kompleksna analiza.pdf

8/20/2019 kompleksna analiza.pdf

1/183

Kompleksna analiza

Dragan S. D̄ord̄ević

20.5.2014.


2/183

2


3/183

Sadržaj

Predgovor 7

1 Elementarne osobine kompleksnih funkcija 11.1 Skup C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Algebarska svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja . . . . . . 31.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja . . . . . . . 41.1.5 Topološka svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Redovi u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Proširena kompleksna ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Kompleksne funkcije realne promenljive . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Granična vrednost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Diferencijabilnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.5 Putanje u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.6 Oblasti u C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Kompleksne funkcije kompleksnepromenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Granična vrednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost

funkcija na skupu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3 Nizovi i redovi funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Stepeni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Elementarne kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3


4/183

4 SADR ̌ZAJ

1.5.3 Hiperboličke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.4 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.5 Koren kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Topološki i metrički prostori 312.1 Topološki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Metrički prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . 38

3 Analitičke funkcije 413.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Izvod funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 Koši–Rimanovi uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.3 Neprekidna diferencijabilnost . . . . . . . . . . . . . . 473.1.4 Kǒsi–Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama . . . . 483.1.5 Analitičke (regularne) funkcije . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Integracija po putanji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1 Definicija i osobine integrala . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Indeks zatvorene putanje u odnosu na tačku . . . . . . 60

3.3 Teoreme Košija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1 Lokalna verzija Kǒsijeve teoreme . . . . . . . . . . . . 623.3.2 Koši-Gursaova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.3 Posledice prethodnih teorema . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Integralna formula Kǒsija i posledice . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1 Integralna formula Košija . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2 Svojstva analitǐckih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Meromorfne funkcije 814.1 Loranov red i račun ostatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 Izolovani singulariteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1.2 Tipovi singulariteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.3 Red pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1.4 Slučaj a = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.5 Ostaci (rezidumi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.6 Izračunavanje ostatka funkcije u polu . . . . . . . . . . 90

4.2 Princip argumenta i princip maksimuma modula . . . . . . . . 964.2.1 Red nule i red pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.2 Geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . 98


5/183

SADR ̌ZAJ 5

5 Prostori funkcija 103

5.1 Relativna kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Prostori analitǐckih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 Prostor meromorfnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Harmonijske funkcije 121

6.1 Osobine harmonijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.2 Princip maksimuma i osobina srednjevrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 Poasonova integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4 Osobina srednje vrednosti na malimkružnicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.5 Harnakov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 Konformna preslikavanja 137

7.1 Otvorena preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.2 Šv arcov a l ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.3 Analitičke funkcije i ugloviizmed̄u putanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4 Analitički automorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.5 Izomorfizmi gornje poluravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.6 Švarcov princip refleksije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.7 Rimanova teorema o prosto povezanim oblastima . . . . . . . 149

7.8 Neprekidnost na granici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.9 Analitički izomorfizmi prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.10 Bilinearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.11 Modularne funkcije i mala Pikarova teorema . . . . . . . . . . 154

7.12 Švarc-Kristofelove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8 Analitička produženja 155

8.1 Analitička produženja lanacima oblasti . . . . . . . . . . . . . 155

8.2 Analitička produženja stepenim redovima . . . . . . . . . . . . 157

8.3 Analitička produženja duž krivih . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4 Analitička produženja integralima . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.5 Izdvajanje regularnih grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164


6/183

9 Aproksimacija racionalnim funkcijama 165

9.1 Rungeova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.2 Mitag-Leflerova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Literatura 173


7/183

Predgovor

Tekst sadrži osnove elemente kompleksne analize, koji su potrebni studentimaosnovnih i master akademskih studija matematike. Neki delovi teksta su od

interesa studentima fizike ili tehnike.Kompleksna analiza je prirodni nastavak realne analize, i nije moguće

kompletno razumevanje izloženog materijala ukoliko nije savladano prethodnogradivo. Očekuje se da čitalac uspešno vlada metodama diferencijalnog i in-tegralnog računa funkcija jedne ili više realnih promenljivih. Razumevanjemetoda kompleksne analize je kvalitetnije, ako postoji izvesno poznavanjetopologije i funkcionalne analize. Stoga je uključena posebna glava, kojačitaocu može služiti kao podsetnik.

Tekst Kompleksna analiza sadrži gradivo predmeta Uvod u kompleksnuanalizu i Kompleksna analiza , koje slušaju studenti matematike (na osnovnim

i master akademskim studijama).Početne glave (1,3,4) sadrže rezultate koji su osnova teorije kompleksnihfunkcija, i nepohodne su studentima osnovih akademskih studija. Odred̄eneglave (5-9) su posvećene ozbiljnijim rezultatima, i one su neophodne studen-tima master akademskih studija.

U ovom trenutku tekst nije kompletan, a takod̄e ima slovnih i drugihgrešaka. Konstantno se radi na poboljšanju materijala namenjenog studi-entima (obratiti pažnju na datum upisan na prvoj strani). Studenti su uobavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u spisku referen-ci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta.

7


8/183

8 SADR ̌ZAJ


9/183

Glava 1

Elementarne osobine

kompleksnih funkcija

1.1 Skup C

1.1.1 Algebarska svojstva

Skup svih kompleksnih brojeva označen je sa C, odnosno C = {z = x + iy :x, y ∈ R}, pri čemu je i imaginarna jedinica , odnosno i2 = −1. Ako jez = x+iy

∈C, onda je x = Re z realni deo kompleksnog broja z , a y = Im z je

imaginarni deo broja z . U skupu C operacije sabiranja i množenja definisanesu na sledeći način. Ako je z = x + iy, w = u + iv, pri čemu je x, y,u, v ∈ R,onda je

z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v),

z · w = (x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu).Teorema 1.1.1. Struktura (C, +, ·) je polje.Dokaz . Dokaz je jednostavan. ”Nula“ pomenutog polja je broj 0 = 0+ i ·0, a”jedinica“ je 1 = 1+ i ·0. Ako je z = x + iy, onda je inverzni elemenat od z u

odnosu na sabiranje jeste −z = −x − iy. U slučaju z = x + iy ̸= 0, inverznielemenat od z u odnosu na množenje jeste z −1 =

x − iyx2 + y2

= x

x2 + y2 −

y

x2 + y2i.

Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridružuje se konjugovan broj z = x − iy. Nije teško proveriti da je Re z = 1

2(z + z ) i Im z = 1

2i(z − z ). Vǎzi

1


10/183

2 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA

sledeći rezultat, koji ostavljamo čitaocu za samostalnu proveru.

Teorema 1.1.2. Konjugovanje kompleksnih brojeva ima svojstva:

z ± w = z ± w, zw = z · w, z

w

=

z

w (w ̸= 0),

za svako z, w ∈ C.

1.1.2 Geometrijska interpretacija

Svaki kompleksan broj z = x + iy je jedinstveno odred̄en svojim realnimi imaginarnim delom. Prema tome, kompleksan broj z jeste ured̄en par,odnosno z = (x, y). Skup C prikazan je kao ravan sa Dekartovim1 (pra-vouglim) koordinatnim sistemom, pri čemu horizontalna osa (x-osa) jesterealna osa, a vertikalna osa (y-osa) jeste imaginarna osa. Kompleksna ravanse naziva i Gausova2 ravan (videti Sliku 1).

Svaka tačka z identifikovana je sa geometrijskim vektorom čiji se početakpoklapa sa koordinatnim početkom, a kraj je tačka z . Ovaj vektor se nazivaradijus vektor kompleksnog broja z . Sabiranje kompleksnih brojeva ekvi-valentno je sabiranju odgovarajućih radijus vektora u ravni. Predstavlja-nje skupa kompleksnih brojeva jednom ravni ekvivalentno je predstavljanjuskupa R2 istom ravni.

Ono što suštinski odvaja polje C od vektorskog prostora R2 jeste množenjekompleksnih brojeva, koje po svojoj formi ne odgovara ni skalarnom ni vek-torskom proizvodu vektora u ravni.

Primetimo da su kompleksni brojevi z i z simetrični u odnosu na realnu

osu.

1René Descartes - Renatus Cartesius - (1596-1650), francuski matematičar i filozof 2Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemački matematičar


11/183

1.1. SKUP C 3

Slika 1.

1.1.3 Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja

Rastojanje, ili metrika, u skupu C, definisana je na isti način kao Euklidovo3

rastojanje u R2. Ako je z = x +iy, w = u +iv ∈ C, onda je njihovo rastojanjed(z, w) =

√ (x − u)2 + (y − v)2 (Slika 2). Specijalno, rastojanje od z do

koordinatnog početka naziva se moduo kompleksnog bro ja z i označava sa

|z |. Moduo kompleksnog broja odgovara intenzitetu vektora u R2

, odnosno|z | =√

x2 + y2, te je |z | intenzitet radijus vektora kompleksnog broja z .Takod̄e važi d(z, w) = |z − w|.

Slika 2.

Nije teško pokazati sledeće tvrd̄enje.

3Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki matematičar


12/183


Teorema 1.1.3. Funkcija z → |z | na skupu C ima sledeća svojstva:

| Re z | ≤ |z |, | Im z | ≤ |z |, |z + w| ≤ |z | + |w|, |z | − |w| ≤ |z − w|,

|0| = 0,|z | = 0 ⇐⇒ z = 0

, |zw| = |z ||w|,

z w

= |z ||w| (w ̸= 0),|z | = |z |, |z |2 = zz.

Dokaz . Ako je z = x + iy, tada je |z | =√

x2 + y2 ≥ |x|, a slično i |z | ≥ |y|.Time su dokazane prve dve nejednakosti. Očigledno je |z | = |z | i zz = |z |2.

Ako je w = u + iv, tada je

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw= |z |2 + |w|2 + 2 Re(zw) ≤ |z |2 + |w|2 + 2|z ||w|= (|z | + |w|)2.

Time je dokazano |z + w| ≤ |z | + |w|.Sada je |z | = |(z −w) + w| ≤ |z −w|+ |w|, odakle sledi |z |− |w| ≤ |z −w|.

Analogno, |w| − |z | ≤ |w − z |, te je i|z | − |w| ≤ |z − w|.

Ostala tvrd̄enja ostavljamo čitaocu za samostalan rad.

1.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog brojaTačke kompleksne ravni (različite od koordinatnog početka) reprezentuju sekorišćenjem polarnih koordinata (Slika 3). Neka je r = |z |, a ϕ neka je ugaokoji radijus vektor broja z zaklapa sa pozitivnim delom realne ose, merenpočev od pozitivnog dela realne ose suprotno kretanju kazaljke na časovniku.Ugao ϕ jeste argument kompleksnog broja z i označen je sa arg z . U polarnimkoordinatama sada važi

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja z . Lako je proveriti da važi

ϕ = arctg y

x, r =√

x2 + y2, cos ϕ = x√

x2 + y2, sin ϕ =

y√ x2 + y2

.

Trigonometrijska reprezentacija kompleksnog broja nije jedinstvena. Pro-mena argumenta ϕ za 2π ne dovodi do promene kompleksnog broja. Stoga,


13/183

1.1. SKUP C 5

precizno govoreći, sve argumente kompleksnog broja z možemo opisati kao

skuparg z = {ϕ0 + 2kπ : k = 0, ±1, ±2, . . . },

pri čemu je ϕ0 jedan (bilo koji) konkretan argument broja z .Formalni dokaz sledi. Neka je

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = R(cos ψ + i sin ψ).

Kako je | cos ϕ + i sin ϕ| = |cos ψ + i sin ψ| = 1, sledi da je r = R. Preostajecos ϕ + i sin ϕ = cos ψ + i sin ψ, te je cos ϕ = cos ψ i sin ϕ = sin ψ (na osnovu jedinstvenosti prikaza kompleksnog broja preko realnog i imaginarnog dela).Odmah sledi da se uglovi ϕ i ψ mogu razlikovati samo za 2kπ, pri čemu jek ∈ Z.

Od interesa je slučaj kada je argument broja z ugao izmed̄u 0 i 2π. Takavargument se naziva glavna vrednost argumenta kompleksnog broja z , u oznaciArg z . Alternativno, može se posmatrati glavna vrednost argumenta izmed̄u−π i π.

Slika 3.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je od naričite koristi ako seposmatra proizvod brojeva. Naime, ako je z = |z |(cos ϕ + i sin ϕ) i w =|w|(cos ψ + i sin ψ), tada je

zw = |

z |(cos ϕ + i sin ϕ)

|w

|(cos ψ + i sin ψ)

= |z ||w|

(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)

= |z ||w|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)).Sledi da je |zw| = |z ||w| (što nam je poznato od ranije), kao i arg(zw) =

arg(z )+arg(w). Poslednju jednakost treba shvatiti skupovno: svaki argument


14/183


broja zw jednak je zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja

w; obrnuto, zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja w jesteneki argument broja zw.

Ako je n ∈ N i z = |z |(cos ϕ + i sin ϕ), tada na osnovu prethodnograzmatranja sledi z n = |z |n(cos nϕ + i sin ϕ). Specijalno,

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ,

i ova jednakost poznata je kao Moavrova4 formula.

1.1.5 Topološka svojstva

Neka je (z n)n niz kompleksnih brojeva i a ∈ C. Niz (z n)n konvergira ka tačkia (u oznaci lim

n→∞z n = a), ako i samo ako važi lim

n→∞|z n − a| = 0, odnosno ako

i samo ako važi:

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |z n − a| < ϵ).Tada je a granična vrednost niza (z n)n.

Niz (z n)n je divergentan, ako nije konvergentan.

Teorema 1.1.4. Niz kompleksnih brojeva može imati najviše jednu graničnu vrednost.

Ako je z n = xn + iyn i a = b + ic, tada je limn→∞ z n = a ako i samo ako je limn→∞

xn = b i limn→∞

yn = c.

Dokaz . Jedinstvenost granǐcne vrednosti konvergentnog niza dokazuje seuobičajeno.

Na osnovu |xn−b|, |yn−c| ≤ |z n−a| =√ |xn − b| + |yn − c| sledi preostali

deo teoreme.Sledeći rezultat ostavljen je čitaocu za samostalnu proveru.

Teorema 1.1.5. Neka su (z n)n i (wn)n nizovi u C, i neka je λ ∈ C. Ako je limn→∞

z n = z i limn→∞

wn = w, tada je:

limn→∞

λz n = λz, limn→∞

(z n ± wn) = z ± w, limn→∞

z nwn = zw.

Ako je pri tome w ̸= 0, tada je limn→∞

znwn

= zw

.

4Abraham de Moivre (francuski matematičar), 1667-1754


15/183

1.1. SKUP C 7

Otvoren disk , zatvoren disk i kružnica sa centrom u a ∈ C poluprečnikar > 0, jesu, redom sledeći skupovi:

D(a; r) = {z : |z − a| < r}, D[a; r] = {z : |z − a| ≤ r},T (a; r) = {z : |z − a| = r}.

Specijalno,D = D(0; 1), T = T (0; 1).

Važi sledeći rezultat.

Teorema 1.1.6. Neka je (z n)n niz u C i neka je a ∈ C. Tada su sledeća tvr ̄ denja ekvivalentna:

(1) limn→∞

z n = a;

(2) Za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sa svojstvom n ≥ n0, vǎzi z n ∈ D(a; ϵ).

Skup V ⊂ C je otvoren u C, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da jeD(a; r) ⊂ V .

Skup F ⊂ C je zatvoren u C, ako je skup F c = C \ F otvoren u C.Jednostavno sledi da su ∅ i C jedini skupovi koji su istovremeno otvoreni

i zatvoreni u C.

Teorema 1.1.7. Ako je V otvoren skup u C, onda je V najviše prebrojiva unija otvorenih diskova.

Dokaz . Uvedimo oznaku V Q = {a = p + iq ∈ V : p, q ∈ Q}. V Q je skuptačaka skupa V sa racionalnim koordinatama, i skup V Q je najviše prebrojiv.Neka je V otvoren i neka je a = p + iq ∈ V Q. Postoji r > 0 tako da jeD(a; r) ⊂ V . Sledi da je skup M a = {r > 0 : D(a; r) ⊂ V } neprazan. Neka je Ra = sup M a.

Pretpostavimo da je z ∈ D(a; Ra). Tada postoji r sa svojstvom |z −a| < r < Ra. Dakle, z ∈ D(a; r) ⊂ V . Na taj način je dokazano da jeD(a; Ra)

⊂ V .

Pretpostavimo da je D[a; Ra] ⊂ V . Tada je ϵ = d(D[a; Ra], V c) > 0.Sledi da je D(a; Ra +

ϵ2

) ⊂ V , što nije moguće prema izboru broja R. Prematome, D[a; Ra] nije sadržan u V .

Dokazali smo da je D(a; Ra) najveći mogući disk sa centrom u a koji jesadržan u V . Ovakve diskove nazivamo maksimalnim diskovima sa racional-nim centrima, i ovih diskova ima prebrojivo mnogo.


16/183


Sledi V ⊃ ∪a∈V QD(a; Ra).

Neka je w ∈ V . Tada je δ = d(w, V c) > 0, te postoji b ∈ V Q tako da je|w − b| < δ

2. Tada je w ∈ D(b; Rb).

Time je dokazano V = ∪a∈V Q

D(a; Ra).

U prethodnoj teoremi diskovi nisu obavezno uzajamno disjunktni (za ra-zliku od odgovarajućeg rezultata za otvorene podskupove realne prave R).

Primer 1.1.1. Neka je Q otvoreni kvadrat sa temenima u tačkama 0, 1, 1 +i, i. Drugim rečima, duži koje ograničavaju ovaj kvadrat – ne pripadajuskupu Q. Pretpostavimo da je Q =

∪n∈NDn, pri čemu su Dn uzajamno

disjunktni otvoreni diskovi. Neka je d dijagonala skupa Q, kojoj ne pripadajukrajnje tačke. Tada je d otvoren skup na pravoj. Med̄utim, tada važi d =∪n∈N

(d ∩ Dn), pri čemu su d ∩ Dn uzajamno disjunktni otvoreni intervali napravoj. Poslednja konstatacija nije moguća, te sledi da diskovi Dn ne mogubiti uzajamno disjunktni.

Tačka a je tačka nagomilavanja skupa E ⊂ C, ako svaki krug sa centromu a sadrži neku tačku skupa E različitu od a. Ekvivalentno, a je tačkanagomilavanja skupa E , ako i samo ako postoji niz različitih tačaka (z n)nskupa E , tako da je lim

n→∞z n = a.

Svaka tačka skupa E , koja nije njegova tačka nagomilavanja, jeste izolo-vana tačka skupa E .Neka je a ∈ C i 0 ≤ r < R. Tada je prsten sa centrom u tački a,

unutrašnjeg poluprečnika r i spoljneg poluprečnika R, definisan kao

P (a; r, R) = {z ∈ C : r


17/183

1.1. SKUP C 9

1.1.6 Redovi u C

Neka je (z n)n niz kompleksnih brojeva. Beskonačna suma

∞n=1

z n = z 1 + z 2 + · · · + z n + · · ·

naziva se brojni red u C.Svakom redu pridružen je niz delimičnih suma S n = z 1 + · · · + z n. Red∞∑

n=1

z n je (obično) konvergentan, ako je niz delimičnih suna (S n)n konver-

gentan. U tom slučaju je granična vrednost S = limn→∞

S n suma reda∞

∑n=1

z n,

odnosno S =∞∑n=1

z n.

Ako niz (S n)n divergira, tada je red∞∑n=1

z n divergentan.

Primer 1.1.2. Neka je q ∈ C i posmatrajmo qeometrijski red∞∑n=0

q n =

1 + q + q 2 + · · · . n-ta delimična suma ovog reda je S n = 1 + q + · · · + q n−1 =1−qn1−q . Dakle, ako je |q | < 1, onda polazni geometrijski red konvergira i∞∑n=0 q

n

= 1

1−q . Ako je q ≥ 1, onda (S n)n divergira, stoga i polazni geometrijskired divergira.

Vǎzi Košijeva teorema za konvergenciju redova:

Teorema 1.1.9. Red ∑

z n konvergira, ako i samo ako

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N )(∀m, n ∈N)(m > m ≥ n0 =⇒ |z n+ z n+1 + · · ·+ z m| < ϵ).

Brojni red ∑

z n apsolutno konvergira , ako konvergira red ∑ |z n|.

Teorema 1.1.10. Ako red ∑ z n

apsolutno konvergira, onda red ∑ z n

obǐcnokonvergira.

Dokaz . Pretpsotavimo da je red∑

z n apsolutno kovnergentan. Neka je ϵ > 0i neka je m > n. Tada je

|z n + · · · + z m| ≤ |z m| + · · · + |z n|.


18/183


Na osnovu Košijevog kriterijuma primenjenog na red∑ |z n|, sledi da postojin0 ∈ N tako da za m > n ≥ n0 važi |z m| + · · · + |z n| < ϵ. Na osnovudokazanog, sledi da je i |z m + · · · + z n| < ϵ. Primenimo Košijev kriterijum nared ∑

z n. Sledi da je red ∑

z n obično konvergentan.

Obrnuto tvrd̄enje ne vǎzi: postoje redovi koji konvergiraju obično, a di-vergiraju apsolutno. Na primer, red

∑ (−1)nn

konvergira obično (prema Lajb-nicovom kriterijumu), ali divergira apsolutno (prema Košijevom integralnomkriterijumu).

1.2 Proširena kompleksna ravan

Kompleksnoj ravni pridružena je jedna beskonačno daleka tačka, označenasa ∞. Skup C = C ∪{∞} je proširena kompleksna ravan.

Interesantno je definisati algegarske operacije u C, naravno u slučajukada je jedan od činilaca ili faktora upravo jednak ∞. Sabiranje u skupu C definisano je na sledeći način:

z + ∞ = ∞, ∞ + ∞ = ∞,

za svako z ∈ C. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenat u skupu C uodnosu na sabiranje, odnosno veličina ∞ − ∞ nije odred̄ena. Množenje uskupu C definisano je kao:

z · ∞ = ∞ (z ̸= 0), ∞ · ∞ = ∞.

Vrednost 0 · ∞ nije odred̄ena. Za elemenat ∞ ne postoji inverzni elemenatu odnosu na množenje u skupu C, odnosno ne postoji z ∈ C tako da jez · ∞ = 1. Sa druge strane, vǎzi 1∞ = 0.


19/183

1.2. PRO ̌SIRENA KOMPLEKSNA RAVAN 11

Slika 4.

Neka je S 3 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1} jedinična sferau R3, neka je MN prečnik te sfere i neka je C ravan koja je normalna naduž MN i prolazi kroz centar sfere S 3 (Slika 4). Svaka prava p kroz tačkuN preseca sferu S 3 u neko j tažki Z , ako i samo ako p preseca ravan C unekoj tački z . Na ta j način je uspostavljena bijekcija Z → z izmed̄u skupovaS 3 \ {N } i C. Preslikavanje koje realizuje ovu bijekciju, označava se sa s.Ako prava p sadrži tǎcku N i paralelna je ravni C, onda p ne seče ni sferu S 3

u tački različitoj of N . Prirodno je uzeti da vǎzi s(N ) = ∞. Preslikavanje s je stereografska projekcija sfere S 3 na proširenu kompleksnu ravan, odnosnos : S 3 → C.

Rastojanje izmed̄u tačaka z 1, z 2 ∈ C može se razmatrati kao rastojanjeizmed̄u tačaka Z 1, Z 2 ∈ S 3:

Ako je z 1, z 2 ∈ C, tada postoje jedinstvene tačke Z 1, Z 2 ∈ S 3, tako da jes(Z 1) = z 1, s(Z 2) = z 2. Neka je d3(z 1, z 2) = d(Z 1, Z 2), pri čemu je d(Z 1, Z 2)Euklidovo rastojanje u R3.

Rastojanje d3 u prostoru C ima zanimljive osobine.

Teorema 1.2.1. Ako je z, z 1, z 2 ∈ C, tada je:d3(z 1, z 2) =

2|z 1 − z 2|[(1 + |z 1|2)(1 + |z 2|2)]1/2 = d3

1

z 1, 1

z 2

,

d3(z, ∞) = 2(1 + |z |2)1/2 = d3

1

z , 0

.


20/183


Diskove u prostoru (C, d3) označavamo sa D3(a; r). Specijalno, od in-

teresa su diskovi sa centrom u tački ∞. Kako je D3(∞; ϵ) = {z ∈ C :d3(z, ∞) < ϵ} za ϵ > 0, prirodno je uvesti i skup D(∞; R) = {z ∈ C : |z | >R} za R > 0.

Metrički prostor (C, d3) indukuje očekivanu topologiju na C, što proizilaziiz sledećeg rezultata.

Teorema 1.2.2. (1) Ako je a ∈ C i r > 0, onda postoji R > 0, tako da je D3(a; R) ⊂ D(a; r).

(2) Ako je R > 0 i a ∈ C, onda postoji r > 0 tako da je D(a; r) ⊂D3(a; R).

(3) Ako je R > 0, onda postoji kompakt K u C tako da je C \ K ⊂D3(∞; R).(4) Ako je K kompakt u C, tada postoji broj R > 0 tako da je D3(∞; R) ⊂

C \ K .

Posledice prethodnih tvrd̄enja slede.

Posledica 1.2.1. Neka je (z n)n niz u C, i neka je a ∈ C. Tada su sledeća tvr ̄ denja ekvivalentna:

(1) limn

→∞

z n = a, odnosno limn

→∞

|z n − a| = 0;(2) limn→∞ d3(z n, a) = 0.

Posledica 1.2.2. Neka je (z n)n niz u C. Tada su sledeća tvr ̄ denja ekviva-lentna:

(1) Za svako R > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sva svojstvom n ≥ n0 važi |z n| > R;

(2) limn→∞

d3(z n, ∞) = 0.(3) lim

n→∞|z n| = ∞.

Prethodni rezultati, izmed̄u ostalog, pokazuju da metrički prostori (C, d)i (C, d3) indukuju jednake topologije u kompleksnoj ravni.

Osim toga, konvergencija niza tačaka u smislu metrike d u skupu C,ekvivalenta je konvergenciji u smislu metrike d3. Analogno tvrd̄enje važi iza Košijeve nizove. Kako je (C, d) kompletan metrički prostor, sledi da je i(C, d3) kompletan metrički prostor.


21/183

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 13

1.3 Kompleksne funkcije realne promenljive

Neka je M ⊂ R i f : M → C. Tada je f kompleksna funkcija realnogargumenta. Za svako x ∈ M neka je u(x) = Re f (x) i v(x) = I m f (x).Tada su u i v realne funkcije, definisane na M . Teorija kompleksnih funkcijarealne promenljive, dakle, jeste teorija vektorskih funkcija jednog realnogargumenta.

1.3.1 Granična vrednost funkcija

Neka je M

⊂R i f : M

→C neka je kompleksna funkcija na M . Neka je x0

tačka nagomilavanja skupa M . Broj A ∈ C je granična vrednost funkcije f na skupu M kada x → x0 (u oznaci A = lim

x→x0;x∈M f (x)), ako

(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M )(0


22/183


(4) Ako postoje limx

→x0;x

∈M

f (x) i limx

→x0;x

∈M

g(x), tada postoji i limx

→x0;x

∈M

(f (x)+

g(x)), pri čemu je

limx→x0;x∈M

(f (x) + g(x)) = limx→x0;x∈M

f (x) + limx→x0;x∈M

g(x);

(5) Ako postoje limx→x0;x∈M

f (x) i limx→x0;x∈M

g(x), tada postoji i limx→x0;x∈M

(f (x)·(x)), pri čemu je

limx→x0;x∈M

(f (x) · g(x)) = limx→x0;x∈M

f (x) · limx→x0;x∈M

g(x).

(6) Ako postoje limx→x0;x∈M

f (x) i limx→x0;x∈M

g(x)

̸= 0, tada postoji i

limx→x0;x∈M

f (x)g(x)

, pri čemu je

limx→x0;x∈M

f (x)

g(x)

=

limx→x0;x∈M

f (x)

limx→x0;x∈M

g(x).

1.3.2 Neprekidnost funkcija

Neka je M ⊂ R, neka je f : M → C, i neka je x0 ∈ M . Funkcija f jeneprekidna u tački x0 na skupu M , ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako daza svako x ∈ M važi: ako je |x−x0| < δ , onda je |f (x)−f (x0)| < ϵ. Funkcijaf je neprekidna na skupu M , ako je f neprekidna u svakoj tački skupa M .

Dakle, ako je x0 izolovana tačka skupa M , onda je funkcija f (koja jedefinisana na M ) uvek neprekidna u tački x0.

Ako je x0 tačka nagomilavanja skupa M , onda je funkcija f (koja jedefinisana na M ) neprekidna u tački x0 na skupu M ako i samo ako je

limx→x0;x0∈M

f (x) = f (x0).

Formulišemo očekivana tvrd̄enja.

Teorema 1.3.2. Neka je M

⊂ R, neka je x0

∈ M , i neka je f = u + iv :

M → C kompleksna funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Funkcija f je neprekidna u tački x0 na skupu M , ako i samo ako su obe funkcije u, vneprekidne u tački x0 na skupu M .

Teorema 1.3.3. Neka je M ⊂ R, neka su f, g : M → C funkcije, neka je λ ∈ C, i neka je x0 ∈ M . Ako su funkcije f, g neprekidne u tački x0 na


23/183


skupu M , tada su i funkcije λf , f + g, f g neprekidne u tački x0 na skupu

M . ˇ Staviše, ako je pri tome i g(x0) ̸= 0, tada je f g neprekidna u tački x0 na

skupu M .

1.3.3 Diferencijabilnost funkcija

Neka je f : (a, b) → C funkcija, i neka je x0 ∈ (a, b). Prvi izvod funkcije f utački x0 jeste sledeća granična vrednost (ukoliko postoji):

f ′(x0) = limx→x0

f (x) − f (x0)x

−x0

.

Funkcija f je diferencijabilna u tački x0, ako postoji f ′(x0).

Navodimo najvažnije rezultate o izvodu funkcije.

Teorema 1.3.4. Ako je funkcija f : (a, b) → C diferencijabilna u tački x0 ∈ (a, b), tada je funkcija f neprekidna u tački x0 na (a, b).

Teorema 1.3.5. Neka je f = u + iv : (a, b) → C, pri čemu su u, v realne funckije, i neka je x0 ∈ (a, b). Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x0,tada su i funkcije u, v diferencijabilne u tački x0, i pri tome važi:

f ′(x0) = u′(x0) + iv

′(x0).

Teorema 1.3.6. Neka su date funkcije f, g : (a, b) → C i neka je λ ∈ C.Ako su funkcije f, g diferencijabilne u tački x0, tada su i funkcije λf i f + gdiferencijabilne u x0, i tada važi

(λf )′(x0) = λf ′(x0), (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u svakoj tački intervala

(a, b). Tada se svakom x ∈ (a, b) može pridručiti broj f ′(x). Ova funkcija(pridruživanje) se, naravno, označava sa f ′.

Ako je funkcija f ′ diferencijabilna u tački x0 ∈ (a, b), tada je (f ′)′(x0) =f ′′(x0) drugi izvod funkcije f u tački x0. Ako postoji f ′′(x0) u svakoj tačkix0 ∈ (a, b), tada je definisana funkcija f ′′ na (a, b).

Na ovaj način mogu postojati viši izvodi funkcije f na segmentu (a, b).


24/183


1.3.4 Rimanov integral

Neka je f : [a, b] → C funkcija definisana na segmentu [a, b]. Pretpostavimoda je a = x0 < x1 0 postoji δ > 0, tako da za svakupodelu P = {x0, . . . , xn} segmenta [a, b] sa osobinom dP < δ , i za svakoξ k ∈ [xk−1, xk] važi I −

nk=1

f (ξ k)(xk − xk−1) < ϵ.

Ako postoji Rimanov integralb∫ a

f (x)dx, tada je funkcija f integrabilna

(u Rimanovom smislu) na segmentu [a, b].

Važe sledeća tvrd̄enja, analogna tvrd̄enjima za realne funkcije.

Teorema 1.3.7. Neka je f = u + iv : [a, b] → C kompleksna funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Tada važi:

6Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemački matematičar


25/183


(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako funkcije u, v jesu

integrabilne na [a, b]; tada je ispunjenob a

f (x)dx =

b a

u(x)dx + i

b a

v(x)dx.

(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je i funkcija |f | integra-bilna na [a, b], i važi

b a

f (x)dx

≤

b a

|f (x)|dx.

Teorema 1.3.8. (1) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], tada je f inte-grabilna na [a, b].

(2) Ako je f ogranǐcena na [a, b], i pri tome f je neprekidna svuda osim u konačno mnogo tačaka segmenta [a, b], tada je f integrabilna na [a, b].

Ako je f definisana i ograničena na [a, b], i pri tome f ima konačno mnogotačaka prekida na [a, b], tada je f deo po deo neprekidna funkcija .

Teorema 1.3.9. Neka su f, g : [a, b] → C funkcije, a < c < b i λ ∈C.(1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako je funckija f

integrabilna na oba segmentu [a, c] i [c, b]; u tom slučaju je b a

f (x)dx =

c a

f (x)dx +

b c

f (x)dx;

(2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je funkcija λf integrabilna na [a, b], i važi

b a

λf (x)dx = λ

b a

f (x)dx.

(3) Ako su funkcije f, g integrabilne na [a, b], tada je funkcija f + g inte-grabilna na [a, b], i tako¯ de je

b a

(f (x) + g(x))dx =

b a

f (x)dx +

b a

g(x)dx.


26/183


Na kraju, formulǐsemo rezultat poznat pod imenom Njutn7-Lajbnicova8

formula za kompleksne funkcije realne promenljive.

Teorema 1.3.10. Ako je f ′ kompleksna neprekidna funkcija na [a, b], tada važi formula

b a

f ′(x)dx = f (b) − f (a).

Dokaz prethodnog tvrd̄enja analogan je odgovarajućem dokazu za realnefunkcije.

Primer 1.3.1.2π∫ 0

(cos t + i sin t)dt = 0, iako funkcija t → (cos t + i sin t)nema nula u segmentu [0, 2π]. Ovaj primer pokazuje da ne važi teorema osrednjoj vrednosti integrala kompleksne funkcije realne promenljive. Naime,ukoliko bi teorema o srednjoj vrednosti integrala važila, onda bi postojalatačka ξ ∈ [0, 2π] tako da je

0 ̸= cos ξ + i sin ξ = 12π

2π 0

(cos t + i sin t)dt = 0,

što očigledno nije moguće.

Napomena 1.3.1. Posmatramo uvek Rimanov integral dopustivih funkcija.Med̄utim, ovaj integral može biti posmatran i kao Lebegov, posebno ukolikopostoji potreba za korišćenjem moćnog aparate teorije mere i integrala.

9

1.3.5 Putanje u C

Neprekidno preslikavanje γ : [a, b] → C jeste kriva u C. Tačka γ (a) je početak ,a γ (b) je kraj krive γ . Kriva je orijentisana u smislu rasta parametra t,odnosno od γ (a) ka γ (b). Dve krive se mogu ”nastaviti“, ako se kraj jednekrive poklapa sa početkom druge krive.

7Isaac Newton (1642-1727), engleski matematičar, fizičar i astronom8Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nemački matematičar9Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki matematičar


27/183


Ako je γ : [a, b] → C kriva u C, onda je γ ∗ = {γ (t) : t ∈ [a, b]} grafik krive γ . Oǧledno, γ ∗ ⊂ C. Skup [a, b] je kompaktan u R, γ je neprekidnopreslikavanje, te je i γ ∗ kompaktan skup u C.

Kriva γ : [a, b] → C je rektificijabilna , ako i samo ako je γ funkcijaograničene varijacije na [a, b]. Drugim rečima, γ je rektificijabilna, ako pos-toji konstanta M > 0, tako da za svaku podelu P : a = x0 < x1


28/183


Dokaz . Neka je γ : [a, b] → C deo po deo neprekidno diferencijabilna, i neka je P : a = x0 < x1


29/183


skupovi U i V istovremeno i otvoreni i zatvoreni u A. Dakle, A je povezan ,

ako A nije jednak uniji dva otvorena i uzajamno disjunktna podskupa od C.Skup A u C je put-povezan, ako za svake dve tačke z, w ∈ A postoji

neprekidno preslikavanje f : [0, 1] → A, tako da je f (0) = z i f (1) = w.Teorema 1.3.12. Podskup A od C je povezan, ako i samo ako je A put-povezan. Analogno tvr ̄ denje važi za Rn, samim tim i za Cn.

Neka je C ⊂ A ⊂ C. Ako je C povezan skup, i pri tome ne postojipovezan skup D sa svojstvima C ⊂ D ⊂ A i C ̸= D, onda je C povezana kompomenta skupa A.

Otvoren skup G je oblast , ako je G povezan skup u C.

Svaki otvoren skup V je najviše prebrojiva unija otvorenih diskova, svakiotvoren disk je povezan skup, te sledi zaključak.

Teorema 1.3.13. Svaki otvoren skup V je najviše prebrojiva unija uzajamno

disjunktnih oblasti, odnosno V =∞∪ j=1

G j, pri čemu je svako G j oblast u C, i

G j ∩ Gk ̸= ∅ za svako j ̸= k.Formulišemo bez dokaza Žordanovu10 teoremu o zatvorenim putanjama.

Teorema 1.3.14. (Žordanova teorema o zatvorenoj putanji) Neka je γ :

[a, b] →C zatvorena putanja u C bez tačaka samopreseka. Tada C \ γ ∗ = G0γ ∪ G∞γ ,

pri čemu je G0γ ograničena oblast, a G∞γ neograničena oblast u C.

Pri tome je ∂G0γ = ∂G

∞γ = γ

∗.

Prethodna teorema može biti dokazana, izmed̄u ostalog, metodama al-gebarske topologije, primenom Brauerove teoreme o fiksnim tačkama, kao imetodama nestandardne analize.

Ako je γ kontura u C, tada se može primeniti prethodna ˇZordanova teo-rema. Oblast G0γ je oblast ograničena konturom γ . Kontura γ je orijentisana

pozitivno u odnosu na oblast G0γ (ili jednostavno, kontura je orijentisana poz-itivno), ako pri obilasku konture γ u smeru orijentacije oblast G0γ ostaje saleve strane.

10Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematičar


30/183


Geomtrijska definicija pozitivne orijentacije konture saglasna je sa stan-

dardnom orijentacijom jedinične kružnice sa centrom u koordinatnom početku,odnosno sa načinom merenja ugla koji predstavlja argument kompleksnogbroja. Naime, kružnica γ (t) = eit, t ∈ [0, 2π], je pozitivno orijentisana uodnosu na disk D(0; 1).

1.4 Kompleksne funkcije kompleksnepromenljive

Kompleksne funkcije kompleksne promenljive predstavljaju glavnu temu is-

traživanja.

1.4.1 Granična vrednost funkcije

Neka je G podskup od C i neka je f : G → C preslikavanje. Tada je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za svako z ∈ G neka je u(z ) =Re f (z ) i v(z ) = Im f (z ). Funkcije u, v : G → R realne funkcije kompleksnepromenljive z . Na osnovu činjenice z = x + iy važi u(z ) = u(x, y) i v(z ) =v(x, y), odnosno u i v jesu realne funkcije realnih promenljivih x i y. Prematome,

f (z ) = u(x, y) + i · v(x, y), z = x + iy ∈ G.Neka je a tačka nagomilavanja skupa G i f : G → C neka je kompleksna

funkcija. Kompleksan broj A je granična vrednost funkcije f u tački a naskupu G, ako važi:

(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (0


31/183

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 23

Teorema 1.4.1. Pretpostavimo da je G ⊂ C, neka je a = α + iβ tačka nagomilavanja skupa G, i neka je f = u + iv : G → C funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Tada:

Postoji limz→a;z∈G

f (z ), ako i samo ako postoje

lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

u(x, y) i lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

v(x, y).

U tom slučaju važi

limz→a;z∈G

f (z ) = lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

u(x, y) + i lim(x,y)→(α,β);(x,y)∈G

v(x, y).

Neka je f definisana u skupu D(∞; r) = {z ∈ C : |z | > r} za neko r > 0.Tada je limz→∞ f (z ) = A, ako za svako ϵ > 0 postoji R > 0, tako da za svakoz ∈ C važi implikacija

|z | > R =⇒ |f (z ) − A| < ϵ.

Konačno, limz→a

f (z ) = ∞, ako i samo ako je limz→a

|f (z )| = +∞. Primetimoda je lim

z→af (z ) = ∞ ako i samo ako je lim

z→ad3(f (z ), ∞) = 0.

Granična vrednost funkcije kompleksne promenljive ima analogna svoj-stva kao i granična vrednost realnih funkcija više promenljivih.

1.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnostfunkcija na skupu

Pretpostavimo da je kompleksna funkcija f definisana na skupu G ⊂ C ineka je a ∈ G. Funkcija f je neprekidna u tački a na skupu G, ako važi:

(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z ∈ G) (|z − a| < δ =⇒ |f (z ) − f (a)| < ϵ).

Formulǐsemo nekoliko rezultata o neprekidnosti funkcije.

Teorema 1.4.2. Neka je G ⊂ C, a ∈ G, i neka je f : G → C kompleksna funkcija.(1) Pretpostavimo da je a tačka nagomilavanja skupa G. Funkcija f je

neprekidna u tački a na skupu G, ako i samo ako je f (a) = limz→a;z∈G

f (z ).

(2)Ako je a izolovana tačka skupa G, onda je funkcija f neprekidna u tački a.


32/183


Funkcija f je (obično) neprekidna na skupu G, ako je f neprekidna u

svako j tački a ∈ G na skupu G.Teorema 1.4.3. Neka je G ⊂ C, a = α + iβ ∈ g, i neka je f = u + iv :G → C. Funkcija f je neprekidna u tački a na skupu G, ako i samo ako su obe funkcije u, v neprekidne u istoj tački (α, β ) na skupu G.

Funkcija f je ravnomerno neprekidna na skupu G, ako važi:

(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀z 1, z 2 ∈ G) (|z 1 − z 2| < δ =⇒ |f (z 1) − f (z 2)| < ϵ).

U definiciji neprekidnosti funkcije u nekoj tački a broj δ je izabran uzavisnosti od tačke a i unapred zadanog ϵ > 0. Sa druge strane, u definicijiravnomerne neprekidnosti na skupu, broj δ je izabran u zavisnosti od ϵ, anezavisno od izbora tačaka skupa G. Dakle, važi sledeći rezultat.

Teorema 1.4.4. Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu G, onda je f neprekidna funkcija na G.

Iz obične neprekidnosti funkcije na odred̄enom skupu sledi ravnomernaneprekidnost te funkcije, samo u odred̄enim specijalnim slučajevima.

Teorema 1.4.5. (Hajne11-Kantor12) Ako je G kompaktan podskup od C,i ako je f : G → C neprekidna funkcija na G, onda je f ravnomernoneprekidna na G.

Teorema 1.4.6. Ako je f (z ) = u(x, y) + i · v(x, y), onda je ravnomer-na neprekidnost funkcije f na nekom skupu G ekvivalentna ravnomernoj neprekidnosti funkcija u i v na skupu G.

Dokaz . Rezultat sledi na osnovu sledećih nejednakosti:

| Re w|, | Im w| ≤ |w| = √ | Re w|2 + | Im w|2,pri čemu je w = f (z ), z ∈ G.

11Heinrich Eduard Heine (1821-1881), nemački matematičar12Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemački matematičar


33/183

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 25

1.4.3 Nizovi i redovi funkcija

Neka je (f n)n niz funkcija definisan na skupu G, G ⊂ C. Ako je z ∈ Gkonkretna tačka skupa G, tada je (f n(z ))n brojni niz u C. Niz funkcija (f n)n(obǐcno, tačkasto) konvergira ka funkciji f na skupu G, ako za svako z ∈ Gvaži lim

n→∞f n(z ) = f (z ).

Niz (f n)n ravnomerno konvergira na skupu G ka funkciji f , ako:

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n ∈ N) (n ≥ n0 =⇒ |f n(z ) − f (z )| < ϵ).Iz ravnomerne konvergencije niza funkcija na nekom skupu G sledi obična

konvergencija tog niza ka istoj granǐcnoj funkciji na skupu G. Obrnuto

tvrd̄enje ne važi u opštem slučaju, kao što je to pokazivano u realnoj analizi.Neka je (gn)n niz funkcija definisanih na skupu G ⊂ C. Red

∑gn je

obično konvergentan na skupu G, ako niz delimičnih suma S n = g1 + · · · + gnobično konvergira na skupu G. Analogno, red

∑gn je ravnomerno konver-

gentan na skupu G, ako niz delimičnih suma S n = g1 + · · · + gn ravnomernokonvergira na skupu G.

Ako red funkcija ravnomerno konvergira na nekom skupu, onda taj red iobično konvergira ka istoj graničnoj funkciji na posmatranom skupu. Obr-nuto tvrd̄enje ne važi u opštem sluča ju.

Formulišemo sledeći rezultat.

Teorema 1.4.7. (1) (Košijev kriterijum za ravnomernu konvergen-ciju nizova) Niz (f n)n ravnomerno konvergira na skupu G, ako i samo akovǎzi :

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n, m ∈ N)(m > n ≥ n0 =⇒ |f n(z ) − f m(z )| < ϵ).

(2) (Košijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju redova) Red ∑gn ravnomerno konvergira na skupu G ako i samo ako važi:

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀z ∈ G)(∀n, m ∈ N)

m > n ≥ n0 =⇒

mk=n

gk(z ) < ϵ .

(3) (Vajerštrasov13 kriterijum za ravnomernu konvergenciju) Akočlanovi reda

∑gk zadovoljavaju uslov |gk(z )| ≤ ck za svako z ∈ G i svako k =

13Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemački matematičar


34/183


1, 2, . . . , a brojni red∑ ck konvergira, onda red∑ gk ravnomerno konvergirana skupu G.

(4) Neka je f (z ) = limn→∞

f n(z ), z ∈ G, gde su f n (n = 1, 2, . . . ) neprekidnefunkcije na skupu G. Ako je niz (f n)n ravnomerno konvergentan na skupuG, onda je funkcija f neprekidna na skupu G.

(5) Neka su gn (n = 1, 2, . . . ) neprekidne funkcije na skupu G. Ako red∑gk konvergira ravnomerno na skupu G, njegova suma

∞∑k=0

gk(z ) = s(z ),

z ∈ G, je takod̄e neprekidna funkcija na G.

1.4.4 Stepeni redovi

Najvažniji specijalan slučaj reda funkcija, jeste stepeni red. Neka je (cn)n nizkompleksnih brojeva, i neka je a ∈ C. Red

∞n=0

cn(z − a)n

je stepeni red oko tačke a (u tački a; ili sa centrom u tački a).Za kompleksne stepene redove važi rezultat analogan realnim stepenim

redovima.

Teorema 1.4.8. Neka je a ∈ C i neka je (cn)n niz kompleksnih brojeva.Tada postoji jedinstven R ∈ [0, +∞] sa sledećim svojstvima:(1) Stepeni red

∞∑n=0

cn(z − a)n konvergira za svako z ∈ D(a; R).

(2) Ako je R > 0, onda stepeni red ∞∑n=0

cn(z − a)n konvergira ravnomernona skupu z ∈ D[a; r] za svako r ∈ (0, R).

(3) Ako je R < +∞, onda stepeni red ∞∑n=0

divergira za svako z ∈ C sa svojstvom |z | > R.

(4) 1R

= lim sup

|cn

|1/n = lim sup cn+1c

n.

Broj R u prethodnoj teoremi naziva se poluprečnik konvergecije stepenog

reda∞∑n=0

cn(z − a)n. Disk D(a; R) je disk (krug ) konvergencije posmatranogstepenog reda. Imajući u vidu da je stepeni red ravnomerno konvergentan nazatvorenim diskovima sadržanim u D(a; R), kao i činjenicu da su sve funkcije


35/183

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 27

z → cn(z − a)n neprekidne, jednostavno dolazimo do zaključka da sumastepenog reda jeste neprekidna funkcija na disku na kome red konvergira.

Dokazaćemo kasnije ozbiljnije tvrd̄enje: suma stepenog reda je beskonačnoputa diferencijabilna funkcija na disku na kome polazni red konvergira.

1.5 Elementarne kompleksne funkcije

1.5.1 Eksponencijalna funkcija

Neka je z = x + iy ∈ C. Eksponencijalna funkcija z → ez definisana je nasledéci način:

ez

= ex

(cos y + i sin y).Ako je y = 0, odnosno z = x ∈R, onda se, očigledno, kompleksna ekspo-

nencijalna funkcija svodi na dobro poznatu realnu eksponencijalnu funkciju.Funkcije y → cos y i y → sin y su periodične sa periodom 2π. Stoga

je funkcija z → ez periodična sa periodom 2πi. Na osnovu neprekidnostifunkcija x → ex, y → cos y i y → sin y za svako x, y ∈ R, sledi neprekidnostfunkcije z → ez za svako z ∈ C.

Važi ex > 0 za svako x. Osim toga, ni za jedno y ∈ R ne može istovremenobiti cos y = 0 i sin y = 0. Prema tome, ez̸= 0 za svako z ∈ C.

Neka je w = u + iv i ew = eu(cos v + i sin v). Važi formula:

ezew = ex+u[cos y cos v − sin y sin v + i(cos y sin v + sin y cos v)]= ex+u[cos(y + v) + i sin(y + v)] = ez+w.

Jednostavno je dokazati i sledeći rezultat

(ez)−1 = e−z,

odakle neposredno proizilazi

ez

ew = ez−w.

Posebno je interesantan slučaj z = y, odnosno x = 0. Tada je

eiy = cos y + i sin y.

Očigledno važi |eiy| = 1, odakle sledi da je eiy tačka kružnice sa centrom ukoordinatnom početku poluprečnika 1. Obrnuto, ako je w tačka jedinǐcne


36/183


kružnice sa centrom u koordinatnom početku i y = arg w, tada je eiy = w.

Prema tome, preslikavanje y → eiy

je bijekcija iz skupa {y : 0 ≤ y


37/183

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 29

π. Važe sledeći osnovni trigonometrijski identiteti, koje ostavljamo čitaocu

za samostalnu proveru:

(sin z )2 + (cos z )2 = 1,

sin(z ± w) = sin z cos w ± cos z sin w,cos(z ± w) = cos z cos w ∓ sin z sin w.

1.5.3 Hiperboličke funkcije

Hiperboličke funkcije definisane su na sledeći način:

ch z =

ez + e−z

2 , sh z =

ez

−e−z

2 , th z =

sh z

ch z , cth z =

ch z

sh z .

Očigledno, hiperboličke funkcije predstavljaju neposredna uopštenja realnihhiperboličkih funkcija. Hiperboličke funkcije su neprekidne na podskupovimaod C na kojima su definisane. Funkcije ch z i sh z su periodične sa periodom2πi, a funkcije th z i cth z su periodične sa periodom πi.

1.5.4 Logaritamska funkcija

Kompleksan broj z ∈ C \ {0} nema jedinstven argument. Preciznije, ako jepoznat jedan argument ϕ broja z , onda se svi ostali argumenti broja z od

razlikuju od broja ϕ za celobrojni umnožak broja 2π. Stoga pridruživanjez → arg z nije preslikavanje u pravom smislu reči. Ako je Arg z glavnavrednost argumenta kompleksnog broja z , odnosno 0 ≤ Arg z 0,

onda je Arg z = 0 i uvedena definicija logaritma kompleksnog broja poklapase sa ranijom definicijom logaritma pozitivnog broja. Nije teško proveritisledeća svojstva:

eLn z = z, z ∈ C \ {0},kao i

Ln ez = z, ako je z = x + iy, 0 ≤ y


38/183


Opštije, ako je z, w ∈ C i ew = z , logaritam kompleksnog broja z definisan je kao

ln z = w.

Ako je z = |z |eiArg z+2kπi, k ∈ Z, onda se svaki broj

wk = ln |z | + i Arg z + 2kπi

može reći da je logaritam broja z , odnosno wk = ln z . Ovako shvaćenopridruživanje z → wk nije preslikavanje, jer jednom broju z odgovara više ra-zličitih bro jeva wk. Prirodnije je pisati z → {wk : k ∈ Z} i ovo pridruživanjese naziva višeznačna funkcija. Jedna (neprekidna) grana ove višeznačne

funkcije jeste lnk z = ln |z | + i Arg z + 2kπi,pri čemu je k konstantna vrednost. Funkcija lnk z je jednoznačna, odnosnofunkcija (preslikavanje) u pravom smislu reči.

1.5.5 Koren kompleksnog broja

Kompleksan broj z je n-ti koren kompleksnog broja a (u oznaci z = n√

a), ako je z n = a. Korenovanje je takod̄e višeznačna funkcija u skupu kompleksnihbrojeva, odnosno svaki kompleksan broj a ̸= 0 ima n različitih korena. Ako jea = |a|e

iArg a

, tada je n-ti koren od a svaki od brojeva z k = n√ |a|eArg a+2kπn , k =

0, ±1, ±2, . . . . Pri tome, samo su n korena med̄usobno različita. Dovoljno je posmatrati n uzastopnih vrednosti za k, na primer k = 1, . . . , n. Piše sen√

a = {z 1, . . . , z n}.


39/183

Glava 2

Topološki i metrički prostori

2.1 Topološki prostori

Neka je X neprazan skup, i neka je τ familija nekih podskupova od X sasvojstvima:

(1) ∅, X ∈ τ ;(2) Ako je V 1, V 2 ∈ τ , onda V 1 ∩ V 2 ∈ τ ;(3) Ako je V i ∈ τ za svako i ∈ I , onda

∪i∈I

V i ∈ τ (indeksni skup I jeproizvoljan).

Tada je τ topologija na X , i (X, τ ) je topološki prostor . Elementi familijeτ jesu otvoreni skupovi .

Na jednom skupu X može biti zadano više različitih topologija. Ako jeto slučaj, onda se svaka topologija mora posebno naglasiti.

Neka je (X, τ ) topološki prostor i F ⊂ X . Skup F je zatvoren , ako isamo ako je X \ F = F c otvoren. Familija svih zatvorenih podskupova od X označava se sa , i ima sledeća svojstva:

(1) ∅, X ∈ ;(2) Ako je F 1, F 2 ∈ , onda F 1 ∪ F 2 ∈ ;(3) Ako je F i

∈ za svako i

∈ I , onda ∩

i∈I F i

∈ (indeksni skup I je

proizvoljan).

Neka je (X, τ X ) topološki prostor i Y ⊂ X . Skup Y postaje topološkiprostor, ako se topologija τ Y definǐse na sledeći način:

Za V ⊂ Y važi: V ∈ τ Y ako i samo ako postoji U ∈ τ X tako da jeV = Y ∩ U .

31


40/183

32 GLAVA 2. TOPOLO ̌SKI I METRI ̌CKI PROSTORI

U ovom slučaju je topologija τ Y indukovana topologijom τ X , i topološki

prostor (Y, τ Y ) je potprostor topološkog prostora (X, τ X ).Topološki prostor X je povezan , ako X nije unija dva disjunktna neprazna

otvorena skupa. Drugim rečima, X je povezan, ako su X i ∅ jedini skupovikoji su istovremeno otvoreni i zatvoreni u X .

Ako je Y ⊂ X , onda Y povezan ako i samo ako je Y povezan u induko-vanoj topologiji τ Y .

Ako je A ⊂ X , onda je cl A zatvorenje skupa A, definisano kaocl A =

{F : F ⊃ A, F ∈ }.

Skup cl A je najmanji zatvoren skup koji sadrži A. Dakle, skup A je zatvoren

ako i samo ako je A = cl A.Unutrašnjost skupa A, označena sa int A, definisana je kao

int A =

{V : V ⊂ A, V ∈ τ }.Skup int A je najveći otvoren skup koji je sadržan u A. Stoga, skup A jeotvoren ako i samo ako je A = int A.

Rub skupa A je skup ∂A = cl A ∩ cl(X \ A).Skup V je okolina tačke a ∈ X , ako je a ∈ int A.Tačka a je izolovana tačka skupa A, ako postoji okolina V tačke a sa

svojstvom V ∩ A = {a}. Skup izolovanih tačaka skupa A označava se saiso A.

Skup svih tačaka nagomilavanja skupa A je acc A = cl A \ iso A.Neka je (X, τ ) toploški prostor, A ⊂ X i Bi ∈ X za svako i ∈ I , pri čemu

je I proizvoljan indeksni skup. Ako je A ⊂ ∪i∈I

Bi, onda je familija (Bi)i∈I

pokrivanje skupa A. Ako je, pri tome, svaki skup Bi otvoren, onda je (Bi)i∈I otvoreno pokrivanje skupa A.

Skup K ⊂ X je kompakt (ili kompaktan skup), ako se iz svakog otvorenogpokrivanja skupa K može izdvojiti konačno pokrivanje skupa K . Preciznije,ako su (V i)i∈I otvoreni skupovi i K ⊂

∪i∈I V i, tada postoje indeksi i1, . . . , in ∈ I

tako da je K ⊂ V i1 ∪ · · · ∪ V in .Skup K je relativno kompaktan , ako je cl K kompaktan.

Neka su (X, τ X ) i (Y, τ Y ) topološki prostori i neka je f : X → Y pres-likavanje. f je neprekidno, ako za svako V ∈ τ Y važi f −1(V ) ∈ τ X . Ekviva-lentno, f je neprekidno preslikavanje ako i samo ako za svako F ∈ Y važif −1(F ) ∈ X .


41/183

2.1. TOPOLO ̌SKI PROSTORI 33

Neprekidnost funkcije je lokalno svojstvo, kao što se vidi iz sledećeg rezul-

tata.Teorema 2.1.1. Neka su (X, τ X ), (Y, τ Y ) topolǒski prostori, i neka je data funkcija f : X → Y . Sledeća tvr ̄ denja su ekvivalentna:

(1) Funkcija f je neprekidna;(2) Za svako x ∈ X i svaku okolinu V tačke f (x), postoji okolina U tačke

x sa svojstvom f (U ) ⊂ V .Dokaz . (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je f : X → Y neprekidna funkcija.Neka je x ∈ X i neka je V okolina tačke f (x) u prostoru Y . Postoji otvorenskup V 1 tako da je f (x) ∈ V 1 ⊂ V . Na osnovu izbora skupa V , kao ineprekidnosti funkcije f sledi: x

∈ U = f −1(V 1)

∈ τ X . Dakle, U je okolina

tačke x sa očiglednim svojstvom f (U ) ⊂ V .(2) =⇒ (1): Pretpostavimo sada da za svako x ∈ X i svaku okolinu

V tačke f (x), postoji okolina U tačke x sa svojstvom f (U ) ⊂ V . Neka jeW ∈ τ Y i z ∈ f −1(W ). Tada je f (z ) ∈ W . Dakle, W je okolina tačkef (z ). Stoga postoji okolina U tačke x sa svojstvom f (U ) ⊂ W . Očigledno jex ∈ U ⊂ f −1(W ), odakle sledi f −1(W ) ∈ τ X .Teorema 2.1.2. Neka su (X, τ X ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) topološki prostori, i neka su f : X → Y i g : Y → Z neprekidne funkcije. Tada je g ◦ f : X → Z neprekidna funkcija.

Dokaz . Neka je V ∈ τ Z . Tada je g−1(V ) ∈ τ Y , a takod̄e i f −1(g−1(V )) ∈ τ X .Sledi da je g ◦ f neprekidna funkcija.Teorema 2.1.3. Ako su X, Y topološki prostori, f : X → Y je neprekidnopreslikavanje, i ako je K kompakt u X , tada je f (K ) kompakt u Y .

Dokaz . Neka je (V i)i∈I otvoreno pokrivanje skupa f (K ) u Y , odnosno

f (K ) ⊂i∈I

V i.

Tada je

K ⊂ f −1(f (K )) ⊂ f −1i∈I

V i

=i∈I

f −1(V i).

Skup K je kompaktan, a skupovi f −1(V i) su otvoreni u X . Prema tome,postoje indeksi i1, . . . , in ∈ I tako da je

K ⊂ f −1(V i1) ∪ · · · ∪ f −1(V in).


42/183


Stoga je

f (K ) ⊂ f (f −1(V i1) ∪ · · · ∪ f −1(V in)) = V i1 ∪ · · · ∪ V in .Dakle, proizvoljno otvoreno pokrivanje skupa f (K ) svedeno je na konačnopokrivanje, odakle sledi da je f (K ) kompakt u Y .

Teorema 2.1.4. Ako su X, Y topološki prostori, X je povezan i f : X → Y je neprekidno preslikavanje, onda je f (X ) povezan skup u Y .

Dokaz . Ako je f : X → Y neprekidno preslikavanje, tada je i redukcijaf : X → f (X ) neprekidno preslikvanje. Dakle, bez gubljenja opštosti pret-postavljamo da je f preslikavanje ”na“.

Neka je f (X ) = Y . Pretpostavimo da Y nije povezan skup. Onda jeY = A ∪ B , pri čemu su A, B otvoreni i uzajamno disjunktni skupovi uY . Tada je X = f −1(A) ∪ f −1(B). Skupovi f −1(A) i f −1(B) su otvoreni iuzajamno disjunktni, odakle sledi da X nije povezan.

Topološki prostor (X, τ ) je Hausdorfov 1, ako za svake dve tačke x, y ∈ X postoje otovreni skupovi U, V ∈ τ , tako da je x ∈ U , y ∈ V i U ∩ V = ∅,

2.2 Metrički prostori

Neka je (X, d) metrički prostor , što znači da postoji funkcija d : X ×

X →[0, +∞) koja je metrika , odnosno zadovoljava uslove (za svako x, y,z ∈ X ):

(1) d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;(2) d(x, y) = d(y, x);(3) d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y) (nejednakost trougla).Velǐcina d(x, y) je rastojanje izmed̄u tačka x, y ∈ X .U metričkom prostoru X definišu se otvorena kugla , zatvorena kugla i

sfera sa centrom u tački a ∈ X poluprečnika r > 0, redom, na sledeći način:B(a; r) = {x : d(x, a) < r}, B[a; r] = {x : d(x, a) ≤ r},

S (a; r) =

{x : d(x, a) = r

}.

Niz tačaka (xn)n metričkog prostora X konvergira ka tački a ∈ X , akolimn→∞

d(xn, a) = 0 u R, i oznaka je limn→∞

xn = a. Drugim rečima, limn→∞

xn = a

1Felix Hausdorff (1868-1942), nemački matematičar


43/183

2.2. METRI ̌CKI PROSTORI 35

ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 važid(xn, a) < ϵ. U tom slučaju je a granična vrednost niza (xn)n. Ako niz nekonvergira, onda divergira .

Ako niz konvergira, onda ima tačno jednu grančnu vrednost.

Niz tačka (xn)n metričkog prostora X je Košijev , ako za svako ϵ > 0postoji n0 ∈ N, tako da za svako n, m ≥ n0 važi d(xn, xm) < ϵ.

Ako postoji a ∈ X i postoji R > 0, tako da za svako n ∈ N važi xn ∈B(a; R), onda je niz (xn)n ograničen.

Teorema 2.2.1. Svaki Košijev niz (xn)n metričkog prostora X je ogranǐcen.

Jednostavno je proveriti da svaki konvergentan niz jeste Košijev. Med̄utim,obrnuto tvrd̄enje ne važi uvek.

Metrički prostor (X, d) je kompletan , ako u ovom prostoru svaki Košijevniz jeste konvergentan.

Skup V ⊂ X je otvoren u metričkom prostoru X u odnosu na metrikud, ako za svako a ∈ V postoji r > 0 tako da je B(a; r) ⊂ V . Familija svihotvorenih skupova u metričkom prostoru (X, d) čini topologiju τ d. Topologijaτ d je indukovana metrikom d na prostoru X .

Svaki metrički prostor (X, d) je Hausdorfov topološki prostor. Neka je,recimo, x, y ∈ X i x ̸= y . Tada je d = d(x, y) > 0. Neka je U = B (x; r/3) iV = B(y; r/3). Skupovi U, V su otvoreni i važi x

∈ U , y

∈ V , U

∩V =

∅.

Teorema 2.2.2. Neka je X metrički prostor i E ⊂ X . Sledeća tvr ̄ denja su ekvivalentna:

(1) Skup E je zatvoren;(2) Za svaki niz (xn)n iz E važi implikacija: ako je lim

n→∞xn = a, onda je

a ∈ F .

Skup K je nizovno kompaktan u metričkom prostoru X , ako i samo akoza svaki niz (xn)n iz K postoji konvergentan podniz (xnk)k koji konvergiranekoj tački a

∈ K , tj. lim

k→∞xnk = a

∈ K .

Teorema 2.2.3. (Hajne-Borel2-Lebeg3) Skup K u metričkom prostoru X je kompaktan, ako i samo ako je skup K nizovno kompaktan.

2F̀elix Èdouard Justin Èmile Borel (1871-1956), francuski matematičar3Henri Lèon Lebesgue (1875-1941), francuski matematičar


44/183


Posledica ove teoreme jeste da svaki kompaktan skup u metričkom pros-

toru mora biti zatvoren. Važi i opštiji rezultat: ako je X Hausdorfov topološkiprostor, i ako je K kompaktan skup u X , onda je X zatvoren.

Skup K je totalno ograničen u metričkom prostoru X , ako za svako ϵ > 0posto je tačke x1, . . . , xn ∈ K , tako da je

K ⊂ni=1

B(xi; ϵ).

Teorema 2.2.4. Ako je skup K relativno kompaktan u metričkom prostoru X , onda je K totalno ograničen.

Ako je metrički prostor X kompletan, i ako je skup K totalno ograničen

u X , tada je K relativno kompaktan u X .

Za kompaktne skupove vǎzi Lebegova teorema o pokrivanju.

Teorema 2.2.5. Neka je K kompaktan skup u metričkom prostoru X . Ako je K ⊂ ∪

i∈I V i otvoreno pokrivanje skupa K , onda postoji δ > 0 tako da za

svako x ∈ K postoji i ∈ I sa osobinim B(x; δ ) ⊂ V i.Dokaz . Pretpostavimo suprotno: neka je K ⊂ ∪

i∈I V i otvoreno pokrivanje

kompakta K , tako da za svako n ∈ N postoji tačka xn ∈ K sa svojstovm dakugla B

(xn;

1

n

nije podskup ni jednog skupa V i. Skup K je kompaktan, istoga postoji podniz (xnk)k sa svojstvom limk→∞

xnk = y ∈ K . Postoji i1 ∈ I tako da je y ∈ V i1. Stoga postoji ϵ > 0 tako da je B(y; ϵ) ⊂ V i1. Postojik1 ∈ N tako da za svako k ≥ k1 važi xnk ∈ B

(y; ϵ

2

. Kako je lim

k→∞nk = +∞

i za svako k ∈ N važi nk ≤ nk+1, sledi da postoji ℓ ∈ N sa svojstvomnℓ ≥ max

nk1,

2ϵ

. Primetimo da je ℓ ≥ k1. Neka je δ = 1nℓ .

Neka je z ∈ B(xnℓ ; δ ). Tada je

d(y, z ) ≤ d(y, xnℓ) + d(xnℓ, z ) ≤ ϵ

2 +

1

nℓ< ϵ.

Dakle, B(xnℓ; δ ) ⊂ V i1. Dobijeni rezultat je kontradiktoran sa izborom niza(xn)n.

Neka je (xn)n niz tačaka u metričkom prostoru X , i neka je (rn)n nizpozitivnih brojeva. Ako je

K [x1, r1] ⊃ K [x2, r2] ⊃ · · ·


45/183

2.2. METRI ̌CKI PROSTORI 37

i limn

→∞

rn = 0, tada je K n = K [xn, rn] niz monotono opadajućih zatvorenih

kugli, čiji poluprečnici teže ka nuli.Formulišemo važnu karakterizaciju kompletnih metričkih prostora.

Teorema 2.2.6. (Kantor) Metrički prostor X je kompletan, ako i samo akoza svaki niz (K n)n monotono opadajućih zatvorenih kugli, čiji poluprečnici teže nuli, važi

∩n

K n = {a} za neko a ∈ X .

Jednostavno je utvrditi da u prostoru C umesto zatvorenih kugli možemou prethodno j teoremi uzeti niz zatvorenih trouglova (ili pravougaonika) čijidijametri teže nuli.

Formulišemo sledeće tvrd̄enje, i ostavljamo dokaz čitaocu za vežbu.Teorema 2.2.7. Ako je (X, d) metrički prostor, tada je funkcija d1, defini-

sana kao d1(x, y) = d(x,y)1+d(x,y)

, tako¯ de metrika na X .

Skup V (⊂ X ) je otvoren u odnosu na metriku d, ako i samo ako je V otvoren u odnosu na metriku d1.

Niz (xx)n je Košijev u odnosu na d, ako i samo ako je (xn)n Košijev u odnosu na d1.

Neka je (X n, dn) niz metričkih prostora i neka je

X =∞

n=1

X n

.

Drugim rečima x = (xn)n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈N važi xn ∈ X n.Za x = (xn)n ∈ X i y = (yn)n ∈ X definǐsemo

d(x, y) =∞n=1

1

2

n dn(xnyn)1 + dn(xn, yn)

.

Na osnovu poredbenog kriterijuma za brojne redove, sledi da je funkcijad dobro definisana.

Teorema 2.2.8. Ako je d prethodno uvedena funkcija, tada je ∞∏n=1

X n, d

metrički prostor.

Ako je (xk)k = ((xkn)n)

k niz u prostoru (X, d), tada je limk→∞

xk = a =

(an)n ∈ X ako i samo ako za svako n ∈N važi limk→∞

xkn = an.

Ako su svi prostori (X n, dn) kompaktni, tada je (X, d) kompaktan prostor.


46/183


2.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija

U ovoj sekciji razmatraju se osobine neprekidnih funkcije na topološkim imetričkim prostorima.

Definicija 2.3.1. Neka je (X, τ ) toploški prostori, i neka je (Y, d) metričkiprostor. Neka je (f n)n niz funkcija iz X u Y , i neka je f : X → Y .

Niz (f n)n konvergira ka f na skupu X , ako za svako x ∈ X i svako ϵ > 0postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 važi d(f n(x), f (x)) < ϵ. Oznaka jelimn→∞

f n(x) = f (x) za svako x ∈ X . Ova konvergencija se naziva obična ilitačkasta konvergencija niza funkcija.

Niz fukcija (f n)n ravnomerno (uniformno) konvergira ka f na skupu X ,

ako svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako x ∈ X i za svako n ≥ n0važi d(f n(x), f (x)) < ϵ. Oznaka je lim

n→∞f n = f .

Jednostavno je proveriti da iz ravnomerne konvergencije niza funkcijana nekom skupu sledi obična konvergencija polaznog niza ka istoj graničnojvrednosti. Obrnuto tvrd̄enje ne važi.

Ako je (X, τ ) topološki prostor i (X, d) metrički prostor, onda je C (X, Y )skup svih neprekidnih funkcija iz X u Y .

Definicija 2.3.2. Neka su X, Y metrički prostori. Funkcija f : X → Y jeravnomerno (uniformno) neprekidna na X , ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0,

tako da za svako x, y ∈ X važi implikacijad(x, y) < δ =⇒ d(f (x), f (y)) < ϵ.

Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija, onda je f neprekidna funkcija.Obrnuto tvrd̄enje ne mora biti tačno.

Teorema 2.3.1. Neka su X, Y metrički prostori. Ako je f : X → Y neprekidna funkcija, i ako je X kompaktan skup, tada je f ravnomernoneprekidna na X .

Dokaz . Neka je f : X → Y neprekidna funkcija na X , x ∈ X i ϵ > 0.Tada postoji δ x,ϵ > 0 tako da za svako y

∈ B(x; δ x,ϵ) važi d(f (x), f (y)) <

ϵ

2

.

Očigledno je X = ∪x∈X

B

x; δx,ϵ2

otvoreno pokrivanje kompakta X , koje se

može svesti na konačno pokrivanje. Sledi da postoje tačke x1, . . . , xn ∈ X ,tako da je

X = B

x1;

δ x1,ϵ2

∪ · · · ∪ B

xn;

δ xn,ϵ2

.


47/183

2.3. KONVERGENCIJE NIZOVA NEPREKIDNIH FUNKCIJA 39

Neka je δ = min{δ x1,ϵ, . . . , δ xn,ϵ}. Posmatrajmo proizvoljne x, y ∈ X za kojevaži d(x, y) < δ2 . Postoji xi, tako da je x ∈ B xi, δxi,ϵ2 , odakle sledi da je

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) ≤ δ 2

+ δ xi,ϵ

2 ≤ δ xi,ϵ.

Stoga jed(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), f (xi)) + d(f (xi), f (y)) < ϵ.

Time dokazujemo da je f ravnomerno neprekidna na X .

Teorema 2.3.2. Neka je (X, τ ) topološki prostor, i neka je (Y, d) metrǐcki prostor. Ako je (f n)n niz funkcija u C (X, Y ) koji ravnomerno konvergira ka

funkciji f na skupu X , onda je f ∈ C (X, Y ).Dokaz . Dokazujemo da je f neprekidna funkcija. Neka je ϵ > 0. Tadapostoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 i svako x ∈ X važi d(f (x), f n(x)) < ϵ.Funkcija f n je neprekidna. Skup B(f n(x); ϵ) je okolina tačke f (x) u Y . Stogapostoji V (x) okolina tačke x u X , tako da je f n(V (x)) ⊂ B(f (x); ϵ).

Tada za y ∈ V (x) i n ≥ n0 važi:d(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), f n(x)) + d(f n(x), f n(y)) + d(f n(y), f (y)) < 3ϵ.

Sledi da je f neprekidna u proizvoljnoj tački x ∈ X .

Teorema 2.3.3. Neka je (X, τ ) kompaktan topolǒski prostor. Ako je f ∈C (X,R), tada postoje x1, x2 ∈ X tako da je f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) za svakox ∈ X . Drugim rečima, neprekidna funkcija na kompaktu dostiže svoj mini-mum i svoj maksimum.

Dokaz . f je neprekidno preslikavanje, X je kompaktan prostor, te je f (X )kompaktan skup u R. Dakle, postoje m = min f (X ) i M = max f (X ) ∈ R.Samim tim, postoje tačke x1, x2 ∈ X tako da je m = f (x1) i M = f (x2).Teorema 2.3.4. Ako je (X, τ ) kompaktan topološki prostor i (Y, d) metrǐcki prostor, tada je sa

d∞(f, g) ≡ dX ∞(f, g) = maxx∈X d(f (x), g(x)), f, g ∈ C (X, Y ),data metrika u skupu C (X, Y ).

Pri tome, niz funkcija (f n)n prostora C (X, Y ) konvergira ka nekoj funkciji f u smislu metrike d∞, ako i samo ako (f n)n konverira ka f ravnomerno na X .


48/183


Dokaz . Za svako y ∈ X funkcija x → d(x, y) je neprekidna po x ∈ X .Funkcije f , g su neprekidne, te je maksimum neprekidne funkcije

x → d(f (x), g(x))

dostignut na kompaktu X . Dakle, d∞(f, g) ∈ [0, +∞).Ako su f, g neprekidne funkcije i f (x0) ̸= g(x0), tada se ove dve funkcije

razlikuju u nekoj kugli sa centrom u x0. Time se dokazuje svojstvo metriked(f, g) = 0 ako i samo ako je f = g na X .

Jednostavno je dokazati simetričnost i nejednakost trougla za d∞.Takod̄e je jednostavno proveriti da je konvergencija niza funkcija (f n)n u

C (X, Y ) u smislu metrike d∞

ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji niza

(f n)n na skupu X .

Teorema 2.3.5. Neka je (X, τ ) kompaktan topološki prostor i neka je (Y, d)kompletan metrički prostor. Tada je (C (X, Y ), d∞) kompletan metrički pros-tor.

Dokaz . Neka je (f n)n Košijev niz u (C (X, Y ), d∞), i neka je ϵ > 0. Tadapostoji n0 ∈ N tako da za svako n, m ≥ n0 važi d∞(f n, f m) < ϵ. Neka jex ∈ X proizvoljna tačka. Tada za n, m ≥ n0 važi

d(f n(x), f m(x))

≤ d

∞(f n, f m) < ϵ. (2.1)

Dakle, (f n(x))n je Košijev niz u kompletnom metričkom prostoru Y . Stogapostoji y ∈ Y tako da je lim

n→∞f n(x) = y. Definišimo funkciju f kao f (x) := y.

Tačka x ∈ X je izabrana proizvoljno, te sledi da je funkcija f : X → Y dobrodefinisana. U nejednakosti (2.1) neka m teži ka +∞. Nameće se sledećizaključak: za svako ϵ > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 i za svakox ∈ X važi d(f n(x), f (x)) ≤ ϵ. Dakle, niz (f n)n ravnomerno konvergira kaf . Kako je X kompaktan topološki prostor, iz neprekidnosti svih funkcija f nsledi neprekidnost funkcije f na X . Kako je konvergencija u smislu metriked∞ ekvivalentna ravnomernoj konvergenciji, teorema je dokazana.


49/183

Glava 3

Analitičke funkcije

3.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije

3.1.1 Izvod funkcije

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke z 0 ∈ C. Granična vrednost(ukoliko postoji)

limz→z0

f (z ) − f (z 0)z − z 0 = f

′(z 0)

naziva se izvod funkcije f u tački z 0. U tom slučaju je funkcija f diferencijabilna u tački z 0.

Funkcija f je diferencijabilna u otvorenom skupu V ⊂ C, ako je f difer-encijabilna u svakoj tački skupa V .

Neka je ∆z = z − z 0 i ∆f (z 0) = f (z 0 + ∆z ) − f (z 0). Tada je

f ′(z 0) = lim∆z→0

∆f (z 0)

∆z .

Stoga, f ′(z 0) postoji ako i samo ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako davaži implikacija:

0


50/183

42 GLAVA 3. ANALITI ̌CKE FUNKCIJE

Pri tome je o(∆z ) beskonačno mala veličina višeg reda od ∆z kada ∆z teži

nuli, odnosnolim

∆z→0o(∆z )

∆z = 0.

Ako ∆z → 0 u (3.1), neposredno sledi lim∆z→0

∆f (z 0) = 0, odnosno funkcija

f je neprekidna u tački z 0. Dakle, iz diferencijabilnosti funkcije f u tački z 0sledi neprekidnost funkcije f u tački z 0.

Sa druge strane, ako postoji neki kompleksan broj A, tako da važi

∆f (z 0) = A∆z + o(∆z ), (3.2)

onda je funkcija f diferencijabilna u tački z 0 i tada je A = f ′(z 0). Naime,

ako (3.2) važi, onda je∆f (z 0)

∆z = A +

o(∆z )

∆z ,

odakle, prelaskom na graničnu vrednost kada ∆z → 0, sledi da je A = f ′(z ).Primer 3.1.1. Funkcija f (z ) = z n (n ∈ N) je diferencijabilna u svakoj tačkiz ∈ C. Pri tome je (z n)′ = nz n−1.Dokaz . Na osnovu binomne formule, sledi da vǎzi

lim

∆z→0

(z + ∆z )n − z n

∆z

= lim

∆z→0

nz n−1∆z + o(∆z )

∆z

= nz n−1.

Dokazujemo sledeću teoremu o pravilima diferenciranja.

Teorema 3.1.1. (1) Ako su funkcije f i g diferencijabilne u tački z 0, onda je njihova suma, razlika i proizvod diferencijabilna funkcija u tački z 0. Ako je g(z 0) ̸= 0, onda je i količnik f /g diferencijabilna funkcija u tački z 0. Ako je c proizvoljan kompleksan broj, onda je i c · f diferencijabilna funkcija u tački z 0. Pri tome važi:

(f ± g)′(z 0) = f ′(z 0) ± g′(z 0), (c · f )′(z 0) = c · f ′(z 0),(f g)′(z 0) = f ′(z 0)g(z 0) + f (z 0)g′(z 0),

f

g

′(z 0) =

f ′(z 0)g(z 0) − f (z 0)g′(z 0)(g(z 0))2

(g(z 0) ̸= 0).

(2) Ako je funkcija z → f (z ) definisana u okolini tačke z 0 i diferencija-bilna u tački z 0, a funkcija w → F (w) definisana u okolini tačke w0 = f (z 0) i


51/183

3.1. DIFERENCIJABILNE (HOLOMORFNE) FUNKCIJE 43

diferencijabilna u tački w0, onda je funkcija z → Φ(z ) = F (f (z )) definisana u okolini tačke z 0 i diferencijabilna u tački z 0, pri čemu je

Φ′(z 0) = F ′(w0)f

′(z 0) = F ′(f (z 0))f

′(z 0).

Dokaz . (1) Neka je z ∈ D(z 0; r), z ̸= z 0, i neka su funkcije f, g diferencijabilneu tačk

kompleksna analiza.pdf

Documents