liÇÕes em - s3-sa-east-1.amazonaws.com · 7.5 – primeiro teorema de castigliano, 221 7.6 –...

LIÇÕES EM MECÂNICA DAS ESTRUTURAS — Prova 7 — 18/1/2011 — Maluhy&Co. — página (local 1, global #1)ii

ii

ii

ii

ASASMECÂNICA DADAARASASESTRUTUvirtuaisatrabalhos

e energiag

João Cyro AndrédCarlos Eduardo Nigro Mazzillizro Mazzilli

Miguel Luiz BucalemSérgio CifúC

rosto.indd 9 15/12/2010 11:16:10


ii

ii

ii


ii

ii

ii

Prefácio

As Lições em Mecânica das Estruturas são o resultado de mais

de 20 anos de atuação dos autores nas disciplinas de Mecânica

das Estruturas, oferecidas aos alunos do curso de Engenharia

Civil da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, em

sequência às disciplinas de Resistência dos Materiais e Estática

das Construções.

A motivação dos autores transcende o natural desejo de orga-

nizar a farta documentação gerada nessas disciplinas ao longo dos

anos, compreendendo notas de aula, listas de exercícios resolvidos,

trabalhos práticos e provas propostas. Muito mais do que isso, é

o compromisso que sentem de compartilhar com a comunidade

acadêmica suas experiências de ensino na Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo.

Estas Lições se preocupam, ao mesmo tempo, em valorizar

conteúdos tradicionais – solidamente organizados por gerações de

grandes mestres – e em agregar conteúdos contemporâneos, devi-

damente adaptados ao curso de graduação, mas que muitas vezes

são tratados apenas na pós-graduação.

Em acréscimo ao aprofundamento conceitual tradicio-

nalmente perseguido na Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo, estas Lições se propõem a ilustrar extensiva-

mente as possibilidades de aplicação das ferramentas desenvol-

vidas na solução de problemas fundamentais de Mecânica das

Estruturas, entendida de forma ampla e, portanto, não restrita

à Engenharia Civil. Efetivamente, as Lições em Mecânica das

Estruturas poderão ser igualmente úteis nos cursos de Engenharia

Mecânica, Mecatrônica, Naval, Química, de Minas, Aeronáutica e

Aeroespacial, além de tantos outros em que a análise de sistemas

estruturais seja requerida.


ii

ii

ii

De sorte a oferecer maior �exibilidade a seus leitores – tanto alunos como

professores de disciplinas de Mecânica das Estruturas de faculdades lusófonas

de Engenharia, independentemente de como os diversos conteúdos estão

articulados em seus respectivos programas –, os autores destas Lições optaram

por segmentá-las tematicamente em diferentes volumes, porém escritos de

forma tão autocontida quanto possível.

Nestas Lições, conteúdos de aprofundamento podem ser omitidos se o

propósito for de um primeiro contato, apenas. Por outro lado, esses mesmos

conteúdos certamente se mostrarão bastante úteis a alunos de pós-graduação.

Exatamente por essa característica, trata-se de obra bastante versátil, aten-

dendo simultaneamente aos públicos da graduação e da pós-graduação.

Este volume das Lições é dedicado ao estudo dos teoremas dos trabalhos

virtuais e dos teoremas de energia e suas aplicações à análise de estruturas.

O texto foi elaborado em uma linguagem própria da engenharia. Ênfase

especial foi dada ao desenvolvimento de conceitos sólidos com exemplos

conceituais e exemplos simples, que mostrem com clareza as aplicações à

análise de estruturas, sem que o tratamento matemático possa obscurecer a

compreensão conceitual. Alguns estudos de caso ilustram essas aplicações em

obras já realizadas.

O teorema do trabalho, apresentado no capítulo 1, é considerado essen-

cial para o estabelecimento, com clareza e simplicidade, dos teoremas dos tra-

balhos virtuais e de energia. Inicialmente, ele é desenvolvido para um sólido

deformável, considerando a teoria da elasticidade linear; posteriormente, é

apresentado para estruturas reticuladas de barras no plano e no espaço, consi-

derando a teoria de barra de Bernoulli-Euler e a teoria de torção uniforme de

Saint-Venant. Esse procedimento é igualmente aplicado no desenvolvimento

dos teoremas dos trabalhos virtuais, o dos esforços virtuais e o dos desloca-

mentos virtuais, no capítulo 2, e nos teoremas da energia potencial total, no

capítulo 7, e da energia potencial complementar total, no capítulo 8.

Neste livro dá-se ênfase às aplicações dos teoremas dos esforços virtuais

e da energia potencial complementar total no cálculo de deslocamentos em

estruturas isostáticas e hiperestáticas, e na resolução de estruturas hiperestá-

ticas pelo método dos esforços. Por completitude, a análise de estruturas re-

ticuladas isostáticas ou hiperestáticas pelo método dos deslocamentos é ilus-

trada pela aplicação dos teoremas dos deslocamentos virtuais e da energia po-

tencial total em alguns exemplos bem simples. O método dos deslocamentos

na análise estrutural será tratado ou utilizado em outros volumes das Lições

de Mecânica das Estruturas, dedicados à Análise Matricial de Estruturas e ao

Método dos Elementos Finitos.

Os capítulos 3, 4 e 5 dedicam-se, respectivamente, ao cálculo de deslo-

camentos em estruturas isostáticas, à análise de estruturas hiperestáticas pelo

método dos esforços e ao cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestá-

ticas, pela aplicação conceitual do teorema dos esforços virtuais. Para bem

4 Lições em Mecânica das Estruturas


ii

ii

ii

ilustrar aspectos diversos dessa aplicação, apresentam-se exemplos de vigas

simples, referidos como conceituais, e de outras estruturas simples submeti-

das a ações de esforços externos ativos, variações de temperatura e recalques

de apoio. No capítulo 9, os cálculos de deslocamentos em estruturas isostáti-

cas e hiperestáticas e a análise de estruturas hiperestáticas pelo método dos

esforços, agora pela aplicação dos teoremas de energia complementar, são

ilustrados por novos exemplos simples.

As expressões obtidas para o cálculo de deslocamentos em estruturas

reticuladas e para a análise pelo método dos esforços, seja pelo teorema dos

esforços virtuais, seja pelos teoremas de energia complementar, são formal-

mente idênticas, como não poderia deixar de ser. São dois métodos diferentes

para a execução das mesmas aplicações, aos quais poderia ainda ser adicio-

nado um terceiro, chamado método direto, mas que carece da generalidade

existente nos apresentados. Essa observação indica que a coleção de exercí-

cios e os estudos de caso do capítulo 6 poderiam igualmente ser posicionados

após o capítulo 9.

Este livro está organizado de maneira a propiciar diversas formas de uti-

lização. Por exemplo, sendo parte de um curso de graduação de Mecânica das

Estruturas, com duração de dois a três meses e ministrado após os cursos de

Resistência dos Materiais e Estática das Construções, com abordagem prefe-

rencial pelos teoremas dos trabalhos virtuais, ele pode ser utilizado conside-

rando-se os capítulos 1 a 6. Caso a abordagem seja pelos teoremas de energia,

ele pode ser utilizado considerando-se os capítulos 1, 7 a 9 e 6. As partes do

livro que tratam dos sólidos deformáveis e de alguns problemas com não linea-

ridades físicas ou geométricas constituem naturalmente tópicos introdutórios

de um curso de pós-graduação em mecânica dos sólidos deformáveis.

O livro é ilustrado com fotos e figuras de ilustres engenheiros, físicos e

matemáticos, todos com contribuições significativas nos temas abordados,

e fotos e desenhos de algumas obras de engenharia de estruturas, como

exemplificação de diversos sistemas estruturais, apresentadas em ordem

cronológica. Essas obras lindíssimas, históricas ou modernas, e relevantes

por diferentes razões, foram sugeridas gentilmente pelo professor Henrique

Lindenberg Neto.

Os autores dedicam esta coleção aos professores Décio Leal de Zagottis

e Telêmaco van Langendonck, e, sobretudo, a dezenas de gerações de alunos

que os ensinaram sobre como gostariam de aprender.

São Paulo, maio de 2010

João Cyro André

Carlos Eduardo Nigro Mazzilli

Miguel Luiz Bucalem

Sérgio Cifú

5PREFÁCIO


ii

ii

ii

Sumário

1. Teorema do trabalho, 21

1.1 – Teorema do trabalho na teoria da elasticidade, 21

1.2 – Teorema do trabalho na teoria elementar de barra de

Bernoulli-Euler, 26

1.3 – Teorema do trabalho na teoria elementar de barra no

espaço, 43

Anexo A – – Equações de equilíbrio de barra derivadas da teoria

tridimensional da elasticidade, 49

Anexo B – – Teoremas da reciprocidade de Betti e de Maxwell, 53

2. Teoremas dos trabalhos virtuais, 57

2.1 – Teorema dos deslocamentos virtuais, 58

2.2 – Teorema dos esforços virtuais, 70

3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas, 75

3.1 – Exemplos, 76

Expressões derivadas do teorema dos esforços virtuais para o

cálculo de deslocamentos em estruturas reticuladas

isostáticas, 95

4. Análise de estruturas hiperestáticas pelo método dos

esforços, 97


Análise de estruturas reticuladas hiperestáticas pelo método dos

esforços com expressões derivadas do teorema dos esforços

virtuais, 124

5. Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas, 127


Expressões derivadas do teorema dos esforços virtuais para o

cálculo de deslocamentos em estruturas reticuladas

hiperestáticas, 139


ii

ii

ii

6. Exemplos resolvidos e estudos de caso, 141


Estudo de caso – Viaduto Santa Ifigênia, 162

Estudo de caso – MASP – Museu de Arte de São Paulo, 179

7. Energia potencial total, 197

7.1 – Variação dos trabalhos externo e interno, 199

7.2 – Energia de deformação, 201

7.3 – Teorema de Clapeyron, 213

7.4 – Teorema da energia potencial total, 216

7.5 – Primeiro teorema de Castigliano, 221

7.6 – Método dos deslocamentos derivado do primeiro teorema de

Castigliano ou do teorema da energia potencial total, 225

8. Energia potencial complementar total, 229

8.1 – Variação do trabalho complementar externo e do trabalho

complementar interno, 230

8.2 – Energia complementar de deformação, 232

8.3 – Trabalho complementar externo, 242

8.4 – Teorema da energia potencial complementar total, 246

8.5 – Segundo teorema de Castigliano, 248

8.6 – Teorema de Engesser, 250

9. Aplicações dos teoremas de energia complementar, 253

9.1 – Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas, 258

Expressões derivadas dos teoremas de energia complementar para o cálculo

de deslocamentos em estruturas reticuladas isostáticas, 267

9.2 – Resolução de estruturas hiperestáticas pelo método dos esforços, 268

Análise de estruturas hiperestáticas pelo método dos esforços, com

expressões derivadas dos teoremas de energia complementar, 280

9.3 – Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas, 282

Expressões derivadas dos teoremas de energia complementar para o cálculo

de deslocamentos em estruturas reticuladas hiperestáticas, 292

Referências Bibliográficas, 295



ii

ii

ii

Parthenon (447 AC - 432 AC)

sistema estrutural: viga – pilar

Teo

rem

a d

otrab

alho

novo_proj_graf_abre01.indd 9 2/12/2010 13:46:32

1.1 TEOREMA DO TRABALHO NA TEORIA DA

ELASTICIDADE

1.1.1 Campo de tensões estaticamenteadmissíveis

Seja um sólido deformável em equilíbrio estático sujeito a forças de

volume f B , definidas numa região V , e de forças de superfície f S ,

especificadas numa parte S f da superfície de contorno S (Fig. 1.1).

Na parte restante, Su , do contorno S, são especificados os desloca-

mentos. As componentes de f B , f S e u, em cada ponto, relativas ao

sistema de coordenadas cartesiano e ortogonal, são os elementos

dos vetores:{f B }T =

{f B

x

(x, y, z

), f B

y

(x, y, z

), f B

z

(x, y, z

)}{

f S}T ={

f Sx

(x, y, z

), f S

y

(x, y, z

), f S

z

(x, y, z

)}{

u}T = {

u(x, y, z

), v

(x, y, z

), w

(x, y, z

)} (1.1)

Define-se campo de uma grandeza (escalar, vetorial ou ten-

sorial) como a aplicação que a cada ponto P ∈ V , definido pelo

vetor posição r = (x, y, z), associa a referida grandeza. Para os pro-

pósitos deste texto, define-se campo de tensões estaticamente ad-

missíveis como um campo de tensões σe em equilíbrio com forças

de volume f B , especificadas em V , e com forças de superfície f S ,

especificadas em S f . Assim, um campo de tensões estaticamente


ii

ii

ii

z

0

V

y

x

P

r

Sf

f B

nf S

Su

Fig. 1.1 Sólido deformável em equilíbrio estático

admissíveis deve satisfazer às equações de equilí-

brio em V :

∂σexx

∂x+∂σe

x y

∂y+ ∂σe

xz

∂z+ f B

x = 0

∂σey x

∂x+∂σe

y y

∂y+∂σe

y z

∂z+ f B

y = 0 em V

∂σezx

∂x+∂σe

z y

∂y+ ∂σe

zz

∂z+ f B

z = 0

(1.2)

e às equações de equilíbrio em S f :

σexx nx +σe

x y ny +σexz nz = f S

x

σey x nx +σe

y y ny +σey z nz = f S

y em S f

σezx nx +σe

z y ny +σezz nz = f S

z

(1.3)

onde σexx , σe

y y , σezz , σe

x y = σey x , σe

y z = σez y e σe

zx = σexz são as componen-

tes do tensor das tensões de Cauchy, agrupadas por conveniência no vetor{σe

}T ={σe

xx ,σey y ,σe

zz ,σex y ,σe

y z ,σezx

}, e

(nx ,ny ,nz

)são as componentes do ver-

sor n, normal externa à superfície S, relativas ao sistema cartesiano ortogonal

de coordenadas Ox y z.

1.1.2 Campo de deslocamentos cinematicamenteadmissíveis

Neste texto, define-se campo de deslocamentos cinematicamente admissíveis

como um campo de deslocamentos uc compatíveis com as condições de vín-

culo em Su

uc = u vc = v wc = w (1.4)

e que gera um campo de deformações εc , denominado campo de deforma-

ções cinematicamente admissíveis, definido pelas relações entre deformações

e deslocamentos, que, em teoria linear, escrevem-se:

εcxx = ∂uc

∂xεc

y y =∂vc

∂yεc

zz =∂wc

∂z

2εcx y = γc

x y =∂uc

∂y+ ∂vc

∂x

2εcy z = γc

y z =∂vc

∂z+ ∂wc

∂y

2εczx = γc

zx = ∂wc

∂x+ ∂uc

∂z

(1.5)

onde (uc , vc ,wc ) são as componentes do vetor deslocamento uc e εcxx , εc

y y ,

εczz , εc

x y = εcy x , εc

y z = εcz y e εc

zx = εcxz são as componentes do tensor das defor-

mações de Green relativas ao sistema cartesiano ortogonal de coordenadas

Ox y z, representados por conveniência pelos vetores{

uc}T = {

uc , vc , wc}

e{εc

}T ={εc

xx ,εcy y ,εc

zz ,γcx y ,γc

y z ,γczx

}.



ii

ii

ii

1.1.3 Teorema do trabalho na teoria linear da elasticidadetridimensional

Em um sólido deformável, equilibrado por forças de volume f B , em V , e por

forças de superfície f S , em S, considerem-se campos quaisquer de tensões

estaticamente admissíveis σe e campos quaisquer de deformações εc e de

deslocamentos uc cinematicamente admissíveis.

A integral

T i =∫V

{σe}T {

εc} dV

=∫V

(σe

xxεcxx +σe

y yεcy y +σe

zzεczz +σe

x yγcx y +σe

y zγcy z +σe

zxγczx

)dV

(1.6)

tem dimensão de um trabalho, pode ser interpretada como o trabalho do

campo de tensões σe pelo campo de deformações εc nesse sólido deformável

e é denominada trabalho interno.

Com base nas expressões (1.5) e na simetria do tensor das tensões de

Cauchy, tem-se:

T i =∫V

(σexx∂uc

∂x+σe

x y∂uc

∂y+σe

xz∂uc

∂z)dV

+∫V

(σey x∂vc

∂x+σe

y y∂vc

∂y+σe

y z∂vc

∂z)dV

+∫V

(σezx∂wc

∂x+σe

z y∂wc

∂y+σe

zz∂wc

∂z)dV

(1.7)

Ao aplicar-se a regra de derivação do produto de funções, obtém-se:

T i =∫V

∂(σe

xx uc)

∂x+∂(σe

x y uc)

∂y+ ∂

(σe

xz uc)

∂z

dV

−∫V

[(∂σe

xx

∂x+∂σe

x y

∂y+ ∂σe

xz

∂z

)uc

]dV

+∫V

∂(σe

y x vc)

∂x+∂(σe

y y vc)

∂y+∂(σe

y z vc)

∂z

dV

−∫V

[(∂σe

y x

∂x+∂σe

y y

∂y+∂σe

y z

∂z

)vc

]dV

+∫V

∂(σe

zx wc)

∂x+∂(σe

z y wc)

∂y+ ∂

(σe

zz wc)

∂z

dV

−∫V

[(∂σe

zx

∂x+∂σe

z y

∂y+ ∂σe

zz

∂z

)wc

]dV

(1.8)

23TEOREMA DO TRABALHO


ii

ii

ii

Segundo o teorema de Gauss, ou da divergência, a integral de volume do

divergente A de um campo é igual ao �uxo desse campo através da superfície

desse volume: ∫V

div AdV =∫S

A ·ndS

ou ∫V

(∂Ax

∂x+ ∂Ay

∂y+ ∂Az

∂z

)dV =

∫S

(Ax nx + Ay ny + Az nz

)dS

visto que

div A = ∂Ax

∂x+ ∂Ay

∂y+ ∂Az

∂z

A ·n = Ax nx + Ay ny + Az nz

onde n é o versor da normal externa em um ponto de S.

Ao aplicar-se o teorema de Gauss, estabelece-se:

T i =∫S

(σe

xx nx +σex y ny +σe

xz nz

)uc dS

+∫S

(σe

y x nx +σey y ny +σe

y z nz

)vc dS

+∫S

(σe

zx nx +σez y ny +σe

zz nz

)wc dS

−∫V

(∂σe

xx

∂x+∂σe

x y

∂y+ ∂σe

xz

∂z

)uc dV

−∫V

(∂σe

y x

∂x+∂σe

y y

∂y+∂σe

y z

∂z

)vc dV

−∫V

(∂σe

zx

∂x+∂σe

z y

∂y+ ∂σe

zz

∂z

)wc dV

(1.9)

A partir de (1.2) e (1.3), obtém-se:

T i =∫S

(f S

x uc + f Sy vc + f S

z wc)

dS

+∫V

(f B

x uc + f By vc + f B

z wc)

dV(1.10)

ou

T i =∫S

{f S}T {

uc} dS +∫V

{f B }T {

uc} dV (1.11)

onde as parcelas do segundo membro de (1.10) e (1.11) representam, respec-

tivamente, os trabalhos das forças externas de superfície f S e das forças ex-

ternas de volume f B , em equilíbrio com um campo de tensões estaticamente

admissíveis σe , pelo campo de deslocamentos cinematicamente admissíveis


liÇÕes em - s3-sa-east-1.amazonaws.com · 7.5 – primeiro teorema de castigliano, 221 7.6 –...

Documents