le onde di massa

8/17/2019 Le Onde Di Massa

1/11

Le onde di massa:1. Le equazioni di equilibrio

x

y

z

Z,w

Y,v

X,u

xy

yx xz

zx yz

zy

dz z

zx zx ∂

∂+ τ

τ

dy y

yx yx ∂

∂+ ττ

ji ij

yz xz z

zy xy y

zx yx x

τ τ

y x z t

w

z x yt

v

z y x t

u

=

∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∂∂

⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

⋅

CauchydiTeorema

equilibriodiEquazioni

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

2

2

2

2

2

2


2/11

2.1 Le relazioni di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo

( ) ( ) ( ) ( )

ν

ν

ν

ν

τ

τ

τ

γ

γ

γ

σ

σ

σ

ν

ν

ν

γ

211121

2221!21

1

1

1

1""

"1"

""11

1

1

11

222

!22!

−+=+⋅−+=

=−−−++=−−=−−

−−−−

⋅

=

⋅

−−−−−−

=

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

:teDeterminan

yz

xz

xy

yz

xz

xy

z

y

x

z

y

x

yz xz xy

z y x

G ;

E

y

w

z

v;

x

w

z

u;

x

v

y

u

z

w;

y

v;

x

u


3/11

2.2 Le matrici di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

⋅

=

⋅

++

⋅

−+⋅

=

⋅

−+−+

−+

−+=

⋅

−−−

−+=

⋅

−+++−+ ++−

−+=

yz

xz

xy

yz

xz

xy

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

G

E E

E

E E

γ

γ

γ

τ

τ

τ

ν

ν

ν

σ

σ

σ

ν

ν

ν

ν

σ

σ

σ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

σ

σ

σ

1""

"1"

""1

1""

"1"

""1

12

2

111

111

111

211

21

21

21

211

1

11

211111

111111

211 2

2

2

2


4/11

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

⋅=

+⋅=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=++=

=

+

=

−+

⋅=

⋅

+

+

⋅

−+

⋅=

yz

xz

xy

yz

xz

xy

z

y

x

z

y

x

z y x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

;

)aidrostatic( volumedi nedeformazio z

w

y

v

x

u: Posto

G E

; E

: Posto

E E

γ

γ

γ

µ

τ

τ

τ

µ

σ

σ

σ

ν

µ

ν

ν

λ

ν

ν

ν

σ

σ

σ

2

12211

1""

"1"

""1

12

2

111

111

111

211

LAME'DICOSTANTI

2.! Le relazioni di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo


5/11

Le equazioni di equilibrio

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) w z t

w

v yt

v

Grad Divlaplacianooperatoreindical oveu

xt

u

z

u

y

u

x

u

xt

u

z u

x z u

z xw

z z u

xw

y

u

x y

u

y x

v

y y

u

x

v

x

u

x x x x

z y xt

u

z y x

z zx zx

y yx

yx

z y x x x z y x x x

zx yx x

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

;

:teAnalogamen

))('

;

;;

;2

:equilibrio di equazione prima la moConsideria

∆+

∂

∂+=

∂

∂⋅

∆+

∂∂

+=∂∂

⋅

∆∆+

∂

∂+=

∂

∂⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂

++∂+=

∂∂

⋅

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅+=∂∂

⋅+++⋅+=⋅+⋅=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

⋅

µ ϑ

µ λ ρ

µ ϑ

µ λ ρ

µ ϑ

µ λ ρ

µ ε ε ε

µ λ ρ

µ ε µ µ τ µ τ

µ ε

µ µ τ

µ τ

µ ε ε

λ ε

µ λ σ

ε µ ε ε λ ε µ λ ε µ ϑ λ σ

τ τ σ ρ


6/11

Le onde irrotazionali

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ρ

µ

µ

µ

µ

µ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

"2

1

"2

1

"2

1

∆+=∂∂

⋅

∆+=∂∂

⋅∆+=∂∂

⋅∆+=∂∂

⋅

∆+=∆+

∂

∂∂∂+∂

∂∂∂+∂

∂∂∂+=∆+

∂

∂∂∂+∂

∂∂∂+∂

∂∂∂+=

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

∂+=

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂

++∂+=∂

∂⋅

∂∂

=∂∂

=

∂∂

−∂∂

=

∂∂

=∂∂

=

∂∂

−∂∂

=

∂∂

=∂∂

=

∂∂

−∂∂

=

t

wt

w;v

t

v;u

t

u

uu z

z u

y

yu

x

x u

u z

x w

y

x v

x

x u

z

u

y

u

x

u

x

z

w

y

v

x

u

z

u

y

u

x

u

x t

u

y

u

x

v;

y

u

x

v

x

w

z

u;

x

w

z

u

z

v

y

w;

z

v

y

w

z y x

z

y

x

:membro a membro equazioni tre le Sommando

:teAnaloamen

:e!te!a eormulazion in equilibrio di equazione "rima la ora# #$icordiamo

!$ot

!$ot

!$ot

:com"orta alit%irrotazion di

condizionela continuo# del "unto un di o!"o!tament di &ettore il ' ()*u#! Se


7/11

( )

( )( )

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

t V x

t V

V : posto;t

t

c

c

c

∂∂

⋅=∂∂

∂

∂

⋅=∆

=+

∂∂

⋅+

=∆

∆+=∂∂⋅

ρ

µ

µ

ρ

ρ

:!euente +orma la a!!ume equazionel' Allora

,)- direzione la luno *"-e!- naleunidirezio ne"ro"aazio la e "iano

econ!iderar "o!!a!i +ronte il "erch!orente dalla lontano abba!tanza

ondad' ne"ro"aazio la !tudiare di #!em"licit% "er mo#Con!ideria

ondad' ne"ro"aazio di Equazione



8/11


2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

11

1

c

cc

c

V t t t

;V V dt

d

dt

d

t

x x x

;dx

d

dx

d

x

t V x

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

⋅∂

∂−⋅

∂

∂=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

∂

∂

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

⋅∂∂

+⋅∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

=⋅−=⋅+∂

∂⋅=

∂

∂

η

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

t.,/t., :"one Si cc


9/11

ordine- !econdo al almeno +ino

tem"o nel e !"azionello deri&abili ntecontinuame e

continue "urch qual!ia!i +unzioni

e!!ere "o!!ono )0*)+* +unzioniLe )-0*)+*

:!ia che im"licaCi1

!e !olo e !e !u!!i!te auualianzL'

:ondad'equazionenell'oSo!tituend

η

η

η

η

ξ

η

η

ξ

++=

≡∂∂

∂

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

"

22

2

2

22

2

2

2

22

2

2



10/11


-rere!!i&aondaun'in&eceara""re!entt)&0*,+unzioneLa

o-"rore!!i&ondad'+ronteIl "o!iti&a-.ondad'+rontedel&elocit%la

onda-d'+ronteilconte!olidalmenmuo&e!ieo!!er&ator L' +-anche co!tantere!ta

"erci1-eco!tanterimane + di aromentol'.&elocit% con moto in eo!!er&ator l'2er

,t.., :&ale t#tem"oilTra!cor!o3-t i!tanteall', &ale&a + +unzionedella aromentoL'

t.,,, "o!izione nella tro&a !ittem"o il Do"o

, "o!izione dalla "artendo , luno.&elocit%con muo&e !i eo!!er&ator 4n

tem"o-dale!"azio dallodi"ende t).5+*,

t).5+*,)+*

3)0* !ia che Su""oniamo

c

c

c

3cc3

3

c

3C

c

c

+

+=

=−+=

+=∆+

==

=

,

t

ρ

µ

ξ

η

2


11/11

Le onde distorsive

( )

( )

( )

ρ

µ

µ

µ

µ

µµ

µµ

µµ

=

∆=∂∂

⋅

∆=

∂

∂⋅

∆=∂∂

⋅

∆+

∂∂

+=∂∂

⋅

∆+

∂∂+=

∂∂⋅

∆+

∂∂

+=∂∂

⋅

! . ondad' +ronte del

ne"ro"aazio di &elocit% la ma #"recedente alla analoa +orma ha !oluzionela

,# direzione !ola nella equazionel' #"recedente ca!o nel come do#Con!ideran

:alloraottiene#Si

deri&ate- !ue le e nulli "erci1 Sono

&olume- di in&arianza da zatecaratteriz !ono di!tor!i&e onde Le

equilibrio di enerali equazioni le o$ichiamiam

wt

w

;v

t

v

ut

u

w z t

w

;v yt

v

u x t

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

le onde di massa

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