放射線計測学特論 Radiation Detection & Measurement

ミ ク ロ の 世 界

19世紀の物理学Newton 力学

Maxwell の電磁気学☟

自然現象の「全て」を記述することができる「物理学は終わった」と考えられていた

☟小さな世界でほころびが見えた

1859: Kirchhoff による黒体輻射に関する法則1885: Balmer による水素原子のスペクトル観察1911: Rutherford 散乱

原子の構造「原子は電気的に中性」＋「電子は負電荷」

☟正電荷の分布はどうなっているのか

例えば...

Thomson’s model Nagaoka’s model

electron

正電荷の分布

Rutherford 散乱by Geiger & Marsden

α-ray (positive) gold foil

Rutherford model

原子の不安定性長岡-Rutherford 模型の問題点

Maxwell の電磁気学によれば，加速されている電子は，電磁波を出してエネルギーを失っていく

dE

dt= �2

3e2

4�⇥0c3|a|2

dE

dt= �2

3

�e2

4�⇥0

�3 1m2c3r4

ma =e2

4�⇥0

1r2

水素原子の寿命は　　　　　　程度となる� � 10�11 [s]

&

☟

電子は原子核の周りを回っているわけではない

19世紀の物理学Newton 力学

Maxwell の電磁気学☟

自然現象の「全て」を記述することができる「物理学は終わった」と考えられていた

☟小さな世界でほころびが見えた

1859: Kirchhoff による黒体輻射に関する法則1885: Balmer による水素原子のスペクトル観察1911: Rutherford 散乱

原子スペクトルの離散性水素原子からの可視光スペクトル ... Balmer による発見

1�

=⇥

c= R

�122� 1

n2

�(n = 3, 4, · · · )

R = 1.097� 107 [m�1]（　　　　　　　　　 ：Rydberg 定数）

1�

=⇥

c= R

�112� 1

n2

�

1�

=⇥

c= R

�132� 1

n2

�

1�

=⇥

c= R

�142� 1

n2

�

1�

=⇥

c= R

�152� 1

n2

�

Lyman:

Paschen:

Blackett:

Pfund:

(n = 2, 3, · · · )

(n = 4, 5, · · · )

(n = 5, 6, · · · )

(n = 6, 7, · · · )

1�

=⇥

c= R

�1

m2� 1

n2

�☞

古典的な理論では説明がつかない

Bohr の仮説1913年のBohrによる提唱原子中の電子は，定常状態というとびとびの安定な状態だけをとることができる．電子はこの軌道上を運動している間は光を放出せず，円運動を仮定した場合，その角運動量の 2¼ 倍がPlank定数

と呼ばれる定数 h の整数倍に等しい．

電子が高いエネルギー準位 n から低いエネルギー準位 m に移ると

き，次のような振動数 º をもつ光を放出する．

2� · mvr = nh

� =En � Em

h=

me4

8⇥02h3

�1

m2� 1

n2

�

R =me4

8�02ch3

V

I

0 V0 2V0 3V0 4V0

Flank-Heltz の実験Ne gasの場合

V0 � 17 eV

¹A

v [V]VG [V]

V [V]

H K PG1 G2

19世紀の物理学Newton 力学

Maxwell の電磁気学☟

自然現象の「全て」を記述することができる「物理学は終わった」と考えられていた

☟小さな世界でほころびが見えた

1859: Kirchhoff による黒体輻射に関する法則1885: Balmer による水素原子のスペクトル観察1911: Rutherford 散乱

黒体輻射黒体 ... 入射した光が外に漏れない空間．熱平衡状態において，光の波長分布は温度の関数となる．

Rayleigh-Jeansの解釈Rayleighの仮定 (1900)

光は電磁波であるエネルギー等分配の法則が成り立つ

(1905: Jeansにより修正)

�

� �

0u(�) d� =�

エネルギー密度が発散してしまう

u(�) =8⇥�2

c3kBT

u(�)

固有振動の数

Wien の解釈Wien の仮説 (1896)

エネルギーは等分配されない分配されるエネルギーは振動数と温度の比によって決まる

u(�) =8⇥h�3

c3exp

�� h�

kBT

�

u(�)

�

低振動数（長波長）領域で合わない

Plank の解釈エネルギー量子仮説 (1900)エネルギーは連続量ではなく，º という振動数を有する放射のエネルギーは，hº という量の整数倍の値だけを持ちうる．

u(�) =8⇥h�3

c3

1

exp�

h�kBT

�� 1

En = nh� (n = 0, 1, 2, · · · )

�E� =

��

n=0

nh�e�nh�/kBT

��

n=0

e�nh�/kBT

=h�

eh�/kBT � 1

700K

1000K

1500K

☟

�

u(�)

黒体輻射３つの解釈の関係

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

0.0000000000

1.00E+07 1.00E+09

PlankR-JWien

u(�) =8⇥h�3

c3

1

exp�

h�kBT

�� 1

u(�)

�

u(�) =8⇥h�3

c3exp

�� h�

kBT

�u(�) =

8⇥�2

c3kBT

h� � kBTh� � kBT

量子化の手続き古典力学におけるエネルギーの関係式

量子化の手続きE =

p2

2m+ V (x)

E � i� �

�tp� �i� �

�x

i�⇥�(x, t)⇥t

=

�1

2m

��i� ⇥

⇥x

�2

+ V (x)

��(x, t)

=�� �2

2m

⇥2

⇥x2+ V (x)

��(x, t)

Schrodinger方程式

Hamiltonian 波動関数

水素原子の場合ポテンシャル

エネルギー固有値

規格化動径波動関数

V (r) = � 14�⇥0

e2

r

En = �|En| = � e2

8�⇥0a

1n2 a =

4�⇥0�2

me2

Rn⇥(r) = �

��2na

�3 (n� ⇥� 1)!2n[(n + ⇥)!]3

e��/2 �⇥ L2⇥+1n+⇥ (�)

� =2na

r

L2�+1n+� (�) =

n��=1�

k=0

(�1)k+2�+1 [n + ⇥)!]2�k

(n� ⇥� 1� k)!(2⇥ + 1 + k)!k!

（ラゲールの陪多項式）

水素原子の場合量子数の関係

1 2 3

0 0 1 0 1 2

分光学 1s 2s 2p 3s 3p 3d

0 0 -1,0,+1 0 -1,0,+1 -2,-1,0,+1,-2

縮退 1 1 3 1 3 5

縮退 1 4 9

電子はフェルミ統計に従うため，一つの量子状態を２つの電子しかとることができない

元素周期表

1H

2He

3Li

4Be

5B

6C

7N

8O

9F

10Ne

11Na

12Mg

13Al

14Si

15P

16S

17Cl

18Ar

19K

20Ca

21Se

22Ti

23V

24Cr

25Mn

26Fe

27Co

28Ni

29Cu

30Zn

31Ga

32Ge

33As

34Se

35Br

36Kr

37Rb

38Sr

39Y

40Zr

41Nb

42Mo

43Tc

44Ru

45Rh

46Pd

47Ag

48Cd

49In

50Sn

51Sb

52Te

53I

54Xe

55Cs

56Ba

57La

72Hf

73Ta

74W

75Re

76Os

77Ir

78Pt

79Au

80Hg

81Tl

82Pb

83Bi

84Po

85At

86Rn

87Fr

88Ra

89Ac

104Rf

105Db

106Sg

107Bh

108Hs

109Mt

110Ds

111Rg

112Cn

113Nh

114Fl

115Mc

116 Lv

117Ts

118Og

58Ce

59Pr

60Nd

61Pm

62Sm

63Eu

64Gd

65Tb

66Dy

67Ho

68Er

69Tm

70Yb

71Lu

90Th

91Pa

92U

93Np

94Pu

95Am

96Cm

97Bk

98Cf

99Es

100Fm

101Md

102No

103Lr

軌道電子の数（陽子の数）によって原子が決まる電子軌道（量子数）が原子の性質を決める一因となっている

原子核の基底状態水素原子の軌道電子の性質ポテンシャル　　　　　　　 によって決まっている

原子核内の陽子，中性子もクーロン力，強い相互作用などによって束縛されている

原子核にもs軌道，p軌道が存在してもおかしくはない原子核–電子の関係は，質量比によって原子核を中心として計算を行う核子間の関係は，質量的には等価

V (r) = � 14�⇥0

e2

r

☟

☟

ここまでのまとめ相対論的運動学の要請により本来，座標と時間は同等に扱われるべきものであり，個々に固有時を持ち合わせていることが重要である．エネルギーと質量は等価である．量子力学の要請によりプランク・スケールにおいては，エネルギーは量子化されている．軌道電子が基底状態の場合，原子は安定状態軌道電子だけではなく，原子核においても基底状態は存在する ... 原子核の安定状態を表す