E.V. Appleton // Wireless

Section, Institution of Electrical Engineers-Proceedings of the. — 1932. — Vol. 7. —

№ 21. — P. 257–265.

95. Ratcliffe J.A. The magneto-ionic theory and its applications to the ionosphere /

J.A. Ratcliffe. — University Press, 1959.

96. Альперт Я.Л. Распространение радиоволн / Я.Л. Альперт, В.И. Гинзбург,

Е.Л. Фейнберг. — Государственное издательство технико-теоретической

литературы, 1953. — 883 с.

97. Stix T.H. The theory of plasma waves / T.H. Stix. — McGraw-Hill, 1962. —

306 p.

98. Гершман Б.Н. Распространение электромагнитных волн в плазме

(ионосфере) / Б.Н. Гершман, В.Л. Гинзбург, Н.Г. Денисов // Успехи физических

наук. — 1957. — Т. 61. — № 4. — С. 561–612.

99. Krall N.A. Principles of Plasma Physics. Krall / N.A. Krall, A.W. Trivelpiece.

— McGraw-Hill, 1973. — 674 p.

100. Лиситченко В.В. Исследование прозрачности волнового барьера для

электронных плазменных волн в магнитоактивной плазме / В.В. Лиситченко,

Л.И. Романюк, В.В. Усталов // ЖЭТФ. — 1976. — Т. 71. — № 2. — С. 537–546.

101. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа / А.А. Власов

// Ж. Эксперим. Теор. Физ. — 1938. — Т. 8. — № 3. — С. 291.

102. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы / Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. —

1946. — Т. 16. — С. 574–583.

103. Экспериментальное обнаружение эффекта ―просветления‖ волнового

барьера для электронных плазменных волн в неоднородной плазме / В.Н.

116

Ораевский, Л.И. Романюк, Н.Е. Свавильный, В.В. Усталов // Письма в ЖЭТФ.

— 1973. — Т. 17. — № 6. — С. 288-292.

104. Романюк Л.И. Исследование эффекта просветления волнового барьера

для электронных плазменных волн в неоднородной плазме / Л.И. Романюк, Н.E.

Свавильный, В.В. Усталов // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 67. — № 8. — С. 579–585.

105. Angus J.R. Kinetic theory of electromagnetic plane wave obliquely incident on

bounded plasma slab / J.R. Angus, S.I. Krasheninnikov, A.I. Smolyakov // Physics of

Plasmas. — 2010. — Vol. 17. — № 10. — Art. № 102115 — 10 p.

106. Kampen N.G. Van. On the theory of stationary waves in plasmas / N.G. Van

Kampen // Physica. — 1955. — Vol. 21. — № 6–10. — P. 949–963.

107. Водяницкий А.А. О влиянии кинетических эффектов в неоднородной

плазме на проникновение и отражение электромагнитных волн / А.А.

Водяницкий, Н.С. Ерохин, С.С. Моисеев // Письма в ЖЭТФ. — 1970. — Т. 12.

— С. 529–532.

108. Ерохин Н.С. Вопросы теории линейной и нелинейной трансформации

волн в неоднородных средах / Н.С. Ерохин, С.С. Моисеев // Успехи физических

наук. — 1973. — Т. 109. — № 2. — С. 225–258.

109. Экспериментальное обнаружение просветления волновых барьеров в

неоднородной магнитоактивной плазме / Н.П. Галушко, В.М. Дахов, Н.С.

Ерохин et al. // Письма в ЖТФ. — 1978. — Т. 4. — № 5. — С. 252–255.

110. Красовский В.Л. Регенерация волны конечной амплитуды за барьером

непрозрачности / В.Л. Красовский, В.Н. Ораевский // Физика плазмы. — 1979.

— Т. 5. — № 5. — С. 1072.

111. Krasovsky V.L. 100% transmission of longitudinal plasma waves through an

opacity barrier owing to trapped particles / V.L. Krasovsky // Physics Letters A. —

1992. — Vol. 163. — № 3. — P. 199–203.

112. Самоканализация мощных электромагнитных волн в плотной плазме /

Ю.Я. Бродский, Б.Г. Еремин, А.Г. Литвак, Ю.А. Сахончик // Письма в ЖЭТФ. —

1971. — Т. 13. — С. 136–139.

113. Литвак А. Самовоздействие электромагнитных волн в плазме при

модуляционной неустойчивости / А. Литвак, В. Миронов, А. Фейгин // Журнал

экспериментальной и теоретической физики. — 1979. — Т. 77. — № 4. —

С. 1360–1366.

114. Erokhin N.S. On transillumination of wave barriers for electromagnetic

radiation in an inhomogeneous plasma / N.S. Erokhin, V.E. Zakharov // Doklady

Physics. — 2007. — Vol. 52. — № 9. — P. 485–487.

117

115. Erokhin N.S. Generation of strong splashes of the field of an electromagnetic

wave during reflectionless blooming of a layer of a nonuniform medium / N.S.

Erokhin, V.E. Zakharov // Doklady Physics. — 2011. — Vol. 56. — № 7. — P. 362–

365.

116. Анисимов И. Романюк. ЛИ Экспериментальное обнаружение про

светления плазменного волнового барьера с помощью электронного пучка / И.

Анисимов, С.М. Левитский, А.В. Опанасенко // Журнал технической физики. —

1991. — Т. 61. — № 3. — С. 59–63.

117. Романов Ю.А. Электромагнитные волны в полуограниченной плазме /

Ю.А. Романов // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — 1964.

— Т. 2. — С. 970-974.

118. Виноградов А.В. О поглощении света неоднородной лазерной плазмой /

А.В. Виноградов, В.В. Пустовалов // Письма в ЖЭТФ. — 1971. — Т. 13. — № 6.

— С. 317–320.

119. Godwin R. Optical Mechanism for Enhanced Absorption of Laser Energy

Incident on Solid Targets / R. Godwin // Physical Review Letters. — 1972. —

Vol. 28. — № 2. — P. 85–87.

120. Gürel C.S. Characteristics of electromagnetic wave propagation through a

magnetised plasma slab with linearly varying electron density / C.S. Gürel, E. Oncu //

Progress In Electromagnetics Research B. — 2010. — Vol. 21. — P. 385–398.

121. Рамазашвили Р.Р. О явлении полного прохождения электромагнитных

волн через слои плазмы и плазмоподобных сред при возбуждении

поверхностных волн / Р.Р. Рамазашвили // Письма в ЖЭТФ. — 1986. — Т. 43. —

№ 5. — С. 235–237.

122. Beletsky N.N. Effect of reflectionless transmission of electromagnetic waves

through a magnetoactive layer due to magnetoplasma polaritons / N.N. Beletsky, E.A.

Gasan // Surface science. — 1991. — Vol. 259. — № 1. P. 231–234.

123. Kaw P.K. Surface Waves on a Plasma Half-Space / P.K. Kaw, J.B. McBride //

Physics of Fluids. — 1970. — Vol. 13. — № 7. — P. 1784.

124. Rajaei L. Transmission of electromagnetic waves through a warm over-dense

plasma layer with a dissipative factor / L. Rajaei, S. Mirabotalebi, B. Shokri //

Physica Scripta. — 2011. — Vol. 84. — № 1. — Art.№ 015506 — 6p.

125. Bliokh Y. Total Absorption of an Electromagnetic Wave by an Overdense

Plasma / Y. Bliokh, J. Felsteiner, Y. Slutsker // Physical Review Letters. — 2005. —

Vol. 95. — № 16.

126. Denysenko I.B. Radial Structure of Surface-Wave Sustained Plasmas / I.B.

118

Denysenko, N.A. Azarenkov, M.Y. Yu // Physica Scripta. — 2002. — Vol. 65. —

№ 1. — P. 76–82.

127. Murphy A.B. Invited paper: Waves in the edge plasma during ion cyclotron

resonance heating / A.B. Murphy // Fusion Engineering and Design. — 1990. —

Vol. 12. — Invited paper. — № 1-2. — P. 79–92.

128. Maier S.A. Plasmonics: Localization and guiding of electromagnetic energy in

metal/dielectric structures / S.A. Maier, H.A. Atwater // Journal of Applied Physics.

— 2005. — Vol. 98. — Plasmonics. — № 1. — Art. № 011101 — 10p.

129. Ozbay E. Plasmonics: Merging Photonics and Electronics at Nanoscale

Dimensions / E. Ozbay // Science. — 2006. — Vol. 311. — Plasmonics. — № 5758.

— P. 189–193.

130. Lasing in metal-insulator-metal sub-wavelength plasmonic waveguides / M.T.

Hill, M. Marell, E.S. Leong et al. // Opt. Express. — 2009. — Vol. 17. — № 13. —

P. 11107–11112.

131. Laframboise J.G. Theory of a cylindrical probe in a collisionless

magnetoplasma / J.G. Laframboise, J. Rubinstein // Physics of Fluids. — 1976. —

Vol. 19. — № 12. — P. 1900.

132. Praburam G. Experimental observation of very low-frequency macroscopic

modes in a dusty plasma / G. Praburam, J. Goree // Physics of Plasmas. — 1996. —

Vol. 3. — № 4. — P. 1212.

133. Samsonov D. Instabilities in a dusty plasma with ion drag and ionization / D.

Samsonov, J. Goree // Physical Review E. — 1999. — Vol. 59. — № 1. — P. 1047–

1058.

134. Uberoi C. Surface waves on the boundary of a magnetized plasma / C. Uberoi,

U.J. Rao // Plasma physics. — 1975. — Vol. 17. — № 9. — P. 659.

135. Vukovic S. Surface-wave fluctuations and emission from an inhomogeneous

magnetoactive plasma / S. Vukovic, R. Dragila, N. Aleksic // Physical Review A. —

1985. — Vol. 32. — № 1. — P. 606–612.

136. Nonlinear surface waves in left-handed materials / I. Shadrivov, A.

Sukhorukov, Y. Kivshar et al. // Physical Review E. — 2004. — Vol. 69. — № 1 —

Art.№ 016617 — 9 p.

137. Аверков Ю.О. Взаимодействие поверхностных электромагнитных волн с

электронным пучком, движущимся вдоль границы раздела метаматериалов /

Ю.О. Аверков, А.В. Кац, В.М. Яковенко // ЖТФ. — 2009. — Т. 79. — № 9. —

С. 1 – 10.

138. Landau L.D. Electrodynamics of continuous media / L.D. Landau, E.M.

119

Lifshits, L.P. Pitaevskii ̆. — Oxford [England]: Butterworth-Heinemann, 1995. —

460 p.

139. Ivko S. Energetic characteristics of the surface electromagnetic wave at

plasma-plasma interface in magnetic field / S. Ivko, I. Denysenko, N. Azarenkov //

East European Journal of Physics. — 2014. — Vol. 1. — № 1. — P. 21–29.

140. Frias W. Non-local energy transport in tunneling and plasmonic structures / W.

Frias, A. Smolyakov, A. Hirose // Optics Express. — 2011. — Vol. 19. — № 16. —

P. 15281.

141. Influence of Resonance Energy Absorption on the Properties of Gas Discharge

Maintained by Asymmetric Surface Waves / N.A. Azarenkov, A.V. Gapon, I.B.

Denisenko, A.I. Smolyakov // Physica Scripta. — 1999. — Vol. 59. — № 4. —

P. 298–301.

142. Голант В. Основы физики плазмы. / В. Голант, А. Жилинский, С. Сахаров.

— Москва: Атомиздат, 1977. — 384 с.

143. Transmission of electromagnetic waves through a two-layer plasma structure

with spatially nonuniform electron density / I.B. Denysenko, S. Ivko, A. Smolyakov,

N.A. Azarenkov // Physical Review E. — 2012. — Vol. 86. — № 5. —

Art.№ 056402 — 9 p.

144. Parameters and equilibrium profiles for large-area surface-wave sustained

plasmas / I. Denysenko, A. Gapon, N. Azarenkov et al. // Physical Review E. —

2002. — Vol. 65. — № 4 — Art.№ 046419 — 11 p.

145. Шварцбург А.Б. Туннелирование электромагнитных волн — парадоксы и

перспективы / А.Б. Шварцбург // Успехи физических наук. — 2007. — Т. 177. —

№ 1. — С. 43.

146. Azarenkov N.A. A model of a large-area planar plasma producer based on

surface wave propagation in a plasma-metal structure with a dielectric sheath / N.A.

Azarenkov, I.B. Denisenko, K.N. Ostrikov // Journal of Physics D: Applied Physics.

— 1995. — Vol. 28. — № 12. — P. 2465–2469.