KongruensiKelompok 10

Chusnul UmayaNoerma YulisaRada Mustika Sari

Riat SahlizaSri Ade NurkhatijahSusila Wati

Pengertian Kongruensi

Kongruensi adalah salah satu pembahasan dalam teori bilangan.

Salah satu media dalam mempelajari kongruensi adalah menggunakan

sistem bilangan jam.Perhatikan bahwa dalam himpunan jam empatan, yang dilambangkan dengan J4, maka dapat ditulis J4 = {0, 1, 2, 3}

Konsep dan teori kongruensi sebagai berikut:10 2, karena jika 10 dibagi 4 maka bersisa 221 1, karena jika 21 dibagi 4 maka bersisa 1, atau dapat dinyatakan:10 2 karena 10-2 = 8 dan 8 habis dibagi 421 1 karena 21-1 = 20 dan 20 habis dibagi 4

Definisi dan Sifat-sifat Kongruensi

Definisi 1.2Ditentukan a, b, n Z dan n 0, maka a disebut kongruen dengan b modulo n, ditulis sebagai a b (mod n), jika (a-b) habis dibagi oleh n, yaitu n│a – b.a tidak kongruen dengan b modulo n, ditulis a b (mod n), jika (a-b) tidak habis dibagi n, yaitu n (a-b).

Contoh: 7 2 ( mod 5), karena 5│(7-2)11 4 (mod 9), karena 9 (11-4)

Teorema 1.2.1

Ditentukan a,b,c, d dan x Z, maka kongruensi memenuhi sifat-sifat:a. Refleksif, yaitu: a a (mod n), a Z

Contoh: 12│0 maka 12│15 – 15, sehingga 15 15 (mod 12)

Contoh: 53 5 (mod 4) maka 4│53-5 4│48Karena 4│48 maka 4│-48 4│5-53,sehingga 5 53(mod 4)

c. Transitif, yaitu Jika a b (mod n) dan b c (mod n),maka a c (mod n) Contoh: 35 25 (mod 5) maka 5 | 35 – 25 5 | 10.25 15 (mod 5) maka 5 | 25 – 15 5 | 10.Karena 5 | 35 – 25 dan 5 | 25 – 15 maka 5 | 35 – 15 5| 10Sehingga 35 15 (mod 5)

b.Simetris, yaitu: a b (mod n) maka b a(mod n)

Contoh:30 2 (mod 7) maka 2.30 2.2 (mod 7) 60 4 (mod 7)

e. Jika a b (mod n) dan c d (mod n)maka a + c b + d (mod n).

Contoh: 17 5 (mod 6) dan 79 25 (mod 6) maka 17 + 79 (5 + 25) (mod 6)Sehingga 96 30 (mod 6)

d. Jika a b (mod n) maka ax bx (mod n), dengan x Z.

Contoh: 13 3 (mod 5) dan 7 2 (mod 5) maka 13.7 3.2 (mod 6)Sehingga 91 6 (mod 5)

f. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka ac bd (mod n).

g. Jika a b (mod n) maka ac bc (mod nc), dengan c Z.Contoh: 23 5 (mod 6) 23.3 5.3 (mod 6.3) 92 15 (mod 18)

h. Jika a b (mod n) dan d | n maka a b (mod d).

Contoh: 33 9 (mod 12) dan 3 | 12 maka 33 9 (mod 3)

Ditentukan f adalah suatu fungsi polinomial dengan koefisien-koefisien bulat.Jika a b (mod n), maka f(a) f(b)(mod n).

Teorema 1.2.2

f(x) = x2 - 3x 55 -3(mod n) sebab 2 | {5 - (-3)} atau 2 | (5+3) atau 2 | 8f(5) = 52 – 3.5 + 5 = 15f(5) – f(-3) = 15 – 15 = -82 | -8 2 | {f(5) – f(-3)} f(5) f(-3)(mod 2)

Teorema 1.2.3

1) Ditentukan a, b, x, y Z, dengan m > 0 maka:ax ay (mod n) x y (mod )Contoh:Karena (4,6) = 2 maka 6x 6y (mod 4) dapat dinyatakan sebagai:x y (mod ) x y (mod 2)

2) ax ay (mod n) dan (a,n) = 1 x y (mod n)Contoh:42 14 (mod 2) maka 2 | 42 – 14Karena 42 = 7.6 dan 14 = 7.2 dan 42 14 (mod 2) maka 7.6 7.2 (mod 2), sehingga:6 2 (mod 2)

3) x y (mod n1) dan x y (mod n2) x y (mod [n1, n2] )Contoh:Jika 2x 2y (mod 5) maka x y (mod 5)Jika 4x 4y (mod 6) maka x y (mod 3)

Definisi 1.2.4Jika x y (mod n), maka y disebut residu dari x modulo n

Suatu sistem {x1, x2, x3 , …, xn} disebut sistem residu yang lengkap modulo n jika dan hanya jika untuk setiap y (0 [y] < n) ada satu dan hanya satu xi (1 i < n) sehingga y xi (mod n) atau xi y (mod n).

Definisi 1.2.5

Contoh:{6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu sistem residu yang lengkap modulo 5, karena untuk setiap y (0 [y] < 5) ada satu dan hanya satu xi {6, 7, 8, 9, 10}, sehingga :10 0 (mod 5); 9 4 (mod 5); 8 3 (mod 5); 7 2 (mod 5); dan 6 1 (mod 5).

Teorema 1.2.6

Jika x ≡ y (mod n), maka (x,n) = (y,n)

1.3 Sistem Residu Tereduksi Modulo nDefinisi 1.3Suatu himpunan bilangan bulat {x1, x2, …, xk) disebut suatu sistem residu tereduksi modulo n jika dan hanya jika:(x1, n) = 1 untuk setiap 1 i < k.xi yj (mod n) untuk setiap i j, dengan 1 i < k dan 1 j < k.Jika (y, n) = 1 maka y xi (mod n) untuk i = 1, 2, …, k dan (0 [y] < n).

Contoh:{1, 5} adalah suatu sistem residu tereduksi modulo 6, karena(1, 6) = 1 dan (5, 6) = 15 1 (mod 6);(7, 6) = 1 maka 7 1 (mod 6)(11, 6) = 1 maka 11 1 (mod 6)(13, 6) = 1 maka 13 1 (mod 6)

1.4 Fungsi EulerDefinisi 1.4Ditentukan n Z. Fungsi Euler dari n adalah banyaknya residu di dalam sistem residu tereduksi modulo n dan dinyatakan dengan (n).

Contoh: (2) = 1 (yaitu bilangan 1) (3) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 2) (4) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 3) (5) = 5 (yaitu bilangan 1, 2, 3, dan 4) (p) = p – 1 (untuk sebarang bilangan prima p)

Teorema 1.4.1 (Dalil Euler)Jika (a,n) = 1, maka1 (mod n)

Contoh:Tentukan 0 x < 5 sedemikian sehingga 9101 x (mod 5)Jawab:Untuk m = 5, maka (5) = 4 sehingga:

x (mod 5) 1 (mod 5) 9100.9 1 (94)25.9 (mod 5)9 (mod 5) 4 (mod 5)

diperoleh x = 4.

1.5 Kongruensi Linear

Definisi 1.5Kongruensi linear ax b (mod n), dengan a, b, n Z, a 0 dan n > 0 disebut kongruensi linear.

Contoh:Kongruensi linear 7x 3 (mod 12) mempunyai selesaian yaitu x = 9 + 12r, untuk r Z, karena 7.9 = 63 3 (mod 12) dan x = 9 adalah satu dan hanya satu harga sistem residu lengkap modulo 12, yaitu: {0, 1, …, 11} yang memenuhi 7x 3 (mod 12).

Teorema 1.5.1

Jika (a, n) 1 maka kongruensi linear ax b (mod n) memiliki selesaian yaitu x =

Contoh:Selesaikan bahwa 7x 5 (mod 24)

Jawab:Karena (7, 24) = 1, maka 7x 5 (mod 24) mempunyai selesaian adalah x (mod 24), karena (24) = 8, maka dapat diperoleh bahwa:

x (mod 24) x (mod 24) x 5.(72)3.7 (mod 24) x 5.13.7 (mod 24), karena 72 1 (mod 24) x 35 (mod 24) x 11 (mod 24)

Teorema 1.5.2

Jika (a, n) = d maka kongruensi linear ax b (mod n) memiliki selesaian maka d | b. jika d | b maka kongruensi linear ax b (mod n) mempunyai d selesaian.

Contoh:1. Selesaikan bahwa 3x 2 (mod 5).

Jawab:(3, 1) = 1 = d, karena 1 | 2 maka 3x 2 (mod 5) mempunyai satu selesaian yaitu : x 4 (mod 5).

2. Selesaikan bahwa 3x 5 (mod 6).Jawab:(3, 6) = 3 = d, karena 3 | 5 maka 3x 5 (mod 6) tidak ada selesaian.

1.6 Kongruensi KuadratisBentuk umum:

ax2 + bx + c 0 (mod n)dengan n 0, n adalah bilangan prima ganjil, dan (a, n) = 1. Karena (a, n), maka kongruensi linear at 1 (mod n), mempunyai satu selesaian, karena (a, n) = 1.

Ini berarti a mempunyai invers perkalian t modulo n sehingga at 1 (mod n).

ax2 + bx + c 0 (mod n)tax2 + tbx + tc 0 (mod n)1.x2 + tbx + tc 0 (mod n)x2 + tbx + tc 0 (mod n)

dengan mengambil p = tb dan q = tc, maka x2 + tbx + tc 0 (mod n) dapat dinyatakan menjadi x2 + px + q 0 (mod n)

Contoh:Selesaikan 4x2 – 9x + 5 0 (mod 17)Jawab:• 4x2 – 9x + 5 0 (mod 17)• 4.13x2 – 9.13x + 5.13 0 (mod 17) (karena 13 invers perkalian dari 4)• 52x2 – 117x + 65 0 (mod 17)• x2 + 2x + 14 0 (mod 17).• Karena 2 ialah invers perkalian dari 9, karena 2.9 = 18 0 (mod 17), maka

kongruensi diubah menjadi• x2 + 2.1x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 0 (mod 17).• x2 + 2.(2.9)x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 0 (mod 17).• x2 + 2.18x + (18)2 - (18)2 + 14 0 (mod 17).• (x + 18)2 [(18)2 – 14] (mod 17).• (x + 1)2 (12 – 14) (mod 17).• (x + 1)2 - 13 (mod 17).• (x + 1)2 4 (mod 17)• (x + 1) 2 (mod 17) x 1 (mod 17)• (x + 1) -2 (mod 17) 15 (mod 17) x 14 (mod 17)