l 1 nfreescb.info/sites/freescb.info/files/l_1_n.pdfМацыпура , А. А. Снарский ....

ИНСТИТУТ ГИДРОМЕХАНИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УКРАИНЫ

"КИЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ"

В. Т. ГРИНЧЕНКО В. Т. МАЦЫПУРА А. А. СНАРСКИЙ

ФРАКТАЛЫ

ОТ УДИВЛЕНИЯ К РАБОЧЕМУ ИНСТРУМЕНТУ

Учебное пособие

Рекомендовано Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины как учебное пособие для студентов высших учебных заведений

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА

2013

УДК 537.8

Рецензенты:

чл.-кор. НАН Украины Б . И . Лев , чл.-кор. НАН Украины П . М . Томчук ,

проф. В. И. Острик

Гринченко В. Т.

Фракталы: от удивления к рабочему инструменту : учебное пособие / В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. – Киев : Наукова думка, 2013. – 270 с.

ISBN 966-000331-5 Фрактальні структури є не просто математичні абстракції, вони притаманні

багатьом явищам у природі. Таке розуміння стало важливим досягненням нау-ки другої половини ХХ сторіччя. Навчальний посібник знайомить читача з поча-тковими відомостями про фрактали і можливістю застосування ідеї фракталь-ності в дослідженні природних явищ. Для студентів та широкого кола читачів. Фрактальные структуры являются не просто математической абстракцией, они

присущи многим явлениям в природе. Такое понимание стало важным достиже-нием науки второй половины ХХ столетия. Учебное пособие знакомит читателя с начальными сведениями о фракталах и возможностью применения идеи фрак-тальности в изучении природных явлений.

Для студентов и широкого круга читателей.

УДК 537.8

Гриф п р е д о с т а в л е н Мини с т е р с т в о м о бр а з о в а н и я и н а у к и , мо л о д еж и и с п о р т а Укр а и ны

( п и с ьм о № 1 / 1 1 - 2 2 5 3 о т 1 2 . 0 2 . 1 3 )

ISBN 966-000331-5 © Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А., 2013

© Институт гидромеханики НАН Украины, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,

Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Поэт! Не бойся тавтологий, Окольных троп не проторяй. Пусть негодует критик строгий, Ты удивленно повторяй: "Какое масляное масло! Какой на свете светлый свет!" – И ты поймешь, как много смысла Там, где его, казалось, нет.

З. Е. Эзрохи∗

Вы можете задать себе два вопроса. Зачем читать эту

книгу? Почему авторы ее написали? Попробуем ответить на них в предисловии.

Итак, вопрос первый: зачем читать? Каждый понима-ет, что возникновение новых представлений в науке расширяет наши знания об окружающем мире и делает наш внутренний мир более богатым, способным увидеть и оценить сложность, многообразие и красоту природы. Это, в полной мере, касается и предмета повествования данной книги. Совершим небольшой экскурс в историю развития некоторых представлений в науке.

С древних времен считалось, что умение предсказы-вать – удел мудрецов, и вместе с тем, предвидение – это одна из основных целей науки. Развитие математики существенно расширило возможности исследователей в проведении научного прогноза. Оказалось, например, что движение небесных тел можно рассчитывать, решая дифференциальные уравнения, которые могут быть дос-таточно сложными, и для их решения нужно будет при-

∗ Эзрохи Зоя Евсеевна (родилась в 1946 г.) – российская поэтесса, жи-вет в Санкт-Петербурге.

Фракталы. От удивления к рабочему инструменту

4

ложить немало усилий. Такая работа увлекла ученых на многие годы и, казалось, единственным препятствием будут чисто математические трудности, которые со вре-менем будут преодолены.

Однако с развитием науки возникло понимание того, что нельзя сделать, какие цели не стоят перед научным исследованием. Так, с появлением термодинамики стало понятно, почему никогда не построят вечный двигатель. Квантовая механика показала, что мы принципиально лишены возможности измерить с заранее заданной точно-стью одновременно координату и импульс элементарной частицы. На непреодолимые барьеры указала теория от-носительности. По сути, понимание новых ограничений стало признаком фундаментальных теорий.

В этом ряду важное место занимают работы последних лет, связанные с предсказуемостью. Стимулом к таким исследованиям послужила работа американского метео-

ролога Э. Лоренца∗, опубликованная в 1963 г. Лоренц по-ставил перед собой вопрос: почему при наличии мощных ЭВМ нельзя дать надежный, достаточно долгосрочный прогноз погоды. Он предложил простую модель, которая описывала динамику атмосферы, и просчитал её на ЭВМ. Изучая одно из численных решений системы, Ло-ренц вывел на печать промежуточные результаты счета в формате "три знака после десятичной запятой" при точ-ности представления "шесть знаков после запятой" в па-мяти машины. Используя затем эти промежуточные дан-ные в качестве начальных для последующего счета, Ло-ренц обнаружил, что после соответствующего расчета ре-зультаты кардинальным образом отличались от тех, ко-торые были получены без промежуточного вывода значе-ний на печать, т.е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Получив такой ре-

∗ Лоренц Эдвард Нортон (1917–2008) – американский метеоролог.

Предисловие

5

зультат, Лоренц не отмахнулся от него как от ошибки вычислений, а отнесся очень серьезно. Этот результат – возникновение хаотических, напоминающих случайные, колебаний. При этом модель Лоренца была детерминиро-ванной, т.е. в уравнениях её динамики полностью отсут-ствовали случайные параметры.

Таким образом, в системе, где будущее однозначно оп-ределяется прошлым, Лоренц обнаружил конечный гори-зонт прогноза. Это явление получило название детерми-нированного (динамического) хаоса. Вслед за работой Ло-ренца начались интенсивные исследования данного яв-ления. Оказалось, что хаотическим колебаниям (явлени-ям), которые возникают согласно регулярным законам, присущ не "бесформенный" хаос, а хаос со скрытым по-рядком. Этот порядок связан с понятием фрактальной структуры. И хотя в математике подобные конструкции в той или иной форме появлялись более ста лет назад, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы ХХ века.

Как свидетельство этих перемен процитируем торже-ственное заявление, с которым выступил в 1986 г. сэр Дж. Лайтхилл*, бывший в то время президентом Между-народного союза теоретической и прикладной механики: "Тут я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занима-ется механикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу велико-лепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в кото-рые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает кол-

* Lighthill J. The Recently Recognized Failure of Predictability in Newto-nian Dynamics // Proceeding of the Royal Society. – 1986. – P. 35–50. Лайтхилл Майкл Джеймс (1924–1998) – английский гидромеханик.


6

лективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных лю-дей, распространяя идеи о детерминизме систем, удов-летворяющих законам движения Ньютона, – идеи, кото-рые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправиль-ными".

Динамический хаос и фрактальные структуры свойст-венны не только, как казалось бы на первый взгляд, фи-зическим нелинейным системам. В настоящее время фракталам и хаосу посвящено много книг и обзоров, большое число статей опубликовано в ведущих научных журналах мира по математике, физике, химии, биологии, медицине, экономике и других. Конечно, фракталы при-сутствуют во многих структурах вовсе не связанных с яв-лением динамического хаоса, да и явление хаоса не всегда сопровождается фрактальным образованием. Однако, го-воря о них вместе, мы хотели подчеркнуть, с одной сторо-ны, их природную взаимосвязь, а с другой, отметить од-новременное повышение интереса к этим явлениям.

Понятие фрактала выросло в новую математическую модель, дающую единое описание свойств, присущих мно-гим природным явлениям. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов. В заглавие книги вынесены слова "от удивления к инструменту". Они явились руководящей идеей при на-писании книги. Действительно, от удивления, которое ис-пытываешь при знакомстве и изучении фракталов до ин-струмента, позволяющего глубже понять природу иссле-дуемого явления. Таков путь авторы предлагают пройти читателю, взявшему на себя труд прочтения данной книги.

Теперь ответим на второй вопрос: почему написана эта книга? На данный момент, имеется большое количе-ство литературных источников разного уровня сложно-сти, в которых говорится о фракталах. Нам хотелось бы выделить замечательные книги Е. Федера [28], Х.-О. Пайт-

Предисловие

7

гена и П. Х. Рихтера [25], С. В. Божокина и Д. А. Пар-шина [3], Р. М. Кроновера [18], которыми авторы руково-дствовались в своей работе. Однако, вместе с тем, мы полагаем, что написание книги в виде цикла лекций, в которых, как мы надеемся, последовательно и доходчиво изложен материал найдет своего читателя.

Предлагаемая книга – это лекции для первоначального ознакомления с понятиями о фракталах. Характерной чертой лекций является практическая направленность, т.е. читатель не только знакомится с характеристиками явления, но и, имея под рукой программу для ЭВМ, мо-жет повторить результат, представленный в тексте, и провести самостоятельное исследование. Это позволит ему убедиться в существовании описанных явлений и почувствовать себя первооткрывателем. Программы на-писаны для математического пакета Mathcad, как наибо-лее приближенного к восприятию пользователя. При этом мы взяли для себя за правило, что к программе, имею-щей более десяти-пятнадцати строк, читатель резко те-ряет интерес (правда, не всегда удавалось следовать это-му правилу). Следует сказать, что становление науки о фракталах и динамическом хаосе стало возможным бла-годаря интенсивному развитию вычислительной техни-ки. Можно с уверенностью утверждать, что без развития вычислительной техники науки о хаосе и фракталах, в современном представлении, не существовало бы.

Говоря о математических средствах в свете последова-тельного изложения материала книги, нужно особо выде-лить роль геометрических представлений. Использование понятий линии, вектора, кривых различных типов по-зволяет придать наглядность многим результатам физи-ческих теорий. В историческом аспекте следует отме-тить, что развитие физических представлений о природе в значительной мере основывалось на привлечении и ис-пользовании фундаментальных геометрических идей.


8

Именно поэтому в предлагаемой книге при изучении фракталов геометрические представления и понятия за-нимают центральное место.

Структура лекций отображена в оглавлении и в допол-нительных комментариях не нуждается. В конце книги приведен список литературы. Мы ограничились лишь не-которыми относительно доступными изданиями. Уровень изложения в них различен: от популярных статей до глу-боких монографий. Перечень литературных источников и обширные данные в Интернете позволят читателю оп-ределить дальнейшие ориентиры.

Мы надеемся, что книга будет полезна не только сту-дентам, но и представителям как технических, так и гу-манитарных специальностей, которые хотели бы позна-комиться с таким интересным и развивающимся науч-ным направлением.

В заключении хотелось бы сказать, что в процессе ра-боты над книгой, обсуждая некоторое явление или ре-зультаты расчетов на ЭВМ, мы не раз испытывали чув-ства удивления и восхищения, о которых так образно го-ворится в поэтических строках, приведенных ниже. Если у читателя возникнут подобные чувства, то такое созву-чие будет нами радостно воспринято.

За несколько шагов до водопада Еще не знал катящийся поток, С каких высот ему сорваться надо… И ты готовься совершить прыжок!

С. Я. Маршак∗

∗ Маршак Самуил Яковлевич (1887–1964) – российский поэт, переводчик.

Лекция 1

ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА

1.1. "Фрактальная геометрия природы" "Читатель, вероятно, помнит, что основным вкладом

Атоса в развитие событий, описанных в романе А. Дюма∗ "Двадцать лет спустя", было предложение назвать опера-

цию – "Семейное дело". Его вклад считался равноценным

шпаге д'Артаньяна и деньгам Портоса. Придумать хоро-шее название – большая заслуга" [26, с. 10].

Так, в 1975 г. Б. Мандельброт∗∗ ввел понятие "фрак-

тал". Слово "фрактал" происходит от латинского fractus,

что означает дробный, изрезанный. По нестрогому опре-делению Мандельброта,

фракталом называется структура,

состоящая из частей, которые в каком-то смысле

подобны целому. Приведённое определение отражает важный отличи-

тельный признак фрактальных объектов. Однако ни это

определение, ни более строгие определения, не дают пол-

ного представления о фракталах. По нашему мнению, это та ситуация, когда начинать знакомиться с понятием

нужно не с его определения, а с рассмотрения конкрет-

ных примеров, и позднее, после приобретения необходи-мого опыта, можно вернуться к определению.

Давайте вместе попробуем построить геометрический объект, который будет являться фракталом. Представим себе равносторонний треугольник (рис. 1.1). Теперь мыс-

∗ Дюма Александр (отец) (1802–1870) – французский писатель. ∗∗ Мандельброт Бенуа (1924–2010) – математик; родился в Варшаве, получил образование во Франции, в 1958 г. переехал жить в США.


10

ленно проделаем следующую несложную процедуру: уда-лим на каждой стороне треугольника среднюю треть и за-меним её двумя отрезками такой же длины, как показано на рис. 1.1. Получим фигуру, состоящую из двенадцати сторон. Повторим данную операцию, заменяя теперь сред-нюю треть каждой из двенадцати сторон двумя отрезками соответствующей длины. Если эту процедуру проделывать вновь и вновь, то число деталей в образуемом контуре бу-дет увеличиваться и увеличиваться, и процесс можно про-должать до бесконечности. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Оно

известно как кривая Коха, по имени Х. фон Коха∗, впервые описавшего подобный феномен в 1904 г.

0n ==== 1n ==== 2n ====

3n ==== 4n ====

Рис. 1.1. Построение снежинки Коха

Далее мы вернёмся к снежинке Коха и поразмыслим над её затейливым очертанием. На данный момент про-цесс построения снежинки Коха позволяет осознать ос-новное свойство фракталов, а именно, внутреннее подо-бие: "фрактальный" – это, прежде всего "внутреннепо-добный". Иное свойство, которое сразу обращает на себя

∗ Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870-1924) – шведский математик.

Лекция 1

11

внимание, состоит в том, что фрактальная кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой линии и является в общем случае гео-метрически нерегулярной, т.е. для неё характерна изре-занность, извилистость. Очевидно, понятие касательной в точке для такой кривой не существует. Действительно, если мы направим микроскоп в какую-то точку привыч-ной для нас дифференцируемой функции, то при увели-чении изображения увидим прямую линию, касательную в данной точке. Иными словами, классические объекты упрощаются при увеличении изображения. "В малом" они становятся линейны, в то время как фракталам присуща "внутренняя бесконечность".

Таким образом, можно сказать, что фракталами явля-ются геометрические объекты: линии, поверхности, про-странственные тела, имеющие изрезанную форму и об-ладающие свойством самоподобия. Другими словами го-ворят о свойстве масштабной инвариантности (от ла-тинского invarians – неизменный) или скейлинга (от анг-лийского слова scaling – измерять, масштабировать).

Отметим, что снежинка Коха является примером стро-го самоподобного фрактала, ибо она единообразно уст-роена в любом масштабе, т.е. маленькие фрагменты фрактала полностью повторяют большие. Понятно, что это свойство характерно лишь для регулярных фракта-лов. Если вместо детерминированного способа построе-ния в алгоритм их создания включить некоторый эле-мент случайности, то возникнут так называемые случай-ные фракталы. Основное их отличие от регулярных фракталов состоит в том, что свойство самоподобия справедливо только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объек-та. При этом увеличенная часть фрактала не точно иден-тична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают.


12

Кривая Коха, как уже отмечалось, была построена бо-лее 100 лет назад. Она и другие аналогичные конструк-ции (с некоторыми из них мы познакомимся ниже) были введены в математику для того, чтобы показать, на-сколько сложными и необычными могут быть такие по-нятия как функция и кривая. Они производили очень сильное впечатление на математиков своего времени, за что были прозваны математическими монстрами. Со временем начали появляться и модели физических объ-ектов, которые обладали свойством самоподобия. Однако это были отдельные, разрозненные примеры.

Накопленные знания о фракталах были обобщены и впервые представлены в книге Б. Мандельброта "Фрак-талы: форма, случай, размерность", вышедшей в 1975 г. на французском языке и в 1977 г. на английском. В ней было описано множество математических и физических примеров фрактальных объектов. Вторая книга Ман-дельброта, вышедшая в 1982 г., называлась: "Фракталь-ная геометрия природы". Это название как нельзя лучше отражает реальную суть.

Посмотрим на окружающий нас мир. Как было метко замечено Мандельбротом, природа любит фракталы ни-чуть не меньше (если не больше) регулярных форм. На каждую гладкую кривую или поверхность в окружающем нас мире приходится много (чтобы не сказать очень мно-го) весьма нерегулярных, а нередко фрактальных, кри-вых и поверхностей, наделённых тончайшей структурой в разнообразных масштабах.

Взять хотя бы чудесные кучевые облака. Они состоят из больших "холмов", на которых располагаются "холмы" поменьше, на них – "холмы" ещё меньше и так далее. В результате можно констатировать, что в среднем на разных масштабах наблюдается одна и та же картинка. То же происходит и при рассмотрении горного хребта, кроны дерева, морских волн, речной сети на поверхно-

Лекция 1

13

сти Земли, структуры разломов в горных породах. Иссле-дуйте следы, оставляемые в диэлектрике высоковольт-ным разрядом при его пробое. Всмотритесь в замыслова-тые узоры, которые составлены из молекул одного веще-ства на поверхности другого, – к ним относятся и ледя-ные рисунки на окнах, появляющиеся в морозные дни, – всё это примеры природных фракталов.

Характеризуя новые идеи, связанные с понятием

фрактала, Мандельброт писал (1982 г.):

"Почему геометрию часто называют холодной и су-хой? Одна из причин заключается в её неспособности

описать форму облака, горы, дерева или берега моря.

Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии бе-

рега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… природа де-

монстрирует нам не просто более высокую степень, а

совсем другой уровень сложности. Число различных

масштабов длин в структурах всегда бесконечно". Действительно, представьте себе всю сложность сис-

темы кровообращения человека, состоящую из множест-

ва капилляров и сосудов, благодаря которым кровь по-

ступает к каждой клеточке человеческого тела. Пред-ставьте, как хитроумно устроены лёгкие, почки, напоми-

нающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Конечно, для реального природного фрактального объ-

екта существует некоторый минимальный масштаб дли-

ной minl , такой, что на расстояниях minl l≈ его основное

свойство – самоподобие – пропадает. Кроме того, на

больших масштабах длиной maxl l> , где maxl – характер-

ный геометрический размер объектов, это свойство са-

моподобия также нарушается. Поэтому свойства при-родных фракталов рассматриваются лишь на масштабах

длиной l , удовлетворяющих соотношению min maxl l l< < .


14

Рассмотрим в качестве примера замечательный слу-чайный фрактал – броуновское движение (рис. 1.2). На рис. 1.2 а показано как выглядит под микроскопом ти-пичная траектория частицы пыльцы, совершающей бро-уновское движение. Возникает вопрос: действительно ли частица между вершинами ломаной линии движется вдоль прямой. Конечно же, нет! Тогда как движется час-тица из точки A в точку B на рис. 1.2 а? Чтобы отве-тить на этот вопрос сфотографируем движение частицы, увеличив скорость затвора камеры в 100 раз. Это позво-лит нам получить в 100 раз больше промежуточных по-ложений частицы между точками A и B . Результаты та-кой съёмки, увеличенные в 10 раз, представлены на рис. 1.2 б. Прямая линия, соединяющая точку A с точкой B , превратилась в 100 прямолинейных отрезков, каждый из которых имеет (в среднем) такую же длину, как прямо-линейные звенья ломаной на рис. 1.2 а.

а б

А В

А В

C D

Рис. 1.2. Траектория частицы пыльцы [31, с. 196]

Лекция 1

15

Движется ли частица вдоль прямой между точками C

и D на рис. 1.2 б? Естественно, нет. Если увеличить час-тоту наблюдения за движением частицы из точки C в

точку D в 100 раз, а затем подвергнуть десятикратному увеличению, то полученная картина окажется статисти-чески подобна той, которую мы видим на рис. 1.2 б. Именно поэтому броуновское движение называют ста-тистически самоподобным. В броуновском движении диапазон изменения масштабов, в пределах которого со-храняется самоподобие, очень велик.

Однако на маленьких масштабах сказывается конеч-ность массы и размеров броуновской частицы, а также конечность времени соударения. При учёте этих обстоя-тельств траектория броуновской частицы становится плавной линией, и понятие самоподобия утрачивается. 1.2. Длина береговой линии

Первоначально понятие фрактала в физике возникло в

связи с задачей об определении длины береговой линии. Пусть требуется по имеющейся карте местности измерить длину береговой линии между точками A и B (рис. 1.3).

А

В

Рис. 1.3. Береговая линия между точками А и В

Чтобы измерить длину береговой линии между этими точками мы, с помощью циркуля, расставим по берегу жёстко связанные друг с другом вешки так, чтобы рас-


16

Рис. 1.4. Карта побережья южной части Норвегии. Квадратная сетка вверху

имеет шаг 50 кмδ =δ =δ =δ = [28, с. 15]

стояние между соседними вешками равнялось, напри-мер, 10 кмδ = . Длину береговой линии между точками A

и B примем равной числу вешек минус одна умножен-ному на 10 км. Следующее измерение этой длины произ-ведём подобным же образом, но расстояние между со-седними вешками примем равным 1 кмδ = . Уменьшение

δ приводит к увеличению числа шагов циркуля вдоль

береговой линии. Заметим, что при ис-

пользовании циркуля у нас будут возникать проблемы с островами и реками. Другой способ из-мерения береговой линии состоит в том, чтобы по-крыть карту сеткой с квадратными ячейками размером δ × δ . Так делал норвежский физик Е. Фё-дер при измерении дли-ны береговой линии Нор-вегии (рис. 1.4).

Попробуем сначала применить этот метод для определения длины окружности радиусом R. Заменим окружность ло-маной линией, отрезки которой расположены на окружности. Понятно, что чем большее число отрез-ков мы берем, тем ближе ломаная линия прибли-жается к окружности.

Лекция 1

17

Длина отрезка δ ломаной линии, состоящей из n звень-

ев, равна ( )2 sin /R nδ = π . Поскольку ломаная состоит из

n отрезков, то ее суммарная длина ( )2 sin /nL nR n= π .

При больших n значение ( )sin / /n nπ ≈ π и, в пределе

при n → ∞ , выражение ( )2 sin /nL nR n= π переходит в хо-

рошо известную формулу для длины окружности 2L R= π .

Если бы береговая линия также имела вполне опреде-

лённую длину L , то можно было бы ожидать, что число

шагов циркуля или число квадратных ячеек ( )N δ , необ-

ходимых для покрытия береговой линии на карте, будет обратно пропорционально δ , а длина аппроксимирую-

щей ломанной ( ) ( )L Nδ = δ ⋅ δ при уменьшении δ будет стремиться к L . Однако, это не так!

В 1961 г. вышла работа Л. Ф. Ричардсона∗, посвящён-ная измерению длин береговых линий. Им было установ-лено, что, в отличие от гладкой кривой, береговая линия оказывается зачастую настолько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов), что с уменьшением шага

δ длина аппроксимирующей ломанной ( ) ( )L Nδ = δ ⋅ δ не-ограниченно растет. В тоже время неизменным остается

значение ( ) Da N= δ ⋅ δ , где const 1D = > . Оказалось, что

для побережья Англии константа 1,24D = .

Сравнивая выражения ( ) ( )L Nδ = δ ⋅ δ и ( ) Da N= δ ⋅ δ ,

находим, что длина аппроксимирующей ломанной, при уменьшении δ увеличивается по степенному закону ( ) 1 DL a −δ = ⋅ δ . (1.1)

∗ Ричардсон Льюис Фрай (1881–1953) – английский геофизик.


18

Таким образом, при определении длины береговой линии

( )L δ с помощью жёсткого масштаба δ необходимо сде-

лать ( ) ( )/N Lδ = δ δ шагов. При этом значение ( )L δ изме-

няется при изменении δ так, что зависимость ( )N δ оп-

ределяется степенным законом

( ) D

aN δ =

δ. (1.2)

Для другой береговой линии степенной закон (1.2) сохра-няется, но D и а будут иными, причем для более изре-занной береговой линии значение D возрастает.

Константу D в формулах (1.1) и (1.2) называют фрак-тальной размерностью береговой линии. Для обычной гладкой кривой (типа окружности, эллипса) можно ожи-дать, что a L= (при достаточно малых δ ), а показатель D равен единице.

Найдем соотношение, которое позволит вычислить фрактальную размерность D по данным, полученным при измерении длины береговой линии. Для этого, проло-гарифмировав формулу (1.1), запишем её в виде

( ) ( )log log 1 logL a Dδ = + − ⋅ δ . (1.3)

Выражение (1.3) устанавливает линейную зависимость

между ( )log L δ и log δ , что графически являет собою

прямую линию. При этом угловой коэффициент прямой (1 )D− определяется фрактальной размерностью D ис-

следуемой береговой линии. Аналогично, прологарифмировав формулу (1.2), уста-

навливаем линейную зависимость между ( )logN δ и log δ :

( )log log logN a Dδ = − ⋅ δ . (1.4)

Из выражений (1.3) и (1.4), принимая во внимание ма-лость величин δ , можно записать следующие асимптоти-

ческие формулы

Лекция 1

19

( ) ( )log 1 logL Dδ = − ⋅ δ , ( )log logN Dδ = − ⋅ δ . (1.5)

Согласно (1.5), определить фрактальную размерность бе-реговой линии можно, измеряя угловой коэффициент

графика ( )log L δ (или ( )logN δ ) как функции log δ . Размерность D , которая определяется из формул (1.5)

как результат подсчета числа клеток, необходимых для покрытия данной линии (или вообще некоторого множе-ства), принято называть клеточной размерностью.

Какова же клеточная размерность реальных береговых линий? На рис. 1.5 представлены результаты, проведен-ного Фёдером подсчёта длины береговой линии Норвегии с помощью квадратных сеток с шагом δ от 0,6 до 80 км (рис. 1.4). При использовании логарифмического мас-штаба вдоль осей абсцисс и ординат декартовой системы координат все результаты измерений хорошо ложатся на прямую линию. Согласно формуле (1.3) её наклон опреде-ляется угловым коэффициентом 1 D− . На рис. 1.5 значе-ние углового коэффициента 1 0,52.D− ≈ − Таким образом,

фрактальная размерность побережья Норвегии 1,52D ≈ ,

т.е. находится примерно посредине между размерностя-ми гладкой кривой и гладкой поверхности!

–0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0

3,5

4,0

4,5

lg (км)δδδδ

lg (км)L


20

Рис. 1.5. Измеренная длина побережья Норвегии в зависимости от шага сетки [28, с. 16]

На рис. 1.6 представлены опубликованные Мандельб-

ротом данные о кажущейся длине ( )L δ некоторых других

берегов. Их фрактальные размерности находятся в диа-пазоне значения 1D ≈ для гладкого побережья юга Аф-рики и 1,3D ≈ для весьма изрезанного западного побе-

режья Британии. Однако ни одна страна и ни один берег не могут сравниться с Норвегией, у которой 1,52D ≈ .

Мандельброт приводит также данные для окружности и показывает, как и следовало ожидать, что 1D = .

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

3,0

3,5

4,0

lg (км)δδδδ

lg (км)L

1

2

3

4

5

Рис. 1.6. Длина некоторых побережий [28, с. 17]: 1 – Британии, 2 – Германии (1900 г.), 3 – Южной Африки,

4 – Австралии, 5 – окружность

Интересен следующий любопытный факт: длина гра-

ницы между Португалией и Испанией (приведённая в

Лекция 1

21

португальском справочнике) и длина границы между Ис-панией и Португалией (по испанским сведениям) разли-чается на 20 %, поскольку при её измерении были ис-пользованы различные масштабы. Это ещё раз подтвер-ждает, что понятие длины для фрактальных кривых не является характерной величиной.

Если рассматривать снежинку Коха (рис. 1.1) как ост-ров с удивительной береговой линией, то между длиной береговой линии острова Коха и формулой (1.1) для длин других береговых линий должна быть определённая связь. И это действительно так!

Вычислим длину береговой линии острова Коха. На

нулевом шаге, т. е. 0n = , число элементов ( )0 3N δ = ,

длина элемента 0 1δ = , длина береговой линии

( ) ( )0 0 0 3L Nδ = δ δ = .

На шаге 1n = : ( )1 01/3 1/3δ = δ = , ( ) ( )1 04 3 4N Nδ = δ = ⋅ ,

длина береговой линии ( ) ( ) ( )1 1 1 3 4/3L Nδ = δ δ = ⋅ .

На шаге 2n = : длина элемента ( ) ( )22 11/3 1/3δ = δ = ,

число элементов ( ) ( ) 22 14 3 4N Nδ = δ = ⋅ , длина береговой

линии ( ) ( ) ( )22 2 2 3 4/3L Nδ = δ δ = ⋅ .

На шаге n : ( )1/3n

nδ = , ( ) 3 4n

nN δ = ⋅ . Тогда число ша-

гов можно выразить через длину элемента: ln /ln3n = − δ ,

а соответствующую длину береговой линии записать в виде следующей формулы

( )

( )1 ln4/ln3 1 ln4/ln3

4 4 ln43 3exp ln 3exp 1 ln

3 3 ln3

3exp ln 3 .

n

L n

− −

δ = ⋅ = = − δ =

= δ = ⋅ δ


22

Сопоставляя полученное выражение с формулой (1.1), получаем равенство для длины береговой линии на n-м шаге создания острова Коха:

( ) 1 ln4/ln3 13 dL a− −δ = ⋅ δ = ⋅ δ . (1.6)

Из выражения (1.6) находим фрактальную размерность береговой линии острова Коха:

ln4 ln3 1,2628 1D = ≈ > .

При n → ∞ , величина 0δ → , следовательно, длина бере-

говой линии стремиться к бесконечности. Интересно рассмотреть реальное построение береговой

линии острова Коха с помощью карандаша и бумаги [26, с. 7]. Пусть начальная длина стороны треугольника равна одному метру, а карандаш оставляет линию тол-

щиной 40,1 мм 10 м−= . С математической точки зрения

процедура построения кривой может продолжаться бес-конечно. Реальный же процесс прекратится, как только длина отрезка между соседними точками излома сравня-ется с толщиной линии. Тогда предельным масштабом для измерения длины береговой линии острова Коха бу-

дет ( ) 41 3 10n −δ = = . Отсюда находим количество итера-

ций n при реальном построении: 4 lg 3 8n = ≈ . При этом

длина береговой линии острова Коха 83 (4/3) 30 мL = ⋅ ≈ .

Естественно, реальная самоподобная кривая имеет ко-нечную длину.

1.3. Примеры фрактальных функций

Продолжая знакомство с фрактальными объектами, следует указать на функции, обладающие свойством скейлинга. Примером является непрерывная, но нигде не

Лекция 1

23

дифференцируемая функция, предложенная К. Вейер-

штрассом∗. Функция Вейерштрасса [1, 17]

( ) ( )0

cosk k

k

w x a b x∞

=

= π∑ . (1.7)

Вейерштрасс доказал, что эта функция не имеет произ-водной, если 0 1a< < , b – нечетное число и

( )( ) 1 3 2a b⋅ > + π . В 1916 г. Г. Х. Харди∗ показал, что та-

кая функция не является дифференцируемой ни в одной точке и при более слабом условии: 1,a < 1,b > 1ab > .

Качественно понять причину её не дифференцируе-мости можно из следующего. Согласно (1.7) для построе-ния ( )w x сначала берётся обычная гладкая функция

( )1 cosw a b x= π . Затем на эту гладкую функцию накла-

дывается "рябь" ( )2 2

2 cosw a b x= π , имеющая меньшую

амплитуду и большую частоту, чем 1( )w x . Затем добав-

ляется ещё более мелкая и густая "рябь" ( )3 3

3 cosw a b x= π

и так далее. В результате возникает бесконечно изре-занная кривая.

∗ Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815–1897) – немецкий мате-матик. ∗ Харди Годфи Харольд (1877-1947) – английский математик.


24

1

0,5

0

–0,5

–1 0 0,5 1 0,4 0,5 0,6 х

0

0,5

1 w

а б

Рис. 1.7. Функция Вейерштрасса, 0,5a ==== , 4b ==== : а – 0 1x≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ; б – 0,375 0,625x≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

График функции Вейерштрасса показан на рис. 1.7 [1, 17]; (индекс суммирования в формуле (1.7) изменялся от 1 до 15). Построенные кривые иллюстрируют свойст-во самоподобия. На рис. 1.7 а график ( )w x приведен

для ≤ ≤0 1x . Рассмотрим часть кривой, выделенную на

рис. 1.17 а прямоугольником. Эта часть в 1/a раз мень-

ше по вертикали и в b раз ýже по горизонтали, чем раз-

мер графика. Если эту область увеличить до исходного размера графика, то мы увидим почти точно исходную кривую (рис. 1.17 б). Повторяя построение, можно убе-диться, что кривая воспроизводится на любом сколь угодно малом масштабе. Таким образом, график функ-ции Вейерштрасса самоподобен: при растяжении по абсциссе в b раз и 1/a раз по ординате он инвариантен.

Помимо функции (1.7), существует много других функ-ций, обладающих аналогичными свойствами самоподо-бия и недифференцируемости. Часто такие функции можно записать в виде

Лекция 1

25

( ) ( )Ψ = ψ∑ n n

n

x a b x , (1.8)

где ( )ψ x – некоторая непрерывная функция.

В качестве второго примера фрактальных функций приведем функцию Вейерштрасса-Мандельброта [27]

( ) ( )( )2

1 cos k

d kk

b xf x

b

∞

−=−∞

−= ∑ , (1.9)

здесь параметр d принимает значения в диапазоне

1 2d< < . Функция Вейерштрасса-Мандельброта непре-

рывна, но не дифференцируема ни в одной точке. При-нято считать [28], что клеточная размерность этой функ-ции примерно равна значению параметра d .

Представление о функции Вейерштрасса-Мандельбро-та даёт рис. 1.8 [28], для которого 1,5b = , 1,8d = ; (индекс

суммирования в формуле (1.8) изменялся от –50 до +50). На рис. 1.8 а график ( )f x приведен для 0 0,5x≤ ≤ . Если

выделить интервал изменения переменной 0 0,1x≤ ≤ , и

затем увеличить график до размеров исходного графика, то получим практически исходную кривую (рис. 1.8 б).

10

5

0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,05 0,1

х 0

5

10 f

а б


26

Рис. 1.8. Функция Вейерштрасса-Мандельброта, 1,5b ==== , 1,8d ==== : а – 0 0,5x≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ; б – 0 0,1x≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

1.4. Вычислительные алгоритмы оценки фрактальной размерности линий Имеется ряд методов определения фрактальной раз-

мерности объекта. Необходимо отметить, что все методы имеют определенные ограничения на область своей при-менимости. Кроме того, все методы обладают разной степенью точности, причем эта точность зависит от типа объекта, к которому применяется тот или иной метод анализа. Мы не будем рассматривать весь арсенал мето-дов, а лишь используем два из них как пример вычисле-ния фрактальных характеристик линии.

Метод Ричардсона является исторически одним из первых методов определения фрактальной размерности кривых. Впервые Ричардсон применил его при исследо-вании геометрии береговых линий. Идея метода, как уже говорилось в параграфе 1.2, состоит в измерении длины кривой при варьировании длины эталонного отрезка, ко-торый многократно укладывается вдоль кривой. При этом анализ выполнялся вручную – длина береговой ли-нии измерялась с помощью циркуля. Реализация метода Ричардсона на ЭВМ позволяет проводить измерения с более высокой точностью. Опишем алгоритм метода.

В качестве иллюстрации определим фрактальную раз-мерность "береговой линии" в виде кривой Вейерштрас-са-Мандельброта. Проведя дискретизацию функции (1.9), расставим вешки вдоль нашей "береговой линии". Для

этого определим значения функции ( )f x в точках из об-

ласти изменения аргумента [ 1x , 2x ], то есть получим на-

Лекция 1

27

бор дискретных значений аргумента и функции:

( )1 2 1 /ix x x x i N= + − , 0,1,2,...,i N= , ( )=i if f x .

Для подсчета длины кривой используем сначала каждую

точку в дискретном представлении функции ( )=i if f x ,

затем каждую вторую точку, затем каждую третью точку и так далее, вплоть до некоторого выбранного значения ∆ , которое определяет максимальное удаление учитываемых точек при подсчете длины кривой. Величина ∆ определяет также количество итераций подсчета длины кривой, то есть номер итерации 1,2,...,j = ∆ . Длина кривой для j-ой

итерации подсчитывается по формуле

( )( ) ( )−=

= − + ∆ +∑2 2

11

m

j jn j jj nn

L f f x r , (1.10)

где [ ]/m N j= – целая часть от деления общего количест-

ва точек N на номер итерации j , 2 1j

x xx j

N

−∆ = – дис-

кретное значение аргумента на j-ой итерации,

( ) ( )= − + −2 2

j N jm N jmr f f x x – длина последнего отрезка,

соединяющего последнюю точку с номером кратным j и последнюю точку кривой.

Программа 1.1.

Оценка фрактальной размерности кривой. Метод Ричардсона


28

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

− ⋅=−

⋅ ⋅

⋅ − ⋅=

= = = = =

− ⋅−= + = ⋅ =

= ∆ ←∈ ∆

←

−∆ ← ⋅

← − + −

← − + ∆ +

Λ ←

∆ ← ∆

∆ Λ

=

∑

∑

2

2 2

2 2

11

1 : 0 2 : 0,5 : 1,8 : 50 : 5000

1 cos2 1: 0 .. 1 : :

: 60

for

trunc

2 1

log

log

:

kM

i

i i d kk M

j

N m j N m j

m

j n j jn jn

j j

j j

x x d M N

b xx xi N x i f

N b

L

j

Nm

j

x xx j

N

r f f x x

L f f x r

L

X x

X

y xx ( ) ( )( )

⋅+

β = = − β =0 1 0 10 1

0 1 1

line , line ,

: line , : 1 1,801

xxL L L L

L L D D

Для определения фрактальной размерности исследуе-

мой кривой ( )f x строят в двойном логарифмическом

масштабе зависимость ( )log jL от ( )log jx∆ и проводят

линию регрессии. Тангенс угла наклона прямой линии β связан с величиной 1D = − β (см. формулу (1.1)).

Программа 1.1 дает оценку фрактальной размерности

кривой на основе метода Ричардсона. Исследуем кривую Вейерштрасса-Мандельброта, для которой приняты та-

Лекция 1

29

кие исходные данные: 1 0x = , 2 0,5x = , 50M = , 1,5b = ,

1,8d = , N – общее количество точек на интервале

[ 1x , 2x ], а ∆ – количество итераций.

–4 –3,5 –3 –2,5 1,5

2

2,5

log( )jL∆∆∆∆

log( )jx∆∆∆∆

Рис. 1.9. Зависимость (((( ))))log jL от (((( ))))log jx∆∆∆∆

для "береговой линии" Вейерштрасса-Мандельброта, 1,8d ==== , 1,5b ====

Во второй строке вычисляются дискретные значения

функции if и ее аргумента ix , 0,1,...,i N= . Головная про-

грамма насчитывает величины ( )log jL и ( )log jx∆ ,

0,1,...,j = ∆ . Далее определяется уравнение линейной рег-

рессии ( )y x . Здесь же определен тангенс угла наклона

прямой линии β и величина фрактальной размерности

1D = − β . В результате получаем значение 1,8D ≈ .


30

На рис. 1.9 показана зависимость ( )log jL от ( )log jt∆ .

Как видно, расчетные точки кучно сосредоточены вокруг

линии регрессии, что свидетельствует о скейлинге и, как

следствие, правомерности проведенного расчета.

Второй алгоритм (программа 1.2) реализует метод,

связанный с покрытием кривой квадратиками (метод

сетки), то есть используется процедура, которую прово-

дил Е. Федер при измерении фрактальной размерности

побережья Норвегии. В тексте программы 1.2 присутст-

вуют такие подпрограммы-функции:

1) ( )eps n – определение размера стороны квадратика,

которыми покрывается исследуемая кривая, величина n

задает количество квадратов, которые укладываются на

отрезке оси абсцисс [ ]1, 2x x ;

2) ( )1, 2U a a – определяет, так называемый, размах

функции, то есть разность между максимальным и ми-

нимальным значениями функции, на отрезке [ ]1, 2a a .

Головная программа N подсчитывает количество кле-

ток, которыми покрывается кривая Вейерштрасса-

Мандельброта при укладывании на отрезке оси абсцисс

[ ]1, 2x x квадратиков в количестве n штук. Величина n

изменяется от 20 до 200 с шагом равным 10. Программа 1.2.

Оценка фрактальной размерности кривой. Метод сетки

Лекция 1

31

1: 0 2 : 0,5 : 1,5 : 1,8 : 50x x b d K= = = = =

( )( )( )

( )2

1 cos:

kK

x kk K

b xf x

b− ⋅

=−

− ⋅= ∑ ( ) 2 1

eps :x x

nn

−=

: 20, 30 .. 200n =

( )1, 2 : 100U a a M= ← : 100nN m= ←

2 1

dela a

M

−← ( )for 0 .. 1

1 epsi

i n

x x n i

∈ −← + ⋅

for 0 ..i M∈ ( ) ( )1 1 eps 1ix x n i+ ← + ⋅ +

( )

( ) ( )1 del

max min

id f a i

A d d

← + ⋅

← −

( )( )

1,

eps

i iU x xk

n

+←

A ( )ceilm m k← +

m

( ) ( )( )( ) ( )( )

200 20ln ln:

ln eps 200 ln eps 20

N ND

−=

− + : 1,795D =

–7 –6 –5 –4 (((( ))))(((( ))))ln eps n

(((( ))))ln nN

6

8

10

12

Рис. 1.10. Зависимость (((( ))))ln nN от (((( ))))ln eps( )n для "берего-

вой линии" в виде функции Вейерштрасса-Мандельброта, 1,8d ==== , 1,5b ==== (метод сетки)


32

На рис. 1.10 показана зависимость ( )ln nN от

( )ln eps( )n . Как видно, расчетные точки укладываются

вдоль прямой, угловой коэффициент которой определяет клеточную размерность 1,795D ≈ .

1.5. Контрольные вопросы к первой лекции 1.1. Приведите примеры объектов, обладающих фрак-

тальными свойствами. 1.2. Почему длина не является характерной мерой для

фрактальной кривой? 1.3. Каков смысл понятия самоподобный объект? 1.4. Что ограничивает применимость понятия скей-

линга к реальным природным объектам? 1.5. Оцените клеточную размерность следующих кри-

вых: 1) дуга окружности; 2) функция Вейерштрасса-Мандельброта при 1,5b = ,

1,2d = ; 1,5; 1,8;

3) функция Вейерштрасса при 0,9a = , 1,3b = . Про-

следите, как меняется клеточная размерность при изме-нении числа слагаемых в конечной сумме формулы (1.7) от 1 до 50.

1.6. Продолжите исследование свойства самоподобия у функции Вейерштрасса (рис. 1.7) для других масштабов наблюдения.

l 1 nfreescb.info/sites/freescb.info/files/l_1_n.pdfМацыпура , А. А. Снарский ....

Documents