kvantum renormálási csoporta -...
TRANSCRIPT
Kvantum renormálási csoporta
Nagy Sandor , Polonyi Janos, Steib Imola
Debreceni Egyetem, Elmeleti Fizikai Tanszek
Szeged, 2016. augusztus 25.
aS. Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Quantum renormalization group, Phys. Rev. D 93 (2016) 025008.
Motiváció
• A renormálási csoport módszerrel szisztematikusan távolíthatjuk el az UV módusokat.
• A kvantumelméletben a módusok eliminálása kevert állapotokat generál.
• A szokásos in-out formalizmusban a kezdeti- és végállapot tiszta allapot, és az
elimináció során csak tiszta állapotaink vannak.
• Az in-in vagy CTP formalizmus alkalmas a kevert allapotok figyelembe vételére.
• A kevert állapotok járuléka adhat
• új fázisokat,
• új fixpontokat,
• új releváns kölcsönhatásokat,
• lehetoséget nyílt rendszerek tárgyalására
alapveto modelleknél is.
Renormálási csoport módszer• A funkcionális renormálási csoport (RG) módszer segítségével kvantumtérelméleti
modellek nemperturbatív vizsgálatát végezhetjük el.
• Az RG módszer hidat képez a modell ismert nagyenergiás (UV), és keresett, alacsony
energiás (IR) leírása között
A pályaintegrál elvégése során a csatolásokat feloltoztetik az o kvantum fluktuációból származó
korrekcióival. A vákum-vákuum átmeneti amplitúdó (a generáló funkcionál) alakja:
Z[j] =
∫
Dφei~Sk+
i~jφ ≡
∫
dφ0 . . . dφk−∆kdφkdφk+∆k . . . dφ∞ei~Sk+
i~jφ
A pályaintegrált úgy végezzük el, hogy egyesével eltávolítjuk a szabadsági fokokat (módusokat,
kvantumfluktuációkat).
(IR) 0← k k →∞ (UV)
gk−∆kgk
gk+∆k
k−∆k k k+∆k
A CTP formalizmusSkaláris elméletek generáló funkcionálja:
Z[j+, j−] = Tr[U(tf , ti; j+)ρiU
†(tf , ti;−j−)] =
∫
D[φ]ei~S[φ]+ i
~
∫dxjxφx .
Bevezettük a φ = (φ+, φ−) CTP dubletteket; a hatás alakja S[φ] = S0[φ] + Si[φ+]− Si[φ
−].
A csupasz CTP integrál alakja
ei~Si[φ] =
∫
D[χ]ei2~
∫dxdyχxKx,y χy−
∫dx[UB(φ+
x +χx)−UB(φ−
x +χx)],
ahol a χ UV módusokra integrálunnk, melyek impulzusa k < |p|. A K jelöli a szabad inverz
CTP propagátort:
K =
Kn + iKi Kf − iKi
−Kf − iKi −Kn + iKi
, Knp = p2 −m2, Kf
p = iǫsign(p0), Kip = iǫ.
Az UB(φ) jelöli a csupasz potenciált, a Taylor sorfejtett alakja:
UB(φ) =
∞∑
n=2
gB2n
(2n)!φ2n.
CTP Feynman diagrammok
Z[j+, j−] = Tr[U(tf , ti; j+)ρiU
†(tf , ti;−j−)].
A Feynman gráfokban szereplo vonalak a szabad CTP propagátor diagonális vagy
nem-diagonális elemeihez tartoznak. Típusok:
1. homogén gráfok: a vonalak és a vertexek ugyanahhoz a térváltozóhoz tartoznak
2. inhomogén gráfok: azok a gráfok, amelyek külso lábai vagy a φ+ vagy a φ−
térváltozóhoz tartoznak, a vertexek vegyesek
3. valódi CTP gráfok: a külso lábak mindkét térváltozóhoz tartoznak
• O(φ+3φ−5) rendu gráf, a szaggatott vonal a D+− nem-diagonális propagátor elemhez
tartozik.
• Az IR és az UV módusok közötti kölcsönhatás magasabb rendu gráfoknál könnyebben
megvalósulhat.
BlokkosításA blokkosított hatást úgy kapjuk meg, hogy a k skálát infinitezimális lépésenként csökkentjük,
k → k −∆k. A blokkosítási lépés a k − dk < |p| < k impulzushéjhoz tartozó rendszer
módusokat viszi át a környezetbe. A blokkosítás után a hatás alakja:
ei~Sk−∆k [φ] =
∫
D[χ]ei~Sk[φ+χ].
• rendszer módusok: φ→ |p| < k −∆k
• környezet módusok: χ→ k −∆k < |p| < k
A hatást S = S1 + S2 alakban keressük, ahol S1 tartalmazza a lokális potenciált:
S1[φ] =1
2
∫
dxdyφxKdx,yφy −
∫
dx[U(φ+x )− U(φ−
x )],
Az S2 tagról feltesszük, hogy bilokális:
S2[φ] = −
∫
dxdyVx−y(φx, φy),
aholVx−y(φ, φ
′) =∑
σ,σ′
∑
mn≥3
1
m!n!φσmv
σ,σ′
m,n,x−yφ′σ′n.
Fa-szintu evolúcióAhhoz, hogy megkapjuk a nyeregpontot, meg kell oldanunk a mozgásegyenletet adott φx-nél
χx-re. Elegendo a linearizált egyenletekkel dolgoznunk, mert a magasabb rendu tagok O(∆kn)
renduek.
A linearizált mozgásegyenlet:
D−1χ = L,
ahol (D−1)σ,σ′
= (D−10 )σ,σ
′
− δσ,σ′
σU ′′(φσ), és bevezetjük a
Lσx = σU ′(φσ
x)− 2
∫
dy∂φσxVx−y(φx, φy)
kifejezést. A megoldást visszahelyettesítjük a Sk[φ+ χ] hatásba. Felhasználva, hogy
Sk−∆k = Sk +∆Sk , azt kapjuk, hogy
Sk − Sk−∆k =∆k
2
∫
dxdyLxD(k)x−yLy,
ahol bevezettük a
D(k)x−y =
∫
d4q
(2π)4δ(|q| − k)Dqe
−i(x−y)q
környezeti propagátort.
Fa-szintu evolúcióA hatás feltételezett alakja miatt használhatjuk a
Lσx → Lσ
x = σU ′(φσx)− 2
∫
dyWσx−y(φy)
közelítést. Bevezettük a
Wσx−y(φ) = ∂φ′σ
xVx−y(φ
′, φ)|φ′=0
mennyiséget. A kapott evolúciós egyenlet alakja:
dS
dk=
1
2
∫
dxdy ˆLxD(k)x−y
ˆLy
=1
2
∑
σ,σ′
∫
dxdy
[
σU ′(φσx)D
(k)σ,σ′
x−y σ′U ′(φσy )
−4
∫
dzWσz−x(φx)D
(k)σ,σ′
z−y σ′U ′(φσy )
+4
∫
dzdz′Wσz−x(φx)D
(k)σ,σ′
z−z′Wσ′
z′−y(φy)
]
.
Fa-szintu evolúcióImpulzustérben az evolúciós egyenlet alakja vezeto rendben:
dS
dk=
1
2
∫
dd+1q
(2π)d+1σ[U ′(φσ)]−qD
(k)σ,σ′
q σ′[U ′(φσ)]q
• A fa-szintu evolúció járulékai függetlenek különbözo k értékekre.
• A lokális potenciál fa-szinten nem fejlodik, azaz U(φ) = UB(φ).
• A k integrál elvégzése után a bilokális potenciál alakja:
Vx−y(φx, φy) = −1
2
∑
σ,σ′
σσ′U ′(φσx)D
(k,Λ)σσ′
x−y U ′(φσ′
y ),
ahol
D(k,Λ)x−y =
∫
dd+1q
(2π)d+1Θ(|q| − k)Θ(Λ− |q|)Dqe
−i(x−y)q
a propagátor, amely minden eliminált módus járulékát tartlamazza.
Eredmények
A bilokális csatolások fa-szintu evolúciója:
vσ,σ′
m,n,x−y = gm+1gn+1σD(k,Λ)σ,σ′
x−y σ′.
• A bilokális csatolások evolúcióját a lokális csatolások indítják be.
• A kevert állapotok megjelenéséhez m,n ≥ 3 indexekkel rendelkezo bilokális csatolások
kellenek.
• Fa-szinten a bilokális csatolások q-függetlenek.
• A σ = σ′ CTP indexszel jellemzett tagok a hagyományos egyidotengelyes
formalizmusban is megjelennek.
• A (σ = −σ′) nem-diagonális tagok adják a kevert állapotok járulékát.
• A nem-diagonális elemek írják le az IR-UV módusok összefonódását. Ezek a CTP
formalizmussal válnak elérhetové.
Kitekintés
Multilokalis kifejtes
• euklideszi esetben sem vizsgálták RG
módszerrel
• impulzusfüggo csatolások
• létezhetnek új releváns csatolások
• a lokális potenciálon alapszik több
alapveto eredmény
(S, Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Renormalization of bilocal potentials, elokészületben)
Kitekintés
CTP RG egyenletek es fluktuaciok
• A lokális és bilokális potenciál funkcionális alakjának megválasztása.
• A lokális potenciál valós része off-shell, a komplex része on-shell. A Wegner-Houghton
egyenlettel írjuk le, ami tartalmazza a bilokális potenciál járulékát is.
• A bilokális potenciál nyeregponti része fa-szintu renormálással fejodik.
• A bilokális potenciál fluktuációs része szintén a Wegner-Houghton egyenlettel kapható
meg.