KARMAŞIKSAYILAR

Nazlı Dalbaşı10/A 655

A. TanımA. Tanımax2 + bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk. Mesela x2 + 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2 + 1 = 0 x2 = -1 ) karesi -1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.

a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen

z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C =

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye

karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.

1

.1,;: diriveRbabiazz .)11( 2 dirii

Örnek ...1izziziz 3,2,2,32 4321

sayıları birer karmaşık sayıdır.

Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.

Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.

Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.

Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.

iz 321

iz 22 2

23 z

iz 34

B. i nin Kuvvetleri B. i nin Kuvvetleri i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

i5 = i

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

n N olmak üzere

i4n = 1

i4n+1 = i

i4n+2 = -1

i4n+3 = -i dir.

Örnek ...2 84 = 4.21 olduğu için i84 = 1,

61 = 4.15 + 1 olduğu için i61 = i,

98 = 4.24 + 2 olduğu için i98 = -1

47 = 4.11 + 3 olduğu için i47 = -i dir. Örnek ...3

i2 = -1 olmak üzere

(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22)

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i

Çözüm

i20= (i4)5 = 1 , i21= (i4)5.i = i ve

i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için,

(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)

= 2. (1 + i). 0

= 0 olur.Cevap C

C. İki Karmaşık Sayının EşitliğiC. İki Karmaşık Sayının EşitliğiReel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

.. 212

1 dirdbvecazzolsundiczbiaz

Örnek ...4

Çözüm

kaçtır?bagöre,olduğuna32

32

21

2

1

zzaibiazibiaz

A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5

olur.3)2(5,göreBuna.2513513

,5322.13322

göre,olduğunave).()32(

).13()2(

21

2

1

badirbbbaveabb

aaadırabbveaa

zziabaz

ibaz

Cevap D

D. Bir Karmaşık Sayının EşleniğiD. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

.' denireşleniğininzsayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz

Örnek ...5

.53:eşleniğisayısının53.5

.3:eşleniğisayısının3.4

.5:eşleniğisayısının5.3

.32:eşleniğisayısının32.2

.4:eşleniğisayısının41

55

44

33

22

11

diriziz

diriziz

tirzz

türiziz

diriziz.

Reel katsayılı ax2+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.

Örnek ...6

x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

.21,21.2121

212162

1.2162

2

,165.1.424

21

2

2,1

22

diriiÇdirixveixise

iia

bx

acb

E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlemE. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem1. Toplama - Çıkarma

Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.

diczbiaz

2

1

.)()()()(

21

21

diridbcazzveidbcazz

Örnek ...7

.55)4())3(2()43()2(31)4()32()43()2(

göre,olduğuna432

21

21

21

diriiiiizziiiiizz

izveiz

2. ÇarpmaKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

.21 olsundiczvebiaz

)).((. 21 dicbiazz

dbcibdiacaidibcibdiaca

....)1(,.... 22

221111

21

.)).((.

)()(.

bazzbiabiazz

ibcadbdaczz

Örnek ...8

Örnek ...9

?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının)2.()2( 33 ii

A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i

Çözüm

.1255

)14()12(

)2).(2()2.()2(

3

3322

333

tir

iiii

Cevap A

yapalım.iişlemlerin..

,göreolduğuna2212

11121

21

zzzzz

izveiz

1. 2. 3.

Çözüm

)2).(21(. 21 iizz

ii

iiii

5)1(252

)1(,242 22

1.

541)21)(21(. 11 iizz2.

.43)1(441441

)2(2.1.21)21(2

2221

oluriiii

iiiz

3.

3. BölmeKarmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.

.21 olsundiczvebiaz

222

1 )()())(())((

dciadbcbdac

dicdicdicbia

dicbia

zz

Örnek ...10

olur.55

41)1(252

21242

)21)(21()21)(2(

212

göre,olduğuna21ve2

22

2

2

1

21

iii

iiiiiii

ii

zz

iziz

z=a+bi sayısının,

toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi

çarpma işlemine göre tersi :

.1122 dir

babia

biaz

Örnek ...11

kaçtır? kısmı imajinern eşleniğinitersinin göre,çarpmayasayısının

3

(sanal)

i

Çözüm

dur.101- kısmıimajiner sayının Bu

dur.1010

3eşleniğibunun için olduğu

10103

193

133

)3)(3(3

31

tersi;göre çarpmayasayısının 3

22

i

iiiii

ii

i

ÇÖZÜMLÜ SORULARSoru ...1

Çözüm

kaçtır? kısmı iner)sanal(imajn eşleniğinisayısının karmaşık zsağlayan eşitliğini

12342 iziz

1312

135

135

1312 1A) B) C) D) E)

tür.135)zİm(

: kısmı sanalsayısının 135

1312

için,olduğu 13

51232

6496)32)(32()32)(23(

3223

23)32(12342

22

2

iz

iz

iiiiiii

iiz

iiziziz

Cevap B

Soru ...2

?hangisidirerden aşağıdakilsonucu çarpımının)3.()3( 1110 ii

202 )3(220 i )3(220 i

)3(210 i )3(210 iE)

A) B) C)

D)

Çözüm

olur.)3(2

)3.()13(

)3.()3)(3(

)3.()3.()3()3.()3(

20

10

10

10101110

i

i

iii

iiiii

Cevap C

Soru ...5 Soru ...6

kaçtır? toplamı göre olduğuna 3 birin köklerinden denklemini

0

üzere,olmak ,,2

cbai-

cbxax

IRcba

A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17

Çözüm

olur.171061 halde, Odır.0106010)6(x

denklemi; 0 göre, Buna

101)3()3)(3(x.x

6)3(3xxdir. 3olan eşleniği

bununkökü diğer ise 3 birin köklerinden denklemini0 katsayılı Reel

22

2

2221

21

2

cbaxxx

cbxax

-i-i

-i-i-i-

i cbxax

Cevap E

kaçtır?z göre, olduğuna

431-

iz

51

52

53

54 1A) B) C) D) E)

Çözüm

olur.515z

için,olduğu 5)4(343

111-

22

z

ziz

Cevap A

Soru ...7 Soru ...8

?hangisidirerden aşağıdakil

eşiti ifadesinin z-z

göre, olduğuna

22

zz

iz

A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4

Çözüm

olur.

zz

için, olduğu

41

442

24

)2(222

22

2

2

222

ii

iiiii

zz

iziz

Cevap D

?hangisidirerden aşağıdakil eşiti ifadesinin11

üzereolmak 150

2

ii

i

Çözüm

.1i-1i1

için,olduğu 2

21)1)(1()1)(1(

11

25050

2

dirii

iiiiiii

ii

Cevap B

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

5.