Teoremas de Energía (Teorema de Castigliano)

Cálculo de Deformaciones en Sistemas no Hipostáticos

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Consideremos una estructura, no hipostática (mecanismo sin movimientos)

IntroducciónConsideremos un sistema de cargas actuando sobre la misma para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn (sistema de fuerzas externas y reacciones de vínculo en equilibrio).

Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan.

Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2', por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de valor:

PTe 21

Siendo δ la proyección del desplazamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza.

El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:

Introducción

n

jjje PT

1 211

energía elástica acumulada por el sistema

Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdrá: jj

ee dP

PTT

variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad

Consideramos ahora que primero se aplique dPj y luego el sistema P1 a Pn. El trabajo total, en este caso resulta:

ejjjj TdPddP 212

trabajo elástico de dPj al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su valor final

trabajo físico de dPj debido al desplazamiento del sistema P1 a Pn al crecer desde cero a sus valores finales

trabajo elástico del sistema P1 a Pn

Como los estados finales, de los casos (1) y (2) son iguales, debe cumplirse:

Introducción

ejjjjjj

ee TdPddPdP

PTT

21

jjjj

e dPdPPT

j

ej P

T

Se desprecia por ser un diferencial de orden superior

Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn se acumula como energía interna elástica, podemos escribir:

j

i

j

ej P

TPT

"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del

mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre

que el sistema se encuentre en el régimen elástico."

Desarrollemos la expresión del trabajo interno Ti:

IntroducciónDado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deformaciones por deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado de la siguiente manera:

21

21*

iT y por la Ley de Hooke resulta:GE

Ti22

*

21

21

Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:

dxdAG

dxdAE

dVTTV ii

22*

21

21

Pero:

IntroducciónLas tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

AQ

bJSQ x

0

yJM

AN

y reemplazando:

dxdAAQ

GdxdAy

JM

EdxdAy

JM

AN

EdxdA

AN

ETi 2

222

2

2

2

2

21

211

21

A

dAA

2

A

AdA AdAy 0

AJdAy2donde:

(área) (momento estático de toda la sección)

(momento de inercia de toda la sección)

(coeficiente de forma con: )

por lo tanto:

dxGAQdx

EJMdx

EANTi

222

21

21

21

0bJASx

Apliquemos el Teorema de Castigliano:

Introducciónj

i

j

ej P

TPT

GAdx

PQQ

EJdx

PMM

EAdx

PNN

PT

jjjj

ij

Por lo tanto, resulta:

En adelante y por razones de simplicidad en las expresiones tomaremos solo el trabajo del término debido a los momentos flexores M. Esto equivaler a despreciar los trabajos y por lo tanto las deformaciones debidas a N y Q lo cual es bastante común y aceptable para sistemas de alma llena sometidos a flexión.

EJdx

PMM

PT

jj

ij

Concluimos que, el Teorema de Castigliano:

IntroducciónNos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.

Está diseñado para aplicarlo en vigas que están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro.

También se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numérica sino como una variable.

Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual.

Veamos el siguiente problema:

Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en el extremo libre B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB).

Datos: longitud de la viga (L) y momento flexor aplicado (M)

Problema de Aplicación (1)

Definamos una fuerza

infinitesimal F…

Problema de Aplicación (1)

… aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento…

… y grafiquemos los diagramas de momentos flexores del par aplicado (M) y de la fuerza infinitesimal (F):

Aplicando el Teorema de Castigliano

resulta:

Problema de Aplicación (1)

L x

xi

C dxFMM

EJFT

0

1

2;0

0;2

;

2

2

0

2

20

LxdFdM

dFdM

FLxFMMMM

L

L

x

L

x

LLx

L

x

en donde:

L

L

L

L

L

L

L

C dxLMdxxMEJ

dxLxMdxMEJ 2 22

2

0 21

201

4831

22421 2

22

2 LMMLEJ

LLMLLMEJC

EJML

C 8

2

y reemplazando:

Veamos el siguiente problema:

Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con una carga aplicada en el extremo libre B. Nos planteamos calcular el giro de la sección C (punto medio de AB).

Datos: longitud de la viga (L) y carga aplicada (P)

Problema de Aplicación (2)

Definamos un momento

infinitesimal m…

Problema de Aplicación (2)

… aplicado en C, en la sentido en que se quiere calcular el giro…

… y grafiquemos los diagramas de momentos flexores del par aplicado (M) y del momento infinitesimal (m):

Aplicando el Teorema de Castigliano

resulta:

Problema de Aplicación (2)

L x

xi

C dxFMM

EJFT

0

1 en donde:

y reemplazando:

1;0

0;;

2

2

0

2

20

L

L

x

L

x

LLx

L

x

dmdM

dmdM

mxPmMxPM

42

11101 22

2

2

0

LLPEJ

dxxPdxxPEJ

L

L

L

C

EJPL

C 83 2

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias