lezione 2 stato di sforzo e di deformazione...lezione 2 –stato di sforzo e di deformazione...

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Anno Accademico:

2020./2021.

LEZIONE 2 – Stato di sforzo e di deformazione

COSTRUZIONE DI MACCHINE E AFFIDABILITA’

Laurea Magistrale - IN15 Ingegneria Meccanica

Data: 19.10.2020.

Docente: Neven Munjas


Vettore:

• Matematica

kjivvvv zyxzyx vvvv

z

y

x

z

y

x

v

v

v

v

v

v

vv

©Turkalj, G., ČK2

2


Vettore trasposto:

zyx vvvv v

Intensità di un vettore (modulo o valore assoluto):

zyx vvvv

TTv

3


VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA

zzyyxx babababa TT

baba

Prodotto scalare (ingl. dot product, inner product):

abba

©Turkalj, G., ČK2

cosabba

abbaTT abba

TT

4


NON VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA

Prodotto vettoriale (ingl. cross product):

cbaab

sin, abc ccba

©Turkalj, G., ČK2

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

baba

baba

baba

c

c

c

cc

kji

kji

ba xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx babababababa

bbb

aaa

5


Prodotti misti:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba

Prodotto triplo:

baccabcba

Doppio prodotto vettoriale:

©Turkalj, G., ČK2

6


Prodotto tensoriale o diadico (ingl. tensor product, outer product):

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

bababa

bababa

bababa

TabbaT

T – tensore di secondo ordine NON VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA

baab

TTTbaab

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

bababa

bababa

bababa

Tbaab 7


Operatori differenziali

xff dd

d – operatore differenziale o derivata

xff Funzione:

fx

f

d

d derivata prima

zyxff ,, Funzione: più variabili

una variabile

zz

fy

y

fx

x

ff dddd

z

f

y

f

x

f

;; derivate parziali

8


kjizyx

z

y

x

∆ – operatore di Laplace (Laplace, delta):

2

2

2

2

2

22

zyx

T

– operatore di Hamilton (nabla, del):

9


Campo scalare: zyxUU ,,

kjiz

U

y

U

x

UUU

grad

2

2

2

2

2

22 graddiv

z

U

y

U

x

UUUU

ha come risultato un vettore

ha come risultato uno scalare

10


Campo vettoriale:

zyxv

zyxv

zyxv

v

v

v

vv

z

y

x

z

y

x

,,

,,

,,

ha come risultato uno scalarez

v

y

v

x

v zyx

vv div

ha come risultato un tensore

vT v

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

zzz

yyy

xxx

vv grad

zyx vvv

zyx

kji

vvv curlrot

ha come risultato un vettore 11


Notazione scalare, matriciale, tensoriale

Vecchio sistema di riferimento (iniziale):

Nuovo sistema di riferimento (ruotato):

321

Tvvvv

321

Tvvvv

333333

322332

122112

111111

cos,cos

cos,cos

cos,cos

cos,cos

xxa

xxa

xxa

xxa

©Turkalj, G., ČK2

ijjiij coscos ,xxa

12


Trasformazione del vettore – notazione scalare:

Trasformazione del vettore – notazione matriciale:3332321313

3232221212

3132121111

vavavav

vavavav

vavavav

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

v

v

v

aaa

aaa

aaa

v

v

v

vav

©Turkalj, G., ČK2

[a] – matrice di trasformazione

Iaaaa TT1

13

[a] - matrice ortogonale

[I] = dij – delta di Kronecker (matrice identità)


Trasformazione del vettore – notazione degli indici:

Convenzione di Einstein o convenzione di sommatoria:

indice libero: i = 1,2 o 3

3 o 2 1,i,3j

1j

jiji

vav

3 2, 1,j i,,jiji vav

indice ripetuto: j = 1,2 e 3

14


Regole della notazione degli indici

Gli indici vengono indicati di solito con le lettere latine e assumono i valori:

Indice libero (ingl. free index):

indice libero: i = 1,2 o 3 (x, y o z)

indice ripetuto: j = 1,2 e 3 (x, y e z)

compare una volta sola in ogni termine dell’equazione

il loro numero indica l’ordine tensoriale

Indice ripetuto (ingl. dummy index):

compare due volte in un termine dell’equazione

non deve comparire in ogni termine dell’equazione

nessun indice compare piu di due volte in un termine

3 2, 1,k i,,kiki vav3 2, 1,j i,,jiji vav15


Scalari, vettori, tensori

Scalari massa, temperatura, densità, umidità

possono essere descritti da 30 = 1 componente tensore di ordine zero

trasformazione:

Vettori

forza, momento, velocità, accelerazione

possono essere descritti da 31 = 3 componenti

tensori del primo ordine

avv

SS

trasformazione:

jiji vav vav 16


Tensori del secondo ordine sforzo, deformazione, inerzia

possono essere descritti da 32 = 9 componenti trasformazione:

Tensori del quarto ordine

tensore di elasticità (tensore delle costanti elastiche)

possono essere descritti da 34 = 81 componenti

trasformazione:

TaTaT TaTaT pqjqijij TaaT

pqrslskrjqipijkl TaaaaT 17


Tensori del secondo ordine

333231

232221

131211

ij

TTT

TTT

TTT

TTT

Notazione matriciale

33

32

31

23

22

21

13

12

11

ij

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TTT

Notazione vettoriale

18


Tensore di secondo ordine - proprietà:

332313

322212

312111

T

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TT

tensore trasposto: ji

T

ij TT

tensore simmetrico: S

ijijjiij TTTT

STTTTT

fec

edb

cbaS

T

19


0

0

0AS

cb

ca

ba

T

tensore antisimmetrico:

jise0

jise

ij

jiij

ijij T

TTTT AS

20


AS

ij

S

ijij

ASS TTTo TTT

un tensore si può scomporre in parte simmetrica e antisimmetrica:

333323321331

322322221221

311321121111

TS

2

1

2

1

TTTTTT

TTTTTT

TTTTTT

TTT

0

0

0

2

1

2

1

23321331

32231221

31132112

TAS

TTTT

TTTT

TTTT

TTT

21


Sforzo o tensione (ingl. stress): forza per unità di superficie

• Stato di sforzo e di deformazione

©Turkalj, G., ČK1

Stato di sforzo (deformazione) del corpo materiale

∆F – forza risultante

∆M – momento risultante

22


©Turkalj, G., ČK1

Intensita di sforzo medio per unità di superficie ∆A:

A

Fta

Sforzo medio per unità di superficie ∆A:

A

Ft

aat

Vettore di sforzo (totale) nel punto O:

AAA d

dlim

0n

FFt

Intensita di sforzo nel punto O:

A

Ft

d

dnn t

Pa

m

N2

Pa

Per i punti della superficie:

nt forza di contatto (ingl. traction)23


nnn τσt

Componenti del vettore di sforzo nel punto O:

Scomposizione del vettore di sforzo tangenziale:

1;1;1 nml nml

nmnln τττ

©Turkalj, G., ČK1

2

n

2

n

2

n τt

n tensione normale

n tensione tangenziale

nml

2

nm

2

nl

2

n τττ

Vettore di sforzo:

nmnlnn ττσt 2

nm

2

nl

2

n

2

n ττt 24


nnn 0 σtτ

Tensioni, piani e direzioni principali

321 nnn©Turkalj, G., ČK1

nn t

n tensione principale

R piano principale

3n2n1n

n direzione principale

321 25


Classificazione di tensioni

Tipi di tensione

normale (trazione o compressione)

tangenziale (taglio)

Criteri di complessità

stati semplici

stati composti

In base alle tensioni principali

lineare o monoassiale

planare o biassiale

tridimensionale o triassiale26


Stati di tensione


Elemento infinitesimale

©Turkalj, G., ČK127


Stati di tensione semplici

Stato di tensione monoassiale Taglio puro

©Turkalj, G., ČK1

28


Stati di tensione composti

Stato di tensione biassiale Stato di tensione triassiale

©Turkalj, G., ČK1

29


Stati di tensione composti – tensioni principali

Stato di tensione biassiale Stato di tensione triassiale

©Turkalj, G., ČK1

30


Faccia positiva e negativa – tensioni positive

Faccia negativa

Faccia positiva

©Turkalj, G., ČK1 31


Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) piano


Elemento infinitesimale

©Turkalj, G., ČK132


ny

nx

nnynxn t

ttttt


©Turkalj, G., ČK1

ndA area della faccia obliqua

m

l

n

n

y

x

sin

cosn

mAAzxA

lAAzyA

y

x

nn

nn

dsindddd

dcosdddd

Equazioni di equilibrio:

0ddd0

0ddd0

nnnny

nnnnx

mAlAAtF

mAlAAtF

yxyy

yxxx

33



©Turkalj, G., ČK1

Condizioni di equilibrio:

mltF

mltF

yxyy

yxxx

ny

nx

0

0

Tensore degli sforzi di Cauchy:

yyx

xyx

ijσ

Notazione matriciale: nσtT

n nt T

n

Notazione tensoriale: σnt n

Notazione degli indici: jijin nσt 34


Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) tridimensionale

©Turkalj, G., ČK1

Vettore di sforzo:

nz

ny

nx

nnznynxn

t

t

t

ttttt

Tensore degli sforzi di Cauchy:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ijσ


rmltF

rmltF

rmltF

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

nz

ny

nx

0

0

0

Normale al piano:

r

m

l

n

n

n

cos

cos

cos

z

y

x

n35


Coniugazione degli sforzi tangenziali – stato di tensione (sforzo) piano

©Turkalj, G., ČK1


02

ddd2

2

ddd20G

yzx

xzyM yxxy

T

yxxy

Analogamente: zxxzzyyz

σσ T

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ijσ

36


Coniugazione degli sforzi tangenziali

©Turkalj, G., ČK1

σnnσt T

n nnt T

n

Equazioni di equilibrio di Cauchy:

37


Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) piano

©Turkalj, G., ČK1

Vettore delle forze di volume:

yx fff V

y

x

f

ffVVf

3m

N


0dddddd

ddd0

zyxfzx

zyF

xyxyxyx

xxxx

0dddddd

ddd0

zyxfzy

zxF

yxyxyxy

yyyy

38



Incrementi degli sforzi:

yy

xx

yy

xx

yx

yx

xy

xy

y

yx

x

dd;dd

dd;dd

0ddddddddd0

zyxfzxy

yzyx

xF xyx

yx

yxxx

xx

0ddddddddd0

zyxfzyx

xzxy

yF yxy

xy

xyy

y

yy

©Turkalj, G., ČK1

39



©Turkalj, G., ČK1

00

x

yxxx f

yxF

00

y

yxy

y fyx

F

0

0

y

x

yxy

yxx

f

f

yx

yx

Equazioni di equilibrio di Navier 40



0

0

y

x

yxy

yxx

f

f

yx

yx

Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) tridimensionale

0

0

0

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

f

f

f

zyx

zyx

zyx

41


Stato di sforzo nel punto e’ definito dal tensore di tensione (sforzo)

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ijσTensore degli

sforzi di Cauchy

σσ T

zx

yz

xy

z

y

x

ijσσ

42


Assi (x, y, z) = direzioni principali di sforzo

3

2

1

00

00

00

σ

321 ,, sforzi PRINCIPALI

321 ©Turkalj, G., ČK1

43


Trasformazione del tensore di tensione

yyx

xyx

σ

Trasformazione di tensori del secondo ordine:

©Turkalj, G., ČK1

yyx

xyx

σ

Taσaσ Taσaσ 44


Matrice elementare di trasformazione:

cossin

sincos

,cos,cos

,cos,cos

yyxy

yxxxaa

Trasformazione del tensore di tensione – notazione matriciale:

cossin

sincos

cossin

sincos

yyx

xyx

yyx

xyx

Forma scalare:

cossinsincossincos 22

yxxyyxx

cossinsincossincos 22

yxxyyxy

22 sincoscossin yxxyyxxy

22 cossincossin yxxyyxyx 45


Sforzi principali, direzioni principali

yyx

xyx

σ

©Turkalj, G., ČK1

2

1

0

0

σ

21 e sforzi principali, autovalori o valori caratteristici (ingl. eigenvalues) del tensore di tensione

1 angolo della prima direzione principale 46


0nIσ iiσ

i

i

iisin

cos

nn

Problema matriciale di valori caratteristici (ingl. eigenvalue problem)

0

0

sin

cos

10

01

i

i

i

yyx

xyx

0ii nIσσ

autovettore o vettore caratteristico i (ingl. eigenvector) del tensore di tensione

Condizone di risultato non triviale (per avere soluzione non nulla):

0i

i

yyx

xyx

02i1

2

i II

2

1

47


Invarianti del tensore di tensione:

Primo e secondo sforzo principale (valori estremi di tensione normale):

211 yxyxI

21

22

2 xyyxxyyxI

invariante primo o lineare

invariante secondo o quadratica

Invariante secondo del tensore di tensione:

2

1

20

0

yxy

xyx

yxy

xyxI

22

1,2 42

1

2

1xyyxyx

48


Piano principale (φ = αi):

Angolo della direzione principale:

0sincoscossin i

2

i

2

ii yxxyyxxy

ii

2 2cos12

1cos ii

2 2cos12

1sin iii 2sin

2

1cossin

02cos2sin2

1ii xyyxxy

2i

1i

yx

yx

9012 yx

xy

22tan i

49


Stato di tensione triassiale (tridimensionale)

zyxzyx ,,,,

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σ

Trasformazione del sistema di riferimento T

aσaσ

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

©Turkalj, G., ČK2

jiij ,cos xxa 50


Problema matriciale di valori caratteristici (ingl. eigenvalue problem):T

aσaσ

©Turkalj, G., ČK2

Assi (x, y, z) = (1,2,3) direzioni principali di sforzo

3

2

1

00

00

00

σ

0

0

0

100

010

001

i

i

i

i

r

m

l

zzyzx

yzyyx

xzxyx

51


zzyzx

yzyyx

xzxyx

I

3

Condizone di risultato non triviale (per avere soluzione non nulla):

0

i

i

i

zzyzx

yzyyx

xzxyx

03i2

2

i1

3

i III2

1

3Invarianti del tensore di tensione:

zyxI 1

222

2 zxyzxyxzzyyxI

invariante primo o lineare

invariante secondo o quadratica

invariante terzo o cubico

52


3

2

1

3

00

00

00

I

Invarianti del tensore di tensione:

3211 I

1332212 I

Direzioni principali:

zyzx

zyx

zxz

yxyz

zzy

yzy

rml

i

i

i

i

i

i

i

53


Valori estremi delle tensioni tangenziali:

32I2

1 31II

2

1 21III

2

1

Piani dei valori estremi delle tensioni tangenziali:

54


Piani e sforzi ottaedrali

3

2

1

00

00

00

σ

©Turkalj, G., ČK2

Tensore delle tensioni:

3

1

1222

222

rml

rml

rml

Normale al piano ottaedrale:

31

31

31

ott

r

m

l

n

55


ottott σnt

©Turkalj, G., ČK2

31

31

31

00

00

00

3

2

1

(3)ott

(2)ott

(1)ott

t

t

t

2

3

2

2

2

1

2

(3)ott

2

(2)ott

2

(1)ott ott

3

1

tttt

Vettore di sforzo nel piano ottaedrale:

56


m321ott

T

ottott3

1σσσσσ nt

©Turkalj, G., ČK2

Componenti del vettore di sforzo nel piano ottaedrale:

Tensione normale:

213

2

32

2

21

2

321

2

3

2

2

2

1

2

ott

2

ottott

3

1

9

1

3

1

σσσσσσ

σσσσσσ

t

Tensione tangenziale:

1ott

3

1Iσ 3

2

1ott 323

1II

57


parte sferica della tensione o tensore sferico

Scomposizione di uno stato di sforzo

Sσσ m

mσ

m

m

m

m

00

00

00

σ

33

321m

zyx tensione media (ingl. mean stress)

58


m pressione idrostatica

©Turkalj, G., ČK1 59


parte deviatorica della tensione o tensore deviatorico

S

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

SSS

SSS

SSS

m

m

m

mσσS

3

2

1

m3

m2

m1

00

00

00

00

00

00

S

S

S

mσσS

3

1imii

I

S

sforzi principali deviatorici321 ,, SSS

60


3

1imii

I

SS

Invarianti della parte deviatorica della tensione (J1, J2, J3):

03i2

2

i1

3

i III

0333

31

i2

2

1i1

3

1i

II

SII

SII

S

03i2

2

i1

3

i JSJSJS

03211 SSSJ 2

2

12 33

1IIJ

321

3

13 279227

1IIIIJ

61


321133221321

3

32133

1

27

2 J

3211 I 1332212 I 3213 I

2

13

2

32

2

21

133221

2

3212

6

1

3

1

J

2

3

2

2

2

122

1SSSJ

3213 SSSJ 62


area della faccia obliqua

Stato di sforzo biassiale (piano)

ndA

yyx

xyx

σ

sindd

cosdd

n

n

AA

AA

y

x

?

?

nn

nn

©Turkalj, G., ČK1

63


Condizione di equilibrio in direzione della tensione normale:

0F

0cosdsindsindcosdd nn yyxxxyyyxx AAAAA

n

22

n sincos2sincos xyyx

0cossindsincosdsindcosdd nn

2

n

2

nnn AAAAA yxxyyx

Sostituzioni trigonometriche:

2cos12

1cos2 2cos1

2

1sin 2 2sin

2

1cossin

©Turkalj, G., ČK1

yxxy

sindd

cosdd

n

n

AA

AA

y

x

64


Equazione della tensione normale sulla faccia obliqua:

2sin2cos2

1

2

1n xyyxyx

Per φ = α angolo della direzione principale di sforzo:

Condizione di estremo:

02cos22sin0d

d n

xyyx

yx

xy

22tan

2

1

yx

yx

9012 65


2sin2cos2

1

2

1n xyyxyx

SFORZI PRINCIPALI (valori estremi di tensione normale)


22242tan1

12cos

xyyx

yx

22242tan1

2tan2sin

xyyx

xy

22

1,2 42

1

2

1xyyxyx

min2

max1

66


Condizione di equilibrio in direzione della tensione tangenziale:

0F

0sindcosdcosdsindd nn yyxxxyyyxx AAAAA

n

22

n sincoscossin yxxyyx

0sindcosdcossindd 2

n

2

nnnn AAAA yxxyyx


2cos12

1cos2 2cos1

2

1sin 2 2sin

2

1cossin

©Turkalj, G., ČK1

yxxy

sindd

cosdd

n

n

AA

AA

y

x

67


Equazione della tensione tangenziale sulla faccia obliqua:

2cos2sin2

1n xyyx

Per φ = β angolo degli sforzi tangenziali massimi:

Condizione di estremo:

02sin22cos0d

d n

xyyx

xy

yx

22tan

4512tan2tan 1III, 68


2cos2sin2

1n xyyx

Valori estremi delle tensioni tangenziali:


221

2

2tan1

12cos

yx

xy

22242tan1

2tan2sin

xyyx

yx

21

22

III,2

14

2

1 xyyx

maxI

minII 69


2cos2sin2

1n xyyx

Equazione del cerchio di Mohr:

2sin2cos2

1

2

1n xyyxyx

2

2

2222

n

2

n 44

1

2

1xyyxyx R

Centro del cerchio di Mohr:

0,

2

1yxC

Raggio del cerchio di Mohr:

224

2

1xyyxR

70


Cerchio di Mohr - stato di tensione (sforzo) piano 0; xyyx

Punti sul cerchio di Mohr:

A(x, ) B(y, -)

©Turkalj, G., ČK1

M - polo per le normali

71


Cerchio di Mohr - stato di tensione puramente tangenziale (taglio puro)

Punti sul cerchio di Mohr:

A(x, ) B(y, -)

A(0, ) B(0, -)

21

©Turkalj, G., ČK1

72


Deformazione

Cambiamento di configurazione del corpo materiale

Il vettore che unisce i punti del corpotra la configurazione indeformata e laconfigurazione deformata e' chiamatovettore di spostamento e il suo moduloe' detto spostamento.

©Turkalj, G., ČK1

y

z

xAB

D C

Fn

F1

A

B

D

C

1

1

1

1

s

Vettore spostamento (unisce i punti A e A1):

s i j k u v w u v w

• notazione matriciale:

( , , )

( , , ) ( , , )

( , , )

x y z

s x y z s x y z

x y z

u

v

w

Sollecitazione esterna spostamento del corpo 73


Moto del corpo deformabile:

traslazione

rotazione

deformazione (deformazione pura, ingl. strain)

Traslazione del corpo:

tutti i punti del corpo si spostano di una distanza fissa e con stessa velocità

Rotazione del corpo materiale:

tutti i punti hanno spostamenti diversi, ma la posizione reciproca tra i punti del corpo non si modifica

74


Tipi di deformazione:

variazione di volume (dilatazione)

alterazione della forma (distorsione o scorrimento)

Stati di deformazione:

monoassiale (lineare)

biassiale (planare)

triassiale (spaziale)

75


Deformazione di un tratto intorno al punto A:

deformazione lineare (normale), dilatazione

deformazione angolare, scorrimento

1 1x

B A

A B ABlim

AB

1 1

yC A

A C AClim

AC

0liml

l

l

v0

limV

V

V

deformazione volumetrica

1 1z

D A

A D ADlim

AD

111

ACAB

CBAABClim

yxxy 111

ADAC

DCAACDlim

zyyz

111

ADAB

DBAABDlim

xzzx

©Turkalj, G., ČK1

76


Deformazione di un elemento infinitesimale

Deformazioni piccole:

d

F

B d

A

E

H

G

C

d

D

z

y

x y

z

x

A'B' AB d

A'C' AC d

x

y

A'B'' A'B'''

A'C'' A'C'''

©Turkalj, G., ČK1

77


Deformazione lineare (normale) in direzione delle assi x e y:

©Turkalj, G., ČK1

x

d d dA'B''' A'B'

dA'B'

x x xx

x

u

y

d d dA'C''' A'C'

dA'C'

y y yy

y

v

xx

u

yy

v

78


Deformazione angolare per il paio di assi (x,y):

©Turkalj, G., ČK1

xy xy xy

xy

x

dB''B'''

tan1A'B''' d d 1

xx x x

x xx x

v v v

u u

xy

y

dC''C'''

tan1A'C''' d d 1

yy y y

y yy y

u u u

v v

xy yxy x

u v

y

u

x

v

xyyxyxy

xyxxyxy

1,tan

1,tan

Deformazioni piccole:

79


Equazioni di Cauchy delle piccole deformazioni:

x y z, ,x y z

u v w

80

xzzxxzzx

zyyzzyyz

yxxyyxxy

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

22

22

22


Deformazione volumetrica

d d d dV x y z

1d d d d d d dV x y z u v w

1v

d dd

d d

V VV

V V

v

d d d d d d d d d

d d d

x y z x y z

x y z

u v w

Volume iniziale del parallelepipedo:

Volume del parallelepipedo deformato:

Deformazione volumetrica:

81


v x y z x y y z z x x y z X X X X

v x y z kk

v 0

v x y z1 1 1 1

v

1 1 1 d d d d d d

d d d

x y z x y zx y z

x y z

u v w

deformazioni piccole (ε <<1)

deformazione ISOCORA (ingl. isochoric deformation)

82


Tensore delle deformazioni per lo stato di deformazione triassiale:

x xy xz

xx xy xz

yx y yz yx yy yz

zx zy zz

zx zy z

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

T

T

x y z xy yz zx

Assi (x,y, z) = direzioni principali di deformazione:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

1 2 3, , 1 2 3 dilatazioni PRINCIPALI 83


parte sferica della deformazione (variazione di volume)

Scomposizione del tensore delle deformazioni

deformazione media (ingl. mean strain)

o e

o

0

o

0 m

0

0 0

0 0

0 0

x y z1 2 30

3 3

84


parte deviatorica della deformazione (variazione di forma)

e

1 0

o

2 0

3 0

0 0

0 0

0 0

e

x 0 xy xz

o

yx y 0 yz

zx zy z 0

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

e

85


Tensore delle deformazioni per lo stato di deformazione biassiale:

Assi (x,y) = direzioni principali di deformazione:

xyx x

y

y

x

y

x xy

xx xy

yx yy

yx y

1

2

1

2

1

2

0

0

86


n x y x y xy

1 1cos2 sin 2

2 2

n x y xy

1sin 2 cos2

2

x x y y xy xy xy

1

2

n x y x y xy

1 1 1cos2 sin 2

2 2 2

t x y x y xy

1 1 1sin 2 cos2

2 2 2

nt x y xy

1 1 1sin 2 cos2

2 2 2

87


Per = angolo della direzione principale:

Valori estremi delle deformazioni normali (DEFORMAZIONI PRINCIPALI)

2

2

1,2 x y x y xy

1 1

2 2

xy

x y

tan 2

x y 1

x y 2

2 1

π

2

Notazione matriciale:

x xy x xy

yx y yx y

1 1

cos sin cos sin2 2

1 sin cos 1 sin cos

2 2

T[ ] [ ][ ][ ]a a Trasformazione del tensore secondo ordine88

lezione 2 stato di sforzo e di deformazione...lezione 2 –stato di sforzo e di deformazione...

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