la circonferenza...settore circolare È la parte di cerchio delimitata da: -da un-dai oadue raggi e...

SCHEDA DI SINTESI: CIRCONFERENZA E CERCHIO PROF.SSA STEFANIA SCIUTO

LA CIRCONFERENZA E’ IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI CHIAMA CORDA CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E’ DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO LA CORDA CHE PASSA DA CENTRO SI CHIAMA DIAMETRO (CORDA MASSIMA)

ARCO DI CIRCONFERENZA

QUANDO TRACCIO UNA CORDA LA CIROCNFERENZA VIENE DIVISA UN DUE ARCHI (ARANCIONE E VIOLA) POICHÉ A E B SONO GLI ESTREMI DI ENTRAMBI GLI ARCHI NEI QUALI RISULTA DIVISA LA CIRCONFERENZA DALLA CORDA, PER EVITARE CONFUSIONI SI NOMINA UN ULTERIORE PUNTO APPARTENENTE ALL'ARCO.

L'ARCO ARANCIONE VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO:

L'ARCO VIOLA VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO:

IL DIAMETRO DIVIDE LA CIRCONFERENZA IN DUE ARCHI UGUALI CHE

CHE HANNO COME ESTREMI, GLI ESTREMI DEL DIAMETRO. OGNUNO DEGLI ARCHI AB SI CHIAMA

SEMICIRCONFERENZA

CIRCONFERENZE PER 1, 2, 3 PUNTI

LA CIRCONFERENZA

PER UN PUNTO PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE

PER DUE PUNTI PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE

AVENTI IL CENTRO SULLA STESSA RETTA

PER TRE PUNTI PASSA UNA SOLA CIRCONFERENZA


PROPRIETÀ DELLA CORDA

LA PERPENDICOLARE CONDOTTA DAL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA AD UNA CORDA LA DIVIDE A METÀ

AOB È UN TRIANGOLO ISOSCELE (HA SICURAMENTE DUE LATI UGUALI CHE COINCIDONO

CON I RAGGI) E OH RAPPRESENTA SIA L’ALTEZZA CHE LA MEDIANA PERCHÉ NEL

TRIANGOLO ISOSCELE ALTEZZA E MEDIANA COINCIDONO.

QUINDI OH È PERPENDICOLARE ALLA BASE AB E LA DIVIDE A METÀ

DUE CORDE CONGRUENTI HANNO UGUALE DISTANZA DAL CENTRO E, VICEVERSA, DUE CORDE CHE HANNO L ASTESSA DISTANZA DAL CENTRO SONO CONGRUENTI

LE BASI DEI DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI DATO CHE ALL'INIZIO

ABBIAMO DISEGNATO DUE CORDE CONGRUENTI.

INOLTRE OA = OB = OC = OD perché RAGGI DELLA CIROCONFERENZA

DI CONSEGUENZA, I DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI.

SE I DUE TRIANGOLI SONO CONGRUENTI, ANCHE LE LORO ALTEZZE OH E OK SONO CONGRUENTI

1

2


CIRCONFERENZE E RETTE

RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA LA RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA: NON HA ALCUN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MAGGIORE AL RAGGIO

RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA

LA RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA:

HA DUE PUNTI IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P E PUNTO Q

LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MINORE DEL RAGGIO r

ETIMOLOGIA

SECANTEM È PARTICIPIO PASSATO DI SECARE = TAGLIARE.

SECANTE = LINEA CHE TAGLIA IN PIÙ PARTI UNA CIRCONFERENZA

RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

LA RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA:

HA SOLO UN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P

LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È CONGRUENTE AL RAGGIO r

ETIMOLOGIA

TANGENTEM È PARTICIPIO PRESENTE DI TANGERE = TOCCARE, CHE TOCCA.

TANGENTE = LINEA CHE TOCCA UNA CIRCONFERENZA)

PROPRIETÀ DELLE TANGENTI

IL RAGGIO r CONDOTTO DAL CENTRO AL PUNTO DI TANGENZA (PUNTO A) È

PERPENDICOLARE ALLA RETTA TANGENTE

I SEGMENTI DI TANGENZA AP E BP SONO

I TRIANGOLO OAP È UGUALE AL TRIANGOLO OBP CONGRUENTI

OAP E OBP SONO TRIANGOLI RETTANGOLI

AP = BP


POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE

DUE CIRCONFERENZE POSSONO ESSERE:

SECANTI; UNA ESTERNA ALL'ALTRA O UNA INTERNA ALL'ALTRA; TANGENTI INTERNAMENTE O ESTERNAMENTE; CONCENTRICHE.

CIRCONFERENZE SECANTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO SECANTI SE HANNO DUE PUNTI IN COMUNE.

CIRCONFERENZE ESTERNE

DUE CIRCONFERENZE SI DICONO ESTERNE SE NON HANNO NESSUNO PUNTO IN COMUNE

CIRCONFERENZE INTERNE

1

INDICHIAMO:

LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO';

IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA

IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A

POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO SECANTI SE LA DISTANZA DEI LORO

CENTRI È MINORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI

2

INDICHIAMO:

LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'


IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A’

POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' > r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO ESTERNE SE LA DISTANZA DEI LORO

CENTRI È MAGGIORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI

INDICHIAMO:




POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO INTERNE SE LA DISTANZA DEI

LORO CENTRI È MINORE DELLA DIFFERENZA DEI LORO RAGGI

3


CIRCONFERENZE TANGENTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO TANGENTI SE HANNO UN SOLO PUNTO IN COMUNE

CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE

CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE

DUE CIRCONFERENZE SI DICONO CONCENTRICHE SE HANNO LO STESSO CENTRO

LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA DUE CIRCONFERENZE CONCENTRICHE SI CHIAMA CORONA CIRCOLARE

INDICHIAMO:




POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI ESTERNAMENTE SE

LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA SOMMA DEI

LORO RAGGI

4

INDICHIAMO:




POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI INTERNAMENTE SE

LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA DIFFERENZA

DEI LORO RAGGI

5


ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA ALL’INTERNO DI UNA CIRCONFERENZA SI POSSONO DISEGNARE:

- ANGOLI IL CUI VERTICE COINCIDE CON IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA

(ANGOLI AL CENTRO)

- ANGOLI IL CUI VERTICE SI TROVA IN UN PUNTO QUALSIASI

DELLA CIRCONFERENZA (ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA)

AD OGNI ANGOLO CORRISPONDE UN ARCO E NEL LINGUAGGIO SPECIFICO SI DICE CHE:

L’ANGOLO “INSISTE” SULL’ARCO

QUINDI, GUARDANDO LE FIGURE A FIANCO POSSIAMO DIRE CHE:

L’ANGOLO INSISTE SULL’ARCO

L’ARCO È L’ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO AL CENTRO

L’ANGOLO INSISTE SULL’ARCO

L’ARCO È L’ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA


ANGOLI AL CENTRO

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

L’ANGOLO AL CENTRO

È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE NEL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA

ESISTE UN SOLO ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SU UN DATO ARCO.

OVVERO L’ANGOLO AL CENTRO CHE HA IL VERTICE IN O E CHE CORRISPONDE

ALL’ARCO È SOLO UNO

O

L’ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA

È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE SULLA CIRCONFERENZA

CI SONO INFINITI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTONO SU UN DATO ARCO E

HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA

CIOÈ:

SE DISEGNIAMO DIVERSI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA (VEDI DISEGNO A FIANCO) CHE

CORRISPONDONO TUTTI ALL’ARCO , CI RENDIAMO CONTO CHE:

1. POSSIAMO DISEGNARNE INFINITI

2. HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA

P

DISEGNIAMO:

- DUE ARCHI UGUALI E E QUINDI 2 CORDE UGUALI AB E CD

- GLI ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU TALI ARCHI: E

OTTENIAMO 2 TRIANGOLI ISOSCELI CONGRUENTI PERCHÉ:

HANNO LE BASI CONGRUENTI AB = CD

I LATI OBLIQUI CONGRUENTI AO = BO = DO = CO PERCHÉ SONO TUTTI RAGGI DELLA

CIRCONFERENZA

SE I TRIANGOLI SONO CONGRUENTI ALLORA ANCHE =

POSSIAMO CONCLUDERE CHE: ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU ARCHI CONGRUENTI SONO TRA LORO CONGRUENTI.


RELAZIONE TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

CONSIDERIAMO

UN ANGOLO AL CENTRO

UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA SE MISURIAMO I DUE ANGOLI NOTEREMO CHE

È IL DOPPIO DI IN CONCLUSIONE: OGNI ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA È LA METÀ DELL'ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO. P

CONSIDERIAMO

UN ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLA SEMICIRCONFERENZA (ARCO )

E UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO

SAPPIAMO CHE È IL DOPPIO DI QUINDI:

POICHÉ =180°SEGUE CHE = 90° DI CONSEGUENZA IL TRIANGOLO APB È UN TRIANGOLO RETTANGOLO CON L'IPOTENUSA CHE COINCIDE CON

IL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA. IN CONCLUSIONE: UN TRIANGOLO INSCRITTO ALL’INTERNO DI UNA SEMICIRCONFERENZA È SEMPRE UN TRIANGOLO RETTANGOLO

CONSIDERIAMO LA MEDIANA OP RELATIVA ALL'IPOTENUSA. (RICORDIAMO CHE LA MEDIANA DI UN TRIANGOLO È IL SEGMENTO CHE UNISCE UN VERTICE AL PUNTO MEDIO

DEL LATO OPPOSTO) NOTIAMO CHE

LA MEDIANA OP DEL TRIANGOLO NON È ALTRO CHE IL RAGGIO. DATO CHE L'IPOTENUSA DEL TRIANGOLO È

UGUALE AL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA, POSSIAMO DIRE CHE LA MEDIANA È

LA META' DELL'IPOTENUSA. IN CONCLUSIONE:

NEL TRIANGOLO RETTANGOLO LA MEDIANA È LA META' DELL'IPOTENUSA.


SETTORE CIRCOLARE

SEGMENTO CIRCOLARE

SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE

SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI

IL CERCHIO

IL CERCHIO È COSTITUITO DA TUTTI I PUNTI INTERNI

ALLA CIRCONFERENZA.

settore circolare

A B

O

IL SETTORE CIRCOLARE È LA PARTE DI CERCHIO DELIMITATA DA:

- DA UN ARCO - DAI DUE RAGGI OA E OB

IL SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA UNA CORDA E UN ARCO

SE LA CORDA CHE DISEGNIAMO È IL DIAMETRO, IL CERCHIO RISULTA DIVISO IN DUE PARTI UGUALI OGNUNA DELLE QUALI SI CHIAMA SEMICERCHIO:

IL SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA LE DUE CORDE PARALLELE


LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

AREA DEL CERCHIO

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO

c = d OPPURE c = 2r FORMULE INVERSE:

RAGGIO 2c

r

DIAMETRO: c

d

FORMULA INVERSA:

RAGGIO Ar

A = r2π


REGOLA

PROPORZIONE

FORMULE

LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA

l = C x α C = l x 360 α = l x 360 360 α c

C : lunghezza della circonferenza

α

360°

TRA UN ANGOLO AL CENTRO L’ARCO CORRISPONDENTE ESISTE UNA RELAZIONE DI

PROPORZIONALITÀ DIRETTA

LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE

l : C = α : 360


REGOLA

PROPORZIONE

FORMULE

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE

As = Ac x α Ac = As x 360 α = As x 360 360 α Ac

LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE

As: Ac = α : 360

TRA UN ANGOLO AL CENTRO L’AREA DEL SETTORE CIRCOLARE ESISTE UNA RELAZIONE DI

PROPORZIONALITÀ DIRETTA

α

360°

la circonferenza...settore circolare È la parte di cerchio delimitata da: -da un-dai oadue raggi e...

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