toancap3.com kho đề thi thpt quốc gia, đề kiểm tra có đáp ...tiếp tuyến và sự...
TRANSCRIPT
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 1
§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho y f x C .
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến với C tại 0 0;M x f x là đường thẳng
0 0 0: ' y f x x x f x .
T ng n i r ng tiếp với C hay C tiếp , h
và C tiếp nh u
Chú ý. Khi n i đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu r ng M thu C và M là nơi ảy
ra sự tiếp
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại m t điểm N nà đ Điể M thể
thu C h h ng tr ng trường h p thu C th M lại thể là tiếp điể h h ng
h nh v ưới
Bài toán. Viết phương tr nh tiếp tuyến qua 1 1;M x y của C .
Phương pháp giải. B1 Viết phương tr nh tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x của C :
0 0 0: 'y f x x x f x .
B2 đi qu M hi và hỉ khi 1 0 1 0 0'y f x x x f x . Giải phương tr nh này để t 0x .
B3 Thay mỗi 0x t đư c bướ 2 và phương tr nh t đư c m t tiếp tuyến qua M của
C .
B. Các ví dụ
Δ
O
y
x
M x0;f x0
C( )
N
M
(C)
M
N
(C)
M≡N
(C)
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 2
Ví dụ 1. Cho 2
2
1
3 1
x xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể M h ành đ
b ng 1.
Giải. T
2
22
3 4 1'
3 1
x xy
x
n lư t th y 1x và biểu th ủ y và 'y t đư
1
' 18
y và 1
14
y uy r phương tr nh tiếp tuyến với C tại M là:
1 1
: 18 4
y x 1 3
:8 8
y x .
Chú ý. T thể ng hi u y và 'y thay cho f và 'f tr ng trường h p bài t n hỉ đ p
đến t hà s .
Ví dụ 2. Cho 3 24 5 2y x x x C . iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại những
gi điể ủ C với trụ h ành
Giải. T phương tr nh ủ C , cho 0y t đư :
3 24 5 2 0x x x 2
2 1 0x x 2
1
x
x
.
Suy ra C h i gi điể với trụ h ành là 1 2;0M và 2 1;0M .
T 2' 3 8 5y x x suy ra ' 2 1y , ' 1 0y D đ phương tr nh tiếp tuyến với C tại
điể 1M , 2M l n lư t là:
1 : 1. 2 0y x 1 : 2y x ,
2 : 0. 1 0y x 2 : 0y .
Ví dụ 3. [ĐHB08] Ch 3 24 6 1y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể
1; 9M ủ C .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x là:
0 0 0: 'y y x x x f x
2 3 2
0 0 0 0 0: 12 12 4 6 1y x x x x x x .
Đi u i n đi qua 1; 9M tương đương với
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 3
2 3 2
0 0 0 0 09 12 12 1 4 6 1x x x x x 3 2
0 0 08 6 12 10 0x x x 0
0
5
4
1
x
x
.
0
5
4x
0
0
15'
4
9
16
y x
y x
15 5 9
:4 4 16
y x
15 21
:4 4
y x .
0 1x
0
0
' 24
9
y x
y x
: 24 1 9y x : 24 15y x .
y phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể M ủ C là 15 21
:4 4
y x , : 24 15y x .
C. Bài tập
Bài 1. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng:
1) C là đồ thị hà s 4 22 3y x x và h ành đ tiếp điể b ng 2 ;
2) C là đồ thị hà s 3 23 2y x x và tung đ tiếp điể b ng 2 ;
3) C là đồ thị hà s 2 3 4
1
x xy
x
và tiếp điể là gi điể ủ C với trụ tung;
4) C là đồ thị hà s 3 22 3 5y x x và tiếp tuyến đi qu 19
;412
A
;
5) C là đồ thị hà s 3 23 2y x x và tiếp tuyến đi qu 1;4A .
Bài 2. Cho 3 22 3 12 1y x x x C T những điể thu C à tiếp tuyến tại đ đi qu
g tọ đ
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 24 43y x ; 2) 2y , 9 7y x ; 3) 7 4y x ; 4) 12 15y x , 21 645
32 128y x ,
4y ; 5) 4y , 9 7
4 4y x . Bài 2 1;12M .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 4
§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét bài t n s u đây
Bài toán. Ch đồ thị hà s y f x C T đi u ki n của tham s để C tiếp tuyến
thỏ ãn t đi u ki n nà đ
Phương pháp giải. B1 Viết phương tr nh tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x của C :
0 0 0: 'y f x x x f x .
B2 Áp đi u ki n củ bài t n lên đường thẳng để nh n đư c m t phương tr nh ẩn 0x . Tiếp
tuyến tồn lại hi và hỉ hi phương tr nh này nghi m 0x .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho 1
1
xy x
x
C Ch ng inh qu điể 1; 1I h ng tồn tại tiếp tuyến ủ
C .
Giải. Xét tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C
0 0 0: 'y f x x x f x
0
02
00
12:
11
xy x x
xx
.
đi qu 1; 1I nghĩ là
0
02
00
121 1
11
xx
xx
0
0 0
121
1 1
x
x x
0
0
31
1
x
x
0 0
0
1 3
1 0
x x
x
0x .
y h ng tồn tại 0x để đi qu I N i h h qu I h ng tiếp tuyến ủ C .
Ví dụ 2. Cho 24 3 6y x mx C T m để C tiếp tuyến đi qu 1; 2A .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến với C tại điể h ành đ 0x là:
0 0 0: 'y y x x x y x 2
0 0 0 0: 8 3 4 3 6y x m x x x mx .
C tiếp tuyến đi qu 1; 2A hi và hỉ hi phương tr nh s u đây nghi đ i với 0x :
2
0 0 0 02 8 3 1 4 3 6x m x x mx . *
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 5
T
* 2
0 04 8 3 8 0x x m ( ' 12 48m ).
D đ * nghi hi và hỉ hi
' 0 12 48 0m 4m .
y C tiếp tuyến đi qu 1; 2A hi và hỉ hi 4m .
Ví dụ 3. Cho 2 1
2
xy
x
C T trên đường thẳng 3x điể à qu đ tiếp tuyến ủ
C .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x ( 0 2x là:
0 0 0: 'y y x x x y x
002
00
2 15:
22
xy x x
xx
.
Điể A n trên đường thẳng 3x tọ đ A ạng 3;A a .
Qua A tiếp tuyến tới C hi và hỉ hi phương tr nh s u đây nghi đ i với 0x :
0
02
00
2 15: 3
22
xa x
xx
. 1
T thấy
1
2
0 0 0 0 0
0
2 5 3 2 1 2 2 0
2 0
a x x x x x
x
2
0 0 0 02 5 3 2 1 2a x x x x
2
0 02 2 2 1 4 17 0a x a x a . 2
Trường hợp 1. 2 0a 2a Khi đ 2 tr thành
010 21 0x 0
21
10x .
Tr ng trường h p này 2 nghi 1 nghi
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 6
Trường hợp 2. 2 0a 2a Khi đ 2 là phương tr nh b h i 5 35a D đ
tr ng trường h p này 1 nghi hi và hỉ hi 2 nghi t là
0 5 35 0a 7a .
y t p h p điể thỏ ãn yêu u bài t n là 3; 7A a a .
Ví dụ 4. [ĐHD02] Ch 22 1
1
m x my
x
C và :d y x T m để C tiếp với d .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x ( 0 1x là:
0 0 0: 'y y x x x y x
2 2
0
0
0 0
2 11:
1 1
m x mmy x x
x x
2 2 2
0
0
0 0 0
2 11 1:
1 1 1
m x mm my x x
x x x
.
C tiếp với d hi và hỉ hi tồn tại 0x s h h i đường thẳng và d tr ng nh u T là
h s u đây nghi đ i với 0x
2
0
2 2
0
0
0 0
11
1
2 110
1 1
m
x
m x mmx
x x
. *
T
*
2
0
2
0
0
0
11 1
1
2 10 2
1
m
x
m x mx
x
.
1
0
0
0
1
1 1
1 1
x
x m
x m
0
0
0
1
2
x
x m
x m
.
1m 2 1m m 1 v nghi * v nghi
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 7
1m : 1 0
0
2
x m
x m
. Thay
0x m và vế tr i ủ 2 t
22 1
2 01
m m mVT m
m
0x m là t nghi ủ * * nghi y
C tiếp với d hi và hỉ hi 1m .
Ví dụ 5. Cho 4 28 7y x x C T m để đường thẳng : 60d y x m tiếp với C .
ới ỗi m t đư hãy hỉ r h ành đ tiếp điể ủ d và C .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x là:
0 0 0: 'y y x x x y x 0 0 0 0: ' 'y y x x x y x y x .
C tiếp với d hi và hỉ hi tồn tại 0x sao cho và d tr ng nh u đi u đ nghĩ là h
s u đây nghi đ i với 0x
0
0 0 0
' 60
'
y x
x y x y x m
0
0 0
' 60 1
60 2
y x
m x y x
.
1 3
0 04 16 60x x 0 3x . Thay 0 3x và 2 t 164m .
y d tiếp với C hi và hỉ hi 164m Khi đ h ành đ tiếp điể là 0 3x .
C. Bài tập
Bài 1. Cho 1
xy
x
C Ch ng inh r ng qu 1;1I ủ C h ng tồn tại tiếp tuyến nà
ủ C .
Bài 2. T m s h đồ thị hà s 1
x my
x m
tiếp tuyến đi qu điể 0; 2A .
Bài 3. Cho 4 22y x x C .
1) T trên trục tung những điể à qu đ thể kẻ đư c tiếp tuyến tới C ;
2) T những điể trên đường thẳng 3y à qu đ thể kẻ đư c tiếp tuyến tới C .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 2 2
13
m . Bài 3 1) Những điểm c n t ạng 0;A a với 1
3a ; 2) Những điểm c n
t ạng ;3A a với ; 3 3;a
.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 8
§3. Hệ số góc của tiếp tuyến
A. Giới thiệu
Ta biết r ng 0'f x là h s g tiếp tuyến củ đồ thị hà s y f x tại điể h ành đ 0x
Tr ng bài họ này h ng t qu n tâ nhi u hơn đến h s g ủa tiếp tuyến.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho 3 222 2
3y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến h s g b ng 2
ủ C .
Giải. T
0' 2y x
2
0 02 2 2 2x x 2
0 0 2 0x x 0
0
1
2
x
x
.
T 7
13
y , 2
23
y uy r tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là:
1
7: 2 1
3y x 1
13: 2
3y x ,
2
2: 2 2
3y x 2
14: 2
3y x .
Ví dụ 2. Cho 3 23 12 5y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến h s g nhỏ nhất ủ
C .
Giải. H s g tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C là:
22
0 0 0 0' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x 15k .
Dấu “” ảy r hi và hỉ hi 0 1x D đ k nhỏ nhất b ng 15 đạt đư hi và hỉ hi
0 1x T 1 9f suy r tiếp tuyến h s g nhỏ nhất ủ C là:
: 15 1 9y x : 15 6y x .
Ví dụ 3. [ĐHD10] Ch 4 2 6y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến vu ng g với đường
thẳng 1
: 16
d y x ủ C .
Giải. Gọi là tiếp tuyến với C tại điể h ành đ 0x h s g là 0'k y x .
d 1
16
k 6k 3
0 04 2 6x x 0 1x .
0 1x 0 4y x : 6 1 4y x : 6 10y x .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 9
y tiếp tuyến vu ng g với d ủ C là : 6 10y x .
Chú ý. ị trí tương đ i và g giữ h i đường thẳng phương tr nh ạng h s g
Cho 1 1 1: y k x m và 2 2 2: y k x m T :
1 2
1 2
1 2
k k
m m
;
1 2 1 2
1 2
k k
m m
;
1 2 1 2 1k k ;
Cho 0 ;90 t : 1 tạ với 2 g 1 2
1 2
tan1
k k
k k
;
Đ bi t nếu 2 0k th : 1 tạ với 2 g 1 tank .
Ví dụ 4. [ĐHD05] Ch 3 21 1
3 2 3
my x x
mC Gọi M là điể thu mC h ành đ
b ng 1 T m để tiếp tuyến tại M ủ mC s ng s ng với đường thẳng :5 0d x y .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến tại M ủ mC là
: ' 1 1 1y y x y : 1 12
my m x : 1 1
2
my m x .
T : 5d y x D đ d
1 5
1 02
m
m
4m .
y tiếp tuyến tại M ủ mC s ng s ng với đường thẳng d 4m .
Ví dụ 5. Cho 4 213 2
24y mx m x
mC Gọi A và B l n lư t là điể h ành đ
b ng 1 và 2 ủ mC T m để tiếp tuyến ủ mC tại A và B vu ng g với nh u
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 10
Giải. T 3 1' 4 6
12y x mx m x
h s g tiếp tuyến ủ mC tại A và B l n
lư t là 1
' 1 1012
y m và 1
' 2 446
y m D đ tiếp tuyến ủ mC tại A và B
vu ng g với nh u hi và hỉ hi
' 1 ' 2 1y y 1 1
10 44 112 6
m m
2 16 71440 0
3 72m m
1
24
71
1320
m
m
.
C. Bài tập
Bài 1. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết
1) C là đồ thị hà s 3 23 5 1y x x x tiếp tuyến h s g nhỏ nhất
2) C là đồ thị hà s 3 215 2
3y x x x tiếp tuyến h s g lớn nhất
Bài 2. Cho 3 211
3y x mx x m C T m để h s g ủ tiếp tuyến h s g nhỏ
nhất ủ đồ thị là 10 . iết phương tr nh tiếp tuyến đ
Bài 3. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng
1) [ĐHB06] C là đồ thị hà s 2 1
2
x xy
x
và tiếp tuyến vu ng g với đường thẳng
: 1d y x .
2) C là đồ thị hà s 1 2
2 1
xy
x
và tiếp tuyến s ng s ng với đường thẳng : 4 1 0d x y .
3) C là đồ thị hà s 3 21 12 1
2 2y x x x và tiếp tuyến tạ với đường thẳng
: 3 1 0d x y g 45 .
Bài 4. T tất ả điể trên đồ thị C ủ hà s 31 2
3 3y x x à tiếp tuyến tại đ
vu ng g với đường thẳng 1 2
:3 3
d y x .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 11
Bài 5. Cho 3 211 3 4 1
3y mx m x m x
mC T đi u i n ủ m để mC tiếp
tuyến vu ng g với đường thẳng 2012y x .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 2 2y x ; 2) 7
63
y x . Bài 2 3m , 3m th tiếp tuyến là 1 : 10 11d y x ,
3m th tiếp tuyến là 2 : 10 13d y x . Bài 3 1) 2 2 5y x , 2 2 5y x ; 2)
4 7y x 3) 1 1
2 2y x ,
1 229
2 54y x , 2 1y x ,
292
27y x . Bài 4 2;0
và
42;
3
.
Bài 5 1
48m ho c
7
240m . hoctoancapba.com
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 12
§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Ph n này sử dụng m t s kiến th c sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ch điể 0 0;M x y và đường thẳng : 0ax by c T ng th tính h ảng h t
M đến :
0 0
2 2;
ax by cd M
a b
.
2. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọ đ gi điể ủ h i đường thẳng là nghi ủ h gồ phương tr nh đường thẳng
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho 3 22 4y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến
tạ với Ox g 45 .
Giải. H s g ủ tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C là:
2
0 0 0' 6 8 1k y x x x .
T
, 45Ox tan 45k 1
1
k
k
.
1k 2
0 06 8 1 1x x 0
0
0
4
3
x
x
.
+) 0 0x 0 0y x : y x .
+) 0
4
3x 0
28
27y x
4 28: 1.
3 27y x
64:
27y x .
1k 2
0 06 8 1 1x x 0
0
1
1
3
x
x
.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 13
+) 0 1x 0 1y x : 1 1y x : y x .
+) 0
1
3x 0
1
27y x
1 1:
3 27y x
8:
27y x .
C tiếp tuyến tạ với Ox g 45 ủ C là: y x , 64
27y x , y x ,
8
27y x .
Ví dụ 2. Cho 1
2 1
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h
1 1;
2 2I
t h ảng b ng 3
10.
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x (0
1
2x là:
0 0 0: 'y y x x x y x
002
00
13:
2 12 1
xy x x
xx
2 2
0 0 0:3 2 1 2 4 1 0x x y x x
2 2
0 0 00
4 4
0 0
3 12 1 2 4 1
3 2 12 2;
9 2 1 9 2 1
x x xx
d I
x x
.
D đ :
3
;10
d A
0
4
0
3 2 1 3
109 2 1
x
x
4 2
0 02 1 10 2 1 9 0x x
2
0
2
0
2 1 1
2 1 9
x
x
0
0
0
0
0
1
1
2
x
x
x
x
.
0 0x
0
0
' 3
1
y x
y x
: 3 1y x .
0 1x
0
0
' 3
2
y x
y x
: 3 1 2y x : 3 5y x .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 14
0 1x
0
0
1'
3
0
y x
y x
1
3: 1y x
1 1
3 3: y x .
0 2x
0
0
1'
3
1
y x
y x
1
3: 2 1y x
1 5
3 3: y x .
y b n tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là: 3 1y x , 3 5y x , 1 1
3 3y x ,
1 5
3 3y x .
Ví dụ 3. Cho 3 2
1
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h đ u
điể 7;6A và 3;10B .
Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x ( 0 1x là:
0 0 0: 'y y x x x y x
002
00
3 25:
11
xy x x
xx
2 2
0 0 0:5 1 2 6 3 0x x y x x .
h đ u điể A và B hi và hỉ hi:
; ;d A d B
2 22 2
0 0 0 0 0 0
4 4
0 0
35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3
25 1 25 1
x x x x x x
x x
2 2
0 0 0 08 6 32 12 14 8x x x x 2 2
0 0 0 04 3 16 6 7 4x x x x
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
4 3 16 6 7 4
x x x x
x x x x
2
0 0
2
0 0
2 6 0 ' 5 0
2 0
voânghieämx x
x x
0
0
1
2
x
x
.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 15
0 1x
0
0
5'
4
1
2
y x
y x
5 1
4:
21y x
5 7
4 4: y x .
0 2x
0
0
' 5
7
y x
y x
: 5 2 7y x : 5 17y x .
y phương tr nh tiếp tuyến h đ u A và B ủ C là 5 7
4 4y x , 5 17y x .
Ví dụ 4. Cho 2 1
1
xy
x
C T tọ đ điể M C s h h ảng h t điể 1;2I
tới tiếp tuyến ủ C tại M đạt gi trị lớn nhất.
Giải. Giả sử 0x là h ành đ ủ M tiếp tuyến tại M ủ ( )C phương tr nh:
0 0 0: 'y y x x x y x
02
00
3 3: 2
11y x x
xx
2 2
0 0 03 1 2 5 0x x y x x
2 2
0 0 00
4 42
0 002
0
3 2 1 2 2 1 6 1 6;
99 1 9 1 11
x x x xd I
x x xx
.
Th bất đẳng th C -si:
2
02
0
91 2 9 6
1x
x
, suy ra , 6d I Đẳng th ảy r
hi và hỉ hi
2
02
0
91
1x
x
2
0 1 3x 0 1 3x .
y h ảng h ;d I lớn nhất b ng 6 đạt đư hi và hỉ hi 0 1 3x
1 3;2 3M h 1 3;2 3M
Ví dụ 5. [ĐHD07] Ch 2
1
xy
x
C T tọ đ điể M thu C biết tiếp tuyến ủ C
tại M ắt h i trụ Ox , Oy tại A , B sao cho t gi OAB i n tí h b ng 1
4.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 16
Giải. T
2
2'
1y
x
Xét điể M C , M h ành đ
0x T phương tr nh tiếp tuyến
với C tại M : hoctoancapba.com
0 0 0: y f x x x f x
0
02
00
22:
11
xy x x
xx
2
0
2 2
0 0
22:
1 1
xxy
x x
.
A Ox
2
0
2 2
0 0:
22
1 1
0
A
xxy
x
y
x
2
0 ;0A x ,
B Oy
2
0
2 2
0 0:
22
1 1
0
B
xxy
x
x
x
2
0
2
0
2
10;
x
xB
.
T 2
0OA x ,
2
0
2
0
2
1
xOB
x
4
0
2
0
.
2 1ABC
xOAOBS
x
.
1
4OABS
4
0
2
0
1
41
x
x
2
0 0
4 14x x
0 0
0
2
0
2
2 1
2 1
x x
x x
0 0
0 0
2
2
2 1 0
2 1 0 7 0 voânghieäm
x x
x x
0
10 2
1x
x
1;1
1; 2
2
M
M
.
C. Bài tập
Bài 1. Cho 4 212 3
2y mx m x
mC T m để tiếp tuyến ủ mC tại điể
h ành đ b ng 1 và 3 tạ với nh u t g -sin b ng 3
13.
Bài 2. Cho 3
4
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h
4; 1A t h ảng b ng 7 2
5.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 17
Bài 3. Cho 1
3 4
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết h ảng h t điể
4 1;
3 3I
tới tiếp tuyến đạt gi trị lớn nhất
Bài 4. [ĐHA09] Ch 2
2 3
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến ắt
trụ tọ đ tại điể A , B sao cho t gi OAB ân tại O .
Bài 5. Cho
3
2 1
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến ắt trụ
tọ đ tại điể A , B s h trung trự ủ đ ạn thẳng AB đi qu g tọ đ O .
Bài 6. Cho 2
2
xy
x
C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng tiếp tuyến ắt
trụ tọ đ Ox , Oy l n lư t tại h i điể A , B phân bi t sao cho 2AB OA .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1
48m h
7
240m . Bài 2. C tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là:
7 15y x , 7 43y x , 1 3
7 7y x ,
1 25
7 7y x . Bài 3. C tiếp tuyến thỏ ãn yêu
u bài t n là: 1y x , 7
3y x . Bài 4. Đồ thị đ ng t tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài
t n là 2y x . Bài 5. C tiếp tuyến thõ ãn yêu u bài t n là 3
2y x ,
5
2y x .
Bài 6. Đồ thị đ ng t tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là 4y x .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 18
§5. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa (H nh 1). Cho y f x C và y g x 'C .
C và 'C tiếp với nh u tại điể 0 0;M x y nếu ả h i đi u
i n s u đây thỏ ãn:
M là t điể hung ủ C và 'C ;
Tiếp tuyến ủ h i đường ng tại M tr ng nh u
Điể M đư gọi gọi là tiếp điể ủ h i đường ng đã h
Hình 1
2. Điều kiện tiếp xúc. Để ét sự tiếp ủ h i đồ thị hà s y f x C và y g x
'C t ét h :
' '
f x g x
f x g x
. *
T :
C và 'C tiếp nh u h * nghi đ i với x ;
Nghi ủ * hính là h ành đ tiếp điể ;
0x là h ành đ tiếp điể tiếp tuyến hung ủ C và 'C tại điể h ành đ 0x
là: 0 0 0'y f x x x f x .
Hệ quả. Đường thẳng y kx m là tiếp tuyến ủ đồ thị hà s y f x C hi và hỉ hi
h
'
f x kx m
f x k
nghi đ i với x .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 52
4y x x C và 2 2y x x 'C Ch ng inh C và 'C
tiếp nh u và viết phương tr nh tiếp tuyến chung.
y
xO
y0
x0
M
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 19
Giải. K hi u 3 54
2f x x x và 2 2g x x x Xét h :
' '
f x g x
f x g x
I .
T I
3 2
''
3 2
52 2
4
52 2
4
x x x x
x x x x
3 2
4
2
0
53 2 1
4
xx x
x x
1
2x .
y C và 'C tiếp nh u tại điể h ành đ b ng 1
2.
1 5
2 4
1' 2
2
g
g
phương tr nh tiếp tuyến hung là: 1 5
22 4
y x
hay 9
24
y x .
Ví dụ 2. [ GK] Ch ng inh r ng đường thẳng y kx m là tiếp tuyến ủ p r b l
2y ax bx c ( 0a hi và hỉ hi phương tr nh 2ax bx c kx m 1 nghi ép
Giải. T
1 2 0ax b k x c m ( 2
4b k a c m ).
D đ : 1 nghi ép 0 2
4 0b k a c m .
Đường thẳng và p r b l đã h tiếp nh u hi và hỉ hi h s u đây nghi đ i với x
I
2
2
ax bx c kx m
ax b k
.
T I
2 0 1
22
ax b k x c m
k bx
a
.
I nghi 2
k bx
a
là nghi ủ 1
2
02 2
k b k ba b k c m
a a
2 2
04 2
b k b kc m
a a
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 20
2
4 0b k a c m 1 nghi ép ĐPCM hoctoancapba.com
Ví dụ 3. [SGKNC] iết phương tr nh đường thẳng qu điể 1; 2A và tiếp với p r b l
2 2y x x .
Giải. Phương tr nh đường thẳng qua 1; 2A h s g k ạng : 1 2y k x
: 2y kx k .
Xét phương tr nh 2 2 2x x kx k hay 2 2 2x k x k 1 ( 2
2 4 2k k ).
tiếp với p r b l đã h 1 nghi ép 0 2
2
k
k
.
2k : 2 1 2y x : 2y x .
2k : 2 1 2y x : 2 4y x .
y qu điể A h i đường thẳng tiếp với p r b l là: 2y x và 2 4y x .
Ví dụ 4. [ĐHB08] Ch 3 24 6 1y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể
1; 9M ủ C .
Giải. Đường thẳng qu M h s g k phương tr nh ạng : 1 9y k x .
là tiếp tuyến ủ C hi và hỉ hi h s u đây nghi
I
3 2
2
4 6 1 1 9 1
12 12 2
x x k x
x x k
.
Thế 2 và 1 t :
3 2 24 6 1 12 12 1 9x x x x x 3 24 3 6 5 0x x x
5
4
1
x
x
.
D đ : I nghi 54
x là nghi ủ 2 h 1x là nghi ủ 2 .
Thay 5
4x và 2 t
15
4k
15: 1 9
4y x
15 21:
4 4y x .
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 21
Thay 1x và 2 t 24k : 24 1 9y x : 24 15y x .
y phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể M ủ C là 15 21
4 4y x , 24 15y x .
Ví dụ 5. [ĐHD02] Ch 22 1
1
m x my
x
C và :d y x T m để C tiếp với d .
Giải. C tiếp với d hi và hỉ hi h s u đây nghi đ i với x
I
' 1
f x x
f x
.
T I
2
2
2 1
1
11
1
m x mx
x
m
x
22 1 1 1
2
1
m x m x x
x m
x m
x
D đ I nghi hi và hỉ hi
1
1
2 1
2 1
laø nghieäm cuûa
laø nghieäm cuûa
m
m
m
m
2
2
1
2 1 1
2 1
2 1 2 2 1
m
m m m m m
m
m m m m m
1
1
1
m
m
m
m
1m .
y C tiếp với d 1m .
C. Bài tập
Bài 1. [SGK] Ch ng inh đồ thị sau tiếp nh u và viết phương tr nh tiếp tuyến chung
1) 2 3 1y x x và 2 2 3
1
x xy
x
.
2) 2 3
2 2
xy x và
3
2
xy
x
.
3) 2 3 6y f x x x , 3 2 4y g x x x và 2 7 8y h x x x .
Bài 2. [SGK] Ch ng inh h i tiếp tuyến của parabol 2 3y x x đi qu điểm 3 5
;2 2
A
và
h ng vu ng g với nhau.
Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Yêu toán học Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 22
Bài 3. Viết phương tr nh tiếp tuyến qua A củ đồ thị C tr ng trường h p sau:
1) 23
; 29
A
, C là đồ thị hà s 3 23 2y x x .
2) 6;5A , C là đồ thị hà s 2
2
xy
x
.
Bài 4. Ch ng minh r ng qua 1;0A h i tiếp tuyến vu ng g với nhau củ đồ thị hà s
2 2 2
1
x xy
x
.
Bài 5. T m để đường thẳng 9y mx tiếp với đồ thị 4 28 7y x x .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 5y x ; 2) 3
2y x ; 3) 5 7y x . Chú ý. B đồ thị hà s y f x , y g x ,
y h x tiếp nh u hi và hỉ khi h
' ' '
f x g x h x
f x g x h x
nghi đ i với x . Bài 2
Đường thẳng qua 3 5
;2 2
A
h s g k 3 5
:2 2
y k x
. Ta ch ng minh tồn tại
h i gi trị của k tí h b ng 1 s h phương tr nh 2 3 53
2 2x x k x
nghi ép
Bài 3 1) 5 61
3 27y x , 9 25y x , 2y ; 2) 1y x ,
1 7
4 2y x . Bài 4 Ch ng minh
tồn tại h i gi trị của k tí h b ng 1 sao cho h
2
'2
2 21
1
2 2
1
x xk x
x
x xk
x
nghi m. Bài 5
0m .