Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 1 | Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 2 | INDICE Pgina Introduccin 2 Justificacin7 Conjuntos convexos y no convexos- Prctica 1.13 Solucin Grfica de PPL.- Prctica 2.18 Solucin por mtodo simplex y revisado de PPL - Prctica 3.|26 Anlisis de sensibilidad y Dualidad.- Prctica 4.44 Problemas de Transporte.- Prctica 5.54 Problemas de Transbordo.- Prctica 6.63 Problemas de Asignacin.- Prctica 7.76 Problema de la Ruta crtica.- Prctica 8.80 Problemas del Camino ms corto.- Prctica 9.85 Problema de Costo mnimo.- Prctica 10.92 Problema del Flujo mximo.- Prctica 11.96 Problema del rbol de expansin mnimo.- Prctica 12.115 Problema de Anlisis de decisin.- Prctica 13.122 Problemaresueltos por rbol de decisin.- Prctica 14.135 Problemas de Colas.- Prctica 15.143 Problemas de Inventarios.- Prctica 16. 156 Problemas de Programacin Dinmica.- Prctica 17. 162 Problemas de Cadenas Markov.- Prctica 18.170 Problemas de Teora de Juegos.- Prctica 20. 175 Problemas miscelneos resueltos.180 Bibliografa. 220 Software de apoyo.222 Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 3 | Introduccin ConestelibrodeguasprcticasparalaasignaturadeInvestigacinde operaciones,pretendemosquelosestudiantesquecursanlasasignaturasde Investigacin operativa I y II cuenten con material metodolgica y didicamente elaborado para que pueda realizar sus prcticas sin la asistencia del profesor.Lamayoradelasprcticasestnorientadasparaquelosestudianteslas puedanrealizarconelapoyodelcomputador.Sibienesciertohayvarios softwarequepuedenusarse,recomendamosquelasprcticaslashagacon WinQSB,porcontenertodoslosmdulosquesonabordadosenestetextoy contamos con un manual del Software para apoyo del estudiante. Ellibroiniciacadaprcticaconejemplosilustrativos,resueltos metodolgicamente,parafacilitarelaprendizajedelestudianteyaspermitirleabordar la gua prctica correspondiente con mayor dominio y poder resolverla con un alto grado de seguridad. Ellibrolohemosestructuradoentresgrandesaspectos:Losejemplosque anteceden cadagua prctica, las guas prcticas que debe ser resulta por el estudianteconapoyodelcomputadoryunamiscelneadeproblemas propuestosyresueltosalfinaldellibro,quelepermitirnalosestudiantes tener una visin ms amplia del mundo de problemas prcticos que se pueden abordar desde los mtodos cuantitativos. Estelibro deguasprcticasest orientadoparaqueseadesarrolladoendos semestres,lasprimeras8prcticasparaelIsemestreylasrestantesenel segundosemestre.Cadaguaprcticanonecesariamentesedebede desarrollarenunperododelaboratorio(2horas),algunaspuedendurarmsde acuerdo a las orientaciones del profesor de la asignatura, algunas prcticas el alumno las resolver en forma independiente, en su casa o donde l estime conveniente.Noobstanteindependientedelaformaydondeelalumno resuelvacadagua,elprofesordebegarantizarquesehagaunanlisis colectivosobrela misma,estaparteesesencialparaeldominio delostemas tratados. Lasguasfueronorganizadasdeformaquepermitaalestudianteun conocimientoprogresivo,iniciandodesdelapartebsicadeloshiperplanos hasta el desarrollo de temas de mayor complejidad en el anlisis y en la toma de decisiones. Sin embargo no es obligatorio ni riguroso seguir el orden en que se proponen todas las prcticas, eso depender de la orientacin e inters que el profesor de la asignatura tenga y del dominio de las temticas por partede los estudiantes.Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 4 | Es importantedesarrollar completamente cada prcticaylogrolos objetivos propuestos en la misma.Justificacin La investigacin de operaciones es una de las asignaturas que generanmayor expectativaenlos estudiantesyprofesionalesquelascursan. Porcuantoson de suma importancia para la toma de decisiones. Latomadedecisioneseslatareaesencialdelasorganizaciones(pequeas, medianasygrandes)ydelosindividuosquedeformaindependienteadiario tienen que enfrentar problemas. Enlatomadedecisioneselanlisispuedetomardosformas:cualitativoy cuantitativo. Elanlisiscualitativosebasaprincipalmenteeneljuicioyexperienciadela gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre los problemas tratados y es ms un arte que una ciencia. LosmtodoscuantitativosjueganunpapelclaveenlaAdministracinyla optimizacindeprocesos.Porloqueesrelevanteestudiarlosdiferentes mtodoscuantitativosquemejorseajustenalasolucindeproblemasdel campo de la investigacin de operaciones. El anlisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados conlosproblemasydesarrollaexpresionesmatemticasquedescribenlas relacionesentreellos.Utilizandolosmtodoscuantitativosseobtienen resultadosconlosquesehacenrecomendacionesbasadasenlosdatos cuantitativos del problema. Elpapeldelanlisiscuantitativoenlatomadedecisionespuedevariar dependiendo de los factores cualitativos. Los modelos matemticos son la base de los modelos cuantitativos. A su vez, la esencia de la Investigacin de operaciones esel uso de los modelos.Este documento de carcter prctico tiene como propsito abordar los mtodos desolucindelosdiferentesmodelosmatemticosqueseformulanenla investigacindeoperaciones,tantodesdeelpuntodevistaanaltico,grfico comoauxiliarnosdelasherramientascomputacionalessobretodoaquellos cuyoniveldecomplejidaddeclculolorequierenycentrarelesfuerzoenel anlisis de sensibilidad de los posibles escenarios que se pudiesen presentar y quesonincertidumbrequeenelmundodelagestinadiariotenemosque enfrentar. Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 5 | CONJUNTOS CONVEXOS Y NO CONVEXOS Para analizar el concepto de conjunto convexo, consideremos los siguientes conjuntos. CONJUNTO ACONJUNTO B CONJUNTO CCONJUNTO D. Ejemplo: Consideremos elconjunto A. B C D A Definicin de Conjunto Convexo: Conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto. x y A Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 6 | D x y Obsrvese que para cualquier par de puntos x, y que estn dentro del conjunto A, el segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en consecuencia A es un conjunto convexo.Consideremos el conjunto B: Obsrvese que para cualquier par de puntos x,y que estn dentro del conjunto B, el segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto, en consecuencia B no es un conjunto convexo.Consideremos el conjunto C: En este caso para cualquier par de puntos x,ydela recta C, el segmento que los une queda dentro del conjunto, en consecuencia C es un conjunto convexo.Por ltimo sea el conjunto D: B yx x y C Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 7 | Es claro grficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los une est totalmente contenido en dicho conjunto.Consideremos un ltimo ejemplo en el plano, sea el conjunto E

Conjunto poligonal delimitado por los puntos ((0,0), (5,0), (0,3), (1,2), (0,0))Sepuedeverqueexistensegmentos,comoelindicadoenlafiguraquecontiene puntos que no estn en el conjunto, por lo que este conjunto no es CONVEXO. EJERCICIO 1Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos, dibujndoles previamente:a.Conjunto poligonal determinado por los puntos (0,1),(1,0),(1,3),(0,1)b.Conjunto poligonal determinado por los puntos (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2) (-1,0), (1,1) SOLUCION:a.Es convexo b. No es convexo E x y E Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 8 | Podemos definir conjuntos en el plano de una manera ms compleja:Por ejemplo, si consideramos el conjunto S3= {(x, y) R2/ y x} Qu hacemos para dibujar este conjunto? Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto. EnDERIVE, resulta sencillo 1.Poner la ventana en modo grfico 2D 2.Editar la funcin y= x 3.Desde el men Insertar hacer clic en la opcin graficar.Para delimitar la regin del plano basta considerar un punto que no est en la curva, por ejemplo (1,2) si ese punto satisface la ecuacin entonces ese es el recinto a considerar, en nuestro caso como 2 s es mayor o igual que 1, entonces el recinto es Obsrvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estn en S3 el segmento que los une est claramente contenido en S3.Qusucederasinopodemosrepresentargrficamenteelconjunto,comosucede con conjuntos de dimensin superior a 3?y=x y=x S3 Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 9 | En esos casos es necesario dar una definicin analtica de conjunto convexo, para lo cual efectuamos la siguiente definicin: CONJUNTO CONVEXO.Diremos que un subconjunto S_ Rn es convexo si para cualquier par de puntos y para cualquier e [0,1] se cumple queest en S, es decir que si llamamos segmento de extremospor S es convexo si para cualesquiera, Cul es el significado de z = x + (1- )y?Vamos a verlo en un ejemplo:EJEMPLO: Estudiar analticamente si el conjunto anterior S3= {(x, y) R2/ y x} es un conjunto convexo.Para ello consideremos dos vectores de S3

(x1,y1), (x2,y2), Habra que comprobar si b(x1,y1)+(1-b)(x2,y2) es un vector que pertenece a S3 para cualquier valor de b en [0,1]Es decir tendremos que comprobar sib x1+ (1-b) x2 > by1+ (1-b) y2 Como x1>y1 entonces bx1>by1 (pues b es positivo o cero)Y como x2 > y2 entonces (1-b) x2 > (1-b) y2

Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S3 es un conjunto convexo.Esto en DERIVE se puede realizar definiendo dos vectores:V1: = [x1, y1] V2: = [x2, y2] Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 10 | Y comprobando si el vectorb - v1 + (1 -b)* v2 Que una vez simplificado nos da[b(x1-x2) + x2 , b(y1-y2) + y2] Y al expandirle[b * x1- b * x2) + x2 , b * y1- b * y2 + y2] Si es un vector del conjunto S3. EJERCICIO 2Estudiar de forma grfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos.a. b. SOLUCIONES:a.Lo hacemos grficamente, representando el conjunto.Para ello dibujamos los dos lmites del conjunto x2+y2=1 y x2+y2=4 (circunferencias de radio 1 y radio 2)Definimos las expresionesx2 + y2 =1 x2 + y2 =4 Y luego las graficamos con Derive de la misma que lo hemos hecho anteriormente

Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 11 | Cul es el recinto?Ahoradebemosdeterminarenqueladodelacircunferenciasesitael conjunto.Tomemosunpuntofueradeambascircunferencias,porejemplo(0,0).Y comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto02 + 02 1 Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sita hacia fuera de la circunferencia.Por otro lado 02 + 02 1 Esciertaportantoelconjuntoeslacoronacircularsituadaentrela circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2.Este conjunto es convexo?Claramentesevequeno,tomemosdospuntoscualesquieraporejemplo(-1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que los une como se ve no pertenecen al conjunto. Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 12 | Consideremos las expresiones que definen los lmites del conjunto:Representemos ambas rectas:

Para saber cul es exactamente el recinto, tomemos un punto que no est en dichas rectas, por ejemplo (0,0).Comprobemos a qu1, comprobamoslado de la recta x + y =1 se encuentra nuestro conjunto x + y 1 verifica la ecuacin, por tanto el Recintopara (0,0), y observamos que 0+0 1 est al lado del Y por otro lado para determinar el conjunto x y x + y 1 por tanto tambin es de la recta hacia el (0,0),1 comprobamos que 0 0con lo cual tendremos que el recinto ser:

(0,0). Guas Prcticas de Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 13 | EJERCICIO 3Demostrar de forma analtica que el conjunto Conjunto convexo. OBSERVACIN.En general si es un vector de Rn ce R se verifica que los conjuntos:H= { e Rn/ t.=c}H+= { e Rn/ t.> c} H-={ e Rn/ t.s c}H0+={ e Rn/ t .>c} H0-={ e Rn/ t. s + > > e = y y x y x x R y x S d)( ) { } 1 , 1 , 0 , 0 / ,24s s > > e = y x y x R y x S V.A partir de los siguientes conjuntos S y T, establezca si el conjunto unin e interseccin de S y Tes convexo, acotado y cerrado. 1. ( ) { } 4 / ,2 2 2s + e = y x R y x S ( ) ( ) ( ) { } 4 1 1 / ,2 2 2s + e = y x R y x T Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 29 2. ( ) { } 5 / ,2s + e = y x R y x S ( ) { } 6 / ,2s e = y x R y x T I.Graficarlossiguientesconjuntosdeecuacionesconelsistemadecoordenadas rectangulares y con el programa Derive 6.0. Verificar si la interseccin de las mismas formaunconjuntoconvexo.Siesasindicarsielpoliedroformadoesacotadoy cerrado. 1.2.

3.4. 0 ,5 44 21 53 3 22 12 12 12 12 1>s +s +s +s +x xx xx xx xx x 5.6.

0 ,0 312 3 22 12 12 1>> > +x xx xx x0 ,1216 2 82 12 12 1>s +s +x xx xx x0 ,112 4 212 2 32 122 12 1>>> +> +x xxx xx x0 ,4312 12 12 12 1>s + s s x xx xx xx x0 ,2 2312 12 12 12 1>s + s s x xx xx xx xGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 30 7.8. 9.10. 0 ,349 22 1212 1>sss +x xxxx x0312 12 12 1s s s x xx xx x0 ,3 32 12 1>s +x xx x0 ,235 22 1212 1>sss +x xxxx xGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 31 PROGRAMACIN LINEAL Losfundamentosmatemticosdelaprogramacinlinealsedebenalmatemtico norteamericanodeorigenhngaroJanosvonNeuman(1903-1957),quienen1928 public su famoso trabajo Teora de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programacin lineal y la teora de matrices desarrollada en sus trabajos. Lainfluenciadeesterespetadomatemtico,discpulodeDavidHilbertenGotingay, desde 1930, catedrtico de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otrosinvestigadoresseinteresaranpaulatinamenteporeldesarrollorigurosodeesta disciplina. En 1858 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto: el clculodelplanptimodetransportedearenadeconstruccinalasobrasde edificacin de la ciudad de Mosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 das del mes de junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costos previstos. Sehaestimado,deunamanera general, que siunpassubdesarrolladoutilizaselos mtodosdelaprogramacinlineal,suproductointeriorbruto(PIB)aumentaraentre un 10 y un 15% en tan slo un ao. Definicin de Programacin lineal: Sellamaprogramacinlinealalconjuntodetcnicasmatemticasquepretendenresolver la situacin siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una funcin objetivo, funcin lineal de variasvariables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.Un problema de programacin lineal en dos variables, tiene la siguiente formulacin estndar: Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades. En un problema de programacin lineal intervienen: -La funcin z = ax + byllamada funcin objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresin x e y son las variables de decisin, mientras que a, b y c son constantes. -Lasrestriccionesquedebenserinecuacioneslineales.Sunmerodependedel problema en cuestin. El carcterde desigualdad viene impuesto porlas limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a( < o); como mnimo de ( > o) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 32 -Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se le denominaconjunto(oregin)factible.Todopuntodeeseconjuntopuedeser solucindelproblema;todopuntonopertenecienteaeseconjuntonopuedeser solucin. En el apartado siguiente veremos cmo se determina la regin factible. -La solucin ptima del problema ser un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor mximo o mnimo. Utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programacin lineal Determinacin de la regin factible: La solucin de un problema de programacinlineal,en el supuesto deque exista, debeestar enlaregindeterminadaporlasdistintasdesigualdades.Estarecibeelnombrederegin factible, y puede estar o no acotada.

Regin factible acotadaRegin factible no acotada La regin factible incluye o no los lados y los vrtices, segn que las desigualdades sean en sentido amplio (o) o en sentido estricto (< o >). Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un polgono convexo con un nmero de lados menor o igual que el nmero de restricciones. El procedimiento para determinar la regin factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuacin por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. -Se dibuja la recta asociada a la inecuacin. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos -Para averiguar cul es la regin vlida, el procedimiento prctico consiste en elegir un punto,porejemplo,el(0,0)silarectanopasaporelorigen,ycomprobarsilas coordenadassatisfacenonolainecuacin.Silohacen,lareginenlaqueestese puntoesaquellacuyospuntosverificanlainecuacin;encasocontrario,laregin vlida es la otra. 2) La regin factible est formada por la interseccin o regin comn de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solucin, en el caso de que exista el conjunto solucin puede ser acotado o no. Vemoslo con un ejemplo: Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 33 Dibuja la regin factible asociada a las restricciones: x + y4 y4 yx Las rectas asociadas son: r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x Elegimos el punto P(0,0), que se encuentra en el semiplanosituadopordebajodelarecta. Introduciendolascoordenadas(0,0)enla inecuacin x + y4, vemos que no la satisface: 0+0=0>xx Restricciones de no negatividad Mx. 2 15 3 x x Z + = S.a 0018 2 312 24212 121>>s +ssxxx xxx Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 37 5.Con la forma estndar del modelo, graficamos para encontrar la regin factible. Si hacemos uso del WinQSB los pasos ha seguir son los siguientes 1.Nos vamos a INICIO. 2.Elegimos todos los programas 3.Damos clic derecho izquierdo en WinQSB4.y elegimos con un clic izquierdo la herramienta Goal Programming. 5.Al cargar el programa nos vamos a archivo y damos clic en nuevo. 6.Aparecer una nueva ventana que nos muestra: Ttulodelproblema:elttuloestotalmenteopcionalcadaunolepuedadarel nombre que desee. Nmero de Goal, es decir nmero de metas. En este caso queremos encontrar un solo ptimo por lo cual, la meta es 1. Nmero de variables: las variables de decisin, no son ms que las que definimos al inicio, son dos. Entonces escribimos 2. Nmero de restricciones: tambin ya las hemos definido. Son tres restricciones. El programayaincluyelasrestriccionesdenonegatividad,porloquesolamente escribimos las otras faltantes 3. El programa trae la opcin de minimizacin o maximizacin. Como el nuestro es un problema de maximizacin le damos entonces clic en maximizacin. Damos clic en aceptar y nos aparecer una nueva ventana en la cual veremos en la primeracolumnaC1,C2,C3;estassonlasrestriccionesdelproblema.Aparece adems en la primer fila la letra Z, all colocaremos los coeficientes de las variables de decisin de la funcin objetivo. Paratenerunamejorinterpretacinesnecesarioquecambiamoslosnombresa las restricciones e incluso a las variables de decisin, para ello nos vamos a Edicin; elegimoslaopcinconstraintnameypodemoscambiarleelnombrealas restricciones de igual forma, podemos elegir la opcin variable name y definir bien quien es x1 y x2. Cuandohemosintroducidoloscoeficientesdelafuncinobjetivoydelas restricciones,entoncespodemosirnosalaopcinSolveandAnalizeyelegimos Graphic Method, dado que nuestra intencin es resolverlo por el mtodo grfico. Alhacerestoelprogramanosmandaraunanuevaventana,lacualnosindica quevariableconformaelejedelasXycualconformaelejedelasY,ledamos aceptaryantenosotrosaparecerungrficocomoelquesemuestraa continuacin. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 38 Los pares ordenados que han sido seleccionados son los que acotan la llamada Regin Factible, sonlasposiblessolucionesalproblemaysonesencialesparadescubrircualeselptimo.El siguientepasoesevaluarcadaunodeestospuntosyencontrarelquemaximicenuestras utilidades al mayor porcentaje posible. 6.Soluciones factibles. Valores permitidos( )2 1, x xde la regin factible Funcin Objetivo 2 15 3 x x Z + =Soluciones factibles (FEV) (0,0) = + = ) 0 ( 5 ) 0 ( 3 Z0 (0,6) = + = ) 6 ( 5 ) 0 ( 3 Z30 (2,6) = + = ) 6 ( 5 ) 2 ( 3 Z36 (4,3) = + = ) 3 ( 5 ) 4 ( 3 Z27 (4,0) = + = ) 0 ( 5 ) 4 ( 3 Z12 Despusdehaberanalizadolassolucionesfactiblesvemosquelaquenosdalamxima utilidad es el punto (2,6) Esto se interpreta de la siguiente manera: 7. Soluciones ptimas: Para obtener la mxima utilidad que es de $36,000 tendremos que producir dos lotes del producto 1 y 6 lotes del producto 2. (0,6) (2,6) (4,3) (0,0)(4,0) Regin Factible Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 39 Problema 2. Rulisa fabrica masa para pasteles de tipo I y II. La de tipo I la vende a 5 euros el kilo, gastando 1 euro en ingredientes y 2 en mano de obra. La de tipo II se vende a 3 euros y cuestan 1 euro, tanto los ingredientes como el trabajo. Para hacer las masas se necesitan dos tipos de actividades: amasado y horneado. Rulisa dispone de 18 horas de amasado y 12 de horneado a la semana. La masa de tipo I necesita 2 horas de amasado Y 3 de horneado, mientras que la de tipo II, necesita 3 de amasado y 1 de horneado. Si la cantidad de masa que se puede vender es ilimitada, optimizar los beneficios semanales de Rulisa. Anlisis del problema Identifiquemoslos datos que necesitamos para la para definir el modelo: Nmero de horas disponibles para produccin, por semana. (18 para amasado y 12 para horneado) Nmero de horas que requiere cada tipo de masa (tipo Iy II)en amasado y horneado. La ganancia por cada producto (precio de venta - costos de produccin)de cada uno. La tabla siguiente resume los datos reunidos. ActividadesTiempo de produccin por producto, horasTiempo de produccin disponible a la semana, horas Tipo de masa III Amasado2318 Horneado3112 Ganancias Por Producto 2 1 Para lograr una mejor solucin del problema definiremos nuestras variables de decisin, las cuales son: 1.Variables de decisin =1x Kilogramos de masa I a fabricar semanalmente. =2x Kilogramos de masa II a fabricar semanalmente. 2x Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 40 En este caso la funcin objetivo estar compuesta por la ganancia obtenida por cada tipo demasayporlasvariablesdedecisin.Elproblemaqueestamosresolviendoesun problema de maximizacin. 2.Funcin Objetivo Dado que este producto requiere de dos operaciones fundamentales (Amasado, Horneado) las restriccionesestarndadasporlacapacidadenhorassemanalesparaestasactividades. Adems colocaremos la restriccin de no negatividad. 3.Restricciones 4.Ahora se puede formular el modelo matemtico del problema para lo cual definimos lafuncinobjetivoamaximizar,sujetaalasrestriccionesquesesealaron anteriormente. 5.Con la forma estndar del modelo, graficamos para encontrar la regin factible. Paragraficarlareginfactibleesnecesarioqueconozcamoslospuntospordondepasanlas diferentesrectasporloquehacemosusodeelmtododeintercepto.Aunqueexistenotros Maximizar2 1 2 12 ) , ( x x x x f z + = = Tiempo mximo de amasado permitido Tiempo mximo de horneado permitido

Restricciones de no negatividad Maximizar 2 12 x x z + = S. a 18 3 22 1s + x x 12 32 1s +x x 0021>>xx 18 3 22 1s + x x12 32 1s +x x0021>>xxGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 41 formas de resolver sistemas de ecuaciones haremos uso de este por considerarlo ms sencillo de utilizar. Primero cambiamos el signos por el =.Elegimos de las ecuaciones.

92 / 1818 ) 0 ( 3 201112=== +=xxxx Punto1 (0,6) Punto2(9,0)estepuntoquedadescartadodadoquenoesunodelosvrticesdelaregin factible 1212 ) 0 ( 3012 32212 1== +== +xxxx x Punto3 (0,12)Punto (4,0)Descartamos este punto dado queNo forma parte de la regin Factible. Para encontrar la intercepcin de las rectas18 3 22 1= + x xy12 32 1= + x xusamos el mtodo de sustitucin. Vemoslo a continuacin. Dado queno todos los puntos son partedela regin factible, podemos decir quelos vrtices de la regin factible son: 63 / 1818 3 ) 0 ( 2018 3 222212 1=== +== +xxxxx x43 / 1212 0 301112=== +=xxxx7 307 1818 718 36 9 218 ) 3 12 ( 3 212 318 3 22111 11 12 12 1== = = + = += += +xxxx xx xx xx xGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 42

Para encontrar la solucin ptima es necesario que evaluemos todos los valores de los vrtices en la funcin objetivo. 6.Soluciones factibles. Valores permitidos( )2 1, x xde la regin factible Funcin Objetivo 2 12 x x Z + =Soluciones factibles (FEV) (0,0) = + = 0 ) 0 ( 2 Z0 (0,6) = + = 6 ) 0 ( 2 Z6 (18/7, 30/7) = + = 7 / 30 ) 7 / 18 ( 2 Z66/7 (4,0) = + = 0 ) 4 ( 2 Z8 La solucin ptima se puede analizar de la siguiente manera. 7.Soluciones ptimas: 18 3 22 1s + x x12 32 1s + x x(18/7,30/7) (0,0) (4,0) (0,6) Para alcanzar la mxima utilidad es necesario que la empresa produzca 18/7 kg de masa de tipo I y 30/7 Kg de masa de tipo II, para alcanzar una utilidad mxima de 66/7 de euros.Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 43 GUA PRCTICA # 2 Solucin Grfica de PPL Unidad 2: Programacin lineal Contenidos: Construccin del modelo de programacin lineal. Solucin grfica del problema bidimensional Objetivos: A l finalizar la prctica el estudiante adquiera las siguientes habilidades: -Resolverproblemasdeprogramacinlinealcondosytresrestriccionesa travs del Mtodo Grfico. -Graficar la regin de factibilidad en un sistema de coordenadas, haciendo uso de las restricciones del problema de programacin lineal. -Hacer uso del IOR Tutoral para encontrar la regin de factibilidad del problema de programacin lineal. -Encontrarlasolucinalproblemadeprogramacinlinealdedosytres restricciones. I.Resuelva los siguientes problemas por el mtodo grafico. Problema 1: LacompaaINTELproducedosdispositivosparacomputadoras,(producto1y producto2)yrequierepartesdemetalycomponenteselctricos.Laadministracin deseadeterminarcuantasunidadesdecadaproductofabricarparamaximizarla ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidadesdecomponenteselctricos.Porcadaunidaddelproducto2senecesitan3 unidadesdepartesdemetaly2unidadesdecomponenteselctricos.Lacompaa tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes elctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $ 3.00 a)formule un modelo de programacin lineal. b)Utiliceelmtodograficopararesolverestemodelo.Culesla ganancia total que resulta? Materiales UnidadesdeMaterialparacada dispositivo Totaldeunidades disponiblesde cada material Producto 1Producto 2 Ganancias por unidad Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 44 1.Variables de decisin 2.Funcin Objetivo 3.Restricciones 4.Formule el modelo matemtico del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemtico del problema para lo cual definimoslafuncinobjetivoamaximizar,sujetaalasrestriccionesque se sealan. 5.Conlaformaestndardelmodelo,graficamosparaencontrarlaregin factible. Forma estndar del modelo: Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 45 6.Soluciones factibles. Valores permitidos( )2 1, x xde la regin factible Funcin ObjetivoSoluciones factibles (FEV) 7.Soluciones ptimas: Problema 2: Unafbricadebombonestienealmacenados500Kg..dechocolate,100Kg..de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas:las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50 , respectivamente. Cuntas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus ventas? Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 46 Caja tipo ACajatipo BDisponibles Chocolate Almendras Frutas Precio en euros 1.Variables de decision 2.Funcin Objetivo Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 47 Restricciones 3.Formule el modelo matemtico del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemtico del problema para lo cual definimoslafuncinobjetivoamaximizar,sujetaalasrestriccionesque se sealan. 4.Conlaformaestndardelmodelo,graficamosparaencontrarlaregin factible. Forma estndar del modelo: Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 48 5.Soluciones factibles. Valores permitidos( )2 1, x xde la regin factible Funcin ObjetivoSoluciones factibles (FEV) 6.Soluciones ptimas: Problema 3: Un laboratorio de Cmputos, almacena, al menos 300 Computadoras de un tamao y 400deunsegundotamao.Sehadecididoqueelnmerototaldecomputadoras almacenadasnodebeexcederde1200.Determinelascantidadesposiblesdeestos dos tipos de computadoras que pueden almacenarse.Restricciones Tipo de ComputadorasTotal ComputadorasComputadora 1Computadora 2 Tipos de Computadoras 1.Variables de decisin 2.Funcin Objetivo 3.Restricciones Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 49 4.Formule el modelo matemtico del PPL. Ahora se puede formular el modelo matemtico del problema para lo cual definimoslafuncinobjetivoamaximizar,sujetaalasrestriccionesque se sealan. 5.Conlaformaestndardelmodelo,graficamosparaencontrarlaregin factible. 6.Soluciones factibles. Valores permitidos( )2 1, x xde la regin factible Funcin ObjetivoSoluciones factibles (FEV) 7.Soluciones ptimas: Forma estndar del modelo: Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 50 El Mtodo Simplex Para la solucin de un problema de PLPara resolver los problemas de PL se utilizan varios Algoritmos. El ms antiguo y ms utilizado sigue siendo el Algoritmo del Simplex debido a Dantzig. Lasolucindelosproblemasdeprogramacinlinealpartededosteoremas fundamentales: ElconjuntofactibledeunproblemadePLpuederepresentarsemedianteun poliedro convexo. Si un PL tiene solucin ptima y finita sta se encuentra en uno de los vrtices del poliedro convexo. De ellos se deduce que: Puestoqueelnmerodevrticesdeunpoliedrofactibleesfinito,elnmerode posibles soluciones de un PL tambin es finito. Esto sugiere, inicialmente, un algoritmo para calcular la solucin ptima: Calcular el valor de la funcin objetivo en cada vrtice del conjunto factible y escoger el mejor. Sin embargo, el nmero de vrtices de un conjunto factible es: m = nmero de restriccionesn =nmero de variables Ejemplo:Sm=3; yn=2; entonces el nmero deVrtices=10 El concepto de vrtice es de naturaleza geomtrica y es poco adecuado para construir un algoritmo utilizable por ordenadores.Conceptos importantes: Variablebsica:Unadelasvariablesrestantes,diferentesalasno-bsicas,deun programalinealenformaestndar(igualennmeroaltotalderestriccionesde igualdad) Variablenobsica:conjuntoseleccionadodevariablesdeunprogramalinealen formaestndar(ennmeroigualaltotaldevariablesmenoselnmerode restricciones de igualdad) cuyos valores se toman como cero.Formaestndar:Unaformaparticulardeunproblemadeprogramacinlinealenel quelafuncinobjetivodebesermaximizada;solamenteexistenrestriccionesde igualdad y todos los lados derechos de las variables son no negativosm)! - n (m m!n)! (mmn m++=||.|

\|+Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 51 Solucin bsica: Valores de las variables que satisfacen las restricciones de igualdad de un programa lineal en forma estndar, despus de que las variables no bsicas se toman como cero. Solucinbsicafactibleinicial:Valoresdelasvariablesquesatisfacenlas restriccionesdeigualdadydenonegatividaddeunprogramalinealenforma estndar, despus de que las variables no bsicas se toman como cero.Variabledesobrante:variablenonegativaqueseaadealladoizquierdodeuna restriccin menor o igual que, para obtener una restriccin de igualdad equivalente. Variabledefaltante:variablenonegativaqueseaadealladoizquierdodeuna restriccin mayor o igual que, para obtener una restriccin de igualdad equivalente. Iteracin: una serie de pasos de un algoritmo que se repien. Prueba de optimalidad: Mtodo para determinar si la solucin obtenida es la ptima. Mejora:procesodeencontrarsolucionesfactiblesconvaloresdelafuncinobjetivo cada vez mejores. El Mtodo Simplex se basa en el concepto de la SOLUCIN BSICA FACTIBLEEs aquella que tiene al menos n-m componentes nulos o variables no bsicas. Las m restantes variables se denominan bsicas. A partir de:Ax = b x 0 Se dice que x es una SBF si puede realizarse la particin: A = [ N|B] xN = 0xB = B-1b Existen varios tipos de solucin bsica: SB Factible: Todas las variables bsicas xB 0 SBF No Degenerada: xB > 0 SBF Degenerada: algn xB = 0 Cada SBF representa un vrtice del Conjunto Factible. Sinembargo,unvrticepuedeestarrepresentadopormsdeunaSBFsiestaes degenerada. Cualquierconjuntopolidriconovacocontienealmenosunvrtice,ysihayun vrtice, siempre habr por lo menos una SBF. ((

=BNxxx Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 52 El algoritmo del Simplex busca el ptimo de un problema de PL recorriendo algunos de los vrtices del poliedro del conjunto de soluciones factibles. En cada iteracin, el algoritmo se desplaza de un vrtice a otro de forma que el valor de la funcin objetivo mejore con el desplazamiento. La optimizacin de un PL puede dar 4 posibles resultados: ptimo nico Soluciones Alternativas: Existen varias soluciones que dan el mismo valor en la funcin objetivo. Nofactible:Noexisteningunasolucinquesatisfagasimultneamentetodas las restricciones del problema Noacotado:Elvalordelafuncinobjetivoenelptimoestangrandeo (pequeo) como se desee en caso de maximizacin (o minimizacin). LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX: Costes reducidos (cj-zj ): Midenelefectosobrelafuncinobjetivodeunaumentounitarioenelvalordecada una de las variables no bsicas. Por tanto: Si una variable no bsica que tenga asociado un (cj-zj) > 0 entrara en la base, el valor de z aumentara. Si una variable no bsica que tenga asociado un (cj-zj) < 0 entrara en la base, el valor de z disminuira. Si una variable no bsica que tenga asociado un (cj-zj) = 0 entrara en la base, el valor de z permanecera inalterado.TEST DE OPTIMALIDADEnproblemasdemaximizacin:Lasolucinesptimasitodoslos costes reducidos (cj-zj) son 0. Enproblemasdeminimizacin:Lasolucinesptimasitodoslos costes reducidos (cj-zj) son 0. REGLA DE ENTRADA EN LA BASELa variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido (absoluto)enelcasodemaximizacin(omayorcostereducidoenelcasode minimizacin), ya que sta es la variable que aumenta (o disminuye) ms rpidamente el valor de la funcin objetivo. La interpretacin de este cociente: Representaelmximovalorquepuedetomarlavariableentranteantesdequela variable que se est considerando viole su restriccin de no negatividad. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 53 Si todos los aik son 0 la solucin no est acotada: La variable entrante puede crecer indefinidamente sin prdida de factibilidad. En el PL se transforman las inecuaciones en ecuaciones. DentrodelamatrizAdecoeficientesdeberencontrarseunasubmatriz identidad (I) de orden mxm: A = [N | I ] Las variables cuyos coeficientes tcnicos (aij) se corresponden con la submatriz identidad, sern las variables consideradas bsicas (xB) en la solucin inicial y sus valores de solucin sern los trminos independientes de las restricciones (b). Elrestodevariablessernconsideradasnobsicas(xN)y,portanto,suvalorde solucin ser cero. Si A no contiene una submatriz identidad o existe algn componente negativo en b, no resulta inmediato determinar una SBF inicial. ((

=((

=b0xxx BNGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 54 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 55 EJEMPLO APLICADO ELMETODO SIMPLEX El P.L. correspondiente es: Maxz= 23x + 32ysujeto a: 10x + 6y 2500 5x + 10y2000 x + 2y 500 x, y0 Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se aade una variable de holgura si por cada ecuacin: Max (z) = 23x + 32y + 0 h1+ 0 h2 + 0 h3 10x + 6y + h1 = 2500 5x + 10y + h2 = 2000 x + 2y+ h3= 500 x, y 0 ElprocesodeclculodelasolucinutilizandoelmtododelSimplexenformade tableau es el siguiente: Operacin ProductoDisponibilidadXY(horas/periodo)Cortado1062500 Cosido5102000 Empaquetado12500 Beneficio unitario2332 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 56 PASO 1: Formar el tableau inicial a)Forma Algebraicab)Forma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZXYh1h2h3 (0)Z - 23x - 32y =0Z(0)1-23-320000 (1)10x + 6y + h1= 2500 h1(1)01061002500 (2)5X+10Y + h2 =2000h2(2)05100102000 (3)X+ 2Y + h3=500h3(3)012001500 PASO2.TestdeOptimalidad.Loscostesreducidosdelasvariablesxeyson negativos. Luego no estamos en el ptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la base. PASO3.Regladeentrada.Seintroducelavariableconmayorcoste(absoluto) reducido, en este caso, la variable y. PASO 4. Regla de salida. Para determinar que variable sale de la base se calculan los ratios: Mn {bi /yik } = Mn {2500/6, 2000/10, 500/2} = 200 Elmnimo es 200, por tanto, sale h2

PASO 5. Actualizacin de la solucin: Se divide la fila entrante por el pivote El resto de las filas se actualizan restndoles la fila correspondiente a la nueva variable bsica, multiplicada por yik El tableau resultante es: Primer Iteracin c)Forma Algebraicad)Forma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZXYh1h2h3 (4)Z - 23x - 32y =0Z(0)1-7003.206400 (5)10x + 6y + h1= 2500 h1(1)0701-0.601300 (6)5X+10Y + h2 =2000Y(2)00.5100.10200 (7)X+ 2Y + h3=500h3(3)0000-0.21100 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 57 Una vez recalculado el tableau, se vuelve al paso 2 y se realiza una nueva iteracin. El tableau resultante es: e)Forma Algebraicaf)Forma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZXYh1h2h3 (8)Z - 23x - 32y =0Z(0)1-7003.206400 (9)10x + 6y + h1= 2500 h1(1)0701-0.601300 (10) 5X+10Y + h2 =2000Y(2)00.5100.10200 (11) X+ 2Y + h3=500h3(3)0000-0.21100 Segunda iteracin: g)Forma Algebraicah)Forma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZXYh1h2h3 (12) Z - 23x - 32y =0Z(0)10012.607700 (13) 10x + 6y + h1= 2500 X(1)0100.14-0.080185.7142 (14) 5X+10Y + h2 =2000Y(2)001-0.070.140107.1428 (15) X+ 2Y + h3=500h3(3)0000-0.21100 Solucin ptima para X=185.7142, Y=107.1428 con Z=7700.SienlamatrizAnoexisteunasubmatrizidentidad,sedeberseguirunodelosdos siguientes procedimientos: Mtodo de Eliminacin o de la M GrandeMtodo de las 2 FasesEn ambos casos se resuelve un problema de apoyo que: EnAincluyeunasubmatrizidentidadI,porloqueresultamuysencillo determinar una solucin inicial Su ptimo, si existe, es una SBF del problema. Una vez construido el problema de apoyo se aplica el algoritmo del Simplex para susolucin final. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 58 Ejemplo 2: ResolveremosporelmtodoSimplexelproblemadelaWINDORGLASSCO.Queproduce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 59 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 60 Solucin de los dosproblemas anteriores por Simplex Revisado. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 61 GUA PRCTICA # 3 Solucin por el Mtodo Simplex y Simplex Revisado I. Resolver por el mtodo simplex y simplex revisado, los siguientes problemas. Max Sujeto a: Forma AlgebraicaForma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZX1X2X3X4X5 (0) (1) (2) (3) II.Resolver por el mtodo simplex,el siguiente problema: MaxSujeto a:

Forma AlgebraicaForma Tabular VariableBsica Ec. Coeficiente de :Lado Derecho ZX1X2X3X4 (0) (1) (2) (3) 2 160 40 x x Z + =0 ,90 34070 22 12 12 12 1>s +s +s +x xx xx xx x2 13 4 x x+0 ,60 2402 12 12 1>s +s +x xx xx xGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 62 DUALIDAD Y ANLISIS DE SENSIBILIDAD Teora dedualidad: La teora de dualidad parte queasociado a todo problema dePL tiene existe otro problema lineal llamado dual. Las relaciones entre el problema dual y el problemaoriginal o (llamado tambin primal)son en extremos tiles en una gran variedad de situaciones. Uno de los aspectos ms importantes de la teora de dualidad es la interpretaciny realizacin del anlisis de sensibilidad.Esencia de la teora de dualidad: Dada la forma estndar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha. Max Min El problema dual usa exactamente losmismos parmetrosque el problema primal, pero en diferentes lugares.Dada la forma matricial delproblema primal (izquierda), ydel problema dual. MaxMin Donde c, y son vectores fila y b y x son vectores columna. 0:11>s===jinjj ijnjj jxb x aa sujetox c Z0:>>=yc yAa sujetoyb W0:>s=xb Axa sujetoc Z x0:>>=yc yAa sujetoyb WGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 63 Problema primal y dual para el caso del problema deWyndor Glass Co.El problema primalEl problema Dual Max Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derechael problema dual en forma algebraica. El problema dual se puede resolver por los mismos mtodos que hemos resueltos los problemas PL. Por lo que para efectos de anlisis vamos resolverlo usandoWinQSB. Max Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derechael problema dual en forma matricial. Solucin del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co. (usando WinQSB) La solucin ptima es: Y1=0 ,Y2=1.5,Y3=1para z= 36. 0018 2 312 24:5 3212 1212 1>>s +ss+ =xxx xxxa sujetax x Z0005 2 23 3:18 12 43213 23 13 2 1>>>> +> ++ + =yyyy yy ya sujetay y y W| |((

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=00181242 32 00 1:5 3212121xxxxa sujetaxxZ| || | | || | | | 0 0 05 32 32 00 1:181243 2 13 2 13 2 1>>((((

((((

=y y yy y ya sujetay y y WGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 64 La solucin ptima es: X1=2 yX2=6 para z= 36 Anlisis comparativo: (Solucin dual y primal) Encuadroanteriorsepuedeverquelasolucindelasvariablesdedecisindelproblema primalson: X1=2 y X2=6,estosresultadoscorrespondenlosprecios sombras delasolucin del problema dual. Lasolucindelasvariablesdedecisindelproblemadualson:Y1=0,Y2=1.5,Y3=1.Estosvalores corresponden a los precios sombra del problema primal. Elptimo de la funcin objetivo tanto del problema dual como primal es el mismo ( Z=36). Los valores mnimos permitidos en las variables de decisin del primal (X1=0; X2=2) corresponden a los mnimos permitidos en las restricciones del problema dual. Los valores mximos permitidos en las variables de decisin del primal (X1=7.5 ; X2= M) corresponden a los mximos permitidos en las restricciones del problema dual. Los valores mnimos permitidos en las variables de decisin del dual (Y1=2; Y2=6;Y3=12) corresponden a los mnimos permitidos en las restricciones del problema primal. Los valores mximos permitidos en las variables de decisin del dual (Y1=M ; Y2= 18 ;Y3=24) corresponden a los mximos permitidos en las restricciones del problema primal. La reduccin de costos para las variables de decisin de problema primal (X1=0;X2=0) corresponden a los precios sombras del problema del problema dual. La reduccin de costos para las variables de decisin de problema dual (Y1=2;Y2=0;Y3=0) corresponden a los precios sombras del problema del problema primal. Problema primal (original): MAX Z= 3X1 + 4X2 2X3Variables dualesSujetoa:4X1 12X2+ 3X3= 3 12Y1 +3Y2+Y3 -4Y4>= 43Y1 +Y26Y3 2Y4>=-2 Y1 > 0, Y2 < 0,Y3 >0, Y4 no restringida en signoUsando WinQSB. Obtenemos la solucin de ambos problemas. Sensibilidad: Elanlisisdesensibilidadconcierneelestudiodeposiblescambiosenlasolucinptima obtenida como resultado de hacer cambios en el modelo original. Comoencualquieraspectodedecisingerencial,estilrealizarunanlisisdesensibilidad para determinar cmo afecta a la decisin la asignacin de probabilidades. Mediante el anlisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo original como: 1. Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo, Cij 2. Cambios en los recursos, bi

3. Cambios en los coeficientes tecnolgicos, aij

4.Adicin de una nueva variableXi

5.Adicin de una nueva restriccin.aij >= bi Ejemplo de anlisis de sensibilidad: LaempresaKAMIRsededicaalafabricacindetresproducto;A,ByC.Elprocedimientode produccininvolucratresoperaciones:formacin,acabadoeinspeccin.Eldepartamentode ingenieraindustrial,haestablecidolossiguientesestndaresdeproduccinencada operacin.Datos de produccin para la compaa (minutos por producto) Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 66 El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compaa.Datos de costo e ingreso para la compaa Se desea saber el nmero de cada tipo de producto que debern producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del da. Considerando la informacin, se plante el modelo de programacin lineal: X1: nmero de productos tipo A. X2: nmero de productos tipo B. X3: nmero de productos tipo C. Solucin: Modelo de PPL Dual del Problemaanterior. MinW= 480Y1 + 480Y2 + 480y3 Sujeto a: 2y1 + 3y2+ 2y3 20 6y1 + 6y2+ 2y3 35 2y1 + 2y2+ 4y3 45 y1 0 ( )( )( ) acabado x x xinspeccin x x xformacin x x xa sujetox x x Z480 4 2 2480 2 6 3480 2 6 2:45 35 203 2 13 2 13 2 13 2 1s + +s + +s + ++ + =Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 67 y2 0 y30 Responda las siguientes preguntas. 1.Determine los rangos de variacin de las variables bsicas en donde la base actual permanece2.Cul es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?3.En cules de las operaciones recomendara usted contratar tiempo extra y por que?4.Que pasara si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspeccin, cambiara la funcin objetivo? 5.En cunto se incrementara la utilidad ptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? 6.Qu pasara con la solucin ptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? 7.Si se logran reducir los costos de produccin en el producto B en un 25%, cmo se afecta la base actual y el objetivo? 8.Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razn de $5/minuto, recomendara usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? Problema PPL con anlisis de sensibilidad. Es problemade PL con varias variables Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicleypltano.Debidoalcalorextremoylaaltademanda,lacompaatieneun dficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azcar y crema. Esto no le permite satisfacer todas las rdenes recibidas de sus expendios. Por estascircunstancias,lacompaaadecididoseleccionarlacantidadquedebeproducirde cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes bsicos. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 68 Sujeto a: La compaa tiene solo 220 galones de leche,170libras de azcar y 70 galones de crema. (por mes) Ungalndeheladodechocolateconsume:0.45galndeleche,0.5librade azcar y 0.10 galn de crema. UngalndeheladodeVainillaconsume:0.5galndeleche,0.4librade azcar y 0.15 galn de crema. Un galn de helado de banano consume: 0.4 galn de leche, 0.4 libra de azcar y 0.2 galn de crema. Un galn de helado de chicle consume: 0.4 galn deleche, 0.4 libra de azcar y 0.3 galn de crema. Lacompaaparamantenersumercadocautivodesaboresadecidido tambinproduciralmenos30galonesdeheladosdecadaunodeloscuatro sabores. Lossaboresdechocolate,vainilla,bananoychiclegeneranganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9y $.95 por galn. Variables de decisin X1 = Nmeros de Galones de helados de chocolate X2 = Nmeros de Galones de helados de vainilla X3 = Nmeros de Galones de helados de banano X4= Nmeros de Galones de helados de chicle Funcin objetivo Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4 $= ($/galn de chocolate) x (Nmero galones chocolate) + ($/galn de vainilla) x (Nmero galones vainilla)+ ($/galn de pltano) x (Nmero galones banano) + ($/galn de chicle) x (Nmero galones chicle) Restriccin de produccin 0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1galones de chocolates0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2galones de vainilla0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3galones de banano0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4galones de chicleGua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 69 0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 s220 0.5X1 es el total de libras de azcar que se requieren para producir X1galones de chocolates0.4X2 es el total de libras de azcar que se requieren para producir X2galones de vainilla0.4X3es el total de libras de azcar que se requieren para producir X3galones de banano0.4X4 es el total de libras de azcar que se requieren para producir X4galones de chicle0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 s170 0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1galones de chocolates0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2galones de vainilla0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3galones de banano0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4galones de chicle0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 s70 Compromisos de demanda X1 galones de chocolate > 30 galones X2 galones de vainilla > 30 galones X3 galones de banano > 30 galones X4 galones de chicles > 30 galones Modelo de PPL Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 70 No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demandapara todas las variables.Solucin PREGUNTAS ADICIONALES Supongaquelagananciaporgalndepltanoa$1.00cambialasolucin ptima y que se puede decir de la ganancia total? Sujeto a: 0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 s220 0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 s170 0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 s70 X1> 30 X2 > 30 X3> 30 X4 > 30 Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 71 - Cambia la ganancia total - Cambia la solucin ptima. Supongaquelagananciaporgalndepltanoa$0.92cambialasolucin ptima y que se puede decir de la ganancia total? - Cambia levemente la ganancia total - No cambia la solucin ptima - Se podra decir que no hay cambios relevantes en la optimizacin. Supongaquedescubrentresgalonesdecremaagrioquetienenquetirarse cambia la solucin ptima y que se puede decir de la ganancia total? Se podra decir que no hay cambios en la optimizacin ni en la ganancia, eranSobrantes. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 72 Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azcar por un costo total de $15.00Deben comprarlas ? explique -Se recomienda comprarlos, eso permite mejorar la solucin ptima -Elprecioesinferioralopermitidode$2.50porlibra,portantoesuna buena opcin. Nota: Se utiliz el software WINQSB para la solucin del modelo. Gua Prctica para Investigacin de Operaciones Julio Rito Vargas Avils/UNI Pgina 73 9.Que paseara si se programara la produccin de 10 unidades del producto A ? 10.Qu pasara si por cambios en maquinara y procesos el producto A cambiara sus tiempos de fabricacin en11. a1= (2,3,2)aa1 = (1,2,2)12.Por polticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes caractersticasC4=60, a4 = (2,1,3), Qu recomendara? Solucin del primal con WinQSB. Decisin Variable Solution Value Unit Cost or Profit c[i] Total Contribution Reduced Cost Basis Status Allowable Min c[i] Allowable Max c[i] X10200-5.00 at bound -M25.00 X248351,680.000Basic22.50135.00 X396454,320.000Basic32.5070.00 ObjectiveFunctionMax=6,000.00 ConstraintLeft Hand Side DirectionRight Hand Side Stack Or Surplus Shadow Price Allowable Min RHS Allowable Max RHS C1480.00