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03/05/2012
1
Variabili aleatorie
discrete
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni
possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-
mato variabile aleatoria o casuale (random variable).
0 1 2 3
( )X ωT T T
TT
T T
TT
T
T
T
C
C
C
CC
CC
CC
C C C
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
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2
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni
possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-
mato variabile aleatoria o casuale (random variable).
S ( )X ω
3
2
2
2
1
1
1
0
{ }( )1
1
8P ω =
{ }( )2
1
8P ω =
{ }( )3
1
8P ω =
{ }( )4
1
8P ω =
{ }( )5
1
8P ω =
{ }( )6
1
8P ω =
{ }( )7
1
8P ω =
{ }( )8
1
8P ω =
( )2 ?P X = =
T T T
TT
T T
TT
T
T
T
C
C
C
CC
CC
CC
C C C
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
( )2 ?P X = =
( ) { }2 X = = TT T T TTC C C, ,
( )2P X P= = { } TT T T TTC C C, ,
3
8=
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Massa di probabilità
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3
LANCIO
DI
DUE
DADI
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Media [ ] ( )1
n
i i
i
E X x P X x=
= =∑
1 3 3 1 Lancio 3 monete: 0 1 2 3
8 8 8 8• × + × + × + ×
1 2 2 1 Lancio 2 dadi: 2 3 11 12
36 36 36 36• × + × + + × + ×⋯
PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +
Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in
corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare
massa di probabilità e media.
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4
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E CAMPIONI CASUALI.
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Come per le frequenze relative, è possibile costruire un “istogramma”
anche per la massa di probabilità (point frequencies).
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
Che relazione c’è con l’isto-
gramma costruito nelle scorse
lezioni?
Con un generatore di numeri
pseudocasuali…
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5
GENERATORI GENERATORI GENERATORI GENERATORI DIDIDIDI NUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEW
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6
1,600
,894
,163
30
0,000
3,000
0
,800
,559
3,000
48,000
100,000
•
•
-,306
-,605
2,000
1,000
2,000
1,625
1,000
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
Column 1
Descriptive Statistics
[ ] 1.5E X =
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
MODELLO TEORICO E
MODELLO EMPIRICO A
CONFRONTO
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7
Scelta delle classi
E se selezioniamo un nuovo campione….
1,533
,776
,142
30
0,000
3,000
0
,602
,506
3,000
46,000
88,000
•
•
-,337
-,310
2,000
1,000
2,000
1,583
,500
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
II esempio
Descriptive Statistics
II campioneI campione
1,600
,894
,163
30
0,000
3,000
0
,800
,559
3,000
48,000
100,000
•
•
-,306
-,605
2,000
1,000
2,000
1,625
1,000
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
Column 1
Descriptive Statistics
[ ] 1.5E X =
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8
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
MODELLO TEORICO E
MODELLO EMPIRICO A
CONFRONTO
Varianza [ ] ( ) ( )2
1
n
i i
i
Var X x P X xµ=
= − =∑
( ) ( )2 21 3
Lancio 3 monete: 0-1.5 1-1.5 ...8 8
• × + × +
Ex: calcolare la varianza nel caso del lancio dei 2 dadi•
PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =
Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in
corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare
la varianza.
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9
Altro esempio
Variabili standardizzate XZ
µ
σ
−=
[ ] 0, [ ] 1E Z Var Z= = Facilita il confronto di modelli
teorici diversi.
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10
VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE
{ },S successo insuccesso=
( ) 1X successo =
( ) 0X insuccesso =
x 0 1
P(X=x) 1-p=q p
0.6p =
Se lanciamo una moneta più volte…
1n =
2n = 3n = 4n =
PARAMETRI
numero di prove
di Bernoulli
n =
prob. successop =
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11
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 1,00
B(1,0.5)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 1,00 2,00
B(2,0.5)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00
B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)
Esempio: se p è la probabilitā di occorrenza annua di un evento franoso, il numero di eventi
franosi in un periodo di n anni è dato dall a distribuzione binomiale
[ ] , [ ]= (1- )E X np Var X np p=
MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (BinoMIALEBinoMIALEBinoMIALEBinoMIALE))))
Campione Casuale di taglia 20, di una binomiale n=4,p=0.5
[ ] [ ]2 1E X Var X= =
Per un campione di taglia 40 1.87, 0.99x s= =
Per un campione di taglia 80 1.97, 1.16x s= =
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12
E se lanciamo un solo dado?S
1
2
3
4
5
6
VARIABILE ALEATORIA UNIFORME
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
X
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DIDIDIDI POISSONPOISSONPOISSONPOISSON Limite della distribuzione
Binomiale quando
n diventa grande
p la probabilità di succes-
so decresce
np λ→
Nell’esempio delle frane,
se le frane sono eventi
rari rispetto al numero
di anni considerato (per
n>30 oppure per p<0.02)
allora è possibile usare
l’approssimazione con la
poissoniana. [ ] [ ]E X Var X λ= =
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13
10λ =
Poisson distr.
50
1/ 5
n
p
=
=
50λ =
Poisson distr.
500
1/10
n
p
=
=
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14
DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA
Molto utile nella teoria dei “piccoli
campioni”
Si usa nelle estrazioni senza RIPETIZIONI
11
N n
N
approx
binomiale
−≈ ⇒
−
LA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONI
IPERGEOMETRICA
GAUSSIANA
POISSONBINOMIALE
9λ >
100
0.05
n
p
>
<
(1 ) 9np p− >
2000
/ 0.1
N
n N
>
<