keijo ruotsalainen oulun yliopisto, teknillinen tiedekunta...

TilastomatematiikkaKevät 2008

Keijo Ruotsalainen

Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta

Matematiikan jaos

Tilastomatematiikka – p.1/73

Johdanto

Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:

Satunnaisuus (umpimähkäisyys)


Johdanto



todennäköisyys


Johdanto



todennäköisyys

tilastot (tilastolliset jakaumat)


Todennäköisyys

Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma


Todennäköisyys


Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko


Todennäköisyys



Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.


Todennäköisyys



Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.

Tapahtumasysteemi E on otosavaruudenosajoukkojen joukko.


Esimerkkejä

Esim 1. Heitetään kolikkoa kunnes saadaan ensimmäisenkerran "klaava". Tällöin otosavaruus S = N.

Esim 2. Heitetään kolikkoa n kertaa. Tarkastellaansatunnaiskoetta, jossa lasketaan "klaavojen lukumäärä".Tällöin otosavaruus

S = {0, 1, 2, 3, . . . , n}Esim 3. Heitetään noppaa kaksi kertaa. Tällöin otosavaruus

S = {(i, j)| 1 ≤ i, j ≤ 6}


Joukko-oppia

Perusjoukko S

Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.


Joukko-oppia

Perusjoukko S


Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}


Joukko-oppia

Perusjoukko S


Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}


Joukko-oppia

Perusjoukko S


Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}de Morganin kaavat:

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B


Lisää joukko-oppia

Tapahtumasysteemi E on Boolen algebra:

1. ∅, S ∈ E2. A ∈ E =⇒ A ∈ E3. A,B ∈ E =⇒ A ∪ B ∈ E4. A,B ∈ E =⇒ A ∩ B ∈ E


Klassinen todennäköisyys

Otosavaruus on äärellinenS = {e1, e2, . . . , eN}



Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1

N




N

Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m

N, missä

m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.




N

Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m

N, missä

m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.

Ilmeisesti P (S) = 1.


Kombinatoriikkaa

Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n


Kombinatoriikkaa

Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!

(n−k)! .


Kombinatoriikkaa

Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!

(n−k)! .

k-kombinaatio on äärellisen joukonk-alkioinen osajoukko. Tässä joukossa on(n

k

)= n!

(n−k)!k! alkiota.


Geometrinen todennäköisyys

Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.




Tapahtuma A on S:n osajoukko.




Tapahtuma A on S:n osajoukko.

Tapahtuman A todennäköisyys on

P (A) =m(A)

m(S)

missä m(A) joukon pituus, pinta-ala taitilavuus.


Todennäköisyyden aksiomat

Todennäköisyysavaruus on {S, E , P}1. 0 ≤ P (A) ≤ 1

2. P (S) = 1

3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B), kun A ∩ B = ∅Lause 1. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)


Todennäköisyyden perusominaisuudet

Lause 2. Todennäköisyydelle on voimassa:

(i) P (A) = 1 − P (A), P (∅) = 0;

(ii) Jos tapahtumat {Ai, A2, . . . , An} ovat toisensapoissulkevia, ts. Ai ∩ Aj = ∅, kun i 6= j, niin

P (A1∪A2∪· · ·∪An) = P (A1)+P (A2)+· · ·+P (An);

(iii) Aina kun A ⊂ B, niin P (A) ≤ P (B);

(iv) P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B).


Todennäköisyyden tulkinta

satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";




Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa




Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa

Tällöin

P (A) = limN→∞

n(A)

N


2. Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus

Satunnaiskokeen otosavaruus S, E sentapahtumasysteemi ja P todennäköisyys.Määr 1. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdollaB on

P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B),

kun P (B) > 0.


Ehdollisen todennäköisyyden ominaisuuksia

1. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1;

2. P (B|B) = 1;

3. P (A1 ∪ A2|B) = P (A1|B) + P (A2|B), kunA1 ∩ A2 ∩ B = ∅.


Kertolaskusääntö

Todennäköisyyslaskennan kertosääntö:

P (A ∩ B) = P (B)P (A|B), kun P (B) > 0

P (A ∩ B) = P (A)P (B|A), kun P (A) > 0

Täydellisellä induktiolla voidaan todistaa:Lause 3. Olkoot A1, A2, . . . , An ∈ E siten, ettäP (A1 ∩ · · · ∩ An) > 0. Tällöin on voimassa

P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2 ∩ A1)

· · ·P (An|A1 ∩ · · · ∩ An−1).


Esimerkki

Esim 4. Laatikossa on 5 punaista ja 3 sinistä sukkaa.Poimitaan umpimähkään kaksi sukkaa. Millätodennäköisyydellä saadaan sininen pari.

Ratk.:

Tapahtumat: B=“1. sukka sininen”,A=“saadaan sininen pari”.

P (A|B) = 27 , sillä 7:stä sukasta 2 sinistä.

Koska A = A ∩ B , niin

P (A) = P (A∩B) = P (A|B)P (B) =2

7· 38

=3

28.


Kokonaistodennäköisyys

Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos

A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.




A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.

Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.




A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.

Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.

Tapahtumalle B (P (B) > 0):

(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) = B

(A1 ∩ B) ∩ (A2 ∩ B) = ∅


Kok.todennäk.

P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).


Kok.todennäk.

P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).

Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).


Kok.todennäk.

P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).

Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).

Kokonaistodennäköisyyden kaava

P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2).


Bayesin kaava

Kertolaskusäännön jakokonaistodennäköisyyden perusteellaLause 4 (Bayes’n kaava).

P (A1|B) =P (B|A1)P (A1)

∑2k=1 P (Ak)P (B|Ak)

.


Esimerkki

Esim 5. Pumpun venttiilin toimintaa valvotaanautomaattisella hälytysjärjestelmällä. Tiedetään, ettäjärjestelmä hälyttää, kun venttiili ei toimi,todennäköisyydellä 0.98. Todennäköisyydellä 0.985järjestelmä ei hälytä, kun venttiili toimii. Venttiili toimiitodennäköisyydellä 0.0001. Määrää todennäköisyys sille,että venttiili ei toimi, kun järjestelmä hälyttää.


Esimerkki

Esim 6. Mikäli piirilevy tehtaan tuotantolinja on oikeinsäädetty, niin keskimäärin 75 % piirilevyistä on laadultaanhyviä ja keskimäärin 25 % keskinkertaisia. Oletetaan, että10 %:a ajasta tuotantolinjan säädöt pielessä, ja tällöin vain25 % piirilevyistä on laadultaan hyviä ja keskimäärin 75 %on keskinkertaisia. Valmistuslinjalta otetaan piirilevytarkastukseen. Millä todennäköisyydellä linja olinäytteenottohetkellä oikein säädetty, kun piirilevy osoittautuilaadultaan hyväksi?


Riippumattomuus

Määr 2. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Siis; B:n esiintyminen ei vaikuta tapahtuman Atodennäköisyyteen: P (A|B) = P (A).Lause 5. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja

vain jos A ja B ovat riippumattomia.

Statistinen riippumattomuus on todennäköisyys-

funktion ominaisuus.


Riippumattomien tapahtumien yhdiste

Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An

riippumattomia.


Riippumattomien tapahtumien yhdiste

Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An

riippumattomia.

Todennäköisyys tapahtumalle "ainakin yksitapahtumista Ai sattuu"

P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =

1−[

1 − P (A1)]

· · ·[

1 − P (An)]

.


Esimerkki

Esim 7. Systeemi koostuu kolmesta rinnankytketystäidenttisestä komponentista. Systeemi toimii, jos ainakin yksikolmesta rinnakkaisesta komponentista on toimiva.Jokaisen komponentin kestoikä on yli 10 viikkoatodennäköisyydellä 0.2. Millä todennäköisyydelläkokonaissysteemin virheetön toiminta-aika on yli 10 viikkoa?


Riippumattomien kokeiden yhdistäminen

E1, E2, . . . , En riippumattomia satunnaiskokeita

Satunnaiskokeiden otosavaruudetS1, S2, . . . , Sn,

P1, P2, . . . , Pn satunnaiskokeidentodennäköisyysfunktiot

Yhdistetyn kokeen otosavaruus

S = S1 × S2 × · · · × Sn (× on karteesinen tulo).


kokeiden yhdist.

Osajoukot ovat muotoa A1 × A2 × · · · × An,jotka tulkitaan tapahtumaksi "A1 sattuukokeessa E1 ja A2 sattuu kokeessa E2 jne...".

Yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys

P (A1×A2×· · ·×An) = P1(A1)P2(A2) . . . Pn(An).

Satunnaiskokeiden riippumattomuuden päättely:

Käytetään ensisijaisesti yleistä tietoa ja tervet-

tä maalaisjärkeä; vasta toissijaisesti laskennalli-

sia menetelmiä.Tilastomatematiikka – p.26/73

3. Satunnaismuuttuja

Luonnon- tai teknistieteellisissäsovellutuksissa satunnaiskokeen lopputuloson numeerinen lukuarvo.

Virtapiireissä mitataan jännitteitä javirranvoimakkuuksiaTörmäyskokeissa lasketaan esiintyvienhiukkasten lukumääriäSähkömagneettisissa sovellutuksissaarvioidaan kentän intensiteettiäTietoliikennetekniikassa oikein koodattujenbittien lukumäärä


Satunnaismuuttuja

Satunnaiskokeeseen liitettävää lukuakutsutaan satunnaismuuttujaksi.

Matemaattisesti: Satunnaismuuttuja onkuvaus X : S → R

todennäköisyysavaruudesta {S; E , P}reaalilukujen joukkoon.

Satunnaismuuttujan arvojoukko SX tulkitaansatunnaiskokeen otosavaruudeksi.


Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttujan valinta ei oleyksikäsitteinen;

Esim. Nopanheitossa silmäluku onsatunnaismuuttuja; mutta yhtä hyvin voitaisiinvalita satunnaismuuttujaksiX(′silmäluku on i′) = 100 + i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Kuvaus X on satunnaismuuttuja, jostapahtuma {X ≤ x} on tapahtumasysteeminE joukko:

{X ≤ x} = {e ∈ S| X(e) ≤ x} ∈ E .


Kertymäfunktio

Realisaatio: Satunnaismuuttujan arvo xsatunnaiskokeessa;

Tarkasteltavat tapahtumat A = {a ≤ X ≤ b},tai {X ∈ I| I ⊂ R};

Satunnaismuuttujaan liittyvätodennäköisyysmitta

PX({X ≤ x}) = P ({e ∈ S| X(e) ≤ x}).kertymäfunktio: FX(x) = PX(X ≤ x).


Kertymäfunktion ominaisuuksia

1. F (x1) ≤ F (x2), kun x1 ≤ x2;

2. F (x) ≥ 0;

3. F (−∞) = 0, F (∞) = 1

4. P (x1 < X ≤ x2) = F (x2) − F (x1).

Tapahtuma {X ≤ −∞} on tietysti tyhjä joukko, ja

{X < ∞} täytyy sisältää kaikki satunnaiskokeen

tapahtumat.


3.1 Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukkoSX on äärellinen tai numeroituvasti ääretön:SX = {xk; k = 1, 2, 3, . . . }.

Pistetodennäköisyysfunktio:

f(x) =

{

P (X = xk), x = xk

0, x 6= xk,∀ k

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktioon porrasfunktio

F (x) =∑

xk≤x

P (X = xk).


Binomijakauma

Toistokoe: n riippumattomatonta toistoa.

Tapahtuman B todennäköisyys P (B) = p, jakomplementtitapahtuma B, P (B) = 1 − p.

Satunnaismuuttuja X ilmoittaa tapahtuman Besiintymisten lukumäärän n-kertaisessatoistossa.

Satunnaismuuttujan arvojoukkoSX = {0, . . . , n}.


Binomijakauma

Tapahtumien “B sattuu täsmälleen k kertaa”lukumäärä on

(n

k

).

Yksittäisen kertaotoksen todennäköisyys onpk(1 − p)n−k.

Binomi-jakautuneen satunnaismuuttujanpistetodennäköisyysfunktio on

P (X = k) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k.

Merkintäsopimus: X ∼ Bin(p).Tilastomatematiikka – p.34/73

Esim.1

Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1.Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainendekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (kts.kuva)0

1 1

0

p

p

1−p

1−p

Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin de-

koodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti

dekoodattua bittiä?Tilastomatematiikka – p.35/73

Esim.2

Satunnaislukugeneraattori tuottaa 10000numeroa joukosta {0, 1, 2, . . . , 9}.

Millä todennäköisyydellä 4 peräkkäistänumeroa ovat samat?

Jaetaan saatu numerosarja 2500:aan 4:nnumeron blokkiin. Satunnaismuuttuja Xilmoittaa lukumäärän blokeille, joissa kaikki 4numeroa ovat samat. Määrää X:ntn-jakauma. Millä todennäköisyydellänumerosarja sisältää enemmän kuin 2 neljäsamaa numeroa sisältävää blokkia?


Geometrinen jakauma

Satunnaiskokeen n-kertainen toisto;

Tarkasteltava tapahtuma B

Millä todennäköisyydellä B tapahtuuensimmäisen kerran k:nnella toistolla?

Tapahtuman

A = B × · · · × B︸︷︷︸

k−1 kertaa

×B.

todennäköisyys on P (A) = (1 − p)k−1p.


Geometrinen jakauma

Satunnaismuuttuja X ilmoittaa monennellakerralla B sattuu ensimmäisen kerran.

Pistetodennäköisyysfunktio on

P (X = k) = p(1 − p)k−1.

Merkintä: X ∼ Geo(p)


Esim.3

T. Teekkari saapuu laskiaisriehasta kotiin. Avain-

nipussa on n = 10 avainta. Hän kokeilee satun-

naisesti avaimia lukkoon. Jokaisen kokeilun jäl-

keen avaimella on yhtä suuri todennäköisyys tulla

valituksi seuravilla kerroilla. Millä todennäköisyy-

dellä hän saa oven auki 4:nnellä yrittämällä? Mil-

lä tn:llä yrityksiä tarvitaan enemmän kuin kolme

kappaletta?


Poisson-jakauma

Kun n-kertaisessa toistokokeessa

Toistojen lukumäärä n on hyvin suuri;

Tapahtuman B todennäköisyys on pieni(P (B) << 1)

P (Ak) =

(n

k

)

pk(1 − p)n−k =n!

k!(n − k)!pk(1 − p)n−k

≈ P ′k =

ake−a

k!,

missä a = np ja 0 ≤ k < ∞.Tilastomatematiikka – p.40/73

Poisson-jakauma

Eksponenttifunktio: ea =∑∞

k=0ak

k!

Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujanX : S → N pistetodennäköisyys

P (X = k) =ake−a

k!,

sillä∞∑

k=0

P (X = k) = e−a

∞∑

k=0

ak

k!= e−aea = 1.


Poisson-jakauma

Luku a on keskimääräinen lukumäärätapahtumalle B

X ∼ Poi(a)

Klassinen esimerkki: valosähköinen ilmiö:

Valonsäde irroittaa valosähköisesti herkän materiaalin pin-

nasta elektroneja. Vetämällä ne positiivisella jännitteellä va-

rattuun anodiin ulkoisen virtapiirin virran voimakkuus kas-

vaa. Virran voimakkuudesta voidaan päätellä irronneiden

elektronien lukumäärä.Tilastomatematiikka – p.42/73

Hurraa, Einstein!

Irronneiden elektronien lukumäärä onsatunnaismuuttuja.

Keskimääräinen emittoituneiden elektronien lukumääräa on suoraan verrannollinen säteilynkokonaisenergiaan W aikavälillä [0, T ]:

a =ηW

hν, (HURRAA, EINSTEIN!),

missä h on Planck’n vakio, η on ns. materiaalinkvanttitehokkuus ja ν aallonpituus.


Valosähk. ilmiö

Fotoni irroittaa elektronin tn:llä η << 1;Whν

on pintaan osuvien fotonien lukumäärä;

Todennäköisyys, että k elektroniarekisteröidään mittalaitteessa noudattaabinomijakaumaa

Mutta; elektronien lukumäärä n >> 1 jairtoamistodennäköisyys η << 1, niinsatunnaismuuttuja X (emittoituneidenelektronien lukumäärä) noudattaa Poissoninjakaumaa Poi(a).


Esim.4

Asiakaspalveluun saapuu keskimäärin 50000

soittoa vuorokaudessa. Asiakaspalvelun ylikuor-

mitustila on pienin kokonaisluku N siten, että asia-

kaspalveluun saapuu tn:llä 0.001 enemmän kuin

N puhelua sekunnisssa. Olettaen, että puhelujen

lukumäärä on Poisson-jakautunut, määrää sys-

teemin ylikuormitustila.


Esimerkkejä

Painovirheiden lukumäärä kirjan sivulla;

Yli 100-vuotiaaksi elävien lukumääräkunnassa;

Vääriin numeroihin soitettujen puhelujenlukumäärä vuorokaudessa;

Asiakkaiden saapuminen aikayksikössä

Galaksien lukumäärä alueessa R


Ominaisuuksia

Jos X1 ∼ Bin(n1, p) ja X2 ∼ Bin(n2, p), niin

X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p)

Jos X1 ∼ Poi(a1) ja X2 ∼ Poi(a2), niin

X1 + X2 ∼ Poi(a1 + a2)


Hypergeometrinen jakauma

Tarkastellaan numeroita {1, 2, . . . , N}Numeroista on merkitty m kappaletta

Valitaan joukosta umpimähkäisesti n numeroa

Millä todennäköisyydellä kokeensuorittajavalitsi täsmälleen k kappaletta ennakoltamerkittyä numeroa?


Hypergeometrinen jakauma

Satunnaiskoe määrittelee satunnaismuuttujanX, joka noudattaa hypergeometristajakaumaa:

P (X = k) =

(m

k

)(N−m

n−k

)

(N

n

) .

Esim.: Millä todennäköisyydellä lotossasaadaan täsmälleen 4 oikein?


3.2 Jatkuva satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos

kertymäfunktio on jatkuva kaikilla x:n arvoilla

Lisäoletus:

kertymäfunktio on paloittain derivoituva

Tällöin kertymäfunktion derivaatta ontiheysfunktio

fX(x) =dFX(x)

dx


Tiheysfunktio

Kertymäfunktio tiheysfunktion fX(t) integraali

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t)dt.

Jos ei ole suurta erehtymisen riskiä, niinusein merkitään f(x) = fX(x).

Jatkuvalle jakaumalleF (a + h) − F (a − h) → 0, kun h → 0. Näinollen P (X = a) = 0.

Diskreetille jakaumalle tämä ei välttämättäpäde.


Tiheysfunktion ominaisuuksia

1.∫ ∞−∞ fX(x)dx = 1;

2. P (a < X ≤ b) =∫ b

afX(x)dx = FX(b) − FX(a);

3. fX(x) = dFX(x)dx

.

Koska P (x = b) = 0, niin jatkuvalle jakaumalle:

P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)

= P (a < X ≤ b).


Eksponenttijakauma

Eksponenttijakauman, X ∼ exp(a),

tiheysfunktio fX(x) =

0, x < 0,

ae−ax, x ≥ 0.

kertymäfunktio

FX(x) =∫ x

−∞fX(x)dx =

0, x < 0

1 − e−ax, x ≥ 0.

Parametri a > 0: Käänteisluku 1a

ilmoittaasatunnaismuuttujan keskimääräisen arvon.

Mallinnetaan tapahtuman odotusaikaa (diodin elinaika)Tilastomatematiikka – p.53/73

Tasajakauma

Tasajakauman, X ∼ Tas(a, b),

Tiheysfunktio fX(x) =

0, x < a

1b−a

, a ≤ x ≤ b

0, x > b

.

Kertymäfunktio FX(x) =

0, x < a

x−ab−a

, a ≤ x ≤ b

1, x > b

.


Normaalijakauma

2-parametrinen jakauma: X ∼ N(µ, σ2).

Tiheysfunktio on ns. Gaussin kellokäyrä:

fX(x) =1√

2πσ2e−

(x−µ)2

2σ2 .

Parametri µ on satunnaismuuttujan Xkeskimääräinen arvo;

Parametri σ2 sen varianssi (tunnusluvuttarkemmin myöhemmillä luennoilla), ja σ onhajonta.


Normaalijakauman kertymäfunktio

Arvoja

FX(x) =1√

2πσ2

∫ x

−∞e−

(z−µ)2

2σ2 dz

ei osata laskea tarkasti.

(0, 1)-jakautuneen l. standardisoidunnormaalijakauman kertymäfunktion Φ(x)arvot taulukosta


Standardisoitu normaalijakauma

tiheysfunktio

fX(x) =1√2π

e−x2

2

kertymäfunktio

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt.

Kertymäfunktion arvot Φ(x):n taulukosta


Φ(x):n ominaisuuksia

Symmetriaominaisuus:

Φ(−x) = 1 − Φ(x).

Todennäköisyys, että Z ∈ [a, b] on

P (a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a).

Lause 6. Jos Z ∼ N(0, 1), niin satunnaismuuttuja

X = σZ + µ ∼ N(µ, σ2).


Taulukon käyttö

Olkoon X ∼ N(µ, σ2) =⇒ .

Satunnaismuuttuja

Z =X − µ

σ∼ N(0, 1).

Todennäköisyys sille, että X ≤ a on

P (X ≤ a) = P (Z ≤ a − µ

σ) = Φ(

a − µ

σ).


Vikaantumisjakaumat

Laitteiston ehdollinenvikaantumistodennäköisyys

hasardifunktio β(t);

satunnaismuuttujaX =“rikkoontumisajankohta”;

Ehdollinen todennäköisyys laitteistonvikaantumiselle aikavälillä [t, t + dt]

P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t) = β(t)dt.


Hasardifunktio

Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(t) jakertymäfunktio F (t).

P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t)

= F (t + dt|X ≥ t) − F (t|X ≥ t)

=F (t + dt) − F (t)

1 − F (t)=

f(t)dt

1 − F (t).

=⇒ hasardifunktio β(t) =f(t)

1 − F (t)Tilastomatematiikka – p.61/73

Hasardifunktio

Tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta =⇒

β(t) =F ′(t)

1 − F (t)= − d

dtln[1 − F (t)].

Integroimalla puolittain saadaan:

F (t) =

{

0, t < 0

1 − e−∫ t

0β(s)ds, t ≥ 0.

Tiheysfunktio: f(t) =

{

0, t < 0

β(t)e−∫ t

0β(s)ds, t ≥ 0.


Weibull’n jakauma

Weibullin jakauman hasardifunktioβ(t) = abtb−1, t > 0, a, b > 0.

Weibullin jakauman tiheys- ja kertymäfunktioovat

F (t) = 1 − e−atb, t > 0

f(t) = abtb−1e−atb, t > 0.

Weibullin jakauma on odotusajan jakauma, jonka

avulla mallinnetaan jonkun suotuisan tapahtuman

ajankohtaaTilastomatematiikka – p.63/73

4. Jakauman tunnusluvut

Odotusarvo =“satunnaismuuttujankeskimääräinen arvo”

Varianssi (hajonta) mittaa poikkeamaakeskimääräisestä arvosta

Vinous

Kurtosis


4.1 Odotusarvo

Diskreetin jakauman odotusarvo

Odotusarvo ilmoittaa jakaumankeskimääräisen arvon

E(X) =∑

k∈I xkP (X = xk),

jos summa on suppeneva.


Esimerkkejä

Geometrisen jakauman odotusarvo

E(X) =1

p,

missä jakauman parametri on 0 < p < 1.

Binomijakauman Bin(n, p) odotusarvoE(X) = np.

Poissonin jakauman Poi(a) odotusarvo onE(X) = a.


Mutta, jos

Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktio on

P (X = k) =6

π2k2,

Tällöin

E(X) =∞∑

k=1

k · 6

π2k2=

6

π2

∞∑

k=1

1

k= ∞.

Satunnaismuuttujalla X ei ole odotusarvoa.


Jatkuvan jakauman odotusarvo

Satunnaismuuttujan X

tiheysfunktio fX(x)

kertymäfunktio FX(x)

Satunnaismuuttujan odotusarvo

E(X) =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx,

mikäli integraali on olemassa.


Cauchy-jakauma

Cauchy-jakauman tiheysfunktio

f(x) =2

π

1

1 + x2u(x).


Cauchy-jakauma


f(x) =2

π

1

1 + x2u(x).

Kun a > 0

2

π

∫ a

0

x

1 + x2dx =

2

π

/a

0

1

2log(1+x2) =

1

2πlog(1+a2).


Cauchy-jakauma


f(x) =2

π

1

1 + x2u(x).

Kun a > 0

2

π

∫ a

0

x

1 + x2dx =

2

π

/a

0

1

2log(1+x2) =

1

2πlog(1+a2).

Odotusarvoa ei ole olemassa, sillä∫ ∞

0

2

π(1 + x2)dx = lim

a→∞1

2πlog(1 + a2) = ∞


Tärkeiden jakaumien odotusarvoja:

X ∼Tas(a, b), E(X) =a + b

2

X ∼Exp(λ), E(X) =1

λX ∼N(µ, σ2), E(X) = µ


4.2 Odotusarvon ominaisuuksia

X on diskreetti satunnaismuuttuja

h(x) reaaliarvoinen differentioituva funktio

Satunnaismuuttujan Y = h(X)

arvojoukko SY = {yj = h(xj)| xj ∈ SX}pistetodennäköisyysfunktioP (Y = yj) =

∑

xi| yj=h(xi)P (X = xi).

Oletus:∑

xi|h(xi)|P (X = xi) < ∞.


Lauseita

Lause 7. Satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo

E(Y ) = E(h(X)) =∑

xi

h(xi)P (X = xi).

Lause 8. Olkoon h(x) siten, että∫ ∞

−∞|h(x)|fX(x)dx < ∞. Tällöin

satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo

E(Y ) =∫ ∞

−∞h(x)fX(x)dx.


Lineaarisuus

Satunnaismuuttujan odotusarvo on lineaarinen,ts. on voimassa:Lause 9. Olkoon X ja Y reaalisia satunnaismuuttujia, jaa, b ∈ R. Tällöin

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).

Huom! Vakion odotusarvo on vakio: E(a) = a.


keijo ruotsalainen oulun yliopisto, teknillinen tiedekunta...

Documents