leitfaden zu gewöhnlichen differentialgleichungen aus ... · soll die Übersicht bewahren und...

Leitfaden zu

gewöhnlichen Differentialgleichungen

aus

„Praktische Mathematik I für TPH“

Lukas Császár

Wien 2012

Version 1

L e i t f a d e n z u D G L Einleitung

© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 2 von 32

L e i t f a d e n z u g e w ö h n l i c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

a u s „ P r a k t i s c h e M a t h e m a t i k I f ü r T P H “

Verzeichnis:

1 Einleitung .......................................................................................................................... 4

1.1 Allgemeine Information ...........................................................................................................4

1.2 Danksagung ..............................................................................................................................4

1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen ..............................................................................4

1.3.1 Linearität ....................................................................................................................................... 5 1.3.2 Rang und Ordnung ........................................................................................................................ 5 1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem) ................................................................................... 5 1.3.4 Inhomogenität ............................................................................................................................... 5 1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen ..................................................................................... 5

2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ................................................................. 7

2.1 Separation der Variablen ..........................................................................................................7

2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor ................................................................................7

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung ................................................................. 9

3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen ................................................................................9 3.1.1 Das Superpositionsprinzip ............................................................................................................. 9 3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz ....................................................................................................................... 9 3.1.3 Sinus und Kosinus ....................................................................................................................... 10 3.1.4 x^(α)⋅y^(β) .................................................................................................................................. 10 3.1.5 Polynome n-ten Grades ............................................................................................................... 10

3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL ............................................................................10 3.2.1 Das charakteristische Polynom ................................................................................................... 11 3.2.2 Fallunterscheidung ...................................................................................................................... 11

3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL ..............................................12 3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes ............................................................................................................... 12 3.3.2 Variation der Konstanten ............................................................................................................ 12

3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der Konstanten ..................................13

3.5 Die Wronksi-Determinante ....................................................................................................14

4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen ............................................................... 15

4.1 Theorie ...................................................................................................................................15

4.2 Lösungsschema ......................................................................................................................16 4.2.1 Aufsuchen des Potentials ............................................................................................................ 16 4.2.2 Aufstellen der Lösung ................................................................................................................. 17 4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien) ................................................................... 17

4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene Problemlösungen ................................17 4.3.1 Nachweis einer exakten DGL...................................................................................................... 18 4.3.2 Aufsuchen eines integrierenden Faktors – DGL exakt machen .................................................. 18

5 Beispiele ........................................................................................................................... 19

5.1 Beispiele zu Kapitel 2 – Lineare DGL 1. Ordnung ................................................................19 5.1.1 Separation der Variablen I ........................................................................................................... 19 5.1.2 Separation der Variablen II ......................................................................................................... 19 5.1.3 Multiplikation mit integrierendem Faktor I ................................................................................. 20 5.1.4 Multiplikation mit integrierendem Faktor II (Newton’sches Abkühlungsgesetz) ....................... 21

5.2 Beispiele zu Kapitel 3 – Lineare DGL 2. Ordnung ................................................................22 5.2.1 Homogene DGL I – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ....................................... 22 5.2.2 Homogene DGL II – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ...................................... 23



5.2.3 Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung ............................................................... 23 5.2.4 Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten ........................................................................ 25 5.2.5 Wronksi-Determinante ................................................................................................................ 27

5.3 Beispiele zu Kapitel 4 – Nichtlineare, exakte DGL ...............................................................28 5.3.1 Die allgemeine Lösung einer nichtlinearen, exakten DGL ......................................................... 28 5.3.2 Überprüfen der Integrabilitätsbedingung .................................................................................... 29 5.3.3 Integrierender Faktor ................................................................................................................... 30 5.3.4 Integrierender Faktor mithilfe eines Ansatzes ............................................................................. 30

6 Verweise ........................................................................................................................... 32



1 Einleitung

1.1 Allgemeine Information

Vervielfältigung und Druck nur zu privaten Zwecken erlaubt. Bei Weitergabe an Dritte dürfen

nur anfallende Kopierkosten verrechnet werden.

Dieser Text soll die anfänglichen Schwierigkeiten mit den Differentialgleichungen (DGL) der

Vorlesungsübung „Praktische Mathematik I“ im ersten Semester beiseiteschaffen, indem ich –

ohne viel Theorie oder viele Herleitungen zu verwenden – die wichtigsten Methoden zum

Lösen einfacher DGL vorstelle. Dieser Leitfaden beinhaltet die wichtigsten Typen und

Lösungsmethoden von/für einfachen DGL, wie sie einem im 1. Semester unterkommen und

erklärt zum größten Teil die Ansätze aus dem Skript, allerdings reduziert auf die

praxisorientierten Teile. Es ist daher vielleicht von Vorteil zuerst die Einleitung des Skriptes,

dann diesen Leitfaden zu lesen und anschließend die Vorgehensweise und die Erklärungen im

Skript nachzuvollziehen.

Sämtliche Verweise auf das Skript „Praktische Mathematik I“ beziehen sich auf die

Version von 2011.

Der erste Teil dieses Leitfadens liefert ausschließlich theoretische Erklärungen der

verschiedenen Vorgangsweisen. Zu jedem wichtigen Schritt wird dann auf ein Beispiel

verwiesen, das sich im Kapitel 5 befindet und die eben erklärten Mechanismen vorführt. Dies

soll die Übersicht bewahren und diesen Text auch als „Exzerpt“ brauchbar machen.

Die Beispiele sollen immer dann bearbeitet werden, wenn im Fließtext darauf hingewiesen

wird. Die Verweise im Text sind als Hyperlinks verwendbar und bei jedem Beispiel gibt es

einen Hyperlink (Pfeil), der einen zum entsprechenden Theorie-Abschnitt zurück/weiter

befördert.

Falls jemandem Fehler auffallen sollten oder jemand gute Ergänzungen oder Ähnliches

einbringen möchte, bitte ich um Kontaktaufnahme über [email protected].

1.2 Danksagung

Matthias Zens für die Beantwortung vieler inhaltlicher Fragen, Erklärungen und für das

Korrekturlesen. Gabriele Schranz-Kirlinger für die Korrektur des vierten Kapitels über die

nichtlinearen DGL. Armin Kopetzky für einen authentischen Feldversuch und nützliche

Anregungen.

1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen

Prinzipiell möchte ich hier nicht auf genaue Definitionen und Theorie eingehen, sondern die

Lösungsmethoden und -werkzeuge präsentieren. Für tiefergehende theoretische Hintergründe

bitte das Skript und andere Quellen zurate ziehen. Die Grundeigenschaften der DGL, die zum

Verständnis dieses Leitfadens notwendig sind, werde ich natürlich beschreiben.

mailto:[email protected]



DGL sind Gleichungen, die nicht nur die Funktion y sondern auch deren Ableitungen y ,

y ,… beinhalten.

Die DGL gilt gemeinhin als gelöst, wenn eine Lösungsfunktion y aufgefunden wurde

(wenn man von einer trivialen Lösung wie 0y absieht), die die DGL erfüllt.

1.3.1 Linearität

Eine DGL ist linear, wenn die Lösungsfunktion y und ihre Ableitungen nicht in

gemeinsamen Produkten vorkommen und sie nur den Exponenten 1 haben. Andernfalls sind

sie nichtlinear. Eine typische lineare DGL stellt sich zum Beispiel in der Form

dycybay dar. Die Koeffizienten a , b , … können selbst Funktionen sein.

Nichtlinearität erkennt man zum Beispiel an Termen wie 2yyy , yy , 2

1

yy und so fort.

Die unabhängige Variable ist von diesen Einschränkungen nicht betroffen.

1.3.2 Rang und Ordnung

Der Rang einer DGL wird durch die höchste auftretende Ableitung der Lösungsfunktion y

bestimmt. Diese Zahl entspricht der auch der sogenannten Ordnung der DGL.

1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem)

Eine spezielle Lösung erhält man durch das Ermitteln der auftretenden Integrationskonstanten

durch gegebene Anfangs-/Randbedingungen. Man spricht von der Lösung eines

Anfangswertproblems.

1.3.4 Inhomogenität

Eine DGL die zum Beispiel die Form 0 pyy hat, nennt man homogen. Eine DGL der

Form fpyy nennt man inhomogen. f heißt Inhomogenität. Wichtig ist dabei, dass in

der Inhomogenität weder y , noch eine Ableitung davon vorkommen. Natürlich kann f auch

eine Funktion sein.

1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen

Für die gesuchte Lösungsfunktion wird hier stets y verwendet. Diese Funktion ist natürlich

immer abhängig von einer unabhängigen Variable x oder t , also )(xyy oder )(tyy .

Die Namensgebung ist natürlich willkürlich. Mir erschien )(xy als

„Standardschreibweise“ im 2. und 4. Kapitel angebracht. Im 3. Kapitel (dessen Inhalt im

Skript anhand von mechanischen Schwingungen erklärt wird) erschien mir )(ty

naheliegender.1

1 In diesem Abschnitt verwende ich )(xy .



ydx

dy - d y und dx können der Einfachheit halber (mathematisch nicht korrekt,

physikalisch schon ) als Terme für Äquivalenzumformungen verwendet werden.

Mit y wird in der Physik häufig die Ableitung einer Funktion nach der Zeit t bezeichnet,

also dt

dyy .

L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung


2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur die

erste Ableitung der Funktion y auftritt.

DGL, die sich in der Form ayy oder in ähnlicher Weise präsentieren sind erster

Ordnung, linear und außerdem homogen. Das bedeutet, sie können durch Umformungen stets

auf die Form 0 ayy gebracht werden, was die Homogenität gleich erkennen lässt. Das

Vorzeichen von a spielt hier natürlich keine Rolle.

2.1 Separation der Variablen

Diese Lösungsmethode ist auf einfache homogene DGL anwendbar und sieht vor, den

Funktionsausdruck y zu separieren, sprich, ihn von allen anderen Elementen der DGL zu

trennen und alleine hinter dem = stehen zu haben. Die Lösung eines solchen Beispiels ist stark

von seiner Form abhängig. Fixer Bestandteil ist allerdings die Integration beider Seiten an

einem gewissen Punkt der Umformungen, um dx

dyy loszuwerden. Wegen der Integration

müssen Konstanten angeschrieben werden, die aber in einer einzigen zusammengefasst

werden. Sind Anfangsbedingungen gegeben, können so die Konstanten bestimmt werden.

Man erhält dann eine eindeutige Lösung der DGL und hat ein sogenanntes

Anfangswertproblem gelöst. Ansonsten erhält man eine allgemeine Lösung, in der noch

unbekannte Konstanten stehen.

Siehe hierzu Beispiel 5.1.1, S.19.

Diese Methode kann auch bei nichtlinearen DGL unverändert angewandt werden. Um dies zu

zeigen dient folgendes Beispiel. Dass es sich dabei nicht um eine lineare DGL handelt sei nur

der Korrektheit halber erwähnt und ist jetzt nicht weiter wichtig.

Siehe jetzt Beispiel 5.1.2, S.19.

2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor

Die nun folgende Methode empfehle ich als Alternative zu der im Skript vorgeführten

„Variation der Konstanten“ bei einfachen, linearen DGL erster Ordnung. Meiner Meinung

nach ist sie intuitiver und leichter nachzuvollziehen. Nach bereits erfolgter Einarbeitung kann

sich ja auch die „Skript-Methode“ angeeignet werden – siehe hierzu S.98ff im Skript.

Die Methode der Multiplikation mit einem integrierenden Faktor ist bei DGL der Form

qpyy



anwendbar.2 Multiplikation mit einem noch zu bestimmenden Faktor )(xu (im Folgenden nur

mehr mit u bezeichnet) liefert die Gleichung qupuyuy . Nach näherer Betrachtung

erkennt man in der linken Seite der Gleichung Ähnlichkeit mit dem Ergebnis der Produktregel

der Differentiation, wenn gilt, dass puu ist, denn puyuyyuuyyu )( .3 Lässt

sich also ein u auffinden, das diese Anforderungen erfüllt, so kann die linke Seite zu )( yu

vereinfacht werden, was die nachfolgende Integration vereinfacht.

Es gilt also puu , sprich pudx

du . Umformen ergibt pdxdu

u

1 und Integration beider

Seiten liefert pdxu)ln( .4 Auflösen nach u mithilfe der Exponentialfunktion liefert für u

schlussendlich pdxu eue )ln(

.

Eingesetzt in die mit u multiplizierte und vereinfachte DGL ergibt sich daher quyu )( ,

wobei ich der Übersicht halber im Moment für u noch nicht einsetze. In der Rechnung wäre

es an dieser Stelle ja schon ausgewertet. Integration beider Seiten liefert dann quCyu

und weiter

u

qu

u

Cy

, mit

pdx

eu ,

wobei rechts unbedingt die Integrationskonstante anzuschreiben ist.5 y ist hierbei die

gesuchte Lösung der DGL. Oft ist der Ansatz schneller im konkreten Fall gemacht, als dass

man sich die Endformel hier merkt. Der wichtigste Teil dieser Methode ist pdx

eu .

Das Beispiel 5.1.3, S.20 wird den eben dargestellten Sachverhalt sicherlich verdeutlichen.

Alternativ kann natürlich auch die im Skript eingeführte Methode verwendet werden (so wird

das Beispiel auch in der Testlösung gerechnet).

Beispiel 5.1.4, S.21 ist ein Beispiel, das auch im Skript gerechnet wird. Ich möchte es hier mit

der eben erklärten Methode noch einmal durchführen – es gibt immer mehrere Lösungswege.

Auch bei Verwendung der Skript-Methode empfiehlt sich vor allem zu Beginn das aktive

Durchführen des Ansatzes und nicht nur das bloße Einsetzen in die gegebene Formel.

2 Wobei p und q als Koeffizienten durchaus auch von x abhängig sein können, also )(xpp und

)(xqq .

3 Dies setzt natürlich voraus, dass die Funktion p differenzierbar ist, doch das sei zu diesem Zeitpunkt

vorausgesetzt. 4 Die Integrationskonstanten werden nachher zu einer einzigen zusammengefasst.

5 Die Formulierung ist hier mathematisch leicht unkorrekt, da die Konstante erst nach der Integration auftritt;

aber sie darf auf keinen Fall vergessen werden, daher diese Schreibweise.



3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur bis

zu zwei Ableitungen der Funktion y auftreten und es keine Produkte der Ableitungen gibt.

Diese Gleichungen zu lösen erfordert meist zwei Arbeitsschritte – das Aufsuchen der Lösung

der homogenen Gleichung und das Finden einer partikulären Lösung der DGL. Beide Schritte

werden vorgeführt. Ist eine DGL von Haus aus homogen, so entfällt der zweite Schritt. Eine

lineare DGL 2. Ordnung hat im Allgemeinen die Form dcyybya , wobei die

Koeffizienten und die Inhomogenität durchaus von x abhängen können.

3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen

3.1.1 Das Superpositionsprinzip

Die allgemeine Lösung einer DGL besteht immer aus der Summe der Lösung Hy der

homogenen Gleichung und (irgend)einer Partikulärlösung Py und stellt sich wie folgt dar:

PH yyy .

Auch für die linearen DGL 1. Ordnung (generell für lineare DGL) aus dem vorigen Kapitel

gilt dieses Prinzip.

Zur Erinnerung, die homogene Gleichung kommt durch Weglassen der Inhomogenität

zustande. Beim Aufsuchen der Partikulärlösung muss die Inhomogenität wieder

„mitgenommen“ werden.

Für die Lösung der homogenen Gleichung (der eingangs erwähnte „erste Arbeitsschritt“) wird

immer der im Abschnitt „3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz“ vorgeführte Rechenweg verwendet.

Die in den folgenden Unterpunkten umrissenen Ansätze helfen beim Aufsuchen der wichtigen

partikulären Lösung. Ihre tatsächliche Anwendung wird durch die gelieferten Beispiele erklärt

– sinnvollerweise ist natürlich zuerst das Kapitel „3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung

der inhomogenen DGL“ durchzuarbeiten.

3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz

Der Ansatz tCey ist immer einzusetzen, wenn es um die Suche nach der Lösung des

homogenen Problems geht, die ja für die allgemeine Lösung vonnöten ist. Seine Anwendung

wird in den folgenden Kapiteln geschildert. Er bietet den Vorteil eigentlich immer eingesetzt

werden zu können. Die Herleitung dieses Ansatzes findet man im Skript.



Die folgenden zwei Ansätze sind jetzt noch nicht so wichtig, ich möchte sie hier nur

erwähnen, um sie später (ohne sie einschieben zu müssen) aufgreifen zu können. Sie helfen

auf der Suche nach einer partikulären Lösung (dem „zweiten Arbeitsschritt“).

3.1.3 Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus (sind eigentlich auch „ e -Ansätze“) sind naheliegend, wenn zum Beispiel

das Vorzeichen wechselt oder die Inhomogenität diese Winkelfunktionen beinhaltet.

Erklärende Beispiele werden im Laufe des Textes geliefert.

3.1.4 x^(α)⋅y^(β)

Bei yx handelt es sich weniger um einen Ansatz zur Ermittlung einer Partikulärlösung als

um eine Möglichkeit die Rechnung mit den später behandelten nichtlinearen DGL zu

erleichtern. Beispiele und Erklärungen folgen später.

3.1.5 Polynome n-ten Grades

Auch kann der Ansatz

n

i

i

iP xay0

hilfreich (ein Polynom n -ten Grades) sein, wenn die

Inhomogenität selbst ein Polynom vom Grad n ist. Die einzelnen ia können durch einen

Koeffizientenvergleich ermittelt werden.

3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL

Wie schon erwähnt, verwendet man hier den Ansatz tCey , um das homogene Problem zu

lösen. Die homogene Gleichung ist ganz einfach die gegebene DGL dcyybya ohne

der Inhomogenität d , also

0 cyybya .

Als ersten Schritt bildet man die Ableitungen des Ansatzes, um sie dann in die homogene

DGL einzusetzen, also:

t

t

t

Cey

Cey

Cey

2

C ist hierbei noch nicht die durch Randbedingungen zu bestimmende Integrationskonstante,

sondern zeigt auf, dass jede Ableitung der Funktion y (Lösung der homogenen DGL)

proportional zu ihrer Stammfunktion ist.

Die allgemeine Lösung der homogenen DGL hat die Form tt

H eCeCyCyCy 21

212211

.

Wie es dazu kommt wird im Folgenden geschildert.



3.2.1 Das charakteristische Polynom

Setzt man die soeben angeschriebenen Ableitungen in die gegebene DGL ein, so erhält man

02 ttt CecCebCea . Da 0C und 0te für alle t, ℝ, lässt sich tCe

kürzen und man erhält:

02 cba ,

das sogenannte charakteristische Polynom der homogenen DGL. Die Werte für lassen

sich durch die (große) Lösungsformel berechnen. Der Term unter der Wurzel (Diskriminante)

acb 42 bringt eine wichtige Fallunterscheidung mit sich.

Siehe hierzu jetzt Beispiel 5.2.1, S.22.

3.2.2 Fallunterscheidung

1. Fall: 042 acb

Man erhält aus der quadratischen Gleichungen zwei unterschiedliche Werte 2,1 . Es ergibt

sich als gesuchte homogene Lösung also:

tt

H eCeCy 21

21

mit t

ey 1

1

und t

ey 2

2

.

6

2. Fall: 042 acb

Man erhält aus der quadratischen Gleichung nur einen einzigen Wert . Da die homogene

Lösung aus zwei linear unabhängigen Funktionen 1y und 2y bestehen muss, schreibt man in

2y ein zusätzliches t und erhält damit als homogene Lösung:

tt

H teCeCy 21

mit tey 1 und ttey 2 .

Das vorangestellte t ist die einfachste Möglichkeit 1y und 2y linear unabhängig zu machen.7

3. Fall: 042 acb

Hier tritt ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen auf. Dieser Fall ist in diesem Rahmen

nicht relevant und im Skript auf S.108 nachzulesen.

Nach der Fallunterscheidung hat man die allgemeine Lösung der homogenen DGL gefunden.

War die zu lösende DGL von Haus aus nur homogen, so ist das die gesuchte Lösung. Sind

Anfangsbedingungen gegeben/bekannt, so können nun noch die Konstanten 1C und 2C

berechnet werden und das Beispiel ist gelöst.

Siehe hierzu die Fortsetzung des Beispiels Beispiel 5.2.1, S.22.

6 Diese Bezeichnungen werden später wichtig.

7 Motiviert wird diese Wahl durch eine „physikalische“ Herangehensweise im Zuge der mechanischen

Schwingungen. Näheres hierzu im Demtröder (Experimentalphysik I) auf S.363, rechts. Das ist an dieser Stelle

aber nicht weiter relevant.



Ein weiteres Beispiel: Beispiel 5.2.2, S.23.

Im Fall einer inhomogenen DGL geht es nun weiter.

3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL

Im Falle einer inhomogenen DGL ist der erste Schritt jetzt getan und wir suchen nun nach

einer partikulären Lösung. Wichtig! Die Konstanten der homogenen Lösung in diesem

Fall noch nicht bestimmen!

Es bieten sich mehrere Möglichkeiten. Zum Ersten ein Schema (Variation der Konstanten),

das zwar in fast allen Fällen Erfolg verspricht, allerdings mit aufwendiger Rechnung und

komplizierten Integralen einhergehen kann und andererseits die Anwendung von

Lösungsansätzen. Diese ergeben sich aufgrund der Form der vorliegenden DGL, werden also

durch die Inhomogenität motiviert, oder sind manchmal im Beispiel auch angegeben. Die

Allergrundlegendsten wurden bereits erwähnt.

3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes

Die Ansätze )sin()cos( tBtAyP und t

P ey sind die gängigsten und

vielversprechendsten für die einfacheren DGL. Der Ansatz t

P ey kann natürlich nicht nur

für die homogene Lösung verwendet werden, sondern auch für die partikuläre Lösung.

Ihre Anwendung wird durch die Gestalt der vorliegenden DGL und deren Inhomogenität

motiviert. Vom Prinzip her werden wieder die erforderlichen Ableitungen der Ansätze

gebildet und dann in die inhomogene DGL eingesetzt. Ein Koeffizientenvergleich liefert

dann meistens Werte für die noch unbestimmten Koeffizienten bzw. Exponenten der

verwendeten Ansätze und man kommt oft sehr schnell zu einer Partikulärlösung.

Wir setzen Beispiel 5.2.2, S.23 fort.8

3.3.2 Variation der Konstanten

Die Methode der Variation der Konstanten ist aufwendiger als die Verwendung von

geeigneten Ansätzen, aber manchmal leider unumgänglich. Wieder gilt: die genaue Theorie

sei dem Skript zu entnehmen – ein Ansatz wird dort aber nicht hergeleitet, sonder fällt quasi

vom Himmel (Skript S.109, (5.28))…durch Verwirrung also nicht beirren lassen, das

Verständnis kommt später einmal .

Um eine partikuläre Lösung ermitteln zu können, nimmt man an, die Konstanten seien

Veränderliche und schreibt die folgenden zwei Gleichungen als Ansatz:

dcycy

cycy

2211

2211 0

8 Dieses Beispiel ist im Inhaltsverzeichnis als Beispiel 5.2.3 „Inhomogene DGL mit Ansatz für die

Partikulärlösung“ angeführt.



Zur Erinnerung: 2,1y sind die „Teilfunktionen“ der homogenen Lösung und d die

Inhomogenität der DGL. Die „variierten Konstanten“ sind hier bewusst kleingeschrieben, um

sie von denen in der homogenen Lösung zu unterscheiden. 1c , 2c , 1c und 2c sind ab hier nun

abhängig von t , anders als die Konstanten 1C und 2C der homogenen Lösung (die –

nochmal! – noch nicht ermittelt wurden!).

Das obige lineare Gleichungssystem ist lösbar ( 2,1y und ihre Ableitungen sind bekannt und

linear unabhängig – siehe dazu später „3.5 Die Wronksi-Determinante“, S.14)

Lösen des Gleichungssystems liefert Ausdrücke für 1c und 2c .

Man erhält die gesuchten 1c und 2c nun mittels Integration9:

dtcc

dtcc

22

11

Ein letzter Ansatz bringt uns nun zu der gesuchten Partikulärlösung (auch hier sei für

Hintergrundinformation auf das Skript verwiesen):

2211 ycycyP

Alle ermittelten Werte eingesetzt ergibt dies die Partikulärlösung. Noch einmal: 2,1y kommen

aus der homogenen Lösung. 1c und 2c (die schon berechnet wurden) und 1C und 2C haben

nichts miteinander zu tun.

Siehe zu diesem Verfahren: Beispiel 5.2.4, S.25.

3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der

Konstanten

Sind nun die beiden Arbeitsschritte „homogene Lösung“ und „Partikulärlösung“ getan, so

wird die allgemeine Lösung der DGL entsprechend dem Superpositionsprinzip PH yyy

angeschrieben:

P

y

ttyeCeCy

H

21

21

.

Achtung! Beachte: Die allgemeine Lösung hat die Gestalt P

tt yteCeCy 21 , falls die

Fallunterscheidung nur einen Wert für ergeben hat.

Sind Anfangsbedingungen gegeben, so können die Konstanten 1C und 2C noch berechnet

werden. Hierzu ist oftmals auch noch eine Ableitung der allgemeinen Lösung notwendig, was

aber nicht weiter schlimm ist. Nun wird auch klar, warum man die Konstanten nicht schon

9 Auch hier werden die Integrationskonstanten in den bereits vorhandenen zusammengefasst, sprich, hier nicht

angeschrieben.



vorher bestimmen durfte: Die Partikulärlösung wäre dazumal noch nicht berücksichtigt

gewesen und ein falsches Ergebnis die Folge.10

Wir schreiben nun die endgültige Lösung von Beispiel 5.2.2, S.24 (eigentlich Beispiel 5.2.3)

an.

3.5 Die Wronksi-Determinante

Die beiden Lösungen 2,1y der homogenen DGL und ihre Ableitungen müssen linear

unabhängig sein, damit man die beschriebenen Berechnungen durchführen kann. Man

bezeichnet ein solches linear unabhängiges System 21, yy als Fundamentalsystem der DGL.

Die lineare Unabhängigkeit von 1y und 2y lässt sich mithilfe der sogenannten Wronksi-

Determinante überprüfen. Sie ist die Determinante der sogenannten Fundamentalmatrix

21

21

yy

yyY und wenn gilt 0)det( Y für irgendein beliebiges t aus dem

Definitionsbereich, so sind 1y und 2y linear unabhängig.

Das Fundamentalsystem bildet die Basis des Funktionenraumes, der die Lösungen der DGL

enthält.

Siehe dazu Beispiel 5.2.5, S.27.

10

Dieses Problem stellt sich bei einer homogenen DGL nicht, da in diesem Fall keine Partikulärlösung benötigt

wird.

L e i t f a d e n z u D G L Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen


4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen

Nichtlineare DGL werfen schon viel größere Probleme auf als lineare DGL und die

elementaren Lösungsverfahren sind nicht mehr ganz so einfach. Daher konzentriere ich mich

in diesem Teil nur auf einen besonderen Typ von nichtlinearen, nämlich die exakten DGL.

Diese sind in der Praktischen Mathematik I von Relevanz.

Nichtlineare DGL erkennt man unter anderem daran, dass gemischte Produkte von y und

ihren Ableitungen auftreten.

Im Skript wird noch ein weiterer Typ nichtlinearer DGL behandelt – die separablen DGL

(siehe Skript S.166ff). Sie fanden jedoch in (Test)beispielen eigentlich keinen Platz und daher

soll die im Skript angeführte Theorie genügen. Außerdem ist eine separable DGL auch eine

exakte DGL.

Separable DGL haben die allgemeine Form 0)()( yyqxp .

4.1 Theorie

Eine typische exakte DGL stellt sich in dieser Form dar:

0),(),( yyxqyxp

Hierbei hängen die Koeffizientenfunktionen ),( yxp und ),( yxq von x und y ab, was die

Probleme mit sich bringt (das sind die eingangs erwähnten „gemischten Produkte“). Steht auf

der einen Seite der Gleichung die 0, so sind ),( yxq all diejenigen Terme, die mit y

multipliziert werden und ),( yxp die übrigen.11

Eine DGL ist nun exakt, wenn es eine Funktion ),( yx gibt, deren partielle Ableitungen

folgende Bedingungen erfüllen12

:

),( yxpx

x

),( yxq

yy

13

),( yx ist die Stammfunktion (entspricht dem Potential) des zweidimensionalen

Vektorfeldes (Gradientenfeldes) )),(),,((),(),( yxqyxpqpyxF . ),( yx ist außerdem ein

Skalarfeld.14

Wie lässt sich nun das Skalarfeld ),( yx ermitteln?

Man betrachte zur Herleitung die zu Beginn erwähnte separable (und damit auch exakte)

DGL 0)()( yyqxp .

11

Einfaches Beispiel zur Veranschaulichung: 0)1( yxxyyq

p

.

12 Die genauere Theorie im Skript S.121 – dies ist eine praxisbezogene Abhandlung.

13 Also )),(),,((),( yxqyxpyx .

14 Vgl. Kapitel 3 im Skript.



Sei )(xP die Stammfunktion von )(xp und )(yQ die von )(yq , dann kann ),( yx

geschrieben werden als

)()(),( yQxPyx .

Dies lässt sich durch Bilden der partiellen Ableitungen verifizieren: Bildet man ),( yx , so

entfällt nach partieller Ableitung nach x der y -abhängige Term )(yQ und man erhält )(xp

als erste Komponente von ),( yx . Analog erhält man den Term )(yq nach partieller

Ableitung nach y als zweite Komponente von ),( yx . Vgl. dazu noch einmal mit dem

Beginn dieses Abschnitts. Dort steht bei den beiden Koeffizientenfunktionen eine

Abhängigkeit von x und y . Das kommt daher, dass bei den partiellen Ableitungen die

jeweils andere Variable konstant gehalten wird.

4.2 Lösungsschema

Die nun gelieferten Informationen machen eine Bearbeitung des Problems möglich. Wird die

Funktion ),( yx ermittelt, so hat man die DGL gelöst – man spricht dabei vom ersten

Integral der DGL. Für das Potential gilt .),( constcyx 15

Zur Erinnerung: Die DGL hat die Form 0),(),( yyxqyxp . Dies entspricht natürlich

0),(),( dx

dyyxqyxp , also umgeformt auch 0),(),(

)()(

yq

q

xp

p

dyyxqdxyxp .

4.2.1 Aufsuchen des Potentials

Im Endeffekt gestaltet sich das methodische Aufsuchen des Potentials nicht anders als schon

im Kapitel 3 im Skriptum.

)()(),( yQxPyx soll zusammengesetzt werden.

!

)()()()(

)()()()(

xCyQdyyqyQ

yCxPdxxpxP

Die beiden Integrale mit ihren Integrationskonstanten müssen ident sein. Daher werden die

Konstanten )(yC und )(xC so gewählt, dass beide Integrale dieselben Terme beinhalten.

),( yx lässt sich nun endlich anschreiben16

!

Das vorgeführte Beispiel 5.3.1, S.28 macht dieses Lösungsverfahren mit Sicherheit

verständlich.

15

Wenn die totale Ableitung 0 ist, muss das Potential (Stammfunktion) konstant sein. 16

Nicht beide Integrationsergebnisse anschreiben, wie )()(),( yQxPyx fälschlicherweise vermuten

lässt. Durch die gewählten Integrationskonstanten sind sie ja ident.



4.2.2 Aufstellen der Lösung

Die weiter oben angeschriebene Bedingung .),( constcyx ist auch gleichzeitig die

Lösung der DGL, wenn nun für ),( yx das soeben ermittelte Ergebnis eingesetzt wird. Die

Lösungsfunktionen der DGL entsprechen Niveaulinien (Äquipotentiallinien) mit c als

Niveauwert. c hat hier die Rolle einer Integrationskonstante und man spricht bei ),( yx

vom ersten Integral der exakten DGL. Die Lösung einer exakten DGL ist äquivalent zur

Bestimmung der Äquipotentiallinien des Gradientenfeldes )),(),,((),( yxqyxpyxF .

Wichtig! Die Niveaulinien berühren oder schneiden sich niemals, das heißt, durch jeden

Punkt verläuft nur eine einzige Lösungsfunktion.

Siehe hierzu den zweiten Teil von Beispiel 5.3.1, S.29.

4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien)

Wird die Gleichung cyx ),( nun nach entweder x oder y aufgelöst17

, so erhält man

einen gewohnten Ausdruck für eine Funktion ),( cyx oder ),( cxy . Eine einzelne, ganz

spezielle (sogenannte) Lösungstrajekorie erhält man, wenn man c so wählt, dass die erhaltene

Kurve durch eine bestimmten Punkt läuft. Dies ist eine häufige Fragestellung in Beispielen.

Soll also die Trajektorie angegeben werden, die durch den Punkt 00 , yx verläuft, so

werden diese Werte einfach in die Gleichung cyx ),( eingesetzt und das zugehörige c

ausgedrückt. Im Falle einer quadratischen Gleichung (als Lösungsformel), muss das soeben

ermittelte c noch einmal in die Lösungsfunktion eingesetzt werden, um das Vorzeichen vor

der Wurzel acb 42 zu bestimmen. Ansonsten stimmt das Ergebnis nicht, denn nur eines

der beiden Vorzeichen kann die Gleichung erfüllen, es sei denn 042 acb .

Dieser Schritt wird in der Fortsetzung von Beispiel 5.3.1 (2. Teil), S.29 vorgeführt.

4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene

Problemlösungen

Nur wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung qx

py

!

erfüllt ist, existiert eine

Stammfunktion (Potential) des gegebenen Vektorfeldes (Gradientenfeldes) der Form

)),(),,((),( yxqyxpyxF wie es in einer DGL 0),(),( yyxqyxp vorkommt. Ist die

Bedingung erfüllt, so handelt es sich um eine exakte DGL.

17

Meist verwendet man einfache algebraische Umformungen, wenn eine Variable ohne Potenz vorkommt, oder

die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen, falls eine der beiden Variablen zur 1. und 2. Potenz

vorkommt.



4.3.1 Nachweis einer exakten DGL

Soll nun gezeigt bzw. untersucht werden, ob es sich bei der vorliegenden DGL um eine exakte

DGL handelt, so macht man sich dies durch Überprüfen der Integrabilitätsbedingung

plausibel. Es gilt:

qx

py

!

.

Man führt wie eben angeführt die partiellen Ableitungen durch. Ist die Gleichung erfüllt, so

liegt eine exakte DGL vor. Andernfalls nicht. Die Theorie dahinter wird im Kapitel 3 im

Skript geliefert.


Dieser Schritt wird normalerweise natürlich zu Beginn des Beispiels durchgeführt, da man ja

herausfinden möchte, ob sich die gegebene DGL mithilfe des vorgeführten Verfahrens lösen

lässt. Jedoch habe ich es nicht als sinnvoll erachtet, die Integrabilitätsbedingung einzuführen

bevor ein grundlegendes Verständnis für die exakten DGL durch die Beispiele gegeben ist.

4.3.2 Aufsuchen eines integrierenden Faktors – DGL exakt machen

Es kann nun gut sein, dass die Untersuchung der Integrabilitätsbedingung ein negatives

Ergebnis liefert, sich die DGL aber durch eine einfache Operation zu einer exakten DGL

machen lässt. Man spricht hier von der Anwendung eines integrierenden Faktors. Die

Gleichung multipliziert mit einem Faktor ergibt (wie die Integrabilitätsbedingung dann

beweist) eine exakte DGL, die sich nach unserem Schema lösen lässt. Diesen Faktor zu finden

ist nur nicht immer offensichtlich.

Eine typische Aufgabenstellung beinhaltet schon eine unbestimmte Variable in der Gleichung,

die durch Überprüfen der Integrabilitätsbedingung und Auflösen nach dieser Variablen

ermittelt werden kann.


Im Falle einer „nackten“ DGL in „polynomialer“ Gestalt ist der schon in „3.1.4 x^(α)⋅y^(β)“

erwähnte Ansatz hilfreich. Die Gleichung wird mit dem Faktor yx multipliziert.

Anschließend wird die Integrabilität untersucht und mithilfe eines Koeffizientenvergleichs

werden passende und ermittelt. Der resultierende Term ist dann der integrierende

Faktor, der die DGL exakt und damit für uns elementar lösbar macht.

Siehe hierzu nun Beispiel 5.3.4, S.30.

L e i t f a d e n z u D G L Beispiele


5 Beispiele

5.1 Beispiele zu Kapitel 2 – Lineare DGL 1. Ordnung

5.1.1 Separation der Variablen I

[Skript, Aufgabe 5.3, S.145]

Man berechne die allgemeine Lösung )(xy der DGL yey mittel Separation der

Variablen.

Anders angeschrieben ergibt sich yedx

dy 1 .

Man versucht nun alle Terme mit y auf einer Seite und die restlichen auf der anderen Seite

zu haben. Daher dxedy y . Integration ergibt dxdye y und weiter Cxe y . Die

Integrationskonstante nicht vergessen! Um y zu separieren verwenden wir den natürlichen

Logarithmus: )ln()ln(

1

Cxey .18

Die allgemeine Lösung der DGL lautet also )ln( Cxy . Ist eine Anfangsbedingung

gegeben, kann C durch Einsetzen der gegebenen Werte ermittelt werden. ↑

5.1.2 Separation der Variablen II

[Nachtest WS09/10, Gruppe bunt, Bsp. 2a]

Gegeben sei die nichtlineare DGL x

yxy

2

ln mit der Anfangsbedingung 1)( ey .19

Gesucht ist die Lösung )(xy mittels Trennung der Variablen. Hinweis: Auftretende Integrale

lassen sich mittels Substitution lösen.

Die DGL kann geschrieben werden als x

yx

dx

dy 2

ln .

Die Trennung der Variablen sieht vor y von den anderen Termen zu separieren. Nach

wenigen Umformungen ergibt sich daher die Form dxxx

dyy ln

112

. Integration beider

Seiten dx

xxdy

y ln

112

ergibt links y

dyy

112

und rechts mittels Substitution

Cudu

ux

dxdu

xudx

xxln

1ln

ln

1.

18

yyeye y 1)ln()ln(

19 e ist die Eulersche Zahl.



Rückeinsetzen von xu ln ergibt Cx lnln für die rechte Seite.

Schließlich ergibt Cxy

lnln1

nach y aufgelöst:Cx

y

lnln

1.

Durch die Anfangsbedingung 1)( ey kann auch noch ein eindeutiges C bestimmt werden. In

die Lösung eingesetzt werden logischerweise 1y und ex und man erhält

Ce

0

1

lnln

11 , also

C

11 . Für die Konstante erhält man also 1C .

Die Lösung des Beispiels lautet daher 1lnln

1

xy . ↑

5.1.3 Multiplikation mit integrierendem Faktor I

[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 2a]

Gesucht sei die allgemeine Lösung )(xy der DGL 21

1

1 xx

yy

mit 1x .

Im ersten Schritt wird die Gleichung auf

die gewünschte Form qpyy

gebracht.

yx

1

1

qp

xy

xy

21

1

1

1

Multiplikation mit integrierendem Faktor u .

ux

uyx

uy21

1

1

1

Die Gestalt der Produktregel )( yupuyuy motiviert den

Ansatz puu und weiter

pdx

eu .

xeeu xdx

x

1)1ln(1

1

Einsetzen in die Gleichung ergibt:

uu

xx

xy )1(1

1))1((

2

2)2(1 x kann auch als )1)(1( xx geschrieben werden

und durch Kürzen und anschließende Integration ergibt sich:

dxx

xy

1

1)1(

Durch die Integration fällt links einfach die Ableitung weg und

rechts ergibt sich:

Cxxy )1ln()1( Achtung auf das Vorzeichen bei der Integration, Konstante

nicht vergessen!

x

x

x

Cy

1

)1ln(

1 ist die gesuchte Lösung. ↑



5.1.4 Multiplikation mit integrierendem Faktor II

(Newton’sches Abkühlungsgesetz)

[Skript, Beispiel 5.2, S.101 – Newton’sches Abkühlungsgesetz]

UkTkTT mit )(tTT , k als materialabhängige Proportionalitätskonstante und

UT als Umgebungstemperatur. UT ist eine konstante Inhomogenität.

Es sei die Anfangsbedingung 0)0( TT gegeben. Gesucht ist die Lösung der DGL.

Im ersten Schritt wird die Gleichung auf die

gewünschte Form qpyy gebracht. kT

q

U

p

kTTkT Multiplikation mit integrierendem Faktor u .

ukTkuTuT U Der Ansatz

pdt

eu liefert:

ktkdt

eeu Einsetzen in die Gleichung und Integration ergibt:

dtekTTe kt

U

kt

Cek

dte ktkt 1

(Konstante!) und daher

CeTTe kt

U

kt Da 0kte ergibt Division durch kte

kt

U CeTT

Durch die Anfangsbedingung 0)0( TT kann C

ermittelt werden. Für 0TT und 0t eingesetzt

ergibt sich ( 10 e )

CTT U 0 → UTTC 0 Eingesetzt in die allgemeine Lösung ergibt sich

kt

UU eTTTT )( 0 als eindeutige Lösung der DGL. ↑



5.2 Beispiele zu Kapitel 3 – Lineare DGL 2. Ordnung

5.2.1 Homogene DGL I – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung

[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 2b]

Gegeben ist die DGL 04

93 yyy . Die Anfangsbedingungen lauten 2)0( y und

0)0( y . Man ermittle die allgemeine Lösung.

Es handelt sich um eine homogene DGL. Erster Schritt ist die Bestimmung des

charakteristischen Polynoms mithilfe des Ansatzes tCey und seinen Ableitungen.

04

93 yyy

t

t

t

Cey

Cey

Cey

2

eingesetzt ergibt

04

932 ttt CeCeCe

Da 0tCe kann durch

tCe dividiert

werden und man erhält:

04

932 das charakteristische Polynom. ↑

0

2

2,14

9

4

)3(

2

3

Fortsetzung: Mit der kleinen Lösungsformel

erhält man die Nullstellen des

charakteristischen Polynoms. Die

Diskriminante ist 0! Daraus folgt:

2

32,1

In diesem Beispiel liegt also Fall 2 vor. Die

Lösung des homogenen Problems ist also:

tt

H teCeCy 21

tt

teCeC 2

3

22

3

1

Im Fall 2 darf keinesfalls auf das zusätzliche

t im zweiten Term 2y vergessen werden!

Da es sich von Haus aus um ein homogenes Problem handelt und Anfangsbedingungen

gegeben sind, können die Integrationskonstanten noch bestimmt werden.

ttt

tt

teCeCeCy

teCeCy

2

3

22

3

22

3

1

2

3

22

3

1

2

3

2

3

mit

0)0(

2)0(

y

y

Die Ableitung der ermittelten Lösung wird

für die Konstantenbestimmung benötigt.

(Beim Ableiten muss für den zweiten Term

die Produktregel verwendet werden!)

Einsetzen der gegebenen Werte in die

entsprechenden Gleichungen ergibt:

21

1

2

30

2

CC

C

→ 3

2

2

1

C

C

Einsetzen der Konstanten in die Lösung

ergibt

tt

teey 2

3

2

3

32 das gesuchte Ergebnis. ↑



5.2.2 Homogene DGL II – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung

[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 1, Bsp. 3] 1.Teil

Gegeben ist die lineare inhomogene DGL zweiter Ordnung )2cos(4 tyy zusammen mit

den Anfangsbedingungen 20

1)0( y und

5

19)0( y . Gesucht sei die eindeutige Lösung

dieser DGL.

Man startet (laut dem vorgestellten Lösungsschema) mit der Suche nach der Lösung der

homogenen Gleichung, weshalb ich das Beispiel noch in diesem Abschnitt beginne.

04 yy

ist das homogene Problem. Die Inhomogenität )2cos( t

wird schlicht und einfach weggelassen. Man verwendet

wie immer den tCey -Ansatz mit seinen Ableitungen

und setzt entsprechend ein.

042 tt CeCe → 042 Man erhält wieder das charakteristische Polynom. Diesmal

mit folgenden Nullstellen:

4

0

2

1

Die 2,1 sind unterschiedlich und entsprechen daher

Fall 1. Man erhält

tttt

H eCeCeCeCy 4

2

1

0

12121

t

H eCCy 4

21

als homogene Lösung. Da die ursprüngliche DGL

inhomogen war, dürfen die Konstanten noch nicht

bestimmt werden, denn das Beispiel ist noch nicht gelöst.

Wir fahren mit Theorie fort. ↑

5.2.3 Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung

[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 1, Bsp. 3] 2. Teil

Gegeben ist die lineare inhomogene DGL zweiter Ordnung )2cos(4 tyy zusammen mit

den Anfangsbedingungen 20

1)0( y und

5

19)0( y . Gesucht sei die eindeutige Lösung

dieser DGL.

)2cos(4 tyy

Fortsetzung von Beispiel 5.2.2: Links steht die

inhomogene DGL aus der Angabe.

Die homogene Lösung wurde bereits ermittelt:

t

H eCCy 4

21

.

Im nächsten Schritt wird eine Partikulärlösung mithilfe

des folgenden Ansatzes20

ermittelt:

20

In diesem Testbeispiel war der Ansatz freundlicherweise angegeben. Aber eine Inhomogenität mit

Winkelfunktionen motiviert natürlich auch einen entsprechenden Ansatz.



)sin()cos( tBtAyP

Die Konstanten A und B sollen nun ermittelt werden

und eine partikuläre Lösung liefern. wird

entsprechend der vorliegenden Inhomogenität gewählt;

in diesem Fall also 2 . Py und die Ableitungen

stellen sich wie folgt dar:

)2sin(4)2cos(4

)2cos(2)2sin(2

)2sin()2cos(

tBtAy

tBtAy

tBtAy

P

P

P

Wie auch bei der homogenen Lösung werden die

Partiklärlösungsansätze einfach in die ursprüngliche

DGL )2cos(4 tyy (mit Inhomogenität!)

eingesetzt und man erhält

)2cos())2cos(2)2sin(2(4)2sin(4)2cos(4 ttBtAtBtA

PP yy

und ausmultipliziert

)2cos()2cos(8)2sin(8)2sin(4)2cos(4 ttBtAtBtA .

Ein Koeffizientenvergleich liefert:

für )2cos( t → 184 BA

für )2sin( t → 084 AB

Lösen dieses Gleichungssystems liefert folgende Werte

für die gesuchten Koeffizienten:

20

1A und

10

1B

Rückeingesetzt in den ursprünglichen Ansatz ergibt sich

als Partikulärlösung nun:

)2sin(10

1)2cos(

20

1ttyP

Wir setzen nun mit Theorieabschnitt „3.4 Anschreiben

der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der

Konstanten“, S.13 fort. ↑

Zuvor ermittelte homogene Lösung:

t

H eCCy 4

21

Fortsetzung: Nach dem Superpositionsprinzip bleibt uns

für die allgemeine Lösung der DGL nur mehr das

korrekte Anschreiben entsprechend PH yyy :

P

H

y

y

t tteCCy )2sin(10

1)2cos(

20

14

21

ist die gesuchte allgemeine Lösung!

Da Anfangsbedingungen gegeben sind ist es zudem

möglich, eine eindeutige Lösung anzuschreiben. Dieser

Schritt darf erst jetzt erfolgen und keinesfalls früher in

der Rechnung, weil dort die partikuläre Lösung noch

nicht mitberücksichtigt würde!

20

1)0( y und

5

19)0( y sind gegeben.

Offensichtlich wird zum Bestimmen der Konstanten

auch die Ableitung der allgemeinen Lösung benötigt.

Sie lautet:

)2cos(5

1)2sin(

10

14 4

2 tteCy t

0)0sin( und 1)0cos( gestalten das Auswerten

der Konstanten recht bequem. Es ergibt sich durch

Einsetzen der gegebenen Anfangsbedingungen in die

entsprechenden Gleichungen:



20

1)0( y →

20

1

20

121 CC

5

19)0( y →

5

14

5

192 C

Lösen des Gleichungssystems liefert

11 C und 12 C und die eindeutige Lösung der DGL zu den gegebenen

Anfangsbedingungen lautet daher:

)2sin(10

1)2cos(

20

11 4 ttey t

21

↑

5.2.4 Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten

Zu lösen ist die inhomogene lineare DGL zweiten Grades 1 tyy unter Verwendung der

Methode der Variation der Konstanten.

PH yyy

Gemäß dem Superpositionsprinzip müssen die homogene

Lösung Hy und eine partikuläre Lösung Py ermittelt

werden. Das homogene Problem lautet:

0 yy Gemäß dem gewohnten Ansatz tCey für die homogene

Lösung erhält man:

02 tt CeCe → 012 Auswerten des charakteristischen Polynoms durch einfache

Äquivalenzumformungen liefert folgende Nullstellen

1

1

2

1

und die Lösung des homogenen Problems lautet daher:

tt

H eCeCy 21

Nun folgt das Aufsuchen der partikulären Lösung mit der

vorgestellten Methode der „Variation der Konstanten“. Die

folgenden beiden Ansätze leiten das Verfahren ein:

dcycy

cycy

2211

2211 0

Wobei gilt tey 1 ,

tey 2 und 1 td (die

Inhomogenität). Die Ableitungen der Teilfunktionen 2,1y

werden auch benötigt.

t

t

ey

ey

2

1

Eingesetzt in das angesetzte Gleichungssystem ergibt sich

nun das lösbare Gleichungssystem in zwei Variablen.

1

0

21

21

tcece

cece

tt

tt

Addieren beider Gleichungen liefert einen Ausdruck für 1c .

12 1 tcet → tetc )1(

2

11 Rückeinsetzen in die erste der beiden Gleichungen ergibt

21

Wir fahren nun mit dem zuvor übersprungenen Abschnitt „3.3.2 Variation der Konstanten“, S.12 fort.



0)1(2

12 ceete ttt Vereinfachungen aufgrund von 1 tt ee liefern

0)1(2

12 cet t und schlussendlich für 2c :

tetc )1(2

12

Um mit dem letzten Ansatz/Schritt 2211 ycycyP

fortfahren zu können, müssen die 2,1c erst mittels

Integration ausgerechnet werden. Beide Integrale lassen sich

sehr ähnlich durch partielle Integration lösen.

dtetdtcc t)1(2

111

Das erste Integral lässt sich zerlegen und damit leichter

bewältigen.

te

tt dtedtte2

1

Der erste Teil lässt sich durch partielle Integration lösen.

Achtung auf die Vorzeichen!!

tt

vu

t

uv

t

vu

t etedtetedtte

Eingesetzt, addiert und herausgehoben ergibt sich für 1c

daher:

ttttt eteeete 22

1

2

1 →

tetc )2(2

11

Ganz ähnliche Rechenschritte liefern auch ein Ergebnis für

2c . Wieder gilt: Achtung Vorzeichen!!

dtetdtcc t)1(2

122 Wieder wird zerlegt und vereinfacht:

te

tt dtedtte2

1 Der erste Teil wird wieder durch partielle Integration gelöst.

tt

vu

t

uv

t

vu

t etedtetedtte

Fertiges Auswerten durch Einsetzen ergibt

02

1 ttt eete → ttec

2

12

und 2,1c wurden hiermit angeschrieben. Die beiden Terme

werden nun in 2211 ycycyP eingesetzt und man

erhält nach Vereinfachen von

tttt

P eteeety2

1)2(

2

1 die gewünschte Partikulärlösung.

222

1

2

1)2(

2

1 ttt →

)1( tyP

Gemäß dem Superpositionsprinzip lautet die gesuchte

allgemeine Lösung der DGL daher22

:

)1(21 teCeCyyy tt

PH 23

↑

22

Da keine Anfangsbedingungen bekannt sind, lassen sich die Konstanten 2,1C nicht genauer bestimmen.

23 Wir fahren nun wieder „geordnet“ mit „3.5 Die Wronksi-Determinante“, S.14 fort.



5.2.5 Wronksi-Determinante

An diesem Punkt greife ich Beispiel 5.2.1, S.22 noch einmal auf.

Die Lösung der DGL 04

93 yyy haben wir bereits berechnet.

Sie lautet 21

2

3

2

3

32y

t

y

t

teey .

Man zeige nun, dass ein Fundamentalsystem 21, yy vorliegt.

21

21

yy

yyY mit 0)det( Y bedeutet, dass 1y und 2y linear unabhängig sind und ein

Fundamentalsystem der DGL darstellen.

In diesem Beispiel gilt

t

t

ey

ey

2

3

1

2

3

1

2

3

und

tt

t

teey

tey

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

.

Die Fundamentalmatrix lautet daher

ttt

tt

teee

teeY

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3 und

ttttttttt

eteteeteeteeeY 33332

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3)det(

.

Wegen teY 3)det( und t sodass gilt 03 te wurde gezeigt, dass ein Fundamentalsystem

21, yy linear unabhängiger Funktionen 21, yy vorliegt. ↑



5.3 Beispiele zu Kapitel 4 – Nichtlineare, exakte DGL

5.3.1 Die allgemeine Lösung einer nichtlinearen, exakten DGL


Gegeben ist die nichtlineare, exakte DGL 0)1(12 2 yexxe yy . Man bestimme das

zugehörige Skalarfeld ),( yx .

0)1(12 2 yexxe

q

y

p

y

bzw. 0)1()12( 2 dyexdxxe

q

y

p

y

Zuerst werden die Koeffizientenfunktionen

),( yxp und ),( yxq der Übersicht halber

markiert. Um das gesuchte Potential bzw.

Skalarfeld )()(),( yQxPyx

anschreiben zu können müssen wir die

Stammfunktionen von p und q ermitteln.

!

)()()()(

)()()()(

xCyQdyyqyQ

yCxPdxxpxP

Eingesetzt ergeben sich folgende

Stammfunktionen:

!

22

2

)()1()(

)()12()(

xCyexdyexyQ

yCxexdxxexP

yy

yy

Es bleiben noch die beiden

Integrationskonstanten so zu bestimmen, dass

die beiden Integrale ident sind.

xxC

yyC

)(

)(

Setzt man in den beiden obigen Integralen die

angeschriebenen Konstanten ein, so gilt

tatsächlich )()( yQxP wie gefordert.

yxexyx y 2),( Dies ist daher das gesuchte Skalarfeld, das alle

vorgestellten Bedingungen erfüllt.

Zur Probe können die partiellen Ableitungen gebildet werden. Es muss gelten:

),( yxpx

x

und ),( yxq

yy

.

),(12)( 2 yxpxeyxexxx

yy

und

),(1)( 22 yxqexyxexyy

yy

. □ ↑




Man bestimme aus der Gleichung .),( constcyx die allgemeine Lösung der DGL in der

Form )(yxx . Man gebe außerdem diejenige Trajektorie an, die durch den Punkt

)0,2(),( yx ℝ2.

cyxexyx y 2),(

Ergibt sich aus dem zuvor ermittelten

Skalarfeld und der Angabe.

Die gesuchte allgemeine Lösung in der Form

)(yxx erhält man durch algebraisches

Umformen. Da 2x , x und ein unabhängiges

Glied vorliegen, bietet sich die Verwendung

der großen Lösungsformel an.

012

cba

y cyxex

a

acbbx

2

42 →

y

y

e

cyex

2

)(411

Ist die gesuchte allgemeine Lösung. ↑

y

y

e

cyex

2

)(411

Fortsetzung: Soll durch den Punkt

)0,2(),( yx ℝ2 verlaufen. Dazu muss

die Konstante c geeignet gewählt werden.

Einsetzen der gegebenen Werte für x und y

liefern folgende Gleichung:

2

411

2

)0(4112

0

0c

e

ce

Auflösen der Gleichung nach c liefert

schlussendlich:

ccc 48419413 → 2c

Nun ist nur noch die richtige

Rechenoperation zu wählen. Beides ist

logischerweise nicht möglich. Man sieht,

dass…

22

31

2

811

2

4112

c …das die Gleichung erfüllt.

y

y

e

yex

2

)2(411

Ist daher die gesuchte Trajektorie, die den

gegebenen Punkt enthält. ↑

5.3.2 Überprüfen der Integrabilitätsbedingung

Gegeben ist die nichtlineare DGL 0)1(12 2 yexxe yy . (Aus Beispiel 5.3.1)

Man zeige, dass es sich hierbei um eine exakte DGL handelt.

0)1(12 2 yexxeq

y

p

y

exakt? Dies ist anhand der Integrabilitätsbedingung qx

py

!

zu überprüfen.



!

2 )1(

)12(

y

y

exx

qx

xey

py Sind die partiellen Ableitungen ident, so liegt eine exakte

DGL vor. Es gilt:

yy

yy

xeexx

qx

xexey

py

2)1(

2)12(

2

Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt, die gegebene DGL

ist daher exakt. ↑

5.3.3 Integrierender Faktor

[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 1]

Gegeben sei die nichtlineare DGL 123

122

3

2

xyx

yxxyy

. Man gebe alle Werte für an,

sodass die vorliegende DGL exakt wird.24

01

123 222

3

y

xyx

yxxy

Multiplikation mit 2 und 123 22 xyx erspart

einem die Quotientenregel beim Bilden der partiellen

Ableitungen.

0)123()( 2232 yxyxyxxy

qp

Es muss gelten q

xp

y

!

, also

!

222

2232

26)123(

)13()(

xyxyxx

qx

xyyxxyy

py

Gleichsetzen und Ausdrücken von liefert den

gesuchten Wert für :

26)13( 222 xyxy

→ 213

)13(2

13

262

2

2

22

xy

xy

xy

xy

Für 2 wird die gegebene DGL also exakt.

↑

5.3.4 Integrierender Faktor mithilfe eines Ansatzes

[Skript, Aufgabe 5.6, S.145]

Man berechne die allgemeine Lösung der DGL 0)1( yxxyy mittels eines geeigneten

integrierenden Faktors a .

02 yxxyy

Ein Faktor a , der die Integrabilitätsbedingung

qx

py

!

erfüllt muss gefunden werden, um

die DGL exakt zu machen. Denn aufgrund von

24

Die Tests sind online verfügbar. Es empfiehlt sich das Beispiel zum Üben durchzurechnen. Die Lösungen sind

ebenfalls verfügbar. (Siehe Verweise)



1)(

21)( 2

xx

qx

xxyyy

py

ist die gegebene DGL nicht exakt – die

Integrabilitätsbedingung wird nicht erfüllt.

Multiplikation mit dem erwähnten Ansatz

yxa schafft hierbei Abhilfe.

0)( 2 yxyxxyyyx

qp

Erneutes Überprüfen der Integrabilitätsbedingung

liefert nun Werte für und :

Der Übersicht halber führe ich die partiellen

Ableitungen getrennt durch.

:py

)( 2xyyyx

y

211 yxyxy

11 )2()1( yxyx

:qx

)()( 1 yxx

xyxx

yx)1(

Gleichsetzen wie gewohnt ergibt in der Folge:

yxyxyx )1()2()1( 11 Kürzen des Faktors yx ergibt

)1()2(1 xy Ein Koeffizientenvergleich für xy liefert:

für xy → 02 → 2 Eingesetzt in die Gleichung lässt sich auch ein

ausdrücken.

1)22(12 xy → 0

Der integrierende Faktor lautet daher

20 yxyxa

2

1

y.

Neuerliches Prüfen der Integrabilitätsbedingung

muss erfüllen:

)(

1)(

12

!2

2x

yxxyy

yy

aa

also

2

!1

y

x

xx

yy

22

11

yy

Nach Multiplikation mit dem integrierenden

Faktor 2

1

ya wird die vorliegende DGL exakt

und kann nach der gewohnten Methode gelöst

werden. Sie hat die Form

0

12

yy

xx

y

qp

.

L e i t f a d e n z u D G L Verweise


6 Verweise

[1] Praktische Mathematik I für TPH, Wien 2011, M. Aurada, W. Auzinger, O. Koch,

C. Schmeiser, G. Schranz-Kirlinger

[2] Experimentalphysik I, 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2008, W. Demtröder

[3] http://www.othmar-koch.org/PrakMath1, Nachtests

http://www.othmar-koch.org/PrakMath1

leitfaden zu gewöhnlichen differentialgleichungen aus ... · soll die Übersicht bewahren und...

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