kineticka teorija plinova

Kinetika teorija plinova

Uvod u statistiku fiziku

Ivo Batisti [email protected]

Fiziki odsjek, PMF Sveuilite u Zagrebu predavanja 2005/2006


Pregled predavanja

Kratki uvod.......................................................................................................................................1

Statistika fizika ...................................................................................................................1

Termodinamika.....................................................................................................................1

Osnovne fizikalne veliine ...............................................................................................................2

Temperatura..........................................................................................................................2

Unutranja energa i toplina ................................................................................................2

Tlak.......................................................................................................................................3

Klasina mehanika ...........................................................................................................................4

Problemi u klasino-mehanikom pristupu ..........................................................................4

Broj stupnjeva slobode .....................................................................................................................6

Meumolekularni sudari ..................................................................................................................7

Srednji slobodni put..............................................................................................................8

Born-Bormannov pokus .....................................................................................................10

Srednji slobodni put............................................................................................................11

Idealni plin......................................................................................................................................13

Tlak idealnog plina.........................................................................................................................14

I


Kratki uvod

Statistika fizika

Bavi se sustavima koji se sastoje od mnotva estica:

- plinovi

- tekuine

- kruta tela

- plazma

- kvantni kondenzati

- nebeska tela: planeti, zvjezde, galakse, . . .

Ne istrauje svojstva pojedinanih estice od kojih se sustav sastoji, nego svojstva cele kolekce.

Zakljuke izvodi na temelju statistikih podataka o kolektivu estica.

Termodinamika

Termodinamika je grana fizike usko povezana sa statistikom fizikom.

Razvena je nezavisno od statistike fizike. Ne oslanja se na to da se sustavi sastoje od pojedinih estica. Bazira se na nekoliko osnovnih zakona (aksioma) do kojih se je dolo opaanjima. To je znanost o toplinskim svojstvima tela (sustava) od kojih su neka veoma sloena (npr.

strojevi).

1


Osnovne fizikalne veliine

Temperatura

Mjeri stupanj zagranosti tela. Mjeri se termometrom. Prvi termometar napravio je Ferdinand II, grof od Tuscane godine

1641.

Fizikalne jedinice su: - Stupnjevi celzusa C.

- Stupnjevi kelvina: K.

- Stupnjevi fahrenheita: F.

Izmeu pojedinih stupnjeva postoji veza: - 15.273= KC tt

- ( )3295 = FC tt

Postoji najnia mogua termperatura: T = 0 K ili 273.15 C (apsolutna nula).

Unutranja energa i toplina

Unutranja energa je ukupna energa sustava, zbroj kinetikih energa svih estica i

njihovih meusobnih potencalnih energa (energa meudjelovanja).

Unutranja se energa sustava moe promeniti - ako on vri mehaniki rad

- ili ako se dovodi/odvodi toplina.

Jedinica za mjerenje koliine topline je kalora: 1 cal je ona koliina topline koja je potrebna da 1 g vode zagre od 14 C na 15 C.

2


Tlak

Mjeri se barometrom Prvi barometar je napravio Torricelli 1643. godine. SI fizikalna jedinica je pascal:

1 Pa = N/m2 = kg/m s2.

Ostale fizikalne jedinice: - 1 bar = 105 Pa.

- 1 atm = 101325 Pa (atmosfera).

- 1 mmHg (torr) = 133,322 Pa.

- 1 atm = 760 torr.

3


Klasina mehanika

U klasinoj se mehanici obino promatra problem gibanja jedne estice pod djelovanjem neke

vanjske sile, ili problem gibanja dvu estica koje meudjeluju.

Cilj je znati poloaje i brzine estica kao funkcu vremena: ( ))(),( tvtr rr

To je mogue postii rjeavanjem sustava jednadbi:

Fm

rr&&r 1= (Newtonova jednadba)

ili

pm

r r&r 1=

Fpr&r = (Hamiltonove jednadbe)

(Hamiltonove jednadbe)

Da bi doli do rjeenja potrebno je poznavati poetne uvjete - poloaje i brzine (impulse) u nekom poetnom vremenskom trenutku:

( ))(),( 00 tvtr rr Celi problem mogue je poopiti i na sustav veeg broja estica. Tada je potrebno rjeavati

sustav velikog broja jadnadbi, a rjeenje je zadano skupom poetnih stanja svake od estica.

Ipak, rjeavanje sustava jednadbi za veliki broj estica sadri nekoliko praktinih, ali i principelnih tekoa.

Problemi u klasino-mehanikom pristupu

Praktini problem: ne postoje raunala koja mogu izraunati vremensku evolucu za 1023

estica. (Ne postoje raunala koja to mogu napraviti i za samo 109 estica.)

Principelni problem: Sustav jednadbi je neintegrabilan - reenja su jako ovisna o poetnim uvjetima. Beskonano mala promjena poetnih uvjeta izaziva veliku promjenu u

rjeenju.

4


ak i kada bi mogli reiti sustav od 1023 DJ, ne moemo s pouzdanjem znati rjeenje jer ne

poznajemo poetno stanje.

Problem svrhe: elimo li uope znati trajektoru svake pojedine estice unutar nekog plina ? Problem broja estica: Koliko doista ima estica u 1 molu plina? Odgovor: 6.022 1023 atoma

(molekula)!

- Svaki atom se sastoji od manjih estica, elektrona i jezgre koja se sastoji od

protona i neutrona, ali i plina -mezona koji ih dre zajedno na okupu.

- A protoni, neutroni i -mezoni se sastoji od jo manjih delova, kvarkova te

gluona koji dre te kvarkove neraskidivim vezama.

Zar jedan potpuni (mehaniki) opis plina ne bi trebao uzeti u obzir i gibanje tih manjih

estica?

5


Broj stupnjeva slobode

Problem broja estica pojavljuje se i u statistikoj fizici. Sustavi estica koji imaju 1023

ili 1030 estica sigurno se razlikuju u fizikalnim svojstvima, npr. energi ili tlaku.

Problem broja estica razreen je tek u kvantnoj statistikoj fizici.

Strukturu nekog sloenog sustava treba uzeti u obzir samo ako je energa njegovoh

pobuivanja usporediva ili manja od temperature:

TkE B .

Ako je sloeni sustav se moe tretirati kao jedna estica! TkE B Atomi u (manjim) molekulama povezani su vrstim vezama tako da na sobnim

temperaturama (~ 300 K) se molekule mogu tretirati kao krute estice.

Energa pobuivanja nekih rotacska gibanja molekula (atoma) je vea od sobne temperature, pa se ponekad rotacsko gibanje moe zanemariti.

Energa pobuivanja elektrona u atomu puno je vea od sobne temperature, pa se atomi mogu tretirati kao cjelovite estice.

Ali atomi u plazmi, gdje su temperature vie od 106 K, sigurno nisu cjelovite estice.

Ako je sloeni sustav se moe tretirati kao jedna estica! TkE B . . . Energe pobuivanja jezgre, ili protona i neutrona jo su vie nego energe pobuivanja

atoma.

Substruktura atoma i jezgre moe se zanemariti na sobnim temperaturama.

(Ali se ne moe zanemariti u neutronskim zvezdama.)

6


Meumolekularni sudari

1738. Danel Bernoulli je prvi predloio kinetiku teoru plinova.

Njegov rad ostao je nezapaen sve do 19. kada je poeo razvitak statistike

fizike.

Osnovne pretpostavke kinetike teore plinova:

estice u plinu se gibaju nasumino, velikim brzinama, meusobno se sudaraju i u sudarima menjaju smjer gibanja.

Sudari estica sa stenkom posude u kojoj se nalaze, stvaru silu koju nazivamo tlakom plina. Ukupna energa, zbroj kinetikih energa i meusobne potencalne energe

(meudjelovanje) ine unutranju energu.

D. Bernoulli je pretpostavio da su estice (atomi) tvrde kuglice radusa d/2 a je

potencalna energa:

Slika 1 Meumolekularni sudari

Promatrajui jednu esticu, jasno je da e se ona povremeno sudarati s drugim esticama.

Pri tome e vremenski interval izmeu dva sudara, te slobodni (pravocrtni) put izmeu dva

sudara varirati od sudara do sudara.

7


Slika 2 Put jedne estice

Uvodimo pojam srednjeg slobodnog puta kao prostornog intervala koji estica u

prosjeku proe izmeu dva sudara.

Srednji slobodni put

Promatrajmo gibanje jedne od kuglica, koja se giba u nekom smjeru zadanom sa smjerom

brzine . vr

Oko smjera gibanja kuglice opaemo valjak radusa d. Kuglice i se centar nalazi unutar valjka sudarit e se s kuglicom koju promatramo.

Slika 3 Gibanje jedne estice

Da bi izraunali srednji slobodni put pojednostvit emo problem:

Neka se giba samo estica koju promatramo, a sve ostale neka miruju. Neka naa estica koju promatramo ne menja smjer i brzinu gibanja kod sudara. Za vreme estica e prei udaljenost t tv .

8


Slika 4 Pojednostavljeno gibanje jedne estice

Za vreme estica e se sudariti sa svim esticama koje se nalaze unitar valjka duine . Broj sudara:

ttv

ndtvN = 2 , gdje je n koncentraca estica.

Srednji slobodni put je:

ntvN

== 1l .

Uveli smo oznaku za povrinu baze cilindra (valjka). 2d= s se naziva i udarni presjek. To je ona povrina koju, ako estica pogodi, onda dolazi do

sudara.

Udarni presjek u sluaju tvrdih kuglica je povrina kruga radusa dvostruko veeg od radusa kuglica.

U opem sluaju, proizvoljnog meudjelovanja izmeu estica, potrebno je koristiti kvantnu mehaniku proraunavajui vjerojatnost pojave sudara.

Kod kratkodosenih meudjelovanja koje postoji kod neutralnih estica, aproksimaca tvrdih kuglica je dobra.

Dobiveni izraz za srednji slobodni put treba korigirati. Toni izraz je:

21n= l

Tipine vrednosti:

9


m710l

219

10

325

1010105

mmdmn

Born-Bormannov pokus

Slika 5 Skica Born-Bormannovog pokusa

Skica pokusa u kojem su Born i Bormann 1920. godine mjerili srednji slobodni put i

njegovu ovisnost o tlaku.

Iz posude u kojoj se nalazi plin izlazi uska zraka molekula koja pada na zaslon P1. Na zaslonu se nalazi otvor koji pokriven polukrunom ploicom tako da samo dio molekula

prolazi dalje, a dio se apsorbira (priljepi) na proicu.

Onaj dio molekula koji prolazi dalje udara na zaslon P2 gdje se nalazi ploica koja pokriva drugu polovicu kruga.

Na zaslon P1 pada samo dio molekula, N1, koji se ne rasprio u sudarima s drugim

molekulama na putu do zaslona.

Takoer, na zaslon P2 pada samo dio molekula, N2, koji se ne rasprio u sudarima s drugim molekulama na putu do zaslona.

Molekule koje se jesu rasprile, skrenule se s putanje i nisu pogodine ploice ili otvor. Neka je N(x) broj molekula u snopu koje su prole udaljenost x, tj. do te udaljenosti nisu

se sudarile s drugim molekula.

Broj molekula koje se jesu sudarile prolazei put izmeu x i xx + je . ( ) )(xNxxNN +=

Broj rasprenih estica naspram ukupnog broja dan je odnosom duine Dx i srednjeg slobodnog puta :

10


lx

NN =

predznak dolazi jer je ( )xxN + manje od N(x) Za beskonano mali interval Dx, dobiva se DJ:

lN

dxdN =

Rjeenje je:

lx

eNxN= 0)(

Slika 6 Eksponencijalno trnua funkcija

eksponencalno trnua funkca

Koristei dobiveni rezultat, nalazimo da je odnos broja molekula koji su udarili ploicu kod

zaslona P1, naspram broja molekula koji su udarili ploicu kod zaslona P2 jednak:

( ) l12

2

1 )(xx

exNxN =

odnosno

=

2

1

12

logNNxxl

Srednji slobodni put

Za konstantnu temperaturu, naeno je ~ P1. Iz , odreen je s, odnosno dimenza molekula d

2

1

nd

=

l

rezultati su usporeeni s rezultatima dobivenim drugim metodama.

11


Plin d (m) (m)

He 1.9 10-10 2.3 10-7

H2 2.3 10-10 1.6 10-7

H2O 2.6 10-10 1.3 10-7

O2 2.9 10-10 1.0 10-7

Ar 2.9 10-10 1.0 10-7

N2 3.1 10-10 0.87 10-7

Slika 7 Meumolekularni promjeri i srednji put (t = 0 C, p = 101325 Pa)

12


Idealni plin

Srednji slobodni put je puno vei od prosjene udaljenosti estica u plinu: mnR 93

1103 =

A prosjena udaljenost meu esticama je puno vea od dimenza estica. estice u plinu pod normalnim tlakom vrlo se retko sudaraju, (smetaju jedna drugoj u

gibanju).

Pod normalnim uvjetima (1 atm & T = 300 K) estice u plinu mogue je tretirati kao da ne meudjeluju.

Za plin estica koje ne meudjeluju kaemo da je idealan. Za idealni plin vredi Boyle-Mariotteov zakon:

P V = konst.

(ako je T = konst.)

Slika 8 Boyle-Mariotteov zakon

Kod visokih tlakova, kada prosjena odaljenost meu esticama postane usporediva s

dimenzama estica, oekujemo da meudjelovanje igra znaajnu ulogu - plin vie nee biti

idealan.

Zbog meudjelovanja estica kod visokih tlakova pojavit e se odstupanje od Boyle-Mariotteov zakona. (Za P ~ 107 Pa, odstupanje je 5 - 10 %).

13


Tlak idealnog plina

Prema kinetikoj teori plinova tlak je rezultat neprestanog nasuminog udaranja

molekula plina u stenke posude.

Svaka estica, koja se giba brzinom

stijenkustijenkom

nasa

okomitaparalenla

brzinabrzina

vv

vvv+=

rrrrr ||

||

i udara u stenku reflektira se od stenke brzinom:

= vvv rrr || . Predani impuls povrini steke prilikom jednog sudara:

= vmp r2 . Da bi izraunali tlak potrebno je odrediti ukupni predani impuls, Dp, steki posude u

jednici vremena, Dt, i na jedininoj povrini, S. Ukupna sila kojom djeluju molekule na jedininu povrinu je

tpF

= .

A tlak je:

SFP = .

Pri tome je predani impuls okomit na povrinu stjenke, pa je stoga i sila i tlak okomit na povrinu stjeke posude.

Slika 9 Tlak idealnog plina

14


Radi jednostavnosti neka je stenka yz-ravnina okomita na x-os. Neka je je nx (vx) funkca raspodjele estica po x-komponenti brzine.

( )VNnvn

xvxx == .

Koliko estica udari u stenku unutar intervala Dt ?

U stenku udaraju samo estice koje se nalaze na udaljenosti manjoj od vxDt od stenke posude.

Broj estica brzine vx : ( ) ( )xx

volumen

xx vntvSvn = 43421

Ukupni broj estica koji udari stenku posude: ( )

>=

0xvud vnn x .

emu je jednak predani impuls etica koje udaraju u stenku

unutar intervala Dt ?

U stenku udaraju samo estice koje se nalaze na udaljenosti manjoj od vxDt od stenke posude.

predani impuls estica brzine vx : ( ) ( ) ( )xxx

volumen

xx mvvntvSvp 2= 43421

Ukupni predani impuls svih estica za vreme intervala Dt: ( )

>=

0xvxvpp

emu je jednaka sila na povrinu S ?

( ) ( === > xx v xxxv xxx vnvmSvnvmStpF 2

0

22 ) 2

xvmnSF

15


jer je

( )( ) ( )

=

=

x

x

x

vxxx

vxx

vxxx

x vnvnvn

vnvv 2

2

2 1

emu je jednak tlak ?

( ) kkzyxx UVEVNvvvmnvmnSFP 132323 2222 ==++=== U

VP 1

32=

jer je ukupna kinetika energa:

UENU kk = ujedno i ukupna energa za idealni plin.

Slika 10 Udarci estica po povrini S

Meutim, estice nemaju sve samo x-komponentu brzine. Neke, zbog y- i z-komponenti

brzine izai izvan cilindra, i nee udariti u bazu cilindra S!

Koliko e ih izai, isto toliko e ih ui u cilindar - tako da je broj udaraca u dno cilindra isti. Tlak idealnog plina

kk ENUPV 32

32 ==

Prosjena kinetika energa moe nam posluiti za definicu novog termodinamikog parametra, temperature:

TkE Bk == 32

Ili se moemo posluiti, zakonim o jednakoj raspodjeli energa koji kae da je

16


Tkvmvmvm

Bzyx ===

21

222

222

ako smo temperaturu ve pre definirali.

Tlak idealnog plina

TNkPV B = gdje je kB tz. Boltzmannova konstnta. B

123103806.1 = KJkB . Boltzmannova konstnta povezuje temperaturu izraenu u stupnjevima K s temperaturom u

izraenu u jedinicama energe (J - Joule).

Mol je ona mnoina (koliina) tvari koja sadri onoliko jedinki (atoma, molekula) koliko

0.012 kg ugljikovog izotopa 12C sadri atoma.

Npr. jedan mol neona (Ne) je 0.020 179 kg, a vodika (H2) je 0.002 016 kg. U jednom molu tvari nalazi se

12310022.6 = molN A atoma (molekula). NA je Avogadrova konstanta.

Ukupni broj atoma (molekula) u sustavu moemo izraziti preko broja molova:

ANNz = ,

z se naziva mnoina tvari.

Tlak idelanog plina (jednadba stanja)

zRTTkNzTNkPV BAB === gdje je

11314.8 == KmolJkNR BA je univerzalna plinska konstanta.

Jednadba stanja idealnog plina moe se primjeniti i na realne plinove, ako su sudari

molekula u plinu elastini. U elastinom sudaru je zbroj kinetikih energa pre i posle sudara

isti:

'' 2121 EEEE +=+ pa se ukupna kinetika energa svih estica ne menja zbog sudara.

17


Koristei vezu izmeu temperature i prosjene kinetike energe moemo izraunati

prosjenu kvadratnu brzinu:

mTkvv BS

32 == .

Npr.

1607 msvS

=

= KT

kgmNe300

1037.3 26

Koliko je prosjeno vreme izmeu dva sudara ?

sv

tS

100 10

= l

13

7

1010

msvm

S

l

18

Kratki uvodStatistika fizikaTermodinamika

Osnovne fizikalne veliineTemperaturaUnutranja energa i toplinaTlak

Klasina mehanikaProblemi u klasino-mehanikom pristupu

Broj stupnjeva slobode Meumolekularni sudariSrednji slobodni putBorn-Bormannov pokusSrednji slobodni put

Idealni plin Tlak idealnog plina

kineticka teorija plinova

Documents