le variabili aleatorie discrete massimo borelli, lucio torelli
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le variabili aleatorie discrete
massimo borelli, lucio torelli
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Problema guida
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Le variabili aleatorie ("casuali")
la "nostra" definizioneuna variabile aleatoria (discreta) è
"una tabella" in cui appaiono tutti i possibili eventi di un esperimento, con le loro rispettive probabilità di manifestarsi.
questione: Kolmogorov vs. de Finetti
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Le variabili aleatorie discrete
Testa Croce
0.5 0.5
1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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Le variabili aleatorie discrete
0 1 2 3 4 5 o più
0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056
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f(X) ed F(X)
da una variabile aleatoria X è possibile definire in maniera molto semplice due funzioni matematiche: f, la densità di probabilità o
probabilità di massa odistribuzione di probabilità
F, la funzione di ripartizione o funzione cumulativa
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f(X) ed F(X)
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Le variabili aleatorie discrete
f(X = 2) = 0.271F(X ≤ 2) =
= 0.129 + 0.264 + 0.271= 0.664
0 1 2 3 4 5
0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056
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Le variabili aleatorie discrete
f(X = 2) = 0.271F(X ≤ 2) =
= 0.129 + 0.264 + 0.271= 0.664
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
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indici di una variabile aleatoria
anche una variabile aleatoria X si può riassumere con un indice di centralità ed un indice di dispersione:E(X), la speranza matematica o
valore atteso ovalore medio
var(X), la varianza
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E(X), valore atteso
0 1 2 3 4 5
0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056
E(X) = Σ ak · pk
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var(X), varianza
0 1 2 3 4 5
0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056
σ2 = Var(X) =
= E( [X-E(X)]2 )
= Σ (ak - E(X) )2· p
k
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Una celebre v.a. discreta
la distribuzione binomiale, o Bernoulliana
Jacob (James , Jacques, Giacomo) Bernoulli (Basel, 27 December 1654 – 16 August 1705)
qp
X10
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la v.a. binomiale
spesso si desidera effettuare un numero n di prove ripetute (un processo Bernoulliano) in cui appaiono k successi con probabilità elementare p.
densità:
speranza matematica: np varianza: npq
knkqpk
nP
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la v.a. binomiale
Esercizio