le azioni interne - home - people.unica.it - università...
TRANSCRIPT
Le azioni interne
Significato e definizione delle azioni interne
• La schematizzazione delle strutture (siano essi componenti meccanici, civili o
dispositivi medici a funzione strutturale), oltre al calcolo delle reazioni vincolari,
richiede che si individui il modo in cui le forze esterne applicate si trasmettono al loro interno
• Come vedremo in seguito, questo aspetto è di particolare rilevanza, perché la conoscenza di tali “forze interne” è funzionale al calcolo delle sollecitazioni che
a loro volta, confrontate con le caratteristiche dei materiali che sono impiegati per la
realizzazione della struttura, forniscono la risposta che l’ingegnere si attende
ogniqualvolta progetta
La struttura resiste?
La struttura è in grado di assolvere i compiti per i quali è stata progettata?
• Le forze interne (che chiameremo azioni interne) possono essere messe in evidenza
“aprendo” (tagliando) la struttura in un punto qualsiasi.
• L’apertura equivale all’eliminazione di un vincolo completo (incastro) che
identifica la continuità dell’asta e si esplicita nel mettere in evidenza le forze (due nel
piano) e i momenti (uno nel piano) scambiati tra le due porzioni di struttura separate.
Significato e definizione delle azioni interne
A seguito di tali operazioni, devono comunque essere rispettate due regole:
1. Vale il principio di azione e reazione, ossia le azioni presenti su una parte della
struttura ottenuta dalla separazione sono uguali e contrarie alle azioni presenti sulla
restante parte;
2. Le due parti di struttura ottenute devono a loro volta essere in equilibrio sotto
l’effetto delle azioni esterne che le competono e considerando le azioni interne
scambiate.
P
P
VA VB
HB
A B
S
Significato e definizione delle azioni interne
Quindi, interrompendo la continuità di un’asta, della quale sono note le azioni e
le reazioni, per l’equilibrio, nella sezione che si realizza con il «taglio» è
necessario introdurre
N.B. La sezione S deve essere normale all’asse dell’asta
N N
T
T M
M
3 “azioni interne” chiamate N, T, M, uguali e contrarie sui due spezzoni di asta
N = Azione Normale T = Taglio M = Momento flettente
S
Calcolo delle azioni interne
Il calcolo delle azioni interne viene fatto in maniera semplice: è sufficiente scrivere le equazioni di equilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo.
• Nel caso in cui la struttura sia vincolata è necessario prima individuare il valore delle reazioni vincolari e successivamente calcolare il valore delle tre azioni
incognite N, T e M.
• La porzione di corpo analizzata può essere considerata un corpo soggetto ad un
sistema di forze nel quale tre sono incognite. Le equazioni cardinali della statica
forniscono le tre equazioni necessarie alla risoluzione del problema.
• Le azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati in
figura.
+ N N
+ T T + M M
AZIONE NORMALE Positiva se uscente
(di trazione)
TAGLIO Positivo se induce
una rotazione oraria della porzione
considerata (concio)
MOMENTO FLETTENTE Positivo se tende le fibre inferiori
del corpo
Calcolo delle azioni interne
Le azioni interne, come detto, sono di fatto forze e momenti e dunque si misurano:
AZIONE NORMALE in Newton [N]
TAGLIO in Newton [N]
MOMENTO FLETTENTE in Newton • metro [N m] o Newton • millimetro [N mm]
• Sono dipendenti dalla sezione nella quale si considerano (quindi dipendono dalla
coordinata x che si assume per il calcolo)
• Si possono determinare, ottenendo lo stesso risultato in termini di valore assoluto,
nello spezzone di struttura a destra o a sinistra del taglio
• Il calcolo delle azioni interne assume un significato importante se esteso a tutto il
corpo (o a tutta la struttura) perché fornisce informazioni fondamentali per il progetto
• L’entità e la tipologia delle azioni interne, nonché il loro andamento all'interno del corpo
influenzano la progettazione della forma e dei materiali con i quali il corpo deve essere
realizzato.
• L’andamento delle azioni interne viene rappresentato mediante dei diagrammi. I diagrammi vengono rappresentati lungo una linea che percorre il corpo nel suo
sviluppo tridimensionale (o nel piano)
Esempio 1
A
A
B
B
MA
HA
VA
P
l
lPM
PV
H
A
A
A
⋅=
=
= 0
Reazioni Vincolari
Mensola (trave incastrata ad una
estremità) caricata con forza concentrata
all’altro estremo
• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto
qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per
le forze agenti sulla porzione di struttura.
• Detta x la distanza tra il punto in cui si “apre" la struttura e il punto A, due
sistemi sono equivalenti
P
A B
VA
Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto
qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le
forze agenti sulla porzione di struttura.
P T
N
M
Scriviamo le equazioni cardinali della statica per entrambe le porzioni di struttura
0
0
0
=−+−
=
=−
MxVM
N
TV
AA
A
MA
( ) 0
0
0
=−+
=−
=−
xlPM
N
PT
x l-x
NB I due sistemi sono EQUIVALENTI
0
0
0
=−+−
=
=−
MPxPl
N
TP
Esempio 1
Sinistra Destra
A B
VA
P T
N
M
Quindi la soluzione è:
MA
xPlPM
PT
N
⋅+⋅−=
=
= 0
x l-x
Da cui si evince che:
• L’azione interna assiale è NULLA
• L’azione interna di taglio è COSTANTE
• L’azione interna di momento è VARIABILE LINEARMENTE
Esempio 1
Convenzionalmente i diagrammi delle azioni interne si riportano al di sotto
della struttura originaria (in genere si riporta prima T, poi M e infine N)
xPlPM
PT
N
⋅+⋅−=
=
= 0
A B
MA
HA
VA
P
Pl M
T
N
+
+
+
Esempio 1
Esempio 2
A B HA
VA
F
l
0
0
l
aFFVVFV
l
aFVaFlV
FVV
H
ABA
BB
BA
A
⋅−=⇒−=
⋅=⇒=⋅+⋅−
=+
=
Reazioni Vincolari
Trave semplicemente appoggiata
caricata con forza concentrata
posta a distanza “a” dalla cerniera
sinistra
• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto
qualunque e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla
porzione di struttura considerata
A B
a
b
F
VB
Esempio 2
⋅=
⋅=
l
bFV
l
aFV
A
B
A B
VA
T
N
M
x l-x
F
VB
b
( )
⋅⋅
=⋅=
⋅==
=
xl
bFxVxM
l
bFVT
N
A
A
0
• Quando si arriva all’ascissa corrispondente alla posizione del carico
concentrato F si incontra una discontinuità nelle azioni interne che
riguarda sia l’azione di taglio sia il momento flettente
• Il calcolo delle azioni normali deve essere quindi fatto suddividendo l’asta in
campi corrispondenti alla posizione dei carichi (questo vale in generale)
• L’origine del sistema di riferimento può essere cambiata (partire da destra o
da sinistra). Resta inteso che, per una data posizione dell’asta, il valore
delle azioni interne deve essere lo stesso qualunque sia l’origine scelta
ax ≤≤0
Esempio 2
⋅=
⋅=
l
bFV
l
aFV
A
B
A B
VA
T
N
M
x
VB
⋅
⋅=⇒⋅=⇒=+⋅−
⋅−=⇒−=⇒=+
=
xl
aFxMxVMMxV
l
aFTVTVT
N
BB
BB
)(0
0
0
F
bx ≤≤0
M
N
T
Fisso l’origine del sistema di riferimento nel punto B
Esempio 2
M
T
N
+
+
+
A B HA
VA
F
VB
l
aFVT B
⋅−==
l
bFVT A
⋅==
al
bFaVM A ⋅
⋅=⋅=
Esempio 3
P
l
Trave appoggiata agli estremi caricata
con forza concentrata inclinata di 45° applicata in mezzeria
A B 45°
l/2
P A B 45°
VA VB
HA
2
245
2
245 cos
PsenPP
PPP
x
x
=°=
=°=A B
VA VB
HA
La forza applicata alla struttura può
essere scomposta secondo le direzioni
orizzontale e verticale
Py Px
Esempio 3
A B
VA VB
HA Py Px
4
2
4
2
2
2
PV
PV
PH
B
A
A
=
=
=
Reazioni Vincolari
Per il calcolo delle azioni interne si può aprire il corpo in due punti:
a sinistra e a destra del carico applicato. Supponiamo inizialmente di aprire a
sinistra
A B
VA
T
N
M
x l-x
HA Py Px
Esempio 3
A B
VA
T
N
M
x l-x
HA Py Px
Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:
0
0
0
=−⋅
=−
=−
MxV
HN
TV
A
A
A
xVM
HN
VT
A
A
A
⋅=
=
=
VB
Supponiamo ora di aprire in un punto a destra della forza applicata e
ripetiamo il calcolo. Ora l’origine degli assi si trova in corrispondenza
dell’estremo B
Esempio 3
A
VA
T N
M
l-x
HA
Facendo variare x tra 0 e l/2 nei due casi, possiamo tracciare i diagrammi delle
azioni interne
Py Px
B
x
VB
0
0
0
=⋅−
=
=+
xVM
N
TV
B
B
xVM
N
VT
B
B
⋅=
=
−=
0
Esempio 3
A B
VA VB
HA Py Px
xVM
HN
VT
A
A
A
⋅=
=
=
xVM
N
VT
B
B
⋅=
=
−=
0
Aprendo a sinistra del carico
Aprendo a destra del carico
M
T
N
+
+
+
IMPORTANTE
• Il punto in cui è applicata la forza verticale (orizzontale), rappresenta un punto di DISCONTINUITA’ per l’andamento del taglio (azione normale)
• Tratti contigui devono avere uguali valori del momento flettente (se non sono presenti coppie concentrate)
4
2⋅==
PVT A
4
2⋅=−=
PVT B
2
2⋅==
PHN A
24
2
2
lPlVM A ⋅
⋅=⋅=
Effetto del carico ripartito
Uno dei casi di maggior interesse si verifica quando si applicano sulla struttura
forze distribuite in direzione normale all’asse della struttura
Analizziamo il caso di una mensola incastrata e sottoposta ad un carico p(x) di andamento generico, ad una forza F concentrata e ad un momento W concentrato (queste ultime due applicate nell’estremo libero)
Per calcolare le azioni interne di una struttura di questo tipo si possono
seguire due strade
• Il metodo DIRETTO
• Il metodo DIFFERENZIALE
Metodo “diretto”
•Per calcolare le azioni interne ad una certa distanza “c” all’estremo libero si
deve idealmente tagliare la struttura e mettere in evidenza le componenti delle
azioni interne N, T ed M.
•In questo caso N è certamente nulla perché non sono presenti carichi assiali
•Restano da determinare i valori del Taglio e del Momento Flettente
Taglio: Tutto il tratto compreso tra l’estremo
libero e c (0 ≤ x ≤ c) deve stare in
equilibrio, quindi l’azione tagliante
deve equilibrare la risultante di tutte
le forze verticali applicate prima della
sezione. Si ha quindi:
( )∫∫ +=+=cc
dxxpFdfFT00
∫ ⇒=−+−c
dfTF0
0
Metodo “diretto”
Il momento flettente si ricava imponendo l’equilibrio dei momenti di tutte le forze che sono applicate prima della sezione di interesse intorno ad un qualsiasi punto. Scegliendo proprio il punto di sezione
come polo si ha:
( ) ( ) ( )∫∫ −⋅−⋅−=−⋅−⋅−=cc
dxxcxpcFWxcdfcFWM00
( ) 00
=−−⋅−⋅− ∫ MxcdfcFWc
Metodo “differenziale”
In questo caso si prende in esame un elementino della struttura di lunghezza dx come quello mostrato in figura.
Questo deve rimanere in equilibrio sotto l’azione delle forze esterne e delle
azioni interne che scambia con la rimanente parte della struttura
Se il sistema di riferimento è scelto in modo
tale che la coordinata x cresca procedendo da
sinistra verso destra, il momento flettente
varierà di una quantità dM, mentre il taglio di
una quantità dT
Per l’equilibrio alla traslazione verticale si avrà:
dividendo tutto per dx:
( ) 0=+−+⋅ dTTTdxp
pdx
dT
dx
dTp =⇒=− 0
Quindi la derivata del taglio è uguale all’intensità del carico distribuito
Metodo “differenziale”
L’altra equazione di equilibrio si scrive
imponendo che sia nulla la somma di tutti i
momenti applicati al tratto di struttura di
lunghezza dx. Assumendo come positive le
rotazioni orarie si ha:
( ) 02
=+−⋅⋅−⋅− dMMdx
dxpdxTM
Tenendo conto che il termine dx2 si può trascurare (infinitesimo di ordine
superiore) si ottiene:
Tdx
dM−=
Quindi la derivata del momento è pari (a meno del segno che dipende dalla
convenzioni adottate) all’azione tagliante T
Metodo “differenziale”
Dalle equazioni ottenute attraverso l’impiego del metodo differenziale
si possono trarre alcune interessanti considerazioni:
1. Quando su una struttura non è applicato un carico distribuito, allora il
taglio è costante, poiché la derivata deve essere nulla, mentre il momento varia linearmente perché la sua derivata è costante
2. Se, invece, è applicato un carico uniformemente distribuito, allora il
taglio ha andamento lineare e il momento flettente varia con legge parabolica
Tdx
dM−=p
dx
dT=
Esempio 4
l
Trave appoggiata agli estremi caricata
con carico uniformemente ripartito per
tutta la sua lunghezza
• Il carico uniformemente ripartito si esprime in
termini di forza per unità di lunghezza (N/m). • Moltiplicando il valore del carico ripartito per la
lunghezza sulla quale è distribuito si ottiene la forza totale applicata.
• Questa si può immaginare applicata nel baricentro.
• Attenzione: questa schematizzazione VALE SOLO PER IL CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
A B q
A B
VA VB 2
2
0
lqV
lqV
H
B
A
A
⋅=
⋅=
=
Reazioni Vincolari
HA
Esempio 4
Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne
A B VA
T
N
M
x l-x
HA
Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:
02
0
0
=
⋅⋅−−⋅
=−
=⋅−−
xxqMxV
HN
xqTV
A
A
A
⋅⋅−⋅=
=
⋅−=
2
0
xxqxVM
N
xqVT
A
A
Esempio 4
A B
VA VB
HA
M
T
N
+
+
+
8
2
max
lqM
⋅=
2
lqT
⋅=
2
lqT
⋅−=
IMPORTANTE
• La sezione della trave dove si registra il momento flettente massimo è anche quella per la quale il taglio assume valore nullo
• Il taglio è la derivata del momento flettente
• Per trovare il punto di massimo del momento flettente, derivare la sua espressione ed eguagliarla a zero
Esempio 5
Trave incastrata ad una estremità
con carico uniformemente
distribuito su tutta la lunghezza e
carico concentrato orizzontale e
verticale applicati all’estremità libera
A
B
H = 500 N l = 1 m
q = 1500 N/m
V = 1000 N
A B
MA
HA
VA 500
1000
mNM
lVlq
M
NVlqV
NHH
A
A
A
A
⋅=⋅
−⋅=
⇒=⋅−⋅
+
=−⋅=−⋅=
==
2502
1150011000
02
500100011500
500
2
2
Reazioni Vincolari
Momenti calcolati rispetto al punto A
Esempio 5
Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne
A B VA T
N
M
x l-x
HA
Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:
02
0
0
=−
⋅⋅−−⋅
=−
=⋅−−
AA
A
A
Mx
xqMxV
HN
xqTV
AA
A
A
Mx
xqxVM
HN
xxqVT
−
⋅⋅−=
==
⋅−=⋅−=
2
500
1500500
MA
H
V
Esempio 5
Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne
A B VA T
N
M
x l-x
HA
MA
H
V
CONSIDERAZIONI:
L’azione normale è COSTANTE NEGATIVA (compressione)
Il taglio VARIA LINEARMENTE con la distanza. Il punto di intersezione (zero) si trova
mediante l’equazione
mx
x
xxqVT A
33.01500
500
1500500
01500500
==
⋅=
=⋅−=⋅−=
10001
033.0
5000
−==
==
==
Tx
Tx
Tx
Esempio 5
Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne
A B VA T
N
M
x l-x
HA
MA
H
V
Per quanto riguarda il momento flettente occorre considerare che ogni
porzione di carico ripartito fornisce un contributo al momento che ha un
espressione del tipo:
) (2
) ( bracciox
forzaxq ⋅⋅
quindi globalmente si ha a che fare con una variazione di tipo quadratico
Ad esempio, imponendo l’equilibrio sulla porzione destra della trave (punto Z)
si ha:
02
=−⋅⋅−⋅− Mx
xqxVM AA2
xxqxVMM AA ⋅⋅−⋅−=
Esempio 5
A
B
H = 500 N
q = 1500 N/m
V = 1000 N
M
T
N
+
+
+
A VA=500
HA=500
MA=250
mxxxqVA 33.01500
500 01500500 0 ===⋅−⇒=⋅⋅−
mNqVMMMax AA ⋅=⋅⋅−⋅+⇒ 33.3332
33.033.033.0
0.33 m
250 N
333.33 N
500 N
1000 N
Esempio 6
L
Trave appoggiata agli estremi caricata
con una coppia concentrata in una
sezione distante “a” dall’estremo sinistro
A B
a
A B
VA VB
=⇒=+⋅−
=+
=
L
CVCLV
VV
H
BB
BA
A
0
0
0
Reazioni Vincolari
HA
• Come si poteva immaginare, le reazioni sono uguali e contrarie (il segno ipotizzato
della reazione VA deve essere invertito) perché la coppia concentrata deve essere
equilibrata da un’altra coppia uguale e contraria
• La posizione della coppia applicata è influente?
b
Esempio 6
A B
VA VB T
N
M
Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:
⋅=⇒=+⋅−
=
=⇒=+−
xL
CMMxV
N
L
CTTV
A
A
0
0
0 Il taglio è COSTANTE
L’azione normale è NULLA
Il momento flettente VARIA LINEARMENTE
Anche in questo caso è conveniente effettuare il calcolo dall’estremo sinistro
fino alla discontinuità (rappresentata dalla coppia concentrata) e dalla coppia
concentrata al carrello destro.
Esempio 6
M
T
N
+
+
+
A B
VA VB
HA
L
CT =
aL
CM ⋅=
bL
CM ⋅=
Esempio 7
L
Trave “a sbalzo” semplicemente
appoggiata caricata all’estremo sinistro
con una forza concentrata F
A
a
A
VA VB
⋅=⇒=⋅+⋅−
=−+−
=
a
LFVLFaV
FVV
H
BB
BA
A
0
0
0
Reazioni Vincolari
HA
b
C B
C B
F
F
−⋅=⇒−
⋅=⇒−= 1
a
LFVF
a
LFVFVV AABA
Esempio 7
A
VA VB
C B
F Per calcolare le azioni interne dividiamo il
campo della lunghezza della struttura in due
parti, in corrispondenza della reazione VB
La presenza delle forze concentrate
suggerisce l’esistenza di discontinuità nei
diagrammi delle azioni interne
A
VA
T N
M
⋅=⇒=−⋅
−⋅==⇒=−
=
aVMMaV
a
LFVTTV
N
AA
AA
0
1 0
0
F
T
N
M
⋅−=⇒=+⋅
−=⇒=+
=
bFMMbF
FTFT
N
0
0
0
Esempio 7
M
T
N
+
+
+
AVT −=
bFM ⋅=
A
VA VB
C B
F
FT =
Esempio 7.25 Bernasconi
P
A
a b
HA
VA VB
P
Esempio 7.11 Bernasconi
P A
B
2P 2P
l l l l
4l
P A B
2P 2P
HA
VA
HB=Rcos45°
VB=Rsin45°
Esempio 8
L
A
B
F
L
L/2
q
A
B
F L/2
q
VA
VB
HB
⋅
⋅⋅+⋅=⇒=⋅−⋅⋅−⋅
=−+
⋅=⇒=⋅−
L
LLq
LFV
LF
LLqLV
FVV
LqHLqH
AA
BA
BB
1
22 0
22
0
0
Reazioni Vincolari
Esempio 8
A
B
F L/2
VA
VB
HB
⋅−=⇒
⋅−−=⇒−=
⋅+=
⋅=⇒=⋅−
22
22
22
0
LqFV
LqFFVVFV
LqFV
LqHLqH
BBAB
A
BB
Esempio 8
A
B
F L/2
VA
VB
HB
N
T M
⋅−=⇒=⋅⋅−−
⋅=⇒=−⋅
⋅+=⇒=−
2 0
2
0
22 0
2xqM
xxqM
xqTTxq
LqFNNVA
Analizziamo l’andamento del taglio e del
momento flettente nella porzione di asta
VERTICALE
Esempio 8
A
B
F L/2
VA
VB
HB
N
T M
A
Lq ⋅
VA
A
VA
22
LqF ⋅+
• L’azione normale è di COMPRESSIONE
• Il Taglio varia LINEARMENTE (negativo
secondo le convenzioni)
Esempio 8
A
B
F L/2
VA
VB
HB
⋅=⇒=+⋅−
⋅−=⇒=−
⋅=⇒=−
0
22 0
0
xVMMxV
LqFTTV
LqNNH
BAAB
B
B
T
N
M
Analizziamo l’andamento del taglio e del
momento flettente nella porzione di asta
ORIZZONTALE
Esempio 8
A
B
F L/2
VA
VB
HB
T
N
M
VB
HB
Lq ⋅
VB
HB
22
FLq−
⋅
22
LqF ⋅+
Esempio 8
A
B
F
VA
VB
HB
−⋅−⋅=⇒=
−⋅++⋅−
⋅−−=⇒−
⋅−=⇒=−−
⋅=⇒=−
2
02
22
22 0
0
LxFxVM
LxFMxV
LqFTF
LqFTFTV
LqNNH
BAAB
B
B
T
N
M
ATTENZIONE:
Versi e andamenti dei diagrammi delle azioni interne sono dipendenti dai valori
di F e q. A seconda delle proporzioni che essi assumono l’uno rispetto all’altro
si possono presentare situazioni differenti
Esempio 8
A
VA
VB
HB
Lq ⋅
22
LqF ⋅+
RIEPILOGO: AZIONE NORMALE (compressione)
Esempio 8
A
VA
VB
HB
Lq ⋅
RIEPILOGO: TAGLIO
22
FLq−
⋅
22
LqF ⋅+
Esempio 8
A
VA
VB
HB
2
2Lq ⋅
MOMENTO FLETTENTE
2222
LLqFLVB ⋅
⋅−=⋅
Momento flettente dovuto al
solo carico ripartito.
Tende le fibre superiori
F
Altri tipi di carico distribuito
lx
lpP
P ⋅=
⋅=
3
2
2
10
lx
lpP
P ⋅=
⋅=
4
3
3
10
Carico Triangolare: varia con legge l
xpxp ⋅= 0)(
Carico Parabolico: varia con legge 2
2
0)(l
xpxp ⋅=