la integral definida y la primitiva de una función · el límite común de sn cuando n , si este...
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La Integral Definida y la Primitiva de una Función
Bloque de Contenidos N° 3
Realizado por:Ing. Mixaida Peña Zerpa
In. Mixzaida Peña 1
El límite común de Sn cuando n, si este existe, se llama Integral Definida
In. Mixzaida Peña 2
Integral Definida/ Integral de Reimman
XX
y y
X
yf(x)=2x f(x)=2xf(x)=2x
1/4 2/4 3/4 4/41/4 2/4 3/4 4/4
3/4= S4 A S4 =5/4
limn Sn =limn f(xi) x =Area
DefiniciónSi f es no negativa y continua en [a,b], entonces la integral definida proporciona el área debajo de la gráfica de f en [a,b]
In. Mixzaida Peña 3
Integral Definida/ Integral de Reimman
lim f x x f x dxn ii
i n
a
b
( ) ( )1
b
R
a
Los límites de Integración
lim f x fxdxii
in
ia
b
01
() ()
Integrando Variable de IntegraciónLos límites
de Integración
Teoremas Si f es continua en [a,b], entonces f es integrable en [a,b]; es decir
existe la integral definida
Sea f y g funciones continuas tales que f(x)g(x) en [a,b], entonces el área está dada por:
In. Mixzaida Peña 4
Integral Definida/ Integral de Reimman
A f x g x dxa
b
[ ( ) ( )]
x
y
a b
f x dxa
b
( )
Linealidad de la Integral Definida:Suponga que f y g son integrables en [a,b] y que k es una constante. entonces kf y f+ g son integrales y:
Derivación de la integral Definida
In. Mixzaida Peña 5
Teoremas
i kf x dx k f x dx
ii f x g x dx f x dx g x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
) ( ) ( )
) [ ( ) ( )] ( ) ( )
) [ ( ) ( )] ( ) ( )
In. Mixzaida Peña 6
Teoremas
• Propiedad de Comparación:Si f y g son integrables en [a,b] y si f(x)
g(x) para toda x en [a,b], entonces:
• Propiedad de Acotamiento:Si f es integrable en [a,b] y m f(x) M
para toda x en [a,b], entonces:
f x dx g x dxa
b
a
b
( ) ( )
m b a f x dx M b aa
b
( ) ( ) ( )
InterpretaciónSi la función y=f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces existe un valor tal que:
Problema:La utilidad P (en dólares) de un negocio está dado por:
P=)(x)=396x -2,1x2 -400donde x es el número de unidades del producto vendido . Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de x=0 a x=100. (Richard y Ernest, 1997)
In. Mixzaida Peña 7
Valor Medio (Promedio)
f b a f x dxa
b
( )( ) ( )
f ( )
x
y
a b
y f ( )
In. Mixzaida Peña 8
Lista básica de Integrales Indefinidas
1
21
1
3
4
5
6
71
0
1
. ;
. ;
.
. ( ) ( ) ;
. [ ( ) ( )] ( ) ( )
. ln
.ln
;
kdx kx C k constante
x dxx
nC n
n n racional
e dx e C
kf x k f x dx K constante
f x g x f x dx g x dx
dx
xx C
a dxaa C a
nn
x x
x x
8
9
10
11
12
13
141
151
161
171
181
2
2
2
1
2
1
21
21
2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cosxdx Senx C
Senxdx Cosx C
Sec xdx Tgx C
Csc xdx Cotx C
SecxTgxdx Secx C
CscxCotxdx Cscx C
dx
xSen x C
dx
xCos x C
dx
xTg x C
dx
xCot x C
dx
x xSec x C
In. Mixzaida Peña 9
Lista básica de Integrales Indefinidas
19
20
21
22
. tg ln
. ln
. ln
. sec ln sec
xdx Secx C
Cotxdx Senx C
Secxdx Secx Tgx C
Co xdx Co x Cotx C
DefiniciónUna antiderivada de una función f en un intervalo I es una función F tal que F’(x)= f(x).
El proceso de determinar todas las antiderivadas o de una función se denomina antiderivación o integración indefinida
En forma general, la Integral Indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe y denota la antiderivada más general de f. Como todas las antiderivadas de f difieren sólo en una constante, entonces:
si y solo si F’(x)=f(x)
In. Mixzaida Peña 10
La integral Indefinida
f x dx( )
f x dx F x C
C constante
( ) ( )
In. Mixzaida Peña 11
La integral Indefinida
f x dx F x C( ) ( ) Signo de IntegralProceso de antiderivación
Integrando
Constante de Integración
Variable de Integración=x
Interpretación:
Las antiderivadas F(x) +C son un conjunto de funciones dependientes de una constante
arbitraria que representan a una familia curvas y cuyas derivadas son f(x).
Si f y g son dos funciones tales que f ’(x)=g’(x) para todos los valores de x en el intervalo I, entonces existe una constante k tal que f(x)=g(x)+k
In. Mixzaida Peña 12
La integral IndefinidaTeoremas
Definición:
In. Mixzaida Peña 13
La integral DefinidaFunción Logaritmo Natural
ln ;
ln ;
ln
xtdt x
Dtdt D x
xx
D uuD u
x
x
x
x
x x
10
1 10
1
1
1 t
y
1 x
y=1/t
Fórmula de Integración por Partes.
Integración de Fracciones ParcialesPrimer Paso: El polinomio del denominador debe ser de menor grado que el numerador
In. Mixzaida Peña 14
Métodos
y uv
u f x
v g x
( )
( )
N x
D xP x
R x
D x
( )
( )( )
( )
( )
Segundo Paso: Factorizar el
denominador en factores lineales
y cuadráticas irreducibles.
Tercer Paso:
Si el denominador contiene
factores lineales distintos y no
repetidos, entonces a cada factor
le corresponde una fracción
parcial A/(x-a), tal que el
integrando sea la suma de las
fracciones parcial.
udv uv vdu
Si hay factores lineales repetidos, entonces a cada factor (x-a)k, le corresponderá la suma de k fracciones parciales:A/ (x-a) + B/ (x-a)2+...+ K/ (x-a)k
Si el denominador contiene factores cuadráticos irreducibles distinto y no repetido, entonces a cada factor le corresponde una fracción parcial de la forma (Ax+B)/(x2 + bx +c)
In. Mixzaida Peña 15
MétodosSi el denominador contiene factores
(x2 + bx +c)k, entonces a cada uno de
tales factores le corresponde una
suma de k fracciones parciales de la
forma:
(A+Bx)/ (x2 + bx +c)+ (C+Dx)/ (x2 +
bx +c)2 +... (M+Nx)/ (x2 + bx +c)k
Cuarto Paso:
Se determinan los valores de las
constantes
Quinto Paso:
Se resuelven las integrales por los
métodos ya conocidos.
In. Mixzaida Peña 16
Métodos de Cambio de Variable o Integración por Sustitución
F g x g x dx F g x C
f g x g x dx F g x C
' ( ( )) ' ( ) ( ( ))
( ( )) ' ( ) ( ( ))
Paso #1 Sea u=g(x), donde g(x) es parte del integrando, que
por lo general es la función interior de f(g(x))
Paso # 2 Se calcula d u=g’(x) d x
Paso # 3Se usa la sustitución u=g(x) y d u=g’(x) para
convertir toda la integral en una que solo utilice u
Paso # 4 Se evalúa la integral resultante
Paso # 5 Se reemplaza u con g(x)
(Tan, 1998, p.678)
Problemas:1. Si la función de Ingreso Marginal para el Producto de un fabricante es:
dI/dx=2000-20x-3x2 . Encontrar la función demanda.
2. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de $4000. Los costos fijos son costos como la renta y el seguro, que permanecen constante durante todos los niveles de producción en un periodo dado. Si la función de costo marginal dC/dx es 0.000001(0,002x2
-25x)+0,2. Donde c es el costo total ($)de producir x libras de producto por semana encontrar el costo de producir 10000 libras en una semana.
3. Un cierto fabricante determinó que si x unidades de un cierto artículo de mercancía se produce por día , el costo marginal es C’(x)=0.3x - 11. Si el precio de venta del artículo es de $19 por unidad y el costo general es de 100 dólares por día. Calcular la máxima utilidad total diaria.
In. Mixzaida Peña 17
Aplicaciones
(Richard y Ernest, 1997)
(Leithold, 1987, p.515)
Definición: si f es continua en el intervalo [a,b] y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces:
In. Mixzaida Peña 18
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
f x dx F x F b F aa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
A a
A b f x dx
A x h A x hy
y
lim f x
A x f x
A x F x C
F a C
C F a
A x F x F a
x b
A b F b F a
f x dx F b F a
a
b
A x h A xh
hA x h A x
h
a
b
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
' ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
x
y
a b
f(x)
x x+ h
_y
Si f es continua en [a,b], entonces
es diferenciable en cada punto x de [a,b], y
Corolario: Si y=f(x) es continua en [a,b], entonces existe una función F(x) cuya derivada en [a,b] es f
In. Mixzaida Peña 19
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
F x f t dta
x
( ) ( )
dF
dx
d
dxf t dt f x
a
x
( ) ( )
In. Mixzaida Peña 20
Propiedades de la Integral DefinidaTeoremasSia b entonces
f x dx f x dx
f x dx
f x dx
kf x dx k f x dx k constante
b
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
b
, :
. ( ) ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( ) ;
1
2 0
3
4
f es continua y f(x) 0 en [a,b]
5
6
7
8 0
0
9
. [ ( ) ( )] ( ) ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( ) ( )
. ( ) ;
( ) [ , ]
. ( ) ( ) ;
( ) ( ) [ , ]
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f t dt
f x dx f x dx f x dx
a b c
f x si
f x a b
f x dx g x dx si
f x g x a b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
a
b
b
c
a
b
en
a
b
a
b
en
x
y
a
f(x)
Determinación del Excedente del productor:
Determinación del Excedente del productor:
In. Mixzaida Peña 21
Aplicaciones
x
p
x o
po
Excedente
Escasez
Punto de equilibrio
CS=Excedente de consumidores
PS=Excedente de consumidores
CS f x p dxx
[ ( ) ]00
0
PS p g x dxx
[ ( )]00
0Problema: La función de demanda para un producto es p=100 -0,05xLa función de oferta es p= 10 + 0,1 xDeterminar los excedentes de consumidores y productores bajo equilibrio de mercado. (Richard y Ernest,1997)
Regla del Trapecio: f es continua y f(x) 0 sobre [a,b]
In. Mixzaida Peña 22
Métodos de Integración Aproximada
I f x dxb a
f a f b E
I f x dxh
f a f a h f a n h f b E
hb a
n
E f x dxb a
f a f b
E b a h f x h f
E b a h M
M
a
b
a
b
a
b
( ) [ ( ) ( )]
( ) { ( ) ( ) .... [ ( ) ] ( )}
( ) [ ( ) ( )]
( ) ' ' ( ) ' ' ( )
( )
2
22 2 1
2
1
12
1
121
12
2 3
2
Cota paraerior max f xsup ''( )
x0=a xn =b
y
x
x1=a+h
a b
y=f(x)
Ventajas: sencillez y óptima para integrales impropias Desventajas: necesita un gran número de subinetrvalos para una
buena precisión.
Problema:
1.Usar la regla del trapecio con n=4, para estimar , y comparar esta aproximación con el valor exacto de la integral. (Thomas, 1987, p. 311).2.Ajústese por la regla del trapecio y la regla de Simpson con n=2
In. Mixzaida Peña 23
Métodos de Integración Aproximada
x dx2
1
2
4 3
0
1
x dx
I f x dxh
f a f x f b Eh
f a f a h f b E
hb a
xa b
I f x dxh
f a f a h f a h f a n h f b E
hb a
nn N par
E b ah
max f x
a
b
a
b
iv
( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]
( )
( ) { ( ) ( ) ( ) ... [ ( ) ] ( )
( ) (
34
34
2
2
34 2 2 4 1
180
4
) ( )
( ) [ , ]
( )
( )sup
1
90
180
5 4
4
h f
max f x en a b
E b ah
M
M Cota max f x
iv
tomados
erioriv
In. Mixzaida Peña 24
Regla de Simpson
x0=a x2 =b
y
x
x1=a+h
y=f(x)