kuliah 9c spl

Download Kuliah 9c Spl

Post on 25-Nov-2015

9 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (1/1)

    Modul 2:

    Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) dengan Metode Eliminasi Gauss dan variannya

    Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau dikenal juga sebagai Persamaan Aljabar Linier Serempak banyak sekali dijumpai dalam perhitungan-perhitungan teknik kimia yang melibatkan solusi numeris. Beberapa metode solusi yang melibatkan solusi SPAL, di antaranya dalah: solusi Sisten Persamaan Aljabar Non-Linier (SPANL), solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB), solusi persamaan Diferensial Parsial (PDP), Regresi Linier dan Non-Linier, dll.

    Dalam modul ini, para mahasiswa S2 akan diajak terlebih dahulu untuk membaca ulang (review) secara ringkas dan cepat tentang beberapa pengertian dasar skalar, vektor, matriks, dan sistem persamaan linier. Pengulangan ini sangat diperlukan mengingat banyak di antara peserta ajar S2 yang sudah terlupa dengan materi-materi kuliah matematik yang pernah diikutinya. Di samping itu juga, para pembaca diajak untuk memahami secara praktis tentang konsep-konsep pemahaman dalam aljabar linier yang diimplementasikan dalam metode numerik.

    Setelah pengulangan tentang aljabar numeris, para pembaca diajak secara ringkas untuk memahami konsep-konsep perhitungan numeris yang berhubungan dengan metode-metode Eliminasi Gauss dan Pivot Gauss. Kemudian, lebih jauh lagi diajak untuk melakukan analisis numerik dalam solusi-solusi Dekomposisi LU dan Matriks Tri-Diagonal.

    A. Skalar, Vektor, Matriks dan SPAL (a). Skalar atau konstanta didefinisikan sebagai suatu obyek tunggal (berdimensi nol), baik bilangan nyata (R, real) ataupun

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (2/2)

    bilangan kompleks (C, complex) yang daripadanya dapat dilakukan sembarang operasi aritmatika/aljabar secara linier, seperti: penambahan (adisi), pengurangan (substraksi), perkalian (multiplikasi), pembagian (divisi), perpangkatan (eksponen), dsb.

    Dalam prakteknya, besaran skalar dapat dibagi atas 2 bagian besar dalam domain bilangan, yaitu:

    k = R, suatu skalar dalam bidang bilangan nyata,

    z = C, suatu skalar dalam bidang bilangan kompleks.

    (b). Vektor atau ruang vektor V adalah suatu set (sekumpulan) obyek berupa skalar (berdimensi satu) yang kepadanya dapat dilakukan operasi-operasi skalar spesifik berupa penambahan vektor (vector addition) dan perkalian skalar (scalar multiplication). Operasi-operasi tersebut harus memenuhi aturan-aturan baku, berupa: asosiatif, komutatif, dan distributif.

    V = Rn, suatu set skalar dalam bidang bilangan nyata dengan jumlah anggota sebanyak n buah, atau

    V =

    nv

    vv

    M2

    1

    , merupakan vektor horizontal, sedangkan

    H = [ ]nhhh L21 , merupakan vektor horisontal, ZZ = Cn, suatu set skalar dalam bidang bilangan kompleks

    dengan jumlah anggota sebanyak n buah.

    (c). Matriks didefinisikan sebagai suatu set vektor yang tersususn sedemikian rupa sehingga tebentuk kumpulan bilangan dengan pola persegi-empat, atau berorder m (baris) x n (kolom) (berdimensi dua).

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (3/3)

    A =

    nnnn

    n

    n

    aaa

    aaaaaa

    ,2,1,

    ,22,21,2

    ,12,11,1

    L

    MMM

    L

    L

    Dalam sistem linier, pada umumnya hanya digunakan matriks-matrik bujur-sangkar sehingga secara sederhana: order matriks identik dengan jumlah persamaan. Lambang matriks selalu dituliskan dalam huruf besar (capital), sedangkan elemen-elemennya dituliskan dalam huruf kecil seperti dalam penulisan matriks A di atas. (d). Sistem persamaan linier, dalam modul ini digunakan istilah SPAL (Sistem Persamaan Aljabar Linier) yang didefinisikan sebagai suatu set persamaan-persamaan aljabar yang variabel-variabelnya berpangkat tunggal (linier) dengan notasi berikut:

    =+++==+++=+++=+++

    Mnnnnn

    nn

    nn

    nn

    bxaxaxa

    bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

    ,22,11,

    3,322,311,3

    2,222,211,2

    1,122,111,1

    .........

    ...

    ......

    sedemikian rupa sehingga persamaan di atas dapat dituliskan dalam notasi berikut:

    [ ] [ ] [ ]bxA = atau

    =

    nnnnnn

    n

    b

    bb

    x

    xx

    aaa

    aaaaaa

    .........

    ..................

    2

    1

    2

    1

    ,2,1,

    1,22,21,2

    ,12,11,1

    SPAL di atas memiliki n buah variabel atau bilangan anu (xj, j = 1, 2,, n) yang identik dengan jumlah persamaannya. Koefisien-

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (4/4)

    koefisien xi,j, (x1,1 . . . xn,n) merupakan konstanta (diketahui), demikian juga bi (b1 . . . bn) yang dikenal sebagai vektor ruas kanan (VRK ). Menurut konvensi : indeks pertama dari elemen ai,j menyatakan baris (= i) sedangkan indeks kedua menyatakan kolom (= j). Agar solusi SPAL di atas dapat diperoleh, maka persayaratan (teorema) berikut harus dipenuhi:

    1. A x = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b V, 2. A x = b hanya mempunyai satu solusi x V untuk setiap b

    V, 3. Jika A x = 0, berarti x = 0, 4. A-1 atau inversi dari matriks A ada, 5. Determinan(A) 0, 6. Rank(A) = n, atau matriks A berorder n.

    Seperti telah dijelaskan di atas, matriks A merupakan matriks bujur sangkar. Bila teorema di atas tak terpenuhi, maka akan terjadi kombinasi linier (akan mengakibatkan persamaan aljabar di atas bersifat SINGULAR ). Kombinasi Linier :

    per baris, cukup hanya 2 baris yang menyebabkannya,

    per kolom, bila semua baris yang menyebabkanya.

    B. Solusi SPAL secara numeris Solusi SPAL secara numeris umumnya selalu (harus) lebih efisien dan cepat dibandingkan dengan metode-metode analitis, seperti metode Cramer. Namun demikian, solusi numerik ini secara teknis adakalanya juga berkendala, karena:

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (5/5)

    ada beberapa persamaan yang mendekati kombinasi linier, akibat adanya round off error dari mesin penghitung pada suatu tahap perhitungan

    adanya akumulasi round off error pada proses komputasi akan berakibat domain bilangan nyata (fixed point) dalam perhitungan akan terlampaui (overflow), biasanya akibat dari jumlah persamaan yang terlalu besar

    Metode-metode solusi numerik yang banyak dipakai, dapat diklasifikasikan sebagai:

    a. Metode Langsung

    Eliminasi Gauss (EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas, dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution). Metode Eliminasi Gauss ini secara ringkas dibahas pada Paragraf C.

    Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks. Metode ini tidak dibahas lebih lanjut dalam pelajaran ini.

    Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas kanan). Metode ini secara lebih jelas akan dibahas pada Paragraf F, khusus tentang metode-metode dekomposisi LU dan teknik komputasinya.

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (6/6)

    Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG), prinsipnya merupakan solusi SPAL dengan bentuk matrik pita (satu diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu diagonal atas) pada matriks A. Metode ini akan dibahas lebih lanjut pada Paragraf K.

    b. Metode Tak-Langsung (Metode Iteratif)

    Metode Jacobi, prinsipnya: merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi berurutan, successive substitution),

    Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip metode Jacobi, namun melibatkan perhitungan implisit,

    Metode Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya: merupakan perbaikan secara langsung dari Metode Gauss-Seidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktor pembobot) pada setiap tahap/proses iterasi.

    Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada umunya sangat tidak efisien dan time consuming (memerlukan CPU-time) yang jauh lebih besar dari metode langsung. Metode ini dapat dilihat dan dipelajari pada buku-buku numerik yang ada di perpustakaan atau toko buku.

    C. Algoritma Solusi SPAL dengan Metode Eliminasi Gauss Langkah #1: Pilih harga )1(1,1a sedemikian rupa yang tidak

    berharga nol. Tentukan pengali baris sebagai berikut:

    )1(1,1

    )1(1,1, aam ii = ; i = 2,3,,n

    Kemudian, konstanta-konstanta pengali baris (m) di atas digunakan untuk melakukan eliminasi term-term 1x pada persamaan-persamaan 2 sampai ke-n, seperti berikut:

  • Seri Matematika Terapan untuk S2

    Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 Solusi Sistem Persamaan