la methode des elements finis - freddy.univ-tln.frfreddy.univ-tln.fr/enseignement/ef/ef_2007.pdf ·...
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Calcul Scientifique: Photothèque de l’INRIA
Écoulement stationnaire Eulerien autour d'une géométrie de Falcon JJ. Visualisation des pressions.
Visualisation d'un maillage de matériau composite (fibres entrelacées et de résine).
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Écoulement de fluides : optimisation de forme sans contrainte sur un multi-corps en régime subsonique.Objectif : réduction de la trainée et augmentation de la portance pour une aile développée en position d'atterrissage. La forme et les positions sont changées par l'optimisation.Optimisation sur maillage à connectivité et nombre de points variables (maillage adaptatif par contrôle de métrique).
Représentation de la densité d'un fluide autour d'une aile multicorps.
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Visualisation de l'onde d'un radar diffractée sur le corps d'un avion. Équations de Maxwell.
Optimisation de forme appliquée au formage électromagnétique.Visualisation de la distribution des forces magnétiques créées par des courants de haute fréquence, sur la surface d'une boule de métal liquide en équilibre (état final).
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Prédictibilité des courants Océaniques.Visualisation des régions de l'Atlantique Nord où les prévisions sont les plus sensibles aux données d'observation
Localisation de la pollution à l’ozone.Méthode multi-échelle.
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ΩΩΩΩ
+1
+1
+1
?
ux=0uy=0 x
y
ux=0
+1/2
+1
P=0,2,4399 nœuds130 éléments
P=4,6,8708 nœuds257 éléments
P=8,10,121016 nœuds389 éléments
P=12,14,161472 nœuds589 éléments
Optimisation topologique de forme
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Exemple d’étude à l’ISITV: T-Foil sur navire
Florent VERTALLIERFabien CHAILLANOption Mathématique promo 2002
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Faisabilité: Calcul des structures
Géométrie: Calcul RDM simpliste
Configuration 2 jambes
Moment maximal en fonction de α
Configuration 3 jambes
Moment maximal en fonction de α
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Dimensionnement: Calcul EF
• Profil NACA012
• Raidisseurs transversaux tous les 50cm
• Raidisseurs longitudinaux: cylindrique (1)ou droit (1,2 ou 3)
Optimisation des épaisseurs
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Exemple d’étude à l’ISITV: Aerodynamique
Elodie CANNONEThomas VITTEOption Mathématique promo 2001
Objectif: battre le record du monde de vitesse343.92 Km/h en 1971
322.460 Km/h
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Etude numérique
Maillage
Evolution de la traînée en fonction du Reynolds
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000
ReynoldsT
raîn
ée
MH 33MH 32MH 30MH 23MH 22MH 20MH 24MH 43
M H 2 4M H 2 3M H 2 0
M H 2 2
M H 3 2
M H 4 3M H 3 0
M H3 3
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Exemple de stage à l’ISITV: Société Nymphea
Nathanael MACREZOption Mathématique promo 2004
Tulipe
Flexible
Fontaine
Source
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Etude des efforts hydrodynamiques et résistance de la structure immergée
e = 4 mm
Cône 1 (e=3 mm)
Demi-sphère (e=3 mm)
Cylindre (e=3 mm)
Cône 2 (e=3 mm)Courant+ Houle2nds < V < 4nds
20000 N
Courantomètre (e=8 mm)
900 N1800 N3600 N
500 N1000 N2000 N
3000 N6000 N12000 N
2500 N5000 N10000 N
150 N300 N600 N
Flèche maximale∆2=6 mm∆3=12 mm∆4=24 mm
Contrainte maximale
σmax2=50 Mpa < σeσmax3=90 Mpa < σeσmax4=180 Mpa < σe
Modélisation des efforts Déformée Contraintes
Limite d’élasticitéde l’acier inoxydableσe=200 MPa
La structure est haubanée et une partie a été redimensionnée
9,6 m
8,4 m
7,5 m
3.8 m
0 m
haubanage e = 4 mm
29/51
0fdtdT
CTdivK ====++++ρρρρ++++∇∇∇∇
γγγγρρρρ====++++σσσσ fdiv
εεεεµµµµ++++εεεελλλλ====σσσσ 21Tr
Thermique
Mécanique
Du solide élastique
Du fluide newtonien
D21DTr1p µµµµ++++λλλλ++++−−−−====σσσσ
… etc ...
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Lemme Fondamental
)t,t(t,0)t(f
alors
0)t()t(et0)t(
quetellecontinue)t(,0dt)t()t(fsi
21
21
t
t
2
1
∈∈∈∈∀∀∀∀====
====ξξξξ====ξξξξ>>>>ξξξξ
ξξξξ∀∀∀∀====∫∫∫∫ ξξξξ
• Méthode des résidus pondérés
• Principe des travaux virtuels
• Minimisation de l ’énergie
• ……..
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Etape 1: Formulation faibleApplication à l ’équation de la thermique stationnaire
ΩΩΩΩ====++++∇∇∇∇ domaineledans0fTdivK
On cherche le champ de température
T(x, t) tel que pour
toute fonction ϕϕϕϕ (nulle où la température est imposée)
(((( )))) 0dxfTdivK ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ++++∇∇∇∇ΩΩΩΩ
or divϕϕϕϕ A ==== ϕϕϕϕdiv
A ++++ gr
a dϕϕϕϕ ⋅⋅⋅⋅
A , d'où la formulation faible
(((( )))) (((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ++++∇∇∇∇ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
fdxTdxKdxTKdivdxfTdivK
puis par application du théorème de la divergence
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ∂∂∂∂
fdxTdxKdSn.TK
soit en définitive
∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ∂∂∂∂ΩΩΩΩΩΩΩΩ
dSn.TKfdxTdxK
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Etape 2: « Découpage »
ΩΩΩΩ Nœud
Elément
On approche le champ continu T(x) par un champ discret dont les inconnues nodales sont notées Ti
∑∑∑∑========
N
1iii T)x(fct)x(T
On choisit des fonctions définies sur un élément et nulles ailleurs, appelées fonctions de formes
∑∑∑∑========
Ne
1iii T)x(N)x(T
33/51
Linéaire Quadratique incomplet
Quelques types dQuelques types dQuelques types dQuelques types d’é’é’é’élllléééémentsmentsmentsments
35/51
Etape 2 bis: Formulation éléments finis
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ
dxfTdxK
On décompose l’intégrale sur le domaine en une sommed’intégrales sur chacun des éléments Ve
(car ΩΩΩΩ====∪e
Ve et j,i,VV je
ie ∀∀∀∀∅∅∅∅====∩ )
∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇e Vee Ve
dxfdx)x(TK
Sur chaque élément le champ de température est approximépar les fonctions de forme
∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇e Vee Ve
ii dxfdxT)x(NK
On choisit comme fonction ϕϕϕϕ chacune des fonctions de formeNj attachée à l’inconnue nodale du nœud j (méthode deGalerkine).
N,...,1jpour,dx)x(fNdxT)x(NK)x(Ne Ve
je Ve
iij ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇
36/51
Soit
N,...,1jpour,dx)x(fNTdx)x(NK)x(Ne Ve
je
iVe
ij ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫====∑∑∑∑
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇
N,...,1jpour,FTKe
ej
ei
eij ====∑∑∑∑====∑∑∑∑
Soit un système de N équations à N inconnues
Etape 3: Résolution
• Méthode itérative: Gauss-Seidel, Jacobi, GMRES, …• Méthode directe: LU• Stockage creux, ligne de ciel, …
37/51
Exemple Pas à Pas: un problème de thermique
xk1
k2
T=0°C
T=10°C
X=0 X=1/2 X=1
====∇∇∇∇ 0TdivK
On effectue un maillage éléments finis simple
1
2 6
53
4
Elément n°1: nœuds 1 3 4 2Elément n°2: nœuds 3 5 6 4
Pour une conductivité constante dans le cas monodimensionnel la solution est une droite
On prend k1=1 et k2=2
x
T
0
10
20/3
xTk
xTk 21 ∂∂∂∂
∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂
à l’interface
38/51
On choisit un élément à interpolation linéaire
S1
S4
S2
S3
x
y
a
b
On définit les fonctions de forme sur l’élément telle que:T(x,y) = NS1(x,y) TS1 + NS2(x,y) TS2 + NS3(x,y) TS3 + NS4(x,y) TS4
On prendNS1(x,y) =(a/2-x)(b/2-y)/abNS2(x,y) =(a/2+x)(b/2-y)/abNS3(x,y) =(a/2+x)(b/2+y)/abNS4(x,y) =(a/2-x)(b/2+y)/ab
Ce qui nous donneabNS1,x(x,y) =-(b/2-y) et abNS1,y(x,y) =-(a/2-x)abNS2,x(x,y) = (b/2-y) et abNS2,y(x,y) =-(a/2+x)abNS3,x(x,y) = (b/2+y) et abNS3,y(x,y) = (a/2+x)abNS4,x(x,y) =-(b/2+y) et abNS4,y(x,y) = (a/2-x)
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ
dxfTdxK Tdx)x(NK)x(Ne
iVe
ij = 0= 0= 0= 0∑∑∑∑
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇ N,...,1jpour, ====
dx)x(NK)x(NVe
ij∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇
Calcul de la matrice de rigidité
39/51
Calcul de la matrice de rigidité
S1
S4
S2
S3
x
y
a
b
T(x,y) = NS1(x,y) TS1 + NS2(x,y) TS2 + NS3(x,y) TS3 + NS4(x,y) TS4
[[[[ ]]]]
========∇∇∇∇
4
3
2
1
4321
4321
S
S
S
S
y,Sy,Sy,Sy,S
x,Sx,Sx,Sx,S
T
T
T
T
NNNN
NNNNTB)y,x(T
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξ====∫∫∫∫∫∫∫∫====−−−− −−−−
1
1
1
1
T
élément
Te ddBB4ab
kdxdyBkBK
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξ
ξξξξ−−−−++++ηηηη++++ξξξξ−−−−++++ηηηη++++−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−
ξξξξ++++++++ηηηη++++ξξξξ++++−−−−ηηηη−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−−−−−
ξξξξ++++++++ηηηη−−−−ξξξξ−−−−++++ηηηη−−−−−−−−
ξξξξ−−−−++++ηηηη−−−−
−−−− −−−−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dd
b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(b
)1(
a
)1(
b
)1(
a
)1(b
)1(
a
)1(
16ab
k
40/51
++++++++====∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξηηηηξξξξ
−−−− −−−− onsin)1j)(1i(
4impairjouisi0
dd1
1
1
1
ji
++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−
++++−−−−−−−−−−−−
++++++++−−−−
++++
====
22222222
222222
2222
22
e
b
2
a
2
b
1
a
2
b
1
a
1
b
2
a
1b
2
a
2
b
2
a
1
b
1
a
1b
2
a
2
b
1
a
2b
2
a
2
6abk
K
Dans le cas où a=b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
====
4121
1412
2141
1214
6k
K e
41/51
1
2 6
53
4
Elément n°1: nœuds 1 3 4 2Elément n°2: nœuds 3 5 6 4
Assemblage
[[[[ ]]]] 0TKe
e ====∑∑∑∑ [[[[ ]]]]
====
44434241
34333231
24232221
14131211
SSSSSSSS
SSSSSSSS
SSSSSSSS
SSSSSSSS
e
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
K
++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++
8224
2842
2482
4228++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−
−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++
4112
1421
1241
2114
[[[[ ]]]]
====
..
..
..
..
61
K
1 2 3 4 5 61
2
3
4
5
6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
====
4121
1412
2141
1214
6k
K e
42/51
[[[[ ]]]]
====
xxxx00
xxxx00
xxxxxx
xxxxxx
00xxxx
00xxxx
K
1
2 6
53
4
Elément n°1: nœuds 1 3 4 2Elément n°2: nœuds 3 5 6 4
Importance de la numérotation
12
6 5
3
4
Elément n°1: nœuds 1 2 5 6Elément n°2: nœuds 2 3 4 5
[[[[ ]]]]
====
xx00xx
xxxxxx
0xxxx0
0xxxx0
xxxxxx
xx00xx
K
43/51
Résolution du système
====
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
0
0
0
0
0
0
T
T
T
T
T
T
8224
2842
2412312
4231221
1241
2114
6
5
4
3
2
1
Application des conditions aux limites
++++++++
++++++++
====
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
20
20
20
20
6
5
4
3
2
1
20
20
20
20
10x100
10x100
0
0
10x00
10x00
T
T
T
T
T
T
10+8224
210+842
2412312
4231221
1210+41
21110+4
====++++−−−−====−−−−
60T12T3
60T3T12
43
43
320
TT 43 ========
44/51F. Besnier, T. Quesnel IRCN NantesConf. À l’école des Ponts et Chaussées Oct 2000
Portrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calcul
«««« Il doit être dIl doit être dIl doit être dIl doit être d’’’’une une une une curiositcuriositcuriositcuriositéééé systsystsystsystéééématique et sans limite: son matique et sans limite: son matique et sans limite: son matique et sans limite: son œœœœil doit sil doit sil doit sil doit s’’’’attacher attacher attacher attacher àààà llll’’’’anormal, au anormal, au anormal, au anormal, au surprenant, surprenant, surprenant, surprenant, àààà llll’’’’inattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositéééé lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le modmodmodmodèèèèle et derrile et derrile et derrile et derrièèèère le modre le modre le modre le modèèèèle la structure, dons de dle la structure, dons de dle la structure, dons de dle la structure, dons de déééétecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du modmodmodmodèèèèle.le.le.le.
Il doit être dIl doit être dIl doit être dIl doit être d’’’’une une une une mmmmééééfiancefiancefiancefiance totale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui n’’’’est pas expliquest pas expliquest pas expliquest pas expliquéééé est est est est àààà priori suspect. priori suspect. priori suspect. priori suspect. LLLL’’’’acceptation des racceptation des racceptation des racceptation des réééésultats est plutôt un nonsultats est plutôt un nonsultats est plutôt un nonsultats est plutôt un non----rejet de ceuxrejet de ceuxrejet de ceuxrejet de ceux----ci. Nci. Nci. Nci. N’’’’ayant aucune raison de ayant aucune raison de ayant aucune raison de ayant aucune raison de considconsidconsidconsidéééérer ces rrer ces rrer ces rrer ces réééésultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.
Il doit être Il doit être Il doit être Il doit être rusrusrusruséééé pour mieux reprpour mieux reprpour mieux reprpour mieux repréééésenter au mieux les phsenter au mieux les phsenter au mieux les phsenter au mieux les phéééénomnomnomnomèèèènes qunes qunes qunes qu’’’’il veut modil veut modil veut modil veut modééééliser, avec les liser, avec les liser, avec les liser, avec les outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et modestemodestemodestemodeste devant la complexitdevant la complexitdevant la complexitdevant la complexitéééé du rdu rdu rdu rééééel.el.el.el.
Mais toutes ces qualitMais toutes ces qualitMais toutes ces qualitMais toutes ces qualitéééés sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande expexpexpexpéééérience individuelle et collectiverience individuelle et collectiverience individuelle et collectiverience individuelle et collectiveet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expéééérience dans et hors de lrience dans et hors de lrience dans et hors de lrience dans et hors de l’’’’entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, acquis du bureau dacquis du bureau dacquis du bureau dacquis du bureau d’é’é’é’étude.tude.tude.tude.
CCCC’’’’est dest dest dest d’’’’ailleurs cette expailleurs cette expailleurs cette expailleurs cette expéééérience qui le rend rience qui le rend rience qui le rend rience qui le rend mmmmééééfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, ruséééé et modesteet modesteet modesteet modeste, car les , car les , car les , car les calculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester l’’’’affaire des affaire des affaire des affaire des mmmméééécanicienscanicienscanicienscaniciens.... »»»»
45/51
40 mm
20 cm
25 cm
14 mm
7 cm
20 cm
14 mm
14 mm40 mm
20 cm
25 cm
14 mm
7 cm
20 cm
14 mm
14 mm
Le projet de l’an dernier : Etagère à BDs
7 cm
20 cm
25 cm
25 cm 50 cm
25 mm
7 cm
20 cm
25 cm
25 cm 50 cm
25 mm
On cherche à vérifier la solidité d’une étagère en pin devant supporter des « bandes dessinées » (60kg/m).Caractéristiques du pin : (ν=0.3, ρ=450kg/m3,
E=1000kg/mm2, σ traction=8kg/mm2, σ compression=4kg/mm2.
Hypothèse 1: Loi de comportement élastique linéaire
Hypothèse 3: On ne modélise pas les équerres, on suppose un contact rigide glissant
Hypothèse 2: petites perturbations
46/51
Modélisation n°1: Elasticité 3D p
(((( ))))T1u u
2
div f
ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇
σ +σ +σ +σ +
F
0 dans
n p sur
C
= Ω= Ω= Ω= Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = εσ = εσ = εσ = ε
x
y
z
u (x, y, z)
ddls : champ de déplacement u u (x, y, z)
u (x, y, z)
====
Soit dans le cas isotrope
(((( ))))1Tr 1
E E+ ν ν+ ν ν+ ν ν+ ν νε = σ − σε = σ − σε = σ − σε = σ − σ
Avec
x
y yx
yx z z z
ux
u uu1( )
2 y x y
uu u u u1 1( ) ( )
2 z x 2 y z z
∂∂∂∂ ∂∂∂∂
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂∂ε = +ε = +ε = +ε = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ ++ ++ ++ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
xy
z
yu 0====
xu 0====
zu 0====
Conditions aux limites
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Modélisation n°2: Elasticité Plane 2D
(((( ))))T1u u
2
div f
ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇
σ +σ +σ +σ +
F
0 dans
n p sur
C
= Ω= Ω= Ω= Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = εσ = εσ = εσ = ε
x
y
u (x, y)
ddls : champ de déplacement u u (x, y)
??
====
Soit dans le cas isotrope
(((( ))))1Tr 1
E E+ ν ν+ ν ν+ ν ν+ ν νε = σ − σε = σ − σε = σ − σε = σ − σ
Avec
yx x
y yx
uu u1( ) 0
x 2 y x
u uu1( ) 0
2 y x y
0 0 ??
∂∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ++++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ε = +ε = +ε = +ε = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
p
xy
yu 0====xu 0====
Conditions aux limites
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Modélisation n°3: Théorie des poutres (plan)
xy
yu 0====
x
z
u 0
0
====θ =θ =θ =θ =
Conditions aux limites
px
y
z
u (x)
ddls : champ de déplacement u u (x)
(x)
==== θθθθ
x x1S ST e dX et M X X e dX= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫
fx,x1fy,x z2
z,x3
a (x) u (x)
a (x) u (x) (x)
(x) (x)
===== − θ= − θ= − θ= − θ
χ = θχ = θχ = θχ = θ
21 1 2
a EST a ES , T
2(1 )= == == == =
+ ν+ ν+ ν+ ν
i i 1 f,x
f,x x
i i i i1
i i i
Pour chaque intervalle x ,x f T 0
c M e T 0
Pour x i 1, , J F T(x ) T(x ) 0
C M(x ) M(x ) 0
++++
+ −+ −+ −+ −
+ −+ −+ −+ −
+ =+ =+ =+ =
+ + ∧ =+ + ∧ =+ + ∧ =+ + ∧ == + − == + − == + − == + − =
+ − =+ − =+ − =+ − =
…………
3 3 3M E I= χ= χ= χ= χ
Déformation
Contrainte
Loi de comportement
Equation d’équilibre
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Modélisation demandée
Hypothèse: Loi de comportement élastique linéaire
Hypothèse: On ne modélise pas les supports rouleaux, on suppose un contact rigide glissant
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Vous effectuerez des simulations par élément finis, avec une modélisation théorie des poutres (« éléments portiques ») et élasticité plane. Pour chaque modélisation, au moins deux maillages seront réalisés. Un rapport de 5 à 6 pages devra être rendu à l’issu du TP. Ce rapport comportera obligatoirement :
• Un descriptif du maillage• Une explication des conditions aux limites• Une analyse des résultats• Un calcul analytique « théorie des poutres »• Un tableau récapitulatif avec confrontation des résultats
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Projet Eléments Finis Mastère Mécanique Numérique
Documentation
Présentation de quelques travaux avec SIChttp://sic.univ-tln.fr/
"Modélisation des structures par éléments finis",Batoz, Dhatt, ed Hermes" La méthode des éléments finis", Taylor, Zienkiewicz, ed AFNOR"Une présentation de la méthode des éléments finis", Dhatt, Touzot, ed Maloines
Cours esm2http://esm2.imt-mrs.fr/gar/ef.htmlCours strasbourghttp://www-ipst.u-strasbg.fr/loic/el-finis/cef.htmCours isitvhttp://freddy.univ-tln.fr/enseignement